Учреждение образования «Белорусская государственная
сельскохозяйственная академия»
Кафедра высшей математики
Методические указания
по изучению темы «Непрерывность функций одной переменной»
студентами бухгалтерского факультета заочной формы получения
образования (НИСПО)
Горки, 2013
Непрерывность функций одной переменной
Односторонние пределы
Пусть
функция
определена на множестве
.
Введём понятие односторонних пределов
функции при
.
Будем рассматривать такие значениях
,
что
. Это означает, что
,
оставаясь всё время слева от
при
то он называетсялевым
пределом
этой функции в точке
(или при
)
и обозначается
.
Пусть
теперь
,
оставаясь всё время справа от
,
т.е. оставаясь больше
.
Если при этом существует предел функции
,
то он называется правым
пределом
этой функции в точке
и обозначается
.
Левый и правый пределы называются односторонними пределами функции в точке.
Если существуют односторонние пределы функции в точке и они равны между собой, то функция имеет тот же предел в этой точке :
.
Если односторонние пределы функции в точке существуют, но не равны между собой, то предел функции в этой точке не существует .
Непрерывность функции в точке
Пусть
функция
определена
на некотором множестве D
.
Пусть независимая переменная х
переходит от одного своего (начального)
значения
к другому (конечному) значению
.
Разность
конечного и начального значений
называется приращением
величины х
и обозначается
.
Приращение может быть как положительным,
так и отрицательным. В первом случае
величинах
при переходе от
кх
увеличивается, а во втором случае -
уменьшается.
Если
независимая переменная х
получает некоторое приращение
,
то функция
получает приращение
.
Так как
,
то.
Приращением
функции
в
точке
называется разность,
где
– приращение независимой переменной.
Можно дать несколько определений непрерывности функции в точке.
Функция
называется непрерывной
в интервале
,
если она непрерывна в каждой точке этого
интервала. Геометрически непрерывность
функции
в замкнутом интервале означает, что
график функции представляет собой
сплошную линию без разрывов.
Непрерывные на отрезке функции обладают важными свойствами, которые выражаются следующими утверждениями.
Если
функция
непрерывна
на отрезке [a
,
b
],
то она ограничена на этом отрезке.
Если
функция
непрерывна
на отрезке [a
,
b
],
то она достигает на этом отрезке своего
наименьшего и наибольшего значений.
Если
функция
непрерывна
на отрезке [a
,
b
]
и
,
то каким бы ни было числоС
,
заключённое между числами А
и В
,
найдётся точка
,
что
.
Из
этого утверждения следует, что если
функция
непрерывна на [a
,
b
]
и на концах этого отрезка принимает
значения разных знаков, то на этом
отрезке существует хотя бы одна точка
c
,
в которой функция обращается в нуль.
Справедливо следующее утверждение: если над непрерывными функциями производить арифметические действия, то в результате получается непрерывная функци я.
Пример 1 .
в
точке
.
Решение
.
Значение функции при
есть
.
Вычислим односторонние пределы функции
в точке
:
Так
как односторонние пределы при
равны между собой и равны значению
функции в этой точке, то данная функция
непрерывна в точке
.
3. Непрерывность элементарных функций
Рассмотрим
функцию
.
Эта постоянная функция непрерывна в
любой точке
,
так как
.
Функция
также непрерывна в каждой точке
,
так как
.
Так как
,
то на основании приведённого утверждения
об арифметических операциях над
непрерывными функциями
будет непрерывной. Непрерывными будут
такжен функции
.
Аналогично можно показать непрерывность остальных элементарных функций.
Таким образом, любая элементарная функция непрерывна в своей области определения, т.е. область определения элементарной функции совпадает с областью её непрерывности.
Непрерывность сложной и обратной функций
Пусть
функция
непрерывна в точке
,
а функция
непрерывна в точке
.
Тогда сложная функция
непрерывна в точке
.
Это означает, что если сложная функция
составлена из непрерывных функций, то
она также будет непрерывной, т.е.непрерывная
функция от непрерывной функции есть
функция непрерывная
.
Это определение распространяется на
конечное число непрерывных функций.
Из этого определения следует, что под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу:
Это означает, что если функция непрерывна, то знак предела и знак функции можно поменять местами.
Пусть
функция
определена, строго монотонна и непрерывна
на отрезке [a
,
b
].
Тогда обратная ей функция
определена, строго монотонна и непрерывна
на отрезке [A
,
B
],
где
.
Точки разрыва и их классификаци я
Как
уже известно, что если функция
определена на множестве D
и в точке
выполняется условие
,
то функция непрерывна в этой точке. Если
же это условие непрерывности не
выполняется, то в точкех
0
функция имеет разрыв.
Точка
называетсяточкой
разрыва первого рода
функции
,
если в этой точке функция имеет конечные
односторонние пределы, не равные друг
другу, т.е.
.
При этом величина
называется
скачком
функции
в точке
.
Точка
называетсяточкой
устранимого разрыва
функции
,
если односторонние пределы функции в
этой точке равны друг другу и не равны
значению функции в этой точке, т.е.
В
этом случае для устранения разрыва в
точке
нужно положить
Точка
х
0
называется точкой
разрыва второго рода
функции
если
хотя бы один из односторонних пределов
или
в этой точке либо не существует, либо
равен бесконечности.
Пример 2 . Исследовать на непрерывность функцию
.
Решение
.
Функция определена и непрерывна на всей
числовой прямой, за исключением точки
.
В этой точке функция имеет разрыв. Найдём
односторонние пределы функции в точке
:
Так
как в точке
односторонние пределы равны между
собой, а функция в этой точке не определена,
то точка
является точкой устранимого разрыва.
Чтобы устранить разрыв в этой точке,
необходимо доопределить функцию, положив
.
Пример 3 . Исследовать на непрерывность функцию
.
Решение
.
Функция определена и непрерывна на всём
множестве действительных чисел, кроме
.
В этой точке функция имеет разрыв. Найдём
односторонние пределы функции при
:
.
Так
как данная функция в точке
имеет конечные односторонние пределы,
не равные друг другу, то эта точка
является точкой разрыва первого рода.
Скачок функции в точке
равен.
Вопросы для самоконтроля знаний
Что называется приращением аргумента и приращением функции?
Что называется левосторонним (левым) пределом функции?
Что называется правосторонним (правым) пределом функции?
Какая функция называется непрерывной в точке, в интервале?
Какая точка называется точкой разрыва функции?
Какая точка называется точкой разрыва первого рода?
Какая точка называется точкой разрыва второго рода?
Какая точка называется точкой устранимого разрыва?
Задания для самостоятельной работы
Исследовать функции на непрерывность:
в
точке
.
Из определения следует, что о непрерывности можно говорить лишь по отношению к тем точкам, в которых f(x) определена (при определении предела функции такого условия не ставилось). Для непрерывных функций
, то есть операции f и lim перестановочны. Соответственно двум определениям предела функции в точке можно дать два определения непрерывности – «на языке последовательностей» и «на языке неравенств» (на языке ε-δ). Предлагается это сделать самостоятельно.
Для практического использования иногда более удобно определение непрерывности на языке приращений.
Величина Δx=x-x 0 называется приращением аргумента, а Δy=f(x)-f(x 0) – приращением функции при переходе из точки x 0 в точку x.
Определение. Пусть f(x) определена в точке x 0 . Функция f(x) называется непрерывной в точке x 0 , если бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции, то есть Δy→0 при Δx→0.
Пример 1.
Доказать, что функция y=sinx непрерывна при любом значении x.
Решение.
Пусть x 0 – произвольная точка. Придавая ей приращение Δx, получим точку x=x 0 +Δx. Тогда 
. Получаем 
.
Определение.
Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x 0 справа (слева), если
.
Функция, непрерывная во внутренней точке, будет одновременно непрерывной справа и слева. Справедливо и обратное утверждение: если функция непрерывна в точке слева и справа, то она будет непрерывной в этой точке. Однако функция может быть непрерывной только с одной стороны. Например, для 
, 
, f(1)=1, следовательно, эта функция непрерывна только слева (график этой функции см. выше в пункте 5.7.2).
Определение.
Функция называется непрерывной на некотором промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
В частности, если промежутком является отрезок , то на его концах подразумевается односторонняя непрерывность.
Свойства непрерывных функций
1. Все элементарные функции непрерывны в своей области определения.2. Если f(x) и φ(x), заданные на некотором промежутке, непрерывны в точке x 0 этого промежутка, то в этой точке будут также непрерывны функции .
3. Если y=f(x) непрерывна в точке x 0 из X, а z=φ(y) непрерывна в соответствующей точке y 0 =f(x 0) из Y, то и сложная функция z=φ(f(x)) будет непрерывной в точке x 0 .
