Как решать квадратные. Квадратное уравнение

Например, для трехчлена \(3x^2+2x-7\), дискриминант будет равен \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). А для трехчлена \(x^2-5x+11\), он будет равен \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).

Дискриминант обозначается буквой \(D\) и часто используется при решении . Также по значению дискриминанта можно понять, как примерно выглядит график (см. ниже).

Дискриминант и корни квадратного уравнения

Значение дискриминанта показывает количество квадратного уравнения:
- если \(D\) положителен – уравнение будет иметь два корня;
- если \(D\) равен нулю – только один корень;
- если \(D\) отрицателен – корней нет.

Это не надо учить, к такому выводу несложно прийти, просто зная, что из дискриминанта (то есть, \(\sqrt{D}\) входит в формулу для вычисления корней квадратного уравнения: \(x_{1}=\)\(\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\) и \(x_{2}=\)\(\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\) . Давайте рассмотрим каждый случай подробнее.

Если дискриминант положителен

В этом случае корень из него – это некоторое положительное число, а значит \(x_{1}\) и \(x_{2}\) будут различны по значению, ведь в первой формуле \(\sqrt{D}\) прибавляется, а во второй – вычитается. И мы имеем два разных корня.

Пример : Найдите корни уравнения \(x^2+2x-3=0\)
Решение :

Ответ : \(x_{1}=1\); \(x_{2}=-3\)

Если дискриминант равен нулю

А сколько корней будет, если дискриминант равен нулю? Давайте рассуждать.

Формулы корней выглядят так: \(x_{1}=\)\(\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\) и \(x_{2}=\)\(\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\) . И если дискриминант – ноль, то и корень из него тоже ноль. Тогда получается:

\(x_{1}=\)\(\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\) \(=\)\(\frac{-b+\sqrt{0}}{2a}\) \(=\)\(\frac{-b+0}{2a}\) \(=\)\(\frac{-b}{2a}\)

\(x_{2}=\)\(\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\) \(=\)\(\frac{-b-\sqrt{0}}{2a}\) \(=\)\(\frac{-b-0}{2a}\) \(=\)\(\frac{-b}{2a}\)

То есть, значения корней уравнения будут совпадать, потому что прибавление или вычитание нуля ничего не меняет.

Пример : Найдите корни уравнения \(x^2-4x+4=0\)
Решение :

\(x^2-4x+4=0\)		Выписываем коэффициенты:
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		Вычисляем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\)
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		Находим корни уравнения
\(x_{1}=\)\(\frac{-(-4)+\sqrt{0}}{2\cdot1}\) \(=\)\(\frac{4}{2}\) \(=2\) \(x_{2}=\)\(\frac{-(-4)-\sqrt{0}}{2\cdot1}\) \(=\)\(\frac{4}{2}\) \(=2\)		Получили два одинаковых корня, поэтому нет смысла писать их по отдельности – записываем как один.

Ответ : \(x=2\)

Эта тема поначалу может показаться сложной из-за множества не самых простых формул. Мало того что сами квадратные уравнения имеют длинные записи, еще и корни находятся через дискриминант. Всего получается три новые формулы. Не очень просто запомнить. Это удается только после частого решения таких уравнений. Тогда все формулы будут вспоминаться сами собой.

Общий вид квадратного уравнения

Здесь предложена их явная запись, когда самая большая степень записана первой, и дальше - по убыванию. Часто бывают ситуации, когда слагаемые стоят вразнобой. Тогда лучше переписать уравнение в порядке убывания степени у переменной.

Введем обозначения. Они представлены в таблице ниже.

Если принять эти обозначения, все квадратные уравнения сводятся к следующей записи.

Причем коэффициент а ≠ 0. Пусть эта формула будет обозначена номером один.

Когда уравнение задано, то непонятно, сколько корней будет в ответе. Потому что всегда возможен один из трех вариантов:

• в решении будет два корня;
• ответом будет одно число;
• корней у уравнения не будет совсем.

И пока решение не доведено до конца, сложно понять, какой из вариантов выпадет в конкретном случае.

Виды записей квадратных уравнений

В задачах могут встречаться их разные записи. Не всегда они будут выглядеть как общая формула квадратного уравнения. Иногда в ней будет не хватать некоторых слагаемых. То что было записано выше — это полное уравнение. Если в нем убрать второе или третье слагаемое, то получится нечто другое. Эти записи тоже называются квадратными уравнениями, только неполными.

Причем исчезнуть могут только слагаемые у которых коэффициенты «в» и «с». Число «а» не может быть равно нулю ни при каких условиях. Потому что в этом случае формула превращается в линейное уравнение. Формулы для неполного вида уравнений будут такими:

Итак, видов всего два, кроме полных, есть еще и неполные квадратные уравнения. Пусть первая формула будет иметь номер два, а вторая — три.

Дискриминант и зависимость количества корней от его значения

Это число нужно знать для того, чтобы вычислить корни уравнения. Оно может быть посчитано всегда, какой бы ни была формула квадратного уравнения. Для того чтобы вычислить дискриминант, нужно воспользоваться равенством, записанным ниже, которое будет иметь номер четыре.

После подстановки в эту формулу значений коэффициентов, можно получить числа с разными знаками. Если ответ положительный, то ответом уравнения будут два различных корня. При отрицательном числе корни квадратного уравнения будут отсутствовать. В случае его равенства нулю ответ будет один.

Как решается квадратное уравнение полного вида?

По сути, рассмотрение этого вопроса уже началось. Потому что сначала нужно найти дискриминант. После того как выяснено, что имеются корни квадратного уравнения, и известно их число, нужно воспользоваться формулами для переменных. Если корней два, то нужно применить такую формулу.

Поскольку в ней стоит знак «±», то значений будет два. Выражение под знаком квадратного корня — это дискриминант. Поэтому формулу можно переписать по-другому.

Формула номер пять. Из этой же записи видно, что если дискриминант равен нулю, то оба корня примут одинаковые значения.

Если решение квадратных уравнений еще не отработано, то лучше до того, как применять формулы дискриминанта и переменной, записать значения всех коэффициентов. Позже этот момент не будет вызывать трудностей. Но в самом начале бывает путаница.

Как решается квадратное уравнение неполного вида?

Здесь все гораздо проще. Даже нет необходимости в дополнительных формулах. И не понадобятся те, что уже были записаны для дискриминанта и неизвестной.

Сначала рассмотрим неполное уравнение под номером два. В этом равенстве полагается вынести неизвестную величину за скобку и решить линейное уравнение, которое останется в скобках. В ответе будет два корня. Первый - обязательно равен нулю, потому что имеется множитель, состоящий из самой переменной. Второй получится при решении линейного уравнения.

Неполное уравнение под номером три решается переносом числа из левой части равенства в правую. Потом нужно разделить на коэффициент, стоящий перед неизвестной. Останется только извлечь квадратный корень и не забыть записать его два раза с противоположными знаками.

Далее записаны некоторые действия, помогащие научиться решать всевозможные виды равенств, которые превращаются в квадратные уравнения. Они будут способствовать тому, что ученик сможет избежать ошибок по невнимательности. Эти недочеты бывают причиной плохих оценок при изучении обширной темы «Квадратные уравнения (8 класс)». Впоследствии эти действия не нужно будет постоянно выполнять. Потому что появится устойчивый навык.

• Сначала нужно записать уравнение в стандартном виде. То есть сначала слагаемое с самой большой степенью переменной, а потом - без степени и последним - просто число.

• Если перед коэффициентом «а» появляется минус, то он может усложнить работу для начинающего изучать квадратные уравнения. От него лучше избавиться. Для этой цели все равенство нужно умножить на «-1». Это значит, что у всех слагаемых изменится знак на противоположный.

• Таким же образом рекомендуется избавляться от дробей. Просто умножить уравнение на соответствующий множитель, чтобы знаменатели сократились.

Примеры

Требуется решить следующие квадратные уравнения:

х 2 − 7х = 0;

15 − 2х − х 2 = 0;

х 2 + 8 + 3х = 0;

12х + х 2 + 36 = 0;

(х+1) 2 + х + 1 = (х+1)(х+2).

Первое уравнение: х 2 − 7х = 0. Оно неполное, поэтому решается так, как было описано для формулы под номером два.

После вынесения за скобки получается: х (х - 7) = 0.

Первый корень принимает значение: х 1 = 0. Второй будет найден из линейного уравнения: х - 7 = 0. Легко заметить, что х 2 = 7.

Второе уравнение: 5х 2 + 30 = 0. Снова неполное. Только решается оно так, как описано для третьей формулы.

После перенесения 30 в правую часть равенства: 5х 2 = 30. Теперь нужно выполнить деление на 5. Получается: х 2 = 6. Ответами будут числа: х 1 = √6, х 2 = - √6.

Третье уравнение: 15 − 2х − х 2 = 0. Здесь и далее решение квадратных уравнений будет начинаться с их переписывания в стандартный вид: − х 2 − 2х + 15 = 0. Теперь пришло время воспользоваться вторым полезным советом и умножить все на минус единицу. Получается х 2 + 2х - 15 = 0. По четвертой формуле нужно вычислить дискриминант: Д = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Он представляет собой положительное число. Из того, что сказано выше, получается, что уравнение имеет два корня. Их нужно вычислить по пятой формуле. По ней получается, что х = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Тогда х 1 = 3, х 2 = - 5.

Четвертое уравнение х 2 + 8 + 3х = 0 преобразуется в такое: х 2 + 3х + 8 = 0. Его дискриминант равен такому значению: -23. Поскольку это число отрицательное, то ответом к этому заданию будет следующая запись: «Корней нет».

Пятое уравнение 12х + х 2 + 36 = 0 следует переписать так: х 2 + 12х + 36 = 0. После применения формулы для дискриминанта получается число ноль. Это означает, что у него будет один корень, а именно: х = -12/ (2 * 1) = -6.

Шестое уравнение (х+1) 2 + х + 1 = (х+1)(х+2) требует провести преобразования, которые заключаются в том, что нужно привести подобные слагаемые, до того раскрыв скобки. На месте первой окажется такое выражение: х 2 + 2х + 1. После равенства появится эта запись: х 2 + 3х + 2. После того как подобные слагаемые будут сосчитаны, уравнение примет вид: х 2 - х = 0. Оно превратилось в неполное. Подобное ему уже рассматривалось чуть выше. Корнями этого будут числа 0 и 1.

Надеюсь, изучив данную статью, вы научитесь находить корни полного квадратного уравнения.

С помощью дискриминанта решаются только полные квадратные уравнения, для решения неполных квадратных уравнений используют другие методы, которые вы найдете в статье "Решение неполных квадратных уравнений".

Какие же квадратные уравнения называются полными? Это уравнения вида ах 2 + b x + c = 0 , где коэффициенты a, b и с не равны нулю. Итак, чтобы решить полное квадратное уравнение, надо вычислить дискриминант D.

D = b 2 – 4ас.

В зависимости от того какое значение имеет дискриминант, мы и запишем ответ.

Если дискриминант отрицательное число (D < 0),то корней нет.

Если же дискриминант равен нулю, то х = (-b)/2a. Когда дискриминант положительное число (D > 0),

тогда х 1 = (-b - √D)/2a , и х 2 = (-b + √D)/2a .

Например. Решить уравнение х 2 – 4х + 4= 0.

D = 4 2 – 4 · 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Ответ: 2.

Решить уравнение 2х 2 + х + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 · 2 · 3 = – 23

Ответ: корней нет .

Решить уравнение 2х 2 + 5х – 7 = 0 .

D = 5 2 – 4 · 2 · (–7) = 81

х 1 = (-5 - √81)/(2·2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

х 2 = (-5 + √81)/(2·2) = (-5 + 9)/4=1

Ответ: – 3,5 ; 1 .

Итак представим решение полных квадратных уравнений схемой на рисунке1.

По этим формулам можно решать любое полное квадратное уравнение. Нужно только внимательно следить за тем, чтобы уравнение было записано многочленом стандартного вида

ах 2 + bx + c, иначе можно допустить ошибку. Например, в записи уравнения х + 3 + 2х 2 = 0, ошибочно можно решить, что

а = 1, b = 3 и с = 2. Тогда

D = 3 2 – 4 · 1 · 2 = 1 и тогда уравнение имеет два корня. А это неверно. (Смотри решение примера 2 выше).

Поэтому, если уравнение записано не многочленом стандартного вида, вначале полное квадратное уравнение надо записать многочленом стандартного вида (на первом месте должен стоять одночлен с наибольшим показателем степени, то есть ах 2 , затем с меньшим – bx , а затем свободный член с.

При решении приведенного квадратного уравнения и квадратного уравнения с четным коэффициентом при втором слагаемом можно использовать и другие формулы. Давайте познакомимся и с этими формулами. Если в полном квадратном уравнении при втором слагаемом коэффициент будет четным (b = 2k), то можно решать уравнение по формулам приведенным на схеме рисунка 2.

Полное квадратное уравнение называется приведенным, если коэффициент при х 2 равен единице и уравнение примет вид х 2 + px + q = 0 . Такое уравнение может быть дано для решения, либо получается делением всех коэффициентов уравнение на коэффициент а , стоящий при х 2 .

На рисунке 3 приведена схема решения приведенных квадратных
уравнений. Рассмотрим на примере применение рассмотренных в данной статье формул.

Пример. Решить уравнение

3х 2 + 6х – 6 = 0.

Давайте решим это уравнение применяя формулы приведенные на схеме рисунка 1.

D = 6 2 – 4 · 3 · (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 · 3) = 6√3

х 1 = (-6 - 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

х 2 = (-6 + 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Ответ: –1 – √3; –1 + √3

Можно заметить, что коэффициент при х в этом уравнении четное число, то есть b = 6 или b = 2k , откуда k = 3. Тогда попробуем решить уравнение по формулам, приведенным на схеме рисунка D 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 · 3) = 3√3

х 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

х 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Ответ: –1 – √3; –1 + √3 . Заметив, что все коэффициенты в этом квадратном уравнении делятся на 3 и выполнив деление, получим приведенное квадратное уравнение x 2 + 2х – 2 = 0 Решим это уравнение, используя формулы для приведенного квадратного
уравнения рисунок 3.

D 2 = 2 2 – 4 · (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 · 3) = 2√3

х 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

х 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Ответ: –1 – √3; –1 + √3.

Как видим, при решении этого уравнения по различным формулам мы получили один и тот же ответ. Поэтому хорошо усвоив формулы приведенные на схеме рисунка 1 , вы всегда сможете решить любое полное квадратное уравнение.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Среди всего курса школьной программы алгебры одной из самых объемных тем является тема о квадратных уравнениях. При этом под квадратным уравнением понимается уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a ≠ 0 (читается: а умножить на икс в квадрате плюс бэ икс плюс цэ равно нулю, где а неравно нулю). При этом основное место занимают формулы нахождения дискриминанта квадратного уравнения указанного вида, под которым понимается выражение, позволяющее определить наличие или отсутствие корней у квадратного уравнения, а также их количество (при наличии).

Формула (уравнение) дискриминанта квадратного уравнения

Общепринятая формула дискриминанта квадратного уравнения выглядит следующим образом: D = b 2 – 4ac. Вычисляя дискриминант по указанной формуле, можно не только определить наличие и количество корней у квадратного уравнения, но и выбрать способ нахождения этих корней, которых существует несколько в зависимости от типа квадратного уравнения.

Что значит если дискриминант равен нулю \ Формула корней квадратного уравнения если дискриминант равен нулю

Дискриминант, как следует из формулы, обозначается латинской буквой D. В случае, когда дискриминант равен нулю, следует сделать вывод, что квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a ≠ 0, имеет только один корень, который вычисляется по упрощенной формуле. Данная формула применяется только при нулевом дискриминанте и выглядит следующим образом: x = –b/2a, где х – корень квадратного уравнения, b и а – соответствующие переменные квадратного уравнения. Для нахождения корня квадратного уравнения необходимо отрицательное значение переменной b разделить на удвоенное значение переменной а. Полученной выражение будет решением квадратного уравнения.

Решение квадратного уравнения через дискриминант

Если при вычислении дискриминанта по вышеприведенной формуле получается положительное значение (D больше нуля), то квадратное уравнение имеет два корня, которые вычисляются по следующим формулам: x 1 = (–b + vD)/2a, x 2 = (–b – vD)/2a. Чаще всего, дискриминант отдельно не высчитывается, а в значение D, из которого извлекается корень, просто подставляется подкоренное выражение в виде формулы дискриминанта. Если переменная b имеет четное значение, то для вычисления корней квадратного уравнения вида ax 2 + bx + c = 0, где a ≠ 0, можно также использовать следующие формулы: x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a, x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, где k = b/2.

В некоторых случаях для практического решения квадратных уравнений можно использовать Теорему Виета, которая гласит, что для суммы корней квадратного уравнения вида x 2 + px + q = 0 будет справедливо значение x 1 + x 2 = –p, а для произведения корней указанного уравнения – выражение x 1 x x 2 = q.

Может ли дискриминант быть меньше нуля

При вычислении значения дискриминанта можно столкнуться с ситуацией, которая не попадает ни под один из описанных случаев – когда дискриминант имеет отрицательное значение (то есть меньше нуля). В этом случае принято считать, что квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a ≠ 0, действительных корней не имеет, следовательно, его решение будет ограничиваться вычислением дискриминанта, а приводимые выше формулы корней квадратного уравнения в данном случае применяться не будут. При этом в ответе к квадратному уравнению записывается, что «уравнение действительных корней не имеет».

Поясняющее видео:

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Дискриминант позволяет решать любые квадратные уравнения с помощью общей формулы, которая имеет следующий вид:

Формула дискриминанта зависит от степени многочлена. Вышеописанная формула подойдет для решения квадратных уравнений следующего вида:

Дискриминант имеет следующие свойства, которые необходимо знать:

* "D" равен 0, когда многочлен имеет кратные корни (равные корни);

* "D" является симметрическим многочленом относительно корней многочлена и поэтому является многочленом от его коэффициентов; более того, коэффициенты этого многочлена целые независимо от расширения, в котором берутся корни.

Допустим, нам дано квадратное уравнение следующего вида:

1 уравнение

По формуле имеем:

Поскольку \, то уравнение имеет 2 корня. Определим их:

Где можно решить уравнение через дискриминант онлайн решателем?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте.А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.