Под иррациональным понимают выражение, в котором независимая переменная %%x%% или многочлен %%P_n(x)%% степени %%n \in \mathbb{N}%% входят под знак радикала (от латинского radix — корень), т.е. возводятся в дробную степень. Некоторые классы иррациональных относительно %%x%% подынтегральных выражений заменой переменной удается свести к рациональным выражениям относительно новой переменной.
Понятие рациональной функции одной переменной можно распространить на несколько аргументов. Если над каждым аргументом %%u, v, \dotsc, w%% при вычислении значения функции предусмотрены лишь арифметические действия и возведение в целую степень, то говорят о рациональной функции этих аргументов, которую обычно обозначают %%R(u, v, \dotsc, w)%%. Аргументы такой функции сами могут быть функциями независимой перменной %%x%%, в том числе и радикалами вида %%\sqrt[n]{x}, n \in \mathbb{N}%%. Например, рациональная функция $$ R(u,v,w) = \frac{u + v^2}{w} $$ при %%u = x, v = \sqrt{x}%% и %%w = \sqrt{x^2 + 1}%% является рациональной функцией $$ R\left(x, \sqrt{x}, \sqrt{x^2+1}\right) = \frac{x + \sqrt{x^2}}{\sqrt{x^2 + 1}} = f(x) $$ от %%x%% и радикалов %%\sqrt{x}%% и %%\sqrt{x^2 + 1}%%, тогда как функция %%f(x)%% будет иррациональной (алгебраической) функцией одной независимой переменной %%x%%.
Рассмотрим интегралы вида %%\int R(x, \sqrt[n]{x}) \mathrm{d}x%%. Такие интегралы рационалируются заменой переменной %%t = \sqrt[n]{x}%%, тогда %%x = t^n, \mathrm{d}x = nt^{n-1}%%.
Пример 1
Найти %%\displaystyle\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x} + \sqrt{x}}%%.
Подынтегральная функция искомого аргумента записана как функция от радикалов степени %%2%% и %%3%%. Так как наименьшее общее кратное чисел %%2%% и %%3%% равно %%6%%, то данный интеграл является интегралом типа %%\int R(x, \sqrt{x}) \mathrm{d}x%% и может быть рационализирован посредством замены %%\sqrt{x} = t%%. Тогда %%x = t^6, \mathrm{d}x = 6t \mathrm{d}t, \sqrt{x} = t^3, \sqrt{x} =t^2%%. Следовательно, $$ \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x} + \sqrt{x}} = \int \frac{6t^5 \mathrm{d}t}{t^3 + t^2} = 6\int\frac{t^3}{t+1}\mathrm{d}t. $$ Примем %%t + 1 = z, \mathrm{d}t = \mathrm{d}z, z = t + 1 = \sqrt{x} + 1%% и $$ \begin{array}{ll} \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x} + \sqrt{x}} &= 6\int\frac{(z-1)^3}{z} \mathrm{d}t = \\ &= 6\int z^2 dz -18 \int z \mathrm{d}z + 18\int \mathrm{d}z -6\int\frac{\mathrm{d}z}{z} = \\ &= 2z^3 - 9 z^2 + 18z -6\ln|z| + C = \\ &= 2 \left(\sqrt{x} + 1\right)^3 - 9 \left(\sqrt{x} + 1\right)^2 + \\ &+~ 18 \left(\sqrt{x} + 1\right) - 6 \ln\left|\sqrt{x} + 1\right| + C \end{array} $$
Интегралы вида %%\int R(x, \sqrt[n]{x}) \mathrm{d}x%% являются частным случаем дробно линейных иррациональностей, т.е. интегралов вида %%\displaystyle\int R\left(x, \sqrt[n]{\dfrac{ax+b}{cd+d}}\right) \mathrm{d}x%%, где %%ad - bc \neq 0%%, которые допускают рационализацию путем замены переменной %%t = \sqrt[n]{\dfrac{ax+b}{cd+d}}%%, тогда %%x = \dfrac{dt^n - b}{a - ct^n}%%. Тогда $$ \mathrm{d}x = \frac{n t^{n-1}(ad - bc)}{\left(a - ct^n\right)^2}\mathrm{d}t. $$
Пример 2
Найти %%\displaystyle\int \sqrt{\dfrac{1 -x}{1 + x}}\dfrac{\mathrm{d}x}{x + 1}%%.
Примем %%t = \sqrt{\dfrac{1 -x}{1 + x}}%%, тогда %%x = \dfrac{1 - t^2}{1 + t^2}%%, $$ \begin{array}{l} \mathrm{d}x = -\frac{4t\mathrm{d}t}{\left(1 + t^2\right)^2}, \\ 1 + x = \frac{2}{1 + t^2}, \\ \frac{1}{x + 1} = \frac{1 + t^2}{2}. \end{array} $$ Следовательно, $$ \begin{array}{l} \int \sqrt{\dfrac{1 -x}{1 + x}}\frac{\mathrm{d}x}{x + 1} = \\ = \frac{t(1 + t^2)}{2}\left(-\frac{4t \mathrm{d}t}{\left(1 + t^2\right)^2}\right) = \\ = -2\int \frac{t^2\mathrm{d}t}{1 + t^2} = \\ = -2\int \mathrm{d}t + 2\int \frac{\mathrm{d}t}{1 + t^2} = \\ = -2t + \text{arctg}~t + C = \\ = -2\sqrt{\dfrac{1 -x}{1 + x}} + \text{arctg}~\sqrt{\dfrac{1 -x}{1 + x}} + C. \end{array} $$
Рассмотрим интегралы вида %%\int R\left(x, \sqrt{ax^2 + bx + c}\right) \mathrm{d}x%%. В простейших случаях такие интегралы сводятся к табличным, если после выделения полного квадрата сделать замену переменных.
Пример 3
Найти интеграл %%\displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2 + 4x + 5}}%%.
Учитывая, что %%x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1%%, примем %%t = x + 2, \mathrm{d}x = \mathrm{d}t%%, тогда $$ \begin{array}{ll} \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2 + 4x + 5}} &= \int \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t^2 + 1}} = \\ &= \ln\left|t + \sqrt{t^2 + 1}\right| + C = \\ &= \ln\left|x + 2 + \sqrt{x^2 + 4x + 5}\right| + C. \end{array} $$
В более сложных случаях для нахождения интегралов вида %%\int R\left(x, \sqrt{ax^2 + bx + c}\right) \mathrm{d}x%% используются
Определение 1
Совокупность всех первообразных заданной функции $y=f(x)$, определенной на некотором отрезке, называется неопределенным интегралом от заданной функции $y=f(x)$. Неопределенный интеграл обозначается символом $\int f(x)dx $.
Замечание
Определение 2 можно записать следующим образом:
\[\int f(x)dx =F(x)+C.\]
Не от всякой иррациональной функции можно выразить интеграл через элементарные функции. Однако большинство таких интегралов с помощью подстановок можно привести к интегралам от рациональных функций, которые можно выразить интеграл через элементарные функции.
$\int R\left(x,x^{m/n} ,...,x^{r/s} \right)dx $;
$\int R\left(x,\left(\frac{ax+b}{cx+d} \right)^{m/n} ,...,\left(\frac{ax+b}{cx+d} \right)^{r/s} \right)dx $;
$\int R\left(x,\sqrt{ax^{2} +bx+c} \right)dx $.
I
При нахождении интеграла вида $\int R\left(x,x^{m/n} ,...,x^{r/s} \right)dx $ необходимо выполнить следующую подстановку:
При данной подстановке каждая дробная степень переменной $x$ выражается через целую степень переменной $t$. В результате чего подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от переменной $t$.
Пример 1
Выполнить интегрирование:
\[\int \frac{x^{1/2} dx}{x^{3/4} +1} .\]
Решение:
$k=4$ - общий знаменатель дробей $\frac{1}{2} ,\, \, \frac{3}{4} $.
\ \[\begin{array}{l} {\int \frac{x^{1/2} dx}{x^{3/4} +1} =4\int \frac{t^{2} }{t^{3} +1} \cdot t^{3} dt =4\int \frac{t^{5} }{t^{3} +1} dt =4\int \left(t^{2} -\frac{t^{2} }{t^{3} +1} \right)dt =4\int t^{2} dt -4\int \frac{t^{2} }{t^{3} +1} dt =\frac{4}{3} \cdot t^{3} -} \\ {-\frac{4}{3} \cdot \ln |t^{3} +1|+C} \end{array}\]
\[\int \frac{x^{1/2} dx}{x^{3/4} +1} =\frac{4}{3} \cdot \left+C\]
II
При нахождении интеграла вида $\int R\left(x,\left(\frac{ax+b}{cx+d} \right)^{m/n} ,...,\left(\frac{ax+b}{cx+d} \right)^{r/s} \right)dx $ необходимо выполнить следующую подстановку:
где $k$ - общий знаменатель дробей $\frac{m}{n} ,...,\frac{r}{s} $.
