متابعة من الأمس:
هيا نلعب بفسيفساء مستوحاة من قصة هندسية خيالية:
ذات مرة كان هناك مثلثات. متشابهة لدرجة أنها مجرد نسخ من بعضها البعض.
لقد وقفوا بطريقة ما جنبًا إلى جنب في خط مستقيم. وبما أنهم كانوا جميعا بنفس الارتفاع -
ثم كانت قممها على نفس المستوى، تحت المسطرة:
المثلثات تحب أن تتعثر وتقف على رؤوسها. صعدوا إلى الصف العلوي ووقفوا في الزاوية كالأكروبات.
ونحن نعلم بالفعل - عندما يقفون وقممهم في خط واحد تمامًا،
ثم يتبع باطنهم أيضًا المسطرة - لأنه إذا كان شخص ما بنفس الارتفاع، فهو أيضًا بنفس الارتفاع رأسًا على عقب!
لقد كانا متماثلين في كل شيء، نفس الطول، ونفس النعال،
والشرائح الموجودة على الجانبين - واحدة أكثر انحدارًا والأخرى أكثر استواءً - هي نفسها في الطول
ولهما نفس المنحدر. حسنًا، توأمان فقط! (فقط بملابس مختلفة، ولكل منها قطعة اللغز الخاصة بها).
- أين المثلثات لها أضلاع متطابقة؟ أين هي الزوايا نفسها؟
وقف المثلثون على رؤوسهم، ووقفوا هناك، وقرروا الانزلاق والاستلقاء في الصف السفلي.
انزلقوا وانزلقوا إلى أسفل التل. لكن شرائحهم هي نفسها!
لذا فهي تتناسب تمامًا بين المثلثات السفلية، دون فجوات، ولا يدفع أحد أحدًا جانبًا.
نظرنا حول المثلثات ولاحظنا ميزة مثيرة للاهتمام.
وحيثما اجتمعت زواياهم، فلا شك أن الزوايا الثلاث ستلتقي:
الأكبر هي "زاوية الرأس"، والزاوية الأكثر حدة، والثالثة هي الزاوية المتوسطة الأكبر.
حتى أنهم ربطوا أشرطة ملونة حتى يتضح على الفور أي منها.
واتضح أن زوايا المثلث الثلاثة، إذا قمت بدمجها -
تشكل زاوية واحدة كبيرة، "زاوية مفتوحة" - مثل غلاف كتاب مفتوح،
______________________يا _____
وهذا ما يطلق عليه: الزاوية المقلوبة.
أي مثلث يشبه جواز السفر: ثلاث زوايا معًا تساوي الزاوية المفتوحة.
هناك من يطرق بابك:- نوك نوك، أنا مثلث، اسمحوا لي أن أقضي الليل!
وأنت تقول له - أرني مجموع الزوايا في الصورة الموسعة!
ومن الواضح على الفور ما إذا كان هذا مثلثًا حقيقيًا أم محتالًا.
لم ينجح في الاختبار - استدر مئة وثمانين درجة وارجع إلى المنزل!
عندما يقولون "استدر 180 درجة" فهذا يعني الاستدارة للخلف و
اذهب في الاتجاه المعاكس.
نفس الشيء في تعبيرات أكثر دراية، دون "كان ياما كان":
دعونا نجري ترجمة موازية للمثلث ABC على طول محور OX
إلى المتجه أ.بيساوي طول القاعدة AB.
خط DF يمر عبر القمم C و C 1 للمثلثات
موازيًا لمحور OX، لأنه عمودي على محور OX
القطع h و h 1 (ارتفاعات المثلثات المتساوية) متساوية.
وبالتالي فإن قاعدة المثلث A 2 B 2 C 2 موازية للقاعدة AB
ويساويها في الطول (نظرًا لأن الرأس C 1 يتم إزاحته بالنسبة إلى C بمقدار AB).
المثلثان A 2 B 2 C 2 و ABC متساويان من ثلاثة أضلاع.
وبالتالي فإن الزوايا ∠A 1 ∠B ∠C 2 التي تشكل زاوية مستقيمة تساوي زوايا المثلث ABC.
=> مجموع زوايا المثلث هو 180 درجة
مع الحركات - "البث" فإن ما يسمى بالإثبات أقصر وأوضح،
حتى الطفل يمكنه فهم قطع الفسيفساء.
لكن المدرسة التقليدية:
على أساس تساوي الزوايا الداخلية المتقاطعة المقطوعة على خطوط متوازية
قيمة لأنها تعطي فكرة عن سبب ذلك،
لماذامجموع زوايا المثلث يساوي الزاوية العكسية؟
لأنه بخلاف ذلك لن يكون للخطوط المتوازية الخصائص المألوفة في عالمنا.
النظريات تعمل في كلا الاتجاهين. من بديهية الخطوط المتوازية يتبع
المساواة بين الزوايا المستقيمة والعمودية ومنهم - مجموع زوايا المثلث.
لكن العكس هو الصحيح أيضًا: طالما أن زوايا المثلث تساوي 180 درجة، فهناك مستقيمات متوازية
(بحيث يمكن من خلال نقطة لا تقع على خط رسم خط فريد || من الخط المعطى).
إذا ظهر في العالم في يوم من الأيام مثلث لا يساوي مجموع زواياه الزاوية المفتوحة -
عندها ستتوقف المتوازيات عن أن تكون متوازية، وسوف ينحني العالم كله وينحرف.
إذا تم وضع خطوط ذات أنماط مثلثية واحدة فوق الأخرى -
يمكنك تغطية الحقل بأكمله بنمط متكرر، مثل الأرضية بالبلاط:
يمكنك رسم أشكال مختلفة على مثل هذه الشبكة - الأشكال السداسية والمعينات،
المضلعات النجمية والحصول على مجموعة متنوعة من الباركيه
إن تبليط الطائرة بالباركيه ليس مجرد لعبة مسلية فحسب، بل هو أيضًا مسألة رياضية ذات صلة:
________________________________________ _______________________-------__________ ________________________________________ ______________
/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\=/\__||_/ \__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\
وبما أن كل شكل رباعي هو مستطيل أو مربع أو معين الخ.
يمكن أن تتكون من مثلثين
على التوالي، مجموع زوايا الشكل الرباعي: 180° + 180° = 360°
يتم طي المثلثات المتساوية الساقين إلى مربعات بطرق مختلفة.
مربع صغير من جزأين. متوسط 4. والأكبر من 8.
ما عدد الأشكال الموجودة في الرسم والتي تتكون من 6 مثلثات؟
نظرية مجموع الزوايا الداخلية للمثلث
مجموع زوايا المثلث هو 180 درجة.
دليل:
- نظرا للمثلث ABC.
- من خلال الرأس B نرسم خطًا مستقيمًا DK موازيًا للقاعدة AC.
- \angle CBK = \angle C كوضع عرضي داخلي مع التوازي DK وAC، والقاطع BC.
- \angle DBA = \angle A داخلي متقاطع مع DK \parallel AC وsecant AB. الزاوية DBK معكوسة وتساوي
- \angle DBK = \angle DBA + \angle B + \angle CBK
- بما أن الزاوية غير المطوية تساوي 180 ^\circ و \angle CBK = \angle C و\angle DBA = \angle A ، نحصل على 180 ^\circ = \الزاوية A + \الزاوية B + \الزاوية C.
تم إثبات النظرية
النتائج الطبيعية من نظرية مجموع زوايا المثلث:
- مجموع الزوايا الحادة للمثلث القائم هو 90 درجة.
- في المثلث القائم متساوي الساقين، كل زاوية حادة تساوي 45 درجة.
- في المثلث متساوي الأضلاع، كل زاوية متساوية 60 درجة.
- في أي مثلث تكون الزوايا جميعها حادة، أو زاويتان حادتان، والثالثة منفرجة أو قائمة.
- الزاوية الخارجية للمثلث تساوي مجموع زاويتين داخليتين غير مجاورتين له.
نظرية الزاوية الخارجية للمثلث
الزاوية الخارجية للمثلث تساوي مجموع الزاويتين المتبقيتين في المثلث غير المجاورتين لهذه الزاوية الخارجية
دليل:
- بالنظر إلى المثلث ABC، حيث BCD هي الزاوية الخارجية.
- \زاوية BAC + \زاوية ABC +\زاوية BCA = 180^0
- من المساواة الزاوية \زاوية BCD + \زاوية BCA = 180^0
- نحن نحصل \زاوية BCD = \زاوية BAC+\زاوية ABC.
أهداف و غايات:
التعليمية:
- تكرار وتعميم المعرفة حول المثلث؛
- إثبات نظرية مجموع زوايا المثلث.
- التحقق عمليا من صحة صياغة النظرية؛
- تعلم كيفية تطبيق المعرفة المكتسبة عند حل المشكلات.
التعليمية:
- تطوير التفكير الهندسي والاهتمام بالموضوع والنشاط المعرفي والإبداعي للطلاب والكلام الرياضي والقدرة على الحصول على المعرفة بشكل مستقل.
التعليمية:
- تنمية الصفات الشخصية لدى الطلاب، مثل الإصرار والمثابرة والدقة والقدرة على العمل ضمن فريق.
معدات:جهاز عرض متعدد الوسائط، مثلثات مصنوعة من الورق الملون، مجمع تعليمي "الرياضيات الحية"، كمبيوتر، شاشة.
المرحلة التحضيرية:يكلف المعلم الطالب بمهمة إعداد مذكرة تاريخية حول نظرية "مجموع زوايا المثلث".
نوع الدرس: تعلم مواد جديدة.
خلال الفصول الدراسية
I. اللحظة التنظيمية
تحيات. الموقف النفسي للطلاب للعمل.
ثانيا. تسخين
تعرفنا على الشكل الهندسي "المثلث" في الدروس السابقة. دعونا نكرر ما نعرفه عن المثلث؟
يعمل الطلاب في مجموعات. يتم منحهم الفرصة للتواصل مع بعضهم البعض، كل لبناء عملية الإدراك بشكل مستقل.
ماذا حدث؟ تقدم كل مجموعة مقترحاتها، ويكتبها المعلم على السبورة. تتم مناقشة النتائج:
الصورة 1
ثالثا. صياغة هدف الدرس
إذن، نحن نعرف بالفعل الكثير عن المثلث. لكن ليس كل. كل واحد منكم لديه مثلثات ومنقلة على مكتبه. ما نوع المشكلة التي تعتقد أنه يمكننا صياغتها؟
يقوم الطلاب بصياغة مهمة الدرس - للعثور على مجموع زوايا المثلث.
رابعا. شرح المواد الجديدة
الجزء العملي(يعزز تحديث المعرفة ومهارات المعرفة الذاتية) قياس الزوايا باستخدام المنقلة والعثور على مجموعها. قم بتدوين النتائج في دفتر ملاحظاتك (استمع إلى الإجابات التي تلقيتها). نكتشف أن مجموع الزوايا يختلف من شخص لآخر (يمكن أن يحدث هذا بسبب عدم تطبيق المنقلة بدقة، أو إجراء الحساب بلا مبالاة، وما إلى ذلك).
قم بالطي على طول الخطوط المنقطة واكتشف ما يساوي مجموع زوايا المثلث:
أ) 
الشكل 2
ب) 
الشكل 3
الخامس) 
الشكل 4
ز) 
الشكل 5
ه) 
الشكل 6
بعد الانتهاء من العمل العملي، يقوم الطلاب بصياغة الإجابة: مجموع زوايا المثلث يساوي قياس درجة الزاوية المفتوحة، أي 180 درجة.
المعلم: في الرياضيات، العمل العملي يجعل من الممكن فقط الإدلاء بنوع من العبارات، ولكن يجب إثبات ذلك. تسمى العبارة التي يتم إثبات صحتها بالبرهان نظرية. ما هي النظرية التي يمكننا صياغتها وإثباتها؟
طلاب: مجموع زوايا المثلث هو 180 درجة.
مرجع تاريخي:تم إنشاء خاصية مجموع زوايا المثلث في مصر القديمة. والدليل، المنصوص عليه في الكتب المدرسية الحديثة، موجود في تعليق بروكلس على عناصر إقليدس. يدعي بروكلس أن هذا الدليل (الشكل 8) اكتشفه الفيثاغوريون (القرن الخامس قبل الميلاد). في الكتاب الأول للعناصر، يقدم إقليدس دليلاً آخر على نظرية مجموع زوايا المثلث، والتي يمكن فهمها بسهولة بمساعدة الرسم (الشكل 7):
الشكل 7
الشكل 8
يتم عرض الرسومات على الشاشة من خلال جهاز العرض.
يعرض المعلم إثبات النظرية باستخدام الرسومات.
ثم يتم إجراء الإثبات باستخدام مجمع التدريس والتعلم "الرياضيات الحية". يعرض المعلم إثبات النظرية على الكمبيوتر.
نظرية مجموع زوايا المثلث: "مجموع زوايا المثلث 180 درجة"
الشكل 9
دليل:
أ) 
الشكل 10
ب) 
الشكل 11
الخامس) 
الشكل 12
يقوم الطلاب بتدوين ملاحظة موجزة عن إثبات النظرية في دفاتر ملاحظاتهم:
نظرية:مجموع زوايا المثلث هو 180 درجة.
الشكل 13
منح:Δ ABC
يثبت:أ + ب + ج = 180 درجة.
دليل:
ما يحتاج إلى إثبات.
خامسا فيز. دقيقة فقط.
السادس. شرح المواد الجديدة (تابع)
يتم استنتاج النتيجة الطبيعية من النظرية حول مجموع زوايا المثلث من قبل الطلاب بشكل مستقل، وهذا يساهم في تطوير القدرة على صياغة وجهة نظرهم الخاصة والتعبير عنها والدفاع عنها:
في أي مثلث تكون جميع الزوايا حادة، أو تكون اثنتين منها حادة والثالثة منفرجة أو قائمة..
إذا كان المثلث يحتوي على جميع الزوايا الحادة، فإنه يسمى حادة الزاوية.
إذا كانت إحدى زوايا المثلث منفرجة تسمى منفرجة الزاوية.
إذا كانت إحدى زوايا المثلث قائمة، فإنه يسمى مستطيلي.
تسمح لنا نظرية مجموع زوايا المثلث بتصنيف المثلثات ليس فقط حسب الجوانب، ولكن أيضًا حسب الزوايا. (بينما يقوم الطلاب بتقديم أنواع المثلثات، يقوم الطلاب بملء الجدول)
الجدول 1
| عرض المثلث | متساوي الساقين | متساوي الاضلاع | متنوع القدرات |
| مستطيلي | 
|
|
|
| منفرج الزاوية | 
|
|
|
| حادة الزاوية | 
|
|
|
سابعا. توحيد المواد المدروسة.
- حل المشكلات شفويا:
(يتم عرض الرسومات على الشاشة من خلال جهاز العرض)
المهمة 1. ابحث عن الزاوية C.
الشكل 14
المشكلة 2. أوجد الزاوية F.
الشكل 15
المهمة 3. أوجد الزوايا K و N.
الشكل 16
المشكلة 4. أوجد الزوايا P و T.
الشكل 17
- حل المشكلة رقم 223 (ب، د) بنفسك.
- حل المسألة على السبورة والدفاتر الطالب رقم 224.
- الأسئلة: هل يمكن أن يحتوي المثلث على: أ) زاويتان قائمتان؛ ب) زاويتان منفرجتان؛ ج) زاوية واحدة قائمة وأخرى منفرجة.
- (يتم إجراؤه شفهيًا) تُظهر البطاقات الموجودة على كل طاولة مثلثات مختلفة. حدد بالعين نوع كل مثلث.
الشكل 18
- أوجد مجموع الزوايا 1، 2، 3.
الشكل 19
ثامنا. ملخص الدرس.
المعلم: ماذا تعلمنا؟ هل النظرية قابلة للتطبيق على أي مثلث؟
تاسعا. انعكاس.
أخبروني عن مزاجكم يا شباب! على الجانب الخلفي من المثلث، قم بتصوير تعابير وجهك.
الشكل 20
العمل في المنزل:الفقرة 30 (الجزء 1)، السؤال 1 الفصل. IV الصفحة 89 من الكتاب المدرسي؛ رقم 223 (أ، ج)، رقم 225.
تمت صياغة هذه النظرية أيضًا في الكتاب المدرسي لـ L.S Atanasyan. ، وفي الكتاب المدرسي Pogorelov A.V. . لا تختلف الأدلة على هذه النظرية في هذه الكتب المدرسية بشكل كبير، وبالتالي نقدم دليلها، على سبيل المثال، من الكتاب المدرسي A. V. Pogorelov.
النظرية: مجموع زوايا المثلث هو 180 درجة
دليل. دع ABC يكون المثلث المعطى. دعونا نرسم خطًا يمر بالرأس B موازيًا للخط AC. لنضع علامة على النقطة D عليها بحيث تقع النقطتان A و D على طرفي نقيض من الخط المستقيم BC (الشكل 6).
الزاويتان DBC وACB متساويتان كزاويتين متقاطعتين داخليتين، مكونتين من القاطع BC مع خطين مستقيمين متوازيين AC وBD. وبالتالي فإن مجموع زوايا المثلث عند الرؤوس B وC يساوي الزاوية ABD. ومجموع الزوايا الثلاث للمثلث يساوي مجموع الزوايا ABD وBAC. وبما أن هذه الزوايا الداخلية أحادية الجانب للتوازيين AC و BD والقاطع AB، فإن مجموعها هو 180 درجة. تم إثبات النظرية.
فكرة هذا الإثبات هي رسم خط متوازي والإشارة إلى أن الزوايا المطلوبة متساوية. دعونا نعيد بناء فكرة هذا البناء الإضافي من خلال إثبات هذه النظرية باستخدام مفهوم التجربة الفكرية. إثبات النظرية باستخدام تجربة فكرية. إذن، موضوع تجربتنا الفكرية هو زوايا المثلث. دعونا نضعه عقليًا في ظروف يمكن فيها الكشف عن جوهره بيقين خاص (المرحلة الأولى).
ستكون مثل هذه الشروط عبارة عن ترتيب لزوايا المثلث يتم فيه دمج رؤوسهم الثلاثة عند نقطة واحدة. مثل هذا المزيج ممكن إذا سمحنا بإمكانية "تحريك" الزوايا عن طريق تحريك جوانب المثلث دون تغيير زاوية الميل (الشكل 1). مثل هذه الحركات هي في الأساس تحولات ذهنية لاحقة (المرحلة الثانية).
من خلال تحديد زوايا وجوانب المثلث (الشكل 2)، الزوايا التي تم الحصول عليها عن طريق "الحركة"، فإننا بذلك نشكل عقليًا البيئة، نظام الروابط الذي نضع فيه موضوع تفكيرنا (المرحلة 3).
الخط AB، "المتحرك" على طول الخط BC ودون تغيير زاوية الميل إليه، ينقل الزاوية 1 إلى الزاوية 5، و"المتحرك" على طول الخط AC، ينقل الزاوية 2 إلى الزاوية 4. لأنه مع مثل هذه "الحركة" الخط AB لا يغير زاوية الميل إلى الخطين AC وBC، فالنتيجة واضحة: الشعاعان a وa1 متوازيان مع AB ويتحولان إلى بعضهما البعض، والشعاعان b وb1 هما استمرار للجانبين BC وAC، على التوالي. بما أن الزاوية 3 والزاوية الواقعة بين الشعاعين b وb1 عموديتان، فإنهما متساويتان. مجموع هذه الزوايا يساوي زاوية التدوير aa1 - والتي تعني 180 درجة.
خاتمة
وفي الأطروحة تم إجراء البراهين "المركبة" لبعض النظريات الهندسية المدرسية باستخدام بنية التجربة الفكرية التي أكدت الفرضية المصاغة.
استند الدليل المقدم إلى مثل هذه المثالية البصرية والحسية: "الضغط"، "التمدد"، "الانزلاق"، مما جعل من الممكن تحويل الكائن الهندسي الأصلي بطريقة خاصة وإبراز خصائصه الأساسية، وهو أمر نموذجي للفكر تجربة. في هذه الحالة، تعمل تجربة الفكر بمثابة "أداة إبداعية" معينة تساهم في ظهور المعرفة الهندسية (على سبيل المثال، حول خط الوسط شبه المنحرف أو زوايا المثلث). مثل هذه المثالية تجعل من الممكن فهم فكرة الإثبات بأكملها، وفكرة تنفيذ "البناء الإضافي"، والتي تسمح لنا بالحديث عن إمكانية فهم أكثر وعيًا من قبل تلاميذ المدارس لعملية الإثبات الاستنتاجي الرسمي للإثبات النظريات الهندسية.
تعد التجربة الفكرية إحدى الطرق الأساسية للحصول على النظريات الهندسية واكتشافها. ومن الضروري وضع منهجية لنقل الطريقة إلى الطالب. ويبقى السؤال مفتوحاً عن عمر الطالب المقبول لـ«قبول» الطريقة، وعن «الآثار الجانبية» للأدلة المقدمة بهذه الطريقة.
هذه القضايا تتطلب مزيدا من الدراسة. ولكن على أي حال، هناك شيء واحد مؤكد: تجربة الفكر تطور التفكير النظري لدى تلاميذ المدارس، وهي أساسها، وبالتالي، يجب تطوير القدرة على تجربة الفكر.
