صيغ ضرب القوى ذات الأساس نفسه. صيغ القوى والجذور

تم تقديم مفهوم الدرجة في الرياضيات في الصف السابع في فصل الجبر. وبعد ذلك، طوال دورة دراسة الرياضيات، يتم استخدام هذا المفهوم بنشاط في أشكاله المختلفة. تعتبر الدرجات موضوعًا صعبًا إلى حد ما، وتتطلب حفظ القيم والقدرة على العد بشكل صحيح وسريع. للعمل مع الدرجات بشكل أسرع وأفضل، توصل علماء الرياضيات إلى خصائص الدرجات. فهي تساعد على تقليل العمليات الحسابية الكبيرة، وتحويل مثال ضخم إلى رقم واحد إلى حد ما. لا يوجد الكثير من الخصائص، وكلها سهلة التذكر والتطبيق العملي. لذلك، تتناول المقالة الخصائص الأساسية للدرجة، وكذلك مكان تطبيقها.

خصائص الدرجة

سننظر في 12 خاصية للدرجات، بما في ذلك خصائص الدرجات التي لها نفس الأساس، ونعطي مثالا لكل خاصية. ستساعدك كل من هذه الخصائص على حل المسائل المتعلقة بالدرجات بشكل أسرع، وستوفر عليك أيضًا العديد من الأخطاء الحسابية.

الملكية الأولى.

كثيرًا ما ينسى الكثير من الأشخاص هذه الخاصية ويرتكبون أخطاء، حيث يمثلون الرقم أس صفر على أنه صفر.

الملكية الثانية.

الملكية الثالثة.

يجب أن نتذكر أن هذه الخاصية لا يمكن استخدامها إلا عند ضرب الأرقام، ولا تعمل عند الجمع! ويجب ألا ننسى أن هذه الخصائص وما يليها تنطبق فقط على القوى التي لها نفس الأساس.

العقار الرابع.

إذا تم رفع رقم في المقام إلى قوة سلبية، فعند الطرح، يتم أخذ درجة المقام بين قوسين لتغيير الإشارة بشكل صحيح في الحسابات الإضافية.

الخاصية تعمل فقط عند القسمة، ولا تنطبق عند الطرح!

العقار الخامس.

العقار السادس.

يمكن أيضًا تطبيق هذه الخاصية في الاتجاه المعاكس. الوحدة المقسومة على رقم إلى درجة ما هي هذا الرقم إلى درجة ناقص.

العقار السابع.

لا يمكن تطبيق هذه الخاصية على الجمع والفرق! رفع المجموع أو الفرق إلى قوة يستخدم صيغ الضرب المختصرة بدلاً من خصائص القوة.

العقار الثامن.

العقار التاسع.

تنطبق هذه الخاصية على أي قوة كسرية بسطها يساوي واحدًا، وستكون الصيغة هي نفسها، ولن تتغير سوى قوة الجذر اعتمادًا على مقام القوة.

غالبًا ما تُستخدم هذه الخاصية بشكل عكسي. يمكن تمثيل جذر أي قوة لأي رقم على أنه هذا الرقم أس واحد مقسومًا على قوة الجذر. هذه الخاصية مفيدة جدًا في الحالات التي لا يمكن فيها استخراج جذر الرقم.

العقار العاشر.

هذه الخاصية لا تعمل فقط مع الجذور التربيعية والقوى الثانية. فإذا تطابقت درجة الجذر مع درجة رفع هذا الجذر، فإن الإجابة ستكون عبارة جذرية.

العقار الحادي عشر.

يجب أن تكون قادرًا على رؤية هذه الخاصية في الوقت المناسب عند حلها حتى تنقذ نفسك من الحسابات الضخمة.

العقار الثاني عشر.

كل من هذه الخصائص سوف تصادفك أكثر من مرة في المهام، ويمكن تقديمها في شكلها النقي، أو قد تتطلب بعض التحولات واستخدام الصيغ الأخرى. لذلك، لاتخاذ القرار الصحيح، لا يكفي أن تعرف فقط الخصائص التي تحتاج إلى ممارستها ودمج المعرفة الرياضية الأخرى.

تطبيق الدرجات وخصائصها

يتم استخدامها بنشاط في الجبر والهندسة. الدرجات العلمية في الرياضيات لها مكان منفصل ومهم. وبمساعدتهم، يتم حل المعادلات الأسية والمتباينات، وغالبًا ما تكون المعادلات والأمثلة المتعلقة بفروع الرياضيات الأخرى معقدة بالقوى. تساعد القوى على تجنب العمليات الحسابية الكبيرة والطويلة؛ ومن الأسهل اختصارها وحسابها. ولكن للعمل مع قوى كبيرة، أو مع قوى ذات أعداد كبيرة، لا تحتاج إلى معرفة خصائص القوة فحسب، بل تحتاج أيضًا إلى العمل بكفاءة مع القواعد، وتكون قادرًا على توسيعها لتسهيل مهمتك. ولتسهيل الأمر، يجب عليك أيضًا معرفة معنى الأرقام المرفوعة إلى قوة. سيؤدي ذلك إلى تقليل الوقت الذي تقضيه عند الحل، مما يلغي الحاجة إلى عمليات حسابية طويلة.

يلعب مفهوم الدرجة دورًا خاصًا في اللوغاريتمات. بما أن اللوغاريتم، في جوهره، هو قوة الرقم.

صيغ الضرب المختصرة هي مثال آخر على استخدام القوى. ولا يمكن استخدام خصائص الدرجات فيها؛ فهي يتم توسيعها وفقًا لقواعد خاصة، ولكن في كل صيغة من الضرب المختصر توجد درجات دائمًا.

تُستخدم الدرجات العلمية أيضًا بنشاط في الفيزياء وعلوم الكمبيوتر. تتم جميع التحويلات إلى نظام SI باستخدام القوى، وفي المستقبل، عند حل المشكلات، يتم استخدام خصائص القوة. في علوم الكمبيوتر، يتم استخدام قوى اثنين بنشاط لتسهيل العد وتبسيط تصور الأرقام. يتم إجراء المزيد من الحسابات لتحويل وحدات القياس أو حسابات المشكلات، تمامًا كما هو الحال في الفيزياء، باستخدام خصائص الدرجات.

تعتبر الدرجات أيضًا مفيدة جدًا في علم الفلك، حيث نادرًا ما ترى استخدامًا لخصائص الدرجة، ولكن الدرجات نفسها تُستخدم بشكل فعال لتقصير تدوين الكميات والمسافات المختلفة.

تُستخدم الدرجات أيضًا في الحياة اليومية، عند حساب المساحات والأحجام والمسافات.

تُستخدم الدرجات لتسجيل كميات كبيرة جدًا وصغيرة جدًا في أي مجال من مجالات العلوم.

المعادلات الأسية والمتباينات

خصائص الدرجات تحتل مكانة خاصة على وجه التحديد في المعادلات الأسية والمتباينات. هذه المهام شائعة جدًا، سواء في الدورات المدرسية أو في الامتحانات. يتم حلها جميعًا من خلال تطبيق خصائص الدرجة. المجهول موجود دائمًا في الدرجة نفسها، لذا فإن معرفة جميع الخصائص وحل مثل هذه المعادلة أو المتباينة ليس بالأمر الصعب.

كيفية مضاعفة القوى؟ ما هي القوى التي يمكن مضاعفتها وأيها لا يمكن؟ كيفية ضرب رقم في القوة؟

في الجبر، يمكنك إيجاد حاصل ضرب القوى في حالتين:

1) إذا كانت الدرجات لها نفس الأساس.

2) إذا كانت الدرجات لها نفس المؤشرات.

عند ضرب القوى بنفس الأساس، يجب ترك الأساس كما هو، ويجب إضافة الأسس:

عند ضرب الدرجات بنفس المؤشرات يمكن إخراج المؤشر الإجمالي من الأقواس:

دعونا نلقي نظرة على كيفية مضاعفة القوى باستخدام أمثلة محددة.

الوحدة لا تكتب في الأس، لكن عند ضرب القوى يراعى:

عند الضرب، يمكن أن يكون هناك أي عدد من القوى. يجب أن نتذكر أنه ليس عليك كتابة علامة الضرب قبل الحرف:

في التعبيرات، يتم الأس أولاً.

إذا كنت بحاجة إلى ضرب رقم في قوة، فيجب عليك إجراء الضرب الأسي أولاً، ثم الضرب فقط:

www.algebraclass.ru

الجمع والطرح والضرب وتقسيم القوى

إضافة وطرح السلطات

ومن الواضح أن الأعداد ذات القوى يمكن جمعها مثل الكميات الأخرى وذلك بإضافتها واحدة تلو الأخرى مع علاماتها.

إذن، مجموع أ 3 و ب 2 هو أ 3 + ب 2.
مجموع أ 3 - ب ن و ح 5 -د 4 هو أ 3 - ب ن + ح 5 - د 4.

احتمال القوى المتساوية للمتغيرات المتطابقةيمكن إضافتها أو طرحها.

إذن، مجموع 2a 2 و 3a 2 يساوي 5a 2.

ومن الواضح أيضًا أنه إذا أخذت مربعين أ، أو ثلاثة مربعات أ، أو خمسة مربعات أ.

لكن درجات متغيرات مختلفةو درجات مختلفة متغيرات متطابقة، فيجب تأليفها بإضافتها مع علاماتها.

إذن مجموع 2 و 3 هو مجموع 2 + أ 3.

من الواضح أن مربع a ومكعب a لا يساوي ضعف مربع a، بل ضعف مكعب a.

مجموع أ 3 ب ن و 3 أ 5 ب 6 هو أ 3 ب ن + 3 أ 5 ب 6.

الطرحوتتم القوى بنفس طريقة الجمع، إلا أنه يجب تغيير علامات المطروح وفقًا لذلك.

أو:
2أ4 - (-6أ4) = 8أ4
3س 2 ب 6 — 4 س 2 ب 6 = -ح 2 ب 6
5(أ - ح) 6 - 2(أ - ح) 6 = 3(أ - ح) 6

مضاعفة القوى

يمكن ضرب الأعداد ذات القوى كغيرها من الكميات عن طريق كتابتها واحدة تلو الأخرى، مع وجود علامة الضرب بينها أو بدونها.

وبالتالي، فإن نتيجة ضرب 3 في ب 2 هي 3 ب 2 أو aaabb.

أو:
س -3 ⋅ أ م = أ م × -3
3أ 6 ص 2 ⋅ (-2س) = -6أ 6 ص 2
أ 2 ب 3 ص 2 ⋅ أ 3 ب 2 ص = أ 2 ب 3 ص 2 أ 3 ب 2 ص

يمكن ترتيب النتيجة في المثال الأخير عن طريق إضافة متغيرات متطابقة.
سيأخذ التعبير الشكل: a 5 b 5 y 3.

من خلال مقارنة عدة أرقام (متغيرات) بالقوى، يمكننا أن نرى أنه إذا تم ضرب أي اثنين منها، فإن النتيجة هي رقم (متغير) بقوة تساوي كميةدرجات المصطلحات.

لذلك، أ 2 .أ 3 = أ.أأ = أأأ = أ 5 .

هنا 5 هي قوة نتيجة الضرب، وهي تساوي 2 + 3، مجموع قوى الحدود.

إذًا، a n .a m = a m+n .

بالنسبة لـ n، يتم أخذ a كعامل عدة مرات مثل قوة n؛

ويتم أخذ m كعامل عدة مرات بقدر ما تساوي الدرجة m؛

لهذا السبب، يمكن ضرب القوى التي لها نفس الأساس عن طريق جمع أسس القوى.

إذن أ 2 .أ 6 = أ 2+6 = أ 8 . و x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

أو:
4أ ن ⋅ 2أ ن = 8أ 2ن
ب 2 ص 3 ⋅ ب 4 ص = ب 6 ص 4
(ب + ح - ص) ن ⋅ (ب + ح - ص) = (ب + ح - ص) ن+1

اضرب (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
الجواب: س 4 - ص 4.
اضرب (س 3 + س – 5) ⋅ (2س 3 + س + 1).

تنطبق هذه القاعدة أيضًا على الأعداد التي لها أسس سلبي.

1. إذن، أ -2 .أ -3 = أ -5 . يمكن كتابة هذا بالشكل (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. أ -ن .أ م = أ م-ن .

إذا تم ضرب أ + ب في أ - ب، ستكون النتيجة أ 2 - ب 2: أي

نتيجة ضرب مجموع رقمين أو الفرق بينهما يساوي مجموع مربعيهما أو الفرق بينهما.

إذا كان مجموع عددين والفرق بينهما مرفوعاً إلى مربع، ستكون النتيجة مساوية لمجموع هذه الأرقام أو الفرق بينها الرابعدرجات.

إذن (أ - ص).(أ + ص) = أ 2 - ص 2.
(أ 2 - ص 2)⋅(أ 2 + ص 2) = أ 4 - ص 4.
(أ 4 - ص 4)⋅(أ 4 + ص 4) = أ 8 - ص 8.

تقسيم الدرجات

يمكن تقسيم الأرقام ذات القوى مثل الأرقام الأخرى، عن طريق الطرح من المقسوم، أو عن طريق وضعها في صورة كسر.

وبالتالي، فإن 3 ب 2 مقسومًا على ب 2 يساوي أ 3.

كتابة 5 مقسومًا على 3 يبدو مثل $\frac $. ولكن هذا يساوي 2 . في سلسلة أرقام
أ +4، أ +3، أ +2، أ +1، أ 0، أ -1، أ -2، أ -3، أ -4.
يمكن قسمة أي عدد على آخر، وسيكون الأس مساوياً لـ اختلافمؤشرات الأعداد القابلة للقسمة.

عند قسمة الدرجات على نفس الأساس، يتم طرح أسسها..

لذا، ص 3: ص 2 = ص 3-2 = ص 1. أي $\frac = y$.

و n+1:a = a n+1-1 = a n . أي $\frac = a^n$.

أو:
ص 2 م: ص م = ص م
8أ ن + م: 4 أ م = 2 أ ن
12(ب + ص) ن: 3(ب + ص) 3 = 4(ب + ص) ن-3

القاعدة تنطبق أيضًا على الأرقام ذات سلبيقيم الدرجات.
نتيجة قسمة -5 على -3 هي -2.
أيضًا، $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 أو $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

من الضروري إتقان الضرب وتقسيم القوى بشكل جيد للغاية، لأن مثل هذه العمليات تستخدم على نطاق واسع في الجبر.

أمثلة على حل أمثلة الكسور التي تحتوي على أرقام ذات قوى

1. قم بتقليل الأسس بمقدار $\frac $ الإجابة: $\frac $.

2. إنقاص الأسس بمقدار $\frac$. الإجابة: $\frac$ أو 2x.

3. اختصر الأسس a 2 /a 3 وa -3 /a -4 وتوصل إلى قاسم مشترك.
a 2 .a -4 هو -2 البسط الأول.
أ 3 .أ -3 هو 0 = 1، البسط الثاني.
a 3 .a -4 هو -1 ، البسط المشترك.
بعد التبسيط: a -2 /a -1 و 1/a -1 .

4. اختصر الأسس 2a 4 /5a 3 و2 /a 4 وتوصل إلى قاسم مشترك.
الجواب: 2 أ 3 /5 أ 7 و 5 أ 5 /5 أ 7 أو 2 أ 3 /5 أ 2 و 5/5 أ 2.

5. اضرب (أ 3 + ب)/ب 4 في (أ - ب)/3.

6. اضرب (أ 5 + 1)/س 2 في (ب 2 - 1)/(س + أ).

7. اضرب b 4 /a -2 ب h -3 /x و n /y -3 .

8. قسّم 4 /y 3 على 3 /y 2 . الجواب: أ/ي.

خصائص الدرجة

نذكرك أننا سنفهم في هذا الدرس خصائص الدرجاتمع المؤشرات الطبيعية والصفر. سيتم مناقشة القوى ذات الأسس النسبية وخصائصها في دروس الصف الثامن.

تتمتع القوة ذات الأس الطبيعي بالعديد من الخصائص المهمة التي تسمح لنا بتبسيط العمليات الحسابية في الأمثلة ذات الأس.

العقار رقم 1
منتج القوى

عند ضرب القوى بنفس الأساس، يبقى الأساس دون تغيير، وتضاف أسس القوى.

a m · a n = a m + n، حيث "a" هو أي عدد، و"m" و"n" هي أي أعداد طبيعية.

تنطبق خاصية القوى هذه أيضًا على منتج ثلاث قوى أو أكثر.

تبسيط التعبير.
ب ب 2 ب 3 ب 4 ب 5 = ب 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = ب 15

تقديمها كدرجة.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

تقديمها كدرجة.
(0.8) 3 · (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

يرجى ملاحظة أننا في الخاصية المحددة كنا نتحدث فقط عن مضاعفة القوى ذات الأساس نفسه. ولا ينطبق على إضافتها.

لا يمكنك استبدال المجموع (3 3 + 3 2) بـ 3 5. وهذا أمر مفهوم إذا
احسب (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36، و3 5 = 243

العقار رقم 2
درجات جزئية

عند تقسيم القوى ذات الأساس نفسه، يبقى الأساس دون تغيير، ويتم طرح أس المقسوم عليه من أس المقسوم.

اكتب الناتج كقوة
(2ب) 5: (2ب) 3 = (2ب) 5 − 3 = (2ب) 2

احسب.

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
مثال. حل المعادلة. نحن نستخدم خاصية القوى الحاصلة.
3 8: ر = 3 4

الجواب: ر = 3 4 = 81

باستخدام الخاصيتين رقم 1 ورقم 2، يمكنك بسهولة تبسيط التعبيرات وإجراء العمليات الحسابية.

مثال. أوجد قيمة التعبير باستخدام خصائص الأسس.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

يرجى ملاحظة أننا في الخاصية 2 كنا نتحدث فقط عن تقسيم القوى على نفس القواعد.

لا يمكنك استبدال الفرق (4 3 −4 2) بـ 4 1. وهذا أمر مفهوم إذا حسبت (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48، و4 1 = 4

العقار رقم 3
رفع درجة إلى قوة

عند رفع درجة إلى قوة، يبقى أساس الدرجة دون تغيير، ويتم ضرب الأسس.

(a n) m = a n · m، حيث "a" هو أي رقم، و"m" و"n" أي عدد طبيعي.

يرجى ملاحظة أن الخاصية رقم 4، مثل خصائص الدرجات الأخرى، يتم تطبيقها أيضًا بترتيب عكسي.

(أ ن · ب ن)= (أ · ب) ن

أي أنه لضرب القوى بنفس الأسس، يمكنك ضرب الأساسات، لكن اترك الأس دون تغيير.

مثال. احسب.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10,000

مثال. احسب.
0.5 16 2 16 = (0.5 2) 16 = 1

في الأمثلة الأكثر تعقيدًا، قد تكون هناك حالات حيث يجب إجراء الضرب والقسمة على قوى ذات أسس مختلفة وأسس مختلفة. وفي هذه الحالة ننصحك بالقيام بما يلي.

على سبيل المثال، 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

مثال على رفع العلامة العشرية إلى قوة.

4 21 (−0.25) 20 = 4 4 20 (−0.25) 20 = 4 (4 (−0.25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

خصائص 5
قوة الحاصل (الكسر)

لرفع حاصل القسمة إلى قوة ما، يمكنك رفع المقسوم والمقسوم عليه بشكل منفصل إلى هذه القوة، وتقسيم النتيجة الأولى على الثانية.

(أ: ب) ن = أ ن: ب ن، حيث "أ"، "ب" هي أي أرقام نسبية، ب ≠ 0، ن - أي عدد طبيعي.

مثال. تقديم التعبير باعتباره حاصل القوى.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

نذكرك أنه يمكن تمثيل خارج القسمة على شكل كسر. لذلك، سنتناول موضوع رفع الكسر إلى قوة بمزيد من التفصيل في الصفحة التالية.

القوى والجذور

العمليات مع القوى والجذور. درجة مع سلبية ,

صفر وكسور مؤشر. عن التعبيرات التي ليس لها معنى.

العمليات بالدرجات.

1. عند ضرب القوى ذات الأساس نفسه تضاف أسسها:

أكون · أ ن = أ م + ن .

2. عند قسمة الدرجات التي لها نفس الأساس تكون أسسها يتم خصمها .

3. درجة حاصل ضرب عاملين أو أكثر تساوي حاصل ضرب درجات هذه العوامل.

4. درجة النسبة (الكسر) تساوي نسبة درجات المقسوم (البسط) والمقسوم عليه (المقام):

(أ / ب) ن = أ ن / ب ن .

5. عند رفع قوة إلى قوة، يتم ضرب أسسها:

تتم قراءة جميع الصيغ المذكورة أعلاه وتنفيذها في كلا الاتجاهين من اليسار إلى اليمين والعكس.

مثال (2 3 5 / 15)² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

العمليات مع الجذور. في جميع الصيغ أدناه، يعني الرمز الجذر الحسابي(التعبير الجذري إيجابي).

1. جذر منتج عدة عوامل يساوي منتج جذور هذه العوامل:

2. جذر النسبة يساوي نسبة جذور المقسوم والمقسوم عليه:

3. عند رفع الجذر إلى قوة يكفي الرفع إلى هذه القوة العدد الجذري:

4. إذا قمت بزيادة درجة الجذر بمقدار m مرات وفي نفس الوقت رفعت الرقم الجذري إلى القوة m، فلن تتغير قيمة الجذر:

5. إذا قمت بتقليل درجة الجذر بمقدار m مرات واستخرجت في الوقت نفسه الجذر m للرقم الجذري، فلن تتغير قيمة الجذر:

توسيع مفهوم الدرجة. لقد تناولنا حتى الآن الدرجات ذات الأسس الطبيعية فقط؛ لكن العمليات ذات القوى والجذور يمكن أن تؤدي أيضًا إلى سلبي, صفرو كسورالمؤشرات. كل هذه الأسس تتطلب تعريفا إضافيا.

درجة ذات أس سلبي. يتم تعريف قوة رقم معين مع الأس السالب (عدد صحيح) على أنه واحد مقسوم على قوة نفس الرقم مع الأس يساوي القيمة المطلقة للأس السالب:

الآن الصيغة أكون : ن = م - نيمكن استخدامها ليس فقط ل م، أكثر من ن، ولكن أيضًا مع م، أقل من ن .

مثال أ 4: أ 7 = أ 4 — 7 = أ — 3 .

إذا أردنا الصيغة أكون : ن = أكون — نكان عادلا عندما م = ن، نحن بحاجة إلى تعريف درجة الصفر.

درجة مع مؤشر صفر. قوة أي عدد غير الصفر وأسه صفر هي 1.

أمثلة. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

درجة مع الأس الكسرية. من أجل رفع رقم حقيقي a إلى القوة m / n، تحتاج إلى استخراج الجذر n للقوة m لهذا الرقم a:

عن التعبيرات التي ليس لها معنى. هناك العديد من هذه التعبيرات.

أين أ ≠ 0 , غير موجود.

في الواقع، إذا افترضنا ذلك سهو رقم معين، فوفقاً لتعريف عملية القسمة لدينا: أ = 0· س، أي. أ= 0، وهو ما يتعارض مع الشرط: أ ≠ 0

— أي رقم.

في الواقع، إذا افترضنا أن هذا التعبير يساوي عددًا ما سإذن حسب تعريف عملية القسمة لدينا : 0 = 0 · س. ولكن هذه المساواة تحدث عندما أي رقم ×، وهو ما كان يحتاج إلى إثبات.

0 0 — أي رقم.

الحل دعونا ننظر في ثلاث حالات رئيسية:

1) س = 0 – هذه القيمة لا تلبي هذه المعادلة

2) متى س> 0 نحصل على: س / س= 1، أي 1=1 يعني

ماذا س- أي رقم؛ ولكن مع الأخذ بعين الاعتبار أن في

في حالتنا هذه س> 0 الجواب هو س > 0 ;

قواعد ضرب القوى بأساسات مختلفة

درجة مع المؤشر العقلاني،

وظيفة الطاقة IV

§69.ضرب وتقسيم السلطات على نفس الأسس

النظرية 1.لضرب القوى بنفس الأساس، يكفي جمع الأسس وترك الأساس كما هو، أي

دليل.حسب تعريف الدرجة

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

لقد نظرنا إلى حاصل ضرب القوتين. وفي الواقع، فإن الخاصية المثبتة تنطبق على أي عدد من القوى التي لها نفس الأسس.

النظرية 2.لتقسيم القوى بنفس القواعد، عندما يكون مؤشر المقسوم أكبر من مؤشر المقسوم عليه، يكفي طرح مؤشر المقسوم عليه من مؤشر المقسوم، وترك الأساس كما هو، أي في ر > ص

(أ =/= 0)

دليل.تذكر أن حاصل قسمة رقم على آخر هو الرقم الذي عند ضربه بالمقسوم عليه يعطي المقسوم. لذلك، أثبت الصيغة حيث أ =/= 0، وهو نفس إثبات الصيغة

لو ر > ص ، ثم الرقم ر - ص سيكون طبيعيا لذلك، من خلال نظرية 1

تم إثبات النظرية 2.

تجدر الإشارة إلى أن الصيغة

لقد أثبتنا ذلك فقط على افتراض ذلك ر > ص . لذلك، مما ثبت، لا يمكن حتى الآن استخلاص الاستنتاجات التالية، على سبيل المثال:

بالإضافة إلى ذلك، لم نفكر بعد في الدرجات ذات الأسس السالبة ولا نعرف حتى الآن المعنى الذي يمكن إعطاؤه للتعبير 3 - 2 .

النظرية 3. لرفع درجة إلى قوة ما، يكفي ضرب الأسس، مع ترك أساس الدرجة كما هو، إنه

دليل.باستخدام تعريف الدرجة والنظرية 1 من هذا القسم نحصل على:

Q.E.D.

على سبيل المثال، (2 3) 2 = 2 6 = 64؛

518 (شفويا) تحديد X من المعادلات:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 س ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 س ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 س ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 س .

519. (تعيين رقم) تبسيط:

520. (تعيين رقم) تبسيط:

521. قدم هذه التعبيرات في شكل درجات لها نفس الأساس:

1) 32 و 64؛ 3) 8 5 و 16 3؛ 5) 4100 و3250؛

2) -1000 و 100؛ 4) -27 و -243؛ 6) 81 75 8 200 و 3 600 4 150.

إذا كنت بحاجة إلى رفع رقم معين إلى قوة، يمكنك استخدام . الآن سوف نلقي نظرة فاحصة على خصائص الدرجات.

الأرقام الأسيةتفتح إمكانيات كبيرة، فهي تسمح لنا بتحويل الضرب إلى جمع، والجمع أسهل بكثير من الضرب.

على سبيل المثال، نحتاج إلى ضرب 16 في 64. حاصل ضرب هذين الرقمين هو 1024. لكن 16 يساوي 4x4، و64 يساوي 4x4x4. أي أن 16 في 64 = 4x4x4x4x4، وهو ما يساوي أيضًا 1024.

يمكن أيضًا تمثيل الرقم 16 بـ 2x2x2x2، والرقم 64 بـ 2x2x2x2x2x2، وإذا ضربنا، نحصل مرة أخرى على 1024.

الآن دعونا نستخدم القاعدة. 16=4 2، أو 2 4، 64=4 3، أو 2 6، في نفس الوقت 1024=6 4 =4 5، أو 2 10.

لذلك، يمكن كتابة المسألة بشكل مختلف: 4 2 x4 3 = 4 5 أو 2 4 x2 6 =2 10، وفي كل مرة نحصل على 1024.

يمكننا حل عدد من الأمثلة المشابهة ونرى أن ضرب الأعداد بالقوى يقلل إلى إضافة الأسسأو الأسي بالطبع بشرط أن تكون أسس العوامل متساوية.

وبالتالي، بدون إجراء الضرب، يمكننا أن نقول على الفور أن 2 4 x2 2 x2 14 = 2 20.

هذه القاعدة صالحة أيضًا عند قسمة الأعداد على القوى، لكن في هذه الحالة يتم طرح أس المقسوم عليه من أس المقسوم. وبالتالي فإن 2 5:2 3 =2 2، والتي تساوي في الأعداد العادية 32:8 = 4، أي 2 2. دعونا نلخص:

a m x a n =a m+n، a m: a n =a m-n، حيث m و n أعداد صحيحة.

للوهلة الأولى قد يبدو أن هذا هو ضرب وقسمة الأعداد بالقوىليس مناسبًا جدًا، لأنك تحتاج أولاً إلى تمثيل الرقم بالشكل الأسي. ليس من الصعب تمثيل الرقمين 8 و 16، أي 2 3 و 2 4، بهذا الشكل، ولكن كيف يتم ذلك بالرقمين 7 و 17؟ أو ما يجب فعله في الحالات التي يمكن فيها تمثيل الرقم بالشكل الأسي، ولكن أسس التعبيرات الأسية للأرقام مختلفة تمامًا. على سبيل المثال، 8x9 هو 2 3 x 3 2، وفي هذه الحالة لا يمكننا جمع الأسس. لا 2 5 ولا 3 5 هي الإجابة، ولا تكمن الإجابة في الفترة الفاصلة بين هذين الرقمين.

فهل يستحق الأمر أن تهتم بهذه الطريقة على الإطلاق؟ بالتأكيد يستحق كل هذا العناء. فهو يوفر فوائد هائلة، خاصة بالنسبة للحسابات المعقدة والمستهلكة للوقت.

ومن الواضح أن الأعداد ذات القوى يمكن جمعها مثل الكميات الأخرى وذلك بإضافتها واحدة تلو الأخرى مع علاماتها.

إذن، مجموع أ 3 و ب 2 هو أ 3 + ب 2.
مجموع أ 3 - ب ن و ح 5 -د 4 هو أ 3 - ب ن + ح 5 - د 4.

احتمال القوى المتساوية للمتغيرات المتطابقةيمكن إضافتها أو طرحها.

إذن، مجموع 2a 2 و 3a 2 يساوي 5a 2.

ومن الواضح أيضًا أنه إذا أخذت مربعين أ، أو ثلاثة مربعات أ، أو خمسة مربعات أ.

لكن درجات متغيرات مختلفةو درجات مختلفة متغيرات متطابقة، فيجب تأليفها بإضافتها مع علاماتها.

إذن مجموع 2 و 3 هو مجموع 2 + أ 3.

من الواضح أن مربع a ومكعب a لا يساوي ضعف مربع a، بل ضعف مكعب a.

مجموع أ 3 ب ن و 3 أ 5 ب 6 هو أ 3 ب ن + 3 أ 5 ب 6.

الطرحوتتم القوى بنفس طريقة الجمع، إلا أنه يجب تغيير علامات المطروح وفقًا لذلك.

أو:
2أ4 - (-6أ4) = 8أ4
3س 2 ب 6 - 4 س 2 ب 6 = -ح 2 ب 6
5(أ - ح) 6 - 2(أ - ح) 6 = 3(أ - ح) 6

مضاعفة القوى

وبالتالي، فإن نتيجة ضرب 3 في ب 2 هي 3 ب 2 أو aaabb.

أو:
س -3 ⋅ أ م = أ م × -3
3أ 6 ص 2 ⋅ (-2س) = -6أ 6 ص 2
أ 2 ب 3 ص 2 ⋅ أ 3 ب 2 ص = أ 2 ب 3 ص 2 أ 3 ب 2 ص

يمكن ترتيب النتيجة في المثال الأخير عن طريق إضافة متغيرات متطابقة.
سيأخذ التعبير الشكل: a 5 b 5 y 3.

لذلك، أ 2 .أ 3 = أ.أأ = أأأ = أ 5 .

هنا 5 هي قوة نتيجة الضرب، وتساوي 2 + 3، مجموع قوى الحدود.

إذًا، a n .a m = a m+n .

بالنسبة لـ n، يتم أخذ a كعامل عدة مرات مثل قوة n؛

ويتم أخذ m كعامل عدة مرات بقدر ما تساوي الدرجة m؛

لهذا السبب، يمكن ضرب القوى التي لها نفس الأساس عن طريق جمع أسس القوى.

إذن أ 2 .أ 6 = أ 2+6 = أ 8 . و x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

أو:
4أ ن ⋅ 2أ ن = 8أ 2ن
ب 2 ص 3 ⋅ ب 4 ص = ب 6 ص 4
(ب + ح - ص) ن ⋅ (ب + ح - ص) = (ب + ح - ص) ن+1

اضرب (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
الجواب: س 4 - ص 4.
اضرب (س 3 + س - 5) ⋅ (2س 3 + س + 1).

تنطبق هذه القاعدة أيضًا على الأعداد التي لها أسس سلبي.

1. إذن، أ -2 .أ -3 = أ -5 . يمكن كتابة هذا بالشكل (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. أ -ن .أ م = أ م-ن .

إذا تم ضرب أ + ب في أ - ب، ستكون النتيجة أ 2 - ب 2: أي

نتيجة ضرب مجموع رقمين أو الفرق بينهما يساوي مجموع مربعيهما أو الفرق بينهما.

إذن (أ - ص).(أ + ص) = أ 2 - ص 2.
(أ 2 - ص 2)⋅(أ 2 + ص 2) = أ 4 - ص 4.
(أ 4 - ص 4)⋅(أ 4 + ص 4) = أ 8 - ص 8.

تقسيم الدرجات

يمكن تقسيم الأرقام ذات القوى مثل الأرقام الأخرى، عن طريق الطرح من المقسوم، أو عن طريق وضعها في صورة كسر.

وبالتالي، فإن 3 ب 2 مقسومًا على ب 2 يساوي أ 3.

أو:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

كتابة 5 مقسومًا على 3 تبدو كالتالي $\frac(a^5)(a^3)$. ولكن هذا يساوي 2 . في سلسلة أرقام
أ +4، أ +3، أ +2، أ +1، أ 0، أ -1، أ -2، أ -3، أ -4.
يمكن قسمة أي عدد على آخر، ويكون الأس مساوياً لـ اختلافمؤشرات الأعداد القابلة للقسمة.

عند قسمة الدرجات على نفس الأساس، يتم طرح أسسها..

لذا، ص 3: ص 2 = ص 3-2 = ص 1. أي $\frac(yyy)(yy) = y$.

و n+1:a = a n+1-1 = a n . وهذا يعني أن $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

أو:
ص 2 م: ص م = ص م
8أ ن + م: 4 أ م = 2 أ ن
12(ب + ص) ن: 3(ب + ص) 3 = 4(ب + ص) ن-3

القاعدة تنطبق أيضًا على الأرقام ذات سلبيقيم الدرجات.
نتيجة قسمة -5 على -3 هي -2.
أيضًا، $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(أأ)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 أو $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

من الضروري إتقان الضرب وتقسيم القوى بشكل جيد للغاية، لأن مثل هذه العمليات تستخدم على نطاق واسع في الجبر.

أمثلة على حل أمثلة الكسور التي تحتوي على أرقام ذات قوى

1. قم بتقليل الأسس بمقدار $\frac(5a^4)(3a^2)$ الإجابة: $\frac(5a^2)(3)$.

2. قم بتقليل الأسس بمقدار $\frac(6x^6)(3x^5)$. الإجابة: $\frac(2x)(1)$ أو 2x.

4. اختصر الأسس 2a 4 /5a 3 و2 /a 4 وتوصل إلى قاسم مشترك.
الجواب: 2أ 3 /5أ 7 و5أ 5 /5أ 7 أو 2أ 3 /5أ 2 و5/5أ 2.

5. اضرب (أ 3 + ب)/ب 4 في (أ - ب)/3.

6. اضرب (أ 5 + 1)/س 2 في (ب 2 - 1)/(س + أ).

7. اضرب b 4 /a -2 ب h -3 /x و n /y -3 .

8. قسّم 4 /y 3 على 3 /y 2 . الجواب: أ/ي.

9. قسّم (ح 3 - 1)/د 4 على (د ن + 1)/س.

تعلمنا في الدرس الفيديوي الأخير أن درجة أساس معين هي مقدار يمثل حاصل ضرب الأساس في نفسه، مأخوذًا بكمية مساوية للأس. ولندرس الآن بعضًا من أهم خواص القوى وعملياتها.

على سبيل المثال، دعونا نضرب قوتين مختلفتين لهما نفس الأساس:

دعونا نقدم هذا العمل في مجمله:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

بعد حساب قيمة هذا التعبير، نحصل على الرقم 32. ومن ناحية أخرى، كما يتبين من نفس المثال، يمكن تمثيل 32 كحاصل ضرب نفس الأساس (2)، مأخوذة 5 مرات. وبالفعل إذا حسبتها:

ومن ثم يمكننا أن نستنتج بكل ثقة ما يلي:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

تعمل هذه القاعدة بنجاح لأي مؤشرات ولأي أسباب. تتبع خاصية مضاعفة القوة هذه من القاعدة التي تنص على الحفاظ على معنى التعبيرات أثناء التحويلات في المنتج. بالنسبة لأي قاعدة a، فإن حاصل ضرب التعبيرين (a)x و (a)y يساوي a(x + y). بمعنى آخر، عند إنتاج أي تعبيرات لها نفس الأساس، فإن أحادية الحد الناتجة لها درجة إجمالية تتشكل عن طريق جمع درجات التعبيرين الأول والثاني.

تعمل القاعدة المقدمة أيضًا بشكل رائع عند ضرب عدة تعبيرات. الشرط الرئيسي هو أن كل شخص لديه نفس القواعد. على سبيل المثال:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

ومن المستحيل إضافة درجات، بل والقيام بأي أعمال مشتركة قائمة على القوة ذات عنصرين من عناصر التعبير إذا كانت أسسها مختلفة.
كما يظهر الفيديو الخاص بنا، نظرًا لتشابه عمليتي الضرب والقسمة، فإن قواعد إضافة القوى في المنتج يتم نقلها بشكل مثالي إلى إجراء القسمة. خذ بعين الاعتبار هذا المثال:

لنجري تحويلًا لكل مصطلح على حدة للتعبير إلى شكله الكامل وتقليل نفس العناصر في المقسوم والمقسوم عليه:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

النتيجة النهائية لهذا المثال ليست مثيرة للاهتمام، لأنه بالفعل في عملية حلها من الواضح أن قيمة التعبير تساوي مربع اثنين. وهما يتم الحصول عليهما بطرح درجة التعبير الثاني من درجة الأول.

لتحديد درجة حاصل القسمة، من الضروري طرح درجة المقسوم عليه من درجة المقسوم. وتعمل القاعدة بنفس الأساس لجميع قيمها ولكل القوى الطبيعية. وفي صيغة التجريد لدينا:

(أ) س / (أ) ص = (أ) س - ص

ومن قاعدة تقسيم الأساسات المتطابقة على الدرجات، يأتي تعريف درجة الصفر. من الواضح أن التعبير التالي يبدو كالتالي:

(أ) س / (أ) س = (أ) (س - س) = (أ) 0

ومن ناحية أخرى، إذا قمنا بعملية القسمة بطريقة بصرية أكثر، فسنحصل على:

(أ) 2 / (أ) 2 = (أ) (أ) / (أ) (أ) = 1

عند تقليل جميع العناصر المرئية للكسر، يتم الحصول دائمًا على التعبير 1/1، أي واحد. لذلك، من المقبول عمومًا أن أي قاعدة مرفوعة للأس صفر تساوي واحدًا:

بغض النظر عن قيمة أ.

ومع ذلك، سيكون من السخف أن يكون 0 (الذي لا يزال يعطي 0 لأي عملية ضرب) يساوي واحدًا بطريقة أو بأخرى، لذا فإن التعبير بالشكل (0) 0 (صفر أس صفر) ببساطة لا معنى له، والصيغة ( أ) 0 = 1 أضف شرطًا: "إذا كان a لا يساوي 0."

دعونا نحل التمرين. لنجد قيمة التعبير:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

بما أن الأساس هو نفسه في كل مكان ويساوي 34، فإن القيمة النهائية ستكون لها نفس الأساس بدرجة (وفقًا للقواعد المذكورة أعلاه):

بعبارة أخرى:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

الجواب: التعبير يساوي واحداً.