المتباينات غير العقلانية المعقدة وطرق حلها. عدم المساواة غير العقلانية

تي دي. ايفانوفا

طرق حل المتباينات غير المنطقية

CDO و NIT SRPTL

يو دي سي 511 (O75.3)

بنك البحرين والكويت 22.1Y72

تم تجميعها بواسطة T. D. إيفانوفا

المراجع: Baisheva M.I.– مرشح العلوم التربوية، أستاذ مشارك في القسم

التحليل الرياضي لكلية الرياضيات

معهد الرياضيات والمعلوماتية في ياكوتسك

جامعة الدولة

طرق حل عدم المساواة غير العقلانية: دليل منهجي

م 34 للطلاب في الصفوف 9-11 / شركات. إيفانوفا تي.دي. من سونتار سونتارسكي أولوس

RS (Y): CDO NIT SRPTL، 2007، - 56 ص.

الدليل موجه إلى طلاب المدارس الثانوية، وكذلك إلى أولئك الذين يدخلون الجامعات كدليل منهجي لحل حالات عدم المساواة غير العقلانية. يدرس الدليل بالتفصيل الطرق الرئيسية لحل عدم المساواة غير العقلانية، ويقدم أمثلة على حل عدم المساواة غير العقلانية مع المعلمات، ويقدم أيضًا أمثلة لحلها بنفسك. يمكن للمعلمين استخدام الدليل كمواد تعليمية للعمل المستقل أثناء مراجعة موضوع "عدم المساواة غير العقلانية".

يعكس الدليل تجربة المعلم في دراسة موضوع "عدم المساواة غير العقلانية" مع الطلاب.

المهام مأخوذة من مواد امتحانات القبول والصحف والمجلات المنهجية والكتب المدرسية، وترد قائمة بها في نهاية الدليل

يو دي سي 511 (O75.3)

بنك البحرين والكويت 22.1Y72

 تي دي إيفانوفا، شركات، 2006.

 CDO NIT SRPTL، 2007.

المقدمة 5

مقدمة 6

القسم الأول. أمثلة على حل أبسط المتباينات غير المنطقية 7

القسم الثاني. عدم المساواة في النموذج
>ز(س)، ز (خ)، ز(خ) 9

القسم الثالث. عدم المساواة في النموذج
;
;

;
13

القسم الرابع. المتباينات التي تحتوي على عدة جذور زوجية من الدرجة 16

القسم الخامس: طريقة الاستبدال (إدخال متغير جديد) 20

القسم السادس. متباينات الصيغة f(x)
0; و(س)0;

القسم السابع. عدم المساواة في النموذج
25

القسم الثامن. استخدام تحويلات التعبير الجذري

في عدم المساواة غير العقلانية 26

القسم التاسع. الحل الرسومي للمتباينات غير العقلانية 27

القسم العاشر. عدم المساواة من النوع المختلط 31

القسم الحادي عشر. استخدام خاصية الرتابة للدالة 41

القسم الثاني عشر. طريقة استبدال الوظيفة 43

القسم الثالث عشر. أمثلة على حل عدم المساواة مباشرة

طريقة الفاصل 45

القسم الرابع عشر. أمثلة على حل عدم المساواة غير العقلانية مع المعلمات 46

الأدب 56

مراجعة

هذه الأداة التعليمية مخصصة للطلاب في الصفوف 10-11. كما تظهر الممارسة، يواجه طلاب المدارس والمتقدمون صعوبات خاصة في حل عدم المساواة غير العقلانية. ويرجع ذلك إلى حقيقة أنه في الرياضيات المدرسية لا يتم النظر في هذا القسم بشكل كاف؛ ولا يتم النظر في الطرق المختلفة لحل هذه التفاوتات بمزيد من التفصيل. كما يشعر معلمو المدارس بنقص الأدبيات المنهجية، والذي يتجلى في كمية محدودة من المواد المشكلة التي تشير إلى الأساليب المختلفة وطرق الحل.

يناقش الدليل طرق حل عدم المساواة غير العقلانية. إيفانوفا تي.دي. في بداية كل قسم، يعرّف الطلاب بالفكرة الرئيسية للطريقة، ثم يعرض أمثلة مع التوضيحات، ويقدم أيضًا مشاكل لحلها بشكل مستقل.

يستخدم المترجم الأساليب الأكثر "فعالية" لحل عدم المساواة غير العقلانية التي تتم مواجهتها عند الالتحاق بمؤسسات التعليم العالي مع زيادة متطلبات معرفة الطلاب.

يمكن للطلاب، بعد قراءة هذا الدليل، اكتساب خبرة ومهارة لا تقدر بثمن في حل المتباينات غير العقلانية المعقدة. أعتقد أن هذا الدليل سيكون مفيدًا أيضًا لمعلمي الرياضيات العاملين في الفصول المتخصصة، وكذلك لمطوري المقررات الاختيارية.

مرشح العلوم التربوية، أستاذ مشارك في قسم التحليل الرياضي، كلية الرياضيات، معهد الرياضيات والمعلوماتية، جامعة ولاية ياقوت

بايشيفا إم.

مقدمة

الدليل موجه إلى طلاب المدارس الثانوية، وكذلك إلى أولئك الذين يدخلون الجامعات كدليل منهجي لحل حالات عدم المساواة غير العقلانية. يتناول الدليل بالتفصيل الطرق الرئيسية لحل عدم المساواة غير العقلانية، ويقدم أمثلة تقريبية لكيفية حل عدم المساواة غير العقلانية، ويقدم أمثلة على حل عدم المساواة غير العقلانية مع المعلمات، ويقدم أيضًا أمثلة لحلها بنفسك لبعضها، وإجابات وتعليمات قصيرة أعطي.

عند تحليل الأمثلة وحل المتباينات بشكل مستقل، من المفترض أن يعرف الطالب كيفية حل المتباينات الخطية والتربيعية وغيرها، ويعرف طرقًا مختلفة لحل المتباينات، ولا سيما طريقة الفواصل الزمنية. يقترح حل عدم المساواة بعدة طرق.

يمكن للمعلمين استخدام الدليل كمواد تعليمية للعمل المستقل أثناء مراجعة موضوع "عدم المساواة غير العقلانية".

يعكس الدليل تجربة المعلم في دراسة موضوع "عدم المساواة غير العقلانية" مع الطلاب.

تم اختيار المشكلات من مواد امتحانات القبول لمؤسسات التعليم العالي والصحف والمجلات المنهجية الخاصة بالرياضيات "الأول من سبتمبر" و "الرياضيات في المدرسة" و "الكم" والكتب المدرسية والتي ترد قائمة بها في نهاية الدليل .

مقدمة

المتباينات غير العقلانية هي تلك التي تدخل فيها المتغيرات أو دالة المتغير تحت علامة الجذر.

الطريقة القياسية الرئيسية لحل المتباينات غير المنطقية هي رفع طرفي المتراجحة إلى قوة متتالية للتخلص من الجذر. لكن هذه العملية غالبا ما تؤدي إلى ظهور جذور دخيلة أو حتى فقدان الجذور، أي. ويؤدي إلى عدم المساواة التي لا تساوي الأصل. لذلك، يجب علينا أن نراقب بعناية شديدة تكافؤ التحولات ونأخذ في الاعتبار فقط قيم المتغير التي يكون فيها عدم المساواة منطقيًا:

إذا كان الجذر درجة زوجية، فيجب أن يكون التعبير الجذري غير سالب ويجب أن تكون قيمة الجذر أيضًا عددًا غير سالب.

إذا كان جذر الدرجة عددًا فرديًا، فيمكن أن يأخذ التعبير الجذري أي عدد حقيقي وتتوافق إشارة الجذر مع إشارة التعبير الجذري.

من الممكن رفع طرفي المتراجحة إلى قوة زوجية فقط بعد التأكد أولاً من أنهما غير سالبين؛

إن رفع طرفي المتباينة إلى نفس القوة الفردية هو دائمًا تحويل متكافئ.

الفصلأنا. أمثلة على حل المتباينات غير المنطقية البسيطة

أمثلة 1- 6:

حل:

1. أ)
.

ب)
.

2. أ)

ب)

3. أ)
.

ب)
.

4 ا)

ب)

5. أ)
.

ب)

6. أ)
.

ب)
.

7.

8. أ)
.

ب)

9. أ)
.

ب)

11.

12. أوجد أصغر قيمة عددية موجبة لـ x تحقق المتراجحة

13. أ) أوجد نقطة المنتصف للفاصل الزمني لحل المتراجحة

ب) أوجد الوسط الحسابي لجميع القيم الصحيحة لـ x التي يكون للمتباينة حل لها 4

14. أوجد أصغر حل سلبي للمتباينة

15. أ)
;

ب)

القسم الثاني. المتباينات بالشكل >g(x), g(x),ز (خ)

بنفس الطريقة كما هو الحال عند حل الأمثلة من 1 إلى 4، فإننا نفكر عند حل المتباينات من النوع المشار إليه.

مثال 7 : حل عدم المساواة
> X + 1

حل: عدم المساواة DZ: X-3. بالنسبة للجانب الأيمن هناك حالتان محتملتان:

أ) X+ 10 (الجانب الأيمن غير سلبي) أو ب) X + 1

النظر في أ) إذا X+10، أي X- 1، فإن طرفي المتراجحة غير سالبين. نقوم بتربيع الطرفين: X + 3 >X+ 2X+ 1. نحصل على المتباينة التربيعية X+ X – 2 سس - 1، نحصل على -1

النظر ب) إذا X+1 × × -3

الجمع بين الحلول للحالة أ) -1 و ب) X-3، لنكتب الإجابة: X
.

من الملائم كتابة جميع الوسيطات عند حل المثال 7 على النحو التالي:

المتباينة الأصلية تعادل مجموعة من أنظمة المتباينات
.

X

إجابة: .

التفكير في حل عدم المساواة في النموذج

1.> ز(س); 2. ز(س); 3. ز(س); 4. ز(س) يمكن كتابتها بإيجاز في شكل المخططات التالية:

أنا. > ز(س)

2. ز(س)

3. ز(س)

4. ز(س)
.

مثال 8 :
X.

حل: عدم المساواة الأصلية يعادل النظام

س>0

إجابة: X
.

مهام الحل المستقل:

ب)

ب)
.

ب)

ب)

20. أ)
س

ب)

21. أ)

في هذا الدرس سوف نتناول حل المتباينات غير النسبية ونعطي أمثلة مختلفة.

