درس وعرض حول موضوع: "الأس ذو الأس السالب. تعريف وأمثلة على حل المسائل"

مواد إضافية
أعزائي المستخدمين، لا تنسوا ترك تعليقاتكم ومراجعاتكم ورغباتكم. تم فحص جميع المواد بواسطة برنامج مكافحة الفيروسات.

الوسائل التعليمية والمحاكيات في متجر Integral الإلكتروني للصف الثامن
دليل الكتاب المدرسي Muravin G.K. دليل الكتاب المدرسي من تأليف Alimov Sh.A.

تحديد الدرجة مع الأس السلبي

يا رفاق، نحن جيدون في رفع الأرقام إلى القوى.
على سبيل المثال: $2^4=2*2*2*2=16$  $((-3))^3=(-3)*(-3)*(-3)=27$.

نحن نعلم جيدًا أن أي عدد أس صفر يساوي واحدًا. $a^0=1$, $a≠0$.
السؤال الذي يطرح نفسه، ماذا يحدث إذا قمت برفع عدد إلى قوة سالبة؟ على سبيل المثال، ما الذي يساويه الرقم $2^(-2)$؟
قرر علماء الرياضيات الأوائل الذين طرحوا هذا السؤال أنه لا فائدة من إعادة اختراع العجلة، وكان من الجيد أن تظل جميع خصائص الدرجات كما هي. أي أنه عند ضرب القوى بنفس الأساس، فإن الأسس تضيف ما يصل.
لنفكر في هذه الحالة: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.
لقد وجدنا أن حاصل ضرب هذه الأعداد يجب أن يساوي واحدًا. يتم الحصول على الوحدة في المنتج عن طريق ضرب الأرقام المتبادلة، أي $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$.

أدى هذا المنطق إلى التعريف التالي.
تعريف. إذا كان $n$ عددًا طبيعيًا و$a≠0$، فإن المساواة تكون كالتالي: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.

الهوية المهمة التي يتم استخدامها غالبًا هي: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.
على وجه الخصوص، $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

أمثلة على الحلول

مثال 1.
احسب: $2^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$.

حل.
دعونا نفكر في كل مصطلح على حدة.
1. $2^(-3)=\frac(1)(2^3)=\frac(1)(2*2*2)=\frac(1)(8)$.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4)$.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
يبقى إجراء عمليات الجمع والطرح: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4) دولار.
الجواب: $6\frac(1)(4)$.

مثال 2.
قم بتمثيل الرقم المعطى كقوة لعدد أولي $\frac(1)(729)$.

حل.
من الواضح أن $\frac(1)(729)=729^(-1)$.
لكن 729 ليس عددًا أوليًا ينتهي بالرقم 9. ويمكن الافتراض أن هذا الرقم هو أحد أس الثلاثة. قسّم 729 على 3 باستمرار.
1) $\frac(729)(3)=243$;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$.
تم إجراء ست عمليات وهذا يعني: $729=3^6$.
لمهمتنا:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
الجواب: $3^(-6)$.

مثال 3. عبر عن التعبير بقوة: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))$.
حل. يتم تنفيذ الإجراء الأول دائمًا داخل الأقواس، ثم الضرب $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))= \frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^((-5)))= أ^ (-4-(-5))=أ^(-4+5)=أ$.
الجواب: $أ$.

مثال 4. إثبات الهوية:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2 )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y)):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1 ) +1)=\frac(x-y)(x+y)$.

حل.
على الجانب الأيسر، نفكر في كل عامل بين قوسين على حدة.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x) )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ فارك(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x)) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2 )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x) ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. دعنا ننتقل إلى الكسر الذي نقسم عليه.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( ذ(س-ص))(س(س+ص))$.
5. دعونا نقوم بعملية القسمة.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
لقد حصلنا على الهوية الصحيحة، وهو ما كنا بحاجة إلى إثباته.

في نهاية الدرس، سنكتب مرة أخرى قواعد العمل مع القوى، وهنا يكون الأس عددًا صحيحًا.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(أب)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.

مشاكل لحلها بشكل مستقل

1. احسب: $3^(-2)+(\frac(3)(4))^(-3)+9^(-1)$.
2. قم بتمثيل الرقم المعطى كقوة للرقم الأولي $\frac(1)(16384)$.
3. التعبير عن التعبير كقوة:
$\frac(b^(-8)*(b^3)^(-4))((b^2*b^(-7))^3)$.
4. إثبات الهوية:
$(\frac(b^(-m)-c^(-m))(b^(-m)+c^(-m))+\frac(b^(-m)+c^(-m) ))(c^(-m)-b^(-m)))=\frac(4)(b^m c^(-m)-b^(-m)c^m) $.

مستوى اول

الدرجة وخصائصها. الدليل الشامل (2019)

لماذا هناك حاجة إلى درجات؟ أين ستحتاجهم؟ لماذا يجب أن تأخذ الوقت الكافي لدراستها؟

لمعرفة كل شيء عن الدرجات العلمية، وما هي الحاجة إليها، وكيفية استخدام معرفتك في الحياة اليومية، اقرأ هذا المقال.

وبطبيعة الحال، فإن معرفة الدرجات العلمية ستقربك من اجتياز امتحان الدولة الموحدة أو امتحان الدولة الموحدة بنجاح ومن دخول جامعة أحلامك.

لنذهب لنذهب!)

ملاحظة مهمة! إذا رأيت gobbledygook بدلاً من الصيغ، فامسح ذاكرة التخزين المؤقت. للقيام بذلك، اضغط على CTRL+F5 (في نظام Windows) أو Cmd+R (في نظام Mac).

مستوى اول

الأس هو عملية رياضية مثل الجمع أو الطرح أو الضرب أو القسمة.

الآن سأشرح كل شيء باللغة البشرية باستخدام أمثلة بسيطة جدًا. احرص. الأمثلة أولية، ولكنها تشرح أشياء مهمة.

لنبدأ بالإضافة.

لا يوجد شيء يمكن شرحه هنا. أنت تعرف كل شيء بالفعل: نحن ثمانية. كل شخص لديه زجاجتين من الكولا. كم الكولا هناك؟ هذا صحيح - 16 زجاجة.

الآن الضرب.

يمكن كتابة نفس المثال مع الكولا بشكل مختلف: . علماء الرياضيات أناس ماكرون وكسالى. يلاحظون أولاً بعض الأنماط، ثم يكتشفون طريقة "لعدها" بشكل أسرع. وفي حالتنا، لاحظوا أن كل واحد من الأشخاص الثمانية لديه نفس العدد من زجاجات الكولا، وتوصلوا إلى تقنية تسمى الضرب. أوافق، فهو يعتبر أسهل وأسرع من.

لذلك، لحساب أسرع وأسهل وبدون أخطاء، عليك فقط أن تتذكر جدول الضرب. بالطبع، يمكنك أن تفعل كل شيء بشكل أبطأ وأكثر صعوبة ومع وجود أخطاء! لكن…

هنا جدول الضرب. يكرر.

