حل المعادلات العقلانية الصحيحة والكسرية. كيفية حل المعادلات مع الكسور

المعادلات الكسرية. ODZ.

انتباه!
هناك اضافية
المواد في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين هم "ليسوا جدا..."
ولأولئك الذين "كثيرا ...")

نواصل السيطرة على المعادلات. نحن نعرف بالفعل كيفية التعامل مع المعادلات الخطية والتربيعية. العرض الأخير المتبقي - المعادلات الكسرية. أو يُطلق عليهم أيضًا اسم أكثر احترامًا - المعادلات العقلانية الكسرية. إنه نفس الشيء.

المعادلات الكسرية.

كما يوحي الاسم، تحتوي هذه المعادلات بالضرورة على كسور. ولكن ليس فقط الكسور، ولكن الكسور التي لديها غير معروف في المقام. على الأقل في واحدة. على سبيل المثال:

اسمحوا لي أن أذكركم أنه إذا كانت القواسم فقط أرقامهذه معادلات خطية.

كيف تقرر المعادلات الكسرية؟ بادئ ذي بدء، تخلص من الكسور! بعد ذلك، غالبًا ما تتحول المعادلة إلى خطية أو تربيعية. ومن ثم نعرف ماذا نفعل... في بعض الحالات يمكن أن تتحول إلى هوية، مثل 5=5 أو تعبير غير صحيح، مثل 7=2. ولكن هذا نادرا ما يحدث. سأذكر هذا أدناه.

لكن كيف نتخلص من الكسور!؟ بسيط جدا. تطبيق نفس التحولات متطابقة.

علينا ضرب المعادلة بأكملها بنفس التعبير. بحيث يتم تقليل جميع القواسم! كل شيء سوف يصبح أسهل على الفور. اسمحوا لي أن أشرح مع مثال. دعونا بحاجة إلى حل المعادلة:

كيف كنت تدرس في المدرسة الابتدائية؟ ننقل كل شيء إلى جانب واحد، ونصل إلى قاسم مشترك، وما إلى ذلك. ننسى ذلك مثل حلم سيئ! هذا ما يجب عليك فعله عند إضافة أو طرح الكسور. أو أنك تعمل مع عدم المساواة. وفي المعادلات، نضرب كلا الطرفين على الفور بتعبير يمنحنا الفرصة لتقليل جميع المقامات (أي، في جوهرها، بواسطة قاسم مشترك). وما هو هذا التعبير؟

على الجانب الأيسر، تقليل المقام يتطلب الضرب في س+2. وعلى اليمين، مطلوب الضرب في 2، وهذا يعني أنه يجب ضرب المعادلة 2(س+2). ضاعف:

هذا ضرب شائع للكسور، لكنني سأصفه بالتفصيل:

يرجى ملاحظة أنني لم أفتح القوس بعد (س + 2)! لذلك أكتبها في مجملها:

على الجانب الأيسر يتقلص بالكامل (س+2)وعلى اليمين 2. وهو المطلوب! بعد التخفيض نحصل على خطيمعادلة:

ويمكن للجميع حل هذه المعادلة! س = 2.

دعونا نحل مثالا آخر، أكثر تعقيدا قليلا:

إذا تذكرنا أن 3 = 3/1، و 2س = 2س/ 1 يمكننا أن نكتب:

ومرة أخرى نتخلص مما لا نحبه حقًا - الكسور.

نلاحظ أنه لتبسيط المقام بـ X، علينا ضرب الكسر في (س – 2). والقليل ليس عائقًا أمامنا. حسنا، دعونا نتضاعف. الجميعالجانب الأيسر و الجميعالجانب الأيمن:

بين قوسين مرة أخرى (س – 2)أنا لا تكشف. أنا أعمل مع القوس ككل كما لو كان رقمًا واحدًا! يجب أن يتم ذلك دائمًا، وإلا فلن يتم تقليل أي شيء.

مع الشعور بالرضا العميق نقوم بالتقليل (س – 2)ونحصل على معادلة خالية من أي كسور، بمسطرة!

والآن لنفتح الأقواس:

نحضر أشياء مماثلة وننقل كل شيء إلى الجانب الأيسر ونحصل على:

ولكن قبل ذلك سوف نتعلم كيفية حل المشاكل الأخرى. على الفائدة. وهذا أشعل النار، بالمناسبة!

إذا أعجبك هذا الموقع...

بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

سميرنوفا أناستاسيا يوريفنا

نوع الدرس:درس تعلم مواد جديدة.

نموذج تنظيم الأنشطة التعليمية: أمامي، فردي.

الغرض من الدرس: تقديم نوع جديد من المعادلات - المعادلات الكسرية، لإعطاء فكرة عن خوارزمية حل المعادلات الكسرية.

أهداف الدرس.

التعليمية:

• تشكيل مفهوم المعادلة العقلانية الكسرية؛
• النظر في خوارزمية لحل المعادلات المنطقية الكسرية، بما في ذلك شرط أن الكسر يساوي الصفر؛
• تعليم حل المعادلات الكسرية باستخدام الخوارزمية.

التنموية:

• تهيئة الظروف لتطوير المهارات في تطبيق المعرفة المكتسبة؛
• تعزيز تنمية الاهتمام المعرفي لدى الطلاب بالموضوع ؛
• تنمية قدرة الطلاب على التحليل والمقارنة واستخلاص النتائج؛
• تنمية مهارات التحكم المتبادل وضبط النفس والانتباه والذاكرة والكلام الشفهي والمكتوب والاستقلال.

تعليم:

• تعزيز الاهتمام المعرفي بالموضوع؛
• تعزيز الاستقلال في حل المشاكل التعليمية؛
• تعزيز الإرادة والمثابرة لتحقيق النتائج النهائية.

معدات:الكتاب المدرسي، السبورة، الطباشير الملون.

الكتاب المدرسي "الجبر 8". Yu.N Makarychev، N. G. مينديوك، K. I Neshkov، S. B. Suvorova، الذي حرره S. A. Telyakovsky. موسكو "التنوير". 2010

تم تخصيص خمس ساعات لهذا الموضوع. هذا هو الدرس الأول. الشيء الرئيسي هو دراسة خوارزمية حل المعادلات العقلانية الكسرية وممارسة هذه الخوارزمية في التمارين.

تقدم الدرس

1. اللحظة التنظيمية.

مرحبا يا شباب! اليوم أود أن أبدأ درسنا برباعية:
لتسهيل الحياة على الجميع،
ما الذي سيتم تحديده، ما الذي سيكون ممكنًا،
ابتسم ، حظا سعيدا للجميع ،
حتى لا تكون هناك مشاكل،
ابتسمنا لبعضنا البعض، وخلقنا مزاجًا جيدًا وبدأنا العمل.

هناك معادلات مكتوبة على السبورة، انظر إليها بعناية. هل يمكنك حل كل هذه المعادلات؟ أي منها ليست ولماذا؟

تسمى المعادلات التي يكون فيها الجانب الأيسر والأيمن عبارة عن تعبيرات عقلانية كسرية معادلات عقلانية كسرية. ما رأيك أن ندرس في الفصل اليوم؟ صياغة موضوع الدرس. لذا، افتحوا دفاتر ملاحظاتكم واكتبوا موضوع الدرس "حل المعادلات الكسرية".

2. تحديث المعرفة. مسح أمامي، العمل الشفهي مع الفصل.

والآن سنكرر المادة النظرية الرئيسية التي سنحتاجها لدراسة موضوع جديد. الرجاء الإجابة على الأسئلة التالية:

1. ما هي المعادلة؟ ( المساواة مع متغير أو متغيرات.)
2. ما اسم المعادلة رقم 1؟ ( خطي.) طريقة لحل المعادلات الخطية. ( انقل كل شيء به المجهول إلى الجانب الأيسر من المعادلة، وكل الأرقام إلى اليمين. إعطاء مصطلحات مماثلة. ابحث عن عامل غير معروف).
3. ما اسم المعادلة رقم 3؟ ( مربع.) طرق حل المعادلات التربيعية. (ص حول الصيغ)
4. ما هو التناسب؟ ( المساواة بين النسبتين.) الخاصية الرئيسية للنسبة. ( وإذا كانت النسبة صحيحة، فإن حاصل ضرب الحدود القصوى يساوي حاصل ضرب الحدود الوسطى.)
5. ما هي الخصائص المستخدمة عند حل المعادلات؟ ( 1. إذا قمت بنقل حد في معادلة من جزء إلى آخر، مع تغيير إشارته، فسوف تحصل على معادلة مكافئة للمعادلة المعطاة. 2. إذا تم ضرب طرفي المعادلة أو قسمتهما على نفس الرقم غير الصفر، فستحصل على معادلة مكافئة للمعادلة المعطاة.)
6. متى يساوي الكسر صفرًا؟ ( الكسر يساوي صفرًا عندما يكون البسط صفرًا والمقام ليس صفرًا..)

3. شرح المواد الجديدة.

حل المعادلة رقم 2 في دفاترك وعلى السبورة.

إجابة: 10.

ما هي المعادلة المنطقية الكسرية التي يمكنك محاولة حلها باستخدام خاصية التناسب الأساسية؟ (رقم 5).

(س-2)(س-4) = (س+2)(س+3)

س 2 -4س-2س+8 = س 2 +3س+2س+6

س 2 -6س-س 2 -5س = 6-8

حل المعادلة رقم 4 في دفاترك وعلى السبورة.

إجابة: 1,5.

ما هي المعادلة الكسرية التي يمكنك محاولة حلها عن طريق ضرب طرفي المعادلة في المقام؟ (رقم 6).

س 2 -7س+12 = 0

د=1›0، × 1 =3، × 2 =4.

إجابة: 3;4.

وسنتناول حل المعادلات مثل المعادلة رقم 7 في الدروس التالية.

اشرح لماذا حدث هذا؟ لماذا يوجد ثلاثة جذور في حالة واحدة واثنان في الحالة الأخرى؟ ما هي الأرقام جذور هذه المعادلة العقلانية الكسرية؟

حتى الآن، لم يواجه الطلاب مفهوم الجذر الدخيل؛ ومن الصعب جدًا عليهم فهم سبب حدوث ذلك. إذا لم يتمكن أحد في الفصل من تقديم شرح واضح لهذا الموقف، فإن المعلم يطرح أسئلة إرشادية.

• كيف تختلف المعادلتان رقم 2 و 4 عن المعادلتين رقم 5 و 6؟ ( في المعادلتين رقم 2 و 4 توجد أرقام في المقام رقم 5-6 - تعبيرات بمتغير.)
• ما هو جذر المعادلة؟ ( قيمة المتغير الذي تصبح عنده المعادلة صحيحة.)
• كيفية معرفة ما إذا كان الرقم هو جذر المعادلة؟ ( قم بإجراء فحص.)

عند الاختبار، لاحظ بعض الطلاب أنه يجب عليهم القسمة على صفر. وخلصوا إلى أن الرقمين 0 و 5 ليسا جذور هذه المعادلة. السؤال الذي يطرح نفسه: هل هناك طريقة لحل المعادلات العقلانية الكسرية تسمح لنا بإزالة هذا الخطأ؟ نعم، تعتمد هذه الطريقة على شرط أن يكون الكسر يساوي صفرًا.

دعونا نحاول صياغة خوارزمية لحل المعادلات العقلانية الكسرية بهذه الطريقة. يقوم الأطفال بصياغة الخوارزمية بأنفسهم.

خوارزمية حل المعادلات العقلانية الكسرية:

1. انقل كل شيء إلى الجانب الأيسر.
2. تقليل الكسور إلى قاسم مشترك.
3. إنشاء نظام: الكسر يساوي صفرًا عندما يكون البسط يساوي صفرًا والمقام لا يساوي صفرًا.
4. حل المعادلة.
5. التحقق من عدم المساواة لاستبعاد الجذور الدخيلة.
6. اكتب الجواب.

4. الفهم الأولي للمواد الجديدة.

العمل في أزواج. يختار الطلاب كيفية حل المعادلة بأنفسهم اعتمادًا على نوع المعادلة. مهام من الكتاب المدرسي "الجبر 8" يو.ن. ماكاريتشيف، 2007: رقم 600(ب،ج)؛ رقم 601(أ،ه). يراقب المعلم إكمال المهمة، ويجيب على أي أسئلة تطرأ، ويقدم المساعدة للطلاب ذوي الأداء المنخفض. الاختبار الذاتي: الإجابات مكتوبة على السبورة.

ب) 2 - جذر غريب. الجواب: 3.

ج) 2 - جذر خارجي. الجواب: 1.5.

أ) الإجابة: -12.5.

5. تحديد الواجبات المنزلية.

1. اقرأ الفقرة 25 من الكتاب المدرسي، وحلل الأمثلة 1-3.
2. تعلم خوارزمية لحل المعادلات الكسرية.
3. حل في الدفاتر رقم 600 (د، د)؛ رقم 601(ز،ح).

6. تلخيص الدرس.

لذا، تعرفنا اليوم في الدرس على المعادلات الكسرية وتعلمنا حل هذه المعادلات بطرق مختلفة. بغض النظر عن كيفية حل المعادلات الكسرية، ما الذي يجب أن تضعه في الاعتبار؟ ما هو "المكر" في المعادلات العقلانية الكسرية؟

شكرا للجميع، انتهى الدرس.

§ 1 المعادلات العقلانية الصحيحة والكسرية

في هذا الدرس سوف نلقي نظرة على مفاهيم مثل المعادلة المنطقية، والتعبير العقلاني، والتعبير الكامل، والتعبير الكسري. دعونا نفكر في حل المعادلات العقلانية.

المعادلة العقلانية هي معادلة يكون فيها الطرفان الأيسر والأيمن تعبيرات عقلانية.

التعبيرات العقلانية هي:

كسور.

يتكون تعبير الأعداد الصحيحة من أرقام ومتغيرات وقوى أعداد صحيحة باستخدام عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة على رقم غير الصفر.

على سبيل المثال:

تتضمن التعبيرات الكسرية القسمة على متغير أو تعبير بمتغير. على سبيل المثال:

التعبير الكسري ليس له معنى لجميع قيم المتغيرات المضمنة فيه. على سبيل المثال، التعبير

عند x = -9 هذا غير منطقي، لأنه عند x = -9 يصبح المقام صفرًا.

هذا يعني أن المعادلة المنطقية يمكن أن تكون عددًا صحيحًا أو كسريًا.

المعادلة العقلانية الكاملة هي معادلة عقلانية يكون فيها الجانبان الأيسر والأيمن عبارة عن تعبيرات كاملة.

على سبيل المثال:

المعادلة الكسرية هي معادلة عقلانية يكون فيها الجانب الأيسر أو الأيمن عبارة عن تعبيرات كسرية.

على سبيل المثال:

§ 2 حل معادلة عقلانية كاملة

دعونا نفكر في حل معادلة عقلانية كاملة.

على سبيل المثال:

لنضرب طرفي المعادلة في المقام المشترك الأصغر لمقامات الكسور المتضمنة فيها.

للقيام بذلك:

1. أوجد القاسم المشترك للمقامات 2، 3، 6. وهو يساوي 6؛

2. أوجد عاملاً إضافياً لكل كسر. للقيام بذلك، قم بتقسيم القاسم المشترك 6 على كل مقام

عامل إضافي للكسر

عامل إضافي للكسر

3. اضرب بسط الكسور في العوامل الإضافية المقابلة لها. وهكذا نحصل على المعادلة

وهو ما يعادل المعادلة المعطاة

فلنفتح القوسين على اليسار، ونحرك الجزء الأيمن إلى اليسار، مع تغيير إشارة المصطلح عند نقله إلى الجانب المقابل.

دعونا نأتي بشروط مماثلة لكثيرة الحدود ونحصل عليها

ونرى أن المعادلة خطية.

وبعد حلها نجد أن x = 0.5.

§ 3 حل معادلة عقلانية كسرية

دعونا نفكر في حل معادلة عقلانية كسرية.

على سبيل المثال:

1. اضرب طرفي المعادلة في المقام المشترك الأصغر لمقامات الكسور النسبية الموجودة فيها.

لنجد القاسم المشترك للمقامين x + 7 و x - 1.

وهو يساوي حاصل ضربهم (x + 7)(x - 1).

2. دعونا نجد عاملاً إضافيًا لكل كسر نسبي.

للقيام بذلك، قم بتقسيم المقام المشترك (x + 7)(x - 1) على كل مقام. مضاعف إضافي للكسور

يساوي س - 1،

عامل إضافي للكسر

يساوي س+7.

3. اضرب بسط الكسور في العوامل الإضافية المقابلة لها.

نحصل على المعادلة (2س - 1)(س - 1) = (3س + 4)(س + 7) وهي تعادل هذه المعادلة

4. اضرب ذات الحدين في ذات الحدين على اليسار واليمين واحصل على المعادلة التالية

5. نحرك الجهة اليمنى إلى الجهة اليسرى مع تغيير إشارة كل حد عند الانتقال إلى الجهة المقابلة:

6. دعونا نقدم مصطلحات مماثلة لكثيرة الحدود:

7. يمكن تقسيم كلا الجزأين على -1. نحصل على معادلة تربيعية:

8. بعد حلها سنجد الجذور

منذ في مكافئ.

الجانب الأيسر والأيمن عبارة عن تعبيرات كسرية، وفي التعبيرات الكسرية، بالنسبة لبعض قيم المتغيرات، يمكن أن يصبح المقام صفرًا، فمن الضروري التحقق مما إذا كان المقام المشترك لا يذهب إلى الصفر عند العثور على x1 وx2 .

عند x = -27، لا يختفي القاسم المشترك (x + 7)(x - 1)؛ وعند x = -1، لا يكون القاسم المشترك صفرًا أيضًا.

وبالتالي، فإن كلا الجذرين -27 و-1 هما جذور المعادلة.

عند حل معادلة عقلانية كسرية، من الأفضل الإشارة على الفور إلى نطاق القيم المقبولة. قم بإزالة تلك القيم التي يصبح عندها القاسم المشترك صفرًا.

لنفكر في مثال آخر لحل معادلة عقلانية كسرية.

على سبيل المثال، دعونا نحل المعادلة

نقوم بتحليل مقام الكسر الموجود على الجانب الأيمن من المعادلة

نحصل على المعادلة

لنجد القاسم المشترك للمقامات (x - 5)، x، x(x - 5).

سيكون التعبير x(x - 5).

الآن دعونا نجد مدى القيم المقبولة للمعادلة

للقيام بذلك، نقوم بمساواة القاسم المشترك بالصفر x(x - 5) = 0.

نحصل على معادلة، لحلها نجد أنه عند x = 0 أو عند x = 5 يذهب القاسم المشترك إلى الصفر.

هذا يعني أن x = 0 أو x = 5 لا يمكن أن يكونا جذور المعادلة.

يمكن الآن العثور على مضاعفات إضافية.

عامل إضافي للكسور العقلانية

عامل إضافي للكسر

سيكون (س - 5)،

والعامل الإضافي للكسر

نضرب البسطين في العوامل الإضافية المقابلة.

نحصل على المعادلة x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5).

لنفتح القوسين على اليسار واليمين، x2 - 3x + x - 5 = x + 5.

لننقل الحدود من اليمين إلى اليسار مع تغيير إشارة الحدود المنقولة:

س2 - 3س + س - 5 - س - 5 = 0

وبعد إحضار مصطلحات متشابهة نحصل على معادلة تربيعية x2 - 3x - 10 = 0. وبعد حلها نجد الجذور x1 = -2؛ ×2 = 5.

لكننا اكتشفنا بالفعل أنه عند x = 5، يصبح القاسم المشترك x(x - 5) صفرًا. وبالتالي، جذر المعادلة لدينا

سيكون س = -2.

§ 4 ملخص مختصر للدرس

من المهم أن تتذكر:

عند حل المعادلات الكسرية اتبع ما يلي:

1. أوجد القاسم المشترك للكسور الموجودة في المعادلة. علاوة على ذلك، إذا كان من الممكن تحليل مقامات الكسور، فقم بتحليلها ثم ابحث عن المقام المشترك.

2. اضرب طرفي المعادلة في قاسم مشترك: ابحث عن عوامل إضافية، واضرب البسطين في عوامل إضافية.

3. حل المعادلة الكاملة الناتجة.

4. اقتلاع من جذوره ما يؤدي إلى زوال القاسم المشترك.

قائمة الأدبيات المستخدمة:

1. ماكاريتشيف يو.إن.، إن.جي مينديوك، نيشكوف كي.آي.، سوفوروفا إس.بي. / حرره Telyakovsky S.A. الجبر: كتاب مدرسي. للصف الثامن. التعليم العام المؤسسات. - م: التربية، 2013.
2. موردكوفيتش أ.ج. الجبر. الصف الثامن: في جزأين. الجزء الأول: الكتاب المدرسي. للتعليم العام المؤسسات. - م: منيموسين.
3. روروكين أ.ن. تطورات دروس الجبر: الصف الثامن - م: فاكو، 2010.
4. الجبر الصف الثامن: خطط الدروس بناءً على الكتاب المدرسي من تأليف Yu.N. ماكاريتشيفا، ن.ج. مينديوك، ك. نيشكوفا، س.ب. سوفوروفا / Auth.-comp. تي إل. أفاناسييفا، لوس أنجلوس تابيلينا. - فولجوجراد: مدرس، 2005.

لقد قمنا حتى الآن بحل المعادلات الصحيحة فقط فيما يتعلق بالمجهول، أي المعادلات التي لا تحتوي المقامات فيها (إن وجدت) على المجهول.

غالبًا ما يتعين عليك حل المعادلات التي تحتوي على مجهول في المقامات: تسمى هذه المعادلات بالمعادلات الكسرية.

لحل هذه المعادلة، نضرب كلا الطرفين في كثيرة الحدود التي تحتوي على المجهول. فهل المعادلة الجديدة ستكون معادلة لهذه؟ للإجابة على السؤال، دعونا نحل هذه المعادلة.

بضرب الطرفين في نحصل على:

وبحل هذه المعادلة من الدرجة الأولى نجد:

إذن المعادلة (2) لها جذر واحد

وبالتعويض في المعادلة (1) نحصل على:

وهذا يعني أنه أيضًا جذر للمعادلة (1).

المعادلة (1) ليس لها جذور أخرى. في مثالنا، يمكن ملاحظة ذلك، على سبيل المثال، من حقيقة أنه في المعادلة (1)

كيف يجب أن يكون المقسوم عليه المجهول مساويًا للمقسوم 1 مقسومًا على الحاصل 2، أي

إذن، المعادلتان (1) و (2) لهما جذر واحد، مما يعني أنهما متساويتان.

2. دعونا الآن نحل المعادلة التالية:

أبسط قاسم مشترك: ; اضرب جميع شروط المعادلة بها:

بعد التخفيض نحصل على:

دعونا نوسع الأقواس:

وبإحضار مصطلحات مماثلة، لدينا:

وبحل هذه المعادلة نجد:

وبالتعويض في المعادلة (1) نحصل على:

على الجانب الأيسر تلقينا تعبيرات لا معنى لها.

وهذا يعني أن المعادلة (1) ليست جذرًا. ويترتب على ذلك أن المعادلات (1) وغير متكافئة.

في هذه الحالة، يقولون أن المعادلة (1) قد اكتسبت جذرًا خارجيًا.

دعونا نقارن حل المعادلة (1) بحل المعادلات التي تناولناها سابقًا (انظر الفقرة 51). في حل هذه المعادلة، كان علينا إجراء عمليتين لم نشاهدهما من قبل: أولاً، قمنا بضرب طرفي المعادلة في تعبير يحتوي على المجهول (المقام المشترك)، وثانياً، قمنا بتبسيط الكسور الجبرية بعوامل تحتوي على المجهول .

وبمقارنة المعادلة (1) مع المعادلة (2) نرى أنه ليست كل قيم x الصالحة للمعادلة (2) صالحة للمعادلة (1).

إن الرقمين 1 و 3 ليسا قيمتين مقبولتين للمجهول للمعادلة (1)، لكن نتيجة التحويل أصبحا مقبولتين للمعادلة (2). وقد تبين أن أحد هذه الأرقام هو حل للمعادلة (2)، لكنه بالطبع لا يمكن أن يكون حلاً للمعادلة (1). المعادلة (1) ليس لها حلول.