В результате данной подстановки подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от переменной $t$.
Пример 2
Выполнить интегрирование:
\[\int \frac{\sqrt{x+4} }{x} dx .\]
Решение:
Сделаем следующую подстановку:
\ \[\int \frac{\sqrt{x+4} }{x} dx =\int \frac{t^{2} }{t^{2} -4} dt =2\int \left(1+\frac{4}{t^{2} -4} \right)dt =2\int dt +8\int \frac{dt}{t^{2} -4} =2t+2\ln \left|\frac{t-2}{t+2} \right|+C\]
Сделав обратную замену, получим окончательный результат:
\[\int \frac{\sqrt{x+4} }{x} dx =2\sqrt{x+4} +2\ln \left|\frac{\sqrt{x+4} -2}{\sqrt{x+4} +2} \right|+C.\]
III
При нахождении интеграла вида $\int R\left(x,\sqrt{ax^{2} +bx+c} \right)dx $ выполняется так называемая подстановка Эйлера (используется одна из трех возможных подстановок).
Первая подстановка Эйлера
Для случая $a>
Взяв перед $\sqrt{a} $ знак «+», получим
Пример 3
Выполнить интегрирование:
\[\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} +c} } .\]
Решение:
Сделаем следующую подстановку (случай $a=1>0$):
\[\sqrt{x^{2} +c} =-x+t,\, \, x=\frac{t^{2} -c}{2t} ,\, \, dx=\frac{t^{2} +c}{2t^{2} } dt,\, \, \sqrt{x^{2} +c} =-\frac{t^{2} -c}{2t} +t=\frac{t^{2} +c}{2t} .\] \[\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} +c} } =\int \frac{\frac{t^{2} +c}{2t^{2} } dt}{\frac{t^{2} +c}{2t} } =\int \frac{dt}{t} =\ln |t|+C\]
Сделав обратную замену, получим окончательный результат:
\[\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} +c} } =\ln |\sqrt{x^{2} +c} +x|+C.\]
Вторая подстановка Эйлера
Для случая $c>0$ необходимо выполнить следующую подстановку:
Взяв перед $\sqrt{c} $ знак «+», получим
Пример 4
Выполнить интегрирование:
\[\int \frac{(1-\sqrt{1+x+x^{2} })^{2} }{x^{2} \sqrt{1+x+x^{2} } } dx .\]
Решение:
Сделаем следующую подстановку:
\[\sqrt{1+x+x^{2} } =xt+1.\]
\ \[\sqrt{1+x+x^{2} } =xt+1=\frac{t^{2} -t+1}{1-t^{2} } \] \
$\int \frac{(1-\sqrt{1+x+x^{2} })^{2} }{x^{2} \sqrt{1+x+x^{2} } } dx =\int \frac{(-2t^{2} +t)^{2} (1-t)^{2} (1-t^{2})(2t^{2} -2t+2)}{(1-t^{2})^{2} (2t-1)^{2} (t^{2} -t+1)(1-t^{2})^{2} } dt =\int \frac{t^{2} }{1-t^{2} } dt =-2t+\ln \left|\frac{1+t}{1-t} \right|+C$Сделав обратную замену, получим окончательный результат:
\[\begin{array}{l} {\int \frac{(1-\sqrt{1+x+x^{2} })^{2} }{x^{2} \sqrt{1+x+x^{2} } } dx =-2\cdot \frac{\sqrt{1+x+x^{2} } -1}{x} +\ln \left|\frac{x+\sqrt{1+x+x^{2} } -1}{x-\sqrt{1+x+x^{2} } +1} \right|+C=-2\cdot \frac{\sqrt{1+x+x^{2} } -1}{x} +} \\ {+\ln \left|2x+2\sqrt{1+x+x^{2} } +1\right|+C} \end{array}\]
Третья подстановка Эйлера
Даны основные методы интегрирования иррациональных функций (корней). Они включают в себя: интегрирование дробно-линейной иррациональности, дифференциального бинома, интегралы с квадратным корнем из квадратного трехчлена. Приводятся тригонометрические подстановки и подстановки Эйлера. Рассмотрены некоторые эллиптические интегралы, выражающиеся через элементарные функции.
СодержаниеИнтегралы от дифференциальных биномов
Интегралы от дифференциальных биномов имеют вид:
,
где m, n, p
- рациональные числа, a, b
- действительные числа.
Такие интегралы сводятся к интегралам от рациональных функций в трех случаях.
1)
Если p
- целое. Подстановка x = t N
,
где N
- общий знаменатель дробей m
и n
.
2)
Если - целое. Подстановка a x n + b = t M
,
где M
- знаменатель числа p
.
3)
Если - целое. Подстановка a + b x - n = t M
,
где M
- знаменатель числа p
.
В остальных случаях, такие интегралы не выражаются через элементарные функции.
Иногда такие интегралы можно упростить с помощью формул приведения:
;
.
Интегралы, содержащие квадратный корень из квадратного трехчлена
Такие интегралы имеют вид:
,
где R
- рациональная функция. Для каждого такого интеграла имеется несколько методов решения.
1)
С помощью преобразований привести к более простым интегралам.
2)
Применить тригонометрические или гиперболические подстановки.
3)
Применить подстановки Эйлера.
Рассмотрим эти методы более подробно.
1) Преобразование подынтегральной функции
Применяя формулу ,
и выполняя алгебраические преобразования, приводим подынтегральную функцию к виду:
,
где φ(x), ω(x)
- рациональные функции.
I тип
Интеграл вида:
,
где P n (x)
- многочлен степени n
.
Такие интегралы находятся методом неопределенных коэффициентов, используя тождество:
.
Дифференцируя это уравнение и приравнивая левую и правую части, находим коэффициенты A i
.
II тип
Интеграл вида:
,
где P m (x)
- многочлен степени m
.
Подстановкой t = (x - α) -1
этот интеграл приводится к предыдущему типу. Если m ≥ n
,
то у дроби следует выделить целую часть.
III тип
Здесь мы делаем подстановку:
.
После чего интеграл примет вид:
.
Далее, постоянные α, β
нужно выбрать такими, чтобы в знаменателе коэффициенты при t
обратились в нуль:
B = 0, B 1 = 0
.
Тогда интеграл распадается на сумму интегралов двух видов:
,
,
которые интегрируются подстановками:
u 2 = A 1 t 2 + C 1
,
v 2 = A 1 + C 1 t -2
.
2) Тригонометрические и гиперболические подстановки
Для интегралов вида ,
a > 0
,
имеем три основные подстановки:
;
;
;
Для интегралов ,
a > 0
,
имеем следующие подстановки:
;
;
;
И, наконец, для интегралов ,
a > 0
,
подстановки следующие:
;
;
;
3) Подстановки Эйлера
Также интегралы могут быть сведены к интегралам от рациональных функций одной из трех подстановок Эйлера:
, при a > 0
;
, при c > 0
;
, где x 1
- корень уравнения a x 2 + b x + c = 0
.
Если это уравнение имеет действительные корни.
Эллиптические интегралы
В заключении рассмотрим интегралы вида:
,
где R
- рациональная функция, .
Такие интегралы называются эллиптическими. В общем виде они не выражаются через элементарные функции. Однако встречаются случаи, когда между коэффициентами A, B, C, D, E
существуют соотношения, при которых такие интегралы выражаются через элементарные функции.
Ниже приводится пример, связанный с возвратными многочленами. Вычисление подобных интегралов выполняется с помощью подстановок:
.
Пример
Вычислить интеграл:
.
Делаем подстановку .
.
Здесь при x > 0
(u > 0
) берем верхний знак ′+
′. При x < 0
(u < 0
) - нижний ′-
′.
.
Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
Интегралы вида (m 1 , n 1 , m 2 , n 2 , … - целые числа). В этих интегралах подынтегральная функция рациональна относительно переменной интегрирования и радикалов от х. Они вычисляются подстановкой x=t s , где s - общий знаменатель дробей, … При такой замене переменной все отношения = r 1 , = r 2 , … являются целыми числами, т. е. интеграл приводится к рациональной функции от переменной t:
Интегралы вида (m 1 , n 1 , m 2 , n 2 , … - целые числа). Эти интегралы подстановкой:
где s - общий знаменатель дробей, …, сводятся к рациональной функции от переменной t.
Интегралы вида Для вычисления интеграла I 1 выделяется полный квадрат под знаком радикала:
и применяется подстановка:
В результате этот интеграл сводится к табличному:
В числителе интеграла I 2 выделяется дифференциал выражения, стоящего под знаком радикала, и этот интеграл представляется в виде суммы двух интегралов:
где I 1 - вычисленный выше интеграл.
Вычисление интеграла I 3 сводится к вычислению интеграла I 1 подстановкой:
Интеграл вида Частные случаи вычисления интегралов данного вида рассмотрены в предыдущем пункте. Существует несколько различных приемов их вычисления. Рассмотрим один из таких приемов, основанный на применении тригонометрических подстановок.
Квадратный трехчлен ax 2 +bx+c путем выделения полного квадрата и замены переменной может быть представлен в виде Таким образом, достаточно ограничиться рассмотрением трех видов интегралов:
Интеграл подстановкой
u=ksint (или u=kcost)
сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint и cost.
Интегралы вида (m, n, p є Q, a, b є R). Рассматриваемые интегралы, называемые интегралами от дифференциального бинома, выражаются через элементарные функции только в следующих трех случаях:
1) если p є Z, то применяется подстановка:
где s - общий знаменатель дробей m и n;
2) если Z, то используется подстановка:
где s - знаменатель дроби
3) если Z, то применяется подстановка:
где s - знаменатель дроби
План:
- Интегрирование простейших рациональных дробей.
- Интегрирование некоторых иррациональных функций.
- Универсальная тригонометрическая подстановка.
- Интегрирование простейших рациональных дробей
Напомним, что функция вида Р(х)=а о х п + а 1 х п-1 + а 2 х п-2 +…+ а п-1 х п + а п , где , а о, а 1 …а п – постоянные коэффициенты, называется многочленом или рациональной функцией . Число п называют степенью многочлена .
Дробно-рациональной функцией называется функция, равная отношению двух многочленов, т.е. .
Рассмотрим некоторые простейшие интегралы от дробно-рациональных функций:
1.1. Для нахождения интегралов вида (А - const ) будем пользоваться интегралами от некоторых сложных функций: = .
Пример 20.1. Найдите интеграл .
Решение. Воспользуемся приведенной выше формулой = . Получим, что = .
1.2. Для нахождения интегралов вида (А - const ) будем применять метод выделения в знаменателе полного квадрата. Исходный интеграл в результате преобразований сведется к одному из двух табличных интегралов: или .
Рассмотрим вычисление таких интегралов на конкретном примере.
Пример 20.2. Найдите интеграл .
Решение. Попытаемся выделить в знаменателе полный квадрат, т.е. прийти к формуле (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab +b 2 .
Для этого 4х представляем как удвоенное произведение 2∙2∙х . Следовательно, к выражению х 2 + 4х чтобы получить полный квадрат следует добавить квадрат числа два, т.е. 4: х 2 + 4х + 4 = (х + 2) 2 . х + 2) 2 вычесть 4. Получим следующую цепочку преобразований:
х + 2 = и , тогда . Подставим и и dx в полученный интеграл: = = . Воспользуемся табличным интегралом: , где а =3.Получим, что = . Подставим вместо и выражение х+ 2:
Ответ: = .
1.3. Для нахождения интегралов вида (M, N - const ) будем применять следующий алгоритм :
1. Выделим в знаменателе полный квадрат.
2. Выражение, стоящее в скобках, обозначим новой переменной t. Найдем х , dx и подставим их вместе с t в исходный интеграл (получим интеграл, содержащий только переменную t ).
3. Разобьем полученный интеграл на сумму двух интегралов, каждый из которых вычислим отдельно: один интеграл решается методом подстановки, второй сводится к одной из формул или .
Пример 20.3. Найдите интеграл .
Решение. 1. Попытаемся выделить в знаменателе полный квадрат. Для этого 6х представляем как удвоенное произведение 2∙3∙х . Тогда к выражению х 2 - 6х следует добавить квадрат числа три, т.е. число 9: х 2 – 6х + 9 = (х - 3) 2 . Но, чтобы выражение в знаменателе не изменилось, нужно из (х- 3) 2 вычесть 9. Получим цепочку преобразований:
2. Введем следующую подстановку: пусть х-3 =t (значит, х =t+ 3), тогда . Подставим t, х, dx в интеграл :
3. Представим полученный интеграл как сумму двух интегралов:
Найдем их отдельно.
3.1 Первый интеграл вычисляется методом подстановки. Обозначим знаменатель дроби , тогда . Отсюда . Подставляем и и dt в интеграл и приводим его к виду: = = =ln|u|+C= =ln|t 2 +16|+C. Осталось вернуться к переменной х . Поскольку , то ln|t 2 +16|+C = ln|х 2 - 6х +25|+C.
3.2 Второй интеграл вычисляется по формуле: (где а= 4). Тогда = = .
3.3 Исходный интеграл равен сумме интегралов, найденных в пунктах 3.1 и 3.2: = ln|х 2 - 6х +25|+ .
Ответ: = ln|х 2 - 6х +25|+ .
Методы интегрирования других рациональных функций рассматриваются в полном курсе математического анализа (см., например, Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике, ч.1- М.:Айрис-пресс, 2006.).
- Интегрирование некоторых иррациональных функций.
Рассмотрим нахождение неопределенных интеграл от следующих типов иррациональных функций: и (а,b,c – const). Для их нахождения будем использовать метод выделения полного квадрата в иррациональном выражении. Тогда рассматриваемые интегралы можно будет привести к видам: ,
Разберем нахождение интегралов от некоторых иррациональных функций на конкретных примерах.
Пример 20.4. Найдите интеграл .
Решение. Попытаемся выделить в знаменателе полный квадрат. Для этого 2х представляем как удвоенное произведение 2∙1∙х . Тогда к выражению х 2 +2х следует добавить квадрат единицы (х 2 + 2х + 1 = (х + 1) 2) и вычесть 1. Получим цепочку преобразований:
Вычислим полученный интеграл методом подстановки. Положим х + 1 = и , тогда . Подставим и, dx , где а =4.Получим, что . Подставим вместо и выражение х+ 1:
Ответ: = .
Пример 20.5. Найдите интеграл .
Решение. Попытаемся выделить под знаком корня полный квадрат. Для этого 8х представляем как удвоенное произведение 2∙4∙х . Тогда к выражению х 2 -8х следует добавить квадрат четырех (х 2 - 8х + 16 = (х - 4) 2) и вычесть его. Получим цепочку преобразований:
Вычислим полученный интеграл методом подстановки. Положим х - 4 = и , тогда . Подставим и, dx в полученный интеграл: = . Воспользуемся табличным интегралом: , где а =3.Получим, что . Подставим вместо и выражение х- 4:
Ответ: = .
- Универсальная тригонометрическая подстановка.
Если требуется найти неопределенный интеграл от функции, содержащей sinx и cosx , которые связаны только операциями сложения, вычитания, умножения или деления, то можно использовать универсальную тригонометрическую подстановку .
Суть этой подстановки заключается в том, что sinx и cosx можно выразить через тангенс половинного угла следующим образом: , . Тогда, если ввести подстановку , то sinx и cosx будут выражены через t следующим образом: , . Осталось выразить х через t и найти dх.
Если , то . Найдем dх: = .
Итак, для применения универсальной подстановки достаточно обозначить sinx и cosx через t (формулы выделены в рамке), а dх записать как . В итоге под знаком интеграла должна получиться рациональная функция, интегрирование которой рассматривалось в пункте 1. Обычно метод применения универсальной подстановки весьма громоздкий, но он всегда приводит к результату.
Рассмотрим пример применения универсальной тригонометрической подстановки.
Пример 20.6. Найдите интеграл .
Решение. Применим универсальную подстановку , тогда , , dх= . Следовательно, = = = = = ., тогда берутся ").
Существует множество интегралов, которые называют "неберущимися ". Такие интегралы не выражаются через привычные нам элементарные функции. Так, например, нельзя взять интеграл , т.к. не существует элементарной функции, производная которой была бы равна . Но некоторые из "неберущихся" интегралов имеют большое прикладное значение. Так интеграл называют интегралом Пуассона и широко применяют в теории вероятностей.
Существуют и другие важные "неберущиеся" интегралы: - интегральный логарифм (применяется в теории чисел), и - интегралы Френеля (применяются в физике). Для них составлены подробные таблицы значений при различных значениях аргумента х .
Контрольные вопросы:
