أمثلة على حلول عدم المساواة اللوغاريتمية عالية المستوى. حل المتباينات اللوغاريتمية البسيطة

أهداف الدرس:

وعظي:

• المستوى 1 - تعليم كيفية حل أبسط المتباينات اللوغاريتمية، باستخدام تعريف اللوغاريتم وخصائص اللوغاريتمات؛
• المستوى 2 – حل المتباينات اللوغاريتمية، واختيار طريقة الحل الخاصة بك؛
• المستوى 3 - القدرة على تطبيق المعرفة والمهارات في المواقف غير القياسية.

التعليمية:تطوير الذاكرة والانتباه والتفكير المنطقي ومهارات المقارنة والقدرة على التعميم واستخلاص النتائج

التعليمية:تنمية الدقة والمسؤولية عن المهمة التي يتم تنفيذها والمساعدة المتبادلة.

طرق التدريس: لفظي , مرئي , عملي , بحث جزئي , الحكم الذاتي , يتحكم.

أشكال تنظيم النشاط المعرفي للطلاب: أمامي , فردي , العمل في ازواج.

معدات: مجموعة من مهام الاختبار والملاحظات المرجعية والأوراق الفارغة للحلول.

نوع الدرس:تعلم مواد جديدة.

خلال الفصول الدراسية

1. اللحظة التنظيمية.موضوع وأهداف الدرس، يتم الإعلان عن خطة الدرس: يتم إعطاء كل طالب ورقة تقييم، والتي يملأها الطالب أثناء الدرس؛ لكل زوج من الطلاب - يجب إكمال المواد المطبوعة مع المهام في أزواج؛ أوراق الحل الفارغة؛ أوراق الدعم: تعريف اللوغاريتم؛ الرسم البياني للدالة اللوغاريتمية، خصائصها؛ خصائص اللوغاريتمات. خوارزمية لحل عدم المساواة اللوغاريتمية.

يتم تقديم جميع القرارات بعد التقييم الذاتي إلى المعلم.

ورقة نتيجة الطالب

2. تحديث المعرفة.

تعليمات المعلم. تذكر تعريف اللوغاريتم والرسم البياني للدالة اللوغاريتمية وخصائصها. للقيام بذلك، اقرأ النص الموجود في الصفحات 88-90، 98-101 من الكتاب المدرسي "الجبر وبدايات التحليل 10-11" الذي حرره Sh.A Alimov وYu.M Kolyagin وآخرين.

يتم إعطاء الطلاب أوراقًا مكتوبًا عليها: تعريف اللوغاريتم؛ يظهر رسم بياني للدالة اللوغاريتمية وخصائصها؛ خصائص اللوغاريتمات. خوارزمية لحل المتباينات اللوغاريتمية، مثال على حل المتباينة اللوغاريتمية التي يتم اختزالها إلى متباينة تربيعية.

3. دراسة مواد جديدة.

يعتمد حل المتباينات اللوغاريتمية على رتابة الدالة اللوغاريتمية.

خوارزمية لحل المتباينات اللوغاريتمية:

أ) ابحث عن مجال تعريف المتباينة (التعبير اللوغاريتمي أكبر من الصفر).
ب) مثل (إن أمكن) الجانبين الأيسر والأيمن من المتراجحة لوغاريتمات لنفس الأساس.
ج) تحديد ما إذا كانت الدالة اللوغاريتمية تتزايد أم تتناقص: إذا كان t> 1، فإنه يتزايد؛ إذا 0 1، ثم يتناقص.
د) انتقل إلى متباينة أبسط (التعبيرات الحسابية الفرعية)، مع مراعاة أن علامة المتراجحة ستبقى كما هي إذا زادت الدالة وستتغير إذا نقصت.

عنصر التعلم رقم 1.

الهدف: توحيد الحل لأبسط المتباينات اللوغاريتمية

شكل تنظيم النشاط المعرفي للطلاب: العمل الفردي.

مهام العمل المستقل لمدة 10 دقائق. هناك العديد من الإجابات المحتملة لكل متباينة؛ عليك اختيار الإجابة الصحيحة والتحقق منها باستخدام المفتاح.

المفتاح: 13321، الحد الأقصى لعدد النقاط – 6 نقاط.

عنصر التعلم رقم 2.

الهدف: توحيد حل المتباينات اللوغاريتمية باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

تعليمات المعلم. تذكر الخصائص الأساسية للوغاريتمات. وللقيام بذلك، اقرأ نص الكتاب المدرسي في الصفحات 92، 103-104.

مهام العمل المستقل لمدة 10 دقائق.

المفتاح: 2113، الحد الأقصى لعدد النقاط – 8 نقاط.

عنصر التعلم رقم 3.

الغرض: دراسة حل المتباينات اللوغاريتمية بطريقة الاختزال إلى الدرجة التربيعية.

تعليمات المعلم: طريقة اختزال المتباينة إلى معادلة تربيعية هي تحويل المتباينة إلى شكل بحيث تتم الإشارة إلى دالة لوغاريتمية معينة بواسطة متغير جديد، وبالتالي الحصول على متباينة تربيعية فيما يتعلق بهذا المتغير.

دعونا نستخدم طريقة الفاصل الزمني.

لقد اجتزت المستوى الأول من إتقان المادة. سيتعين عليك الآن اختيار طريقة حل المعادلات اللوغاريتمية بشكل مستقل باستخدام كل معرفتك وقدراتك.

عنصر التعلم رقم 4.

الهدف: توحيد حل عدم المساواة اللوغاريتمية عن طريق اختيار طريقة حل عقلانية بشكل مستقل.

مهام العمل المستقل لمدة 10 دقائق

عنصر التعلم رقم 5.

تعليمات المعلم. أحسنت! لقد أتقنت حل المعادلات من المستوى الثاني من التعقيد. الهدف من عملك الإضافي هو تطبيق معرفتك ومهاراتك في مواقف أكثر تعقيدًا وغير قياسية.

مهام الحل المستقل:

تعليمات المعلم. إنه لأمر رائع أن أكملت المهمة بأكملها. أحسنت!

تعتمد درجة الدرس بأكمله على عدد النقاط المسجلة لجميع العناصر التعليمية:

• إذا كان N ≥ 20، فستحصل على تصنيف "5"،
• لـ 16 ≥ N ≥ 19 - النتيجة "4"،
• لـ 8 ≥ N ≥ 15 - النتيجة "3"،
• في ن< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

تسليم أوراق التقييم للمعلم.

5. الواجب المنزلي: إذا سجلت ما لا يزيد عن 15 نقطة، اعمل على تصحيح أخطائك (يمكن الحصول على الحلول من المعلم)، إذا سجلت أكثر من 15 نقطة، أكمل مهمة إبداعية حول موضوع "المتباينات اللوغاريتمية".

الحفاظ على خصوصيتك مهم بالنسبة لنا. لهذا السبب، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى مراجعة ممارسات الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كانت لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عند تقديم طلب على الموقع، قد نقوم بجمع معلومات مختلفة، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

• تتيح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها الاتصال بك بشأن العروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ومراسلات مهمة.
• قد نستخدم أيضًا المعلومات الشخصية لأغراض داخلية، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا شاركت في سحب جائزة أو مسابقة أو عرض ترويجي مماثل، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.

الكشف عن المعلومات لأطراف ثالثة

نحن لا نكشف عن المعلومات الواردة منك إلى أطراف ثالثة.

الاستثناءات:

• إذا لزم الأمر - وفقًا للقانون، والإجراءات القضائية، وفي الإجراءات القانونية و/أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات المقدمة من الهيئات الحكومية في الاتحاد الروسي - للكشف عن معلوماتك الشخصية. يجوز لنا أيضًا الكشف عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأغراض الأمنية أو إنفاذ القانون أو أي أغراض أخرى ذات أهمية عامة.
• في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث الذي يخلفه.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام، بالإضافة إلى الوصول غير المصرح به والكشف والتغيير والتدمير.

احترام خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة، نقوم بتوصيل معايير الخصوصية والأمان لموظفينا وننفذ ممارسات الخصوصية بشكل صارم.

من بين مجموعة كاملة من عدم المساواة اللوغاريتمية، يتم دراسة عدم المساواة ذات قاعدة متغيرة بشكل منفصل. يتم حلها باستخدام صيغة خاصة، والتي نادرا ما يتم تدريسها في المدرسة لسبب ما:

السجل ك (x) f (x) ∨ سجل k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

بدلاً من مربع الاختيار "∨"، يمكنك وضع أي علامة عدم المساواة: أكثر أو أقل. الشيء الرئيسي هو أن العلامات هي نفسها في كلتا المتباينتين.

بهذه الطريقة نتخلص من اللوغاريتمات ونقلل المشكلة إلى عدم مساواة عقلانية. الحل الأخير أسهل بكثير، ولكن عند التخلص من اللوغاريتمات، قد تظهر جذور إضافية. لقطعها، يكفي العثور على نطاق القيم المقبولة. إذا نسيت ODZ للوغاريتم، فإنني أوصي بشدة بتكراره - راجع "ما هو اللوغاريتم".

يجب كتابة كل ما يتعلق بنطاق القيم المقبولة وحلها بشكل منفصل:

و(خ) > 0; ز(خ) > 0; ك(خ) > 0; ك(خ) ≠ 1.

تشكل أوجه عدم المساواة الأربعة هذه نظامًا ويجب تلبيته في وقت واحد. عندما يتم العثور على نطاق القيم المقبولة، كل ما تبقى هو تقاطعه مع حل المتباينة العقلانية - والإجابة جاهزة.

مهمة. حل عدم المساواة:

أولاً، دعونا نكتب ODZ للوغاريتم:

يتم تحقيق المتباينتين الأوليين تلقائيًا، ولكن يجب كتابة المتباينة الأخيرة. بما أن مربع العدد يساوي صفرًا إذا وفقط إذا كان الرقم نفسه صفرًا، فلدينا:

× 2 + 1 ≠ 1؛
×2 ≠ 0;
س ≠ 0.

اتضح أن ODZ للوغاريتم هو جميع الأرقام باستثناء الصفر: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). الآن نحل عدم المساواة الرئيسية:

ننتقل من عدم المساواة اللوغاريتمية إلى عدم المساواة العقلانية. المتباينة الأصلية تحمل علامة "أقل من"، مما يعني أن المتباينة الناتجة يجب أن تحمل أيضًا علامة "أقل من". لدينا:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 - × 2) × 2< 0;
(3 − س ) (3 + س ) × 2< 0.

أصفار هذا التعبير هي: x = 3; س = −3; x = 0. علاوة على ذلك، x = 0 هو جذر للكثرة الثانية، مما يعني أنه عند المرور به لا تتغير إشارة الدالة. لدينا:

نحصل على x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). هذه المجموعة موجودة بالكامل في ODZ للوغاريتم، مما يعني أن هذا هو الجواب.

تحويل المتباينات اللوغاريتمية

غالبًا ما تكون المتباينة الأصلية مختلفة عن تلك المذكورة أعلاه. يمكن تصحيح ذلك بسهولة باستخدام القواعد القياسية للعمل مع اللوغاريتمات - راجع "الخصائص الأساسية للوغاريتمات". يسمى:

1. يمكن تمثيل أي رقم على هيئة لوغاريتم بأساس معين؛
2. يمكن استبدال مجموع اللوغاريتمات والفرق بينها ذات الأساس نفسه بلوغاريتم واحد.

بشكل منفصل، أود أن أذكرك بنطاق القيم المقبولة. بما أنه قد يكون هناك عدة لوغاريتمات في المتراجحة الأصلية، فمن الضروري إيجاد قيمة VA لكل منها. وبالتالي، فإن المخطط العام لحل المتباينات اللوغاريتمية هو كما يلي:

1. أوجد قيمة VA لكل لوغاريتم متضمن في المتراجحة؛
2. تقليل عدم المساواة إلى مستوى قياسي باستخدام صيغ جمع وطرح اللوغاريتمات؛
3. حل عدم المساواة الناتجة باستخدام المخطط المذكور أعلاه.

مهمة. حل عدم المساواة:

لنجد مجال التعريف (DO) للوغاريتم الأول:

نحن نحل باستخدام طريقة الفاصل. إيجاد أصفار البسط:

3س − 2 = 0;
س = 2/3.

ثم - أصفار المقام:

س − 1 = 0;
س = 1.

نحدد الأصفار والعلامات على سهم الإحداثيات:

نحصل على x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). اللوغاريتم الثاني سيكون له نفس VA. إذا كنت لا تصدق ذلك، يمكنك التحقق من ذلك. الآن نقوم بتحويل اللوغاريتم الثاني بحيث يكون الأساس اثنان:

كما ترون، تم تقليل الثلاثات الموجودة في القاعدة وأمام اللوغاريتم. لقد حصلنا على لوغاريتمين لهما نفس الأساس. دعونا نضيفها:

سجل 2 (س - 1) 2< 2;
سجل 2 (س - 1) 2< log 2 2 2 .

لقد حصلنا على عدم المساواة اللوغاريتمية القياسية. نتخلص من اللوغاريتمات باستخدام الصيغة. بما أن المتباينة الأصلية تحتوي على علامة "أقل من"، فإن التعبير العقلاني الناتج يجب أن يكون أيضًا أقل من الصفر. لدينا:

(و (x) − ز (x)) (ك (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
س 2 − 2س + 1 − 4< 0;
س 2 − 2x − 3< 0;
(س − 3)(س + 1)< 0;
س ∈ (−1; 3).

حصلنا على مجموعتين:

1. ODZ: س ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. إجابة المرشح: x ∈ (−1; 3).

يبقى أن نتقاطع مع هذه المجموعات - نحصل على الإجابة الحقيقية:

نحن مهتمون بتقاطع المجموعات، لذلك نختار الفواصل المظللة على كلا السهمين. نحصل على x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - جميع النقاط مثقوبة.

المتباينات اللوغاريتمية

تعرفنا في الدروس السابقة على المعادلات اللوغاريتمية والآن عرفنا ما هي وكيفية حلها. سيتم تخصيص درس اليوم لدراسة عدم المساواة اللوغاريتمية. ما هي هذه المتباينات وما الفرق بين حل المعادلة اللوغاريتمية والمتباينة؟

المتباينات اللوغاريتمية هي متباينات تحتوي على متغير يظهر تحت علامة اللوغاريتم أو عند قاعدتها.

أو يمكننا القول أيضًا إن المتباينة اللوغاريتمية هي متباينة تظهر فيها قيمتها المجهولة، كما في المعادلة اللوغاريتمية، تحت إشارة اللوغاريتم.

أبسط المتباينات اللوغاريتمية لها الشكل التالي:

حيث f(x) وg(x) هي بعض التعبيرات التي تعتمد على x.

لننظر إلى هذا باستخدام هذا المثال: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

حل المتباينات اللوغاريتمية

قبل حل المتباينات اللوغاريتمية، تجدر الإشارة إلى أنها عند حلها تشبه المتباينات الأسية، وهي:

أولاً، عند الانتقال من اللوغاريتمات إلى التعبيرات تحت علامة اللوغاريتم، نحتاج أيضًا إلى مقارنة أساس اللوغاريتم بالواحد؛

ثانيًا، عند حل المتباينة اللوغاريتمية باستخدام تغير المتغيرات، علينا حل المتباينات بالنسبة للتغير حتى نحصل على أبسط متباينة.

لكن أنا وأنت تناولنا جوانب مماثلة لحل المتباينات اللوغاريتمية. الآن دعونا ننتبه إلى اختلاف كبير إلى حد ما. أنا وأنت نعلم أن الدالة اللوغاريتمية لها مجال تعريف محدود، لذلك عند الانتقال من اللوغاريتمات إلى التعبيرات تحت علامة اللوغاريتم، نحتاج إلى مراعاة نطاق القيم المسموح بها (ADV).

وهذا هو، يجب أن يؤخذ في الاعتبار أنه عند حل معادلة لوغاريتمية، يمكننا أولا العثور على جذور المعادلة، ثم التحقق من هذا الحل. لكن حل عدم المساواة اللوغاريتمية لن يعمل بهذه الطريقة، حيث أن الانتقال من اللوغاريتمات إلى التعبيرات تحت علامة اللوغاريتم، سيكون من الضروري كتابة ODZ لعدم المساواة.

بالإضافة إلى ذلك، تجدر الإشارة إلى أن نظرية المتباينات تتكون من أعداد حقيقية وهي أرقام موجبة وسالبة، وكذلك الرقم 0.

على سبيل المثال، عندما يكون الرقم "a" موجبًا، فأنت بحاجة إلى استخدام الترميز التالي: a >0. في هذه الحالة، سيكون مجموع هذه الأرقام وحاصل ضربها موجبًا أيضًا.

المبدأ الرئيسي لحل المتباينة هو استبدالها بمتباينة أبسط، ولكن الشيء الرئيسي هو أنها تعادل المتباينة المعطاة. علاوة على ذلك، حصلنا أيضًا على متباينة واستبدلناها مرة أخرى بمتباينة ذات شكل أبسط، وما إلى ذلك.

عند حل المتباينات ذات المتغير، عليك إيجاد جميع حلولها. إذا كانت متباينتان لهما نفس المتغير x، فإن هذه المتباينات تكون متكافئة، بشرط أن تتطابق حلولها.

عند تنفيذ مهام حل المتباينات اللوغاريتمية، يجب أن تتذكر أنه عندما تكون a > 1، تزيد الدالة اللوغاريتمية، وعندما تكون 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

طرق حل المتباينات اللوغاريتمية

الآن دعونا نلقي نظرة على بعض الطرق التي يتم إجراؤها عند حل المتباينات اللوغاريتمية. من أجل فهم واستيعاب أفضل، سنحاول فهمها باستخدام أمثلة محددة.

نعلم جميعًا أن أبسط المتباينة اللوغاريتمية لها الشكل التالي:

في هذه المتباينة، V – هي إحدى علامات عدم المساواة التالية:<,>أو ≥ أو ≥.

عندما يكون أساس لوغاريتم معين أكبر من واحد (أ>1)، عند الانتقال من اللوغاريتمات إلى التعبيرات تحت علامة اللوغاريتم، يتم الاحتفاظ بعلامة عدم المساواة في هذا الإصدار، وسيكون لعدم المساواة النموذج التالي:

وهو ما يعادل هذا النظام:

في الحالة التي تكون فيها قاعدة اللوغاريتم أكبر من الصفر وأقل من واحد (0

وهذا يعادل هذا النظام:

دعونا نلقي نظرة على المزيد من الأمثلة لحل أبسط المتباينات اللوغاريتمية الموضحة في الصورة أدناه:

حل الأمثلة

يمارس.دعونا نحاول حل هذا عدم المساواة:

حل نطاق القيم المقبولة.

الآن دعونا نحاول ضرب الجانب الأيمن من خلال:

دعونا نرى ما يمكننا التوصل إليه:

الآن، دعنا ننتقل إلى تحويل التعبيرات اللوغاريتمية الفرعية. وذلك لأن أساس اللوغاريتم هو 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3س - 8 > 16؛
3x > 24؛
س > 8.

ويترتب على ذلك أن الفاصل الزمني الذي حصلنا عليه ينتمي بالكامل إلى ODZ وهو حل لمثل هذه المتباينة.

وهذا هو الجواب الذي حصلنا عليه:

ما هو المطلوب لحل عدم المساواة اللوغاريتمية؟

الآن دعونا نحاول تحليل ما نحتاج إليه لحل المتباينات اللوغاريتمية بنجاح؟

أولاً، ركز كل انتباهك وحاول ألا ترتكب أخطاء عند إجراء التحويلات المعطاة في هذه المتباينة. أيضًا، يجب أن نتذكر أنه عند حل مثل هذه عدم المساواة، من الضروري تجنب التوسعات والتقلصات في ODZ من عدم المساواة، مما قد يؤدي إلى فقدان أو الحصول على حلول غريبة.

ثانيًا، عند حل عدم المساواة اللوغاريتمية، عليك أن تتعلم التفكير بشكل منطقي وفهم الفرق بين المفاهيم مثل نظام عدم المساواة ومجموعة من عدم المساواة، بحيث يمكنك بسهولة تحديد حلول عدم المساواة، مع الاسترشاد بـ DL الخاص بها.

ثالثا، لحل هذه عدم المساواة بنجاح، يجب على كل واحد منكم أن يعرف تماما جميع خصائص الوظائف الأولية وفهم معناها بوضوح. لا تشمل هذه الوظائف اللوغاريتمية فحسب، بل تشمل أيضًا الوظائف المنطقية والقوة والمثلثية وما إلى ذلك، في كلمة واحدة، كل تلك التي درستها أثناء الجبر المدرسي.

وكما ترى، بعد دراسة موضوع المتباينات اللوغاريتمية، لا يوجد شيء صعب في حل هذه المتباينات، بشرط أن تكون حريصاً ومثابراً في تحقيق أهدافك. لتجنب أي مشاكل في حل عدم المساواة، تحتاج إلى التدرب قدر الإمكان، وحل المهام المختلفة وفي نفس الوقت تذكر الطرق الأساسية لحل هذه عدم المساواة وأنظمتها. إذا فشلت في حل المتباينات اللوغاريتمية، عليك تحليل أخطائك بعناية حتى لا تعود إليها مرة أخرى في المستقبل.

العمل في المنزل

لفهم الموضوع بشكل أفضل وتوحيد المواد المغطاة، قم بحل المتباينات التالية: