Окружность – геометрическая фигура, знакомство с которой происходит еще в дошкольном возрасте. Позднее вы узнаете ее свойства и характерные особенности. Если вершины произвольного многоугольника лежат на окружности, а сама фигура располагается внутри нее, то перед вами геометрическая фигура, вписанная в окружность.
Понятие радиус характеризует расстояние от любой точки окружности до ее центра. Последний располагается в месте пересечения перпендикуляров к каждой из сторон многоугольника. Определившись с терминологией, рассмотрим выражения, которые помогут найти радиус для любого вида многоугольника.
Как найти радиус описанной окружности – правильный многоугольник
Данная фигура может иметь любое количество вершин, но все ее стороны равны между собой. Для нахождения радиуса окружности, в которую поместили правильный многоугольник, достаточно знать число сторон фигуры и их длину.
R = b/2sin(180°/n),
b – длина стороны,
n – число вершин (или сторон) фигуры.
Приведенное соотношение для случая шестиугольника будет иметь следующий вид:
R = b/2sin(180°/6) = b/2sin30°,
R = b.
Как найти радиус описанной окружности – прямоугольник
Когда в окружности располагается четырехугольник, имеющий 2 пары параллельно проходящих сторон и внутренние углы 90°, точка пересечения диагоналей многоугольника и будет ее центром. Воспользовавшись соотношением Пифагора, а также свойствами прямоугольника, получаем необходимые для нахождения радиуса выражения:
R = (√m 2 + l 2)/2,
R = d/2,
m, l – стороны прямоугольника,
d – его диагональ.
Как найти радиус описанной окружности – квадрат
Помещаем в окружность квадрат. Последний является правильным многоугольником, имеющим 4 стороны. Т.к. квадрат является частным случаем прямоугольника, то его диагонали также в точке своего пересечения делятся пополам.
R = (√m 2 + l 2)/2 = (√m 2 + m 2)/2 = m√2/2 = m/√2,
R = d/2,
m – сторона квадрата,
d – его диагональ.
Как найти радиус описанной окружности – равнобокая трапеция
Если в окружность поместили трапецию, то для определения радиуса потребуется знание длин ее сторон и диагонали.
R = m*l*d/4√p(p – m)*(p – l)*(p – d),
p = (m + l + d)/2,
m, l – стороны трапеции,
d – ее диагональ.
Как найти радиус описанной окружности – треугольник
Произвольный треугольник
- Чтобы определить радиус окружности, описывающей треугольник, достаточно знать величину его сторон.
R = m*l*k/4√p(p – m)*(p – l)*(p – k),
p = (m + l + k)/2,
m, l, k – стороны треугольника. - Если известна длина стороны и градусная мера угла ей противолежащего, то радиус определяется следующим образом:
Для треугольника MLK
R = m/2sinM = l/2sinL = k/2sinK,
M, L, K – его углы (вершины). - При наличии площади фигуры также можно вычислить радиус окружности, в которую она помещена:
R = m*l*k/4S,
m, l, k – стороны треугольника,
S – его площадь.
Равнобедренный треугольник
Если треугольник равнобедренный, то 2 его стороны равны между собой. При описывании такой фигуры радиус можно найти по такому соотношению:
R = m*l*k/4√p(p – m)*(p – l)*(p – k), но m = l
R = m 2 /√(4m 2 – k 2),
m, k – стороны треугольника.
Прямоугольный треугольник
Если один из углов треугольника прямой, а около фигуры описана окружность, то для определения длины радиуса последней потребуется наличие известных сторон треугольника.
R = (√m 2 + l 2)/2 = k/2,
m, l – катеты,
k – гипотенуза.
Очень часто при решении геометрических задач приходится совершать действия со вспомогательными фигурами. Например, находить радиус вписанной или описанной окружности и т.д. Данная статья покажет, как находить радиус окружности, описанной около треугольника. Или, иными словами, радиус окружности, в которую вписан треугольник.
Как найти радиус окружности, описанной около треугольника – общая формула
Общая формула выглядит следующим образом: R = abc/4√p(p – a)(p – b)(p – c), где R – радиус описанной окружности, p – периметр треугольника поделенный на 2 (полупериметр). a, b, c – стороны треугольника.
Найти радиус описанной окружности треугольника, если a = 3, b = 6, c = 7.
Таким образом, исходя из вышеприведенной формулы, вычисляем полупериметр:
p = (a + b + c)/2 = 3 + 6 + 7 = 16. => 16/2 = 8.
Подставляем значения в формулу и получаем:
R = 3 × 6 × 7/4√8(8 – 3)(8 – 6)(8 – 7) = 126/4√(8 × 5 × 2 × 1) = 126/4√80 = 126/16√5.
Ответ: R = 126/16√5
Как найти радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника
Для нахождения радиуса окружности, описанной около равностороннего треугольника, существует довольно простая формула: R = a/√3, где a – величина его стороны.
Пример: Сторона равностороннего треугольника равна 5. Найти радиус описанной окружности.
Так как у равностороннего треугольника все стороны равны, для решения задачи нужно всего лишь вписать ее значение в формулу. Получим: R = 5/√3.
Ответ: R = 5/√3.
Как найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника
Формула выглядит следующим образом: R = 1/2 × √(a² + b²) = c/2, где a и b – катеты и c – гипотенуза. Если сложить квадраты катетов в прямоугольном треугольнике, то получим квадрат гипотенузы. Как видно из формулы, данное выражение находится под корнем. Вычислив корень из квадрата гипотенузы, мы получим саму длину. Умножение получившегося выражения на 1/2 в итоге приводит нас к выражению 1/2 × c = c/2.
Пример: Вычислить радиус описанной окружности, если катеты треугольника равны 3 и 4. Подставим значения в формулу. Получим: R = 1/2 × √(3² + 4²) = 1/2 × √25 = 1/2 × 5 = 2.5.
В данном выражение 5 – длина гипотенузы.
Ответ: R = 2.5.
Как найти радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника
Формула выглядит следующим образом: R = a²/√(4a² – b²), где a – длина бедра треугольника и b – длина основания.
Пример: Вычислить радиус окружности, если его бедро = 7, а основание = 8.
Решение: Подставляем в формулу данные значения и получаем: R = 7²/√(4 × 7² – 8²).
R = 49/√(196 – 64) = 49/√132. Ответ можно записать прямо так.
Ответ: R = 49/√132
Онлайн ресурсы для вычисления радиуса окружности
Можно очень легко запутаться во всех этих формулах. Поэтому при необходимости можно воспользоваться онлайн калькуляторами, которые помогут вам в решении задач на нахождение радиуса. Принцип работы таких мини-программ очень прост. Подставляете значение стороны в соответствующее поле и получаете готовый ответ. Можно выбрать несколько вариантов округления ответа: до десятичных, сотых, тысячных и т.д.
Цели урока:
- Углубить знания по теме «Описанная окружности в треугольниках»
Задачи урока:
- Систематизировать знания по этой теме
- Подготовиться к решению задач повышенной сложности.
План урока:
- Введение.
- Теоретическая часть.
- Для треугольника.
- Практическая часть.
Введение.
Тема «Вписанные и описанные окружности в треугольниках» является одной из самых сложных в курсе геометрии. На уроках ей уделяется очень мало времени.
Геометрические задачи этой темы включаются во вторую часть экзаменационной работы ЕГЭ за курс средней школы.
Для успешного выполнения этих заданий необходимы твердые знания основных геометрических фактов и некоторый опыт в решении геометрических задач.
Теоретическая часть.
Описанная окружность многоугольника
- окружность, содержащая все вершины многоугольника. Центром является точка (принято обозначать O) пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.
Свойства.
Центр описанной окружности выпуклого n-угольника лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Как следствие: если рядом с n-угольником описана окружность, то все серединные перпендикуляры к его сторонам пересекаются в одной точке (центре окружности).
Вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность.
Для треугольника.
Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.
Вокруг любого треугольника можно описать окружность, притом только одну
. Её центром будет являться точка пересечения серединных перпендикуляров.
У остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри
, у тупоугольного - вне треугольника
, у прямоугольного - на середине гипотенузы
.
Радиус описанной окружности может быть найден по формулам:
Где:
a,b,c
- стороны треугольника,
α
- угол, лежащий против стороны a,
S
- площадь треугольника.
Доказать:
т.О - точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам ΔABC
Доказательство:
- ΔAОC - равнобедренный, т.к. ОА=ОС (как радиусы)
- ΔAОC - равнобедренный, перпендикуляр OD - медиана и высота, т.е. т.О лежит на серединном перпендикуляре к стороне АС
- Аналогично доказывается, что т.О лежит на серединных перпендикулярах к сторонам АВ и ВС
Что и требовалось доказать.
Замечание.
Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, часто называют серединным перпендикуляром. В связи с этим иногда говорят, что центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Определение 2
Многоугольник, удовлетворяющий условию определения 1, называется описанным около окружности.
Рисунок 1. Вписанная окружность
Теорема 1 (об окружности, вписанной в треугольник)
Теорема 1
В любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну.
Доказательство.
Рассмотрим треугольник $ABC$. Проведем в нем биссектрисы, которые пересекаются в точке $O$ и проведем из нее перпендикуляры на стороны треугольника (Рис. 2)
Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1
Существование: Проведем окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OK.\ $Так как точка $O$ лежит на трех биссектрисах, то она равноудалена от сторон треугольника $ABC$. То есть $OM=OK=OL$. Следовательно, построенная окружность также проходит через точки $M\ и\ L$. Так как $OM,OK\ и\ OL$ - перпендикуляры к сторонам треугольника, то по теореме о касательной к окружности, построенная окружность касается всех трех сторон треугольника. Следовательно, в силу произвольности треугольника, в любой треугольник можно вписать окружность.
Единственность: Предположим, что в треугольник $ABC$ можно вписать еще одну окружность с центром в точке $O"$. Её центр равноудален от сторон треугольника, а, следовательно, совпадает с точкой $O$ и имеет радиус, равный длине $OK$. Но тогда эта окружность совпадет с первой.
Теорема доказана.
Следствие 1: Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения его биссектрис.
Приведем еще несколько фактов, связанных с понятием вписанной окружности:
Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.
Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.
Определение 3
Если на окружности лежат все вершины многоугольника, то окружность называется описанной около многоугольника (Рис. 3).
Определение 4
Многоугольник, удовлетворяющий условию определения 2, называется вписанным в окружность.
Рисунок 3. Описанная окружность
Теорема 2 (об окружности, описанной около треугольника)
Теорема 2
Около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну.
Доказательство.
Рассмотрим треугольник $ABC$. Проведем в нем серединные перпендикуляры, пересекающиеся в точке $O$, и соединим ее с вершинами треугольника (рис. 4)
Рисунок 4. Иллюстрация теоремы 2
Существование: Построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OC$. Точка $O$ равноудалена от вершин треугольника, то есть $OA=OB=OC$. Следовательно, построенная окружность проходит через все вершины данного треугольника, значит, она является описанной около этого треугольника.
Единственность: Предположим, что около треугольника $ABC$ можно описать еще одну окружность с центром в точке $O"$. Её центр равноудален от вершин треугольника, а, следовательно, совпадает с точкой $O$ и имеет радиус, равный длине $OC.$ Но тогда эта окружность совпадет с первой.
Теорема доказана.
Следствие 1: Центр описанной около треугольника окружности совпадает с точкой пересечения его серединных перпендикуляров.
Приведем еще несколько фактов, связанных с понятием описанной окружности:
Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.
В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна ${180}^0$.
Если сумма противоположных углов четырехугольника равна ${180}^0$, то около него можно описать окружность.
Пример задачи на понятия вписанной и описанной окружности
Пример 1
В равнобедренном треугольнике основание равно 8 см, боковая сторона равна 5 см. Найти радиус вписанной окружности.
Решение.
Рассмотрим треугольник $ABC$. По следствию 1, мы знаем, что центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Проведем биссектрисы $AK$ и $BM$, которые пересекаются в точке $O$. Проведем перпендикуляр $OH$ из точки $O$ на сторону $BC$. Изобразим рисунок:
Рисунок 5.
Так как треугольник равнобедренный, то $BM$ и медиана и высота. По теореме Пифагора ${BM}^2={BC}^2-{MC}^2,\ BM=\sqrt{{BC}^2-\frac{{AC}^2}{4}}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$. $OM=OH=r$ -- искомый радиус вписанной окружности. Так как $MC$ и $CH$ отрезки пересекающихся касательных, то по теореме о пересекающихся касательных, имеем $CH=MC=4\ см$. Следовательно, $BH=5-4=1\ см$. $BO=3-r$. Из треугольника $OHB$, по теореме Пифагора, получим:
\[{(3-r)}^2=r^2+1\] \ \ \
Ответ: $\frac{4}{3}$.
Как найти радиус окружности? Этот вопрос всегда актуален для школьников, изучающих планиметрию. Ниже мы рассмотрим несколько примеров того, как можно справиться с поставленной задачей.
В зависимости от условия задачи радиус окружности вы можете найти так.
Формула 1: R = Л / 2π, где Л - это а π - константа, равная 3,141…
Формула 2: R = √(S / π), где S - это величина площади круга.
Формула 1: R = В/2, где В - гипотенуза.
Формула 2: R = М*В, где В - гипотенуза, а М - медиана, проведенная к ней.
Как найти радиус окружности, если она описана вокруг правильного многоугольника
Формула: R = А / (2 * sin (360/(2*n))), где А - длина одной из сторон фигуры, а n - количество сторон в данной геометрической фигуре.
Как найти радиус вписанной окружности
Вписанной окружность называется тогда, когда она касается всех сторон многоугольника. Рассмотрим несколько примеров.
Формула 1: R = S / (Р/2), где - S и Р - площадь и периметр фигуры соответственно.
Формула 2: R = (Р/2 - А) * tg (а/2), где Р - периметр, А - длина одной из сторон, а - противолежащий этой стороне угол.
Как найти радиус окружности, если она вписана в прямоугольный треугольник
Формула 1:
Радиус окружности, которая вписана в ромб
Окружность можно вписать в любой ромб, как равносторонний, так и неравносторонний.
Формула 1: R = 2 * Н, где Н - это высота геометрической фигуры.
Формула 2: R = S / (А*2), где S - это а А - длина его стороны.
Формула 3: R = √((S * sin А)/4), где S - это площадь ромба, а sin А - синус острого угла данной геометрической фигуры.
Формула 4: R = В*Г/(√(В² + Г²), где В и Г - это длины диагоналей геометрической фигуры.
Формула 5: R = В*sin (А/2), где В - диагональ ромба, а А - это угол в вершинах, соединяющих диагональ.
Радиус окружности, которая вписана в треугольник
В том случае, если в условии задачи вам даны длины всех сторон фигуры, то сначала высчитайте (П), а затем полупериметр (п):
П = А+Б+В, где А, Б, В - длин сторон геометрической фигуры.
Формула 1: R = √((п-А)*(п-Б)*(п-В)/п).
А если, зная все те же три стороны, вам дана еще и то можете рассчитать искомый радиус следующим образом.
Формула 2: R = S * 2(А + Б + В)
Формула 3: R = S/п = S / (А+Б+В)/2), где - п - это полупериметр геометрической фигуры.
Формула 4: R = (п - А) * tg (А/2), где п - это полупериметр треугольника, А - одна из его сторон, а tg (А/2) - тангенс половины противолежащего этой стороне угла.
А ниже приведенная формула поможет отыскать радиус той окружности, которая вписана в
Формула 5: R =А * √3/6.
Радиус окружности, которая вписана в прямоугольный треугольник
Если в задаче даны длины катетов, а также гипотенуза, то радиус вписанной окружности узнается так.
Формула 1: R = (А+Б-С)/2, где А, Б - катеты, С - гипотенуза.
В том случае, если вам даны только два катета, самое время вспомнить теорему Пифагора, чтобы гипотенузу найти и воспользоваться вышеприведенной формулой.
С = √(А²+Б²).
Радиус окружности, которая вписана в квадрат
Окружность, которая вписана в квадрат, делит все его 4 стороны ровно пополам в точках касания.
Формула 1: R = А/2, где А - длина стороны квадрата.
Формула 2: R = S / (Р/2), где S и Р - площадь и периметр квадрата соответственно.
