Что же такое натуральные и ненатуральные числа? Как объяснить ребенку, а может и не ребенку, в чем же отличия между ними? Давайте разбираться. Насколько известно, ненатуральные и натуральны числа изучают в 5 классе, и нашей целью является объяснить ученикам так, чтобы они действительно поняли и усвоили, что и как.
История
Натуральные числа - это одно из давних понятий. Давным-давно, когда люди еще не умели считать и не имели понятия о числах, когда им требовалось что-либо пересчитать, к примеру, рыбу, животных, они выбивали на различных предметах точечки или черточки, как это позже выяснилось археологами. В то время им было очень тяжело жить, но цивилизация развилась сначала до римской системы счисления, а затем до десятичной системы счисления. Сейчас же почти все используют арабские цифры
Все о натуральных числах
Натуральные числа - это простые числа, которыми мы пользуемся в повседневной нашей жизни для подсчета предметов для того, чтобы определить количество и порядок. В настоящее время для записи чисел мы используем десятичную систему счисления. Для того чтобы записать любое число, мы используем десять цифр - от нуля до девяти.
Натуральные числа - это те числа, которые мы используем при счете предметов или указании порядкового номера чего-либо. Пример: 5, 368, 99, 3684.
Числовым рядом называют натуральные числа, которые расположены в порядке возрастания, т.е. от единицы до бесконечности. Такой ряд начинается с наименьшего числа - 1, а наибольшего натурального числа не бывает, так как ряд чисел просто бесконечен.
Вообще, ноль - натуральным числом не считается, так как он означает отсутствие чего-либо, и счет предметов так же отсутствует
Арабская система счисления - это современная система, которой мы пользуемся каждый день. Она является одним из вариантов индийской (десятичной).
Такая система счисления стала современной из-за цифры 0, которую и изобрели арабы. До этого в индийской системе она отсутствовала.
Ненатуральные числа. Что это?
К натуральным числам не относятся отрицательные числа и нецелые. Значит, они и есть - ненатуральные числа
Ниже приведены примеры.
Ненатуральные числа бывают:
- Отрицательные числа, например: -1, -5, -36.. и так далее.
- Рациональные числа, которые выражены десятичными дробями: 4,5, -67, 44,6.
- В виде простой дроби: 1 / 2, 40 2 /7 и т.д.
Иррациональные числ, такие, как e = 2,71828, √2 = 1,41421 и тому подобное.
Мы надеемся, что очень помогли вам разобраться с ненатуральными и натуральными числами. Теперь вам станет легче объяснить своему малышу данную тему, и он усвоит ее так же хорошо, как великие математики!
Натуральные числа – числа, которые применяют для счета предметов. Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Такую записьчисел называют десятичной.
Последовательность всех натуральных чисел называют натуральным рядом.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...
Самое маленькое натуральное число – единица (1). В натуральном ряду каждое следующее число на 1 больше предыдущего. Натуральный ряд бесконечен, наибольшего числа в нем нет.
Значение цифры зависит от ее места в записи числа. Например, цифра 4 означает: 4 единицы,если она стоит на последнем месте в записи числа (в разряде единиц); 4 десятка, если она стоит на предпоследнем месте (в разряде десятков); 4 сотни, если она стоит на третьем месте от конца (в разряде сотен).
Цифра0 означает отсутствие единиц данного разряда в десятичной записи числа.Она служит и для обозначения числа «нуль ». Это число означает «ни одного». Счет 0: 3 футбольного матча говорит о том, что первая команда не забила ни одного гола в ворота противника.
Нуль не относят к натуральным числам. И действительно счет предметов никогда не начинают с нуля.
Если запись натурального числа состоит из одного знака – одной цифры, то его называют однозначным. Т.е. однозначное натуральное число – натуральное число, запись которого состоит из одного знака – одной цифры. Например, числа 1, 6, 8 – однозначные.
Двузначное натуральное число – натуральное число, запись которого состоит из двух знаков – двух цифр.
Например, числа 12, 47, 24, 99 – двузначные.
Так же по числу знаков в данном числе дают названия и другим числам:
числа 326, 532, 893 – трехзначные;
числа 1126, 4268, 9999 – четырехзначные и т.д.
Двузначные, трехзначные, четырехзначные, пятизначные и т.д. числа называют многозначными числами.
Для чтения многозначных чисел их разбивают, начиная справа, на группы по три цифры в каждой (самая левая группа может состоять из одной или двух цифр). Эти группы называют классами.
Миллион – это тысяча тысяч (1000 тыс.), его записывают 1 млн или 1 000 000.
Миллиард – это 1000 миллионов. Его записывают 1 млрд или 1 000 000 000.
Три первые цифры справа составляют класс единиц, три следующие – класс тысяч, далее идут классы миллионов, миллиардов и т.д. (рис. 1).
Рис. 1. Класс миллионов, класс тысяч и класс единиц (слева направо)
Число15389000286 записано в разрядной сетке (рис. 2).
Рис. 2. Разрядная сетка: число 15 миллиардов 389 миллионов 286
Это число имеет 286 единиц в классе единиц, нуль единиц в классе тысяч, 389 единиц в классе миллионов и15 единиц в классе миллиардов.
Натуральные числа
Натуральные числа определение - это целые положительные числа. Натуральные числа используют для счета предметов и многих иных целей. Вот эти числа:
Это натуральный ряд чисел.
Ноль натуральное число? Нет, ноль не является натуральным числом.
Сколько натуральных чисел существует? Существует бесконечное множество натуральных чисел.
Каково наименьшее натуральное число? Единица - это наименьшее натуральное число.
Каково наибольшее натуральное число? Его невозможно указать, ведь существует бесконечное множество натуральных чисел.
Сумма натуральных чисел есть натуральное число. Итак, сложение натуральных чисел a и b:
Произведение натуральных чисел есть натуральное число. Итак, произведение натуральных чисел a и b:
с - это всегда натуральное число.
Разность натуральных чисел Не всегда есть натуральное число. Если уменьшаемое больше вычитаемого, то разность натуральных чисел есть натуральное число, иначе - нет.
Частное натуральных чисел Не всегда есть натуральное число. Если для натуральных чисел a и b
где с - натуральное число, то это значит, что a делится на b нацело. В этом примере a - делимое, b - делитель, c - частное.
Делитель натурального числа - это натуральное число, на которое первое число делится нацело.
Каждое натуральное число делится на единицу и на себя.
Простые натуральные числа делятся только на единицу и на себя. Здесь имеется ввиду делятся нацело. Пример, числа 2; 3; 5; 7 делятся только на единицу и на себя. Это простые натуральные числа.
Единицу не считают простым числом.
Числа, которые больше единицы и которые не являются простыми, называют составными. Примеры составных чисел:
Единицу не считают составным числом.
Множество натуральных чисел составляют единица, простые числа и составные числа.
Множество натуральных чисел обозначается латинской буквой N.
Свойства сложения и умножения натуральных чисел:
переместительное свойство сложения
сочетательное свойство сложения
(a + b) + c = a + (b + c);
переместительное свойство умножения
сочетательное свойство умножения
(ab) c = a (bc);
распределительное свойство умножения
A (b + c) = ab + ac;
Целые числа
Целые числа - это натуральные числа, ноль и числа, противоположные натуральным.
Числа, противоположные натуральным - это целые отрицательные числа, например:
1; -2; -3; -4;...
Множество целых чисел обозначается латинской буквой Z.
Рациональные числа
Рациональные числа - это целые числа и дроби.
Любое рациональное число может быть представлено в виде периодической дроби. Примеры:
1,(0); 3,(6); 0,(0);...
Из примеров видно, что любое целое число есть периодическая дробь с периодом ноль.
Любое рациональное число может быть представлено в виде дроби m/n, где m целое число,n натуральное число. Представим в виде такой дроби число 3,(6) из предыдущего примера.
Натуральные числа – натуральные числа это числа которые используются для счета предметов. Множество всех натуральных чисел иногда называют натуральным рядом: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, и т.д.
Для записи натуральных чисел используют десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. С помощью них, можно записать любое натуральное число. Такая запись чисел называется десятичной.
Натуральный ряд чисел можно продолжать бесконечно. Нет такого числа, которые было бы последнее, потому что к последнему числу всегда можно прибавить единицу и получится число, уже большее искомого. В таком случае говорят, что в натуральном ряду нет наибольшего числа.
Разряды натуральных чисел
В записи любого числа с помощью цифр, место на котором цифра стоит в числе имеет решающее значение. Например, цифра 3 означает: 3 единицы, если она будет стоять в числе на последнем месте; 3 десятка, если она будет стоять в числе на предпоследнем месте; 4 сотни, если она будет стоять в числе на третьем месте с конца.
Последняя цифра означает разряд единиц, предпоследняя – разряд десятков, 3 с конца –разряд сотен.
Однозначные и многозначные цифры
Если в каком-либо разряде числа стоит цифра 0, это означает, что в данном разряде нет единиц.
С помощью цифры 0 обозначается число ноль. Ноль это «ни одного».
Нуль не относится к натуральным числам. Хотя некоторые математики считаю иначе.
Если число состоит из одной цифры его называют однозначным, из двух – двузначным, из трех – трехзначными, и т.д.
Числа которые не являются однозначными еще называют многозначными.
Классы из цифр для чтения больших натуральных чисел
Для чтения больших натуральных чисел, число разбивают на группы из трех цифр, начиная с правого края. Эти группы называются классы.
Первые три цифры с правого края составляют класс единиц, следующие три – класс тысяч, следующие три – класс миллионов.
Миллион – тысяча тысяч, для записи используют сокращение млн. 1 млн. = 1 000 000.
Миллиард = это тысяча миллионов. Для записи используют сокращение млрд. 1 млрд. = 1 000 000 000.
Пример записи и чтения
Это число имеет в классе миллиардов 15 единиц, 389 единиц в классе миллионов, нуль единиц в классе тысяч и 286 единиц в ласе единиц.
Данное число читается так: 15 миллиардов 389 миллионов 286.
Читают числа слева направо. По очереди называют число единиц каждого класса и потом добавляют название класса.
Натуральные числа и их свойства
Для счёта предметов в жизни используют натуральные числа. В записи любого натурального числа используются цифры $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$
Последовательность натуральных чисел, каждое следующее число в котором на $1$ больше предыдущего, образует натуральный ряд , который начинается с единицы (т.к. единица- самое маленькое натуральное число) и не имеет наибольшего значения, т.е. бесконечен.
Нуль не относят к натуральным числам.
Свойства отношения следования
Все свойства натуральных чисел и операций над ними следуют из четырех свойств отношений следования, которые были сформулированы в $1891$ г. Д.Пеано:
Единица- натуральное число, которое не следует ни за каким натуральным числом.
За каждым натуральным числом следует одно и только одно число
Каждое натуральное число, отличное от $1$, следует за одним и только одним натуральным числом
Подмножество натуральных чисел, содержащее число $1$, а вместе с каждым числом и следующее за ним число, содержит все натуральные числа.
Если запись натурального числа состоит из одной цифры его называют однозначным (например, $2,6.9$ и т.д.), если запись состоит из двух цифр-двузначным(например,$12,18,45$) и т.д. по аналогии. Двузначные, трехзначные, четырехзначные и т.д. числа называют в математике многозначными.
Свойство сложения натуральных чисел
Переместительное свойство: $a+b=b+a$
Сумма не изменяется при перестановке слагаемых
Сочетательное свойство: $a+ (b+c) =(a+b) +c$
Чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно сначала прибавить первое слагаемое, а потом, к полученной сумме- второе слагаемое
От прибавления нуля число не измениться и если прибавить к нулю какое- нибудь число, то получится прибавленное число.
Свойства вычитания
Свойство вычитания суммы из числа $a-(b+c) =a-b-c$ если $b+c ≤ a$
Для того, чтобы вычесть сумму из числа, можно сначала вычесть из этого числа первое слагаемое, а затем из полученной разности- второе слагаемое
Свойство вычитания числа из суммы $(a+b) -c=a+(b-c)$, если $c ≤ b$
Чтобы из суммы вычесть число, можно вычесть его из одного слагаемого, а к полученной разности прибавить другое слагаемое
Если из числа вычесть нуль, то число не изменится
Если из числа вычесть его само, то получится нуль
Свойства умножения
Переместительное $a\cdot b=b\cdot a$
Произведение двух чисел не изменяется при перестановке множителей
Сочетательное $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$
Чтобы умножить число на произведение двух чисел,можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель
При умножении на единицу произведение не изменяется $m\cdot 1=m$
При умножении на нуль произведение равно нулю
Когда в записи произведения нет скобок, умножение выполняют по порядку слева направо
Свойства умножения относительно сложения и вычитания
Распределительное свойство умножения относительно сложения
$(a+b)\cdot c=ac+bc$
Для того чтобы умножить сумму на число,можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения
Например, $5(x+y)=5x+5y$
Распределительное свойство умножение относительно вычитания
$(a-b)\cdot c=ac-bc$
Для того,чтобы умножить разность на число,множно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе
Например, $5(x-y)=5x-5y$
Сравнение натуральных чисел
Для любых натуральных чисел $a$ и $b$ может выполняться только одно из трех соотношений $a=b$, $a
Меньшим считается число, которое в натуральном ряду появляется раньше, а большим, которое появляется позже. Нуль меньше любого натурального числа.
Пример 1
Сравнить числа $a$ и $555$, если известно, что существует некоторое число $b$, причем выполняются соотношения: $a
Решение : На основании указанного свойства,т.к. по условию $a
в любом подмножестве натуральных чисел, содержащем хотя бы одно число, есть наименьшее число
Подмножеством в математике называют часть множества. Говорят, что множество является подмножеством другого, если каждый элемент подмножества является одновременно и элементом большего множества
Часто для сравнения чисел находят их разность и сравнивают ее с нулем. Если разность больше $0$, но первое число больше второго, если разность меньше $0$, то первое число меньше второго.
Округление натуральных чисел
Когда полная точность не нужна, или не возможна,числа округляют,т.е заменяют их близкими числами с нулями на конце.
Натуральные числа округляют до десятков, сотен,тысяч и т.д
При округлеии числа до десятков его заменяют ближайшим числом,состоящим из целых десятков; у такого числа в разряде единиц стоит цифра $0$
При округлеии числа до сотен его заменяют ближайшим числом,состоящим из целых сотен; у такого числа в разряде десятков и единиц должна стоять цифра $0$. И т.д
Числа,до которых округляют данное называют приближенным значением числа с точностью до указанных разрядов.Например если округлять число $564$ до десятков то получим, что округлить его можно с недостатком и получить $560$, или с избытком и получить $570$.
Правило округления натуральных чисел
Если справа от разряда, до которого округляют число, стоит цифра $5$ или цифра,большая $5$, то к цифре этого разряда прибавляют $1$; в противном случае эту цифру оставляют без изменения
Все цифры, расположенные правее разряда, до которого округляют число,заменяют нулями
