La calcolatrice consente di convertire numeri interi e frazionari da un sistema numerico a un altro. La base del sistema numerico non può essere inferiore a 2 e superiore a 36 (dopotutto 10 cifre e 26 lettere latine). La lunghezza dei numeri non deve superare i 30 caratteri. Per inserire numeri frazionari, utilizzare il simbolo. O, . Per convertire un numero da un sistema a un altro, inserisci il numero originale nel primo campo, la base del sistema numerico originale nel secondo e la base del sistema numerico in cui desideri convertire il numero nel terzo campo, quindi fare clic sul pulsante "Ottieni record".

Numero originale scritto in 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -esimo sistema numerico.

Voglio che venga scritto un numero 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -esimo sistema numerico.

Ottieni l'ingresso

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Sistemi numerici

I sistemi numerici si dividono in due tipologie: posizionale E non posizionale. Usiamo il sistema arabo, è posizionale, ma esiste anche il sistema romano: non è posizionale. Nei sistemi posizionali, la posizione di una cifra in un numero determina in modo univoco il valore di quel numero. Questo è facile da capire guardando un numero come esempio.

Esempio 1. Prendiamo il numero 5921 nel sistema numerico decimale. Numeriamo il numero da destra a sinistra partendo da zero:

Il numero 5921 può essere scritto nella seguente forma: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . Il numero 10 è una caratteristica che definisce il sistema numerico. I valori della posizione di un dato numero sono presi come potenze.

Esempio 2. Considera il numero decimale reale 1234.567. Numeriamolo partendo dalla posizione zero del numero dal punto decimale a sinistra e a destra:

Il numero 1234.567 può essere scritto nella seguente forma: 1234.567 = 1000+200+30+4+0,5+0,06+0,007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 + 6·10 -2 +7·10 -3 .

Conversione di numeri da un sistema numerico a un altro

Il modo più semplice per convertire un numero da un sistema numerico a un altro è convertire prima il numero nel sistema numerico decimale, quindi il risultato risultante nel sistema numerico richiesto.

Conversione di numeri da qualsiasi sistema numerico al sistema numerico decimale

Per convertire un numero da qualsiasi sistema numerico in decimale, è sufficiente numerare le sue cifre, iniziando con zero (la cifra a sinistra della virgola decimale) in modo simile agli esempi 1 o 2. Troviamo la somma dei prodotti delle cifre del numero per la base del sistema numerico alla potenza della posizione di questa cifra:

1. Converti il ​​numero 1001101.1101 2 nel sistema numerico decimale.
Soluzione: 10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 - 4 = 16+2+1+0,5+0,25+0,0625 = 19,8125 10
Risposta: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. Converti il ​​numero E8F.2D 16 nel sistema numerico decimale.
Soluzione: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0,125+0,05078125 = 3727,17578125 10
Risposta: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10

Conversione di numeri dal sistema numerico decimale a un altro sistema numerico

Per convertire i numeri dal sistema numerico decimale a un altro sistema numerico, le parti intere e frazionarie del numero devono essere convertite separatamente.

Conversione di una parte intera di un numero da un sistema numerico decimale a un altro sistema numerico

Una parte intera viene convertita da un sistema numerico decimale a un altro sistema numerico dividendo sequenzialmente la parte intera di un numero per la base del sistema numerico finché non si ottiene un resto intero inferiore alla base del sistema numerico. Il risultato della traduzione sarà la registrazione del resto, a partire dall'ultimo.

3. Converti il ​​numero 273 10 nel sistema numerico ottale.
Soluzione: 273/8 = 34 e resto 1. 34/8 = 4 e resto 2. 4 è inferiore a 8, quindi il calcolo è completo. Il record dei saldi sarà simile a questo: 421
Visita medica: 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273, il risultato è lo stesso. Ciò significa che la traduzione è stata eseguita correttamente.
Risposta: 273 10 = 421 8

Consideriamo la traduzione delle frazioni decimali regolari in vari sistemi numerici.

Conversione della parte frazionaria di un numero dal sistema numerico decimale a un altro sistema numerico

Ricordiamo che si chiama frazione decimale propria numero reale con parte intera nulla. Per convertire un tale numero in un sistema numerico con base N, è necessario moltiplicare in sequenza il numero per N finché la parte frazionaria non arriva a zero o non si ottiene il numero di cifre richiesto. Se durante la moltiplicazione si ottiene un numero con una parte intera diversa da zero, la parte intera non viene ulteriormente presa in considerazione, poiché viene inserita in sequenza nel risultato.

4. Converti il ​​numero 0,125 10 nel sistema numerico binario.
Soluzione: 0,125·2 = 0,25 (0 è la parte intera, che diventerà la prima cifra del risultato), 0,25·2 = 0,5 (0 è la seconda cifra del risultato), 0,5·2 = 1,0 (1 è la terza cifra del risultato, e poiché la parte frazionaria è zero, la traduzione è completata).
Risposta: 0.125 10 = 0.001 2

Cos'è un sistema numerico?

Cos'è un sistema numerico? Un sistema numerico è un insieme di tecniche e regole con cui i numeri vengono scritti e letti.

Esistono sistemi numerici posizionali e non posizionali.

Nei sistemi numerici non posizionali, il peso di una cifra (cioè il contributo che dà al valore del numero) non dipende dalla sua posizione nella notazione del numero. Pertanto, nel sistema numerico romano nel numero XXXII (trentadue), il peso del numero X in qualsiasi posizione è semplicemente dieci.

Nei sistemi numerici posizionali, il peso di ciascuna cifra varia a seconda della sua posizione (posizione) nella sequenza di cifre che rappresentano il numero. Ad esempio, nel numero 757,7, i primi sette significano 7 centinaia, il secondo - 7 unità e il terzo - 7 decimi di unità.

La notazione stessa del numero 757.7 significa una notazione abbreviata dell'espressione:

Qualsiasi sistema numerico posizionale è caratterizzato dalla sua base.

La base di un sistema numerico posizionale è il numero di cifre diverse utilizzate per rappresentare i numeri in un dato sistema numerico.

Qualsiasi numero naturale può essere preso come base del sistema: due, tre, quattro, ecc. Di conseguenza, sono possibili infiniti sistemi posizionali: binario, ternario, quaternario, ecc.

Come vengono generati gli interi nei sistemi numerici posizionali?

In ogni sistema numerico, le cifre sono ordinate in base al loro significato: 1 è maggiore di 0, 2 è maggiore di 1, ecc.

Promuovere una cifra significa sostituirla con quella successiva più alta.

Avanzare il numero 1 significa sostituirlo con 2, avanzare il numero 2 significa sostituirlo con 3, ecc. Promuovere una cifra iniziale (ad esempio, il numero 9 nel sistema decimale) significa sostituirla con uno 0. In un sistema binario, che utilizza solo due cifre: 0 e 1, promuovere uno 0 significa sostituirlo con un 1 e promuovere un 1 significa sostituirlo con uno 0.

Per formare il numero intero che segue un dato numero intero, è necessario avanzare la cifra più a destra del numero; se una cifra diventa zero dopo la promozione, è necessario promuovere la cifra alla sua sinistra.

Applicando questa regola, scriviamo i primi dieci numeri interi

· nel sistema binario: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;

· nel sistema ternario: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;

· nel quintuplo sistema: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;

· nel sistema ottale: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

Oltre al decimale, sono molto diffusi i sistemi con base che è una potenza intera di 2, ovvero:

Sistema binario	Sistema quaternario	Sistema ottale	Sistema decimale	Sistema esadecimale
1	1	1	1	1
10	2	2	2	2
11	3	3	3	3
100	10	4	4	4
101	11	5	5	5
110	12	6	6	6
111	13	7	7	7
1000	20	10	8	8
1001	21	11	9	9
1010	22	12	10	UN
1011	23	13	11	B
1100	30	14	12	C
1101	31	15	13	D
1110	32	16	14	E
1111	33	17	15	F
10000	40	20	16	10

Perché le persone usano il sistema decimale e i computer usano il sistema binario?

Le persone preferiscono il sistema decimale probabilmente perché fin dai tempi antichi contavano sulle dita e le persone hanno dieci dita delle mani e dei piedi. Le persone non sempre e non ovunque utilizzano il sistema di numerazione decimale. In Cina, ad esempio, per molto tempo è stato utilizzato il sistema numerico a cinque cifre.

E i computer utilizzano il sistema binario perché presenta numerosi vantaggi rispetto ad altri sistemi:

· per realizzarlo occorrono dispositivi tecnici con due stati stabili (c'è corrente - nessuna corrente, magnetizzato - non magnetizzato, ecc.), e non, ad esempio, con dieci, come nel decimale;

· la presentazione delle informazioni attraverso solo due stati è affidabile e resistente al rumore;

· è possibile utilizzare l'apparato dell'algebra booleana per effettuare trasformazioni logiche dell'informazione;

· L'aritmetica binaria è molto più semplice dell'aritmetica decimale.

Lo svantaggio del sistema binario è il rapido aumento del numero di cifre necessarie per registrare i numeri.

Perché i computer utilizzano anche i sistemi numerici ottali ed esadecimali?

Il sistema binario, conveniente per i computer, è scomodo per gli esseri umani a causa del suo ingombro e della sua notazione insolita.

La conversione dei numeri da decimale a binario e viceversa viene eseguita da una macchina. Tuttavia, per utilizzare un computer in modo professionale, è necessario imparare a comprendere la parola macchina. Questo è il motivo per cui sono stati sviluppati i sistemi ottale ed esadecimale.

I numeri in questi sistemi vengono letti quasi con la stessa facilità di quelli decimali e richiedono, rispettivamente, tre (ottale) e quattro (esadecimali) volte meno cifre rispetto al sistema binario (dopo tutto, i numeri 8 e 16 sono, rispettivamente, il terzo); e quarte potenze del numero 2) .

Conversione di numeri da un sistema numerico a un altro

Il numero p delle diverse cifre utilizzate nel sistema posizionale determina il nome del sistema numerico ed è chiamato base del sistema numerico - "p". Qualsiasi numero N nel sistema numerico posizionale con base p può essere rappresentato come un polinomio in base p:

N = a n p n +a n-1 p n-1 + ... +a 1 p+a 0 +a -1 p -1 +a -2 p -2 + ... (1.1)

dove N è un numero, a j sono coefficienti (cifre di un numero), p è la base del sistema numerico (p>1). È consuetudine rappresentare i numeri come una sequenza di cifre:

N = un n un n -1 ... un 1 un 0 . un -1 un -2 ...

La conversione dei numeri nel sistema decimale si effettua compilando una serie di potenze con la base del sistema (vedi formula 1.1) da cui si converte il numero. Viene quindi calcolato il valore della somma.

La conversione dei numeri decimali interi in un sistema numerico non decimale viene effettuata dividendo sequenzialmente il numero decimale per la base del sistema in cui viene convertito fino ad ottenere il quoziente di questa base. Il numero nel nuovo sistema si scrive come resto della divisione, a partire dall'ultimo.

Esempio: convertiamo il numero 75 da decimale a binario, ottale ed esadecimale:

Risposta: 75 10 = 1 001 011 2 = 113 8 = 4B 16.

Conversione delle frazioni proprie dal sistema numerico decimale al sistema numerico non decimale. Per convertire una frazione decimale regolare in un altro sistema, questa frazione deve essere moltiplicata in sequenza per la base del sistema in cui viene convertita. In questo caso vengono moltiplicate solo le parti frazionarie. Le frazioni nel nuovo sistema sono scritte sotto forma di parti intere di prodotti, a partire dalla prima.

Esempio. Convertiamo il numero 0,36 dal sistema decimale a binario, ottale ed esadecimale:

Per convertire una frazione decimale irregolare in un sistema numerico con base non decimale, è necessario convertire separatamente l'intera parte e la parte frazionaria. Traduci 23.125 10 2 s.s.

I sistemi numerici sono detti multipli se vale la seguente relazione: S = R N , dove S, R sono le basi dei sistemi numerici, N è il grado di molteplicità (intero: 2, 3 ...).

Per convertire un numero dal sistema numerico R al suo sistema numerico multiplo S, procedere come segue: spostandosi dal punto a sinistra e a destra, dividono il numero in gruppi di N cifre, integrando i gruppi più a sinistra e a destra con zeri, se necessario. Il gruppo viene quindi sostituito dalla cifra corrispondente del sistema numerico S.

Traduci 1101111001.1101 2 "8" s.s.	Tradurre 11111111011.100111 2"16" s.c.

Per convertire un numero dal sistema numerico S al suo sistema numerico multiplo R, è sufficiente sostituire ciascuna cifra di questo numero con il numero corrispondente del sistema numerico R, mentre gli zeri insignificanti in alto (00512) e in basso (15.124000) le cifre vengono scartate.

Traduci 305.4 8 "2" s.s.	Tradurre 7B2.E 16 "2" s.s.

Se devi convertire da un sistema numerico S a R, a condizione che non siano multipli, allora devi provare a scegliere un sistema numerico K tale che: S = K N e R = K N .

Traduci 175.24 8 "16" s.s.

Risultato: 175,24 8 = 7D.5 16.

Se non è possibile trovare il sistema numerico K, la traduzione dovrebbe essere eseguita utilizzando il sistema numerico decimale come intermedio.

Esempi per tutto questo

Convertire i numeri ottali ed esadecimali nel sistema binario è molto semplice: basta sostituire ogni cifra con la sua triade binaria equivalente (tre cifre) o tetrade (quattro cifre).

Per esempio:

Per convertire un numero da binario a ottale o esadecimale, è necessario suddividerlo a sinistra e a destra della virgola decimale in triadi (per ottale) o tetradi (per esadecimale) e sostituire ciascuno di questi gruppi con la corrispondente cifra ottale (esadecimale) . Per esempio:

Addizione in vari sistemi numerici

Le tabelle di addizione sono facili da creare utilizzando la regola di conteggio.

Sottrazione in vari sistemi numerici

Moltiplicazione in diversi sistemi numerici

Quando si moltiplicano numeri a più cifre in diversi sistemi di numeri posizionali, è possibile utilizzare il solito algoritmo per moltiplicare i numeri in una colonna, ma i risultati della moltiplicazione e dell'addizione di numeri a una cifra devono essere presi in prestito dalle tabelle di moltiplicazione e addizione corrispondenti al sistema in domanda.

Divisione in diversi sistemi numerici

La divisione in qualsiasi sistema numerico posizionale viene eseguita secondo le stesse regole della divisione per angolo nel sistema decimale. Nel sistema binario la divisione è particolarmente semplice perché la cifra successiva del quoziente può essere solo zero o uno.

Moltiplicare per la base del nuovo sistema numerico finché la nuova frazione non contiene il numero di cifre richiesto, che è determinato dalla precisione di rappresentazione richiesta della frazione. Una frazione propria nel nuovo sistema numerico viene scritta da parti intere di prodotti risultanti dalla moltiplicazione sequenziale e la prima parte intera sarà la cifra più alta della nuova frazione. Facciamo un esempio...

Le rappresentazioni in essi contenute sono numeri piuttosto grandi, poiché ciò comporta una registrazione dei numeri estremamente complicata o richiede l'utilizzo di un alfabeto di numeri molto grande. I computer utilizzano solo sistemi numerici posizionali, in cui l'equivalente quantitativo di ciascuna cifra dell'alfabeto dipende non solo dal tipo di questa cifra, ma anche dalla sua posizione nella notazione del numero. Sistemi numerici posizionali...

Sequenze 0 e 1. Ad esempio, un numero intero non negativo A2=T 111100002 verrà memorizzato in una cella come segue: 1 1 1 1 0 0 0 0 Ciò significa che possiamo scrivere tutti i numeri da 0 a 255 in formato binario sistema numerico in 1 cella di memoria. 2.2 Rappresentazione dei numeri in un computer I numeri interi in un computer sono memorizzati nelle celle di memoria, in questo caso ogni cifra di una cella di memoria corrisponde a...

| § 1.1. Sistemi numerici

Lezioni 2 - 5
§ 1.1. Sistemi numerici

Parole chiave:

Notazione
numero
alfabeto
sistema numerico posizionale
base
forma estesa di scrittura di un numero
forma compressa di scrivere un numero
sistema di numeri binari
sistema di numerazione ottale
sistema numerico esadecimale

1.1.1. Informazioni generali sui sistemi numerici

Un sistema numerico è un sistema di segni in cui vengono adottate determinate regole per scrivere i numeri.. Vengono chiamati i segni con cui vengono scritti i numeri (Fig. 1.1). in numeri, e la loro totalità è alfabeto del sistema numerico.

Riso. 1.1. Segni utilizzati per scrivere numeri in vari sistemi numerici

In qualsiasi sistema numerico, le cifre vengono utilizzate per designare numeri chiamati numeri di nodo; i restanti numeri (algoritmici) si ottengono come risultato di alcune operazioni dai numeri dei nodi.

