مساحة السطح الجانبي للهرم المستقيم. كيفية العثور على مساحة الاسطوانة

مساحة سطح الهرم . في هذه المقالة سوف نلقي نظرة على مشاكل الأهرامات العادية. اسمحوا لي أن أذكرك أن الهرم المنتظم هو هرم قاعدته مضلع منتظم، ويتم إسقاط الجزء العلوي من الهرم في وسط هذا المضلع.

الوجه الجانبي لهذا الهرم هو مثلث متساوي الساقين.يسمى ارتفاع هذا المثلث المرسوم من قمة الهرم المنتظم apothem، SF - apothem:

في نوع المشكلة الموضحة أدناه، تحتاج إلى العثور على مساحة سطح الهرم بأكمله أو مساحة سطحه الجانبي. لقد ناقشت المدونة بالفعل العديد من المشاكل المتعلقة بالأهرامات العادية، حيث كان السؤال حول إيجاد العناصر (الارتفاع، حافة القاعدة، الحافة الجانبية).

عادةً ما تقوم مهام امتحان الدولة الموحدة بفحص الأهرامات المنتظمة المثلثة والمربعة والسداسية. لم أر أي مشاكل مع الأهرامات الخماسية والسداسية المنتظمة.

صيغة مساحة السطح بالكامل بسيطة - تحتاج إلى إيجاد مجموع مساحة قاعدة الهرم ومساحة سطحه الجانبي:

دعونا نفكر في المهام:

أضلاع قاعدة الهرم الرباعي المنتظم 72، والأضلاع الجانبية 164. أوجد مساحة سطح هذا الهرم.

مساحة سطح الهرم تساوي مجموع مساحات السطح الجانبي والقاعدة:

*السطح الجانبي يتكون من أربعة مثلثات متساوية المساحة. قاعدة الهرم مربعة .

يمكننا حساب مساحة جانب الهرم باستخدام:

وبذلك تكون مساحة سطح الهرم هي:

الجواب: 28224

أضلاع قاعدة الهرم السداسي المنتظم تساوي 22، والحواف الجانبية تساوي 61. أوجد مساحة السطح الجانبية لهذا الهرم.

قاعدة الهرم السداسي المنتظم هي مسدس منتظم.

تتكون المساحة الجانبية لهذا الهرم من ست مساحات مثلثات متساوية أضلاعها 61،61، 22:

دعونا نجد مساحة المثلث باستخدام صيغة هيرون:

وبالتالي فإن مساحة السطح الجانبي هي:

الجواب: 3240

*في المسائل الموضحة أعلاه، يمكن إيجاد مساحة الوجه الجانبي باستخدام صيغة مثلث أخرى، ولكن لهذا تحتاج إلى حساب الارتفاع.

27155. أوجد مساحة سطح هرم رباعي منتظم طول قاعدته 6 وارتفاعه 4.

لكي نتمكن من إيجاد مساحة سطح الهرم علينا معرفة مساحة القاعدة ومساحة السطح الجانبي:

مساحة القاعدة 36 لأنها مربعة ضلعها 6.

ويتكون السطح الجانبي من أربعة وجوه وهي مثلثات متساوية. من أجل العثور على مساحة هذا المثلث، عليك أن تعرف قاعدته وارتفاعه (القياس):

*مساحة المثلث تساوي نصف حاصل ضرب القاعدة والارتفاع المرسوم على هذه القاعدة.

والقاعدة معروفة، وهي تساوي ستة. دعونا نجد الارتفاع. فكر في مثلث قائم الزاوية (مظلل باللون الأصفر):

إحدى الساقين تساوي 4، لأن هذا هو ارتفاع الهرم، والأخرى تساوي 3، لأنها تساوي نصف حافة القاعدة. يمكننا إيجاد الوتر باستخدام نظرية فيثاغورس:

وهذا يعني أن مساحة السطح الجانبي للهرم هي:

وبذلك تكون مساحة سطح الهرم بأكمله هي:

الجواب: 96

27069. أضلاع قاعدة الهرم الرباعي المنتظم تساوي 10، والأضلاع الجانبية تساوي 13. أوجد مساحة سطح هذا الهرم.