الموضوع: المعادلات والمتباينات. أنظمة المعادلات والمتباينات

درس:عدم المساواة غير العقلانية

عند حل المتباينات غير العقلانية، غالبًا ما يكون من الضروري رفع طرفي عدم المساواة إلى حد ما؛ وهذه عملية مسؤولة إلى حد ما؛ دعونا نتذكر الميزات.

يمكن تربيع طرفي المتباينة إذا كان كلاهما غير سالب، وعندها فقط يمكننا الحصول على متباينة حقيقية من المتباينة الحقيقية.

يمكن تكعيب طرفي المتباينة على أي حال؛ إذا كانت المتباينة الأصلية صحيحة، فعند التكعيب نحصل على المتباينة الصحيحة.

النظر في عدم المساواة في النموذج:

يجب أن يكون التعبير الجذري غير سلبي. يمكن أن تأخذ الدالة أي قيم، ويجب أخذ حالتين في الاعتبار.

في الحالة الأولى، كلا طرفي المتباينة غير سالب، ويحق لنا تربيعه. وفي الحالة الثانية، يكون الطرف الأيمن سالبًا، ولا يحق لنا تربيعه. وفي هذه الحالة لا بد من النظر إلى معنى المتباينة: هنا يكون التعبير الإيجابي (الجذر التربيعي) أكبر من التعبير السلبي، مما يعني أن المتباينة تكون محققة دائما.

إذن لدينا مخطط الحل التالي:

في النظام الأول، لا نحمي التعبير الجذري بشكل منفصل، لأنه عندما يتم استيفاء المتباينة الثانية للنظام، يجب أن يكون التعبير الجذري موجبًا تلقائيًا.

مثال 1 - حل عدم المساواة:

وفقًا للرسم البياني، ننتقل إلى مجموعة مكافئة من نظامين من عدم المساواة:

دعونا نوضح:

أرز. 1 - توضيح الحل للمثال 1

كما نرى، عندما نتخلص من اللاعقلانية، على سبيل المثال، عند التربيع، نحصل على مجموعة من الأنظمة. في بعض الأحيان يمكن تبسيط هذا التصميم المعقد. في المجموعة الناتجة لنا الحق في تبسيط النظام الأول والحصول على مجموعة مكافئة:

كتمرين مستقل، من الضروري إثبات تكافؤ هذه المجموعات.

النظر في عدم المساواة في النموذج:

وكما هو الحال مع المتباينة السابقة، فإننا نتناول حالتين:

في الحالة الأولى، كلا طرفي المتباينة غير سالب، ويحق لنا تربيعه. وفي الحالة الثانية، يكون الطرف الأيمن سالبًا، ولا يحق لنا تربيعه. وفي هذه الحالة لا بد من النظر إلى معنى المتباينة: فهنا يكون التعبير الموجب (الجذر التربيعي) أقل من التعبير السالب، مما يعني أن المتباينة متناقضة. ليست هناك حاجة للنظر في النظام الثاني.

لدينا نظام مماثل:

في بعض الأحيان يمكن حل المتباينات غير العقلانية بيانياً. تنطبق هذه الطريقة عندما يكون من السهل إنشاء الرسوم البيانية المقابلة ويمكن العثور على نقاط تقاطعها.

مثال 2 - حل المتباينات بيانيا:

أ)

ب)

لقد حللنا بالفعل المتباينة الأولى ونعرف الإجابة.

لحل المتباينات بيانيا، تحتاج إلى إنشاء رسم بياني للدالة على الجانب الأيسر ورسم بياني للدالة على الجانب الأيمن.

أرز. 2. الرسوم البيانية للوظائف و

لرسم رسم بياني لدالة، من الضروري تحويل القطع المكافئ إلى قطع مكافئ (عكسه بالنسبة إلى المحور الصادي)، وتحويل المنحنى الناتج بمقدار 7 وحدات إلى اليمين. يؤكد الرسم البياني أن هذه الوظيفة تتناقص بشكل رتيب في مجال تعريفها.

الرسم البياني للدالة هو خط مستقيم وسهل البناء. نقطة التقاطع مع المحور y هي (0;-1).

الوظيفة الأولى تتناقص رتابة، والثانية تزيد رتابة. إذا كان للمعادلة جذر، فهو الوحيد، ومن السهل تخمينه من الرسم البياني: .

عندما تكون قيمة الوسيطة أقل من الجذر، يكون القطع المكافئ أعلى الخط المستقيم. عندما تكون قيمة الوسيطة بين ثلاثة وسبعة، يمر الخط المستقيم فوق القطع المكافئ.

لدينا الجواب:

الطريقة الفعالة لحل المتباينات غير المنطقية هي الطريقة الفاصلة.

مثال 3 - حل المتباينات باستخدام طريقة الفاصل:

أ)

ب)

وفقا لطريقة الفاصل الزمني، من الضروري الابتعاد مؤقتا عن عدم المساواة. للقيام بذلك، انقل كل شيء في المتباينة المعطاة إلى الجانب الأيسر (احصل على صفر على اليمين) وأدخل دالة مساوية للجانب الأيسر:

الآن نحن بحاجة لدراسة الوظيفة الناتجة.

أودز:

لقد قمنا بالفعل بحل هذه المعادلة بيانيًا، لذلك لن نركز على تحديد الجذر.