وأخرى أجمل:

ما هي حيل العد الذكية الأخرى التي ابتكرها علماء الرياضيات الكسالى؟ يمين - رفع رقم إلى قوة.

رفع رقم إلى قوة

إذا كنت بحاجة إلى ضرب رقم في نفسه خمس مرات، يقول علماء الرياضيات أنك بحاجة إلى رفع هذا الرقم إلى القوة الخامسة. على سبيل المثال، . يتذكر علماء الرياضيات أن اثنين أس خمسة يساوي... وهم يحلون مثل هذه المشاكل في رؤوسهم - بشكل أسرع وأسهل وبدون أخطاء.

كل ما عليك فعله هو تذكر ما تم تمييزه بالألوان في جدول قوى الأرقام. صدقني، هذا سيجعل حياتك أسهل بكثير.

بالمناسبة لماذا سميت بالدرجة الثانية؟ مربعالأرقام والثالثة مكعب؟ ماذا يعني ذلك؟ سؤال جيد جدا. الآن سيكون لديك المربعات والمكعبات.

مثال واقعي رقم 1

لنبدأ بالمربع أو القوة الثانية للرقم.

تخيل حوض سباحة مربعًا بقياس متر في متر واحد. حمام السباحة في داشا الخاص بك. الجو حار وأريد حقًا السباحة. لكن...البركة ليس لها قاع! تحتاج إلى تغطية الجزء السفلي من حوض السباحة بالبلاط. كم عدد البلاط الذي تحتاجه؟ من أجل تحديد ذلك، عليك أن تعرف المنطقة السفلية للمسبح.

يمكنك ببساطة أن تحسب من خلال الإشارة بإصبعك أن قاع حوض السباحة يتكون من مكعبات متر بمتر. إذا كان لديك بلاط بطول متر في متر واحد، فستحتاج إلى قطع. إنه أمر سهل... ولكن أين رأيت مثل هذا البلاط؟ من المرجح أن يكون حجم البلاط سمًا سمًا وبعد ذلك سيتم تعذيبك عن طريق "العد بإصبعك". ثم عليك أن تتضاعف. لذلك، على جانب واحد من الجزء السفلي من حوض السباحة، سنضع البلاط (القطع) وعلى الجانب الآخر أيضًا البلاط. اضرب في وستحصل على البلاط ().

هل لاحظت أنه لتحديد مساحة قاع حوض السباحة قمنا بضرب نفس العدد في نفسه؟ ماذا يعني ذلك؟ وبما أننا نضرب نفس العدد، فيمكننا استخدام تقنية "الضرب الأسي". (بالطبع، عندما يكون لديك رقمين فقط، فلا تزال بحاجة إلى ضربهما أو رفعهما إلى قوة. ولكن إذا كان لديك الكثير منهما، فإن رفعهما إلى قوة يكون أسهل بكثير كما أن هناك أخطاء أقل في العمليات الحسابية بالنسبة لامتحان الدولة الموحدة، هذا مهم جدًا).
إذن، ثلاثين مرفوعًا للقوة الثانية سيكون (). أو يمكننا القول أن ثلاثين تربيع سيكون كذلك. بمعنى آخر، يمكن دائمًا تمثيل القوة الثانية لأي رقم على شكل مربع. والعكس صحيح، إذا رأيت مربعًا، فهو دائمًا القوة الثانية لعدد ما. المربع هو صورة للقوة الثانية للرقم.

مثال واقعي رقم 2

إليك مهمة لك: احسب عدد المربعات الموجودة على رقعة الشطرنج باستخدام مربع الرقم... على جانب واحد من الخلايا وعلى الجانب الآخر أيضًا. لحساب عددهم، عليك أن تضرب ثمانية في ثمانية أو... إذا لاحظت أن رقعة الشطرنج عبارة عن مربع ذو جانب، فيمكنك تربيع ثمانية. سوف تحصل على الخلايا. () لذا؟

مثال واقعي رقم 3

الآن المكعب أو القوة الثالثة للرقم. نفس المسبح. لكنك الآن بحاجة إلى معرفة كمية المياه التي يجب سكبها في هذا المسبح. تحتاج إلى حساب الحجم. (بالمناسبة، يتم قياس الأحجام والسوائل بالمتر المكعب. وهو أمر غير متوقع، أليس كذلك؟) ارسم بركة: حجم القاع متر وعمق متر، وحاول حساب عدد المكعبات التي يبلغ قياسها مترًا في متر. تتناسب مع حمام السباحة الخاص بك.

فقط أشر بإصبعك وعد! واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة... اثنان وعشرون، ثلاثة وعشرون... كم عدد ما حصلت عليه؟ غير ضائع؟ هل من الصعب العد بإصبعك؟ لهذا السبب! خذ مثالا من علماء الرياضيات. إنهم كسالى، لذلك لاحظوا أنه من أجل حساب حجم حمام السباحة، تحتاج إلى مضاعفة طوله وعرضه وارتفاعه ببعضها البعض. في حالتنا، سيكون حجم البركة مساويًا للمكعبات... أسهل، أليس كذلك؟

تخيل الآن مدى كسل ومكر علماء الرياضيات إذا قاموا بتبسيط هذا الأمر أيضًا. لقد خفضنا كل شيء إلى إجراء واحد. لاحظوا أن الطول والعرض والارتفاع متساوون وأن نفس العدد مضروب في نفسه... ماذا يعني هذا؟ هذا يعني أنه يمكنك الاستفادة من الدرجة. لذا، فإن ما عددته بإصبعك ذات مرة، يقومون به في إجراء واحد: ثلاثة مكعبات يساوي. ويكتب هكذا : .

كل ما تبقى هو تذكر جدول الدرجات. ما لم تكن بالطبع كسولًا وماكرًا مثل علماء الرياضيات. إذا كنت تحب العمل الجاد وارتكاب الأخطاء، فيمكنك الاستمرار في العد بإصبعك.

حسنًا، لإقناعك أخيرًا بأن الدرجات العلمية تم اختراعها من قبل المنهكين والأشخاص الماكرين لحل مشاكل حياتهم، وليس لخلق مشاكل لك، إليك بعض الأمثلة الأخرى من الحياة.

مثال واقعي رقم 4

لديك مليون روبل. في بداية كل عام، مقابل كل مليون تجنيه، تكسب مليونًا آخر. أي أن كل مليون منكم يتضاعف في بداية كل عام. كم من المال سيكون لديك في السنوات؟ إذا كنت تجلس الآن وتقوم "بالعد بإصبعك"، فأنت شخص مجتهد للغاية و... غبي. ولكن على الأرجح سوف تعطي إجابة في بضع ثوان، لأنك ذكي! إذن، في السنة الأولى - اثنان في اثنين... في السنة الثانية - ماذا حدث، في اثنين آخرين، في السنة الثالثة... توقف! لقد لاحظت أن الرقم مضروب في نفسه مرات. إذن اثنان أس خمسة يساوي مليونًا! الآن تخيل أن لديك منافسة والشخص الذي يستطيع العد بشكل أسرع سيحصل على هذه الملايين... من الجدير أن نتذكر قوى الأرقام، ألا تعتقد ذلك؟

مثال واقعي رقم 5

لديك مليون. وفي بداية كل عام، تكسب اثنين إضافيين مقابل كل مليون. عظيم أليس كذلك؟ كل مليون يتضاعف ثلاث مرات. كم من المال سيكون لديك في السنة؟ دعونا نحسب. السنة الأولى - اضرب ب، ثم النتيجة بأخرى... إنه أمر ممل بالفعل، لأنك فهمت كل شيء بالفعل: ثلاثة مضروبة في نفسها مرات. إذن، إلى القوة الرابعة يساوي مليونًا. عليك فقط أن تتذكر أن ثلاثة أس أربعة هو أو.

الآن أنت تعلم أنه من خلال رفع الرقم إلى قوة ستجعل حياتك أسهل كثيرًا. دعونا نلقي نظرة أخرى على ما يمكنك فعله بالدرجات العلمية وما تحتاج إلى معرفته عنها.

مصطلحات ومفاهيم... حتى لا نلتبس

لذلك، أولا، دعونا نحدد المفاهيم. ماذا تعتقد، ما هو الأس؟ الأمر بسيط جدًا - إنه الرقم الموجود "في أعلى" قوة الرقم. ليست علمية، ولكنها واضحة وسهلة التذكر.

حسنا، في نفس الوقت، ماذا مثل هذا الأساس درجة؟ والأبسط من ذلك هو الرقم الموجود أدناه في القاعدة.

هنا رسم لحسن التدبير.

حسنًا، بشكل عام، من أجل التعميم والتذكر بشكل أفضل... الدرجة ذات الأساس "" والأس "" تقرأ على أنها "إلى الدرجة" وتكتب على النحو التالي:

قوة الرقم مع الأس الطبيعي

ربما خمنت بالفعل: لأن الأس عدد طبيعي. نعم، ولكن ما هو عدد طبيعي؟ ابتدائي! الأعداد الطبيعية هي تلك الأعداد التي تستخدم في العد عند سرد الأشياء: واحد، اثنان، ثلاثة... عندما نعد الأشياء، لا نقول: "ناقص خمسة"، "ناقص ستة"، "ناقص سبعة". كما أننا لا نقول: «الثلث»، أو «صفر نقطة خمسة». هذه ليست أرقاما طبيعية. ما هي هذه الأرقام في نظرك؟

تشير الأرقام مثل "ناقص خمسة"، و"ناقص ستة"، و"ناقص سبعة". الأعداد الكلية.بشكل عام، تتضمن الأعداد الصحيحة جميع الأعداد الطبيعية، والأرقام المقابلة للأعداد الطبيعية (أي، المأخوذة بعلامة الطرح)، والعدد. من السهل فهم الصفر - فهو يحدث عندما لا يكون هناك شيء. ماذا تعني الأرقام السالبة ("ناقص")؟ لكن تم اختراعها في المقام الأول للإشارة إلى الديون: إذا كان لديك رصيد على هاتفك بالروبل، فهذا يعني أنك مدين للمشغل بالروبل.

جميع الكسور هي أرقام عقلانية. كيف نشأت، في رأيك؟ بسيط جدا. منذ عدة آلاف من السنين، اكتشف أسلافنا أنهم يفتقرون إلى الأرقام الطبيعية لقياس الطول والوزن والمساحة وما إلى ذلك. وقد توصلوا إلى ذلك أرقام نسبية... مثير للاهتمام، أليس كذلك؟

هناك أيضًا أرقام غير منطقية. ما هي هذه الأرقام؟ باختصار، إنه كسر عشري لا نهائي. على سبيل المثال، إذا قسمت محيط الدائرة على قطرها، فستحصل على رقم غير نسبي.

ملخص:

دعونا نحدد مفهوم الدرجة التي أسها عدد طبيعي (أي عدد صحيح وموجب).

1. أي عدد للقوة الأولى يساوي نفسه:
2. تربيع الرقم يعني ضربه في نفسه:
3. تكعيب الرقم يعني ضربه في نفسه ثلاث مرات:

تعريف.رفع العدد إلى قوة طبيعية يعني ضرب العدد في نفسه مرات:
.

خصائص الدرجات

ومن أين أتت هذه العقارات؟ سأظهر لك الآن.

دعونا نرى: ما هو و ?

أ-بريوري:

كم عدد المضاعفات الموجودة في المجموع؟

الأمر بسيط للغاية: أضفنا مضاعفات إلى العوامل، وكانت النتيجة مضاعفات.

لكن بحكم التعريف، هذه قوة عدد ذات أس، أي: وهو ما يحتاج إلى إثبات.

مثال: تبسيط التعبير.

حل:

مثال:تبسيط التعبير.

حل:ومن المهم أن نلاحظ ذلك في حكمنا بالضرورةيجب أن تكون هناك نفس الأسباب!
ولذلك نجمع بين القوى والقاعدة، لكنه يبقى عاملاً منفصلاً:

فقط لمنتج القوى!

لا يمكنك كتابة ذلك تحت أي ظرف من الظروف.

2. هذا كل شيء القوة رقم

وكما هو الحال مع الخاصية السابقة، فلننتقل إلى تعريف الدرجة:

اتضح أن التعبير مضروب في نفسه مرات، أي حسب التعريف، هذه هي القوة رقم 1 للرقم:

في جوهر الأمر، يمكن أن يسمى هذا "إخراج المؤشر من الأقواس". لكن لا يمكنك أبدًا القيام بذلك بشكل إجمالي:

دعونا نتذكر صيغ الضرب المختصرة: كم مرة أردنا الكتابة؟

ولكن هذا ليس صحيحا، بعد كل شيء.

السلطة مع قاعدة سلبية

حتى هذه اللحظة، ناقشنا فقط ما ينبغي أن يكون عليه الأس.

ولكن ما ينبغي أن يكون الأساس؟

في صلاحيات مؤشر طبيعيقد يكون الأساس أي رقم. في الواقع، يمكننا ضرب أي أرقام في بعضها البعض، سواء كانت موجبة أو سالبة أو زوجية.

دعونا نفكر في أي العلامات ("" أو "") سيكون لها درجات من الأرقام الإيجابية والسلبية؟

على سبيل المثال، هل الرقم موجب أم سالب؟ أ؟ ؟ مع الأول، كل شيء واضح: بغض النظر عن عدد الأرقام الإيجابية التي نضربها ببعضنا البعض، ستكون النتيجة إيجابية.

ولكن تلك السلبية هي أكثر إثارة للاهتمام قليلا. نتذكر القاعدة البسيطة من الصف السادس: "ناقص ناقص يعطي علامة زائد". هذا هو، أو. ولكن إذا تضاعفنا، فإنه يعمل.

حدد بنفسك ما هي العلامة التي ستحملها التعبيرات التالية:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

هل تستطيع فعلها؟

وإليك الإجابات: في الأمثلة الأربعة الأولى، أتمنى أن يكون كل شيء واضحا؟ نحن ببساطة ننظر إلى الأساس والأس ونطبق القاعدة المناسبة.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

في المثال 5) كل شيء أيضًا ليس مخيفًا كما يبدو: لا يهم ما هي القاعدة - الدرجة متساوية، مما يعني أن النتيجة ستكون دائمًا إيجابية.

حسنًا، باستثناء عندما تكون القاعدة صفرًا. القاعدة ليست متساوية، أليس كذلك؟ من الواضح لا، لأن (لأن).

مثال 6) لم يعد بهذه البساطة!

6 أمثلة للممارسة

تحليل الحل 6 أمثلة

إذا تجاهلنا القوة الثامنة، فماذا نرى هنا؟ دعونا نتذكر برنامج الصف السابع. إذن، هل تتذكر؟ هذه هي صيغة الضرب المختصرة، وهي الفرق بين المربعات! نحن نحصل:

دعونا ننظر بعناية إلى القاسم. إنه يشبه إلى حد كبير أحد عوامل البسط، ولكن ما الخطأ؟ ترتيب المصطلحات خاطئ. وإذا تم عكسها، فيمكن تطبيق القاعدة.

ولكن كيف نفعل ذلك؟ اتضح أن الأمر سهل للغاية: الدرجة الزوجية للمقام تساعدنا هنا.

تغيرت الشروط الأماكن بطريقة سحرية. تنطبق هذه "الظاهرة" على أي تعبير بدرجة متساوية: يمكننا بسهولة تغيير الإشارات الموجودة بين قوسين.

ولكن من المهم أن نتذكر: كل العلامات تتغير في نفس الوقت!

دعنا نعود إلى المثال:

ومرة أخرى الصيغة:

جميعنحن نسمي الأعداد الطبيعية وأضدادها (أي مأخوذة بعلامة "") والرقم.

عدد صحيح موجب، ولا يختلف عن الطبيعي، فكل شيء يبدو تمامًا كما في القسم السابق.

الآن دعونا نلقي نظرة على الحالات الجديدة. لنبدأ بمؤشر يساوي.

أي عدد أس صفر يساوي واحدًا:

وكما هو الحال دائمًا، دعونا نسأل أنفسنا: لماذا يحدث هذا؟

دعونا نفكر في درجة ما مع القاعدة. خذ على سبيل المثال واضرب في:

لذا، قمنا بضرب العدد في، وحصلنا على نفس النتيجة - . ما هو الرقم الذي يجب أن تضرب فيه حتى لا يتغير شيء؟ هذا صحيح، على. وسائل.

يمكننا أن نفعل الشيء نفسه مع رقم عشوائي:

دعونا نكرر القاعدة:

أي عدد أس صفر يساوي واحدًا.

ولكن هناك استثناءات للعديد من القواعد. وهنا يوجد أيضًا - هذا رقم (كقاعدة).

من ناحية، يجب أن تكون مساوية لأي درجة - بغض النظر عن مقدار ضرب الصفر في حد ذاته، فستظل تحصل على الصفر، فمن الواضح. لكن من ناحية أخرى، مثل أي عدد أس صفر، يجب أن يكون متساويًا. إذن ما مدى صحة هذا؟ قرر علماء الرياضيات عدم التدخل ورفضوا رفع الصفر إلى القوة صفر. وهذا هو، الآن لا يمكننا القسمة على الصفر فحسب، بل نرفعه أيضا إلى قوة الصفر.

هيا لنذهب. بالإضافة إلى الأعداد الطبيعية والأعداد، تتضمن الأعداد الصحيحة أيضًا أرقامًا سالبة. لفهم ما هي القوة السالبة، دعونا نفعل كما في المرة السابقة: ضرب عدد عادي في نفس الرقم إلى قوة سالبة:

من هنا يسهل التعبير عما تبحث عنه:

الآن دعونا نوسع القاعدة الناتجة إلى درجة تعسفية:

لذلك، دعونا صياغة القاعدة:

الرقم الذي له قوة سالبة هو مقلوب نفس الرقم الذي له قوة موجبة. و لكن في نفس الوقت لا يمكن أن تكون القاعدة فارغة:(لأنك لا تستطيع القسمة على).

دعونا نلخص:

I. لم يتم تعريف التعبير في هذه الحالة. اذا ثم.

ثانيا. أي عدد أس صفر يساوي واحدًا: .

ثالثا. الرقم الذي لا يساوي صفرًا أسًا سالبًا هو معكوس نفس العدد أسًا موجبًا: .

مهام الحل المستقل:

حسنًا، كالعادة، أمثلة للحلول المستقلة:

تحليل المشاكل للحل المستقل:

أعلم، أعلم أن الأرقام مخيفة، ولكن في امتحان الدولة الموحدة، عليك أن تكون مستعدًا لأي شيء! قم بحل هذه الأمثلة أو تحليل حلولها إذا لم تتمكن من حلها وسوف تتعلم كيفية التعامل معها بسهولة في الامتحان!

دعنا نستمر في توسيع نطاق الأرقام "المناسبة" كأساس.

الآن دعونا نفكر أرقام نسبية.ما هي الأرقام التي تسمى عقلانية؟

الجواب: كل ما يمكن تمثيله ككسر، وأين هي الأعداد الصحيحة، و.

لفهم ما هو عليه "درجة كسرية"، النظر في الكسر:

لنرفع طرفي المعادلة إلى قوة:

الآن دعونا نتذكر القاعدة حول "درجة إلى درجة":

ما العدد الذي يجب رفعه إلى قوة للحصول عليه؟

هذه الصيغة هي تعريف جذر الدرجة الرابعة.

اسمحوا لي أن أذكرك: جذر القوة رقم () هو الرقم الذي يساوي عند رفعه إلى قوة.

وهذا يعني أن جذر القوة th هو العملية العكسية للرفع إلى قوة: .

لقد أتضح أن. ومن الواضح أن هذه الحالة الخاصة يمكن توسيعها: .

الآن نضيف البسط: ما هو؟ من السهل الحصول على الإجابة باستخدام قاعدة القدرة على السلطة:

لكن هل يمكن أن تكون القاعدة أي رقم؟ بعد كل شيء، لا يمكن استخراج الجذر من جميع الأرقام.

لا أحد!

دعونا نتذكر القاعدة: أي عدد مرفوع لقوة زوجية هو عدد موجب. أي أنه من المستحيل استخلاص حتى الجذور من الأعداد السالبة!

وهذا يعني أنه لا يمكن رفع هذه الأرقام إلى قوة كسرية ذات مقام زوجي، أي أن التعبير ليس له معنى.

ماذا عن التعبير؟

ولكن هنا تنشأ مشكلة.

يمكن تمثيل العدد على هيئة كسور أخرى قابلة للاختزال، على سبيل المثال، أو.

واتضح أنه موجود، لكنه غير موجود، لكن هذين مجرد سجلين مختلفين لنفس الرقم.

أو مثال آخر: مرة واحدة، يمكنك كتابتها. لكن إذا كتبنا المؤشر بشكل مختلف، فسنقع في مشكلة مرة أخرى: (أي أننا حصلنا على نتيجة مختلفة تمامًا!).

لتجنب مثل هذه المفارقات، ونحن نعتبر الأس الأساسي الموجب فقط مع الأس الكسري.

حتى إذا:

• - عدد طبيعي؛
• - عدد صحيح؛

أمثلة:

تعتبر الأسس المنطقية مفيدة جدًا لتحويل التعبيرات ذات الجذور، على سبيل المثال:

5 أمثلة للممارسة

تحليل 5 أمثلة للتدريب

حسنًا، الآن يأتي الجزء الأصعب. الآن سوف نكتشف ذلك درجة مع الأس غير العقلاني.

جميع قواعد وخصائص الدرجات هنا هي نفسها تمامًا بالنسبة للدرجة ذات الأس العقلاني، مع الاستثناء

بعد كل شيء، بحكم التعريف، الأرقام غير المنطقية هي أرقام لا يمكن تمثيلها ككسر، حيث تكون أعداد صحيحة (أي أن الأرقام غير المنطقية هي جميع الأرقام الحقيقية باستثناء الأرقام العقلانية).

عند دراسة الدرجات ذات الأسس الطبيعية والأعداد الصحيحة والعقلانية، قمنا في كل مرة بإنشاء "صورة" أو "تشبيه" أو وصف معين بمصطلحات مألوفة أكثر.

على سبيل المثال، الدرجة ذات الأس الطبيعي هي رقم مضروب في نفسه عدة مرات؛

...العدد إلى القوة صفر- يبدو أن هذا رقم مضروب في نفسه مرة واحدة، أي أنهم لم يبدأوا في ضربه بعد، مما يعني أن الرقم نفسه لم يظهر بعد - وبالتالي فإن النتيجة هي مجرد "رقم فارغ" معين. ، أي رقم؛

...درجة مع الأس عدد صحيح سلبي- يبدو الأمر كما لو أن بعض "العملية العكسية" قد حدثت، أي أن الرقم لم يُضرب في نفسه، بل تم تقسيمه.

بالمناسبة، في العلوم غالبًا ما يتم استخدام الدرجة ذات الأس المعقد، أي أن الأس ليس حتى رقمًا حقيقيًا.

لكن في المدرسة، لا نفكر في مثل هذه الصعوبات؛ ستتاح لك الفرصة لفهم هذه المفاهيم الجديدة في المعهد.

أين نحن متأكدون من أنك سوف تذهب! (إذا تعلمت حل هذه الأمثلة :))

على سبيل المثال:

تقرر لنفسك:

تحليل الحلول:

1. لنبدأ بقاعدة رفع قوة إلى قوة، وهو أمر معتاد بالنسبة لنا:

انظر الآن إلى المؤشر. ألا يذكرك بشيء؟ دعونا نتذكر صيغة الضرب المختصر لفرق المربعات:

في هذه الحالة،

لقد أتضح أن:

إجابة: .

2. نقوم بتبسيط الكسور في الأسس إلى نفس الصورة: إما العددان العشريان أو كلاهما العادي. فنحصل على سبيل المثال:

الجواب: 16

3. لا شيء مميز، فنحن نستخدم الخصائص المعتادة للدرجات:

مستوى متقدم

تحديد الدرجة

الدرجة هي تعبير عن الشكل: ، حيث:

• — أساس الدرجة؛
• - الأس.

الدرجة ذات المؤشر الطبيعي (ن = 1، 2، 3،...)

رفع العدد إلى القوة الطبيعية n يعني ضرب العدد في نفسه مرات:

الدرجة ذات الأس الصحيح (0، ±1، ±2،...)

إذا كان الأس عدد صحيح موجبرقم:

بناء إلى درجة الصفر:

التعبير غير محدد، لأنه من ناحية، إلى أي درجة هو هذا، ومن ناحية أخرى، أي رقم إلى الدرجة العاشرة هو هذا.

إذا كان الأس عدد صحيح سلبيرقم:

(لأنك لا تستطيع القسمة على).

مرة أخرى عن الأصفار: لم يتم تعريف التعبير في هذه الحالة. اذا ثم.

أمثلة:

القوة مع الأس العقلاني

• - عدد طبيعي؛
• - عدد صحيح؛

أمثلة:

خصائص الدرجات

ولتسهيل حل المشكلات، دعونا نحاول أن نفهم: من أين أتت هذه الخصائص؟ دعونا نثبت لهم.

دعونا نرى: ما هو و؟

أ-بريوري:

لذلك، على الجانب الأيمن من هذا التعبير نحصل على المنتج التالي:

ولكنها بحكم التعريف هي قوة عدد لها أس، أي:

Q.E.D.

مثال : تبسيط التعبير.

حل : .

مثال : تبسيط التعبير.

حل : ومن المهم أن نلاحظ ذلك في حكمنا بالضرورةيجب أن تكون هناك نفس الأسباب. ولذلك نجمع بين القوى والقاعدة، لكنه يبقى عاملاً منفصلاً:

ملاحظة مهمة أخرى: هذه القاعدة - فقط لمنتج القوى!

لا يمكنك كتابة ذلك تحت أي ظرف من الظروف.

وكما هو الحال مع الخاصية السابقة، فلننتقل إلى تعريف الدرجة:

دعونا نعيد تجميع هذا العمل على النحو التالي:

اتضح أن التعبير مضروب في نفسه مرات، أي حسب التعريف، هذه هي القوة رقم 1 للرقم:

في جوهر الأمر، يمكن أن يسمى هذا "إخراج المؤشر من الأقواس". لكن لا يمكنك أبدًا القيام بذلك بشكل إجمالي: !

دعونا نتذكر صيغ الضرب المختصرة: كم مرة أردنا الكتابة؟ ولكن هذا ليس صحيحا، بعد كل شيء.

السلطة مع قاعدة سلبية.

حتى هذه اللحظة، ناقشنا فقط ما ينبغي أن يكون عليه الأمر فِهرِسدرجات. ولكن ما ينبغي أن يكون الأساس؟ في صلاحيات طبيعي مؤشر قد يكون الأساس أي رقم .

في الواقع، يمكننا ضرب أي أرقام في بعضها البعض، سواء كانت موجبة أو سالبة أو زوجية. دعونا نفكر في أي العلامات ("" أو "") سيكون لها درجات من الأرقام الإيجابية والسلبية؟

على سبيل المثال، هل الرقم موجب أم سالب؟ أ؟ ؟

مع الأول، كل شيء واضح: بغض النظر عن عدد الأرقام الإيجابية التي نضربها ببعضنا البعض، ستكون النتيجة إيجابية.

ولكن تلك السلبية هي أكثر إثارة للاهتمام قليلا. نتذكر القاعدة البسيطة من الصف السادس: "ناقص ناقص يعطي علامة زائد". هذا هو، أو. لكن إذا ضربنا في () نحصل على - .

وهكذا إلى ما لا نهاية: مع كل عملية ضرب لاحقة ستتغير العلامة. ويمكن صياغة القواعد البسيطة التالية:

1. حتىالدرجة - الرقم إيجابي.
2. تم رفع الرقم السالب إلى غريبالدرجة - الرقم سلبي.
3. الرقم الموجب بأي درجة هو رقم موجب.
4. صفر مرفوعًا لأي قوة يساوي صفرًا.

حدد بنفسك ما هي العلامة التي ستحملها التعبيرات التالية:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

هل تستطيع فعلها؟ وهنا الإجابات:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

في الأمثلة الأربعة الأولى، آمل أن يكون كل شيء واضحا؟ نحن ببساطة ننظر إلى الأساس والأس ونطبق القاعدة المناسبة.

في المثال 5) كل شيء أيضًا ليس مخيفًا كما يبدو: لا يهم ما هي القاعدة - الدرجة متساوية، مما يعني أن النتيجة ستكون دائمًا إيجابية. حسنًا، باستثناء عندما تكون القاعدة صفرًا. القاعدة ليست متساوية، أليس كذلك؟ من الواضح لا، لأن (لأن).

المثال 6) لم يعد بهذه البساطة. هنا عليك معرفة أيهما أقل: أم؟ وإذا تذكرنا ذلك، يتضح أن ذلك يعني أن الأساس أقل من الصفر. أي أننا نطبق القاعدة الثانية: النتيجة ستكون سلبية.

ومرة أخرى نستخدم تعريف الدرجة:

كل شيء كالمعتاد - نكتب تعريف الدرجات ونقسمها على بعضها البعض ونقسمها إلى أزواج ونحصل على:

قبل أن ننظر إلى القاعدة الأخيرة، دعونا نحل بعض الأمثلة.

حساب التعبيرات:

حلول :

إذا تجاهلنا القوة الثامنة، فماذا نرى هنا؟ دعونا نتذكر برنامج الصف السابع. إذن، هل تتذكر؟ هذه هي صيغة الضرب المختصرة، وهي الفرق بين المربعات!

نحن نحصل:

دعونا ننظر بعناية إلى القاسم. إنه يشبه إلى حد كبير أحد عوامل البسط، ولكن ما الخطأ؟ ترتيب المصطلحات خاطئ. وإذا تم عكسها، فيمكن تطبيق القاعدة 3، ولكن كيف؟ اتضح أن الأمر سهل للغاية: الدرجة الزوجية للمقام تساعدنا هنا.

إذا ضربتها، فلن يتغير شيء، أليس كذلك؟ ولكن الآن اتضح مثل هذا:

تغيرت الشروط الأماكن بطريقة سحرية. تنطبق هذه "الظاهرة" على أي تعبير بدرجة متساوية: يمكننا بسهولة تغيير الإشارات الموجودة بين قوسين. ولكن من المهم أن نتذكر: كل العلامات تتغير في نفس الوقت!ولا يمكنك استبداله بتغيير عيب واحد فقط لا نحبه!

دعنا نعود إلى المثال:

ومرة أخرى الصيغة:

والآن القاعدة الأخيرة:

كيف سنثبت ذلك؟ بالطبع كالعادة: دعونا نتوسع في مفهوم الدرجة ونبسطه:

حسنًا، الآن دعونا نفتح الأقواس. كم عدد الحروف هناك في المجموع؟ مرات بالمضاعفات - بماذا يذكرك هذا؟ وهذا ليس أكثر من تعريف للعملية عمليه الضرب: لم يكن هناك سوى مضاعفات هناك. وهذا هو، بحكم التعريف، قوة الرقم مع الأس:

مثال:

درجة مع الأس غير عقلاني

بالإضافة إلى معلومات حول درجات المستوى المتوسط، سنقوم بتحليل الدرجة ذات الأس غير العقلاني. جميع قواعد وخصائص الدرجات هنا هي نفسها تمامًا بالنسبة للدرجة ذات الأس العقلاني، باستثناء - بعد كل شيء، بحكم التعريف، الأرقام غير المنطقية هي أرقام لا يمكن تمثيلها ككسر، حيث و هي أعداد صحيحة (أي ، الأعداد غير النسبية كلها أرقام حقيقية باستثناء الأعداد النسبية).

عند دراسة الدرجات ذات الأسس الطبيعية والأعداد الصحيحة والعقلانية، قمنا في كل مرة بإنشاء "صورة" أو "تشبيه" أو وصف معين بمصطلحات مألوفة أكثر. على سبيل المثال، الدرجة ذات الأس الطبيعي هي رقم مضروب في نفسه عدة مرات؛ الرقم أس صفر هو كما لو كان رقمًا مضروبًا في نفسه مرة واحدة، أي أنهم لم يبدأوا في ضربه بعد، مما يعني أن الرقم نفسه لم يظهر بعد - وبالتالي فإن النتيجة ليست سوى عدد معين "رقم فارغ"، أي رقم؛ الدرجة ذات الأس السلبي الصحيح - يبدو الأمر كما لو أن بعض "العملية العكسية" قد حدثت، أي أن الرقم لم يتم ضربه في حد ذاته، بل تم تقسيمه.

من الصعب للغاية تخيل درجة ذات أس غير منطقي (تمامًا كما يصعب تخيل مساحة رباعية الأبعاد). إنه بالأحرى كائن رياضي بحت ابتكره علماء الرياضيات لتوسيع مفهوم الدرجة ليشمل مساحة الأرقام بأكملها.

بالمناسبة، في العلوم غالبًا ما يتم استخدام الدرجة ذات الأس المعقد، أي أن الأس ليس حتى رقمًا حقيقيًا. لكن في المدرسة، لا نفكر في مثل هذه الصعوبات؛ ستتاح لك الفرصة لفهم هذه المفاهيم الجديدة في المعهد.

فماذا نفعل إذا رأينا أسًا غير نسبي؟ نحن نبذل قصارى جهدنا للتخلص منه!

على سبيل المثال:

تقرر لنفسك:

1)

2)

3)

الإجابات:

1. دعونا نتذكر الفرق بين صيغة المربعات. إجابة: .
2. نقوم بتبسيط الكسور إلى نفس الصورة: إما العددان العشريان أو كلاهما العادي. فنحصل على سبيل المثال: .
3. لا يوجد شيء مميز، فنحن نستخدم الخصائص المعتادة للدرجات:

ملخص القسم والصيغ الأساسية

درجةيسمى تعبيرا عن النموذج:، حيث:

الدرجة مع الأس الصحيح

الدرجة التي أسها هو عدد طبيعي (أي عدد صحيح وموجب).

القوة مع الأس العقلاني

الدرجة التي يكون أسها أرقامًا سالبة وكسرية.

درجة مع الأس غير عقلاني

الدرجة التي أسها هو كسر عشري لا نهائي أو جذر.

خصائص الدرجات

مميزات الدرجات.

• تم رفع الرقم السالب إلى حتىالدرجة - الرقم إيجابي.
• تم رفع الرقم السالب إلى غريبالدرجة - الرقم سلبي.
• الرقم الموجب بأي درجة هو رقم موجب.
• الصفر يساوي أي قوة.
• أي عدد أس صفر يساوي.

الآن لديك الكلمة...

كيف تحب المقال؟ اكتب أدناه في التعليقات إذا أعجبك ذلك أم لا.

أخبرنا عن تجربتك في استخدام خصائص الدرجة.

ربما لديك أسئلة. أو اقتراحات.

اكتب في التعليقات.

وبالتوفيق في امتحاناتك!

نعلم جميعًا من المدرسة قاعدة الأس: أي رقم له الأس N يساوي نتيجة ضرب هذا الرقم في نفسه عدد N من المرات. بمعنى آخر، 7 أس 3 هو 7 مضروبًا في نفسه ثلاث مرات، أي 343. قاعدة أخرى هي أن رفع أي كمية إلى الأس 0 يعطي واحدًا، ورفع الكمية السالبة هو نتيجة الرفع العادي إلى القوة إذا كانت زوجية، ونفس النتيجة مع إشارة الطرح إذا كانت فردية.

تعطي القواعد أيضًا إجابة لكيفية رفع الرقم إلى قوة سالبة. للقيام بذلك، تحتاج إلى رفع القيمة المطلوبة بواسطة معامل المؤشر بالطريقة المعتادة، ثم تقسيم الوحدة على النتيجة.

ومن هذه القواعد يتضح أن أداء المهام الحقيقية التي تنطوي على كميات كبيرة سيتطلب توافر الوسائل التقنية. يمكنك يدويًا أن تضرب بنفسك نطاقًا أقصى من الأرقام يصل إلى عشرين إلى ثلاثين، ثم لا يزيد عن ثلاث أو أربع مرات. ناهيك عن تقسيم واحد على النتيجة. لذلك، بالنسبة لأولئك الذين ليس لديهم آلة حاسبة هندسية خاصة في متناول اليد، سنخبرك بكيفية رفع الرقم إلى قوة سلبية في Excel.

حل المشاكل في برنامج الاكسل

لحل المسائل التي تتضمن الأس، يتيح لك برنامج Excel استخدام أحد الخيارين.

الأول هو استخدام صيغة ذات علامة "غطاء" قياسية. أدخل البيانات التالية في خلايا ورقة العمل:

بنفس الطريقة، يمكنك رفع القيمة المطلوبة إلى أي قوة - سلبية، كسور. لنقم بالخطوات التالية ونجيب على سؤال كيفية رفع الرقم إلى قوة سالبة. مثال:

يمكنك تصحيح =B2^-C2 مباشرة في الصيغة.

الخيار الثاني هو استخدام وظيفة "الدرجة" الجاهزة، والتي تأخذ وسيطتين مطلوبتين - الرقم والأس. للبدء في استخدامها، ما عليك سوى وضع علامة التساوي (=) في أي خلية خالية، للإشارة إلى بداية الصيغة، وإدخال الكلمات أعلاه. كل ما تبقى هو تحديد خليتين ستشاركان في العملية (أو تحديد أرقام محددة يدويًا) والضغط على مفتاح Enter. دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة البسيطة.

			معادلة	نتيجة
			درجة(B2;C2)
			درجة (B3;C3)	0,002915

كما ترون، لا يوجد شيء معقد حول كيفية رفع عدد إلى قوة سالبة وإلى قوة عادية باستخدام برنامج Excel. بعد كل شيء، لحل هذه المشكلة، يمكنك استخدام كل من رمز "الغطاء" المألوف والوظيفة المدمجة في البرنامج، والتي يسهل تذكرها. هذه ميزة إضافية!

دعنا ننتقل إلى أمثلة أكثر تعقيدا. دعونا نتذكر القاعدة الخاصة بكيفية رفع الرقم إلى قوة كسرية سالبة، وسنرى أن هذه المشكلة يمكن حلها بسهولة شديدة في برنامج Excel.

الأسس الكسرية

باختصار، خوارزمية حساب الرقم ذو الأس الكسري هي كما يلي.

1. تحويل الكسر إلى كسر صحيح أو غير صحيح.
2. ارفع رقمنا إلى بسط الكسر المحول الناتج.
3. من الرقم الذي تم الحصول عليه في الفقرة السابقة، احسب الجذر، بشرط أن يكون أس الجذر هو مقام الكسر الذي تم الحصول عليه في المرحلة الأولى.

توافق على أنه حتى عند التعامل مع الأعداد الصغيرة والكسور الصحيحة، فإن مثل هذه الحسابات قد تستغرق الكثير من الوقت. من الجيد أن معالج جداول بيانات Excel لا يهتم بالرقم الذي يتم رفعه إلى أي قوة. حاول حل المثال التالي في ورقة عمل Excel:

باستخدام القواعد المذكورة أعلاه، يمكنك التحقق والتأكد من أن الحساب قد تم بشكل صحيح.

وفي نهاية مقالتنا سنقدم على شكل جدول يحتوي على الصيغ والنتائج عدة أمثلة لكيفية رفع العدد إلى قوة سالبة، بالإضافة إلى عدة أمثلة للعمل بالأعداد الكسرية والقوى.

جدول المثال

تحقق من الأمثلة التالية في ورقة عمل Excel الخاصة بك. لكي يعمل كل شيء بشكل صحيح، تحتاج إلى استخدام مرجع مختلط عند نسخ الصيغة. ثبت رقم العمود الذي يحتوي على الرقم الذي يتم رفعه ورقم الصف الذي يحتوي على المؤشر. يجب أن تبدو الصيغة الخاصة بك على النحو التالي: "=$B4^C$3."

العدد/الدرجة

يرجى ملاحظة أنه يمكن حساب الأعداد الموجبة (حتى غير الأعداد الصحيحة) دون مشاكل لأي أس. لا توجد مشاكل في رفع أي أرقام إلى أعداد صحيحة. لكن رفع رقم سالب إلى قوة كسرية سيكون خطأ بالنسبة لك، لأنه من المستحيل اتباع القاعدة المشار إليها في بداية مقالتنا حول رفع الأرقام السالبة، لأن التكافؤ هو سمة حصرية لعدد صحيح.

بمواصلة المحادثة حول قوة الرقم، من المنطقي معرفة كيفية العثور على قيمة القوة. هذه العملية تسمى الأسي. في هذه المقالة سوف ندرس كيفية إجراء الأس، بينما سنتطرق إلى جميع الأسس الممكنة - الطبيعية، الصحيحة، العقلانية وغير العقلانية. وحسب التقليد سننظر بالتفصيل في حلول أمثلة رفع الأعداد إلى قوى مختلفة.

التنقل في الصفحة.

ماذا يعني "الأس"؟

لنبدأ بشرح ما يسمى الأسي. هنا هو التعريف ذو الصلة.

تعريف.

الأس- هذا هو إيجاد قيمة قوة الرقم.

وبالتالي، فإن إيجاد قيمة قوة الرقم a باستخدام الأس r ورفع الرقم a إلى القوة r هما نفس الشيء. على سبيل المثال، إذا كانت المهمة هي "حساب قيمة الأس (0.5) 5"، فيمكن إعادة صياغتها على النحو التالي: "ارفع الرقم 0.5 إلى الأس 5".

يمكنك الآن الانتقال مباشرةً إلى القواعد التي يتم من خلالها إجراء عملية الأس.

رفع العدد إلى القوة الطبيعية

ومن الناحية العملية، عادة ما يتم تطبيق المساواة على أساس . أي أنه عند رفع رقم a إلى قوة كسرية m/n، يتم أولاً أخذ الجذر النوني للرقم a، وبعد ذلك يتم رفع النتيجة الناتجة إلى قوة عددية m.

دعونا نلقي نظرة على حلول أمثلة للرفع إلى قوة كسرية.

مثال.

احسب قيمة الدرجة.

حل.

سوف نعرض حلين.

الطريقة الأولى. من خلال تعريف الدرجة مع الأس الكسرية. نحسب قيمة الدرجة تحت علامة الجذر، ثم نستخرج الجذر التكعيبي: .

الطريقة الثانية. من خلال تعريف الدرجة ذات الأس الكسري واستنادا إلى خصائص الجذور، تكون المساواة التالية صحيحة: . الآن نستخرج الجذر أخيرًا، نرفعه إلى قوة عدد صحيح .

من الواضح أن النتائج التي تم الحصول عليها من الرفع إلى قوة كسرية تتطابق.

إجابة:

لاحظ أنه يمكن كتابة الأس الكسري ككسر عشري أو رقم مختلط، وفي هذه الحالات يجب استبداله بالكسر العادي المقابل، ثم رفعه إلى قوة.

مثال.

احسب (44.89) 2.5.

حل.

لنكتب الأس على شكل كسر عادي (راجع المقال إذا لزم الأمر): . الآن نقوم بإجراء الرفع إلى قوة كسرية:

إجابة:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

وينبغي أن يقال أيضا أن رفع الأعداد إلى القوى العقلانية هي عملية كثيفة العمالة إلى حد ما (خاصة عندما يحتوي بسط ومقام الأس الكسري على أعداد كبيرة بما فيه الكفاية)، والتي يتم تنفيذها عادة باستخدام تكنولوجيا الكمبيوتر.

لاختتام هذه النقطة، دعونا نتحدث عن رفع العدد صفر إلى قوة كسرية. لقد أعطينا المعنى التالي للقوة الكسرية للصفر بالشكل: عندما يكون لدينا ، وعند الصفر إلى قوة m/n غير محددة. لذا، صفر أس موجب كسري يساوي صفرًا، على سبيل المثال، . والصفر في القوة السالبة الكسرية لا معنى له، على سبيل المثال، التعبيرات 0 -4.3 لا معنى لها.

الارتقاء إلى قوة غير عقلانية

في بعض الأحيان يصبح من الضروري معرفة قيمة قوة الرقم ذو الأس غير العقلاني. في هذه الحالة، ولأغراض عملية، يكفي عادة الحصول على قيمة الدرجة بدقة لإشارة معينة. دعونا نلاحظ على الفور أنه من الناحية العملية يتم حساب هذه القيمة باستخدام أجهزة الكمبيوتر الإلكترونية، حيث أن رفعها إلى قوة غير منطقية يدويًا يتطلب عددًا كبيرًا من الحسابات المرهقة. لكننا سنظل نصف بشكل عام جوهر الإجراءات.

للحصول على قيمة تقريبية لقوة رقم a بأس غير منطقي، يتم أخذ بعض التقريب العشري للأس ويتم حساب قيمة القوة. هذه القيمة هي قيمة تقريبية لقوة الرقم a مع الأس غير العقلاني. كلما كان التقريب العشري للرقم أكثر دقة في البداية، كلما تم الحصول على قيمة الدرجة الأكثر دقة في النهاية.

على سبيل المثال، دعونا نحسب القيمة التقريبية للأس 2 1.174367... . لنأخذ التقريب العشري التالي للأس غير العقلاني: . الآن نرفع 2 إلى القوة العقلانية 1.17 (وصفنا جوهر هذه العملية في الفقرة السابقة)، نحصل على 2 1.17 ≈2.250116. هكذا، 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . إذا أخذنا تقريبًا عشريًا أكثر دقة للأس غير العقلاني، على سبيل المثال، فسنحصل على قيمة أكثر دقة للأس الأصلي: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

فهرس.

• فيلينكين إن.يا.، جوخوف في.إي.، تشيسنوكوف إيه.إس.، شفارتسبورد إس.آي. كتاب الرياضيات للصف الخامس. المؤسسات التعليمية.
• ماكاريتشيف يو.إن.، مينديوك إن.جي.، نيشكوف كي.ي.، سوفوروفا إس.بي. الجبر: كتاب مدرسي للصف السابع. المؤسسات التعليمية.
• ماكاريتشيف يو.إن.، مينديوك إن.جي.، نيشكوف كي.ي.، سوفوروفا إس.بي. الجبر: كتاب مدرسي للصف الثامن. المؤسسات التعليمية.
• ماكاريتشيف يو.إن.، مينديوك إن.جي.، نيشكوف كي.ي.، سوفوروفا إس.بي. الجبر: كتاب مدرسي للصف التاسع. المؤسسات التعليمية.
• كولموجوروف إيه إن، أبراموف إيه إم، دودنيتسين يو.بي. وغيرها الجبر وبدايات التحليل: كتاب مدرسي للصفوف 10 - 11 من مؤسسات التعليم العام.
• جوسيف ف.أ.، موردكوفيتش أ.ج. الرياضيات (دليل للملتحقين بالمدارس الفنية).