آلة حاسبة على الانترنت.
حل المتتابعة الحسابية.
نظرا: ن، د، ن
البحث عن: أ1
يعثر هذا البرنامج الرياضي على \(a_1\) للتقدم الحسابي استنادًا إلى الأرقام المحددة بواسطة المستخدم \(a_n, d\) و\(n\).
يمكن تحديد الأرقام \(a_n\) و \(d\) ليس فقط كأعداد صحيحة، ولكن أيضًا ككسور. علاوة على ذلك، يمكن إدخال الرقم الكسري على شكل كسر عشري (\(2.5\)) وعلى شكل كسر عادي (\(-5\frac(2)(7)\)).
لا يقدم البرنامج إجابة للمشكلة فحسب، بل يعرض أيضًا عملية البحث عن حل.
يمكن أن تكون هذه الآلة الحاسبة عبر الإنترنت مفيدة لطلاب المدارس الثانوية عند التحضير للاختبارات والامتحانات، عند اختبار المعرفة قبل امتحان الدولة الموحدة، وللآباء للتحكم في حل العديد من المشكلات في الرياضيات والجبر. أو ربما يكون استئجار مدرس أو شراء كتب مدرسية جديدة مكلفًا للغاية؟ أم أنك ترغب فقط في إنجاز واجباتك المنزلية في الرياضيات أو الجبر في أسرع وقت ممكن؟ وفي هذه الحالة، يمكنك أيضًا استخدام برامجنا مع الحلول التفصيلية.
بهذه الطريقة، يمكنك إجراء التدريب الخاص بك و/أو تدريب إخوتك أو أخواتك الصغار، بينما يرتفع مستوى التعليم في مجال حل المشكلات.
إذا لم تكن على دراية بقواعد إدخال الأرقام، فنوصيك بالتعرف عليها.
قواعد إدخال الأرقام
يمكن تحديد الأرقام \(a_n\) و \(d\) ليس فقط كأعداد صحيحة، ولكن أيضًا ككسور.
يمكن أن يكون الرقم \(n\) عددًا صحيحًا موجبًا فقط.
قواعد إدخال الكسور العشرية.
يمكن فصل الأعداد الصحيحة والأجزاء الكسرية في الكسور العشرية إما بنقطة أو بفاصلة.
على سبيل المثال، يمكنك إدخال الكسور العشرية مثل 2.5 أو 2.5
قواعد إدخال الكسور العادية.
يمكن للعدد الصحيح فقط أن يكون بمثابة البسط والمقام والجزء الصحيح من الكسر.
لا يمكن أن يكون المقام سالبًا.
عند إدخال كسر رقمي، يتم فصل البسط عن المقام بعلامة القسمة: /
مدخل:
النتيجة: \(-\frac(2)(3)\)
يتم فصل الجزء بأكمله عن الكسر بواسطة علامة العطف: &
مدخل:
النتيجة: \(-1\frac(2)(3)\)
تم اكتشاف أن بعض البرامج النصية اللازمة لحل هذه المشكلة لم يتم تحميلها، وقد لا يعمل البرنامج.
ربما قمت بتمكين AdBlock.
وفي هذه الحالة، قم بتعطيله وتحديث الصفحة.
لكي يظهر الحل، تحتاج إلى تمكين JavaScript.
فيما يلي إرشادات حول كيفية تمكين JavaScript في متصفحك.
لأن هناك الكثير من الأشخاص الراغبين في حل المشكلة، وقد تم وضع طلبك في قائمة الانتظار.
في بضع ثوان سوف يظهر الحل أدناه.
انتظر من فضلك ثانية...
اذا أنت لاحظت خطأ في الحل، فيمكنك الكتابة عن هذا في نموذج الملاحظات.
لا تنسى تشير إلى المهمةعليك أن تقرر ما أدخل في الحقول.
ألعابنا وألغازنا ومحاكياتنا:
القليل من النظرية.
تسلسل رقمي
في الممارسة اليومية، غالبًا ما يُستخدم ترقيم الكائنات المختلفة للإشارة إلى الترتيب الذي تم ترتيبها به. على سبيل المثال، يتم ترقيم المنازل في كل شارع. في المكتبة، يتم ترقيم اشتراكات القراء ثم ترتيبها حسب الأرقام المخصصة في ملفات بطاقات خاصة.
في بنك التوفير، باستخدام رقم الحساب الشخصي للمودع، يمكنك بسهولة العثور على هذا الحساب ومعرفة الإيداع الموجود فيه. لنفترض أن الحساب رقم 1 يحتوي على إيداع بمبلغ a1 روبل، والحساب رقم 2 يحتوي على إيداع بمبلغ a2 روبل، وما إلى ذلك. تسلسل رقمي
أ 1، أ 2، أ 3، ...، ن
حيث N هو عدد كافة الحسابات. هنا، كل عدد طبيعي n من 1 إلى N يرتبط برقم a n.
درست أيضا في الرياضيات تسلسل عدد لا نهائي:
أ 1، أ 2، أ 3، ...، أ ن، ... .
يتم استدعاء الرقم 1 الحد الأول من المتتابعةرقم أ 2 - الحد الثاني من المتتابعةرقم أ 3 - الحد الثالث من المتتابعةإلخ.
يسمى الرقم n العضو n (n) في التسلسل، والعدد الطبيعي n هو رقم.
على سبيل المثال، في تسلسل مربعات الأعداد الطبيعية 1، 4، 9، 16، 25، ...، ن 2، (ن + 1) 2، ... و 1 = 1 هو الحد الأول من التسلسل؛ و n = n 2 هو الحد النوني من المتتابعة؛ a n+1 = (n + 1) 2 هو الحد (n + 1) (n زائد الأول) من المتتابعة. في كثير من الأحيان يمكن تحديد التسلسل من خلال صيغة الحد النوني له. على سبيل المثال، تحدد الصيغة \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) التسلسل \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)
المتوالية العددية
ويبلغ طول السنة حوالي 365 يوما. القيمة الأكثر دقة هي \(365\frac(1)(4)\) يومًا، لذلك يتراكم خطأ قدره يوم واحد كل أربع سنوات.
ولمراعاة هذا الخطأ، تتم إضافة يوم إلى كل سنة رابعة، وتسمى السنة الممتدة بالسنة الكبيسة.
على سبيل المثال، في الألفية الثالثة، السنوات الكبيسة هي الأعوام 2004، 2008، 2012، 2016، ....
في هذا التسلسل كل عضو ابتداء من الثاني يساوي الذي قبله مضافا إليه نفس الرقم 4. وتسمى مثل هذه التسلسلات التقدم الحسابي.
تعريف.
التسلسل الرقمي a 1، a 2، a 3، ...، a n، ... يسمى المتوالية العددية، إذا كان لجميع الطبيعية ن المساواة
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
حيث d هو عدد ما.
ويترتب على هذه الصيغة أن n+1 - a n = d. الرقم د يسمى الفرق المتوالية العددية.
من خلال تعريف التقدم الحسابي لدينا:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
أين
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \)، حيث \(n>1 \)
وهكذا فإن كل حد من المتتابعة الحسابية، ابتداء من الثاني، يساوي الوسط الحسابي للحدين المتجاورين. وهذا ما يفسر اسم التقدم "الحسابي".
لاحظ أنه إذا تم إعطاء 1 وd، فيمكن حساب الحدود المتبقية للتقدم الحسابي باستخدام الصيغة المتكررة a n+1 = a n + d. بهذه الطريقة، ليس من الصعب حساب الحدود القليلة الأولى للتقدم، ولكن على سبيل المثال، الرقم 100 سيتطلب بالفعل الكثير من الحسابات. عادة، يتم استخدام صيغة الحد n لهذا الغرض. حسب تعريف التقدم الحسابي
\(a_2=a_1+د، \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+د=a_1+3d \)
إلخ.
على الاطلاق،
\(a_n=a_1+(n-1)د، \)
حيث أن الحد النوني للمتوالية الحسابية يتم الحصول عليه من الحد الأول بإضافة (ن-1) ضرب الرقم د.
هذه الصيغة تسمى صيغة الحد n من التقدم الحسابي.
مجموع الحدود n الأولى للتقدم الحسابي
أوجد مجموع الأعداد الطبيعية من 1 إلى 100.
لنكتب هذا المبلغ بطريقتين:
ق = ل + 2 + 3 + ... + 99 + 100،
س = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
دعونا نضيف هذه المساواة مصطلحًا تلو الآخر:
2س = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
يحتوي هذا المجموع على 100 مصطلح
ولذلك، 2S = 101 * 100، وبالتالي S = 101 * 50 = 5050.
دعونا الآن ننظر في التقدم الحسابي التعسفي
أ 1، أ 2، أ 3، ...، أ ن، ...
