При решении задач на опрокидывание рассматривается та предельное положение, в котором тело находится в состоянии неустойчивого равновесия, т. е. когда оно готово перейти из состояния покоя в движение. Всякое незначительное изменение элементов конструкции или сил, действующих на эту конструкцию, ведет к опрокидыванию (вращению) конструкции вокруг некоторой оси, называемой осью опрокидывания, перпендикулярной плоскости чертежа. Условием равновесия такого тела (конструкции) является равенство нулю суммы моментов относительно точки пересечения оси опрокидывания с плоскостью чертежа всех заданных (активных) сил, действующих на тело:
При составлении уравнения следует помнить, что реакции опор в это уравнение не входят, так как при предельном положении конструкция опирается только на те опоры, через которые проходит ось опрокидывания. Величины, которые при этом определяются из уравнения имеют критические (максимальные или минимальные) значения и для обеспечения запаса устойчивости должны быть при конструировании соответственно уменьшены (те, для которых найдено максимально возможное при равновесии значение) или увеличены (те, для которых найдено минимально возможное при равновесии значение).
Часть активных сил, действующих на тело, создает пары, которые стремятся опрокинуть тело. Сумма моментов таких сил, относительно оси опрокидывания называется моментом опрокидывания:
Другая часть активных сил создает пары, которые стремятся возвратить тело в первоначальное положение.
Сумма моментов таких сил относительно оси опрокидывания называется моментом устойчивости:
Отношение абсолютного значения момента устойчивости к абсолютному значению момента опрокидывания называется коэффициентом устойчивости:
Задача 15. Водонапорная башня состоит из цилиндрического резервуара высотой диаметром укрепленного на четырех симметрично расположенных столбах, наклонных к горизонту (рис. 48). Дно резервуара находится на высоте над уровнем опор; вес башни давление ветра рассчитывается на площадь проекции поверхности резервуара на плоскость, перпендикулярную к направлению ветра, причем удельное давление ветра принимается равным Определить необходимое расстояние между основаниями столбов.
Решение. 1. Рассматриваем равновесие водонапорной башни (рис. 49). Так как требуется определить критическое значение расстояния между основаниями столбов, а именно то считаем, что башня находится в состоянии неустойчивого равновесия, т. е. при малейшем уменьшении этого расстояния башня опрокинется под действием ветра, вращаясь вокруг шарнира А против направления движения часовой стрелки.
Следовательно, в положении неустойчивого равновесия нужно считать, что башня опорами В только касается земли, но не давит на землю,
2. Изображаем активные силы, действующие на башню. Сила вес башни и сила давление ветра на резервуар.
Отыскание Мопр сводиться к определению такой горизонтали AF которая ограничивает площадь сегмента BCF, равную площади OAB. При этом определяеться и приельный динамический угол крена Ɵмах. Момент больше ОА, будет больше востонавливающего и судно опрокинеться.
23.Определение динамического опрокидывающего момента при прямом начальном положении по диаграмме Lд.
Для определения опрокидывающего момента нужно провести касательную к ДДО. Точка соприкосновения даст М опр как ординату касательной. При этом абсцисса точки касания определит наибольший динамический угол крена Ɵопр.
24. Определение опрокидывающего момента при качке судна по диаграмме lст
Остойчивость на больших углах крена . По мере увеличения крена судна восстанавливающий момент сначала возрастает, затем уменьшается, становится равным нулю и далее не только не препятствует наклонению, а наоборот, способствует ему (рис. 6).
Рис. 6. Диаграмма статической остойчивости.
Так как водоизмещение для данного состояния нагрузки постоянно, то восстанавливающий момент изменяется только вследствие изменения плеча поперечной остойчивости l ст . По расчетам поперечной остойчивости на больших углах крена строят диаграмму статической остойчивости , представляющую собой график, выражающий зависимость l ст от угла крена. Диаграмму статической остойчивости строят для наиболее характерных и опасных случаев нагрузки судна.
25. Определение опрокидывающего момента при качке судна по диаграмме ld
Из точки А проводится касательная АС к диаграмме динамической остойчивости, и от точки А на прямой, параллельной оси абсцисс, откладывается отрезок АВ, равный одному радиану. Из точки В восстанавливаем перпендикуляр ВЕ до пересечения с касательной АС в точке Е. Отрезок ВЕ равен плечу lопр опрокидывающего момента, если диаграмма
построена в масштабе плеч. Опрокидывающий момент
Mc = 9, 81 ·∆ · lопр, кН × м.
26. Связь диаграмм статической и динамической остойчивости
Диаграммы статической и динамической остойчивости
Обычно в судовых условиях строят диаграмму динамической остойчивости по известной диаграмме статической остойчивости, схема вычислений плеч динамической остойчивости приведена в табл:
Диаграмма динамической остойчивости
При построении диаграммы динамической остойчивости по результатам вышеприведенной таблицы динамический кренящий момент принимают постоянным по углам крена. Следовательно, его работа находится в линейной зависимости от угла θ, а график произведения f(θ) = 1кр*θ изобразится на диаграмме динамической остойчивости прямой наклонной линией, проходящей через начало координат. Для ее построения достаточно провести вертикаль через точку, отвечающую крену в 1 радиан и отложить на этой вертикали заданное плечо 1кр. Прямая, соединяющая таким образом точку Е с началом координат О представит искомый график f(θ) =1кр*θ , т. е. график работы кренящего момента, отнесенный к силе веса судна Р. Эта прямая пересечет диаграмму динамической остойчивости в точках А и В. Абсцисса точки А определяет угол динамического крена θ, при котором имеет равенство работ кренящего и восстанавливающего моментов.
Точка В практического значения не имеет.
Когда отношение высоты здания к его размерам в плане велико, а также существует большая податливость основания, то под действием ветровых и сейсмических нагрузок возможно опрокидывание здания. Расчет на опрокидывание здания очень важен, так как напрямую связан с конструктивной безопасностью здания в целом.
«Нормы строительства и проектирования многоэтажных железобетонных конструкций» (JZ 102-79) рекомендуют при расчете на опрокидывание здания придерживаться следующего отношения удерживающего момента M R к опрокидывающему M ov:
«Правила строительства и проектирования многоэтажных железобетонных конструкций» (JGJ 3-91) тот же расчет ведут по условию:
«Строительные нормы сейсмостойкого проектирования» (GB 50011-2001) предписывают при сочетании нагрузок, в которые входят сейсмические воздействия, коэффициенты сочетания принимать равными 1,0. Для многоэтажных зданий с отношением высоты к ширине больше 4 не допускается отрицательное давление под подошвой фундамента, а также области с нулевым давлением. В остальных зданиях область нулевого давления не должна превышать 15% площади фундамента.
Согласно «Технической инструкции по проектированию конструкций высотных зданий» (JGJ 3-2002) для зданий с отношением высоты к ширине больше 4 в основании фундаментов не должно быть области нулевых напряжений; для зданий с отношением меньше 4 область нулевых напряжений допускается не более 15% площади фундамента.
Схема фундамента
1 — верхняя часть; 2 - подвал; 3 - расчетная точка сопротивления опрокидывающему моменту; 4 - нижняя грань фундамента
- Опрокидывающий и удерживающий моменты
Пусть площадь воздействия момента опрокидывания является площадью его основания, а сила воздействия - горизонтальном сеисмическои нагрузкой или горизонтальной ветровой нагрузкой:
где M ov - опрокидывающий момент; Н - высота здания; С - глубина подвала; V 0 - суммарные значения горизонтальной силы.
Удерживающий момент вычисляется в краевых точках от воздействия суммарных нагрузок:
где М R - удерживающий момент; G - суммарные нагрузки (постоянные нагрузки, ветровые и снеговые нагрузки с пониженным нормативным значением); В - ширина подвала.
- Регулирование удерживающего момента и область нулевых напряжений в основании фундамента
К расчету удерживающего момента
Предполагаем, что линии действия суммарных нагрузок проходят через центр основания здания (рис. 2.1.4). Расстояние между этой линией и равнодействующей эпюрой напряжений основания e 0 , длина области нулевых напряжений В-х, отношения длины области нулевых напряжений и длины основания (В - х)/В определяются по формулам:
Отсюда получим:
Из формул получено отношение площади области нулевых напряжений и площади основания для безопасного удерживающего момента.
Зоны нулевого напряжения основания и условие опрокидывания конструкций
|
Соотношение моментов (MR/M ov) |
|||||
|
Процент зон нулевого напряжения (В-Х)/В |
0 (все сечения под напряжением) |
||||
Динамической остойчивостью называется способность судна противостоять, не опрокидываясь, динамическому воздействию внешних моментов.
До сих пор при рассмотрении вопросов остойчивости предполагалось, что кренящий момент действует на судно статически, т.е. кренящий момент m кр был равен восстанавливающему моменту m Θ . Это могло быть:
1) либо при столь медленном нарастании m кр, что в любой момент осуществлялось равенство m кр = m Θ ;
2) либо в положении судна, когда с момента m кр приложения прошло достаточно много времени.
В действительности во многих случаях кренящий момент прикладывается к судну динамически (накат волны, шквальный ветер и т.п.). В этих случаях нарастание кренящего момента происходит быстрее, чем восстанавливающий момент и равенство между моментами не соблюдается. В результате процесс наклонения судна совершается с ускорением.
Наибольший угол крена, которого достигает судно при наклонении с ускорением, называется динамическим углом крена Θ дин. Величина Θ дин значительно превышает величину статического угла крена Θ с (при m кр.дин = m кр.ст). Возможен случай, когда при значительном угловом ускорении величина Θ дин окажется настолько большой, что судно опрокинется (при неопасном для судна статическом приложении равного по величине m кр).
В теории судна при изучении динамических наклонений обычно делается допущение, что вода и воздух не оказывают сопротивления такому наклонению; это допущение приводит к погрешности в безопасную сторону.
3.11.1 Наклонение судна при динамическом воздействии кренящего момента. Предположим, что к судну, имеющему Θ = 0, динамически приложен момент m кр, который затем продолжает действовать статически, не изменяясь по величине с изменением угла крена Θ (рис. 3.25).
На участке наклонения судна от Θ = 0 до Θ ст, когда m кр > m Θ , происходит накопление кинетической энергии за счет избыточной работы кренящего момента, угловая скорость растет dΘ/dt, угловое ускорение d 2 Θ/dt 2 положительное, но величина его уменьшается вследствие противодействия восстанавливающего момента. При Θ = Θ ст, когда m кр = m Θ , скорость наклонения судна и кинетическая энергия достигают максимальных значений, а ускорение равно нулю.
На участке наклонения судна от Θ ст до Θ дин, когда m кр < m Θ , накопленная ранее кинетическая энергия погашается противоположной по знаку избыточной работой восстанавливающего момента, скорость наклонения уменьшается, ускорение отрицательное и с нарастанием угла Θ величина его растет. Наклонение судна прекращается в точке Θ дин, в которой наблюдается равенство работ кренящего А кр и восстанавливающего моментов А Θ . Эти работы можно записать как
Рисунок 3.25 – К рассмотрению динамических наклонений
Положение судна с Θ = Θ дин не является положением равновесия. Под действием избыточного восстанавливающего момента судно начнет спрямляться (до Θ = Θ ст ускоренно, а затем замедленно) и придет в положение Θ = 0 (при отсутствии сил сопротивления) с нулевой угловой скоростью. После этого явление повторяется - судно будет колебаться около положения Θ = Θ ст. При отсутствии сопротивления этим колебаниям со стороны воды и воздуха они могли бы продолжаться бесконечно. В действительности судно совершает в рассматриваемом случае затухающие колебания и в итоге останавливается в положении равновесия с углом Θ ст.
3.11.2 Определение динамического угла крена судна. Запас динамической остойчивости. Величину угла Θ дин при воздействии на судно момента m кр заданной величины можно найти с помощью равенства работ А кр = А Θ при наклоне Θ = Θ дин
(m кр – m Θ) dΘ = 0,
или (m кр – m Θ) dΘ + (m кр – m Θ) dΘ = 0
или (m кр – m Θ) dΘ = (m Θ – m кр) dΘ,
где интеграл (m кр – m Θ) dΘ = δА кр выражает собой избыточную работу кренящего момента на участке наклонения судна от Θ = 0 до Θ ст, а интеграл (m Θ – m кр) dΘ = δА Θ - избыточную работу восстанавливающего момента на участке наклонения судна от Θ ст до Θ дин.
Рисунок 3.26 – К определению динамических углов крена судна.
На рис. 3.26 работа кренящего момента А кр представляет собой прямоугольник ОКВD, а работа восстанавливающего момента А Θ – криволинейную трапецию ОАМВD. Заштрихованные площади 1(ОКА) и 2 (АМВ) соответствуют избыточным работам кренящего δА кр и восстанавливающего моментов δА Θ .
Следовательно, угол Θ дин может быть определен по диаграмме статической остойчивости графически из условия равенства по величине площадей 1 и 2.
Как видно из рис. 3.26, при типичном виде диаграммы статической остойчивости Θ дин » 2 Θ ст.
Из сказанного выше очевидно, что работа восстанавливающего момента может служить мерой динамической остойчивости судна. Площадь на ДСО под кривой m Θ (Θ) ОАМВN (на рис. 3.26), характеризующую собой работу А Θ , называют запасом динамической остойчивости судна (ЗДО). Чем больше эта площадь, тем большей динамической остойчивостью обладает судно при плавании в прямом положении. При рассмотрении рисунка 6.3, становится очевидным, что чем меньше метацентрическая высота судна, тем меньше не только запас статической остойчивости, но и динамической. При плавании судна со статическим углом крена Θ ст.1 запас динамической остойчивости уменьшается и на рисунке 3.26 он определяется только площадью АМВ между кривой m Θ (Θ) и m кр (Θ).
3.11.3 Пределы динамической остойчивости судна. Такими пределами являются:
Максимальный кренящий момент m кр.дин. max , динамическое приложение которого еще не вызывает опрокидывание судна (опрокидывающий момент );
Максимальный динамический угол крена Θ дин. max .
Для нахождения величин m кр.дин. max и Θ дин. max можно использовать диаграмму статической остойчивости (рис. 6.11). По мере увеличения m кр. угол Θ дин растет. При некотором m кр. = m кр.дин. max , что соответствует предельному случаю равенства площадей 1 и 2, когда еще может быть обеспечено равенство избыточных работ восстанавливающего и кренящего моментов, угол Θ дин = Θ дин. max . Следовательно, Θ дин. max определяется точкой пересечения графика m кр (Θ), отвечающего m кр.дин. max , с нисходящей ветвью ДСО.
Если при динамическом приложении кренящего момента его величина m кр > m кр.дин. max , то избыточная работа кренящего момента уже не может быть полностью погашена избыточной работой восстанавливающего момента, и судно опрокинется. При статическом приложении такого же по величине момента m кр безопасность плавания судна обеспечивается, если только m кр £ m кр.ст. max . Из рис. 3.26 видно, что m кр.дин. max < m кр.ст. max .
Таким образом, динамическая остойчивость судна при воздействии m кр заданной величины обеспечена, если динамический угол крена не превосходит значения, при котором работа кренящего момента еще может быть компенсирована работой восстанавливающего момента.
3.11.4 Диаграмма динамической остойчивости судна. Для решения задач динамической остойчивости удобно использовать диаграмму динамической остойчивости (ДДО), которая определяет работу восстанавливающего момента А Θ при каждом значении угла Θ (рис. 3.27).
Как известно, работа восстанавливающего момента по углу крена может быть представлена выражением
А Θ = m Θ dΘ,
Рисунок 3.27 – Диаграмма динамической остойчивости
где функция m Θ (Θ) представляет собой диаграмму статической остойчивости (ДСО).
Таким образом, ДДО является интегральной кривой по отношению к ДСО. Как всякая интегральная кривая, она обладает следующими свойствами:
1) каждая ее ордината выражает собой площадь под ДСО по эту ординату;
2) точка перегиба (точка В) соответствует максимуму ДСО;
3) максимум интегральной кривой (точка С) соответствует углу заката ДСО;
4) ордината ДДО при Θ = Θ зак определяет собой запас динамической остойчивости судна в прямом положении равновесия;
5) тангенс угла касательной, проведенной к диаграмме динамической остойчивости, определяет ординату диаграммы статической остойчивости при том же угле крена.
Так как m Θ = γV l Θ , то выражение для работы восстанавливающего момента можно записать в виде
А Θ = m Θ dΘ = γV l Θ dΘ = γV l Θ dΘ = γV l дин,
а) на сдвиг
Равнодействующая нормативных вертикальных сил в уровне подошвы фундамента
ΣN II = 1463,56 кН (см.2.3)
Нормативная сдвигающая сила F h =22 кН
Расчётная удерживающая сила F h с = f · ΣN I или ΣS i ;
f0,3 - коэффициент трения грунта
Сумма расчётных усилий ΣN I =γ n ·ΣN II ; γ n =0,9.
ΣN I =0,9·1463,56=1317,2 кН;
F h с = 0,3·1317,2 = 395,2 кН
Расчётная сдвигающая сила F h = γ n · F h ; F h = 1,2 · 22=26,4 кН
Устойчивость обеспечивается, если F h F h с
F h = 26,4< F h с = 395,2кН
б) на опрокидывание
Опрокидывающий момент от нормативных нагрузок; от расчётных нагрузок
М о = М II + F h · h ф М о = γ n · М о ; γ n = 1,2 ;
М о = 90 +22·1,5=12 кНм М о = 1,2 · 123=147,6 кНм
Удерживающий момент от нормативных нагрузок
Муд = 0,5в · ΣN
Муд = 0,5·3· 1463,56.=2195,3 кНм
Удерживающий момент от расчётных нагрузок
Муд I = 0,5в · γ n ΣN II , γ n = 0,9
Муд I = 0,5·3 · 0,9·1463,56=1975,8 кНм;
Устойчивость опрокидыванию обеспечивается, если выполняется условие
М о < М уд I
М о = 147,6 < М уд I =1975,8 кНм
Устойчивость против опрокидывания обеспечена.
2.7. Расчёт на прочность конструкции фундамента
В связи с применением типовой конструкции фундамента необходимость в проверке прочности отпадает.
Проектирование свайного фундамента.
Выбор конструкций свай и ростверка.
Согласно схеме рис. на с.11 задания с колонны на фундамент передаются вертикальные, горизонтальные нагрузки и момент. Поэтому минимальное количество свай целесообразно принять 4 е. Тогда в каждой свае воздействие момента незначительно. Внешний момент воспринимается парой сил. (см. схему)
ΔN M
=
3d с6d (d – размер поперечного сечения сваи). При задних нагрузках (см. 1.3) целесообразно принять с =3d, d= 0,35 м. (Минимальное сечение железобетонных сплошных свай 20×20см)
Тогда размеры ростверка в плане а р = в р = 3d + d +2×0,15м
а р = в р =3 · 0,35 + 0,35+2 · 0,15 = 1,7м
Для надёжной заделки свай в железобетонном ростверке в верхних концах свай оголяется арматура на участке длиной - 0,4м (см. схему). Откуда рекомендуемая высота ростверка h р = 0,6 ÷ 0,8 м
h р ≈ 0,6 ÷ 0,8 м
Типовые железобетонные сваи сечением 35×35см могут быть длиной от 8м (см. с. 10,11 ).
В отдельных случаях возможна их длина до 16м, в случае необходимости можно применять и более длинные сваи с большим поперечным сечением.
Принимаем в нашем случае ориентировочно свайный фундамент с размерами, показанными на схеме рис.3, где могут быть применимы заводские сваи длиной 8 ÷ 16 м.
Принимаем сваи длиной 9м. Объём железобетонного ростверка
V p = a p ×b · h p
V p = 1,7×1,7 × 0,6 =1,734м 3
Объём железобетонных свай
V св = 4 · 0,35 · 0,35 · 14 =6,86 м 3
Вес ростверка F vp = γ жб · V p
Вес свай F v с = γ жб · V св
γ жб 24 кН/ м 3 - удельный вес железобетона
F vp = 24 · 1,734 = 41,616кН
F v с = 24 · 6,86 = 164,64 кН
Определение несущей способности сваи
а) по грунту
Нижние концы свай упираются не в cкальные, а рыхлые осадочные породы (см. с. 17 задание), поэтому сваи – висячие.
Несущую способность висящих свай F d определяем в соответствии со СНиП (cм. с. 14 )
F d = γ с (γ с R ·R·А +uΣγ с f · f i · h i)
Применим забивные сваи, тогда
γ с, γ с R , γ с f - коэффициенты надёжности могут быть равными 1.
R – расчётное сопротивление грунта под нижним концом сваи (см.с. 37).
f i – расчётное сопротивление грунта вследствие трения по боковой поверхности сваи (см. с.38).
А, u – площадь поперечного сечения сваи и его периметр.
А = d 2 ; u u = 4d
А = 0,35 × 0,35 = 0,1225м 2
u = 4 · 0,35 = 1,4 м.
Величины R и f i следует принимать по таблицам с.37, 38 для грунтов на определённой глубине.
Удобно разбить длину сваи на отрезки ℓ i 2м, как показано на схеме и там показать величины R и f i , которые потом подставить в расчётную формулу для подсчёта F d
Величина R для грунта 2 го слоя на уровне нижних концов свай.
Величины f i на уровне середины отрезков h i для грунтов на соответствующих глубинах z i
F d =1653·0,1225+1,4(1,9·30+2·38+1,4·30,4+1,4·32,1+1,3·33,225+1,0·33,55+1,0·34,48+1,0·35,28+1,0·36,08+1,0·36,88+1,0·37,68)=871,2 кН