Разрывы функции и их классификация
Признаком непрерывности функции f(x) в точке x 0 служит равенство , которое подразумевает наличие трех условий:1) f(x) определена в точке x 0 ;
2)
;
3) .
Если хотя бы одно из этих требований нарушено, то x 0 называют точкой разрыва функции. Другими словами, точкой разрыва называется точка, в которой эта функция не является непрерывной. Из определения точек разрыва следует, что точками разрыва функции являются:
а) точки, принадлежащие области определения функции, в которых f(x) теряет свойство непрерывности,
б) точки, не принадлежащие области определения f(x), которые являются смежными точками двух промежутков области определения функции.
Например, для функции точка x=0 есть точка разрыва, так как функция в этой точке не определена, а функция
имеет разрыв в точке x=1, являющейся смежной для двух промежутков (-∞,1) и (1,∞) области определения f(x) и не существует.
Для точек разрыва принята следующая классификация.
1) Если в точке x 0 имеются конечные 
и 
, но f(x 0 +0)≠f(x 0 -0), то x 0 называется точкой разрыва первого рода
, при этом называют скачком функции
.
Пример 2.
Рассмотрим функцию 
Разрыв функции возможен только в точке x=2 (в остальных точках она непрерывна как всякий многочлен).
Найдем 
, 
. Так как односторонние пределы конечны, но не равны друг другу, то в точке x=2 функция имеет разрыв первого рода. Заметим, что 
, следовательно функция в этой точке непрерывна справа (рис. 2).
2) Точками разрыва второго рода
называются точки, в которых хотя бы один из односторонних пределов равен ∞ или не существует.
Пример 3.
Функция y=2 1/ x непрерывна для всех значений x, кроме x=0. Найдем односторонние пределы: 
, 
, следовательно x=0 – точка разрыва второго рода (рис. 3).
3) Точка x=x 0 называется точкой устранимого разрыва
, если f(x 0 +0)=f(x 0 -0)≠f(x 0).
Разрыв «устраним» в том смысле, что достаточно изменить (доопределить или переопределить) значение функции в этой точке, положив , и функция станет непрерывной в точке x 0 .
Пример 4.
Известно, что 
, причем этот предел не зависит от способа стремления x к нулю. Но функция в точке x=0 не определена. Если доопределим функцию, положив f(0)=1, то она окажется непрерывной в этой точке (в остальных точках она непрерывна как частное непрерывных функций sinx и x).
Пример 5.
Исследовать на непрерывность функцию 
.
Решение.
Функции y=x 3 и y=2x определены и непрерывны всюду, в том числе и в указанных промежутках. Исследуем точку стыка промежутков x=0:
, 
, . Получаем, что , откуда следует, что в точке x=0 функция непрерывна.
Определение.
Функция, непрерывная на промежутке за исключением конечного числа точек разрыва первого рода или устранимого разрыва, называется кусочно-непрерывной на этом промежутке.
Примеры разрывных функций
Пример 1.
Функция определена и непрерывна на (-∞,+∞) за исключением точки x=2. Определим тип разрыва. Поскольку 
и 
, то в точке x=2 разрыв второго рода (рис. 6).
Пример 2.
Функция определена и непрерывна при всех x, кроме x=0, где знаменатель равен нулю. Найдем односторонние пределы в точке x=0:
Односторонние пределы конечны и различны, следовательно, x=0 – точка разрыва первого рода (рис. 7).
Пример 3.
Установить, в каких точках и какого рода разрывы имеет функция 
Эта функция определена на [-2,2]. Так как x 2 и 1/x непрерывны соответственно в промежутках [-2,0] и , то разрыв может быть только на стыке промежутков, то есть в точке x=0. Поскольку , то x=0 является точкой разрыва второго рода.
Пример 4.
Можно ли устранить разрывы функций:
а) 
в точке x=2;
б) 
в точке x=2;
в) 
в точке x=1?
Решение.
О примере а) сразу можно сказать, что разрыв f(x) в точке x=2 устранить невозможно, так как в этой точке бесконечные односторонние пределы (см. пример 1).
б) Функция g(x) хотя имеет конечные односторонние пределы в точке x=2
(
,
),
но они не совпадают, поэтому разрыв также устранить нельзя.
в) Функция φ(x) в точке разрыва x=1 имеет равные односторонние конечные пределы: . Следовательно, разрыв может быть устранен переопределением функции в точке x=1, если положить f(1)=1 вместо f(1)=2.
Пример 5. Показать, что функция Дирихле
разрывна в каждой точке числовой оси.
Решение. Пусть x 0 – любая точка из (-∞,+∞). В любой ее окрестности найдутся как рациональные, так и иррациональные точки. Значит, в любой окрестности x 0 функция будет иметь значения, равные 0 и 1. В таком случае не может существовать предела функции в точке x 0 ни слева, ни справа, значит функция Дирихле в каждой точке числовой оси имеет разрывы второго рода.
Пример 6. Найти точки разрыва функции
и определить их тип.
Решение. Точками, подозрительными на разрыв, являются точки x 1 =2, x 2 =5, x 3 =3.
В точке x 1 =2 f(x) имеет разрыв второго рода, так как
.
Точка x 2 =5 является точкой непрерывности, так как значение функции в этой точке и в ее окрестности определяется второй строкой, а не первой: .
Исследуем точку x 3 =3: ,
, откуда следует, что x=3 – точка разрыва первого рода.
Для самостоятельного решения.
Исследовать функции на непрерывность и определить тип точек разрыва:
1) 
; Ответ: x=-1 – точка устранимого разрыва;
2) 
; Ответ: Разрыв второго рода в точке x=8;
3) 
; Ответ: Разрыв первого рода при x=1;
4) 
Ответ: В точке x 1 =-5 устранимый разрыв, в x 2 =1 – разрыв второго рода и в точке x 3 =0 - разрыв первого рода.
5) Как следует выбрать число A, чтобы функция
была бы непрерывной в точке x=0?
Ответ: A=2.
6) Можно ли подобрать число A так, чтобы функция
была бы непрерывной в точке x=2?
Ответ: нет.
Определение точек разрыва функции и их видов является продолжением темы непрерывности функции . Наглядное (графическое) объяснение смысла точек разрыва функции даётся так же в контрасте с понятием непрерывности. Научимся находить точки разрыва функции и определять их виды. И помогут нам в этом наши верные друзья - левый и правый пределы, обобщённо называемые односторонними пределами. Если у кого-то есть страх перед односторонними пределами, то скоро развеем его.
Точки на графике, которые не соединены между собой, называются точками разрыва функции . График такой функции, терпящей разрыв в точке x=2 - - на рисунке ниже.
Обобщением вышесказанного является следующее определение. Если функция не является непрерывной в точке , то она имеет в этой точке разрыв а сама точка называется точкой разрыва . Разрывы бывают первого рода и второго рода .
Для того, чтобы определять виды (характер) точек разрыва функции нужно уверенно находить пределы , поэтому нелишне открыть в новом окне соответствующий урок. Но в связи с точками разрыва у нас появляется кое-что новое и важное - односторонние (левый и правый) пределы. Обобщённо они записываются (правый предел) и (левый предел). Как и в случае с пределом вообще, для того, чтобы найти предел функции, нужно в выражение функции вместо икса подставить то, к чему стремится икс. Но, возможно, спросите вы, чем же будут отличаться правый и левый пределы, если в случае правого к иксу хотя что-то и прибавляется, но это что-то - ноль, а в случае левого из икса что-то вычитается, но это что-то - тоже ноль? И будете правы. В большинстве случаев.
Но в практике поиска точек разрыва функции и определения их вида существует два типичных случая, когда правый и левый пределы не равны:
- у функции существует два или более выражений, зависящих от участка числовой прямой, к которой принадлежит икс (эти выражения обычно записываются в фигурных скобках после f (x )= );
- в результате подстановки того, к чему стремится икс, получается дробь, в знаменателе которой остаётся или плюс ноль (+0) или минус ноль (-0) и поэтому такая дробь означает либо плюс бесконечность, либо минус бесконечность, а это совсем разные вещи.
Точки разрыва первого рода
Точка разрыва первого рода: у функции существуют как конечный (т. е. не равный бесконечности) левый предел, так и конечный правый предел, но функция не определена в точке или левый и правый пределы различны (не равны).
Точка устранимого разрыва первого рода. Левый и правый пределы равны. При этом существует возможность доопределить функцию в точке. Доопределить функцию в точке, говоря просто, значит обеспечить соединение точек, между которыми находится точка, в которой найдены равные друг другу левый и правый пределы. При этом соединение должно представлять собой лишь одну точку, в которой должно быть найдено значение функции.
Пример 1. Определить точку разрыва функции и вид (характер) точки разрыва.
Точки разрыва второго рода
Точка разрыва второго рода: точка, в которой хотя бы один из пределов (левый или правый) - бесконечный (равен бесконечности).
Пример 3.
Решение. Из выражения степени при e видно, что в точке функция не определена. Найдём левый и правый пределы функции в этой точке:
Один из пределов равен бесконечности, поэтому точка - точка разрыва второго рода. График функции с точкой разрыва - под примером.
Нахождение точек разрыва функции может быть как самостоятельной задачей, так и частью Полного исследования функции и построения графика .
Пример 4. Определить точку разрыва функции и вид (характер) точки разрыва для функции
Решение. Из выражения степени при 2 видно, что в точке функция не определена. Найдём левый и правый пределы функции в этой точке.
На этой странице мы постарались собрать для вас наиболее полную информацию об исследовании функции. Больше не надо гуглить! Просто читайте, изучайте, скачивайте, переходите по отобранным ссылкам.
Общая схема исследования
Для чего нужно это исследование, спросите вы, если есть множество сервисов, которые построят для самых замудренных функций? Для того, чтобы узнать свойства и особенности данной функции: как ведет себя на бесконечности, насколько быстро меняет знак, как плавно или резко возрастает или убывает, куда направлены "горбы" выпуклости, где не определены значения и т.п.
А уже на основании этих "особенностей" и строится макет графика - картинка, которая на самом-то деле вторична (хотя в учебных целях важна и подтверждает правильность вашего решения).
Начнем, конечно же, с плана . Исследование функции - объемная задача (пожалуй, самая объемная из традиционного курса высшей математики, обычно от 2 до 4 страниц с учетом чертежа), поэтому, чтобы не забыть, что в каком порядке делать, следуем пунктам, описанным ниже.
Алгоритм
- Найти область определения. Выделить особые точки (точки разрыва).
- Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.
- Найти точки пересечения с осями координат.
- Установить, является ли функция чётной или нечётной.
- Определить, является ли функция периодической или нет (только для тригонометрических функций).
- Найти точки экстремума и интервалы монотонности.
- Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.
- Найти наклонные асимптоты. Исследовать поведение на бесконечности.
- Выбрать дополнительные точки и вычислить их координаты.
- Построить график и асимптоты.
В разных источниках (учебниках, методичках, лекциях вашего преподавателя) список может иметь отличный от данного вид: некоторые пункты меняются местами, объединяются с другими, сокращаются или убираются. Учитывайте требования/предпочтения вашего учителя при оформлении решения.
Схема исследования в формате pdf: скачать .
Полный пример решения онлайн
Провести полное исследование и построить график функции $$ y(x)=\frac{x^2+8}{1-x}. $$
1) Область определения функции. Так как функция представляет собой дробь, нужно найти нули знаменателя. $$1-x=0, \quad \Rightarrow \quad x=1.$$ Исключаем единственную точку $x=1$ из области определения функции и получаем: $$ D(y)=(-\infty; 1) \cup (1;+\infty). $$
2) Исследуем поведение функции в окрестности точки разрыва. Найдем односторонние пределы:
Так как пределы равны бесконечности, точка $x=1$ является разрывом второго рода, прямая $x=1$ - вертикальная асимптота.
3) Определим точки пересечения графика функции с осями координат.
Найдем точки пересечения с осью ординат $Oy$, для чего приравниваем $x=0$:
Таким образом, точка пересечения с осью $Oy$ имеет координаты $(0;8)$.
Найдем точки пересечения с осью абсцисс $Ox$, для чего положим $y=0$:
Уравнение не имеет корней, поэтому точек пересечения с осью $Ox$ нет.
Заметим, что $x^2+8>0$ для любых $x$. Поэтому при $x \in (-\infty; 1)$ функция $y>0$ (принимает положительные значения, график находится выше оси абсцисс), при $x \in (1; +\infty)$ функция $y\lt 0$ (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).
4) Функция не является ни четной, ни нечетной, так как:
5) Исследуем функцию на периодичность. Функция не является периодической, так как представляет собой дробно-рациональную функцию.
6) Исследуем функцию на экстремумы и монотонность. Для этого найдем первую производную функции:
Приравняем первую производную к нулю и найдем стационарные точки (в которых $y"=0$):
Получили три критические точки: $x=-2, x=1, x=4$. Разобьем всю область определения функции на интервалы данными точками и определим знаки производной в каждом промежутке:
При $x \in (-\infty; -2), (4;+\infty)$ производная $y" \lt 0$, поэтому функция убывает на данных промежутках.
При $x \in (-2; 1), (1;4)$ производная $y" >0$, функция возрастает на данных промежутках.
При этом $x=-2$ - точка локального минимума (функция убывает, а потом возрастает), $x=4$ - точка локального максимума (функция возрастает, а потом убывает).
Найдем значения функции в этих точках:
Таким образом, точка минимума $(-2;4)$, точка максимума $(4;-8)$.
7) Исследуем функцию на перегибы и выпуклость. Найдем вторую производную функции:
Приравняем вторую производную к нулю:
Полученное уравнение не имеет корней, поэтому точек перегиба нет. При этом, когда $x \in (-\infty; 1)$ выполняется $y"" \gt 0$, то есть функция вогнутая, когда $x \in (1;+\infty)$ выполняется $y"" \lt 0$, то есть функция выпуклая.
8) Исследуем поведение функции на бесконечности, то есть при .
Так как пределы бесконечны, горизонтальных асимптот нет.
Попробуем определить наклонные асимптоты вида $y=kx+b$. Вычисляем значения $k, b$ по известным формулам:
Получили, у что функции есть одна наклонная асимптота $y=-x-1$.
9) Дополнительные точки. Вычислим значение функции в некоторых других точках, чтобы точнее построить график.
$$ y(-5)=5.5; \quad y(2)=-12; \quad y(7)=-9.5. $$
10) По полученным данным построим график, дополним его асимптотами $x=1$ (синий), $y=-x-1$ (зеленый) и отметим характерные точки (фиолетовым пересечение с осью ординат, оранжевым экстремумы, черным дополнительные точки):
Примеры решений по исследованию функции
Разные функции (многочлены, логарифмы, дроби) имеют свои особенности при исследовании (разрывы, асимптоты, количество экстремумов, ограниченная область определения), поэтому здесь мы пострались собрать примеры из контрольных на исследование функций наиболее часто встречающихся типов. Удачи в изучении!
Задача 1. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить график.
$$y=\frac{e^x}{x}.$$
Задача 2. Исследовать функцию и построить ее график.
$$y=-\frac{1}{4}(x^3-3x^2+4).$$
Задача 3. Исследовать функцию с помощью производной и построить график.
$$y=\ln \frac{x+1}{x+2}.$$
Задача 4. Провести полное исследование функции и построить график.
$$y=\frac{x}{\sqrt{x^2+x}}.$$
Задача 5. Исследовать функцию методом дифференциального исчисления и построить график.
$$y=\frac{x^3-1}{4x^2}.$$
Задача 6. Исследовать функцию на экстремумы, монотонность, выпуклость и построить график.
$$y=\frac{x^3}{x^2-1}.$$
Задача 7. Проведите исследование функции с построением графика.
$$y=\frac{x^3}{2(x+5)^2}.$$
Как построить график онлайн?
Даже если преподаватель требует вас сдавать задание, написанное от руки , с чертежом на листке в клеточку, вам будет крайне полезно во время решения построить график в специальной программе (или сервисе), чтобы проверить ход решения, сравнить его вид с тем, что получается вручную, возможно, найти ошибки в своих расчетах (когда графики явно ведут себя непохоже).
Ниже вы найдете несколько ссылок на сайты, которые позволяют построить удобно, быстро, красиво и, конечно, бесплатно графики практически любых функций. На самом деле таких сервисов гораздо больше, но стоит ли искать, если выбраны лучшие?
Графический калькулятор Desmos
Вторая ссылка практическая, для тех, кто хочет научиться строить красивые графики в Desmos.com (см. выше описание): Полная инструкция по работе с Desmos . Эта инструкция довольно старая, с тех пор интерфейс сайта поменялся в лучшую сторону, но основы остались неизменными и помогут быстро разобраться с важными функциями сервиса.
Официальные инструкции, примеры и видео-инструкции на английском можно найти тут: Learn Desmos .
Решебник
Срочно нужна готовая задача? Более сотни разных функций с полным исследованием уже ждут вас. Подробное решение, быстрая оплата по SMS и низкая цена - около 50 рублей . Может, и ваша задача уже готова? Проверьте!
Полезные видео-ролики
Вебинар по работе с Desmos.com. Это уже полноценный обзор функций сайта, на целых 36 минут. К сожалению, он на английском языке, но базовых знаний языка и внимательности достаточно, чтобы понять большую часть.
Классный старый научно-популярный фильм "Математика. Функции и графики". Объяснения на пальцах в прямом смысле слова самых основ.