Esempio 1. Presso i babilonesi i numeri chiave erano 1, 10, 60; nel sistema numerico romano, i numeri chiave sono 1, 5, 10, 50, 100, 500 e 1000, indicati rispettivamente con I, V, X, L, C, D, M.

I sistemi numerici differiscono nella scelta dei numeri nodali e nei metodi di generazione dei numeri algoritmici. Si possono distinguere i seguenti tipi di sistemi numerici:

1) sistema unario;
2) sistemi non posizionali;
3) sistemi posizionali.

Il sistema più semplice e antico è il cosiddetto sistema numerico unario. Per scrivere qualsiasi numero utilizza un solo simbolo: un bastoncino, un nodo, una tacca, un ciottolo. La lunghezza di un numero in questa codifica è direttamente correlata al suo valore, il che rende questo metodo simile alla rappresentazione geometrica dei numeri sotto forma di segmenti. È il sistema unario che sta alla base dell'aritmetica, ed è questo sistema che introduce ancora gli alunni della prima elementare nel mondo del conteggio. Il sistema unario è anche chiamato sistema di tag.

Un sistema numerico è detto non posizionale se l'equivalente quantitativo (valore quantitativo) di una cifra in un numero non dipende dalla sua posizione nella notazione del numero.

Nella maggior parte dei sistemi numerici non posizionali, i numeri vengono formati sommando i numeri dei nodi.

Esempio 2. IN antico egiziano Nel sistema numerico, i numeri 1, 2, 3, 4, 10, 13, 40 erano designati rispettivamente come segue:

Gli stessi numeri dentro romano Il sistema numerico è designato come segue: I, II, III, IV, X, XIII, XL. Qui i numeri algoritmici si ottengono sommando e sottraendo i numeri chiave, tenendo conto della seguente regola: ogni segno più piccolo posto a destra di quello più grande viene sommato al suo valore, e ogni segno più piccolo posto a sinistra di quello più grande viene sottratto da esso.

Un sistema numerico è detto posizionale se l'equivalente quantitativo di una cifra dipende dalla sua posizione (posizione) nella notazione del numero. La base di un sistema numerico posizionale è uguale al numero di cifre che compongono il suo alfabeto.

Sistema di numerazione decimale, che siamo abituati a usare nella vita di tutti i giorni, che ci è familiare fin dall'infanzia, in cui eseguiamo tutti i nostri calcoli - esempio di un sistema numerico posizionale. L'alfabeto del sistema decimale è costituito dai numeri O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. I numeri algoritmici si formano in esso come segue: i valori dei numeri vengono moltiplicati per “pesi” delle cifre corrispondenti e tutti i valori risultanti vengono sommati. Questo può essere visto chiaramente nei numeri della lingua russa, ad esempio: " trecentocinquediecisette».

La base del sistema numerico posizionale può essere qualsiasi numero naturale q > 1. L'alfabeto di un sistema numerico posizionale arbitrario con base q è costituito dai numeri O, 1, ..., q-1, ciascuno dei quali può essere scritto utilizzando un simbolo univoco; La cifra più bassa è sempre O.

I principali vantaggi di qualsiasi sistema numerico posizionale sono la facilità di eseguire operazioni aritmetiche e il numero limitato di simboli richiesti per scrivere qualsiasi numero.

Qui:

Un numero;




q i - "peso" della i-esima cifra.

Scrivere un numero utilizzando la formula (1) è chiamato forma di scrittura espansa. La forma compressa di scrittura di un numero è la sua rappresentazione nel modulo 1

Esempio 3. Consideriamo il numero decimale 14351.1. La sua forma ridotta di notazione è così familiare che non notiamo come nella nostra mente passiamo a una notazione estesa, moltiplicando le cifre del numero per i “pesi” delle cifre e sommando i prodotti risultanti:

1.1.2. Sistema di numeri binari

Il sistema numerico binario è un sistema numerico posizionale con base 2. Per scrivere numeri nel sistema numerico binario, vengono utilizzate solo due cifre: 0 e 1.

Basandoci sulla formula (1) per i numeri interi binari possiamo scrivere:

Per esempio:

Questa forma di scrittura “suggerisce” la regola per convertire i numeri binari naturali nel sistema di numerazione decimale: è necessario calcolare la somma delle potenze di due corrispondenti alle unità nella forma compressa di scrittura di un numero binario.

Otteniamo la regola per convertire i numeri decimali interi nel sistema numerico binario dalla formula (1").

Dividi per 2. Il quoziente sarà uguale a e il resto sarà uguale a 0 .

Dividiamo nuovamente il quoziente risultante per 2, il resto della divisione sarà uguale a 1.

Se continuiamo questo processo di divisione, al passo n-m otteniamo una serie di numeri:

che sono inclusi nella rappresentazione binaria del numero originale e coincidono con i resti quando viene diviso in sequenza per 2.

Pertanto, per convertire un numero decimale intero nel sistema numerico binario, è necessario dividere in sequenza il numero specificato e i quozienti interi risultanti per 2 finché non si ottiene un quoziente uguale a zero. Il numero originale nel sistema numerico binario viene compilato registrando in sequenza i resti risultanti, a partire dall'ultimo.

Esempio 4. Convertiamo il numero decimale 11 nel sistema numerico binario. La sequenza di azioni discussa sopra (algoritmo di traduzione) può essere rappresentata come segue:

Scrivendo i resti della divisione nella direzione indicata dalla freccia, otteniamo: 11 10 = 1011 2.

Esempio 5. Se il numero decimale è sufficientemente grande, è più conveniente scrivere l'algoritmo discusso sopra nel modo seguente:

363 10 = 101101011 2

1.1.3. Sistema di numerazione ottale

Il sistema numerico ottale è un sistema numerico posizionale con base 8. Per scrivere i numeri nel sistema numerico ottale, vengono utilizzati i seguenti numeri: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Basandoci sulla formula (1) per un numero intero ottale possiamo scrivere:

Per esempio: 1063 8 = 1 8 3 + 0 8 2 + 6 8 1 + 3 8 0 = 563 10 .

Pertanto, per convertire un numero ottale intero nel sistema numerico decimale, dovresti andare alla sua forma estesa e calcolare il valore dell'espressione risultante.

Per convertire un numero decimale intero nel sistema numerico ottale, è necessario dividere in sequenza il numero dato e i quozienti interi risultanti per 8 finché non si ottiene un quoziente uguale a zero. Il numero originale nel nuovo sistema di numerazione viene compilato registrando in sequenza i saldi risultanti, a partire dall'ultimo.

Esempio 6. Convertiamo il numero decimale 103 nel sistema numerico ottale.

103 10 = 147 8

1.1.4. Sistema numerico esadecimale

Base: q = 16.

Alfabeto: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Qui, solo dieci delle sedici cifre hanno la designazione generalmente accettata 0,..., 9. Per scrivere numeri con equivalenti quantitativi decimali 10, 11, 12, 13, 14, 15, le prime cinque lettere dell'alfabeto latino sono solitamente usato.

Quindi l'ingresso 3AF 16 significa:

Esempio 7. Convertiamo il numero decimale 154 nel sistema numerico esadecimale.

154 10 = 9A16

1.1.5. La regola per convertire i numeri decimali interi nel sistema numerico con base q

Per convertire un numero decimale intero in un sistema numerico in base g:

1) dividere in sequenza il numero dato ed i quozienti interi risultanti per la base del nuovo sistema numerico fino ad ottenere un quoziente pari a zero;
2) allineare i saldi risultanti, che sono cifre di un numero nel nuovo sistema numerico, all'alfabeto del nuovo sistema numerico;
3) comporre un numero nel nuovo sistema numerico, trascrivendolo a partire dall'ultimo resto ricevuto.

Presentiamo una tabella di corrispondenza tra numeri decimali, binari, ottali ed esadecimali da O a 20 10.

La Collezione unificata di risorse educative digitali (http://sc.edu.ru/) contiene un'animazione interattiva “Conversione di un numero decimale in un altro sistema numerico” (135050). Con il suo aiuto, puoi osservare la traduzione di un numero intero arbitrario da 0 a 512 in un sistema numerico posizionale, la cui base non supera 16.

Nel laboratorio virtuale "Bilancia digitale" (135009) situato lì, puoi imparare un altro modo per convertire i numeri decimali interi in altri sistemi numerici: il metodo delle differenze.

1.1.6. Aritmetica binaria

L'aritmetica del sistema numerico binario si basa sull'uso delle seguenti tabelle di addizione e moltiplicazione:

Esempio 8. La tabella di addizione binaria è estremamente semplice. Poiché 1 + 1 = 10, lo 0 rimane nella cifra meno significativa e l'1 viene trasferito nella cifra più significativa.

Esempio 9. L'operazione di moltiplicazione dei numeri binari viene eseguita secondo il consueto schema utilizzato nel sistema numerico decimale, con moltiplicazione sequenziale del moltiplicatore per la cifra successiva del moltiplicatore.

Pertanto, nel sistema numerico binario, la moltiplicazione si riduce allo spostamento del moltiplicando e all'addizione.

1.1.7. Sistemi di numerazione "informatici".

La tecnologia informatica utilizza il sistema numerico binario, che offre numerosi vantaggi rispetto ad altri sistemi numerici:

I numeri binari vengono rappresentati in un computer utilizzando elementi tecnici abbastanza semplici con due stati stabili;
la presentazione delle informazioni attraverso solo due stati è affidabile e resistente al rumore;
l'aritmetica binaria è la più semplice;
Esiste un apparato matematico che fornisce trasformazioni logiche di dati binari.

Lo scambio di informazioni tra dispositivi informatici viene effettuato trasmettendo codici binari. È scomodo per una persona utilizzare tali codici a causa della loro grande lunghezza e uniformità visiva. Pertanto, gli specialisti (programmatori, ingegneri) in alcune fasi di sviluppo, creazione e configurazione dei sistemi informatici sostituiscono i codici binari con valori equivalenti nei sistemi numerici ottali o esadecimali. Di conseguenza, la lunghezza della parola originale viene ridotta rispettivamente di tre e quattro volte. Ciò rende le informazioni più convenienti per la revisione e l'analisi.

Utilizzando la risorsa "Libro dei problemi interattivi, sezione "Sistemi numerici"" (128659), situata nella Raccolta unificata di risorse educative digitali, puoi verificare quanto hai padroneggiato il materiale studiato in questa sezione.

IL PIÙ IMPORTANTE

Un sistema numerico è un sistema di segni in cui vengono adottate determinate regole per scrivere i numeri. I segni con cui vengono scritti i numeri sono chiamati cifre e la loro combinazione è chiamata alfabeto del sistema numerico.

Un sistema numerico è detto posizionale se l'equivalente quantitativo di una cifra dipende dalla sua posizione (posizione) nella notazione del numero. La base di un sistema numerico posizionale è uguale al numero di cifre che compongono il suo alfabeto.

La base del sistema numerico posizionale può essere qualsiasi numero naturale q > 1.

In un sistema numerico posizionale con base q, qualsiasi numero può essere rappresentato come:

Qui:

Un numero;
q - base del sistema numerico;
a i - numeri appartenenti all'alfabeto di un dato sistema numerico;
n - numero di cifre intere;
m - numero di cifre frazionarie del numero;
q i - "peso" della i-esima cifra.

Domande e compiti

1. Leggi il materiale di presentazione per il paragrafo contenuto nell'appendice elettronica al libro di testo. Cosa puoi dire sulle forme di presentazione delle informazioni nella presentazione e nel libro di testo? Quali diapositive potresti aggiungere alla tua presentazione?

2. Trova ulteriori informazioni sui sistemi numerici unari, posizionali e non posizionali. Come sono differenti? Dare esempi.

3. I numeri di cui i sistemi numerici sono mostrati in Fig. 1.1?

4. Spiegare perché i sistemi numerici posizionali con basi 5, 10, 12 e 20 sono chiamati sistemi numerici anatomici.

5. Come passare dalla forma compressa di scrittura di un numero decimale alla sua forma espansa?

6. Annotare i numeri in forma estesa:

a) 143.511 10;
b) 1435118;
c) 143511 16;
d) 1435.11 8

7. Calcola gli equivalenti decimali dei seguenti numeri:

a) 172 8;
b) 2EA 16;
c) 1010102;
d) 10.12;
e) 243 6.

8. Indicare quale tra i numeri 110011 2, 111 4, 35 8 e 1B 16 è:

a) il più grande;
b) il più piccolo.

9. Quale base minima ha il sistema numerico se in esso sono scritti i numeri 123, 222, 111, 241? Determina l'equivalente decimale di questi numeri nel sistema numerico trovato.

10. Le seguenti uguaglianze sono vere?

a) 33 4 = 21 7;
b) 33 8 = 21 4.

11. Trova la base x del sistema numerico se:

a) 14 x = 9 10;
b) 2002x. = 130 10 .

12. Converti numeri interi da decimale a binario:

a) 89;
b) 600;
c) 2010.

13. Converti numeri interi da decimale a ottale:

a) 513;
b) 600;
c) 2010.

14. Converti numeri interi da decimale a esadecimale:

a) 513;
b) 600;
c) 2010.

15. Compila la tabella, in ciascuna riga della quale deve essere scritto lo stesso numero in sistemi numerici con basi 2, 8, 10 e 16.

Sistema numerico romanoè un sistema non posizionale. Utilizza le lettere dell'alfabeto latino per scrivere i numeri. In questo caso la lettera I significa sempre uno, la lettera V significa cinque, X significa dieci, L significa cinquanta, C significa cento, D significa cinquecento, M significa mille, ecc. Ad esempio, il numero 264 è scritto come CCLXIV. Quando si scrivono numeri nel sistema numerico romano, il valore di un numero è la somma algebrica delle cifre in esso incluse. In questo caso, le cifre nel record numerico sono, di regola, in ordine decrescente rispetto ai loro valori e non è consentito scrivere più di tre cifre identiche una accanto all'altra. Quando una cifra con un valore maggiore è seguita da una cifra con un valore minore, il suo contributo al valore del numero nel suo insieme è negativo. Nella tabella sono riportati esempi tipici che illustrano le regole generali per scrivere i numeri nel sistema numerico romano.

Tabella 2. Scrittura dei numeri nel sistema numerico romano

Lo svantaggio del sistema romano è la mancanza di regole formali per la scrittura dei numeri e, di conseguenza, delle operazioni aritmetiche con numeri a più cifre. A causa dell'inconveniente e della grande complessità, il sistema numerico romano viene attualmente utilizzato dove è veramente conveniente: in letteratura (numerazione dei capitoli), nella progettazione di documenti (serie di passaporti, titoli, ecc.), per scopi decorativi sul quadrante di un orologio e in una serie di altri casi.

Sistema di numerazione decimale- attualmente il più famoso e utilizzato. L'invenzione del sistema numerico decimale è una delle principali conquiste del pensiero umano. Senza di essa, la tecnologia moderna difficilmente potrebbe esistere, tanto meno sorgere. La ragione per cui il sistema dei numeri decimali venne generalmente accettato non è affatto matematica. Le persone sono abituate a contare nel sistema decimale perché hanno 10 dita sulle mani.

L'antica immagine delle cifre decimali (Fig. 1) non è casuale: ogni cifra rappresenta un numero in base al numero di angoli in essa contenuti. Ad esempio, 0 - nessun angolo, 1 - un angolo, 2 - due angoli, ecc. La scrittura dei numeri decimali ha subito cambiamenti significativi. La forma che utilizziamo è stata stabilita nel XVI secolo.

Il sistema decimale apparve per la prima volta in India intorno al VI secolo d.C. La numerazione indiana utilizzava nove caratteri numerici e uno zero per indicare una posizione vuota. Nei primi manoscritti indiani giunti fino a noi, i numeri erano scritti in ordine inverso: il numero più significativo era posto a destra. Ma presto divenne una regola posizionare un numero del genere sul lato sinistro. Particolare importanza è stata attribuita al simbolo zero, introdotto per il sistema di notazione posizionale. La numerazione indiana, incluso lo zero, è sopravvissuta fino ad oggi. In Europa, i metodi indù di aritmetica decimale si diffusero all'inizio del XIII secolo. grazie al lavoro del matematico italiano Leonardo da Pisa (Fibonacci). Gli europei presero in prestito il sistema numerico indiano dagli arabi, chiamandolo arabo. Questo termine improprio storico continua ancora oggi.

Il sistema decimale utilizza dieci cifre (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9) nonché i simboli "+" e "-" per indicare il segno di un numero e un virgola o punto per separare la parte intera da quella decimale.

Utilizzato nei computer sistema di numeri binari, la sua base è il numero 2. Per scrivere i numeri in questo sistema, vengono utilizzate solo due cifre: 0 e 1. Contrariamente all'idea sbagliata popolare, il sistema numerico binario è stato inventato non da ingegneri progettisti di computer, ma da matematici e filosofi molto prima del avvento dei computer, nel XVII secolo XIX. La prima discussione pubblicata sul sistema numerico binario è del prete spagnolo Juan Caramuel Lobkowitz (1670). L'attenzione generale su questo sistema fu attirata da un articolo del matematico tedesco Gottfried Wilhelm Leibniz, pubblicato nel 1703. Spiegava le operazioni binarie di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Leibniz non consigliò l'uso di questo sistema per i calcoli pratici, ma ne sottolineò l'importanza per la ricerca teorica. Nel corso del tempo, il sistema di numeri binari diventa noto e si sviluppa.

La scelta di un sistema binario per l'utilizzo nell'informatica si spiega con il fatto che gli elementi elettronici - i trigger che compongono i chip del computer - possono trovarsi solo in due stati operativi.

Utilizzando il sistema di codifica binaria, è possibile registrare qualsiasi dato e conoscenza. Questo è facile da capire se ricordiamo il principio di codifica e trasmissione di informazioni utilizzando il codice Morse. Un operatore telegrafico, utilizzando solo due simboli di questo alfabeto: punti e trattini, può trasmettere quasi tutti i testi.

Il sistema binario è comodo per un computer, ma scomodo per una persona: i numeri sono lunghi e difficili da scrivere e ricordare. Naturalmente, puoi convertire il numero nel sistema decimale e scriverlo in questa forma, quindi, quando è necessario, riconvertirlo, ma tutte queste traduzioni richiedono molto lavoro. Pertanto, vengono utilizzati sistemi numerici relativi al binario: ottale ed esadecimale. Per scrivere numeri in questi sistemi sono necessarie rispettivamente 8 e 16 cifre. In 16-terase, le prime 10 cifre sono comuni, quindi vengono utilizzate le lettere latine maiuscole. La cifra esadecimale A corrisponde al numero decimale 10, l'esadecimale B al numero decimale 11, ecc. L'uso di questi sistemi è spiegato dal fatto che il passaggio alla scrittura di un numero in uno qualsiasi di questi sistemi dalla sua notazione binaria è molto semplice. Di seguito è riportata una tabella di corrispondenza tra numeri scritti in diversi sistemi.

Tabella 3. Corrispondenza di numeri scritti in diversi sistemi numerici

Decimale	Binario	Ottale	Esadecimale

Rappresentare i numeri utilizzando simboli scritti.

Notazione:

• dà rappresentazioni di un insieme di numeri (interi e/o reali);
• dà a ogni numero una rappresentazione unica (o almeno una rappresentazione standard);
• riflette la struttura algebrica e aritmetica dei numeri.

I sistemi numerici sono suddivisi in posizionale, non posizionale E misto.

Sistemi di numerazione posizionale

Nei sistemi numerici posizionali, lo stesso segno numerico (cifra) nella notazione di un numero ha significati diversi a seconda del luogo (cifra) in cui si trova. L'invenzione della numerazione posizionale, basata sul significato posizionale delle cifre, è attribuita ai Sumeri e ai Babilonesi; Tale numerazione è stata sviluppata dagli indù e ha avuto conseguenze inestimabili nella storia della civiltà umana. Tali sistemi includono il moderno sistema numerico decimale, la cui comparsa è associata al conteggio sulle dita. Apparve nell'Europa medievale attraverso i mercanti italiani, che a loro volta lo presero in prestito dai musulmani.

Il sistema numerico posizionale di solito si riferisce al sistema numerico -rich, che è determinato da un numero intero chiamato base sistemi numerici. Un intero senza segno nel sistema numerico -ary è rappresentato come una combinazione lineare finita di potenze di un numero:

, dove vengono chiamati gli interi in numeri, soddisfacendo la disuguaglianza.

Ogni grado in tale notazione è chiamato peso del rango. L'anzianità delle cifre e delle cifre corrispondenti è determinata dal valore dell'indicatore (numero della cifra). In genere, nei numeri diversi da zero, gli zeri a sinistra vengono omessi.

Se non ci sono discrepanze (ad esempio, quando tutti i numeri sono presentati sotto forma di caratteri scritti univoci), il numero viene scritto come una sequenza delle sue cifre alfanumeriche, elencate in ordine decrescente di precedenza delle cifre da sinistra a destra:

Ad esempio, numero Centotre rappresentato nel sistema decimale come:

I sistemi posizionali più utilizzati attualmente sono:

Nei sistemi posizionali, quanto più grande è la base del sistema, tanto meno cifre (cioè le cifre da scrivere) sono necessarie per scrivere un numero.

Sistemi di numerazione misti

Sistema di numerazione mistoè una generalizzazione del sistema numerico ricco e spesso si riferisce anche a sistemi numerici posizionali. La base del sistema numerico misto è una sequenza crescente di numeri e ogni numero in esso contenuto è rappresentato come una combinazione lineare:

, dove i coefficienti vengono chiamati come prima in numeri, si applicano alcune restrizioni.

Scrivere un numero in un sistema numerico misto significa elencare le sue cifre in ordine di indice decrescente, iniziando dalla prima diversa da zero.

A seconda del tipo in funzione di, i sistemi numerici misti possono essere di potenza, esponenziali, ecc. Quando per alcuni, il sistema numerico misto coincide con il sistema numerico ricco di esponenziale.

L'esempio più famoso di sistema numerico misto è la rappresentazione del tempo come numero di giorni, ore, minuti e secondi. In questo caso il valore di “giorni, ore, minuti, secondi” corrisponde al valore dei secondi.

Sistema di numeri fattoriali

IN sistema di numeri fattoriali le basi sono una sequenza di fattoriali e ogni numero naturale è rappresentato come:

, Dove .

Il sistema dei numeri fattoriali viene utilizzato quando decodifica delle permutazioni mediante elenchi di inversioni: avendo il numero della permutazione, puoi riprodurlo come segue: un numero che è uno in meno del numero (la numerazione inizia da zero) si scrive nel sistema di numerazione fattoriale, e il coefficiente del numero i! indicherà il numero di inversioni per l'elemento i+1 nell'insieme in cui vengono effettuate le permutazioni (il numero di elementi inferiori a i+1, ma situati alla sua destra nella permutazione desiderata)

Esempio: considera un insieme di permutazioni di 5 elementi, sono 5 in totale! = 120 (dalla permutazione numero 0 - (1,2,3,4,5) alla permutazione numero 119 - (5,4,3,2,1)), troviamo la 101a permutazione: 100 = 4!* 4 + 3!*0 + 2!*2 + 1!*0 = 96 + 4; sia ti il ​​coefficiente del numero i!, quindi t4 = 4, t3 = 0, t2 = 2, t1 = 0, quindi: il numero di elementi inferiori a 5, ma posizionati a destra è 4; il numero di elementi inferiori a 4, ma posizionati a destra è 0; il numero di elementi inferiori a 3, ma posizionati a destra è 2; il numero di elementi inferiori a 2, ma situati a destra è 0 (l'ultimo elemento della permutazione viene "messo" nell'unico posto rimanente) - quindi, la 101a permutazione sarà simile a: (5,3,1,2 ,4) La verifica di questo metodo può essere effettuata contando direttamente le inversioni per ciascun elemento della permutazione.

Sistema numerico di Fibonacci basato sui numeri di Fibonacci. Ogni numero naturale è rappresentato nella forma:

, dove sono i numeri di Fibonacci, e i coefficienti hanno un numero finito di unità e non ce ne sono due di seguito.

Sistemi numerici non posizionali

Nei sistemi numerici non posizionali, il valore denotato da una cifra non dipende dalla sua posizione nel numero. In questo caso il sistema può imporre restrizioni sulla posizione dei numeri, ad esempio in modo che siano disposti in ordine decrescente.

Sistema numerico binomiale

Rappresentazione mediante coefficienti binomiali

, Dove .

Sistema di classi residue (RSS)

La rappresentazione del numero nel sistema delle classi dei residui si basa sul concetto di residuo e sul teorema cinese dei resti. L'RNS è determinato da un insieme di numeri primi relativamente primi moduli con il prodotto in modo tale che ogni intero del segmento sia associato a un insieme di residui, dove

…

Allo stesso tempo, il teorema cinese dei resti garantisce l'unicità della rappresentazione dei numeri dell'intervallo.

In RNS, le operazioni aritmetiche (addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione) vengono eseguite per componenti se è noto che il risultato è un numero intero e si trova anche in .

Gli svantaggi di RNS sono la capacità di rappresentare solo un numero limitato di numeri, nonché la mancanza di algoritmi efficaci per confrontare i numeri rappresentati in RNS. Il confronto viene solitamente effettuato attraverso la traduzione di argomenti da RNS a un sistema di numeri radix misti.

Sistema numerico Stern-Brocot- un modo per scrivere numeri razionali positivi, basato sull'albero di Stern–Brocot.

Sistemi numerici di diverse nazioni

Sistema di numerazione delle unità

Apparentemente, cronologicamente il primo sistema numerico di ogni nazione che padroneggiava il conteggio. Un numero naturale si rappresenta ripetendo lo stesso segno (trattino o punto). Ad esempio, per rappresentare il numero 26, devi disegnare 26 linee (o fare 26 tacche su un osso, una pietra, ecc.). Successivamente, per comodità nella percezione dei grandi numeri, questi segni vengono raggruppati in gruppi di tre o cinque. Quindi gruppi di segni di uguale volume iniziano a essere sostituiti da qualche nuovo segno: è così che nascono i prototipi dei numeri futuri.

Sistema numerico dell'antico Egitto

Sistema numerico babilonese

Sistemi di numerazione alfabetica

I sistemi numerici alfabetici erano usati dagli antichi armeni, georgiani, greci (sistema numerico ionico), arabi (abjadia), ebrei (vedi gematria) e altri popoli del Medio Oriente. Nei libri liturgici slavi, il sistema alfabetico greco era tradotto in lettere cirilliche.

Sistema numerico ebraico

Sistema numerico greco

Sistema numerico romano

L'esempio canonico di un sistema numerico quasi non posizionale è quello romano, che utilizza le lettere latine come numeri:
Io sta per 1,
V-5,
X-10,
L-50,
C-100,
D-500,
M-1000

Ad esempio, II = 1 + 1 = 2
qui il simbolo I sta per 1 indipendentemente dalla sua posizione nel numero.

In effetti, il sistema romano non è del tutto aposizionale, poiché ad esso viene sottratta la cifra più piccola che precede quella più grande, ad esempio:

IV = 4, mentre:
VI = 6

Sistema numerico Maya

Guarda anche

Appunti

Collegamenti

• Gashkov S.B. Sistemi numerici e loro applicazioni. - M.: MTsNMO, 2004. - (Biblioteca “Educazione Matematica”).
• Fomin S.V. Sistemi numerici. - M.: Nauka, 1987. - 48 p. - (Lezioni divulgative di matematica).
• Yaglom I. Sistemi numerici // Quantistico. - 1970. - N. 6. - P. 2-10.
• Numeri e sistemi numerici. Enciclopedia online nel mondo.
• Stakhov A. Il ruolo dei sistemi numerici nella storia dei computer.
• