يتم تحديد ظهور مشكلة تثليث الزاوية (أي تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء متساوية) من خلال الحاجة إلى حل مشكلة بناء مضلعات منتظمة. لا بد أن بناء خماسي منتظم مزود ببوصلة ومسطرة قد ترك انطباعًا كبيرًا لدى الفيثاغوريين، لأن النجمة الخماسية العادية كانت علامة تعريفهم (ترمز إلى الصحة). الأسطورة التالية معروفة.
كان أحد الفيثاغوريين يموت في أرض أجنبية ولم يتمكن من دفع أجر الرجل الذي يعتني به. قبل وفاته، أمره بتصوير نجمة خماسية على منزله: إذا مر أحد الفيثاغوريين، فسوف يسأل بالتأكيد عن ذلك. وبالفعل، بعد سنوات قليلة، رأى شخص فيثاغوري هذه العلامة وكافأ صاحب المنزل.
يرتبط أصل مشكلة تثليث الزاوية أيضًا بالأنشطة العملية، على وجه الخصوص، كانت القدرة على تقسيم الدائرة إلى أجزاء متساوية ضرورية عند صنع عجلة ذات إبر لتقسيم زاوية أو قوس الدائرة إلى عدة أجزاء متساوية وكان ذلك ضروريًا أيضًا في الهندسة المعمارية وفي صناعة الزخارف وفي تكنولوجيا البناء وفي علم الفلك.
باستخدام البوصلة والمسطرة، يمكنك إنشاء خطوط n منتظمة لـ n = 6 و8، ولكن ليس لـ n = 7 و9. يعد إنشاء شكل سباعي منتظم مشكلة مثيرة للاهتمام: يمكن حلها باستخدام طريقة "الإدراج". تم اقتراح بناء المضلع السباعي المنتظم من قبل أرخميدس. لكن محاولات بناء شكل سداسي منتظم كان ينبغي أن تؤدي إلى مشكلة تثليث الزوايا، لأنه لبناء شكل سداسي منتظم كان من الضروري بناء زاوية قدرها 360°/9 = 120/3، أي تقسيم زاوية قياسها 120° إلى ثلاثة أجزاء متساوية.
لماذا فضل اليونانيون البوصلات والمساطر على الأدوات الأخرى؟
لا يستطيع العلماء الإجابة على هذا السؤال بشكل لا لبس فيه وبشكل مقنع بما فيه الكفاية. هل لأن البوصلات والمساطر هي أبسط الأدوات؟ ربما لذلك. ومع ذلك، يمكن ذكر العديد من الأدوات الأخرى التي تكون بسيطة مثل البوصلة والمسطرة، أو تقريبًا بنفس البساطة. وبمساعدة بعضهم، يتم أيضًا حل المشكلات المصاغة.
في الأدبيات ذات الصلة، يمكن للمرء أن يجد محاولات لشرح هذا التعاطف غير العادي لدى اليونانيين على وجه التحديد مع البوصلات والحكام. يتكون أي شكل هندسي من نوعين من الخطوط - مستقيمة أو منحنية. وأي منحنى يتكون من أجزاء من دوائر بأقطار مختلفة. علاوة على ذلك، فإن الخط المستقيم والدائرة هما الخطان الوحيدان اللذان يتمتعان بانحناء ثابت على المستوى.
تقسيم الزاوية القائمة إلى ثلاثة أجزاء متساوية.
في بعض الحالات الخاصة، يكون من السهل تقسيم الزاوية. وهكذا، تمكن الفيثاغوريون من تقسيم الزاوية القائمة إلى ثلاثة أجزاء متساوية، بناءً على حقيقة أن كل زاوية في المثلث متساوي الأضلاع تساوي 60 درجة.
فليكن من الضروري تقسيم الخط المستقيم (MAN.
نرسم قطعة عشوائية AC على الشعاع AN، ونبني عليها مثلثًا متساوي الأضلاع ACB. بما أن (CAB تساوي 60°، إذن (BAM تساوي 30°. لنقم ببناء المنصف AD للزاوية CAB، نحصل على التقسيم المطلوب للخط المستقيم (MAN) إلى ثلاث زوايا متساوية: (NAD، (DAB، (BAM .
تبين أن مشكلة تثليث الزاوية قابلة للحل بالنسبة لبعض القيم المحددة الأخرى للزاوية (على سبيل المثال، لزوايا 90 درجة / 2ن، حيث n هو رقم طبيعي). حقيقة أن أي زاوية لا يمكن تقسيمها إلى ثلاثة أجزاء متساوية باستخدام البوصلة والمسطرة فقط، تم إثباتها فقط في النصف الأول من القرن التاسع عشر.
الحل باستخدام طريقة "الإدراج".
بعض طرق تثليث الزوايا التي نظر فيها اليونانيون استخدمت ما يسمى بطريقة الإدراج. كان يتألف من العثور على موضع الخط الذي يمر عبر نقطة معينة O، حيث يقطع خطان محددان (أو خط ودائرة) قطعة بطول معين a. يمكن إجراء هذا البناء باستخدام بوصلة ومسطرة ذات قسمين، المسافة بينهما تساوي أ.
باستخدام "الإدراجات" من السهل جدًا تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء متساوية. لنأخذ نقطة عشوائية A على جانب الزاوية التي رأسها B ونسقط منها تيارًا مترددًا متعامدًا إلى الجانب الآخر.
دعونا نرسم شعاعًا يمر عبر النقطة A، ويشترك في الاتجاه مع الشعاع BC. لندخل الآن بين الشعاعين AC وl قطعة DE بطول 2AB بحيث يمر استمرارها بالنقطة B. ثم (EBC = (ABC/3. في الواقع، لتكن G هي نقطة المنتصف للقطعة DE. تقع النقطة A على دائرة قطرها DE، وبالتالي AG = GE = DE/2 = AB، المثلثان BAG وAGE متساوي الساقين، وبالتالي (ABG = (AGB = 2(AEG = 2(EBC.
أظهر بابوس السكندري أن مشكلة "إدخال" قطعة بين الخطوط المتعامدة المعطاة l1 وl2 تتلخص في إنشاء نقطة تقاطع الدائرة والقطع الزائد. لنفترض مستطيلًا ABCD، تم إعطاء امتدادات ضلعيه BC وCD خطوطًا، والرأس A هو نقطة معينة نحتاج من خلالها إلى رسم خط يتقاطع مع الخطين l1 وl2 عند النقطتين E وF بحيث يكون للقطعة EF طول معين.
لنكمل المثلث DEF إلى متوازي الأضلاع DEFG. لبناء الخط المطلوب، يكفي بناء النقطة G، ثم من خلال النقطة A ارسم خطًا موازيًا للخط المستقيم DG. تتم إزالة النقطة G من النقطة D بمسافة معينة DG = EF، لذا فإن النقطة G تقع على دائرة يمكن تشكيلها.
ومن ناحية أخرى، من تشابه المثلثات ABF وEDA نحصل على AB: ED = BF: AD، أي ED*BF=AB*AD. وبالتالي، FG*BF=AB*AD = SABCD، أي أن النقطة G تقع على القطع الزائد (إذا قمت بتوجيه محوري Ox وOy على طول الشعاعين BF وBA، فسيتم الحصول على هذا القطع الزائد بالمعادلة xy = SABCD)
الحل باستخدام المصفوفة الرباعية
تتضمن المسائل "النحوية" مشكلة قسمة الزاوية بأي نسبة. تم اختراع المنحنى الأول لحل مثل هذه المشكلة بواسطة هيبياس إليس. لاحقًا (بدءًا من دينوستراتوس) تم استخدام هذا المنحنى أيضًا لحل تربيع الدائرة. أطلق لايبنتز على هذا المنحنى اسم رباعي.
يتم الحصول عليها على النحو التالي. دع نهايات القطعة B′C′ تتحرك بشكل موحد على طول الجانبين، BA وCD، على التوالي، في المربع ABCD، والقطعة AN تدور بشكل موحد حول النقطة A. القطعة B′C′ في اللحظة الأولية تتزامن مع القطعة BC، والقطعة AN تتطابق مع القطعة AB ؛ يصل كلا الجزأين في نفس الوقت إلى موضعهما النهائي AD. المربع الرباعي هو منحنى يوصف بنقطة تقاطع القطع B′C′ و AN.
من أجل تقسيم الزاوية الحادة φ إلى حد ما، من الضروري رسم الزاوية DAL = φ في الرسم أعلاه، حيث تقع L على التربيع. دعونا نسقط العمود LH على القطعة AD. دعونا نقسم هذا العمودي بالنسبة المطلوبة على النقطة P. ارسم قطعة مستقيمة موازية للـ AD حتى P حتى تتقاطع مع التربيع عند النقطة Q؛ يقسم الشعاع AQ الزاوية LAD بالنسبة المطلوبة، لأنه، حسب تعريف المربع، (LAQ: (QAD = (LP: (LH.
تدريب عملي على بناء مثلثات الزوايا
بطريقة "الإدراج".
باستخدام المربعات
الحل باستخدام نظرية مورلي
بما أن أي زاوية لا يمكن تقسيمها إلى ثلاثة أجزاء متساوية، فيمكننا حل مشكلة تثليث الزاوية بترتيب عكسي باستخدام نظرية مورلي.
نظرية. دع ثلاثيات الزوايا B و C الأقرب إلى الجانب BC تتقاطع عند النقطة A1؛ يتم تحديد النقطتين B1 وC1 بالمثل. إذن المثلث A1B1C1 متساوي الأضلاع، والقطعة C1C متعامدة مع قاعدة المثلث المنتظم.
دعونا نحل المشكلة التالية: أنشئ مثلثًا به مثلثات مرسومة من جميع زواياه.
خطة البناء.
1) لنقم ببناء زاويتين اختياريتين (BAC1 و (ABC1)، أحدهما مشترك.
يجب أن تحقق الزوايا المبنية عدم المساواة:
2) اجعل الشعاع AC1 هو محور التماثل. فلنعكس (BAC1 بالنسبة إلى المحور AC1. وبالمثل، سنعكسه بالنسبة إلى المحور BC1 (ABC1.
3) اجعل الشعاع AC2 هو محور التماثل. دعونا نتأمل (C1AC2 بالنسبة إلى المحور AC2. وبالمثل، ننعكس بالنسبة إلى المحور BC2 (C1ВC2.
4) قم بتوصيل نقاط تقاطع المثلثات C1 و C2 بالقطعة C1C2.
5) تنص نظرية مورلي على أنه عندما تتقاطع ثلاثيات المثلث نحصل على مثلث منتظم، وتكون القطعة C1C2 عمودية على قاعدة مثلث منتظم وتمر برأس هذا المثلث. من أجل بناء مثلث منتظم، ومعرفة ارتفاعه، من الضروري: أ) بناء الأشعة المنبعثة من النقطة C1 بزاوية 30 درجة بالنسبة للقطعة C1C2؛ ب) تحديد نقاط تقاطع الأشعة المبنية مع المثلثات بالحرفين B1 و A1؛ ج) ربط النقاط A1، B1، C1. نحصل على مثلث متساوي الأضلاع A1B1C1.
6) لنرسم الأشعة من النقطة C مروراً برءوس المثلث المنتظم B1 و A1.
دعونا نترك في الشكل شرائح مثلثات المثلث.
لقد قمنا ببناء مثلث ABC مع مثلثات مرسومة من جميع زواياه.
عدم إمكانية حل مثلث الزاوية باستخدام البوصلة والمسطرة
ولإثبات استحالة تقسيم أي زاوية إلى ثلاثة أجزاء متساوية باستخدام البوصلة والمسطرة، يكفي إثبات استحالة تقسيم زاوية محددة معينة بهذه الطريقة. سنثبت أنه باستخدام البوصلة والمسطرة، من المستحيل قطع زاوية مقدارها 30 درجة. دعونا نقدم نظام الإحداثيات Oxy، واختيار قمة هذه الزاوية AOB كأصل الإحداثيات وتوجيه محور Ox على طول الجانب OA. يمكننا أن نفترض أن النقطتين A وB تتم إزالتهما من النقطة O بمسافة 1. ثم في مشكلة تثليث الزاوية، يلزم إنشاء نقطة (cosφ, sinφ) من نقطة بإحداثيات (cos 3φ, الخطيئة 3φ). في حالة φ=10°، يكون لنقطة البداية إحداثيات. يتم التعبير عن كلا إحداثياته بالجذور التربيعية. لذلك، يكفي إثبات أن العدد sin 10° لا يتم التعبير عنه بالجذور التربيعية.
بما أن sin3φ = sin(φ + 2φ) =
الخطيئة(α + β) = الخطيئةα cosβ + cosα الخطيئةβ
Sinφ cos2φ + cosφ sin2φ =
cos2α = cos2α - sin2α
sin2α = 2sinα cosα
Sinφ(cos2φ - sin2φ) + cosφ(2sinφ cosφ) =
sin2α + cos2α = 1 cos2α = 1 - sin2α
Sinφ(1 - sin2φ - sin2φ) + 2sinφ cos2φ =
Sinφ(1 - 2sin2φ) + 2sinφ(1 - sin2φ) =
Sinφ(1 - 2sin2φ + 2 - 2sin2φ) =
الخطيئةφ(3 - 4الخطيئة2φ) =
3sinφ - 4sin3φ sin3φ = 3sinφ - 4sin3φ، فإن الرقم x = sin 10° يحقق المعادلة التكعيبية
3x - 4x3 = ½ (φ =10°، 3φ =30°، sin3φ = ½)
8x3 - 6س + 1 = 0
(2س)3 -3*2س + 1 = 0
ويكفي إثبات أن هذه المعادلة ليس لها جذور كسرية. لنفترض أن 2x=p/q، حيث p وq عددان صحيحان ليس لهما عوامل مشتركة. ثم p3 – 3pq2 + q3 = 0، أي q3=p(3q2-p2). ولذلك فإن الرقم q قابل للقسمة على p، مما يعني p=±1. لذلك ±13q2 + q3 =0، أي q2(q±3)= ±1. الرقم 1 قابل للقسمة على q، لذلك q=±1. ونتيجة لذلك، نحصل على أن س = ±1/2. من السهل التحقق من أن القيم ±1/2 ليست جذور المعادلة. تم الحصول على تناقض، وبالتالي فإن المعادلة ليس لها جذور كسرية، مما يعني أن العدد sin10° لا يمكن التعبير عنه بالجذور التربيعية.
طلب
يعتبر تثليث الزوايا ضروريًا عند إنشاء مضلعات منتظمة. سننظر إلى عملية البناء باستخدام مثال مسدس منتظم منقوش في دائرة.
أنشئ مثلثًا قائمًا ABC. نقوم ببناء المثلثات BC1 و BC2. وكانت الزوايا الناتجة 30 درجة. نقسم إحدى الزوايا الناتجة إلى منصفين كل منهما 15 درجة. إلى الزاوية اليمنى "نضيف" 15 درجة على كل جانب. مرة أخرى نقوم ببناء مثلثات الزاوية الناتجة DBE. نكرر ذلك مرتين أخريين، مع تدوير المثلث عند النقطة B بحيث يتزامن DB مع الموضع السابق BE. قم بتوصيل النقاط الناتجة.
تمكنا من بناء تسعة أضلاع منتظمة باستخدام بناء المثلثات.
تريسيكتور
لا يمكن حل مشكلة تثليث الزاوية بشكل عام باستخدام البوصلة والمسطرة، لكن هذا لا يعني أنه لا يمكن حل هذه المشكلة بوسائل مساعدة أخرى.
ولتحقيق هذا الهدف، تم اختراع العديد من الأجهزة الميكانيكية التي تسمى تريسيكتورز. يمكن صنع أبسط قاطع ثلاثي بسهولة من الورق السميك أو الورق المقوى أو القصدير الرقيق. سيكون بمثابة أداة رسم مساعدة.
Trisctor ومخطط تطبيقه.
الشريط AB المجاور لنصف الدائرة يساوي طوله نصف قطر الدائرة. تشكل حافة الشريط ВD زاوية قائمة مع الخط المستقيم AC؛ يلامس نصف الدائرة عند النقطة B؛ طول هذا الشريط تعسفي. ويوضح نفس الشكل استخدام الثلاثي. لنفترض، على سبيل المثال، أنك تريد تقسيم الزاوية KSM إلى ثلاثة أجزاء متساوية
يتم وضع المثلث بحيث يكون رأس الزاوية S على الخط BD، ويمر أحد جوانب الزاوية بالنقطة A، ويلامس الجانب الآخر نصف الدائرة. ثم يتم رسم الخطوط المستقيمة SB و SO، ويتم الانتهاء من تقسيم هذه الزاوية إلى ثلاثة أجزاء متساوية. لإثبات ذلك، دعونا نربط المركز المستقيم للنصف الدائرة O مع نقطة المماس N بقطعة من السهل التحقق من أن المثلث ASB يساوي المثلث SBO، والمثلث SBO يساوي المثلث OSN. ويترتب على تساوي هذه المثلثات الثلاثة أن الزوايا ASB وBS0 و0SN متساوية مع بعضها البعض، وهو ما يحتاج إلى إثبات.
إن طريقة تثليث الزاوية هذه ليست طريقة هندسية بحتة؛ بل يمكن أن يطلق عليه اسم ميكانيكي.
ساعة تريكتور
(تعليمات الاستخدام)
المعدات: بوصلة، مسطرة، ساعة بالعقارب، قلم رصاص، ورق شفاف.
تقدم:
انقل شكل هذه الزاوية إلى ورق شفاف وفي اللحظة التي يتم فيها محاذاة عقارب الساعة، ضع الرسم على القرص بحيث يتزامن الجزء العلوي من الزاوية مع مركز دوران العقارب ويمتد جانب واحد من الزاوية الايدى.
وفي اللحظة التي يتحرك فيها عقرب الدقائق في الساعة ليتوافق مع اتجاه الضلع الثاني من هذه الزاوية، ارسم شعاعًا من أعلى الزاوية في اتجاه عقارب الساعة. يتم تشكيل زاوية مساوية لزاوية دوران عقارب الساعة. الآن، باستخدام البوصلة والمسطرة، ضاعف هذه الزاوية ثم ضاعف الزاوية المضاعفة مرة أخرى. الزاوية التي تم الحصول عليها بهذه الطريقة ستكون ⅓ من هذا.
في الواقع، في كل مرة يصف فيها عقرب الدقائق زاوية معينة، يتحرك عقرب الساعات خلال هذا الوقت إلى زاوية أصغر بـ 12 مرة، وبعد زيادة هذه الزاوية بمقدار 4 مرات، يتم الحصول على الزاوية (a/12) * 4 = ⅓ a.
خاتمة
لذلك، لعبت مشاكل البناء غير القابلة للحل دورا خاصا في تاريخ الرياضيات. وفي النهاية، ثبت أن هذه المشكلات لا يمكن حلها باستخدام البوصلات والمسطرة فقط. لكن صياغة المهمة ذاتها - "إثبات عدم قابلية الحل" - كانت خطوة جريئة إلى الأمام.
وفي الوقت نفسه، تم اقتراح العديد من الحلول باستخدام أدوات غير تقليدية. كل هذا أدى إلى ظهور وتطوير أفكار جديدة تمامًا في الهندسة والجبر.
بعد الانتهاء من عملي البحثي وتحليله، توصلت إلى الاستنتاجات التالية:
✓ تم تحديد ظهور مثل هذه المشاكل من خلال أهميتها العملية (على وجه الخصوص، بناء المضلعات المنتظمة)؛
✓ مثل هذه المشاكل تؤدي إلى تطوير أساليب ونظريات جديدة (طريقة "الإدراج"، ظهور المربع، نظرية مورلي)؛
✓ تجذب المشكلات غير القابلة للحل المزيد من الاهتمام بالعلم: إن إيجاد حل أو إثبات الاستحالة هو شرف عظيم.
وتعلمت أيضاً:
✓ عن علماء الرياضيات الذين درسوا هذه المشكلة؛
✓ مفاهيم ومصطلحات جديدة (التثليث، التثليث، التربيعي) والنظريات (مورلي) وتعلمها:
✓ العثور على المواد اللازمة واختيارها بشكل فعال؛
✓ تنظيم المعرفة المكتسبة.
✓ تنسيق العمل البحثي بشكل صحيح.
لتثليث الزاوية يعني تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء متساوية. وهذا بالطبع ليس بالأمر الصعب على الإطلاق. يمكنك، على سبيل المثال، قياس زاوية معينة باستخدام المنقلة، وتقسيم عدد الدرجات الذي تم العثور عليه على ثلاث، ثم استخدام نفس المنقلة لرسم الزاوية التي تحتوي على عدد الدرجات التي تم الحصول عليها كحاصل. ولكن يمكنك الحصول على
وبدون منقلة، باستخدام طريقة "التقريبات المتعاقبة": بعد إنشاء قوس بنصف قطر اعتباطي تكون له زاوية معينة مركزية، نأخذ بالعين المجردة الوتر المقابل للجزء الثالث من القوس، ونرسم هذا الوتر على التوالي ثلاث مرات على طول القوس، ابتداءً من أحد طرفيه. إذا وجدنا أنفسنا بعد ذلك على الطرف الآخر من القوس، فسيتم حل المشكلة. إذا، كما هو الحال عادة، لم نصل إلى الطرف الآخر من القوس، أو تجاوزه، فيجب تصحيح الوتر الذي أخذناه بالعين، أو زيادته أو تقليله بمقدار ثلث المسافة من النقطة التي تم الحصول عليها إلى نهاية القوس، وهذا الثلث مرة أخرى، نأخذه بالعين المجردة. نعيد هذا الوتر المصحح إلى القوس، وإذا لزم الأمر، نصححه مرة أخرى بنفس الطريقة. سيعطي كل وتر جديد (مصحح) حلاً أكثر دقة بشكل متزايد، وأخيراً، بتكرار العملية عدة مرات، سنحصل على وتر يتناسب مع قوس معين تقريبًا ثلاث مرات تقريبًا، وسيتم الانتهاء من تثليث الزاوية. بالطبع، تسمح لك هاتان الطريقتان بتقسيم زاوية معينة ليس فقط إلى ثلاثة، بل إلى أي عدد من الأجزاء المتساوية.
ومع ذلك، عندما يتحدث علماء الرياضيات عن مشكلة تثليث الزاوية، فإنهم لا يقصدون هذه الأشياء ذات القيمة الكبيرة من الناحية العملية، ولكنهم لا يزالون يقصدون فقط الطرق التقريبية، ولكن الطريقة الدقيقة، علاوة على ذلك، تعتمد فقط على استخدام البوصلة والمسطرة. تجدر الإشارة أيضًا إلى أن هذا يعني استخدام حافة واحدة فقط من المسطرة وأن المسطرة يجب أن تستخدم فقط لرسم الخطوط المستقيمة (على سبيل المثال، لا يُسمح باستخدام تقسيمات المقياس)، ويجب استخدام البوصلة فقط للرسم الدوائر. وأخيراً يجب أن توفر الطريقة المطلوبة حلاً للمشكلة من خلال عدد محدود من عمليات رسم الخطوط والدوائر. الملاحظة الاخيرة مهمة جدا . وبالتالي، بعد إثبات (باستخدام صيغة مجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي) ذلك
يمكننا أن نقترح الحل التالي لمشكلة تثليث زاوية، والتي تتطلب استخدام مسطرة وبوصلة فقط: نقسم الزاوية المعطاة إلى 4 أجزاء متساوية، وكما هو معروف، يمكن القيام بذلك باستخدام بوصلة وبوصلة المسطرة، ثم نضيف إلى الزاوية الناتجة تصحيحا يساوي ربع نفسها، أي هذه الزاوية، ثم التعديل الثاني،
تساوي الأولى، أي زاوية معينة، وما إلى ذلك. ويتطلب الحل الدقيق للمشكلة بهذه الطريقة عددًا كبيرًا لا نهائيًا من العمليات (تقسيم الزوايا إلى 4 أجزاء متساوية)، وبالتالي ليس الحل الكلاسيكي المقصود عندما يتحدثون عن حل مشكلة تثليث الزوايا ومشاكل البناء الأخرى.
لذا، سنتحدث عن الحل الدقيق لمشكلة تثليث الزاوية من خلال رسم عدد محدود من الخطوط المستقيمة والدوائر.
بالنسبة لبعض الزوايا، يتم حل هذه المشكلة بكل بساطة. لذلك، لتثليث زاوية 180 درجة، يكفي إنشاء زاوية 60 درجة، أي زاوية مثلث متساوي الأضلاع، ولتشذيب زاويتين 90 درجة و 45 درجة - زوايا 30 درجة و 15 درجة، أي نصف وربع زوايا مثلث متساوي الأضلاع. ومع ذلك، فقد ثبت أنه إلى جانب مجموعة لا حصر لها من الزوايا التي تقبل التثليث، هناك مجموعة لا حصر لها من الزوايا التي لا تقبل التثليث (بالمعنى المشار إليه أعلاه). وبالتالي، فإنه من المستحيل تقسيمها إلى ثلاثة أجزاء متساوية (برسم عدد محدود من الخطوط والدوائر) لا زاوية قياسها 60 درجة، ولا زاوية قياسها 30 درجة، ولا زاوية قياسها 15 درجة، ولا زاوية قياسها 40 درجة، ولا زاوية قياسها 120 درجة، ولا مجموعة لا نهائية من الزوايا الأخرى.
الآن دعونا نكتشف ما إذا كانت الطريقة التالية الموصى بها غالبًا لتقسيم زاوية عشوائية إلى ثلاثة أجزاء متساوية صحيحة. من الرأس B، بنصف قطر تعسفي، ارسم قوسًا من الدائرة التي تتقاطع مع جوانب الزاوية عند النقاط (الشكل 39). نقسم الوتر إلى ثلاثة أجزاء متساوية ونربط نقاط التقسيم بـ B. ستظهر الزوايا متساوية، وبالتالي سيتم إجراء تثليث زاوية عشوائية كما يلي:
مطلوب، أي عن طريق رسم عدد محدود من الخطوط والدوائر: تقسيم القطعة إلى ثلاثة أجزاء متساوية، وهو ما كان مطلوبًا هنا، يمكن أن يتم، كما هو معروف، بهذه الطريقة تمامًا.
ويعتقد أولئك الذين يقترحون مثل هذا الحل أن مساواة الأجزاء التي قسمنا إليها الوتر تستلزم مساواة الأقواس التي سيتم الحصول عليها إذا واصلنا التقاطع مع الدائرة. هو كذلك؟ إذا كانت هذه الأقواس متساوية، فإن الزوايا متساوية (فلتكن كل منها مساوية لـ a)، والأوتار التي تقابلها متساوية أيضًا، لكن القطعة أكبر من القطعة (هذا البيان يقترحه الرسم، لكننا سيثبت ذلك فيما يلي)، والقطعة تساوي القطعة لأن الزوايا ومتساوية:
وبالتالي، إذا كانت القطع متساوية، فإن القطع، وعلى خلاف الشرط، غير متساوية، ويجب رفض افتراض المساواة.
بعد أن خفضنا العمودي من قمة الرأس B إلى الوتر، نلاحظ أن الشكل بأكمله متماثل بالنسبة إلى BK: من خلال ثني الرسم على طول سنجعل نصفيه متطابقين. ومن هنا نستنتج أن القطعة III متعامدة ونظراً لذلك فإن القطعة متوازية والمثلثات متشابهة مما يعطي: ولكن وبالتالي كما ذكرنا أعلاه.
تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء متساوية باستخدام البوصلة والمسطرة (تثليث الزاوية).
حاشية. ملاحظة:
يُقترح نهج عام لحل مشاكل تقسيم الزاوية إلى أجزاء متساوية باستخدام البوصلة والمسطرة. على سبيل المثال، يظهر تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء متساوية (تثليث الزاوية).
الكلمات الدالة:
ركن؛ تقسيم زاوية تثليث الزاوية.
مقدمة.
تثليث الزاوية هو مشكلة تقسيم زاوية معينة إلى ثلاثة أجزاء متساوية عن طريق إنشاء بوصلة ومسطرة. بمعنى آخر، من الضروري إنشاء مثلثات زاوية - أشعة تقسم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء متساوية. إلى جانب مسائل تربيع الدائرة ومضاعفة المكعب، فهي إحدى مسائل البناء الكلاسيكية غير القابلة للحل والمعروفة منذ زمن اليونان القديمة.
غاية هذه المقالة هي دليل على مغالطة العبارة المذكورة أعلاه حول عدم قابلية الحل، على الأقل فيما يتعلق بمشكلة تثليث الزاوية.
الحل المقترح لا يتطلب إنشاءات معقدة،عالمي تقريبًا ويسمح لك بتقسيم الزوايا إلى أي عدد من الأجزاء المتساوية ، والذي بدوره يسمح لك ببناء أي مضلعات منتظمة.
الجزء التمهيدي.
لنرسم خطًا مستقيمًاأ وبناء ∆CDE عليه. دعنا نسميها "أساسية" (الشكل 1).
اختر على الخطأ النقطة التعسفية F وارسم خطًا مستقيمًا آخرب من خلال النقطة F وقمة الرأس D للمثلث. متصلب لنأخذ نقطتين عشوائيتين G وH ونربطهما بالنقطتين C وE كما هو موضح في الشكل 1. يتيح لنا تحليل الشكل كتابة العلاقات الواضحة التالية بين الزوايا:
1. أ 1 -α 3 =y 1 ; α 3 -α 5 =y 3 ; α 1 -α 5 =y 1 +ص 3 ;
2. أ 2 -α 4 =y 2 ; α 4 -α 6 =y 4 ; α 2 -α 6 =y 2 +ص 4 ;
3.ذ 1 / ذ 2 =y 3 / ذ 4 ;
شرح1. إلى النقطة 3: اجعل الزوايا - ∟C,∟D,∟E هي الزوايا عند الرؤوس المقابلة للمثلث الأساسي ∆CDE. وبعد ذلك يمكننا أن نكتب:
∟ج+∟د+∟ه=180 0 - مجموع الزوايا ∆CDE؛
∟ج+ص 2 +∟د-(ص 2 +ص 1 )+∟E+y 1 =180 0 - مجموع الزوايا ∆CGE؛
دع ذ 1 / ذ 2 = ن أو ص 1 =ن*ص 2 ، ثم،
∟ج+ص 2 +∟د-(ص 2 +ص 1 )+∟E+n*y 2 =180 0
مجموع الزوايا ∆CHE:
∟ج+(ص 2 +ص 4 )+∟د-(ص 2 +ص 4 +ص 1 +ص 3 )+∟E+n*(y 2 +ص 4 )=180 0 ، أين
ذ 1 +ص 3 =ن*(ص 2 +ص 4 ) أو ذ 1 +ص 3 =ن*ص 2 +ن*ص 4 ، ومنذ ذ 1 =ن*ص 2 ،الذي - التي
ذ 3 =ن*ص 4 وبالتالي ذ 1 / ذ 2 =y 3 / ذ 4 = ن.
بعد ذلك، خذ نقطتين تعسفيتين على الخطأ
- N وM، ورسم خطين من خلالهماج
ود
كما هو مبين في الشكل 2. ومن الواضح بما سبق أن نسبة التغيرات في الزوايا المتناظرة على الخطين c وd هي قيمة ثابتة، أي: (β) 1
-β
3
)/(β
3
-β
5
)= (β
2
-β
4
)/(β
4
-β
6
)=y 1
/ ذ 3
= ص 2
/ ذ 4
;
تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء متساوية.
على دائرة مركزها النقطة A، ارسم الزاوية E 1 أ. 2 =β (انظر الشكل 3.1). على الجانب الآخر من الدائرة سنضع ثلاث زوايا متناظرة - CAC 1 ، ج 1 تيار متردد. 2 ، ج 2 تيار متردد. 3 كل منها يساوي β. تقسيم الزاوية E 1 أ. 2 ، عند النقاط K 1 ،ك 3 ، إلى ثلاث زوايا متساوية - ∟E 1 أ.ك. 1 ، ∟ ك 1 أ.ك. 3 ، ∟ ك 3 أ. 2 يساوي β/3. لنرسم خطوطًا مستقيمة عبر نقاط على الدائرة كما هو موضح في الشكل. 3.1. قم بتوصيل النقاط C، E بخطوط مستقيمة 1 و ج 2 ، إي. (انظر الشكل 3.2)
من خلال النقطة K – تقاطع الخطوط، والنقطة K 1 لنرسم خطًا مستقيمًا. دعونا نختار نقطة تعسفية K على هذا الخط 2 ورسم خطين مستقيمين من خلاله من النقطتين C وC 2 .
ليس من الصعب أن نلاحظ أن الشكل. 3.2، إذا قمت بإزالة خط الدائرة، فهو مطابق تقريبًا للشكل 3.2. 2. (للتوضيح، تمت إضافة خط CC متقطع 2 ). وهذا يعني أن جميع العلاقات المذكورة أعلاه قابلة للتطبيق هنا، أي بالنسبة للزوايا التي يجب تقسيمها إلى ثلاثة أجزاء متساوية، فإن العلاقة y صالحة 1 / ذ 2 =y 3 / ذ 4 =1/2 (انظر الشرح 1. في الجزء التمهيدي). يتضح من الشكل 3.2 كيفية تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء متساوية.
خذ بعين الاعتبار، على سبيل المثال، تقسيم الزاوية β=50 إلى ثلاثة أجزاء متساوية 0 .
الخيار 1.
على دائرة مركزها A، نرسم بالبوصلات بشكل متناظر بالنسبة لبعضها البعض وقطر CB (انظر الشكل 4.1) قوس C 1 ج 2 = ب 1 ب 2 = ب 2 ب 3 = ب 1 ب 4 يساوي β=50 0 - نسبة إلى مركز الدائرة. نصف قوس ج 1 ج 2 - نسخة 1 نقسمها إلى نصفين (النقطة د). ارسم خطوطًا مستقيمة عبر النقاط B 1 كل من D والنقطة B 3 و ج. توصيل النقاط ب 1 و ج، ب 3 و ج 1 . نقوم بتوصيل نقاط التقاطع - F و E للخطوط المرسومة مسبقًا مع بعضها البعض. الزاوية الناتجة α=C 1 AG، حيث G هي نقطة تقاطع الخط FE مع الدائرة، وتساوي β/3.
الخيار 2.
على دائرة مركزها A، ارسم البوصلات بشكل متناظر بالنسبة لبعضها البعض والقطر CB (انظر الشكل 4.2) للقوس C 1 ج 2 = ب 1 ب 2 = ب 2 ب 3 = ب 1 ب 4 =β=50 0 - نسبة إلى مركز الدائرة. نقاط التوصيل ب 1 و ج، ب 3 و ج 1 . ضع الزوايا جانبًا y 2 =2y 1 (انظر الشكل 4.2) من السطر B 1 ج و ب 3 ج 1 ورسم خطوطًا مستقيمة تتوافق مع هذه الزوايا. نقوم بتوصيل نقاط التقاطع - F و E، للخطوط المرسومة مسبقًا، ببعضها البعض. الزاوية الناتجة α=C 1 AG≈16.67 0 ، حيث G هي نقطة تقاطع الخط FE مع الدائرة، وتساوي β/3.
البناء الكامل لتقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء متساوية (باستخدام مثال الزاوية β=50 0 ) كما هو موضح في الشكل 5
تقسيم الزاوية إلى عدد فردي (> 3) من الزوايا المتساوية.
على سبيل المثال، فكر في تقسيم الزاوية β=35 0 إلى خمس زوايا متساوية.
الطريقة رقم 1.
على دائرة مركزها A نرسم الزوايا C بالبوصلة بشكل متناظر بالنسبة لبعضها البعض والقطر CB 2 تيار متردد. 1 = ب 1 أ.ب 2 = ب 2 أ.ب 3 = ب 3 أ.ب 4 = ب 4 أ.ب 5 = ب 5 أ.ب 6 = بيتا = 35 0 (انظر الشكل 6)
تقسيم الزاوية ج 2 AC يساوي نصف الزاوية C 2 تيار متردد. 1 إلى النصف عند النقطة E. قم بتوصيل النقاط
ه، ج 2 ،ب 1 ،ب 2 ،ب 3 بعضها البعض كما هو موضح في الشكل 6. بعد ذلك، لتقسيم الزاوية، نستخدم الخيار 2 من المثال المذكور سابقًا، حيث من الواضح أن الخيار 1 لتقسيم الزوايا إلى عدد فردي > 3 زوايا متساوية لا ينطبق. من السطر ب 3 ه و ب 1 ج 2 عند النقاط ب 3 وب 1 وبناء على ذلك، وضعنا جانبا الزوايا ذ 1 و ذ 2 بنسبة 1:4. من النقاط ب 3 وب 1 ارسم خطوطًا مستقيمة مقابلة لهذه الزوايا حتى تتقاطع عند النقطة N. الزاوية C 2 أك = α = 7 0 سيكون ما تبحث عنه.
الطريقة رقم 2.
تشبه هذه الطريقة (انظر الشكل 7) الطريقة الأولى مع الاختلاف الوحيد الذي يستخدم للبناء ¼ الزاوية C2AC1 - الزاوية EAC المجاورة للخط الأوسط للدائرة BC. ميزة هذه الطريقة هي أنها تسهل تقسيم الزاوية إلى عدد كبير من الزوايا - 7، 9، 11، إلخ.
بناء سباعي منتظم.
لنفترض أن n هو عدد الأقسام (عدد القطاعات التي تنقسم إليها الزاوية).
ثم إذان-1=2 ك (١)، حيثك – أي عدد صحيح فإن الزاوية تنقسم إلى مرحلة واحدة كما بينا سابقاً. لون-1≠2 ك (2) – ثم تنقسم الزاوية إلى مرحلتين، الأولى إلىن-1 ، وبعد ذلكن . وفي جميع الأحوال تراعى النسبة التالية:ذ 1 / ذ 2 = 1/ن-1 (3).
دعونا نشرح ذلك باستخدام مثال بناء شكل سباعي منتظم.
من أجل بناء شكل سباعي، عليك إيجاد الجزء السابع من الزاوية التي قياسها 60 0 ، اضربها في ستة، وارسم الزاوية الناتجة سبع مرات حول الدائرة (هذا أحد الخيارات الممكنة). بما أن 7-1=6 إذن، وفقًا للصيغة (2)، تكون الزاوية 60 0 وسوف نقسمها على مرحلتين. في المرحلة الأولى، نقسم على ستة، ثم في المرحلة الثانية على سبعة. ولهذا الغرض، نقسم الزاوية 30 0 إلى ثلاثة قطاعات متساوية من 10 0 (انظر الشكل 8)، باستخدام الخيار 1، كأبسط خيار، الموصوف في بداية المقال. الزاوية الناتجة ECL = 10 0 ضعه جانبًا عن الخط الأوسط للدائرة (انظر الشكل 9). نحن نفترض أن زاوية ECL تنتمي إلى الزاوية 60 الموضوعة بشكل متماثل بالنسبة إلى خط الوسط 0 .
التالي للعثور على الجزء 1/7 من زاوية 60 0 نستخدم الطريقة رقم 2 الموضحة سابقًا. ولهذا الغرض، سوف ننحي الزاوية D جانبًا 1 قرص مضغوط 2 =60 0 متناظرة مع خط الوسط والزاوية D 2 قرص مضغوط 3 =60 0 المتاخمة لها. عند النقاط د 1 و د 3 دعونا نبني الزوايا y 1 و ذ 2 إلى خطوط د 1 ه و د 3 L وبناء على ذلك، مراعاة النسب وفقا للصيغة (3) - أي من 1 إلى 6.
لنرسم خطوطًا مستقيمة بزوايا y 1 و ذ 2 . لنقم بتوصيل نقطتي التقاطع G و F للخطوط المقابلة. الزاوية LCH=60 0 /7. دعنا ننحي هذه الزاوية جانبًا ست مرات من النقطة L إلى النقطة B. ولنضع جانبًا الزاوية الناتجة BCL ست مرات أخرى، ونتيجة لذلك نحصل على السباعي LBKFMNA.
خاتمة.
إن طريقة تقسيم الزاوية إلى أجزاء متساوية المقترحة في هذه المقالة بها قيود - فلا يمكن استخدامها مباشرة للزوايا > 60 0 ، والتي، مع ذلك، ليست ذات أهمية كبيرة من وجهة نظر قابلية الحل الأساسي للمشكلة.
فهرس:
1. ميتلسكي إن في الرياضيات. دورة المرحلة الثانوية للمتقدمين للجامعات والمدارس الفنية. إد. 3، الصورة النمطية. من.، "الأعلى. المدرسة"، 1975، 688 ص. من المرض.
يمكن تقسيم الخطوط المستقيمة والزوايا بطريقتين:بالعين وباستخدام البناء الهندسي.
عند تقسيم الخط إلى جزأين متساويين، اتبع ما يلي. ويؤخذ نصف هذا الخط المستقيم بالعين المجردة، ويوضع هذا النصف جانباً من طرفي الخط المستقيم. إذا تقاربت نهايات النصفين، فهذا يعني أن هذا الخط المستقيم مقسم بشكل صحيح، وإذا لم يكن كذلك، فسيتم تقسيم الخطأ (الفرق) مرة أخرى إلى النصف بالعين وإضافة (أو طرحه حسب الحاجة) إلى النصف الذي تم التقاطه؛ البوصلة.
وينطبق الشيء نفسه عند التقسيم إلى 3، 5، إلخ. أجزاء متساوية. عند التقسيم إلى 4 أجزاء متساوية، قم أولاً بتقسيم الخط إلى نصفين، ثم إلى نصفيه. عند التقسيم إلى 6 أجزاء متساوية، قم أولاً بتقسيم الخط المستقيم إلى 3 أجزاء متساوية، ثم كل جزء إلى نصفين.
تنقسم الزاوية إلى أجزاء متساوية بنفس الطريقة، مع الفارق أن القوس المرسوم بأي نصف قطر من رأس زاوية معينة والمحاط بين جانبي الزاوية ينقسم إلى أجزاء. ترتبط نقاط القسمة برأس الزاوية بخطوط مستقيمة.
تقسيم الخطوط المستقيمة والزوايا (الأقواس) حسب العين يوفر الوقت. ولذلك، يجب علينا أن نمارس هذا التقسيم باستمرار.
يتم تقسيم الخط المستقيم عن طريق البناء على النحو التالي. لنفترض أن هذا الجزء AN يحتاج إلى تقسيمه إلى 5 أجزاء متساوية. من نهاية المستقيم AB بزاوية اعتباطية نرسم خطاً مستقيماً AC وعليه من النقطة A نسرح خمسة أجزاء تعسفية بحيث AD = DE = EF = FG = GH؛ نربط H مع N ومن خلال النقاط D وE وF وG نرسم خطوطًا مستقيمة موازية لـ NH، والتي ستتقاطع مع AN عند النقاط I وK وL وM بحيث AL = IK = KL = LM = MN.
يتم تقسيم الزوايا إلى أجزاء متساوية عن طريق البناء بثلاث طرق رئيسية.
1. قسّم هذه الزاوية BAC إلى 2، 4، 8، إلخ. أجزاء متساوية.
من النقاط D ومن المراكز، نرسم أقواسًا ذات أنصاف أقطار متساوية تتقاطع عند F. الخط المستقيم FA سيقسم الزاوية BAC (والنقطة G ستقسم القوس DF) إلى النصف.
لتقسيم زاوية أو قوس إلى 4 أجزاء متساوية، تحتاج إلى تكرار نفس البناء لكل نصف، وما إلى ذلك. البناء مناسب لأي زوايا: قائمة، منفرجة وحادة.
2. قسّم الزاوية القائمة BAC إلى 3، 6، 12، إلخ. أجزاء متساوية.
باستخدام نصف القطر AD من النقطتين D وE، نصف الأقواس التي ستتقاطع مع القوس عند النقطتين F وG؛ ارسم AF وAG، اللذين يقسمان الزاوية BAC والقوس DF إلى 3 أجزاء متساوية.
لتقسيم زاوية إلى 6 أجزاء متساوية، عليك تقسيم كل ثلث إلى نصفين، وما إلى ذلك.
أي زاوية غير الزاوية القائمة يمكن تقسيمها إلى 3 أجزاء متساوية فقط بالعين أو باستخدام المنقلة.
3. قسّم الزاوية المتكونة من الخطوط المستقيمة LV وCD إلى نصفين، بشرط أن يكون رأس الزاوية غير قابل للوصول.
من خلال نقطة عشوائية E على القرص المضغوط للخط المستقيم، نرسم خطًا مستقيمًا EG موازيًا لـ LP من نفس النقطة بنصف قطر عشوائي نصفه بقوس GH؛ ونربط G وH بخط مستقيم ونرسمه حتى يتقاطع مع LP عند النقطة الأولى؛ بعد ذلك، نقسم الخط المستقيم HI إلى النصف عند النقطة M ومن خلال هذه النقطة نرسم خطًا عموديًا KL على الخط المستقيم HI، وهذا العمودي سيقسم الزاوية، التي لا يمكن الوصول إلى قمة رأسها، إلى جزأين متساويين. في بعض الأحيان يكون من الضروري إنشاء انتقال بين شريطين غير متساويين في العرض، ويجب أن يتم ذلك عن طريق تقريبهما على طول قوس دائري، كما هو موضح في الشكل.
نواصل القطع a و c و b و d حتى تتقاطع عند النقطتين A و B ونقسم الزوايا الناتجة إلى النصف. إذا واصلنا DC المتعامد حتى يتقاطع مع منصفات الزوايا EAC وFBD، فإن النقطتين الناتجتين M وM 1 ستكونان مراكز التقريب المرغوب.
يتم تقسيم الزاوية إلى أجزاء متساوية باستخدام المنقلة. إذا كان من الضروري، على سبيل المثال، تقسيم زاوية معينة إلى 7 أجزاء متساوية، فابحث عن الزاوية التي تساويها وقسم عدد الدرجات الناتج على 7؛ عادة ما تكون النتيجة غير دقيقة، حيث لا يتم تحديد الدقائق والثواني على المنقلة العادية. يتم التصحيح اللازم بالعين.
""تصميم الغرف أثناء التجديد""
ن.ب. كراسنوف
لقد قلنا بالفعل أنه لأداء بعض أنواع أعمال الرسم، يجب أن تكون قادرًا على الرسم. والقدرة على الرسم بدورها تفترض معرفة قواعد بناء الأشكال الهندسية. يتم رسم الرسومات التخطيطية على الورق باستخدام المثلثات والعوارض والنقل والبوصلات، وعلى مستوى الجدران والأسقف يتم إنشاء الإنشاءات باستخدام الوزن والمسطرة والبوصلة الخشبية والحبل. وفي نفس الوقت لا بد منه..
الزاوية القائمة، أي التي تساوي 90 درجة، تتكون من خطين متعامدين بشكل متبادل. تم إنشاء العمودي على النحو التالي. خفض عمودي. من نقطة معينة C (تقع خارج الخط)، كما هو الحال من المركز، نصف قوسًا بنصف قطر اختياري بحيث يتقاطع مع الخط المحدد عند نقطتين D وE من هاتين النقطتين، كما هو الحال من المراكز، نصف الأقواس ذات أنصاف أقطار متساوية بحيث...
يتم بناء الزوايا وتقسيمها باستخدام المنقلة، ولكن يمكن إنشاء العديد من الزوايا وحتى تقسيمها باستخدام المربعات والبوصلات. باستخدام المسطرة والمربعات بزوايا 30 درجة، 60 درجة، 90 درجة و 45 درجة، 45 درجة، 90 درجة، يمكنك إنشاء أي زاوية تكون من مضاعفات 15 درجة.
في موضوع العارضة، يوضح أحدهم مجموعات المربعات المستخدمة عند بناء زوايا مختلفة. فكر جيدًا في موضع المربعات عند إنشاء زوايا مختلفة واستخدم هذه المعرفة عند عمل الرسومات. في الممارسة التعليمية، عند رسم الرسومات، يتم تقليل استخدام المنقلة إلى الحد الأدنى.
تقسيم الزاوية الحادة إلى قسمين متساويين
يتم تقسيم الزاوية الحادة إلى أجزاء متساوية باستخدام البوصلة والمسطرة. دعونا نفكر في إيجاد منصف زاوية باستخدام مثال تقسيم الزاوية BAC مع الرأس عند النقطة A. من خلال النقطة A، مع نصف قطر عشوائي R، نبني قوسًا حتى تتقاطع جوانب الزاوية عند النقطتين 1 و 2. من خلال النقطة 1 بنفس نصف القطر، نقوم ببناء قوس آخر، نفس الشيء يتم تنفيذه من خلال النقطة 2.
قوسان متقاطعان يعطيان النقطة K التي نربطها بالنقطة A. الخط المستقيم AK يقسم الزاوية BAC إلى جزأين متساويين وهو منصفها.
قسمة الزاوية التي أزيل رأسها إلى قسمين متساويين
لنفترض أننا نعرف الأجزاء AB وCD لجوانب هذه الزاوية. نقوم ببناء خطين متوازيين متباعدين من جانبي الزاوية بمسافة تساوي المسافة L. وينبغي اختيار المسافة بحيث تتقاطع الخطوط المحددة على الورقة، على سبيل المثال عند النقطة M. بعد ذلك، يتم إنشاء جميع الإنشاءات يتم إجراؤها عند تقسيم زاوية حادة إلى جزأين متساويين.
الخط المستقيم الناتج MN يقسم الزاوية المعطاة إلى جزأين متساويين وهو منصفها.
تقسيم الزاوية القائمة إلى ثلاثة أجزاء متساوية
لتقسيم زاوية قائمة (على سبيل المثال، الزاوية BCD) إلى ثلاثة أجزاء متساوية، من قمة الزاوية (النقطة C) ارسم قوسًا نصف قطره عشوائيًا R حتى يتقاطع مع جوانب الزاوية عند النقطتين 1 و 2. النقطتان 1 و 2، اعتبارًا من المراكز، بنصف القطر R، نرسم أقواسًا متقاطعة مع القوس 1-2 عند النقطتين M و N، نحصل على زوايا 1CM = MCN = NC2 = 30°.