يوضح هذا المثال أنه عند ضرب طرفي المعادلة بعامل يحتوي على مجهول، وعند اختزال الكسور الجبرية، يمكن الحصول على معادلة لا تعادل المعادلة المعطاة، وهي: قد تظهر جذور خارجية.

ومن هنا نستخلص الاستنتاج التالي. عند حل معادلة تحتوي على مجهول في المقام، يجب التحقق من الجذور الناتجة عن طريق التعويض في المعادلة الأصلية. يجب التخلص من الجذور الدخيلة.

يتم استخدام القاسم المشترك الأصغر لتبسيط هذه المعادلة.يتم استخدام هذه الطريقة عندما لا تتمكن من كتابة معادلة معينة بتعبير منطقي واحد على كل جانب من المعادلة (واستخدم طريقة الضرب المتقاطعة). تُستخدم هذه الطريقة عندما تحصل على معادلة عقلانية تحتوي على 3 كسور أو أكثر (في حالة وجود كسرين، فمن الأفضل استخدام الضرب المتقاطع).

ابحث عن المقام المشترك الأصغر للكسور (أو المضاعف المشترك الأصغر). NOZ هو أصغر رقم يمكن القسمة عليه بالتساوي على كل مقام.

• في بعض الأحيان يكون NPD رقمًا واضحًا. على سبيل المثال، إذا أعطيت المعادلة: x/3 + 1/2 = (3x +1)/6، فمن الواضح أن المضاعف المشترك الأصغر للأرقام 3 و2 و6 هو 6.
• إذا لم يكن المرض غير واضح، فاكتب مضاعفات المقام الأكبر وابحث بينهم عن مضاعف للمقامات الأخرى. في كثير من الأحيان يمكن العثور على NOD ببساطة عن طريق ضرب مقامين. على سبيل المثال، إذا كانت المعادلة x/8 + 2/6 = (x - 3)/9، فإن NOS = 8*9 = 72.
• إذا كان واحد أو أكثر من المقامات يحتوي على متغير، تصبح العملية أكثر تعقيدا إلى حد ما (ولكنها ليست مستحيلة). في هذه الحالة، NOC عبارة عن تعبير (يحتوي على متغير) مقسومًا على كل مقام. على سبيل المثال، في المعادلة 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1)، لأن هذا التعبير مقسوم على كل مقام: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3س(س-1)/س = 3(س-1).

اضرب كلاً من البسط والمقام لكل كسر برقم يساوي نتيجة قسمة NOC على المقام المقابل لكل كسر.

• بما أنك تضرب البسط والمقام بنفس الرقم، فأنت بذلك تضرب الكسر في 1 (على سبيل المثال، 2/2 = 1 أو 3/3 = 1).
• لذلك في مثالنا، اضرب x/3 في 2/2 لتحصل على 2x/6، واضرب 1/2 في 3/3 لتحصل على 3/6 (الكسر 3x +1/6 لا يحتاج إلى الضرب لأنه المقام هو 6).

تابع بالمثل عندما يكون المتغير في المقام. في مثالنا الثاني، NOZ = 3x(x-1)، لذا اضرب 5/(x-1) في (3x)/(3x) لتحصل على 5(3x)/(3x)(x-1)؛ 1/x مضروبًا في 3(x-1)/3(x-1) وتحصل على 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) مضروبًا في (x-1)/(x-1) وتحصل على 2(x-1)/3x(x-1).ابحث عن x.

• الآن بعد أن قمت بتبسيط الكسور إلى مقام مشترك، يمكنك التخلص من المقام. للقيام بذلك، اضرب كل طرف من المعادلة بالمقام المشترك. ثم قم بحل المعادلة الناتجة، أي ابحث عن "x". للقيام بذلك، قم بعزل المتغير في أحد طرفي المعادلة.
• في مثالنا: 2س/6 + 3/6 = (3س +1)/6. يمكنك جمع كسرين لهما نفس المقام، لذا اكتب المعادلة على النحو التالي: (2س+3)/6=(3س+1)/6. اضرب طرفي المعادلة في 6 وتخلص من المقامات: 2x+3 = 3x +1. حل واحصل على x = 2.