Нахождение корней на промежутке. Тригонометрические уравнения

Нахождение корней на промежутке. Тригонометрические уравнения

Тонколистовым считается металл, толщина которого составляет в пределах 3-5 мм. Такой материал сегодня используется достаточно часто и поэтому для специалистов, вопрос выполнения сварочных работ остаётся как нельзя более актуальным. Но в то же время есть и определённые сложности, которые имеют место при выполнении подобных операций.

Основная проблема –это высокая вероятность того, что при неосторожном движении сварка тонкого металла электродомзакончится прожогом металла с образованием на детали сквозного отверстия. В то же время при противоположном подходе к выполнению подобных работ проблемой может стать некачественный сварной шов – «непровар».

Ещё одной технологической проблемой сварки тонких листов металла становится использование в ходе работ исключительно малых токов. При этом даже в случае незначительного увеличения расстояния от электрода до поверхности детали произойдёт обрыв дуги. Именно поэтому из всего вышесказанного можно сделать вывод о том, что сварка тонколистовых деталей требует достаточно большого практического опыта и знания тонкостей процесса.

Сварка тонколистового металла: основные требования

При выполнении сварки тонкого металла электродомважно правильно выбрать его толщину в зависимости от толщины металлической детали, которая будет подвержена обработке. Как правило, принимаются равные размеры (для листа толщиной 3 мм берётся электрод 3-4 мм).

Существует строгая зависимость между величиной задействованного тока и толщиной металла. Деталь с толщиной 3 мм требует использования 140-180 А сварного тока при электроде диаметром 3-4 мм. Если же берётся более тонкий электрод, необходимо снизить величину тока до 10-90 А.

Сварка тонких листов металлатребует использования электродов, которые имеют покрытие, обеспечивающее стабильное устойчивое горение и лёгкое возбуждение электрической дуги. Также важно, чтобы электрод плавился достаточно медленно для того, чтобы в результате давать необходимый для сварки жидкотекучий металл .

Виды тонколистовой сварки

Дуговая сварка

В ходе технологического процесса для соединения отдельных металлических деталей используется электрическая дуга. Этот вид сварки в свою очередь принято делить на плазменную, электроннолучевую, электрошлаковую и термитную.

Вне зависимости от используемого при сварке метода суть процесса заключается в том, что под действием высокой температуры образуется жидкий металл, который оплавляет кромки элементов конструкции, заполняя собой расстояние между ними. В результате образуется сварной шов.

В ходе этого процесса активно используется воздействие на металл давления. Сварка по этой технологии может быть выполнена с использованием стыкового или точечного метода. Зажимаются обе заготовки при помощи электродов, которые под действием высокой температуры расплавляются, соединяя под давлением детали.

Ультразвуковая сварка

Сварка тонколистового металлапроисходит путём размещения изделия между специальной опорой и рабочим наконечником сварочной установки. На детали оказывается вертикальное сжимающее усилие и колебания ультразвуковых волн, в результате чего возникают силы трения, за счёт которых и создаётся сварное соединение.

Сварка инвертором (полуавтоматом) тонкого металла

Одним из эффективных инструментов для сварки тонколистового металла тал сварочный полуавтомат. Он обеспечивает высококачественное соединение подобных материалов, так как способен отлично работать на малых токах. При этом должны учитываться качество свариваемого металла, марка электродов, стабильность рабочих характеристик самого аппарата на малых токах.

Лазерная сварка

Операция выполняется при помощи светового луча, который получен от газового или твердотельного излучателя. Потребности в использовании вакуума в данном случае нет, сварка выполняется в воздухе (при этом расстояние от детали до излучателя может быть значительным).

Способы выполнения сварки тонких листов металла

Шов выполняется непрерывно. Ключевыми факторами, которые влияют на успешность выполнения операции, являются правильно выбранный ток (порядка 40-60 А) и скорость ведения электрода вдоль линии соединения.

Прерывистая сваркатонколистового металла (сварка точками). Этот способ наиболее популярен у сварщиков при работе с изделиями из подобного материала. Каждая операция представляет собой короткое точечное касание электрода к металлу (как вариант возможно проведение коротких линий вдоль будущего шва). В данном случае стоит учитывать, что значение сварного тока будет несколько выше в сравнении с непрерывной сваркой.

Стоит заметить, что именно этот способ выполнения сварочного соединения металла малой толщины считается самым экономичным: при этом обеспечивается высококачественный шов и минимум деформации металла.

Изобретение сварочного аппарата значительно упростило процесс соединения металлических предметов. При работах с тонкими заготовками, новички могут испытывать определенные трудности.

Сварка тонкого металла электродом должна выполняться с применением сварочных аппаратов, которые
позволяют осуществить данную операцию без деформации и прогорания тонкого листа.

Чтобы не произошло прогорания металла, сварка должна осуществляться как можно быстрее. Электрод проводится один раз вдоль шва, без задержек. Чтобы без проблем сварить тонкий металлический лист, необходимо, насколько это возможно, снизить рабочий ток.

Инверторный аппарат, который используется для этой цели, должен иметь плавную регулировку выходной мощности. Чтобы не возникло проблем с запалом дуги, применяются устройства, которые имеют напряжение холостого хода не менее 70 В.

При выполнении работ следует обращать внимание на геометрию тонкого листа, которая может изменяться во время сильного нагрева. Для надежного соединения встык, необходимо зачистить кромки материала от . Следует, также выровнять заготовки, если в этом есть необходимость и закрепить. Только чистый и ровный металлический лист, позволит получить требуемое качество свариваемых поверхностей.

Когда подготовительные работы будут окончены, свариваемые изделия прихватывают через каждые 7 — 10 см, и только затем уже производят окончательное соединение материала.

Если нужно сделать соединение двух тонких листов внахлёст, то такой вариант сварки, позволяет использовать больший ток, при этом значительно снижаются негативные проявления высокой температуры на свариваемые поверхности. Вероятность прожога материала снижается в несколько раз, а изменение геометрии практически не наблюдается.

Чтобы минимизировать влияние высокой температуры, на соединяемый встык или внахлёст металл, под него следует подложить листовую медь. Этот материал отлично отводит излишки тепла от свариваемой поверхности, тем самым предотвращая появления коробления и других негативных проявлений температурного расширения свариваемых поверхностей. Иногда, с этой же целью используется проволока, которая укладывается в месте стыка двух металлов.

Работа инвертором

Сварка тонкого металла инвертором, позволяет выполнить эту операцию с применением обратной полярности. В этом случае " — " подключается к свариваемому металлу, а «+» к держателю электродов.

Такая техника сварки электродом позволяет минимизировать вероятность деформации и прогорания металлического изделия. При обратной полярности электрод нагревается значительно сильнее, чем соединяемый металл, поэтому удаётся выполнить работу по соединению, максимально эффективно.

Для получения качественного шва, необходимо использовать тонкие электроды диаметром не более 2 мм. Следует использовать изделия, которые обладают высоким коэффициентом расплавления. Это качество позволяет осуществлять сварку тонких конструкций при малом токе, что положительно отразится на качестве сварного шва.

Сварка тонких листов инвертором должна осуществлять плавным движением электрода. Чтобы не прожечь изделие и чтобы шов получился ровным необходимо располагать электрод в пределах 45 — 90 градусов к свариваемой поверхности. Соединение лучше выполнять углом вперед.

От качества используемых электродов зависит уровень соединения. для сварки тонкого металла инвертором должны быть хорошего качества и, желательно, импортного производства.

Видео: показываются простые приемы в нахлест и стык.

Достоинства сварки тонких заготовок инвертором

Этот способ позволяет выполнить качественное соединение тонкого металла. Если сварочные работы осуществляются профессионалом, то не происходит температурной деформации и изделие будет иметь эстетичный внешний вид. Постоянным током варить тонкие изделия можно меньшим током, поэтому вероятность прогорания, значительно сокращается.

Микропроцессорное управление такого устройства позволяет устранить «ямы» и сбои напряжения, генерируя на выходе идеальный ток, который подходит для проведения сварочных работ.

Единственным недостатком использования инвертора, является нестабильная работа при низкой температуре воздуха. Даже качественные приборы при минусовой температуре дают сбой.

Особенности сварки тонкой оцинковки

Если необходимо сварить оцинкованную сталь, то потребуется полностью очистить от слоя цинка кромки соединяемого металла. Слой цинка можно удалить с помощью шлифовальной машинки или вручную.

Можно выжечь кромки металла с помощью сварки, но в этом случае необходимо соблюдать осторожность. Пары цинка очень ядовиты и при их вдыхании способны вызвать сильное отравление организма. Работы необходимо выполнять только при правильно организованной вытяжке, или варить изделие на улице.

Заключение

Мы разобрали, как варить тонкий металл . Главное правильно подготовить заготовки, сделать отвод излишков температуры, подобрать электроды, выставить ток и можно приступать к работе.

Во время соединения, необходимо тщательно следить за качеством шва, вовремя отрывать на мгновение электрод, чтобы не произошло прожога, пользоваться теплоотводящими пластинами или проволокой. Только практика поможет в освоение процесса.

Сегодня настало время, когда сварка тонкого металла стала очень важным моментом в жизни каждого человека. Все современные машины, бытовая техника и многое другое изготавливаются с применением тонкого металла. Причем не последнее место в этом вопросе занимает экономия. Использовать толстый металл просто не рентабельно.

Следовательно, для того чтобы сваривать тонкий металл, нужны специалисты и мастера. Варить тонкий металл очень непросто, это весьма сложный процесс, так как любая ошибка влечет за собой прожиг металла и, как результат, испорченную деталь.

Тонкий металл можно сваривать самыми разными способами:

  • ручная электродуговая;
  • непрерывистая;
  • прерывистая;
  • полуавтоматическая;
  • газовая.

Сварка тонкого металла: каковы сложности работы

Главной проблемой работы с особо тонким металлом является тончайшая грань, связанная с прожогом металла, с возникновением прилипания электрода.

Иногда он не прилипает, но появляется другой дефект, так называемый непровар.

Когда регулировка сварочного тока выполнена неверно, например, завышено его значение или электрод задерживается в одном месте, металл прожигается насквозь.

При низком значении тока образуется непровар, сваривания деталей не происходит, они отваливаются, может иметь место прилипание.

Если величина тока недостаточна, увеличение расстояния между свариваемыми деталями и электродом ведет к обрыву дуги.

Вернуться к оглавлению

Режимы сварки и электроды

Чтобы варить тонкий металл, нужны электроды небольшого диаметра. Обычно он не превышает 4 мм. При этом значение тока должно находиться в пределах 140-180 ампер. Данные размеры применяются при , толщина которого 3 мм. Чтобы варить металл намного тоньше, применяют электроды в диапазоне 0,5-2,5 мм. Величина тока находится в пределах 10-90 ампер.

Чтобы проводить сварочные операции, при подаче малого тока требуется использовать электроды, имеющие специальное покрытие. С его помощью происходит быстрое возбуждение и нормальное горение дуги. Такие электроды расплавляются очень медленно, они получают жидкотекучий металл, из-за которого шов получает красивый вид.

Всем вышеописанным требованиям полностью соответствует «ОМА-2». В его состав входит:

  • титановый концентрат;
  • ферромарганцевая руда;
  • мука;
  • специальные добавки.

Все эти вещества обеспечивают стабильность горения дуги. Это просто необходимо, когда варится тонкий материал.

Тип электрода «ОМА-2» считается лучшим для работы с тонким материалом. Он может создать устойчивую дугу, используемую при сваривании деталей из углеродистой стали.

Вернуться к оглавлению

Технологический процесс

Варить тонкий металл обыкновенной ручной электродуговой сваркой достаточно сложно. Чтобы исключить беспрерывные прожоги на всей длине свариваемых торцов пользуются определенной технологией:

  • подбираются электроды маленького диаметра;
  • устанавливается самый маленький сварочный ток;
  • чтобы сварочная дуга имела устойчивое горение, применяют токи высокой частотности. С этой целью подключается осциллятор.

Заранее подбирается соединение, при котором полностью исключаются прожоги.
При толщине металлического листа тоньше 2 мм наилучшим будет электрод, диаметр которого не превышает 1,6 мм. Он обязательно должен иметь соответствующее покрытие. Значение сварочного тока регулируют так, чтобы его хватило для плавки электрода. Обычно оно колеблется в диапазоне 50-70 ампер. Применяя осциллятор, получают нормальное горение дуги. Прибор помогает быстро получить дугу, он исключает возникновение прожигов.

Вернуться к оглавлению

Инвертор и работа с тонким металлом

После появления сварочных инверторов сварочная операция стала доступна практически любому человеку. Ранее пользовались аппаратами, которыми было очень сложно работать, они имели большой вес и сложную настройку. Сварка инвертором очень проста, она не вызывает никаких сложностей и доступна новичку. Необходимо просто знать несколько основных правил.

Когда выполняется сварка инвертором, происходит поиск баланса, при котором не должен возникать прожиг и не должно иметь место прилипание электрода. Иными словами, эффективность сварки напрямую зависит от:

  • зазора между поверхностью металла и электродом;
  • силы тока;
  • скорости передвижения электрода;
  • плавности хода.

Все эти факторы являются самыми сложными для тех, кто впервые начал заниматься сварочным делом. В этом случае очень важно иметь хороший глазомер, специфические навыки. Чем больше варишь, тем лучше получается. Только навыки, полученные в процессе работы, помогут достигнуть успеха и получить хороший результат.

Малоопытному сварщику сложно быстро установить нужную силу тока на инверторе, чтобы исключить прожиг металла и получить надежное соединение.

Варить инвертором тонкий металл — далеко не простое дело. Это сложно даже опытному мастеру. Поэтому в большинстве случаев применяется аргонно-дуговая . Она позволяет свести к минимуму появление прожига, шов получается гладким и имеет красивый внешний вид.

Однако не всегда импульсная сварка возможна, приходится варить инвертором. Чтобы получить хороший результат, можно воспользоваться рекомендациями опытных сварщиков.

Чтобы успешно решать тригонометрические уравнения удобно пользоваться методом сведения к ранее решенным задачам. Давайте разберемся, в чем суть этого метода?

В любой предлагаемой задаче вам необходимо увидеть уже решенную ранее задачу, а затем с помощью последовательных равносильных преобразований попытаться свести данную вам задачу к более простой.

Так, при решении тригонометрических уравнений обычно составляют некоторую конечную последовательность равносильных уравнений, последним звеном которой является уравнение с очевидным решением. Только важно помнить, что если навыки решения простейших тригонометрических уравнений не сформированы, то решение более сложных уравнений будет затруднено и малоэффективно.

Кроме того, решая тригонометрические уравнения, никогда не стоит забывать о возможности существования нескольких способов решения.

Пример 1. Найти количество корней уравнения cos x = -1/2 на промежутке .

Решение:

I способ. Изобразим графики функций y = cos x и y = -1/2 и найдем количество их общих точек на промежутке (рис. 1).

Так как графики функций имеют две общие точки на промежутке , то уравнение содержит два корня на данном промежутке.

II способ. С помощью тригонометрического круга (рис. 2) выясним количество точек, принадлежащих промежутку , в которых cos x = -1/2. По рисунку видно, что уравнение имеет два корня.

III способ. Воспользовавшись формулой корней тригонометрического уравнения, решим уравнение cos x = -1/2.

x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k – целое число (k € Z);

x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k – целое число (k € Z);

x = ± (π – π/3) + 2πk, k – целое число (k € Z);

x = ± 2π/3 + 2πk, k – целое число (k € Z).

Промежутку принадлежат корни 2π/3 и -2π/3 + 2π, k – целое число. Таким образом, уравнение имеет два корня на заданном промежутке.

Ответ: 2 .

В дальнейшем тригонометрические уравнения будут решаться одним из предложенных способов, что во многих случаях не исключает применения и остальных способов.

Пример 2. Найти количество решений уравнения tg (x + π/4) = 1 на промежутке [-2π; 2π].

Решение:

Воспользовавшись формулой корней тригонометрического уравнения, получим:

x + π/4 = arctg 1 + πk, k – целое число (k € Z);

x + π/4 = π/4 + πk, k – целое число (k € Z);

x = πk, k – целое число (k € Z);

Промежутку [-2π; 2π] принадлежат числа -2π; -π; 0; π; 2π. Итак, уравнение имеет пять корней на заданном промежутке.

Ответ: 5.

Пример 3. Найти количество корней уравнения cos 2 x + sin x · cos x = 1 на промежутке [-π; π].

Решение:

Так как 1 = sin 2 x + cos 2 x (основное тригонометрическое тождество), то исходное уравнение принимает вид:

cos 2 x + sin x · cos x = sin 2 x + cos 2 x;

sin 2 x – sin x · cos x = 0;

sin x(sin x – cos x) = 0. Произведение равно нулю, а значит хотя бы один из множителей должен быть равен нулю, поэтому:

sin x = 0 или sin x – cos x = 0.

Так как значение переменной, при которых cos x = 0, не являются корнями второго уравнения (синус и косинус одного и того же числа не могут одновременно быть равными нулю), то разделим обе части второго уравнения на cos x:

sin x = 0 или sin x / cos x - 1 = 0.

Во втором уравнении воспользуемся тем, что tg x = sin x / cos x, тогда:

sin x = 0 или tg x = 1. С помощью формул имеем:

x = πk или x = π/4 + πk, k – целое число (k € Z).

Из первой серии корней промежутку [-π; π] принадлежат числа -π; 0; π. Из второй серии: (π/4 – π) и π/4.

Таким образом, пять корней исходного уравнения принадлежат промежутку [-π; π].

Ответ: 5.

Пример 4. Найти сумму корней уравнения tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 на промежутке [-π; 1,1π].

Решение:

Перепишем уравнение в следующем виде:

tg 2 x + сtg 2 x + 3(tg x + сtgx) + 4 = 0 и сделаем замену.

Пусть tg x + сtgx = a. Обе части равенства возведем в квадрат:

(tg x + сtg x) 2 = a 2 . Раскроем скобки:

tg 2 x + 2tg x · сtgx + сtg 2 x = a 2 .

Так как tg x · сtgx = 1, то tg 2 x + 2 + сtg 2 x = a 2 , а значит

tg 2 x + сtg 2 x = a 2 – 2.

Теперь исходное уравнение имеет вид:

a 2 – 2 + 3a + 4 = 0;

a 2 + 3a + 2 = 0. С помощью теоремы Виета получаем, что a = -1 или a = -2.

Сделаем обратную замену, имеем:

tg x + сtgx = -1 или tg x + сtgx = -2. Решим полученные уравнения.

tg x + 1/tgx = -1 или tg x + 1/tgx = -2.

По свойству двух взаимно обратных чисел определяем, что первое уравнение не имеет корней, а из второго уравнения имеем:

tg x = -1, т.е. x = -π/4 + πk, k – целое число (k € Z).

Промежутку [-π; 1,1π] принадлежат корни: -π/4; -π/4 + π. Их сумма:

-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.

Ответ: π/2.

Пример 5. Найти среднее арифметическое корней уравнения sin 3x + sin x = sin 2x на промежутке [-π; 0,5π].

Решение:

Воспользуемся формулой sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) · cos ((α – β)/2), тогда

sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) · cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x · cos x и уравнение принимает вид

2sin 2x · cos x = sin 2x;

2sin 2x · cos x – sin 2x = 0. Вынесем общий множитель sin 2x за скобки

sin 2x(2cos x – 1) = 0. Решим полученное уравнение:

sin 2x = 0 или 2cos x – 1 = 0;

sin 2x = 0 или cos x = 1/2;

2x = πk или x = ±π/3 + 2πk, k – целое число (k € Z).

Таким образом, имеем корни

x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k – целое число (k € Z).

Промежутку [-π; 0,5π] принадлежат корни -π; -π/2; 0; π/2 (из первой серии корней); π/3 (из второй серии); -π/3 (из третьей серии). Их среднее арифметическое равно:

(-π – π/2 + 0 + π/2 + π/3 – π/3)/6 = -π/6.

Ответ: -π/6.

Пример 6. Найти количество корней уравнения sin x + cos x = 0 на промежутке [-1,25π; 2π].

Решение:

Данное уравнение является однородным уравнением первой степени. Разделим обе его части на cosx (значение переменной, при которых cos x = 0, не являются корнями данного уравнения, так как синус и косинус одного и того же числа не могут одновременно быть равными нулю). Исходное уравнение имеет вид:

x = -π/4 + πk, k – целое число (k € Z).

Промежутку [-1,25π; 2π] принадлежат корни -π/4; (-π/4 + π); и (-π/4 + 2π).

Таким образом, заданному промежутку принадлежат три корня уравнения.

Ответ: 3.

Научитесь делать самое главное – четко представлять план решения задачи, и тогда любое тригонометрическое уравнение будет вам по плечу.

Остались вопросы? Не знаете, как решать тригонометрические уравнения?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.




Самое обсуждаемое
Какие бывают выделения при беременности на ранних сроках? Какие бывают выделения при беременности на ранних сроках?
Сонник и толкование снов Сонник и толкование снов
К чему увидеть кошку во сне? К чему увидеть кошку во сне?


top