من الضروري الآن تحديد فترات ذات إشارة ثابتة وتحديد إشارة الدالة في كل فترة:

أرز. 3. فترات ثبات الإشارة على سبيل المثال 3

دعونا نتذكر أنه لتحديد الإشارات على فترة ما، من الضروري أخذ نقطة تجريبية واستبدالها في الدالة، وستحتفظ الدالة بالعلامة الناتجة طوال الفترة بأكملها؛

دعونا نتحقق من القيمة عند نقطة الحدود:

الجواب واضح:

خذ بعين الاعتبار النوع التالي من عدم المساواة:

أولاً، دعونا نكتب ODZ:

الجذور موجودة، وهي غير سالبة، ويمكننا تربيع الطرفين. نحن نحصل:

حصلنا على نظام مماثل:

يمكن تبسيط النظام الناتج. عندما تتحقق المتباينتان الثانية والثالثة، تصبح المتباينة الأولى صحيحة تلقائيًا. لدينا::

مثال 4 - حل المتراجحة:

نحن نتصرف وفقًا للمخطط - نحصل على نظام مكافئ.

وفقط في حالة حدوث ذلك، نذكرك أنه يمكنك ذلك على موقعنا. الآن ... فجأة لا تعرف.

ملاحظة مهمة!إذا رأيت gobbledygook بدلاً من الصيغ، فامسح ذاكرة التخزين المؤقت. للقيام بذلك، اضغط على CTRL+F5 (في نظام التشغيل Windows) أوكمد + R (في ماك).

ODZ

هل تتذكر ما هو ODZ؟

على سبيل المثال، تحتوي المعادلة على جذر تربيعي. والجذر التربيعي ليس له معنى إذا كان التعبير الجذري سالبًا. وهذا يعني، في هذه الحالة، أن DL هي حلول لعدم المساواة.

ليست هناك حاجة للبحث عن ODZ في كل مشكلة تحتوي على جذر.

خذ على سبيل المثال هذه المهمة:

عند التربيع، نحصل على أن التعبير الجذري يصبح تلقائيًا غير سالب! فلماذا الكتابة الإضافية؟

ولكن في بعض الحالات يمكن أن يكون مفيدًا جدًا. علاوة على ذلك، في بعض الأحيان يمكنك حل أحد الأمثلة ببساطة عن طريق إيجاد ODZ. على سبيل المثال:

لكننا نتذكر أن الجذر التربيعي يكون دائمًا غير سالب. ولهذا السبب سيكون دائمًا أكبر. هذا يعني أن حل المشكلة سيكون ODZ:

عدم المساواة في النموذج.

وبطبيعة الحال، قد لا تكون علامة عدم المساواة صارمة.

كيفية حل هذا عدم المساواة؟

في البداية، دعونا نتذكر أن الدالة رتيبة، أي أنه كلما زاد التعبير الجذري، زاد حجم الجذر نفسه. ولذلك، بالنسبة للجذرين، يكون الجذر الذي له التعبير الجذري الأكبر أكبر.

لكن ليس من قبيل الصدفة أن نتذكر مؤخرًا ODZ. فهل هناك أي حدود لهذا التفاوت؟

في الواقع، لكي يكون عدم المساواة منطقيًا، من الضروري أن يكون كلا التعبيرين الجذريين غير سلبيين:

ولكن بما أن التعبير الأول أكبر من الثاني، فيكفي اشتراط أن يكون الثاني فقط غير منفي:

كيف ستبدو هذه القاعدة إذا لم تكن المتباينة صارمة؟ مثله:

فكر بنفسك لماذا يحدث هذا.

الآن كلا طرفي المتراجحة غير سالبين، مما يعني أنه يمكننا تربيعهما:

الآن نحل باستخدام القالب:

الآن أنت بحاجة لمقارنة الأرقام، و. ولنتذكر الموضوع:

فيتحول النظام بعد ذلك إلى:

عدم المساواة في النموذج.

هنا كل شيء أبسط قليلاً: بما أن الجذر غير سالب، فإن الجانب الأيمن من هذه المتباينة يجب أن يكون غير سالب:

جذور الدرجة أكبر

إذا لم يكن جذر المتراجحة مربعًا، فإن تعادل درجته يكون مهمًا.

I. الجذور ذات الدرجة الزوجية.

الجذور، الخ. الدرجات متشابهة جدًا مع بعضها البعض، ومبدأ حل المعادلات معهم هو نفسه تمامًا. الحقيقة هي أنه يمكن دائمًا اختزال الجذر الزوجي إلى جذر تربيعي (تذكر الموضوع!):

على سبيل المثال:

ثانيا. جذور من الدرجة الفردية.

مع القوى الفردية (،...) كل شيء أبسط من ذلك بكثير!

الحقيقة هي أنه يمكن أخذ جذر فردي من أي رقم! (مرة أخرى، إذا كنت لا تعرف هذا، فتذكر الموضوع!)

ماذا يعني ذلك؟

الآن لا توجد شروط إضافية ولا قيود - نحن فقط نرفع كل شيء إلى الدرجة المطلوبة ونقرر:

التفاوتات غير العقلانية. باختصار عن الأشياء الرئيسية

عدم المساواة غير العقلانيةهي متباينة تحتوي على متغير في الجذر

1. عدم المساواة في النموذج.

2. عدم المساواة في النموذج أو.

3. عدم المساواة في النموذج.

4. عدم المساواة في النموذج.

5. عدم المساواة في النموذج.

6. الجذور ذات الدرجة الزوجية.

على سبيل المثال:

7. الجذور ذات الدرجة الفردية.

يمكن أخذ الجذر الفردي من أي رقم!

حسنا، انتهى الموضوع. إذا كنت تقرأ هذه السطور، فهذا يعني أنك رائع جداً.

لأن 5% فقط من الناس قادرون على إتقان شيء ما بأنفسهم. وإذا قرأت حتى النهاية فأنت في هذه الـ 5٪!

الآن الشيء الأكثر أهمية.

لقد فهمت النظرية حول هذا الموضوع. وأكرر، هذا... هذا رائع! أنت بالفعل أفضل من الغالبية العظمى من زملائك.

المشكلة هي أن هذا قد لا يكون كافيا..

لماذا؟

لاجتياز امتحان الدولة الموحدة بنجاح، والالتحاق بالجامعة بميزانية محدودة، والأهم من ذلك، مدى الحياة.

لن أقنعك بشيء، سأقول شيئًا واحدًا فقط..

الأشخاص الذين تلقوا تعليمًا جيدًا يكسبون أكثر بكثير من أولئك الذين لم يتلقوه. هذه إحصائيات.

لكن هذا ليس الشيء الرئيسي.

الشيء الرئيسي هو أنهم أكثر سعادة (هناك مثل هذه الدراسات). ربما لأن العديد من الفرص تنفتح أمامهم وتصبح الحياة أكثر إشراقًا؟ لا أعرف...

لكن فكر بنفسك..

ما الذي يتطلبه الأمر للتأكد من أنك أفضل من الآخرين في امتحان الدولة الموحدة وأن تكون في النهاية... أكثر سعادة؟

احصل على يدك من خلال حل المشكلات المتعلقة بهذا الموضوع.

لن يطلب منك نظري أثناء الامتحان.

سوف تحتاج حل المشاكل مع الزمن.

وإذا لم تقم بحلها (كثيرًا!)، فمن المؤكد أنك سترتكب خطأً غبيًا في مكان ما أو ببساطة لن يكون لديك الوقت.

يبدو الأمر كما هو الحال في الرياضة - تحتاج إلى تكرار ذلك عدة مرات حتى تفوز بالتأكيد.

ابحث عن المجموعة أينما تريد، بالضرورة مع الحلول والتحليل التفصيليوتقرر، تقرر، تقرر!

يمكنك استخدام مهامنا (اختياري) ونحن بالطبع نوصي بها.

لكي تتحسن في استخدام مهامنا، تحتاج إلى المساعدة في إطالة عمر كتاب YouClever المدرسي الذي تقرأه حاليًا.

كيف؟ هناك خياران:

1. فتح جميع المهام المخفية في هذه المقالة - 299 فرك.
2. فتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في جميع مقالات الكتاب المدرسي البالغ عددها 99 مقالة - 999 فرك.

نعم، لدينا 99 مقالة من هذا القبيل في كتابنا المدرسي ويمكن فتح الوصول إلى جميع المهام وجميع النصوص المخفية فيها على الفور.

في الحالة الثانية سنقدم لكممحاكي “6000 مسألة مع الحلول والأجوبة، لكل موضوع، بجميع مستويات التعقيد”. سيكون بالتأكيد كافيًا لوضع يديك على حل المشكلات المتعلقة بأي موضوع.

في الواقع، هذا أكثر بكثير من مجرد محاكاة - برنامج تدريبي كامل. إذا لزم الأمر، يمكنك أيضًا استخدامه مجانًا.

يتم توفير الوصول إلى جميع النصوص والبرامج طوال فترة وجود الموقع.

ختاماً...

إذا لم تعجبك مهامنا، ابحث عن مهام أخرى. فقط لا تتوقف عند النظرية.

إن "الفهم" و"أستطيع الحل" هما مهارتان مختلفتان تمامًا. أنت بحاجة إلى كليهما.

البحث عن المشاكل وحلها!

من أجل حل مهام هذا الموضوع بشكل جيد، تحتاج إلى إتقان النظرية من بعض المواضيع السابقة بشكل مثالي، وخاصة من موضوعي “المعادلات والأنظمة غير العقلانية” و “المتباينات العقلانية”. الآن دعونا نكتب إحدى النظريات الرئيسية المستخدمة في حل المتباينات غير المنطقية (أي المتباينات ذات الجذور). لذلك إذا كانت كلتا الوظيفتين F(س) و ز(x) غير سالبة، ثم عدم المساواة:

أي ما يعادل عدم المساواة التالية:

بعبارة أخرى، إذا كانت هناك تعبيرات غير سالبة على يسار ويمين المتباينة، فيمكن رفع هذه المتباينة بأمان إلى أي قوة. حسنًا، إذا كنت تريد رفع المتباينة بأكملها إلى قوة فردية، ففي هذه الحالة ليس من الضروري حتى أن نشترط أن يكون الجانب الأيسر والأيمن من المتباينة غير سالب. هكذا، وأي تفاوت دون قيود يمكن رفعه إلى قوة غريبة. دعونا نؤكد مرة أخرى أنه لرفع المتباينة إلى قوة زوجية، من الضروري التأكد من أن طرفي هذه المتباينة ليسا سالبين.

تصبح هذه النظرية وثيقة الصلة بالتحديد في حالات عدم المساواة غير المنطقية، أي. في المتباينات ذات الجذور، حيث لحل معظم الأمثلة، من الضروري رفع المتباينات إلى قوة معينة. بالطبع، في حالات عدم المساواة غير العقلانية، يجب على المرء أن يأخذ في الاعتبار بعناية فائقة ODZ، والذي يتكون بشكل أساسي من شرطين قياسيين:

• يجب أن تحتوي الجذور ذات الدرجات الزوجية على تعبيرات غير سالبة؛
• يجب ألا تحتوي مقامات الكسور على أصفار.

ولنتذكر ذلك أيضًا قيمة الجذر الزوجي تكون دائمًا غير سالبة.

وفقًا لما سبق، إذا كانت المتباينة غير المنطقية لها أكثر من جذرين تربيعيين، فقبل تربيع المتباينة (أو قوة زوجية أخرى)، من الضروري التأكد من وجود تعبيرات غير سالبة على كل جانب من جوانب المتراجحة، أي. مجموع الجذور التربيعية. إذا كان هناك اختلاف في الجذور على أحد طرفي المتباينة، فلا يمكن معرفة أي شيء مقدمًا عن إشارة هذا الاختلاف، مما يعني أنه من المستحيل رفع المتباينة إلى قوة زوجية. في هذه الحالة تحتاج إلى نقل الجذور التي أمامها علامات الطرح إلى الأطراف المقابلة للمتراجحة (من اليسار إلى اليمين أو العكس)، فتتحول علامات الطرح التي أمام الجذور إلى موجب، وفقط سيتم الحصول على مجموع الجذور على طرفي المتراجحة. فقط بعد ذلك يمكن تربيع عدم المساواة بأكملها.

كما هو الحال في مواضيع أخرى في الرياضيات، عند حل عدم المساواة غير العقلانية، يمكنك استخدامها طريقة الاستبدال المتغير. الشيء الرئيسي هو ألا ننسى أنه بعد إدخال الاستبدال، يجب أن يصبح التعبير الجديد أبسط ولا يحتوي على المتغير القديم. بالإضافة إلى ذلك، يجب ألا تنسى إجراء الاستبدال العكسي.

دعونا نتناول عدة أنواع بسيطة نسبيًا ولكنها شائعة من عدم المساواة غير العقلانية. النوع الأول من عدم المساواة هو متى تتم مقارنة جذرين متساويين الدرجة، أي. هناك عدم مساواة في النموذج:

تحتوي هذه المتباينة على تعبيرات غير سالبة في كلا الطرفين، لذلك يمكن رفعها بأمان إلى القوة 2 نوبعد ذلك، مع الأخذ في الاعتبار ODZ، نحصل على:

يرجى ملاحظة أن ODZ مكتوب فقط للتعبير الجذري الأصغر. وسيكون التعبير الآخر تلقائيًا أكبر من الصفر، لأنه أكبر من التعبير الأول، والذي بدوره أكبر من الصفر.

في حالة عندما من المفترض أن يكون الجذر الزوجي أكبر من بعض التعبيرات العقلانية

يتم حل هذا التفاوت بالانتقال إلى مجموعة من النظامين:

وأخيرا، في حالة متى يُفترض أن جذر الدرجة الزوجية أقل من بعض التعبيرات العقلانية، أي. في حالة وجود عدم مساواة غير عقلانية في النموذج:

يتم حل هذا عدم المساواة عن طريق المرور إلى النظام:

في الحالات التي يتم فيها مقارنة جذرين من الدرجة الفردية، أو يفترض أن جذر الدرجة الفردية أكبر أو أقل من بعض التعبيرات المنطقية، يمكنك ببساطة رفع المتباينة بأكملها إلى الدرجة الفردية المرغوبة، وبالتالي التخلص من كل شيء الجذور. في هذه الحالة، لا تنشأ ODZ إضافية، حيث يمكن رفع عدم المساواة إلى قوة فردية دون قيود، وتحت جذور القوى الفردية يمكن أن يكون هناك تعبيرات عن أي علامة.

طريقة الفاصل المعمم

في حالة وجود معادلة غير منطقية معقدة لا تندرج تحت أي من الحالات الموضحة أعلاه، والتي لا يمكن حلها عن طريق رفع بعض القوة، فأنت بحاجة إلى استخدامها طريقة الفاصل المعمم، وهي كالتالي:

• تعريف DL؛
• تحويل المتباينة بحيث يكون هناك صفر على الجانب الأيمن (على الجانب الأيسر، إن أمكن، اختزل إلى قاسم مشترك، أو عامل، وما إلى ذلك)؛
• ابحث عن جميع جذور البسط والمقام ورسمها على محور الأعداد، وإذا لم تكن المتراجحة صارمة، قم بالطلاء على جذور البسط، لكن على أية حال اترك جذور المقام كما هي منقط؛
• أوجد إشارة التعبير بأكمله في كل فترة من الفترات عن طريق التعويض برقم من فترة معينة في المتراجحة المحولة. في هذه الحالة، لم يعد من الممكن تبديل الإشارات بأي شكل من الأشكال عند المرور عبر نقاط على المحور. من الضروري تحديد إشارة التعبير في كل فاصل زمني عن طريق استبدال القيمة من الفاصل الزمني في هذا التعبير، وهكذا لكل فاصل زمني. لم يعد هذا ممكنًا (وهذا هو، إلى حد كبير، الفرق بين طريقة الفاصل المعمم والطريقة المعتادة)؛
• أوجد تقاطع ODZ والفترات التي تحقق المتباينة، ولكن لا تفقد النقاط الفردية التي تلبي المتباينة (جذور البسط في المتباينات غير الصارمة)، ولا تنس أن تستبعد من الإجابة جميع جذور المتباينة القاسم في جميع عدم المساواة.

• خلف
• إلى الأمام

كيف يتم التحضير بنجاح للاختبار CT في الفيزياء والرياضيات؟

من أجل التحضير بنجاح للاختبار CT في الفيزياء والرياضيات، من بين أمور أخرى، من الضروري استيفاء ثلاثة شروط أهمها:

1. دراسة جميع المواضيع وإكمال جميع الاختبارات والواجبات الواردة في المواد التعليمية على هذا الموقع. للقيام بذلك، لا تحتاج إلى أي شيء على الإطلاق، أي: تخصيص ثلاث إلى أربع ساعات كل يوم للتحضير لـ CT في الفيزياء والرياضيات، ودراسة النظرية وحل المشكلات. الحقيقة هي أن CT هو اختبار لا يكفي فيه مجرد معرفة الفيزياء أو الرياضيات، بل تحتاج أيضًا إلى أن تكون قادرًا على حل عدد كبير من المشكلات بسرعة ودون إخفاقات حول مواضيع مختلفة ومتفاوتة التعقيد. ولا يمكن تعلم هذا الأخير إلا من خلال حل آلاف المشاكل.
2. تعلم جميع الصيغ والقوانين في الفيزياء، والصيغ والأساليب في الرياضيات. في الواقع، يعد هذا أيضًا أمرًا بسيطًا جدًا؛ حيث لا يوجد سوى حوالي 200 صيغة ضرورية في الفيزياء، وحتى أقل قليلاً في الرياضيات. يوجد في كل موضوع من هذه المواضيع حوالي اثنتي عشرة طريقة قياسية لحل المشكلات ذات المستوى الأساسي من التعقيد، والتي يمكن تعلمها أيضًا، وبالتالي، بشكل تلقائي تمامًا ودون صعوبة في حل معظم أسئلة التصوير المقطعي في الوقت المناسب. بعد ذلك، سيكون عليك فقط التفكير في أصعب المهام.
3. حضور جميع المراحل الثلاث لاختبار البروفة في الفيزياء والرياضيات. يمكن زيارة كل RT مرتين لاتخاذ قرار بشأن كلا الخيارين. مرة أخرى، في CT، بالإضافة إلى القدرة على حل المشكلات بسرعة وكفاءة ومعرفة الصيغ والأساليب، يجب أيضًا أن تكون قادرًا على تخطيط الوقت بشكل صحيح، وتوزيع القوى، والأهم من ذلك، ملء نموذج الإجابة بشكل صحيح، دون الخلط بين أرقام الإجابات والمسائل، أو اسم العائلة الخاص بك. أيضًا، أثناء RT، من المهم التعود على أسلوب طرح الأسئلة في المشكلات، والذي قد يبدو غير معتاد جدًا لشخص غير مستعد في DT.

سيسمح لك التنفيذ الناجح والدؤوب والمسؤول لهذه النقاط الثلاث بإظهار نتيجة ممتازة في التصوير المقطعي، وهو الحد الأقصى الذي يمكنك القيام به.

وجدت خطأ؟

إذا كنت تعتقد أنك وجدت خطأ في المواد التدريبية، يرجى الكتابة عنه عبر البريد الإلكتروني. يمكنك أيضًا الإبلاغ عن خطأ على الشبكة الاجتماعية (). في الرسالة، أشر إلى الموضوع (الفيزياء أو الرياضيات)، أو اسم أو رقم الموضوع أو الاختبار، أو رقم المشكلة، أو المكان في النص (الصفحة) الذي يوجد فيه خطأ في رأيك. قم أيضًا بوصف الخطأ المشتبه به. لن تمر رسالتك دون أن يلاحظها أحد، وسيتم تصحيح الخطأ، أو سيشرحون لك لماذا لا يعتبر خطأ.

في هذا الدرس سوف نتناول حل المتباينات غير النسبية ونعطي أمثلة مختلفة.

الموضوع: المعادلات والمتباينات. أنظمة المعادلات والمتباينات

درس:عدم المساواة غير العقلانية

عند حل المتباينات غير العقلانية، غالبًا ما يكون من الضروري رفع طرفي عدم المساواة إلى حد ما؛ وهذه عملية مسؤولة إلى حد ما؛ دعونا نتذكر الميزات.

يمكن تربيع طرفي المتباينة إذا كان كلاهما غير سالب، وعندها فقط يمكننا الحصول على متباينة حقيقية من المتباينة الحقيقية.

يمكن تكعيب طرفي المتباينة على أي حال؛ إذا كانت المتباينة الأصلية صحيحة، فعند التكعيب نحصل على المتباينة الصحيحة.

النظر في عدم المساواة في النموذج:

يجب أن يكون التعبير الجذري غير سلبي. يمكن أن تأخذ الدالة أي قيم، ويجب أخذ حالتين في الاعتبار.

في الحالة الأولى، كلا طرفي المتباينة غير سالب، ويحق لنا تربيعه. وفي الحالة الثانية، يكون الطرف الأيمن سالبًا، ولا يحق لنا تربيعه. وفي هذه الحالة لا بد من النظر إلى معنى المتباينة: هنا يكون التعبير الإيجابي (الجذر التربيعي) أكبر من التعبير السلبي، مما يعني أن المتباينة تكون محققة دائما.

إذن لدينا مخطط الحل التالي:

في النظام الأول، لا نحمي التعبير الجذري بشكل منفصل، لأنه عندما يتم استيفاء المتباينة الثانية للنظام، يجب أن يكون التعبير الجذري موجبًا تلقائيًا.

مثال 1 - حل عدم المساواة:

وفقًا للرسم البياني، ننتقل إلى مجموعة مكافئة من نظامين من عدم المساواة:

دعونا نوضح:

أرز. 1 - توضيح الحل للمثال 1

كما نرى، عندما نتخلص من اللاعقلانية، على سبيل المثال، عند التربيع، نحصل على مجموعة من الأنظمة. في بعض الأحيان يمكن تبسيط هذا التصميم المعقد. في المجموعة الناتجة لنا الحق في تبسيط النظام الأول والحصول على مجموعة مكافئة:

كتمرين مستقل، من الضروري إثبات تكافؤ هذه المجموعات.

النظر في عدم المساواة في النموذج:

وكما هو الحال مع المتباينة السابقة، فإننا نتناول حالتين:

في الحالة الأولى، كلا طرفي المتباينة غير سالب، ويحق لنا تربيعه. وفي الحالة الثانية، يكون الطرف الأيمن سالبًا، ولا يحق لنا تربيعه. وفي هذه الحالة لا بد من النظر إلى معنى المتباينة: فهنا يكون التعبير الموجب (الجذر التربيعي) أقل من التعبير السالب، مما يعني أن المتباينة متناقضة. ليست هناك حاجة للنظر في النظام الثاني.

لدينا نظام مماثل:

في بعض الأحيان يمكن حل المتباينات غير العقلانية بيانياً. تنطبق هذه الطريقة عندما يكون من السهل إنشاء الرسوم البيانية المقابلة ويمكن العثور على نقاط تقاطعها.

مثال 2 - حل المتباينات بيانيا:

أ)

ب)

لقد حللنا بالفعل المتباينة الأولى ونعرف الإجابة.

لحل المتباينات بيانيا، تحتاج إلى إنشاء رسم بياني للدالة على الجانب الأيسر ورسم بياني للدالة على الجانب الأيمن.

أرز. 2. الرسوم البيانية للوظائف و

لرسم رسم بياني لدالة، من الضروري تحويل القطع المكافئ إلى قطع مكافئ (عكسه بالنسبة إلى المحور الصادي)، وتحويل المنحنى الناتج بمقدار 7 وحدات إلى اليمين. يؤكد الرسم البياني أن هذه الوظيفة تتناقص بشكل رتيب في مجال تعريفها.

الرسم البياني للدالة هو خط مستقيم وسهل البناء. نقطة التقاطع مع المحور y هي (0;-1).

الوظيفة الأولى تتناقص رتابة، والثانية تزيد رتابة. إذا كان للمعادلة جذر، فهو الوحيد، ومن السهل تخمينه من الرسم البياني: .

عندما تكون قيمة الوسيطة أقل من الجذر، يكون القطع المكافئ أعلى الخط المستقيم. عندما تكون قيمة الوسيطة بين ثلاثة وسبعة، يمر الخط المستقيم فوق القطع المكافئ.

لدينا الجواب:

الطريقة الفعالة لحل المتباينات غير المنطقية هي الطريقة الفاصلة.

مثال 3 - حل المتباينات باستخدام طريقة الفاصل:

أ)

ب)

وفقا لطريقة الفاصل الزمني، من الضروري الابتعاد مؤقتا عن عدم المساواة. للقيام بذلك، انقل كل شيء في المتباينة المعطاة إلى الجانب الأيسر (احصل على صفر على اليمين) وأدخل دالة مساوية للجانب الأيسر:

الآن نحن بحاجة لدراسة الوظيفة الناتجة.

أودز:

لقد قمنا بالفعل بحل هذه المعادلة بيانيًا، لذلك لن نركز على تحديد الجذر.

من الضروري الآن تحديد فترات ذات إشارة ثابتة وتحديد إشارة الدالة في كل فترة:

أرز. 3. فترات ثبات الإشارة على سبيل المثال 3

دعونا نتذكر أنه لتحديد الإشارات على فترة ما، من الضروري أخذ نقطة تجريبية واستبدالها في الدالة، وستحتفظ الدالة بالعلامة الناتجة طوال الفترة بأكملها؛

دعونا نتحقق من القيمة عند نقطة الحدود:

الجواب واضح:

خذ بعين الاعتبار النوع التالي من عدم المساواة:

أولاً، دعونا نكتب ODZ:

الجذور موجودة، وهي غير سالبة، ويمكننا تربيع الطرفين. نحن نحصل:

حصلنا على نظام مماثل:

يمكن تبسيط النظام الناتج. عندما تتحقق المتباينتان الثانية والثالثة، تصبح المتباينة الأولى صحيحة تلقائيًا. لدينا::

مثال 4 - حل المتراجحة:

نحن نتصرف وفقًا للمخطط - نحصل على نظام مكافئ.