- — [] квадратичная функция Функция вида y= ax2 + bx + c (a ? 0). График К.ф. — парабола, вершина которой имеет координаты [ b/ 2a, (b2 4ac) /4a], при а>0 ветви параболы… …
КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ, математическая ФУНКЦИЯ, значение которой зависит от квадрата независимой переменной, х, и задается, соответственно, квадратичным МНОГОЧЛЕНОМ, например: f(x) = 4х2 + 17 или f(x) = х2 + 3х + 2. см. также КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ … Научно-технический энциклопедический словарь
Квадратичная функция - Квадратичная функция — функция вида y= ax2 + bx + c (a ≠ 0). График К.ф. — парабола, вершина которой имеет координаты [ b/ 2a, (b2 4ac) /4a], при а> 0 ветви параболы направлены вверх, при a< 0 –вниз… …
- (quadratic) Функция, имеющая следующий вид: у=ах2+bх+с, где a≠0 и высшая степень х – квадрат. Квадратное уравнение у=ах2 +bх+с=0 может быть также решено с использованием следующей формулы: х= –b+ √ (b2–4ac) /2а. Эти корни являются действительными … Экономический словарь
Аффинно квадратичной функцией на аффинном пространстве S называется всякая функция Q: S→K, имеющая в векторизованной форме вид Q(x)=q(x)+l(x)+c, где q квадратичная функция, l линейная функция, с константа. Содержание 1 Перенос начала отсчета 2… … Википедия
Аффинно квадратичной функцией на аффинном пространстве называется всякая функция, имеющая в векторизованной форме вид, где симметричная матрица, линейная функция, константа. Содержание … Википедия
Функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора. Содержание 1 Определение 2 Связанные определения … Википедия
- – функция, которая в теории статистических решений характеризует потери при неправильном принятии решений на основе наблюдаемых данных. Если решается задача оценки параметра сигнала на фоне помех, то функция потерь является мерой расхождения… … Википедия
целевая функция - — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] целевая функция В экстремальных задачах — функция, минимум или максимум которой требуется найти. Это… … Справочник технического переводчика
Целевая функция - в экстремальных задачах функция, минимум или максимум которой требуется найти. Это ключевое понятие оптимального программирования. Найдя экстремум Ц.ф. и, следовательно, определив значения управляемых переменных, которые к нему… … Экономико-математический словарь
Книги
- Комплект таблиц. Математика. Графики функций (10 таблиц) , . Учебный альбом из 10 листов. Линейная функция. Графическое и аналитическое задание функций. Квадратичная функция. Преобразование графика квадратичной функции. Функция y=sinx. Функция y=cosx.…
- Важнейшая функция школьной математики - квадратичная - в задачах и решениях , Петров Н.Н.. Квадратичная функция является основной функцией школьного курса математики. Это неудивительно. С одной стороны - простота данной функции, а с другой - глубокий смысл. Многие задачи школьного…
Задания на свойства и графики квадратичной функции вызывают, как показывает практика, серьезные затруднения. Это довольно странно, ибо квадратичную функцию проходят в 8 классе, а потом всю первую четверть 9-го класса "вымучивают" свойства параболы и строят ее графики для различных параметров.
Это связано с тем, что заставляя учащихся строить параболы, практически не уделяют времени на "чтение" графиков, то есть не практикуют осмысление информации, полученной с картинки. Видимо, предполагается, что, построив десятка два графиков, сообразительный школьник сам обнаружит и сформулирует связь коэффициентов в формуле и внешний вид графика. На практике так не получается. Для подобного обобщения необходим серьезный опыт математических мини исследований, которым большинство девятиклассников, конечно, не обладает. А между тем, в ГИА предлагают именно по графику определить знаки коэффициентов.
Не будем требовать от школьников невозможного и просто предложим один из алгоритмов решения подобных задач.
Итак, функция вида y = ax 2 + bx + c называется квадратичной, графиком ее является парабола. Как следует из названия, главным слагаемым является ax 2 . То есть а не должно равняться нулю, остальные коэффициенты (b и с ) нулю равняться могут.
Посмотрим, как влияют на внешний вид параболы знаки ее коэффициентов.
Самая простая зависимость для коэффициента а . Большинство школьников уверенно отвечает: " если а > 0, то ветви параболы направлены вверх, а если а < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой а > 0.
y = 0,5x 2 - 3x + 1
В данном случае а = 0,5
А теперь для а < 0:
y = - 0,5x2 - 3x + 1
В данном случае а = - 0,5
Влияние коэффициента с тоже достаточно легко проследить. Представим, что мы хотим найти значение функции в точке х = 0. Подставим ноль в формулу:
y = a 0 2 + b 0 + c = c . Получается, что у = с . То есть с - это ордината точки пересечения параболы с осью у. Как правило, эту точку легко найти на графике. И определить выше нуля она лежит или ниже. То есть с > 0 или с < 0.
с > 0:
y = x 2 + 4x + 3
с < 0
y = x 2 + 4x - 3
Соответственно, если с = 0, то парабола обязательно будет проходить через начало координат:
y = x 2 + 4x
Сложнее с параметром b . Точка, по которой мы будем его находить, зависит не только от b но и от а . Это вершина параболы. Ее абсцисса (координата по оси х ) находится по формуле х в = - b/(2а) . Таким образом, b = - 2ах в . То есть, действуем следующим образом: на графике находим вершину параболы, определяем знак ее абсциссы, то есть смотрим правее нуля (х в > 0) или левее (х в < 0) она лежит.
Однако это не все. Надо еще обратить внимание на знак коэффициента а . То есть посмотреть, куда направлены ветви параболы. И только после этого по формуле b = - 2ах в определить знак b .
Рассмотрим пример:
Ветви направлены вверх, значит а > 0, парабола пересекает ось у ниже нуля, значит с < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, х в > 0. Значит b = - 2ах в = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: а > 0, b < 0, с < 0.
Во многих задачах требуется вычислить максимальное или минимальное значение квадратичной функции. Максимум или минимум можно найти, если исходная функция записана в стандартном виде: или через координаты вершины параболы: f (x) = a (x − h) 2 + k {\displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k} . Более того, максимум или минимум любой квадратичной функции можно вычислить с помощью математических операций.
Шаги
Квадратичная функция записана в стандартном виде
- Например, дана функция f (x) = 3 x + 2 x − x 2 + 3 x 2 + 4 {\displaystyle f(x)=3x+2x-x^{2}+3x^{2}+4}
. Сложите члены с переменной x 2 {\displaystyle x^{2}}
и члены с переменной x {\displaystyle x}
, чтобы записать уравнение в стандартном виде:
- f (x) = 2 x 2 + 5 x + 4 {\displaystyle f(x)=2x^{2}+5x+4}
-
График квадратичной функции представляет собой параболу. Ветви параболы направлены вверх или вниз. Если коэффициент a {\displaystyle a} при переменной x 2 {\displaystyle x^{2}} a {\displaystyle a}
- f (x) = 2 x 2 + 4 x − 6 {\displaystyle f(x)=2x^{2}+4x-6} . Здесь a = 2 {\displaystyle a=2}
- f (x) = − 3 x 2 + 2 x + 8 {\displaystyle f(x)=-3x^{2}+2x+8} . Здесь , поэтому парабола направлена вниз.
- f (x) = x 2 + 6 {\displaystyle f(x)=x^{2}+6} . Здесь a = 1 {\displaystyle a=1} , поэтому парабола направлена вверх.
- Если парабола направлена вверх, нужно искать ее минимум. Если парабола направлена вниз, ищите ее максимум.
-
Вычислите -b/2a. Значение − b 2 a {\displaystyle -{\frac {b}{2a}}} – это координата x {\displaystyle x} вершины параболы. Если квадратичная функция записывается в стандартном виде a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c} , воспользуйтесь коэффициентами при x {\displaystyle x} и x 2 {\displaystyle x^{2}} следующим образом:
- В функции коэффициенты a = 1 {\displaystyle a=1}
и b = 10 {\displaystyle b=10}
- x = − 10 (2) (1) {\displaystyle x=-{\frac {10}{(2)(1)}}}
- x = − 10 2 {\displaystyle x=-{\frac {10}{2}}}
- В качестве второго примера рассмотрим функцию . Здесь a = − 3 {\displaystyle a=-3}
и b = 6 {\displaystyle b=6}
. Поэтому координату «x» вершины параболы вычислите так:
- x = − b 2 a {\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}
- x = − 6 (2) (− 3) {\displaystyle x=-{\frac {6}{(2)(-3)}}}
- x = − 6 − 6 {\displaystyle x=-{\frac {6}{-6}}}
- x = − (− 1) {\displaystyle x=-(-1)}
- x = 1 {\displaystyle x=1}
- В функции коэффициенты a = 1 {\displaystyle a=1}
и b = 10 {\displaystyle b=10}
-
Найдите соответствующее значение f(x). Подставьте найденное значение «x» в исходную функцию, чтобы найти соответствующее значение f(x). Так вы найдете минимум или максимум функции.
- В первом примере f (x) = x 2 + 10 x − 1 {\displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1}
вы вычислили, что координата «х» вершины параболы равна x = − 5 {\displaystyle x=-5}
. В исходной функции вместо x {\displaystyle x}
подставьте − 5 {\displaystyle -5}
- f (x) = x 2 + 10 x − 1 {\displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1}
- f (x) = (− 5) 2 + 10 (− 5) − 1 {\displaystyle f(x)=(-5)^{2}+10(-5)-1}
- f (x) = 25 − 50 − 1 {\displaystyle f(x)=25-50-1}
- f (x) = − 26 {\displaystyle f(x)=-26}
- Во втором примере f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 {\displaystyle f(x)=-3x^{2}+6x-4}
вы нашли, что координата «х» вершины параболы равна x = 1 {\displaystyle x=1}
. В исходной функции вместо x {\displaystyle x}
подставьте 1 {\displaystyle 1}
, чтобы найти ее максимальное значение:
- f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 {\displaystyle f(x)=-3x^{2}+6x-4}
- f (x) = − 3 (1) 2 + 6 (1) − 4 {\displaystyle f(x)=-3(1)^{2}+6(1)-4}
- f (x) = − 3 + 6 − 4 {\displaystyle f(x)=-3+6-4}
- f (x) = − 1 {\displaystyle f(x)=-1}
- В первом примере f (x) = x 2 + 10 x − 1 {\displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1}
вы вычислили, что координата «х» вершины параболы равна x = − 5 {\displaystyle x=-5}
. В исходной функции вместо x {\displaystyle x}
подставьте − 5 {\displaystyle -5}
-
Запишите ответ. Перечитайте условие задачи. Если нужно найти координаты вершины параболы, в ответе запишите оба значения x {\displaystyle x} и y {\displaystyle y} (или f (x) {\displaystyle f(x)} ). Если необходимо вычислить максимум или минимум функции, в ответе запишите только значение y {\displaystyle y} (или f (x) {\displaystyle f(x)} ). Еще раз посмотрите на знак коэффициента a {\displaystyle a} , чтобы проверить, что вы вычислили: максимум или минимум.
- В первом примере f (x) = x 2 + 10 x − 1 {\displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1} значение a {\displaystyle a} положительное, поэтому вы вычислили минимум. Вершина параболы лежит в точке с координатами (− 5 , − 26) {\displaystyle (-5,-26)} , а минимальное значение функции равно − 26 {\displaystyle -26} .
- Во втором примере f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 {\displaystyle f(x)=-3x^{2}+6x-4} значение a {\displaystyle a} отрицательное, поэтому вы нашли максимум. Вершина параболы лежит в точке с координатами (1 , − 1) {\displaystyle (1,-1)} , а максимальное значение функции равно − 1 {\displaystyle -1} .
-
Определите направление параболы. Для этого посмотрите на знак коэффициента a {\displaystyle a} . Если коэффициент a {\displaystyle a} положительный, парабола направлена вверх. Если коэффициент a {\displaystyle a} отрицательный, парабола направлена вниз. Например:
- . Здесь a = 2 {\displaystyle a=2} , то есть коэффициент положительный, поэтому парабола направлена вверх.
- . Здесь a = − 3 {\displaystyle a=-3} , то есть коэффициент отрицательный, поэтому парабола направлена вниз.
- Если парабола направлена вверх, нужно вычислить минимальное значение функции. Если парабола направлена вниз, необходимо найти максимальное значение функции.
-
Найдите минимальное или максимальное значение функции. Если функция записана через координаты вершины параболы, минимум или максимум равен значению коэффициента k {\displaystyle k} . В приведенных выше примерах:
- f (x) = 2 (x + 1) 2 − 4 {\displaystyle f(x)=2(x+1)^{2}-4} . Здесь k = − 4 {\displaystyle k=-4} . Это минимальное значение функции, потому что парабола направлена вверх.
- f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 {\displaystyle f(x)=-3(x-2)^{2}+2} . Здесь k = 2 {\displaystyle k=2} . Это максимальное значение функции, потому что парабола направлена вниз.
-
Найдите координаты вершины параболы. Если в задаче требуется найти вершину параболы, ее координаты равны (h , k) {\displaystyle (h,k)} . Обратите внимание, когда квадратичная функция записана через координаты вершины параболы, в скобки должна быть заключена операция вычитания (x − h) {\displaystyle (x-h)} , поэтому значение h {\displaystyle h} берется с противоположным знаком.
- f (x) = 2 (x + 1) 2 − 4 {\displaystyle f(x)=2(x+1)^{2}-4} . Здесь в скобки заключена операция сложения (x+1), которую можно переписать так: (x-(-1)). Таким образом, h = − 1 {\displaystyle h=-1} . Поэтому координаты вершины параболы этой функции равны (− 1 , − 4) {\displaystyle (-1,-4)} .
- f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 {\displaystyle f(x)=-3(x-2)^{2}+2} . Здесь в скобках находится выражение (x-2). Следовательно, h = 2 {\displaystyle h=2} . Координаты вершины равны (2,2).
Запишите функцию в стандартном виде. Квадратичная функция - это функция, уравнение которой включает переменную x 2 {\displaystyle x^{2}} . Уравнение может включать или не включать переменную x {\displaystyle x} . Если уравнение включает переменную с показателем степени больше 2, оно не описывает квадратичную функцию. Если нужно, приведите подобные члены и переставьте их, чтобы записать функцию в стандартном виде.
Как вычислить минимум или максимум с помощью математических операций
-
Сначала рассмотрим стандартный вид уравнения. Запишите квадратичную функцию в стандартном виде: f (x) = a x 2 + b x + c {\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c} . Если нужно, приведите подобные члены и переставьте их, чтобы получить стандартное уравнение.
- Например: .
-
Найдите первую производную. Первая производная квадратичной функции, которая записана в стандартном виде, равна f ′ (x) = 2 a x + b {\displaystyle f^{\prime }(x)=2ax+b} .
- f (x) = 2 x 2 − 4 x + 1 {\displaystyle f(x)=2x^{2}-4x+1}
. Первая производная этой функции вычисляется следующим образом:
- f ′ (x) = 4 x − 4 {\displaystyle f^{\prime }(x)=4x-4}
- f (x) = 2 x 2 − 4 x + 1 {\displaystyle f(x)=2x^{2}-4x+1}
. Первая производная этой функции вычисляется следующим образом:
-
Производную приравняйте к нулю. Напомним, что производная функции равна угловому коэффициенту функции в определенной точке. В минимуме или максимуме угловой коэффициент равен нулю. Поэтому, чтобы найти минимальное или максимальное значение функции, производную нужно приравнять к нулю. В нашем примере.
Как построить параболу? Существует несколько способов построения графика квадратичной функции. Каждый из них имеет свои плюсы и минусы. Рассмотрим два способа.
Начнём с построения графика квадратичной функции вида y=x²+bx+c и y= -x²+bx+c.
Пример.
Построить график функции y=x²+2x-3.
Решение:
y=x²+2x-3 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх. Координаты вершины параболы
От вершины (-1;-4) строим график параболы y=x²(как от начала координат. Вместо (0;0) — вершина (-1;-4). От (-1;-4) идём вправо на 1 единицу и вверх на 1 единицу, затем влево на 1 и вверх на 1; далее: 2 — вправо, 4 — вверх, 2- влево, 4 — вверх; 3 — вправо, 9 — вверх, 3 — влево, 9 — вверх. Если этих 7 точек недостаточно, далее — 4 вправо, 16 — вверх и т. д.).
График квадратичной функции y= -x²+bx+c — парабола, ветви которой направлены вниз. Для построения графика ищем координаты вершины и от неё строим параболу y= -x².
Пример.
Построить график функции y= -x²+2x+8.
Решение:
y= -x²+2x+8 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вниз. Координаты вершины параболы
От вершины строим параболу y= -x² (1 — вправо, 1- вниз; 1 — влево, 1 — вниз; 2 — вправо, 4 — вниз; 2 — влево, 4 — вниз и т. д.):
Этот способ позволяет построить параболу быстро и не вызывает затруднений, если вы умеете строить графики функций y=x² и y= -x². Недостаток: если координаты вершины — дробные числа, строить график не очень удобно. Если требуется знать точные значения точек пересечения графика с осью Ох, придется дополнительно решить уравнение x²+bx+c=0 (или —x²+bx+c=0), даже если эти точки непосредственно можно определить по рисунку.
Другой способ построения параболы — по точкам, то есть можно найти несколько точек графика и через них провести параболу (с учетом того, что прямая x=хₒ является её осью симметрии). Обычно для этого берут вершину параболы, точки пересечения графика с осями координат и 1-2 дополнительные точки.
Построить график функции y=x²+5x+4.
Решение:
y=x²+5x+4 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх. Координаты вершины параболы
то есть вершина параболы — точка (-2,5; -2,25).
Ищем . В точке пересечения с осью Ох y=0: x²+5x+4=0. Корни квадратного уравнения х1=-1, х2=-4, то есть получили две точки графике (-1; 0) и (-4; 0).
В точке пересечения графика с осью Оy х=0: y=0²+5∙0+4=4. Получили точку (0; 4).
Для уточнения графика можно найти дополнительную точку. Возьмем х=1, тогда y=1²+5∙1+4=10, то есть еще одна точка графика — (1; 10). Отмечаем эти точки на координатной плоскости. С учетом симметрии параболы относительно прямой, проходящей через её вершину, отметим еще две точки: (-5; 6) и (-6; 10) и проведем через них параболу:
Построить график функции y= -x²-3x.
Решение:
y= -x²-3x — квадратичная функция. График — парабола ветвями вниз. Координаты вершины параболы
Вершина (-1,5; 2,25) — первая точка параболы.
В точках пересечения графика с осью абсцисс y=0, то есть решаем уравнение -x²-3x=0. Его корни — х=0 и х=-3, то есть (0;0) и (-3; 0) — еще две точки графика. Точка (о; 0) является также точкой пересечения параболы с осью ординат.
При х=1 y=-1²-3∙1=-4, то есть (1; -4) — дополнительная точка для построения графика.
Построение параболы по точкам — более трудоёмкий, по сравнению с первым, способ. Если парабола не пересекает ось Oх, дополнительных точек потребуется больше.
Прежде чем продолжить построение графиков квадратичных функций вида y=ax²+bx+c, рассмотрим построение графиков функций с помощью геометрических преобразований. Графики функций вида y=x²+c также удобнее всего строить, используя одно из таких преобразований — параллельный перенос.
Рубрика: |У р о к 15.
Влияние коэффициентов
а, b
и
с
на расположение
графика квадратичной функции
Цели: продолжить формирование умения строить график квадратичной функции и перечислять ее свойства; выявить влияние коэффициентов а , b и с на расположение графика квадратичной функции.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Определите, график какой функции изображен на рисунке:
у = х 2 – 2х – 1;
у = –2х 2 – 8х ;
у = х 2 – 4х – 1;
у = 2х 2 + 8х + 7;
у = 2х 2 – 1.
б)
у = х 2 – 2х ;
у = –х 2 + 4х + 1;
у = –х 2 – 4х + 1;
у = –х 2 + 4х – 1;
у = –х 2 + 2х – 1.
III. Формирование умений и навыков.
Упражнения:
1. № 127 (а).
Р е ш е н и е
Прямая у = 6х + b касается параболы у = х 2 + 8, то есть имеет с ней только одну общую точку в том случае, когда уравнение 6х + b = х 2 + 8 будет иметь единственное решение.
Это уравнение является квадратным, найдем его дискриминант:
х 2 – 6х + 8 + b = 0;
D 1 = 9 – (8 – b ) = 1 + b;
D 1 = 0, если 1 + b = 0, то есть b = –1.
О т в е т: b = –1.
3. Выявить влияние коэффициентов а , b и с на расположение графика функции у = ах 2 + bх + с .
Учащиеся обладают достаточными знаниями, чтобы выполнить это задание самостоятельно. Следует предложить им все полученные выводы занести в тетрадь, при этом выделив «основную» роль каждого из коэффициентов.
1) Коэффициент а влияет на направление ветвей параболы: при а > 0 – ветви направлены вверх, при а < 0 – вниз.
2) Коэффициент b влияет на расположение вершины параболы. При b = 0 вершина лежит на оси оу .
3) Коэффициент с показывает точку пересечения параболы с осью ОУ .
После этого можно привести пример, показывающий, что можно сказать о коэффициентах а , b и с по графику функции.
Значение с можно назвать точно: поскольку график пересекает ось ОУ в точке (0; 1), то с = 1.
Коэффициент а можно сравнить с нулем: так как ветви параболы направлены вниз, то а < 0.
Знак коэффициента b можно узнать из формулы, определяющей абсциссу вершины параболы: т = , так как а < 0 и т = 1, то b > 0.
4. Определите, график какой функции изображен на рисунке, опираясь на значение коэффициентов а , b и с .
у = –х 2 + 2х ;
у = х 2 + 2х + 2;
у = 2х 2 – 3х – 2;
у = х 2 – 2.
Р е ш е н и е
а , b и с :
а > 0, так как ветви параболы направлены вверх;
b ОУ ;
с = –2, так как парабола пересекает ось ординат в точке (0; –2).
у = 2х 2 – 3х – 2.
у = х 2 – 2х ;
у = –2х 2 + х + 3;
у = –3х 2 – х – 1;
у = –2,7х 2 – 2х .
Р е ш е н и е
По изображенному графику делаем следующие выводы о коэффициентах а , b и с :
а < 0, так как ветви параболы направлены вниз;
b ≠ 0, так как вершина параболы не лежит на оси ОУ ;
с = 0, так как парабола пересекает ось ОУ в точке (0; 0).
Всем этим условиям удовлетворяет только функция у = –2,7х 2 – 2х .
5. По графику функции у = ах 2 + bх + с а , b и с :
а) б)
Р е ш е н и е
а) Ветви параболы направлены вверх, поэтому а > 0.
Парабола пересекает ось ординат в нижней полуплоскости, поэтому с < 0. Чтобы узнать знак коэффициента b воспользуемся формулой для нахождения абсциссы вершины параболы: т = . По графику видно, что т < 0, и мы определим, что а > 0. Поэтому b > 0.
б) Аналогично определяем знаки коэффициентов а , b и с :
а < 0, с > 0, b < 0.
Сильным в учебе учащимся можно дать дополнительно выполнить № 247.
Р е ш е н и е
у = х 2 + рх + q.
а) По теореме Виета, известно, что если х
1 и х
2 – корни уравнения х
2 +
+ рх
+ q
= 0 (то есть нули данной функции), то х
1 · х
2 = q
и х
1 + х
2 = –р
. Получаем, что q
= 3 · 4 = 12 и р
= –(3 + 4) = –7.
б) Точка пересечения параболы с осью ОУ даст значение параметра q , то есть q = 6. Если график функции пересекает ось ОХ в точке (2; 0), то число 2 является корнем уравнения х 2 + рх + q = 0. Подставляя значение х = 2 в это уравнение, получим, что р = –5.
в) Своего наименьшего значения данная квадратичная функция достигает в вершине параболы, поэтому , откуда р = –12. По условию значение функции у = х 2 – 12х + q в точке x = 6 равно 24. Подставляя x = 6 и у = 24 в данную функцию, находим, что q = 60.
IV. Проверочная работа.
В а р и а н т 1
1. Постройте график функции у = 2х 2 + 4х – 6 и найдите, используя график:
а) нули функции;
б) промежутки, в которых у > 0 и y < 0;
г) наименьшее значение функции;
д) область значения функции.
2. Не строя график функции у = –х 2 + 4х , найдите:
а) нули функции;
в) область значения функции.
3. По графику функции у = ах 2 + bх + с определите знаки коэффициентов а , b и с :
В а р и а н т 2
1. Постройте график функции у = –х 2 + 2х + 3 и найдите, используя график:
а) нули функции;
б) промежутки, в которых у > 0 и y < 0;
в) промежутки возрастания и убывания функции;
г) наибольшее значение функции;
д) область значения функции.
2. Не строя график функции у = 2х 2 + 8х , найдите:
а) нули функции;
б) промежутки возрастания и убывания функции;
в) область значения функции.
3. По графику функции у = ах 2 + bх + с определите знаки коэффициентов а , b и с :
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Опишите алгоритм построения квадратичной функции.
– Перечислите свойства функции у = ах 2 + bх + с при а > 0 и при а < 0.
– Как влияют коэффициенты а , b и с на расположение графика квадратичной функции?
Домашнее задание: № 127 (б), № 128, № 248.
Д о п о л н и т е л ь н о: № 130.
консультация дерматолога в москве