دع S n يكون مجموع الحدود n الأولى لهذا التقدم:
S n = أ 1 , أ 2 , أ 3 , ..., أ ن
ثم مجموع الحدود n الأولى للتقدم الحسابي يساوي
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)
بما أن \(a_n=a_1+(n-1)d\)، فعند استبدال n في هذه الصيغة نحصل على صيغة أخرى للبحث مجموع الحدود n الأولى للتقدم الحسابي:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)
آي في ياكوفليف | مواد الرياضيات | MathUs.ru
المتوالية العددية
التقدم الحسابي هو نوع خاص من التسلسل. لذلك، قبل تعريف التقدم الحسابي (ثم الهندسي)، نحتاج إلى مناقشة المفهوم المهم للتسلسل الرقمي بإيجاز.
التبعية
تخيل جهازًا يتم عرض أرقام معينة على شاشته واحدًا تلو الآخر. لنفترض 2؛ 7؛ 13؛ 1؛ 6؛ 0; 3؛ : : : هذه المجموعة من الأرقام هي بالضبط مثال على التسلسل.
تعريف. التسلسل الرقمي عبارة عن مجموعة من الأرقام التي يمكن فيها تعيين رقم فريد لكل رقم (أي مرتبط برقم طبيعي واحد)1. الرقم n يسمى الحد n من المتتابعة.
لذلك، في المثال أعلاه، الرقم الأول هو 2، وهذا هو العضو الأول في التسلسل، والذي يمكن الإشارة إليه بواسطة a1؛ الرقم خمسة لديه الرقم 6 هو الحد الخامس من التسلسل، والذي يمكن الإشارة إليه بـ a5. بشكل عام، يُشار إلى الحد n من التسلسل بـ (أو bn، cn، وما إلى ذلك).
الموقف المريح للغاية هو عندما يمكن تحديد الحد n من التسلسل بواسطة صيغة ما. على سبيل المثال، الصيغة an = 2n 3 تحدد التسلسل: 1; 1؛ 3؛ 5؛ 7؛ : : : الصيغة an = (1)n تحدد التسلسل: 1; 1؛ 1؛ 1؛ : : :
ليست كل مجموعة من الأرقام عبارة عن تسلسل. وبالتالي، فإن المقطع ليس تسلسلًا؛ أنه يحتوي على أرقام "كثيرة جدًا" بحيث لا يمكن إعادة ترقيمها. المجموعة R لجميع الأعداد الحقيقية ليست أيضًا تسلسلًا. تم إثبات هذه الحقائق في سياق التحليل الرياضي.
التقدم الحسابي: التعاريف الأساسية
الآن نحن على استعداد لتحديد التقدم الحسابي.
تعريف. التقدم الحسابي هو تسلسل يكون فيه كل حد (بدءًا من الثاني) يساوي مجموع الحد السابق وبعض الأرقام الثابتة (يسمى فرق التقدم الحسابي).
على سبيل المثال، التسلسل 2؛ 5؛ 8؛ أحد عشر؛ : : : عبارة عن متوالية حسابية مع الحد الأول 2 والفرق 3. التسلسل 7؛ 2؛ 3؛ 8؛ : : : عبارة عن متوالية حسابية مع الحد الأول 7 والفرق 5. التسلسل 3؛ 3؛ 3؛ : : : هي متوالية حسابية بفارق يساوي صفر.
تعريف مكافئ: يسمى التسلسل an بالتقدم الحسابي إذا كان الفرق an+1 قيمة ثابتة (مستقلة عن n).
تسمى المتوالية الحسابية تزايدية إذا كان فرقها موجباً، وتناقصية إذا كان فرقها سالباً.
1 ولكن إليك تعريفًا أكثر إيجازًا: التسلسل هو دالة محددة في مجموعة الأعداد الطبيعية. على سبيل المثال، سلسلة من الأعداد الحقيقية هي دالة f: N ! ر.
بشكل افتراضي، تعتبر التسلسلات لا نهائية، أي أنها تحتوي على عدد لا نهائي من الأرقام. لكن لا أحد يزعجنا أن نأخذ في الاعتبار التسلسلات المحدودة؛ في الواقع، يمكن تسمية أي مجموعة محدودة من الأرقام بتسلسل محدود. على سبيل المثال، تسلسل النهاية هو 1؛ 2؛ 3؛ 4؛ 5 يتكون من خمسة أرقام.
صيغة الحد n من التقدم الحسابي
من السهل أن نفهم أن التقدم الحسابي يتحدد بالكامل برقمين: الحد الأول والفرق. لذلك يطرح السؤال: كيف يمكن، بمعرفة الحد الأول والفرق، العثور على حد تعسفي للتقدم الحسابي؟
ليس من الصعب الحصول على الصيغة المطلوبة للحد التاسع من التقدم الحسابي. دع
المتوالية الحسابية مع الفرق د. لدينا: | |
أن+1 = أن + د (ن = 1; 2;: : :): | |
ونكتب على وجه الخصوص: | |
a2 = a1 + د؛ | |
a3 = a2 + د = (a1 + د) + د = a1 + 2d؛ | |
a4 = a3 + د = (a1 + 2d) + د = a1 + 3d؛ | |
والآن أصبح من الواضح أن صيغة a هي: | |
و = أ1 + (ن 1)د: |
المشكلة 1. في التقدم الحسابي 2؛ 5؛ 8؛ أحد عشر؛ : : : ابحث عن صيغة الحد النوني واحسب الحد المائة.
حل. ووفقا للصيغة (1) لدينا:
أن = 2 + 3(ن 1) = 3ن 1:
أ100 = 3100 1 = 299:
خاصية وعلامة التقدم الحسابي
خاصية التقدم الحسابي. في التقدم الحسابي لأي
بمعنى آخر، كل عضو في المتوالية الحسابية (بدءًا من الثاني) هو الوسط الحسابي للأعضاء المجاورة له.
دليل. لدينا: | ||||
ن 1+ ن+1 | (و د) + (و + د) | |||
وهو ما كان مطلوبا.
وبشكل أعم، فإن التقدم الحسابي يرضي المساواة
أ ن = أ ن ك+ أ ن+ك
لأي n > 2 وأي طبيعي k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).
لقد اتضح أن الصيغة (2) لا تعد شرطًا ضروريًا فحسب، بل أيضًا شرطًا كافيًا لكي تكون المتوالية تقدمًا حسابيًا.
علامة التقدم الحسابي. إذا كانت المساواة (2) تنطبق على جميع n > 2، فإن التسلسل an هو تقدم حسابي.
دليل. لنعيد كتابة الصيغة (2) على النحو التالي:
أ نا ن 1= أ ن+1أ ن:
من هذا يمكننا أن نرى أن الفرق an+1 an لا يعتمد على n، وهذا يعني بالضبط أن التسلسل an هو تقدم حسابي.
يمكن صياغة خاصية وعلامة التقدم الحسابي في شكل عبارة واحدة؛ للراحة، سنفعل ذلك لثلاثة أرقام (وهذا هو الوضع الذي يحدث غالبًا في المشكلات).
توصيف التقدم الحسابي. ثلاثة أرقام أ، ب، ج تشكل تقدمًا حسابيًا إذا وفقط إذا كان 2ب = أ + ج.
المشكلة 2. (جامعة ولاية ميشيغان، كلية الاقتصاد، 2007) تشكل ثلاثة أرقام 8x و3x2 و4 بالترتيب المشار إليه تقدمًا حسابيًا متناقصًا. ابحث عن x وأشر إلى اختلاف هذا التقدم.
حل. وبخاصية التقدم الحسابي لدينا:
2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; س = 5:
إذا كانت x = 1، فسنحصل على تقدم متناقص قدره 8، 2، 4 بفارق 6. إذا كانت x = 5، فسنحصل على تقدم متزايد قدره 40، 22، 4؛ هذه الحالة ليست مناسبة.
الجواب: س = 1، والفرق هو 6.
مجموع الحدود n الأولى للتقدم الحسابي
تقول الأسطورة أنه في أحد الأيام طلب المعلم من الأطفال العثور على مجموع الأرقام من 1 إلى 100 وجلسوا بهدوء لقراءة الصحيفة. ومع ذلك، لم تمر حتى دقائق قليلة قبل أن يقول أحد الصبية أنه قد حل المشكلة. كان هذا كارل فريدريش غاوس البالغ من العمر 9 سنوات، والذي أصبح لاحقًا أحد أعظم علماء الرياضيات في التاريخ.
كانت فكرة ليتل غاوس على النحو التالي. يترك
س = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:
لنكتب هذا المبلغ بترتيب عكسي:
س = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1؛
وأضف هاتين الصيغتين:
2س = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):
كل حد بين قوسين يساوي 101، وبالتالي هناك 100 حد في المجمل
2س = 101100 = 10100؛
نستخدم هذه الفكرة لاشتقاق صيغة المجموع
S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)
يتم الحصول على تعديل مفيد للصيغة (3) إذا عوضنا فيها بصيغة الحد n = a1 + (n 1)d:
2أ1 + (ن 1)د | |||||
المشكلة 3. أوجد مجموع الأعداد الموجبة المكونة من ثلاثة أرقام والقابلة للقسمة على 13.
حل. الأعداد المكونة من ثلاثة أرقام والتي هي من مضاعفات العدد 13 تشكل تقدمًا حسابيًا حيث يكون الحد الأول 104 والفرق هو 13؛ المصطلح n من هذا التقدم له الشكل:
أن = 104 + 13(ن 1) = 91 + 13ن:
دعنا نتعرف على عدد المصطلحات التي يحتوي عليها تقدمنا. للقيام بذلك، دعونا نحل عدم المساواة:
6999؛ 91 + 13 ن 6 999؛
ن 690813 = 691113; ن669:
إذن، هناك 69 عضوًا في تقدمنا. باستخدام الصيغة (4) نجد المبلغ المطلوب:
س = 2104 + 68 13 69 = 37674: 2
ما هو الجوهر الرئيسي للصيغة؟
هذه الصيغة تسمح لك بالعثور على أي برقمه" ن" .
وبطبيعة الحال، تحتاج أيضا إلى معرفة الفصل الأول أ 1وفارق التقدم دحسنًا، بدون هذه المعلمات، لا يمكنك كتابة تقدم معين.
إن حفظ (أو حفظ) هذه الصيغة ليس كافيًا. أنت بحاجة إلى فهم جوهرها وتطبيق الصيغة في مختلف المشاكل. وأيضا لا ننسى في اللحظة المناسبة، نعم...) كيف لا تنسى- لا أعرف. و هنا كيف تتذكرإذا لزم الأمر، سأنصحك بالتأكيد. لمن أكمل الدرس حتى النهاية.)
لذا، دعونا نلقي نظرة على صيغة الحد النوني للتقدم الحسابي.
ما هي الصيغة بشكل عام؟ بالمناسبة، ألق نظرة إذا لم تكن قد قرأته. كل شيء بسيط هناك. يبقى لمعرفة ما هو عليه الفصل الدراسي التاسع.
التقدم بشكل عام يمكن كتابته كسلسلة من الأرقام:
أ 1، أ 2، أ 3، أ 4، أ 5، .....
أ 1- يشير إلى الحد الأول من التقدم الحسابي، أ 3- العضو الثالث، أ 4- الرابع وهكذا. إذا كنا مهتمين بالفصل الخامس، فلنفترض أننا نعمل مع 5إذا مائة وعشرون ق 120.
وكيف يمكننا تعريفه بعبارات عامة؟ أيمصطلح التقدم الحسابي، مع أيرقم؟ بسيط جدا! مثله:
ن
هذا ما هو عليه الحد n من التقدم الحسابي.يخفي الحرف n جميع أرقام الأعضاء مرة واحدة: 1، 2، 3، 4، وهكذا.
وماذا يعطينا هذا السجل؟ فكر فقط، بدلاً من الرقم، كتبوا رسالة...
يمنحنا هذا الترميز أداة قوية للتعامل مع التقدم الحسابي. باستخدام التدوين ن، يمكننا أن نجد بسرعة أيعضو أيالمتوالية العددية. وحل مجموعة من مشاكل التقدم الأخرى. سترى بنفسك أبعد من ذلك.
في صيغة الحد n من التقدم الحسابي:
| أ ن = أ 1 + (ن-1)د |
أ 1- الحد الأول من التقدم الحسابي؛
ن- رقم عضوية.
تربط الصيغة المعلمات الرئيسية لأي تقدم: ن ; أ 1 ؛ دو ن. جميع مشاكل التقدم تدور حول هذه المعلمات.
يمكن أيضًا استخدام صيغة المصطلح n لكتابة تقدم محدد. على سبيل المثال، قد تقول المشكلة أن التقدم محدد بالشرط:
أ ن = 5 + (ن-1) 2.
يمكن أن تكون مثل هذه المشكلة طريقًا مسدودًا... لا يوجد سلسلة ولا فرق... ولكن بمقارنة الحالة بالصيغة، من السهل أن نفهم أنه في هذا التقدم 1 = 5، و د = 2.
ويمكن أن يكون الأمر أسوأ!) إذا أخذنا نفس الشرط: أ ن = 5 + (ن-1) 2،نعم افتح القوسين وأحضر مثلهما؟ نحصل على صيغة جديدة:
ن = 3 + 2ن.
هذا ليس فقط عامًا، ولكن لتقدم محدد. وهنا يكمن المأزق. يعتقد بعض الناس أن الحد الأول هو ثلاثة. على الرغم من أن الحد الأول في الواقع هو خمسة... أقل قليلاً سنعمل بمثل هذه الصيغة المعدلة.
في مشاكل التقدم هناك تدوين آخر - ن+1. هذا، كما خمنت، هو مصطلح "n plus first" للتقدم. معناه بسيط وغير ضار.) هذا عضو في التقدم الذي عدده أكبر من الرقم n بواحد. على سبيل المثال، إذا كنا في بعض المشاكل نأخذ نالولاية الخامسة إذن ن+1سيكون العضو السادس. إلخ.
في أغلب الأحيان التعيين ن+1وجدت في صيغ التكرار. لا تخف من هذه الكلمة المخيفة!) هذه مجرد وسيلة للتعبير عن عضو في التقدم الحسابي من خلال السابق.لنفترض أننا حصلنا على تقدم حسابي في هذا النموذج، باستخدام صيغة متكررة:
ن+1 = ن+3
أ 2 = أ 1 + 3 = 5+3 = 8
أ 3 = أ 2 + 3 = 8+3 = 11
الرابع - حتى الثالث، والخامس - حتى الرابع، وهكذا. كيف يمكننا أن نحسب على الفور، على سبيل المثال، الحد العشرين؟ 20؟ ولكن لا توجد طريقة!) وإلى أن نكتشف الحد التاسع عشر، لا يمكننا عد الحد العشرين. هذا هو الفرق الأساسي بين الصيغة المتكررة وصيغة الحد النوني. المتكررة تعمل فقط من خلال سابقالحد، وصيغة الحد n من خلال أولاًويسمح حالاالعثور على أي عضو عن طريق رقمه. دون حساب سلسلة الأرقام بأكملها بالترتيب.
في التقدم الحسابي، من السهل تحويل الصيغة المتكررة إلى صيغة عادية. عد زوجا من الحدود المتتالية، وحساب الفرق د،ابحث، إذا لزم الأمر، عن الفصل الأول أ 1، اكتب الصيغة بشكلها المعتاد، واعمل بها. غالبًا ما تتم مواجهة مثل هذه المهام في أكاديمية الدولة للعلوم.
تطبيق صيغة الحد النوني للمتتابعة الحسابية.
أولاً، دعونا نلقي نظرة على التطبيق المباشر للصيغة. في نهاية الدرس السابق حدثت مشكلة:
يتم إعطاء التقدم الحسابي (ن). أوجد 121 إذا كان 1 = 3 و d = 1/6.
يمكن حل هذه المشكلة بدون أي صيغ، وذلك ببساطة بناءً على معنى التقدم الحسابي. أضف وأضف... ساعة أو ساعتين.)
ووفقا للصيغة، سيستغرق الحل أقل من دقيقة. يمكنك تحديد الوقت.) فلنقرر.
توفر الشروط جميع البيانات لاستخدام الصيغة: أ 1 = 3، د = 1/6.يبقى لمعرفة ما هو متساو ن.لا مشكلة! نحن بحاجة الى العثور عليها 121. لذلك نكتب:
من فضلك إنتبه! بدلا من الفهرس نظهر رقم محدد: 121. وهو أمر منطقي تمامًا.) نحن مهتمون بعضو التقدم الحسابي العدد مائة وواحد وعشرون.هذا سيكون لنا ن.هذا هو المعنى ن= 121 سوف نعوض أكثر في الصيغة، بين قوسين. نستبدل جميع الأرقام في الصيغة ونحسب:
أ 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
هذا كل شيء. وبنفس السرعة يمكن العثور على الحد الخمسمائة والعاشر، والألف والثالث، أي واحد. نضع بدلا من ذلك نالرقم المطلوب في فهرس الحرف " أ"وبين قوسين، ونحن نعول.
اسمحوا لي أن أذكرك بنقطة: هذه الصيغة تسمح لك بالعثور عليها أيمصطلح التقدم الحسابي برقمه" ن" .
دعونا نحل المشكلة بطريقة أكثر دهاءً. دعونا نواجه المشكلة التالية:
أوجد الحد الأول من المتوالية الحسابية (a n)، إذا كان a 17 = -2؛ د=-0.5.
لو واجهتك أي صعوبات سأخبرك بالخطوة الأولى. اكتب صيغة الحد النوني للمتتابعة الحسابية!نعم نعم. اكتب بيديك مباشرة في دفترك:
| أ ن = أ 1 + (ن-1)د |
والآن، بالنظر إلى أحرف الصيغة، نفهم ما هي البيانات التي لدينا وما هي البيانات المفقودة؟ متاح د=-0.5،هناك عضو السابع عشر...هل هذا هو؟ إذا كنت تعتقد أن هذا هو الحال، فلن تحل المشكلة، نعم...
لا يزال لدينا رقم ن! في حالة أ 17 = -2مختفي معلمتين.وهذه هي قيمة الحد السابع عشر (-2) ورقمه (17). أولئك. ن = 17.غالبًا ما ينزلق هذا "التافه" عبر الرأس، وبدونه (بدون "التافه"، وليس الرأس!) لا يمكن حل المشكلة. على الرغم من ... وبدون رأس أيضًا.)
الآن يمكننا ببساطة استبدال بياناتنا بغباء في الصيغة:
أ 17 = أ 1 + (17-1)·(-0.5)
نعم بالتأكيد، 17ونحن نعلم أنه -2. حسنًا، لنستبدل:
-2 = أ 1 + (17-1)·(-0.5)
هذا كل شيء في الأساس. يبقى التعبير عن الحد الأول للتقدم الحسابي من الصيغة وحسابه. الجواب سيكون: أ 1 = 6.
تعد هذه التقنية - كتابة صيغة واستبدال البيانات المعروفة ببساطة - مساعدة كبيرة في المهام البسيطة. حسنًا، بالطبع، يجب أن تكون قادرًا على التعبير عن متغير من صيغة، ولكن ماذا تفعل!؟ وبدون هذه المهارة قد لا تتمكن من دراسة الرياضيات على الإطلاق...
لغز شعبي آخر:
أوجد فرق المتتابعة الحسابية (a n)، إذا كانت a 1 = 2؛ أ 15 = 12.
ماذا نفعل؟ سوف تتفاجأ، نحن نكتب الصيغة!)
| أ ن = أ 1 + (ن-1)د |
لنتأمل فيما نعرفه: أ 1 =2؛ 15 = 12؛ و (سأسلط الضوء بشكل خاص!) ن = 15. لا تتردد في استبدال هذا في الصيغة:
12=2 + (15-1)د
نحن نفعل الحساب.)
12=2 + 14د
د=10/14 = 5/7
هذا هو الجواب الصحيح.
لذلك، المهام ل أ ن، أ 1و دمقرر. كل ما تبقى هو معرفة كيفية العثور على الرقم:
الرقم 99 هو عضو في المتتابعة الحسابية (a n)، حيث 1 = 12؛ د = 3. ابحث عن رقم هذا العضو
نعوض بالكميات المعروفة لدينا في صيغة الحد n:
أ ن = 12 + (ن-1) 3
للوهلة الأولى، هناك كميتين غير معروفتين هنا: ن و ن.لكن ن- هذا عضو في التقدم برقم ن...ونحن نعرف هذا العضو من التقدم! إنه 99. لا نعرف رقمه. ن،إذن هذا الرقم هو ما تحتاج إلى إيجاده. نستبدل مصطلح التقدم 99 في الصيغة:
99 = 12 + (ن-1) 3
نعبر من الصيغة ن، نحن نعتقد. نحصل على الجواب: ن = 30.
والآن مشكلة حول نفس الموضوع، ولكن أكثر إبداعا):
تحديد ما إذا كان الرقم 117 عضوًا في المتوالية الحسابية (أ ن):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
دعونا نكتب الصيغة مرة أخرى. ماذا، لا توجد معلمات؟ حسنًا... لماذا أُعطينا عيونًا؟) هل نرى الفصل الأول من التقدم؟ نحن نرى. هذا هو -3.6. يمكنك الكتابة بأمان: أ 1 = -3.6.اختلاف ديمكنك تحديد من سلسلة؟ الأمر سهل إذا كنت تعرف ما هو الفرق بين التقدم الحسابي:
د = -2.4 - (-3.6) = 1.2
لذلك، قمنا بأبسط شيء. يبقى التعامل مع الرقم المجهول نوالعدد غير المفهوم 117. وفي المشكلة السابقة على الأقل كان معروفا أن مصطلح التتابع هو الذي ورد. لكننا هنا لا نعرف حتى... ماذا نفعل!؟ حسنًا، كيف تكون، كيف تكون... قم بتشغيل قدراتك الإبداعية!)
نحن يفترضأن 117 هو، بعد كل شيء، عضو في تقدمنا. مع عدد غير معروف ن. وكما في المسألة السابقة، فلنحاول العثور على هذا الرقم. أولئك. نكتب الصيغة (نعم، نعم!)) ونستبدل أرقامنا:
117 = -3.6 + (ن-1) 1.2
مرة أخرى نعبر من الصيغةن، نحسب ونحصل على:
أُووبس! تبين الرقم كسور!مائة وواحد ونصف. والأعداد الكسرية في التقدم لا يمكن.ما هو الاستنتاج الذي يمكننا استخلاصه؟ نعم! رقم 117 ليسعضو في تقدمنا. وهو يقع في مكان ما بين الحدين المئة والأولى والمائة والثانية. إذا تبين أن العدد طبيعي، أي. هو عدد صحيح موجب، فإن الرقم سيكون عضوًا في التقدم مع الرقم الموجود. وفي حالتنا سيكون جواب المشكلة: لا.
مهمة مبنية على نسخة حقيقية من GIA:
يتم إعطاء التقدم الحسابي بالشرط:
ن = -4 + 6.8ن
أوجد الحدين الأول والعاشر من التقدم.
هنا يتم تعيين التقدم بطريقة غير عادية. نوع من الصيغة... يحدث ذلك.) ومع ذلك، هذه الصيغة (كما كتبت أعلاه) - وأيضا صيغة الحد النوني للتقدم الحسابي!كما أنها تسمح العثور على أي عضو في التقدم من خلال رقمه.
نحن نبحث عن العضو الأول. الشخص الذي يفكر. أن الحد الأول هو ناقص أربعة خطأ فادح!) لأن الصيغة في المشكلة تم تعديلها. الفصل الأول من المتوالية الحسابية فيه مختفي.لا بأس، سنجده الآن.)
كما في المسائل السابقة، نستبدل ن = 1في هذه الصيغة:
أ 1 = -4 + 6.8 1 = 2.8
هنا! الحد الأول هو 2.8 وليس -4!
ونبحث عن الحد العاشر بنفس الطريقة:
أ 10 = -4 + 6.8 10 = 64
هذا كل شيء.
والآن، بالنسبة لأولئك الذين قرأوا هذه السطور، المكافأة الموعودة.)
لنفترض، في موقف قتالي صعب في امتحان الدولة أو امتحان الدولة الموحد، أنك نسيت الصيغة المفيدة للحد التاسع من التقدم الحسابي. أتذكر شيئا، ولكن بطريقة غير مؤكدة إلى حد ما... أو نهناك، أو ن+1، أو ن-1...كيف تكون!؟
هادئ! من السهل استخلاص هذه الصيغة. إنها ليست صارمة للغاية، ولكنها بالتأكيد كافية للثقة واتخاذ القرار الصحيح!) للتوصل إلى نتيجة، يكفي أن تتذكر المعنى الأولي للتقدم الحسابي وأن يكون لديك بضع دقائق من الوقت. تحتاج فقط إلى رسم صورة. للتوضيح.
ارسم خط أرقام وضع علامة على الرقم الأول عليه. الثانية والثالثة وما إلى ذلك. أعضاء. ونلاحظ الفرق دبين الأعضاء. مثله:
ننظر إلى الصورة ونفكر: ماذا يساوي الحد الثاني؟ ثانية واحد د:
أ 2 =أ1+ 1 د
ما هو المصطلح الثالث؟ ثالثالحد يساوي الحد الأول زائد اثنين د.
أ 3 =أ1+ 2 د
هل حصلت عليه؟ ليس من قبيل الصدفة أن أسلط الضوء على بعض الكلمات بالخط العريض. حسنًا، خطوة أخرى).
ما هو الحد الرابع؟ الرابعالحد يساوي الحد الأول زائد ثلاثة د.
أ 4 =أ1+ 3 د
لقد حان الوقت لندرك أن عدد الفجوات، أي. د، دائماً واحد أقل من عدد العضو الذي تبحث عنه ن. أي إلى العدد ن، عدد المسافاتسوف ن-1.لذلك ستكون الصيغة (بدون اختلافات!):
| أ ن = أ 1 + (ن-1)د |
بشكل عام، الصور المرئية مفيدة جدًا في حل العديد من المشكلات في الرياضيات. لا تهمل الصور. ولكن إذا كان من الصعب رسم صورة، إذن... مجرد صيغة!) بالإضافة إلى ذلك، تسمح لك صيغة الحد n بربط ترسانة الرياضيات القوية بأكملها بالحل - المعادلات والمتباينات والأنظمة وما إلى ذلك. لا يمكنك إدراج صورة في المعادلة...
مهام الحل المستقل.
القيام بالتسخين:
1. في التقدم الحسابي (أ ن) أ 2 =3؛ أ 5 =5.1. العثور على 3 .
تلميح: حسب الصورة، يمكن حل المشكلة في 20 ثانية... حسب الصيغة، يبدو الأمر أكثر صعوبة. ولكن لإتقان الصيغة، فهو أكثر فائدة.) في المادة 555، تم حل هذه المشكلة باستخدام كل من الصورة والصيغة. تشعر الفرق!)
وهذا لم يعد الاحماء.)
2. في المتوالية الحسابية (أ ن) أ 85 = 19.1؛ أ 236 = 49, 3. أوجد أ 3 .
ماذا، ألا تريد رسم صورة؟) بالطبع! أفضل وفقا للصيغة، نعم...
3. يتم إعطاء التقدم الحسابي بالشرط:أ 1 = -5.5؛ ن+1 = ن +0.5. أوجد الحد المائة والخامس والعشرين من هذا التقدم.
في هذه المهمة، يتم تحديد التقدم بطريقة متكررة. لكن العد حتى الحد المائة والخامس والعشرين... ليس كل شخص قادر على القيام بمثل هذا العمل الفذ.) لكن صيغة الحد التاسع في متناول الجميع!
4. بالنظر إلى التقدم الحسابي (أ ن):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
أوجد رقم أصغر حد موجب للتقدم.
5. وفقًا لشروط المهمة 4، ابحث عن مجموع أصغر الحدود الإيجابية وأكبر الحدود السلبية للتقدم.
6. حاصل ضرب الحدين الخامس والثاني عشر من التقدم الحسابي المتزايد يساوي -2.5، ومجموع الحدين الثالث والحادي عشر يساوي صفرًا. العثور على 14 .
ليست المهمة الأسهل، نعم...) لن تعمل طريقة "أطراف الإصبع" هنا. سيكون عليك كتابة الصيغ وحل المعادلات.
الإجابات (في حالة من الفوضى):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
حدث؟ جميل!)
ليس كل شيء يعمل؟ يحدث. بالمناسبة، هناك لحظة واحدة خفية في المهمة الأخيرة. ستكون هناك حاجة إلى الحذر عند قراءة المشكلة. والمنطق.
تمت مناقشة حل كل هذه المشكلات بالتفصيل في القسم 555. وعنصر الخيال للنقطة الرابعة، والنقطة الدقيقة للسادس، والأساليب العامة لحل أي مشاكل تتعلق بصيغة الحد النوني - تم وصف كل شيء. أوصي.
إذا أعجبك هذا الموقع...
بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)
يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)
يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.
نعم نعم: التقدم الحسابي ليس لعبة بالنسبة لك :) حسنًا، أيها الأصدقاء، إذا كنتم تقرأون هذا النص، فإن الحد الأقصى للأدلة الداخلية يخبرني أنك لا تعرف بعد ما هو التقدم الحسابي، لكنك حقًا (لا، هكذا: SOOOOO!) تريد أن تعرف. لذلك، لن أعذبك بمقدمات طويلة وسأدخل في صلب الموضوع مباشرة.
أولا، بضعة أمثلة. دعونا نلقي نظرة على عدة مجموعات من الأرقام:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$
ما هو القاسم المشترك بين كل هذه المجموعات؟ للوهلة الأولى، لا شيء. ولكن في الواقع هناك شيء ما. يسمى: ويختلف كل عنصر تالٍ عن العنصر السابق بنفس الرقم.
أحكم لنفسك. المجموعة الأولى هي ببساطة أرقام متتالية، وكل رقم تالٍ هو أكثر من الرقم السابق بواحد. وفي الحالة الثانية، الفرق بين الأعداد المتجاورة هو بالفعل خمسة، لكن هذا الفرق لا يزال ثابتًا. وفي الحالة الثالثة، هناك جذور تماما. ومع ذلك، $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$، و $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$، أي. وفي هذه الحالة، كل عنصر تالي يزيد بمقدار $\sqrt(2)$ (ولا تخف من أن هذا الرقم غير منطقي).
لذلك: تسمى كل هذه التسلسلات بالتقدم الحسابي. دعونا نعطي تعريفا صارما:
تعريف. تسمى سلسلة الأرقام التي يختلف فيها كل رقم تالٍ عن الرقم السابق بنفس المقدار تمامًا بالتقدم الحسابي. يُطلق على المقدار الذي تختلف به الأرقام اسم فرق التقدم ويُشار إليه غالبًا بالحرف $d$.
تدوين: $\left(((a)_(n)) \right)$ هو التقدم نفسه، $d$ هو الفرق الخاص به.
وبعض الملاحظات المهمة فقط. أولاً، يتم أخذ التقدم بعين الاعتبار فقط أمرتسلسل الأرقام: يُسمح بقراءتها بدقة بالترتيب الذي كتبت به - ولا شيء غير ذلك. لا يمكن إعادة ترتيب الأرقام أو تبديلها.
ثانيًا، يمكن أن يكون التسلسل نفسه إما منتهيًا أو لا نهائيًا. على سبيل المثال، المجموعة (1، 2، 3) من الواضح أنها متتابعة حسابية منتهية. ولكن إذا كتبت شيئًا بالروح (1؛ 2؛ 3؛ 4؛ ...) - فهذا بالفعل تقدم لا نهائي. يبدو أن علامة القطع بعد الرقم أربعة تشير إلى أن هناك عددًا لا بأس به من الأرقام القادمة. كثيرة لا حصر لها، على سبيل المثال:)
أود أيضًا أن أشير إلى أن التقدم يمكن أن يتزايد أو يتناقص. لقد رأينا بالفعل عددًا متزايدًا - نفس المجموعة (1؛ 2؛ 3؛ 4؛ ...). فيما يلي أمثلة على التقدم المتناقص:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$
حسنًا، حسنًا: قد يبدو المثال الأخير معقدًا للغاية. لكن الباقي، أعتقد أنك تفهمه. ولذلك نقدم تعريفات جديدة:
تعريف. تسمى المتوالية الحسابية :
- تزداد إذا كان كل عنصر تالٍ أكبر من العنصر السابق؛
- يتناقص إذا كان، على العكس من ذلك، كل عنصر لاحق أقل من العنصر السابق.
بالإضافة إلى ذلك، هناك ما يسمى بالتسلسلات "الثابتة" - وهي تتكون من نفس الرقم المتكرر. على سبيل المثال، (3؛ 3؛ 3؛ ...).
يبقى سؤال واحد فقط: كيف نميز التقدم المتزايد عن التقدم المتناقص؟ لحسن الحظ، كل شيء هنا يعتمد فقط على علامة الرقم $d$، أي. اختلافات التقدم:
- إذا كان $d \gt 0$، فسيزداد التقدم؛
- إذا كان $d \lt 0$، فمن الواضح أن التقدم يتناقص؛
- أخيرًا، هناك الحالة $d=0$ - في هذه الحالة يتم تقليل التقدم بأكمله إلى تسلسل ثابت من الأرقام المتطابقة: (1؛ 1؛ 1؛ 1؛ ...)، إلخ.
دعونا نحاول حساب الفرق $d$ للتقدمات المتناقصة الثلاثة المذكورة أعلاه. للقيام بذلك، يكفي أن تأخذ أي عنصرين متجاورين (على سبيل المثال، الأول والثاني) وطرح الرقم الموجود على اليسار من الرقم الموجود على اليمين. سوف يبدو مثل هذا:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.
وكما نرى، تبين أن الفرق في الحالات الثلاث كان سلبيًا. والآن بعد أن اكتشفنا التعاريف بشكل أو بآخر، فقد حان الوقت لمعرفة كيفية وصف التقدمات وما هي خصائصها.
شروط التقدم وصيغة التكرار
وبما أن عناصر تسلسلاتنا لا يمكن تبديلها، فيمكن ترقيمها:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) ))،... \يمين\)\]
تسمى العناصر الفردية لهذه المجموعة بأعضاء التقدم. ويشار إليهم برقم: العضو الأول، العضو الثاني، وما إلى ذلك.
بالإضافة إلى ذلك، كما نعلم بالفعل، ترتبط المصطلحات المجاورة للتقدم بالصيغة:
\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]
باختصار، للعثور على الحد $n$th للتقدم، تحتاج إلى معرفة الحد $n-1$th والفرق $d$. تسمى هذه الصيغة المتكررة، لأنه بمساعدتها يمكنك العثور على أي رقم فقط من خلال معرفة الرقم السابق (وفي الواقع، كل الأرقام السابقة). هذا غير مريح للغاية، لذلك هناك صيغة أكثر دقة تقلل أي حسابات إلى الحد الأول والفرق:
\[((أ)_(ن))=((أ)_(1))+\left(n-1 \right)d\]
ربما تكون قد صادفت هذه الصيغة بالفعل. إنهم يحبون تقديمها في جميع أنواع الكتب المرجعية وكتب الحلول. وفي أي كتاب مدرسي معقول للرياضيات، فهو من أوائل الكتب.
ومع ذلك، أقترح عليك ممارسة قليلا.
المهمة رقم 1. اكتب الحدود الثلاثة الأولى للتقدم الحسابي $\left(((a)_(n)) \right)$ if $((a)_(1))=8,d=-5$.
حل. لذلك، نحن نعرف الحد الأول $((a)_(1))=8$ والفرق في التقدم $d=-5$. لنستخدم الصيغة المعطاة للتو ونستبدل $n=1$ و$n=2$ و$n=3$:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3؛ \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \النهاية(محاذاة)\]
الجواب: (8؛ 3؛ −2)
هذا كل شئ! يرجى ملاحظة: تقدمنا آخذ في التناقص.
بالطبع، $n=1$ لا يمكن استبداله - فالحد الأول معروف لنا بالفعل. ومع ذلك، بالتعويض بالوحدة، أصبحنا مقتنعين بأن الصيغة تعمل حتى في الحد الأول. في حالات أخرى، جاء كل شيء إلى حساب عادي.
المهمة رقم 2. اكتب الحدود الثلاثة الأولى للمتوالية الحسابية إذا كان حدها السابع يساوي −40 وحدها السابع عشر يساوي −50.
حل. لنكتب حالة المشكلة بمصطلحات مألوفة:
\[((أ)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \يمين.\]
لقد وضعت علامة النظام لأنه يجب تلبية هذه المتطلبات في وقت واحد. الآن دعونا نلاحظ أنه إذا طرحنا الأولى من المعادلة الثانية (لدينا الحق في القيام بذلك، حيث أن لدينا نظام)، نحصل على هذا:
\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((أ)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&د=-1. \\ \النهاية(محاذاة)\]
هذا هو مدى سهولة العثور على فرق التقدم! كل ما تبقى هو استبدال الرقم الموجود في أي من معادلات النظام. على سبيل المثال، في الأول:
\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((أ)_(1))=-40+6=-34. \\ \النهاية(مصفوفة)\]
والآن بعد معرفة الحد الأول والفرق، يبقى إيجاد الحدين الثاني والثالث:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((أ)_(3))=((أ)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \النهاية(محاذاة)\]
مستعد! حلت المشكلة.
الإجابة: (−34؛ −35؛ −36)
لاحظ خاصية التقدم المثيرة للاهتمام التي اكتشفناها: إذا أخذنا الحدين $n$th و $m$th وطرحناهما من بعضهما البعض، فسنحصل على فرق التقدم مضروبًا في الرقم $n-m$:
\[((أ)_(ن))-((أ)_(م))=d\cdot \left(n-m \right)\]
خاصية بسيطة ولكنها مفيدة للغاية تحتاج بالتأكيد إلى معرفتها - بمساعدتها يمكنك تسريع حل العديد من مشكلات التقدم بشكل كبير. وفيما يلي مثال واضح على ذلك:
المهمة رقم 3. الحد الخامس من المتتابعة الحسابية هو 8.4، والحد العاشر هو 14.4. أوجد الحد الخامس عشر من هذا التقدم.
حل. بما أن $((a)_(5))=8.4$، $((a)_(10))=14.4$، وعلينا إيجاد $((a)_(15))$، نلاحظ ما يلي:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((أ)_(10))-((أ)_(5))=5د. \\ \النهاية(محاذاة)\]
لكن حسب الشرط $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$، وبالتالي $5d=6$، ومنه لدينا:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((أ)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \النهاية(محاذاة)\]
الجواب: 20.4
هذا كل شئ! لم نكن بحاجة إلى إنشاء أي أنظمة من المعادلات وحساب الحد الأول والفرق، فقد تم حل كل شيء في سطرين فقط.
الآن دعونا نلقي نظرة على نوع آخر من المشاكل - البحث عن المصطلحات السلبية والإيجابية للتقدم. ولا يخفى على أحد أنه إذا زاد التقدم، وكان حده الأول سلبيا، فسوف تظهر فيه شروط إيجابية عاجلا أم آجلا. والعكس صحيح: شروط التقدم المتناقص ستصبح سلبية عاجلاً أم آجلاً.
في الوقت نفسه، ليس من الممكن دائمًا العثور على هذه اللحظة "وجهاً لوجه" من خلال المرور عبر العناصر بالتسلسل. في كثير من الأحيان، تتم كتابة المسائل بطريقة تجعل الحسابات تستغرق عدة أوراق من دون معرفة الصيغ، مما يؤدي ببساطة إلى النوم بينما نجد الإجابة. لذلك، دعونا نحاول حل هذه المشاكل بطريقة أسرع.
المهمة رقم 4. كم عدد الحدود السلبية الموجودة في التقدم الحسابي −38.5؛ -35.8؛ ...؟
حل. لذا، $((a)_(1))=-38.5$، $((a)_(2))=-35.8$، حيث نجد الفرق على الفور:
لاحظ أن الفرق إيجابي، وبالتالي يزداد التقدم. الحد الأول سالب، لذا في مرحلة ما سنعثر على أرقام موجبة. والسؤال الوحيد هو متى سيحدث هذا.
دعنا نحاول معرفة المدة التي تظل فيها سلبية المصطلحات (أي حتى الرقم الطبيعي $n$):
\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \صحيح. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412؛ \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \النهاية(محاذاة)\]
السطر الأخير يحتاج إلى بعض التوضيح. لذلك نحن نعلم أن $n \lt 15\frac(7)(27)$. من ناحية أخرى، نحن راضون فقط عن القيم الصحيحة للرقم (علاوة على ذلك: $n\in \mathbb(N)$)، لذا فإن أكبر عدد مسموح به هو بالضبط $n=15$، وليس 16 بأي حال من الأحوال .
المهمة رقم 5. في التقدم الحسابي $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. أوجد رقم الحد الموجب الأول لهذا التقدم.
ستكون هذه هي نفس المشكلة تمامًا مثل المشكلة السابقة، لكننا لا نعرف $((a)_(1))$. لكن المصطلحين المجاورين معروفان: $((a)_(5))$ و$((a)_(6))$، لذلك يمكننا بسهولة العثور على الفرق بين التقدم:
بالإضافة إلى ذلك، دعونا نحاول التعبير عن الحد الخامس من خلال الأول والفرق باستخدام الصيغة القياسية:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((أ)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((أ)_(1))=-150-12=-162. \\ \النهاية(محاذاة)\]
الآن ننتقل إلى القياس مع المهمة السابقة. دعنا نكتشف عند أي نقطة في تسلسلنا ستظهر الأرقام الإيجابية:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \النهاية(محاذاة)\]
الحد الأدنى لحل هذه المتباينة هو الرقم 56.
يرجى ملاحظة: في المهمة الأخيرة، انتهى كل شيء إلى عدم المساواة الصارمة، وبالتالي فإن الخيار $n=55$ لن يناسبنا.
الآن بعد أن تعلمنا كيفية حل المشكلات البسيطة، فلننتقل إلى المشكلات الأكثر تعقيدًا. ولكن أولا، دعونا ندرس خاصية أخرى مفيدة للغاية للتقدم الحسابي، والتي ستوفر لنا الكثير من الوقت والخلايا غير المتكافئة في المستقبل :).
المتوسط الحسابي والمسافات البادئة المتساوية
دعونا نفكر في عدة حدود متتالية للتقدم الحسابي المتزايد $\left(((a)_(n)) \right)$. دعونا نحاول وضع علامة عليها على خط الأعداد:
شروط التقدم الحسابي على خط الأعدادلقد وضعت علامة على المصطلحات التعسفية $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$، وليس بعض $((a)_(1)) ,\ ((أ)_(2))،\ ((أ)_(3))$، إلخ. لأن القاعدة التي سأخبرك بها الآن تعمل بنفس الطريقة مع أي "قطاعات".
والقاعدة بسيطة جدا. دعونا نتذكر الصيغة المتكررة ونكتبها لجميع المصطلحات المحددة:
\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \النهاية(محاذاة)\]
ومع ذلك، يمكن إعادة كتابة هذه المساواة بشكل مختلف:
\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((أ)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((أ)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \النهاية(محاذاة)\]
حسنا، ماذا في ذلك؟ وحقيقة أن الحدين $((a)_(n-1))$ و $((a)_(n+1))$ يقعان على نفس المسافة من $((a)_(n)) $ . وهذه المسافة تساوي $d$. يمكن قول الشيء نفسه عن المصطلحين $((a)_(n-2))$ و$((a)_(n+2))$ - تمت إزالتهما أيضًا من $((a)_(n) )$ على نفس المسافة تساوي $2d$. يمكننا أن نستمر إلى ما لا نهاية، ولكن المعنى موضح بشكل جيد من خلال الصورة
تقع شروط التقدم على نفس المسافة من المركز ماذا يعني هذا بالنسبة لنا؟ هذا يعني أنه يمكن العثور على $((a)_(n))$ إذا كانت الأرقام المجاورة معروفة:
\[((أ)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]
لقد استنتجنا عبارة ممتازة: كل حد من المتتابعة الحسابية يساوي الوسط الحسابي للحد المجاور له! علاوة على ذلك: يمكننا التراجع عن $((a)_(n))$ إلى اليسار واليمين ليس بخطوة واحدة، ولكن بخطوات $k$ - وستظل الصيغة صحيحة:
\[((أ)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]
أولئك. يمكننا بسهولة العثور على بعض $((a)_(150))$ إذا كنا نعرف $((a)_(100))$ و$((a)_(200))$، لأن $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. للوهلة الأولى، قد يبدو أن هذه الحقيقة لا تعطينا أي شيء مفيد. ومع ذلك، في الممارسة العملية، يتم تصميم العديد من المسائل خصيصًا لاستخدام الوسط الحسابي. إلق نظرة:
المهمة رقم 6. ابحث عن جميع قيم $x$ التي تعد الأرقام $-6((x)^(2))$ و$x+1$ و$14+4((x)^(2))$ حدودًا متتالية لها تقدم حسابي (بالترتيب المشار إليه).
حل. نظرًا لأن هذه الأرقام أعضاء في تقدم، فإن شرط المتوسط الحسابي يكون مستوفيًا لها: يمكن التعبير عن العنصر المركزي $x+1$ بدلالة العناصر المجاورة:
\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2))))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \النهاية(محاذاة)\]
والنتيجة هي معادلة تربيعية كلاسيكية. جذورها: $x=2$ و $x=-3$ هي الإجابات.
الجواب: −3؛ 2.
المهمة رقم 7. ابحث عن قيم $$ التي تشكل الأرقام $-1;4-3;(()^(2))+1$ تقدمًا حسابيًا (بهذا الترتيب).
حل. دعونا مرة أخرى نعبر عن الحد الأوسط من خلال الوسط الحسابي للمصطلحات المجاورة:
\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \يمين.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \النهاية(محاذاة)\]
المعادلة التربيعية مرة أخرى. ومرة أخرى هناك جذرين: $x=6$ و$x=1$.
الجواب: 1؛ 6.
إذا توصلت أثناء حل المشكلة إلى بعض الأرقام الوحشية، أو لم تكن متأكدًا تمامًا من صحة الإجابات التي تم العثور عليها، فهناك تقنية رائعة تسمح لك بالتحقق: هل قمنا بحل المشكلة بشكل صحيح؟
لنفترض أننا حصلنا في المسألة رقم 6 على الإجابتين −3 و2. كيف يمكننا التحقق من صحة هذه الإجابات؟ دعونا فقط نوصلهم بالحالة الأصلية ونرى ما سيحدث. اسمحوا لي أن أذكرك أن لدينا ثلاثة أرقام ($-6(()^(2))$ و$+1$ و$14+4(()^(2))$)، والتي يجب أن تشكل تقدمًا حسابيًا. لنستبدل $x=-3$:
\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(محاذاة)\]
لقد حصلنا على الأرقام −54؛ -2؛ 50 التي تختلف بمقدار 52 هي بلا شك تقدم حسابي. يحدث نفس الشيء لـ $x=2$:
\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(محاذاة)\]
مرة أخرى تقدم ولكن بفارق 27. وهكذا تم حل المشكلة بشكل صحيح. يمكن لأولئك الذين يرغبون التحقق من المشكلة الثانية بأنفسهم، لكنني سأقول على الفور: كل شيء على ما يرام هناك أيضًا.
بشكل عام، أثناء حل المشكلات الأخيرة، صادفنا حقيقة أخرى مثيرة للاهتمام يجب أيضًا تذكرها:
إذا كانت ثلاثة أرقام بحيث يكون الثاني هو الوسط الحسابي للأول والأخير، فإن هذه الأرقام تشكل تقدمًا حسابيًا.
في المستقبل، سيسمح لنا فهم هذا البيان "ببناء" التقدمات الضرورية حرفيًا بناءً على ظروف المشكلة. ولكن قبل أن ننخرط في مثل هذا "البناء"، يجب أن ننتبه إلى حقيقة أخرى، والتي تتبع مباشرة مما تمت مناقشته بالفعل.
تجميع العناصر وجمعها
دعنا نعود إلى محور الأعداد مرة أخرى. دعونا نلاحظ هناك العديد من أعضاء التقدم، ربما بينهم. يستحق الكثير من الأعضاء الآخرين:
هناك 6 عناصر محددة على خط الأعداددعونا نحاول التعبير عن "الذيل الأيسر" من خلال $((a)_(n))$ و$d$، و"الذيل الأيمن" من خلال $((a)_(k))$ و$d$. انه بسيط جدا:
\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((أ)_(ك-1))=((أ)_(ك))-د; \\ & ((أ)_(ك-2))=((أ)_(ك))-2د. \\ \النهاية(محاذاة)\]
لاحظ الآن أن المبالغ التالية متساوية:
\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((أ)_(ن+1))+((أ)_(ك-1))=((أ)_(ن))+د+((أ)_(ك))-د= س؛ \\ & ((أ)_(ن+2))+((أ)_(ك-2))=((أ)_(ن))+2d+((أ)_(ك))-2d= س. \end(محاذاة)\]
ببساطة، إذا أخذنا في الاعتبار عنصرين من عناصر التقدم، وهما في المجموع يساويان بعض الأرقام $S$، ثم نبدأ في التحرك من هذه العناصر في اتجاهين متعاكسين (باتجاه بعضهما البعض أو العكس بالعكس للابتعاد)، ثم مجموع العناصر التي سنعثر عليها ستكون متساوية أيضًا$س$. ويمكن تمثيل ذلك بشكل واضح بيانيا:
المسافات البادئة المتساوية تعطي كميات متساوية إن فهم هذه الحقيقة سيسمح لنا بحل المشكلات ذات المستوى الأعلى من التعقيد بشكل أساسي من تلك التي ذكرناها أعلاه. على سبيل المثال، هذه:
المهمة رقم 8. أوجد الفرق في متوالية حسابية يكون فيها الحد الأول 66، وحاصل ضرب الحدين الثاني والثاني عشر هو أصغر ما يمكن.
حل. دعونا نكتب كل ما نعرفه:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&د=؟ \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(محاذاة)\]
لذلك، نحن لا نعرف فرق التقدم $d$. في الواقع، سيتم بناء الحل بأكمله حول الفرق، حيث يمكن إعادة كتابة المنتج $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ كما يلي:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(محاذاة)\]
بالنسبة لأولئك الموجودين في الخزان: أخذت المضاعف الإجمالي وهو 11 من الشريحة الثانية. وبالتالي، فإن المنتج المطلوب هو دالة تربيعية بالنسبة للمتغير $d$. لذلك، فكر في الدالة $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - سيكون رسمها البياني عبارة عن قطع مكافئ مع فروع لأعلى، لأن إذا قمنا بفك الأقواس نحصل على:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( د)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]
كما ترون، معامل الحد الأعلى هو 11 - وهذا رقم موجب، لذلك نحن نتعامل حقًا مع قطع مكافئ له فروع تصاعدية:
الرسم البياني للدالة التربيعية - القطع المكافئ
يرجى ملاحظة: يأخذ هذا القطع المكافئ أدنى قيمة له عند رأسه مع الإحداثي الإحداثي $((d)_(0))$. بالطبع، يمكننا حساب هذا الإحداثي المحوري باستخدام المخطط القياسي (توجد الصيغة $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$)، ولكن سيكون من المعقول أكثر ملاحظة ذلك أن الرأس المطلوب يقع على تماثل محور القطع المكافئ، وبالتالي فإن النقطة $((d)_(0))$ تكون على مسافة متساوية من جذور المعادلة $f\left(d \right)=0$:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((د)_(1))=-66;\quad ((د)_(2))=-6. \\ \النهاية(محاذاة)\]
لهذا السبب لم أكن في عجلة من أمري لفتح الأقواس: في شكلها الأصلي، كان من السهل جدًا العثور على الجذور. ولذلك فإن الإحداثي السيني يساوي الوسط الحسابي للأرقام −66 و −6:
\[((د)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]
ماذا يعطينا الرقم المكتشف؟ باستخدامه، يأخذ المنتج المطلوب أصغر قيمة (بالمناسبة، لم نحسب أبدًا $((y)_(\min ))$ - هذا غير مطلوب منا). في الوقت نفسه، هذا الرقم هو الفرق من التقدم الأصلي، أي. وجدنا الجواب :)
الجواب: -36
المهمة رقم 9. بين الأرقام $-\frac(1)(2)$ و$-\frac(1)(6)$، أدخل ثلاثة أرقام بحيث تشكل مع هذه الأرقام تقدمًا حسابيًا.
حل. في الأساس، نحتاج إلى إنشاء سلسلة من خمسة أرقام، مع معرفة الرقم الأول والأخير بالفعل. دعنا نشير إلى الأرقام المفقودة بالمتغيرات $x$ و $y$ و $z$:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]
لاحظ أن الرقم $y$ هو "الوسط" في تسلسلنا - فهو على مسافة متساوية من الأرقام $x$ و$z$، ومن الأرقام $-\frac(1)(2)$ و$-\frac (1)(6)$. وإذا لم نتمكن حاليًا من الحصول على $y$ من الأرقام $x$ و$z$، فإن الوضع يختلف مع نهايات التقدم. لنتذكر الوسط الحسابي:
الآن، بعد أن عرفنا $y$، سنجد الأعداد المتبقية. لاحظ أن $x$ يقع بين الأرقام $-\frac(1)(2)$ و$y=-\frac(1)(3)$ التي وجدناها للتو. لهذا
وباستخدام المنطق نفسه نجد العدد المتبقي:
مستعد! لقد وجدنا جميع الأرقام الثلاثة. لنكتبها في الإجابة بالترتيب الذي يجب إدراجها به بين الأرقام الأصلية.
الإجابة: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$
المهمة رقم 10. بين الرقمين 2 و42، أدخل عدة أرقام تشكل مع هذه الأرقام تقدمًا حسابيًا، إذا كنت تعلم أن مجموع الأرقام الأولى والثانية والأخيرة من الأرقام المدرجة هو 56.
حل. هناك مشكلة أكثر تعقيدًا، ومع ذلك، يتم حلها وفقًا لنفس مخطط المشكلات السابقة - من خلال الوسط الحسابي. المشكلة هي أننا لا نعرف بالضبط عدد الأرقام التي يجب إدخالها. لذلك، لنفترض على وجه اليقين أنه بعد إدخال كل شيء سيكون هناك بالضبط أرقام $n$، أولها 2، وآخرها 42. في هذه الحالة، يمكن تمثيل التقدم الحسابي المطلوب بالشكل:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( أ)_(ن-1));42 \يمين\)\]
\[((أ)_(2))+((أ)_(3))+((أ)_(n-1))=56\]
ومع ذلك، لاحظ أن الأرقام $((a)_(2))$ و$((a)_(n-1))$ يتم الحصول عليها من الرقمين 2 و42 عند الحواف بخطوة واحدة تجاه بعضها البعض، أي. . إلى وسط التسلسل. وهذا يعني ذلك
\[((أ)_(2))+((أ)_(n-1))=2+42=44\]
ولكن بعد ذلك يمكن إعادة كتابة التعبير المكتوب أعلاه على النحو التالي:
\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((أ)_(3))=56; \\ & ((أ)_(3))=56-44=12. \\ \النهاية(محاذاة)\]
بمعرفة $((a)_(3))$ و$((a)_(1))$، يمكننا بسهولة العثور على الفرق بين التقدم:
\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rightarrow د=5. \\ \النهاية(محاذاة)\]
كل ما تبقى هو العثور على المصطلحات المتبقية:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((أ)_(2))=2+5=7; \\ & ((أ)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \النهاية(محاذاة)\]
وبالتالي، في الخطوة التاسعة، سنصل إلى الطرف الأيسر من التسلسل - الرقم 42. في المجموع، كان لا بد من إدراج 7 أرقام فقط: 7؛ 12؛ 17؛ 22؛ 27؛ 32؛ 37.
الجواب: 7؛ 12؛ 17؛ 22؛ 27؛ 32؛ 37
مشاكل كلامية مع التقدم
في الختام، أود أن أتطرق إلى مشكلتين بسيطتين نسبيًا. حسنًا، بهذه البساطة: بالنسبة لمعظم الطلاب الذين يدرسون الرياضيات في المدرسة ولم يقرؤوا ما هو مكتوب أعلاه، قد تبدو هذه المشكلات صعبة. ومع ذلك، هذه هي أنواع المشاكل التي تظهر في OGE وامتحان الدولة الموحدة في الرياضيات، لذلك أوصي بالتعرف عليها.
المهمة رقم 11. أنتج الفريق 62 جزءًا في يناير، وفي كل شهر لاحق أنتجوا 14 جزءًا أكثر مما أنتجوه في الشهر السابق. كم عدد الأجزاء التي أنتجها الفريق في نوفمبر؟
حل. من الواضح أن عدد الأجزاء المدرجة حسب الشهر سيمثل تقدمًا حسابيًا متزايدًا. علاوة على ذلك:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]
نوفمبر هو الشهر الحادي عشر من العام، لذا علينا إيجاد $((a)_(11))$:
\[((أ)_(11))=62+10\cdot 14=202\]
ولذلك، سيتم إنتاج 202 قطعة في نوفمبر.
المهمة رقم 12. قامت ورشة تجليد الكتب بتجليد 216 كتابًا في يناير، وفي كل شهر لاحق قامت بتجليد 4 كتب أكثر من الشهر السابق. كم عدد الكتب التي قامت الورشة بتجليدها في شهر ديسمبر؟
حل. كل نفس:
$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$
ديسمبر هو الشهر الثاني عشر الأخير من العام، لذلك نبحث عن $((a)_(12))$:
\[((أ)_(12))=216+11\cdot 4=260\]
هذا هو الجواب: سيتم مجلدة 260 كتابًا في ديسمبر.
حسنًا، إذا كنت قد قرأت هذا حتى الآن، فأنا أسارع إلى تهنئتك: لقد أكملت بنجاح "دورة المقاتل الشاب" في التقدم الحسابي. يمكنك الانتقال بأمان إلى الدرس التالي، حيث سندرس صيغة مجموع التقدم، بالإضافة إلى العواقب المهمة والمفيدة للغاية منه.
كانت المشاكل المتعلقة بالتقدم الحسابي موجودة بالفعل في العصور القديمة. لقد حضروا وطالبوا بالحل لأن لديهم حاجة عملية.
وهكذا فإن إحدى برديات مصر القديمة ذات المحتوى الرياضي، وهي بردية ريند (القرن التاسع عشر قبل الميلاد)، تحتوي على المهمة التالية: تقسيم عشرة أكيال من الخبز على عشرة أشخاص، على أن يكون الفرق بين كل منهم ثمن الخبز. يقيس."
وفي الأعمال الرياضية لليونانيين القدماء هناك نظريات أنيقة تتعلق بالتقدم الحسابي. وهكذا، صاغ هيبسكل الإسكندرية (القرن الثاني، الذي جمع العديد من المسائل المثيرة للاهتمام وأضاف الكتاب الرابع عشر إلى عناصر إقليدس)، الفكرة: "في التقدم الحسابي الذي يحتوي على عدد زوجي من الحدود، مجموع حدود النصف الثاني أكبر من مجموع حدود الأول في المربع 1/2 عدد الأعضاء."
يتم الإشارة إلى التسلسل بواسطة. تسمى أرقام التسلسل أعضائه وعادة ما يتم تحديدها بأحرف ذات مؤشرات تشير إلى الرقم التسلسلي لهذا العضو (a1، a2، a3 ... اقرأ: "a 1st"، "a 2nd"، "a 3rd" وما إلى ذلك وهلم جرا ).
يمكن أن يكون التسلسل لا نهائيًا أو محدودًا.
ما هو التقدم الحسابي؟ ونعني به الذي تم الحصول عليه بإضافة الحد السابق (ن) بنفس الرقم د، وهو فرق التتابع.
إذا د<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0، فإن هذا التقدم يعتبر متزايدا.
يسمى التقدم الحسابي محدودًا إذا تم أخذ حدوده القليلة الأولى في الاعتبار. مع وجود عدد كبير جدًا من الأعضاء، يعد هذا بالفعل تقدمًا لا نهاية له.
يتم تعريف أي تقدم حسابي بالصيغة التالية:
an =kn+b، بينما b وk عبارة عن بعض الأرقام.
العبارة المعاكسة صحيحة تمامًا: إذا تم إعطاء تسلسل بصيغة مماثلة، فهو بالضبط تقدم حسابي له الخصائص:
- كل حد من المتتابعة هو الوسط الحسابي للحد السابق واللاحق.
- العكس: إذا كان كل حد ابتداء من الثاني هو الوسط الحسابي للحد السابق والحد اللاحق، أي. فإذا تحقق الشرط، فإن هذه المتوالية تعتبر متوالية حسابية. هذه المساواة هي أيضا علامة على التقدم، ولهذا السبب يطلق عليها عادة خاصية مميزة للتقدم.
وبنفس الطريقة، فإن النظرية التي تعكس هذه الخاصية صحيحة: فالمتتابعة تكون تقدمًا حسابيًا فقط إذا كانت هذه المساواة صحيحة لأي من حدود المتتابعة، بدءًا من الحد الثاني.
يمكن التعبير عن الخاصية المميزة لأي أربعة أرقام من التقدم الحسابي بالصيغة an + am = ak + al، إذا كانت n + m = k + l (m، n، k هي أرقام متتالية).
في المتوالية الحسابية، يمكن العثور على أي حد ضروري (Nth) باستخدام الصيغة التالية:
على سبيل المثال: الحد الأول (أ1) في المتتابعة الحسابية معطى ويساوي ثلاثة، والفرق (د) يساوي أربعة. أنت بحاجة إلى العثور على الفصل الخامس والأربعين لهذا التقدم. أ45 = 1+4(45-1)=177
تسمح لك الصيغة an = ak + d(n - k) بتحديد الحد n للتقدم الحسابي من خلال أي من حدوده k، بشرط أن يكون معروفًا.
يتم حساب مجموع شروط التقدم الحسابي (بمعنى الحدود n الأولى للتقدم المحدود) على النحو التالي:
القص = (أ1+أن) ن/2.
إذا كان الحد الأول معروفًا أيضًا، فستكون هناك صيغة أخرى ملائمة للحساب:
Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.
يتم حساب مجموع التقدم الحسابي الذي يحتوي على n من الحدود على النحو التالي:
يعتمد اختيار الصيغ للحسابات على ظروف المشكلات والبيانات الأولية.
المتسلسلة الطبيعية لأية أرقام، مثل 1،2،3،...،ن،...، هي أبسط مثال على التقدم الحسابي.
بالإضافة إلى التقدم الحسابي، هناك أيضًا تقدم هندسي له خصائصه وخصائصه.
