Пусть даны две прямые и требуется найти их точку пересечения. Так как эта точка принадлежит каждой из двух данных прямых, то ее координаты должны удовлетворять как уравнению первой прямой, так и уравнению второй прямой.
Таким образом, для того чтобы найти координаты точки пересечения двух прямых, следует решить систему уравнений
Пример 1. Найти точку пересечения прямых и
Решение. Координаты искомой точки пересечения мы найдем, решив систему уравнений
Точка пересечения М имеет координаты
Покажем, как построить прямую по ее уравнению. Для построения прямой достаточно знать две ее точки. Чтобы построить каждую из этих точек, мы задаемся произвольным значением одной из ее координат, а затем из уравнения находим соответствующее значение другой координаты.
Если в общем уравнении прямой оба коэффициента при текущих координатах не равны нулю , то для построения этой прямой лучше всего находить точки ее пересечения с осями координат.
Пример 2. Построить прямую .
Решение. Находим точку пересечения данной прямой с осью абсцисс. Для этого решаем совместно их уравнения:
и получаем . Таким образом, найдена точка М (3; 0) пересечения данной прямой с осью абсцисс (рис. 40).
Решая затем совместно уравнение данной прямой и уравнение оси ординат
мы находим точку пересечения прямой с осью ординат. Наконец, строим прямую по ее двум точкам М и
При решении некоторых геометрических задач методом координат приходится находить координаты точки пересечения прямых. Наиболее часто приходится искать координаты точки пересечения двух прямых на плоскости, однако иногда возникает необходимость в определении координат точки пересечения двух прямых в пространстве. В этой статье мы как раз разберемся с нахождением координат точки, в которой пересекаются две прямые.
Навигация по странице.
Точка пересечения двух прямых – определение.
Давайте для начала дадим определение точки пересечения двух прямых.
Таким образом, чтобы найти координаты точки пересечения двух прямых, определенных на плоскости общими уравнениями, нужно решить систему, составленную из уравнений заданных прямых.
Рассмотрим решение примера.
Пример.
Найдите точку пересечения двух прямых, определенных в прямоугольной системе координат на плоскости уравнениями x-9y+14=0 и 5x-2y-16=0 .
Решение.
Нам даны два общих уравнения прямых, составим из них систему: 
. Решения полученной системы уравнений легко находятся, если разрешить ее первое уравнение относительно переменной x
и подставить это выражение во второе уравнение:
Найденное решение системы уравнений дает нам искомые координаты точки пересечения двух прямых.
Ответ:
M 0 (4, 2) x-9y+14=0 и 5x-2y-16=0 .
Итак, нахождение координат точки пересечения двух прямых, определенных общими уравнениями на плоскости, сводится к решению системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными переменными. А как же быть, если прямые на плоскости заданы не общими уравнениями, а уравнениями другого вида (смотрите виды уравнения прямой на плоскости)? В этих случаях можно сначала привести уравнения прямых к общему виду , а уже после этого находить координаты точки пересечения.
Пример.
и .
Решение.
Перед нахождением координат точки пересечения заданных прямых приведем их уравнения к общему виду. Переход от параметрических уравнений прямой к общему уравнению этой прямой выглядит следующим образом:
Теперь проведем необходимые действия с каноническим уравнением прямой :
Таким образом, искомые координаты точки пересечения прямых являются решением системы уравнений вида 
. Используем для ее решения :
Ответ:
M 0 (-5, 1)
Существует еще один способ нахождения координат точки пересечения двух прямых на плоскости. Его удобно применять, когда одна из прямых задана параметрическими уравнениями вида 
, а другая – уравнением прямой иного вида. В этом случае в другое уравнение вместо переменных x
и y
можно подставить выражения 
и 
, откуда можно будет получить значение , которое соответствует точке пересечения заданных прямых. При этом точка пересечения прямых имеет координаты .
Найдем координаты точки пересечения прямых из предыдущего примера этим способом.
Пример.
Определите координаты точки пересечения прямых и .
Решение.
Подставим в уравнение прямой выражения :
Решив полученное уравнение, получаем . Это значение соответствует общей точке прямых и . Вычисляем координаты точки пересечения, подставив в параметрические уравнения прямой:
.
Ответ:
M 0 (-5, 1) .
Для полноты картины следует обговорить еще один момент.
Перед нахождением координат точки пересечения двух прямых на плоскости полезно убедиться в том, что заданные прямые действительно пересекаются. Если выяснится, что исходные прямые совпадают или параллельны, то о нахождении координат точки пересечения таких прямых не может быть и речи.
Можно, конечно, обойтись и без такой проверки, а сразу составить систему уравнений вида 
и решить ее. Если система уравнений имеет единственное решение, то оно дает координаты точки, в которой исходные прямые пересекаются. Если система уравнений решений не имеет, то можно делать вывод о параллельности исходных прямых (так как не существует такой пары действительных чисел x
и y
, которая бы удовлетворяла одновременно обоим уравнениям заданных прямых). Из наличия бесконечного множества решений системы уравнений следует, что исходные прямые имеют бесконечно много общих точек, то есть, совпадают.
Рассмотрим примеры, подходящие под эти ситуации.
Пример.
Выясните, пересекаются ли прямые и , и если пересекаются, то найдите координаты точки пересечения.
Решение.
Заданным уравнениям прямых соответствуют уравнения 
и 
. Решим систему, составленную из этих уравнений 
.
Очевидно, что уравнения системы линейно выражаются друг через друга (второе уравнение системы получается из первого умножением обеих его частей на 4 ), следовательно, система уравнений имеет бесконечное множество решений. Таким образом, уравнения и определяют одну и ту же прямую, и мы не можем говорить о нахождении координат точки пересечения этих прямых.
Ответ:
Уравнения и определяют в прямоугольной системе координат Oxy одну и ту же прямую, поэтому мы не можем говорить о нахождении координат точки пересечения.
Пример.
Найдите координаты точки пересечения прямых 
и 
, если это возможно.
Решение.
Условие задачи допускает, что прямые могут быть не пересекающимися. Составим систему из данных уравнений. Применим для ее решения , так как он позволяет установить совместность или несовместность системы уравнений, а в случае ее совместности найти решение:
Последнее уравнение системы после прямого хода метода Гаусса обратилось в неверное равенство, следовательно, система уравнений не имеет решений. Отсюда можно сделать вывод, что исходные прямые параллельны, и мы не можем говорить о нахождении координат точки пересечения этих прямых.
Второй способ решения.
Давайте выясним, пересекаются ли заданные прямые.
- нормальный вектор прямой , а вектор 
является нормальным вектором прямой . Проверим выполнение и : равенство 
верно, так как , следовательно, нормальные векторы заданных прямых коллинеарны. Тогда, эти прямые параллельны или совпадают. Таким образом, мы не можем найти координаты точки пересечения исходных прямых.
Ответ:
Координаты точки пересечения заданных прямых найти невозможно, так как эти прямые параллельны.
Пример.
Найдите координаты точки пересечения прямых 2x-1=0 и , если они пересекаются.
Решение.
Составим систему из уравнений, которые являются общими уравнениями заданных прямых: 
. Определитель основной матрицы этой системы уравнений отличен от нуля 
, поэтому система уравнений имеет единственное решение, что свидетельствует о пересечении заданных прямых.
Для нахождения координат точки пересечения прямых нам нужно решить систему:
Полученное решение дает нам координаты точки пересечения прямых, то есть, 
2x-1=0
и .
Ответ:
Нахождение координат точки пересечения двух прямых в пространстве.
Координаты точки пересечения двух прямых в трехмерном пространстве находятся аналогично.
Рассмотрим решения примеров.
Пример.
Найдите координаты точки пересечения двух прямых, заданных в пространстве уравнениями 
и 
.
Решение.
Составим систему уравнений из уравнений заданных прямых: 
. Решение этой системы даст нам искомые координаты точки пересечения прямых в пространстве. Найдем решение записанной системы уравнений.
Основная матрица системы имеет вид 
, а расширенная - 
.
Определим А и ранг матрицы T . Используем
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти точку пересечения прямых на плоскости. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения координат точки пересечения прямых задайте вид уравнения прямых ("канонический", "параметрический" или "общий"), введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку "Решить". Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
×
Предупреждение
Очистить все ячейки?
Закрыть Очистить
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Точка пересечения прямых на плоскости − теория, примеры и решения
1. Точка пересечения прямых, заданных в общем виде.
Oxy L 1 и L 2:
Построим расширенную матрицу:
 |
Если B" 2 =0 и С" 2 =0, то система линейных уравнений имеет множество решений. Следовательно прямые L 1 и L 2 совпадают. Если B" 2 =0 и С" 2 ≠0, то система несовместна и, следовательно прямые параллельны и не имеют общей точки. Если же B" 2 ≠0, то система линейных уравнений имеет единственное решение. Из второго уравнения находим y : y =С" 2 /B" 2 и подставляя полученное значение в первое уравнение находим x : x =−С 1 −B 1 y . Получили точку пересечения прямых L 1 и L 2: M (x, y ).
2. Точка пересечения прямых, заданных в каноническом виде.
Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxy и пусть в этой системе координат заданы прямые L 1 и L 2:
Откроем скобки и сделаем преобразования:
Аналогичным методом получим общее уравнение прямой (7):
Из уравнений (12) следует:
Как найти точку пересечения прямых, заданных в каноническом виде описано выше.
4. Точка пересечения прямых, заданных в разных видах.
Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxy и пусть в этой системе координат заданы прямые L 1 и L 2:
Найдем t :
| A 1 x 2 +A 1 m t +B 1 y 2 +B 1 p t +C 1 =0, |
Решим систему линейных уравнений отностительно x, y . Для этого воспользуемся методом Гаусса . Получим:
Пример 2. Найти точку пересечения прямых L 1 и L 2:
| L 1: 2x +3y +4=0, | (20) |
 | (21) |
Для нахождения точки пересечения прямых L 1 и L 2 нужно решить систему линейных уравнений (20) и (21). Представим уравнения в матричном виде.
Перпендикулярная прямая
Это задача наверное одна из самых популярных и востребованных в школьных учебниках. Задачи, основанные на эту тему многообразны. Это и определение точки пересечения двух прямых, это и определение уравнения прямой, проходящяя через точку на исходной прямой под каким либо углом.
Эту тему мы раскроем, используя в своих вычислениях данные полученные с помощью
Именно там было рассмотрено преобразование общего уравнения прямой, в уравнение с угловым коэффициентом и обратно, и определения остальных парметров прямой по заданным условиям.
Что же нам не хвататет для того, что бы решать те задачи, которым посвящена эта страница?
1. Формулы вычисления одного из углов между двумя пересекающимися прямыми.
Если мы имеем две прямые которые заданы уравнениями:
то один из углов вычисляется так:
2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящяя через заданную точку
Из формулы 1, мы можем увидеть два пограничных состояния
а) когда тогда и следовательно эти две заданные прямые паралельны (или совпадают)
б) когда , тогда , и следовательно эти прямые перпендикулярны, то есть пересекаются под прямым углом.
Какие могут быть исходные данные для решения подобных задач, кроме заданной прямой?
Точка на прямой и угол под которым вторая прямая его пересекает
Второе уравнение прямой
Какие же задачи может позволить решить бот?
1. Заданы две прямые (явным или не явным образом например по двум точкам). Вычислить точку пересечения и углы по которыми они пересекаются.
2. Задана одна прямая, точка на прямой и один угол. Определить уравнение прямой, перескающую заданную под указанным углом
Примеры
Две прямые заданы уравнениями. Найти точку пересечения этих прямых и углы под которым они пересекаются
line_p A=11;B=-5;C=6,k=3/7;b=-5
Получаем следующий результат
Уравнение первой прямой
y = 2.2 x + (1.2)
Уравнение второй прямой
y = 0.4285714285714 x + (-5)
Угол пересечения двух прямых(в градусах)
-42.357454705937
Точка пересечения двух прямых
x = -3.5
y = -6.5
Не забудьте что параметры двух линий разделяются запятой, а параметры каждой линии точкой с запятой.
Прямая проходит через две точки (1:-4) и (5:2) . Найти уравнение прямой, которая проходит через точку (-2:-8) и пересекает исходную прямую под углом 30 градусов.
Одна прямая нам известна, так как известны две точки через которые она проходит.
Осталось определить уравнение второй прямой. Одна точка нам известна, а вместо второй указан угол, под которым первая прямая пересекает вторую.
Вроде все известно, но тут главное не ошибится. Речь идет об угле(30 градусов) не между осью абсцисс и линией, а между первой и второй линией.
Для этого мы постим так. Определим параметры первой линии, и узнаем под каким углом она пересекает ось абсцисс.
line xa=1;xb=5;ya=-4;yb=2
Общее уравнение Ax+By+C = 0
Коэффициент А = -6
Коэффициент B = 4
Коэффициент C = 22
Коэффициент a= 3.6666666666667
Коэффициент b = -5.5
Коэффициент k = 1.5
Угол наклона к оси (в градусах) f = 56.309932474019
Коэффициент p = 3.0508510792386
Коэффициент q = 2.5535900500422
Расстояние между точками=7.211102550928
Видим что первая линия пересекает ось под углом 56.309932474019 градусов.
В искходных данных не сказано как именно пересекает вторая линия, первую. Можно ведь построить две линии удовлетворяющих условиям, первая повернутая на 30 градусов ПО часовой стрелке, а вторая на 30 градусов ПРОТИВ часовой стрелке.
Давайте их и посчитаем
Если вторая линия повернута на 30 градусов ПРОТИВ часовой стрелке, то вторая линия будет иметь градус пересечения с осью абсцисс 30+56.309932474019 = 86 .309932474019 градусов
line_p xa=-2;ya=-8;f=86.309932474019
Параметры прямой линии по заданным параметрам
Общее уравнение Ax+By+C = 0
Коэффициент А = 23.011106998916
Коэффициент B = -1.4840558255286
Коэффициент C = 34.149767393603
Уравнение прямой в отрезках x/a+y/b = 1
Коэффициент a= -1.4840558255286
Коэффициент b = 23.011106998916
Уравнение прямой c угловым коэфициентом y = kx + b
Коэффициент k = 15.505553499458
Угол наклона к оси (в градусах) f = 86.309932474019
Нормальное уравнение прямой x*cos(q)+y*sin(q)-p = 0
Коэффициент p = -1.4809790664999
Коэффициент q = 3.0771888256405
Расстояние между точками=23.058912962428
Расстояние от точки до прямой li =
то есть наше уравнение второй линии есть y=15.505553499458x + 23.011106998916