27070. أضلاع قاعدة الهرم السداسي المنتظم تساوي 10، والأضلاع الجانبية تساوي 13. أوجد مساحة السطح الجانبية لهذا الهرم.

هناك أيضًا صيغ لمساحة السطح الجانبية للهرم العادي. في الهرم المنتظم، تكون القاعدة إسقاطًا متعامدًا للسطح الجانبي، وبالتالي:

ص- محيط القاعدة، ل- ذروة الهرم

* تعتمد هذه الصيغة على صيغة مساحة المثلث.

إذا كنت تريد معرفة المزيد حول كيفية استخلاص هذه الصيغ، فلا تفوتها، تابع نشر المقالات.هذا كل شئ. كل التوفيق لك!

مع خالص التقدير، الكسندر كروتيتسكيخ.

ملاحظة: سأكون ممتنًا لو أخبرتني عن الموقع على الشبكات الاجتماعية.

عند التحضير لامتحان الدولة الموحدة في الرياضيات، يتعين على الطلاب تنظيم معرفتهم بالجبر والهندسة. أود أن أجمع كل المعلومات المعروفة، على سبيل المثال، كيفية حساب مساحة الهرم. علاوة على ذلك، بدءًا من القاعدة والحواف الجانبية وحتى مساحة السطح بأكملها. إذا كان الوضع مع الوجوه الجانبية واضحا، بما أنها مثلثات، فإن القاعدة تكون دائما مختلفة.

كيف تجد مساحة قاعدة الهرم؟

يمكن أن يكون أي شكل على الإطلاق: من مثلث عشوائي إلى n-gon. وهذه القاعدة، بالإضافة إلى الاختلاف في عدد الزوايا، يمكن أن تكون شكلًا منتظمًا أو غير منتظم. في مهام امتحان الدولة الموحدة التي تهم تلاميذ المدارس، لا توجد سوى مهام ذات أرقام صحيحة في القاعدة. لذلك سنتحدث عنهم فقط.

مثلث منتظم

وهذا هو، متساوي الأضلاع. الذي تكون فيه جميع الأطراف متساوية ويشار إليها بالحرف "أ". وفي هذه الحالة يتم حساب مساحة قاعدة الهرم بالصيغة:

س = (أ ٢ * √٣) / ٤.

مربع

صيغة حساب مساحتها هي الأبسط، هنا "a" هو الضلع مرة أخرى:

التعسفي المنتظم n-gon

جانب المضلع له نفس التدوين. بالنسبة لعدد الزوايا، يتم استخدام الحرف اللاتيني n.

S = (ن * أ 2) / (4 * تيراجرام (180 درجة/ن)).

ماذا تفعل عند حساب مساحة السطح الجانبية والإجمالية؟

وبما أن القاعدة شكل منتظم، فإن جميع وجوه الهرم متساوية. علاوة على ذلك، فإن كل واحد منهما عبارة عن مثلث متساوي الساقين، حيث أن أضلاعه متساوية. بعد ذلك، من أجل حساب المساحة الجانبية للهرم، سوف تحتاج إلى صيغة تتكون من مجموع أحاديات الحد المتطابقة. يتم تحديد عدد المصطلحات من خلال عدد جوانب القاعدة.

يتم حساب مساحة المثلث متساوي الساقين بالصيغة التي يتم فيها ضرب نصف ناتج القاعدة في الارتفاع. ويسمى هذا الارتفاع في الهرم apothem. تسميتها "أ". الصيغة العامة لمساحة السطح الجانبية هي:

S = ½ P*A، حيث P هو محيط قاعدة الهرم.

هناك حالات لا تكون فيها جوانب القاعدة معروفة، ولكن يتم تحديد الحواف الجانبية (ج) والزاوية المسطحة عند قمتها (α). ثم عليك استخدام الصيغة التالية لحساب المساحة الجانبية للهرم:

S = ن/2 * في 2 خطيئة α .

المهمة رقم 1

حالة.أوجد المساحة الكلية للهرم إذا كان طول ضلع قاعدته 4 سم وقيمة الارتفاع √3 سم.

حل.عليك أن تبدأ بحساب محيط القاعدة. بما أن هذا مثلث منتظم، إذن P = 3*4 = 12 سم وبما أن القياس معروف، يمكننا على الفور حساب مساحة السطح الجانبي بالكامل: ½*12*√3 = 6√3 سم 2.

بالنسبة للمثلث الموجود في القاعدة، تحصل على قيمة المساحة التالية: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 سم 2.

لتحديد المساحة بأكملها، ستحتاج إلى إضافة القيمتين الناتجتين: 6√3 + 4√3 = 10√3 سم2.

إجابة. 10√3 سم2.

المشكلة رقم 2

حالة. يوجد هرم رباعي الزوايا منتظم. طول جانب القاعدة 7 ملم والحافة الجانبية 16 ملم. من الضروري معرفة مساحة سطحه.

حل.وبما أن متعدد السطوح رباعي الزوايا ومنتظم، فإن قاعدته مربعة. بمجرد معرفة مساحة القاعدة والأوجه الجانبية، ستتمكن من حساب مساحة الهرم. صيغة المربع موضحة أعلاه. وبالنسبة للأوجه الجانبية فإن جميع أضلاع المثلث معروفة. لذلك، يمكنك استخدام صيغة هيرون لحساب مناطقهم.

الحسابات الأولى بسيطة وتؤدي إلى الرقم التالي: 49 ملم2. بالنسبة للقيمة الثانية، ستحتاج إلى حساب نصف المحيط: (7 + 16*2): 2 = 19.5 ملم. يمكنك الآن حساب مساحة المثلث المتساوي الساقين: √(19.5*(19.5-7)*(19.5-16) 2) = √2985.9375 = 54.644 مم2. لا يوجد سوى أربعة مثلثات من هذا القبيل، لذلك عند حساب الرقم النهائي سوف تحتاج إلى ضربه في 4.

اتضح: 49 + 4 * 54.644 = 267.576 مم 2.

إجابة. القيمة المطلوبة هي 267.576 ملم2.

المهمة رقم 3

حالة. للحصول على هرم رباعي الزوايا منتظم، تحتاج إلى حساب المنطقة. ومن المعروف أن طول ضلع المربع 6 سم وارتفاعه 4 سم.

حل.أسهل طريقة هي استخدام الصيغة مع حاصل ضرب المحيط والقياس. من السهل العثور على القيمة الأولى. والثاني هو أكثر تعقيدا قليلا.

علينا أن نتذكر نظرية فيثاغورس ونأخذ في الاعتبار أنها تتكون من ارتفاع الهرم والقياس، وهو الوتر. الساق الثانية تساوي نصف ضلع المربع، حيث أن ارتفاع المجسم يقع في منتصفه.

الارتفاع المطلوب (الوتر للمثلث القائم الزاوية) يساوي √(3 2 + 4 2) = 5 (سم).

الآن يمكنك حساب القيمة المطلوبة: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (سم2).

إجابة. 96 سم2.

المشكلة رقم 4

حالة.يتم إعطاء الجانب الصحيح: جوانب قاعدتها 22 مم والحواف الجانبية 61 مم. ما هي مساحة السطح الجانبية لهذا متعدد السطوح؟

حل.المنطق فيه هو نفسه الموضح في المهمة رقم 2. فقط تم إعطاء هرم بمربع في القاعدة، وهو الآن مسدس.

أولًا، يتم حساب مساحة القاعدة باستخدام الصيغة المذكورة أعلاه: (6*22 2) / (4*tg (180°/6)) = 726/(tg30°) = 726√3 سم 2.

أنت الآن بحاجة إلى معرفة نصف محيط المثلث المتساوي الساقين، وهو الوجه الجانبي. (22+61*2):2 = 72 سم، كل ما تبقى هو استخدام صيغة هيرون لحساب مساحة كل مثلث، ثم ضربها في ستة وإضافتها إلى تلك التي تم الحصول عليها للقاعدة.

الحسابات باستخدام صيغة هيرون: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 سم2. الحسابات التي تعطي مساحة السطح الجانبية: 660 * 6 = 3960 سم2. يبقى إضافتها لمعرفة السطح بأكمله: 5217.47≈5217 سم 2.

إجابة.مساحة القاعدة 726√3 سم2، والسطح الجانبي 3960 سم2، والمساحة الكاملة 5217 سم2.

الأسطوانة عبارة عن شكل يتكون من سطح أسطواني ودائرتين متوازيتين. يعد حساب مساحة الأسطوانة مشكلة في الفرع الهندسي للرياضيات، ويمكن حلها بكل بساطة. هناك عدة طرق لحلها، والتي تنتهي دائمًا في النهاية بصيغة واحدة.

كيفية العثور على مساحة الاسطوانة - قواعد الحساب

• لمعرفة مساحة الأسطوانة عليك إضافة مساحتي القاعدة مع مساحة السطح الجانبي: S = Sside + 2Sbase. في نسخة أكثر تفصيلاً، تبدو هذه الصيغة كما يلي: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
• يمكن حساب مساحة السطح الجانبية لجسم هندسي معين إذا كان ارتفاعه ونصف قطر الدائرة الواقعة عند قاعدته معلومين. في هذه الحالة، يمكنك التعبير عن نصف القطر من المحيط، إذا كان معطى. يمكن معرفة الارتفاع إذا تم تحديد قيمة المولد في الشرط. في هذه الحالة، فإن المولد سيكون مساوياً للارتفاع. تبدو صيغة السطح الجانبي لهذا الجسم كما يلي: S= 2 π rh.
• يتم حساب مساحة القاعدة باستخدام صيغة إيجاد مساحة الدائرة: S osn= π r 2 . في بعض المسائل، قد لا يتم تحديد نصف القطر، ولكن قد يتم تحديد المحيط. باستخدام هذه الصيغة، يتم التعبير عن نصف القطر بسهولة تامة. С=2π ص، ص= С/2π. يجب أن تتذكر أيضًا أن نصف القطر هو نصف القطر.
• عند إجراء كل هذه الحسابات، عادة لا يتم ترجمة الرقم π إلى 3.14159... يحتاج فقط إلى إضافته بجوار القيمة العددية التي تم الحصول عليها نتيجة للحسابات.
• بعد ذلك، تحتاج فقط إلى ضرب المساحة الموجودة للقاعدة في 2 وإضافة المساحة المحسوبة للسطح الجانبي للشكل إلى الرقم الناتج.
• إذا كانت المشكلة تشير إلى أن الأسطوانة بها مقطع محوري وأنها مستطيلة، فسيكون الحل مختلفًا قليلاً. في هذه الحالة، سيكون عرض المستطيل هو قطر الدائرة الواقعة عند قاعدة الجسم. سيكون طول الشكل مساويا للمولد أو ارتفاع الاسطوانة. من الضروري حساب القيم المطلوبة واستبدالها بالصيغة المعروفة بالفعل. وفي هذه الحالة يجب قسمة عرض المستطيل على اثنين لإيجاد مساحة القاعدة. للعثور على السطح الجانبي، يتم ضرب الطول في نصفي قطرين والرقم π.
• يمكنك حساب مساحة جسم هندسي معين من خلال حجمه. للقيام بذلك، تحتاج إلى استخلاص القيمة المفقودة من الصيغة V=π r 2 h.
• لا يوجد شيء معقد في حساب مساحة الاسطوانة. كل ما تحتاجه هو معرفة الصيغ والقدرة على استخلاص الكميات اللازمة منها لإجراء العمليات الحسابية.

متوازي السطوح هو منشور رباعي الزوايا مع متوازي أضلاع في قاعدته. هناك صيغ جاهزة لحساب المساحة السطحية الجانبية والإجمالية لأي شكل، والتي تتطلب فقط أطوال ثلاثة أبعاد متوازية.

كيفية العثور على مساحة السطح الجانبية لمتوازي مستطيل

من الضروري التمييز بين المستطيل والمتوازي المستقيم. يمكن أن تكون قاعدة الشكل المستقيم أي متوازي أضلاع. يجب حساب مساحة هذا الشكل باستخدام صيغ أخرى.

يتم حساب مجموع S للأوجه الجانبية لمتوازي مستطيل باستخدام الصيغة البسيطة P*h، حيث P هو المحيط وh هو الارتفاع. يوضح الشكل أن الأوجه المتقابلة لمتوازي السطوح المستطيل متساوية، وأن الارتفاع h يتزامن مع طول الحواف المتعامدة مع القاعدة.

مساحة سطح مكعبة

المساحة الكلية للشكل تتكون من الضلع ومساحة القاعدتين. كيفية العثور على مساحة متوازي المستطيلات:

حيث a وb وc هي أبعاد الجسم الهندسي.
الصيغ الموصوفة سهلة الفهم ومفيدة في حل العديد من المسائل الهندسية. يظهر مثال لمهمة نموذجية في الصورة التالية.

عند حل مشاكل من هذا النوع، يجب أن نتذكر أن قاعدة المنشور الرباعي يتم اختيارها بشكل تعسفي. إذا أخذنا الوجه ذو الأبعاد x و 3 كقاعدة فإن قيم Sside ستكون مختلفة، وسيبقى Stotal 94 سم2.

مساحة سطح المكعب

المكعب هو متوازي مستطيلات تكون جميع أبعاده الثلاثة متساوية. وفي هذا الصدد، تختلف صيغ المساحة الكلية والجانبية للمكعب عن الصيغ القياسية.

محيط المكعب هو 4a، وبالتالي فإن الجانب S = 4*a*a = 4*a2. هذه التعبيرات ليست مطلوبة للحفظ، ولكنها تسرع بشكل كبير في حل المهام.

قبل دراسة الأسئلة المتعلقة بهذا الشكل الهندسي وخصائصه، عليك أن تفهم بعض المصطلحات. عندما يسمع الإنسان عن الهرم يتخيل مباني ضخمة في مصر. هذا ما تبدو عليه أبسط الأشياء. ولكنها تأتي في أنواع وأشكال مختلفة، مما يعني أن الصيغة الحسابية للأشكال الهندسية ستكون مختلفة.

الهرم - الشكل الهندسي، يدل ويمثل عدة وجوه. في جوهرها، هذا هو نفس متعدد السطوح، الذي يوجد في قاعدته مضلع، وعلى الجانبين توجد مثلثات متصلة عند نقطة واحدة - قمة الرأس. يأتي الشكل في نوعين رئيسيين:

• صحيح؛
• مبتورة.

في الحالة الأولى، تكون القاعدة مضلعًا منتظمًا. هنا جميع الأسطح الجانبية متساويةبينهم وبين الشكل نفسه سوف يرضي عين الكمال.

في الحالة الثانية، هناك قاعدتان - كبيرة في الأسفل وصغيرة بين الأعلى، تكرر شكل القاعدة الرئيسية. وبعبارة أخرى، الهرم المقطوع هو متعدد السطوح مع مقطع عرضي يتكون بالتوازي مع القاعدة.

المصطلحات والرموز

الشروط الاساسية:

• مثلث منتظم (متساوي الأضلاع).- شكل ذو ثلاث زوايا متساوية وأضلاع متساوية. في هذه الحالة، جميع الزوايا قياسها 60 درجة. هذا الشكل هو أبسط متعددات الوجوه العادية. إذا كان هذا الرقم يكمن في القاعدة، فسيتم استدعاء مثل هذا متعدد السطوح الثلاثي العادي. إذا كانت القاعدة مربعة، فسيسمى الهرم هرمًا رباعي الزوايا منتظمًا.
• قمة الرأس- أعلى نقطة تلتقي فيها الحواف. يتكون ارتفاع القمة من خط مستقيم يمتد من القمة إلى قاعدة الهرم.
• حافة- إحدى طائرات المضلع. ويمكن أن يكون على شكل مثلث في حالة الهرم الثلاثي، أو على شكل شبه منحرف في حالة الهرم المقطوع.
• قسم- شكل مسطح يتكون نتيجة التشريح. لا ينبغي الخلط بينه وبين القسم، حيث أن القسم يظهر أيضًا ما هو خلف القسم.
• أبوثيم- القطعة الممتدة من أعلى الهرم إلى قاعدته. وهو أيضًا ارتفاع الوجه حيث تقع نقطة الارتفاع الثانية. هذا التعريف صالح فقط فيما يتعلق بمتعدد السطوح المنتظم. على سبيل المثال، إذا لم يكن هذا هرمًا مقطوعًا، فسيكون الوجه مثلثًا. في هذه الحالة، سوف يصبح ارتفاع هذا المثلث هو القياس.

صيغ المنطقة

أوجد مساحة السطح الجانبية للهرميمكن عمل أي نوع بعدة طرق. إذا كان الشكل غير متماثل وهو مضلع ذو جوانب مختلفة، فمن الأسهل في هذه الحالة حساب إجمالي مساحة السطح من خلال إجمالي جميع الأسطح. بمعنى آخر، تحتاج إلى حساب مساحة كل وجه وجمعها معًا.

اعتمادًا على المعلمات المعروفة، قد تكون هناك حاجة إلى صيغ لحساب مربع أو شبه منحرف أو رباعي تعسفي، وما إلى ذلك. الصيغ نفسها في حالات مختلفةسيكون لها أيضا اختلافات.

في حالة الشكل المنتظم، يكون العثور على المنطقة أسهل كثيرًا. يكفي معرفة بعض المعلمات الأساسية فقط. في معظم الحالات، تكون الحسابات مطلوبة خصيصًا لهذه الأرقام. ولذلك، سيتم إعطاء الصيغ المقابلة أدناه. وإلا فسيتعين عليك كتابة كل شيء على عدة صفحات، الأمر الذي لن يؤدي إلا إلى إرباكك وإرباكك.

الصيغة الأساسية للحسابمساحة السطح الجانبية للهرم العادي سيكون لها الشكل التالي:

S=½ Pa (P هو محيط القاعدة، وهو الارتفاع)

دعونا ننظر إلى مثال واحد. يحتوي متعدد السطوح على قاعدة ذات قطاعات A1، A2، A3، A4، A5، وكلها تساوي 10 سم. بما أن جميع الوجوه الخمسة للقاعدة متماثلة، يمكنك إيجادها على النحو التالي: P = 5 * 10 = 50 سم. بعد ذلك، نطبق الصيغة الأساسية: S = ½ * 50 * 5 = 125 سم مربع.

مساحة السطح الجانبية للهرم الثلاثي المنتظمأسهل لحساب. تبدو الصيغة كما يلي:

S =½* ab *3، حيث a هو القياس، b هو وجه القاعدة. والعامل ثلاثة هنا يعني عدد أوجه القاعدة، والجزء الأول هو مساحة السطح الجانبي. لنلقي نظرة على مثال. إذا أخذنا شكلًا يبلغ قطره 5 سم وقاعدته 8 سم، فإننا نحسب: S = 1/2*5*8*3=60 سم مربع.

مساحة السطح الجانبية للهرم المقطوعإنه أصعب قليلاً في الحساب. تبدو الصيغة كما يلي: S =1/2*(p_01+ p_02)*a، حيث p_01 وp_02 هما محيطا القواعد، وهو الارتفاع. لنلقي نظرة على مثال. لنفترض أنه بالنسبة إلى شكل رباعي الزوايا فإن أبعاد قاعدتيه هي 3 و6 سم، والقياس هو 4 سم.

هنا، عليك أولاً إيجاد محيط القواعد: Р_01 =3*4=12 cm; Р_02=6*4=24 سم يبقى استبدال القيم في الصيغة الرئيسية ونحصل على: S =1/2*(12+24)*4=0.5*36*4=72 سم مربع.

وبالتالي، يمكنك العثور على مساحة السطح الجانبية للهرم العادي بأي تعقيد. يجب عليك توخي الحذر وعدم الخلطهذه الحسابات مع المساحة الإجمالية للمتعدد السطوح بأكمله. وإذا كنت لا تزال بحاجة إلى القيام بذلك، فما عليك سوى حساب مساحة أكبر قاعدة لمتعدد السطوح وإضافتها إلى مساحة السطح الجانبي لمتعدد السطوح.

فيديو

سيساعدك هذا الفيديو على دمج المعلومات حول كيفية العثور على مساحة السطح الجانبية للأهرامات المختلفة.

لم تحصل على إجابة لسؤالك؟ اقتراح موضوع للمؤلفين.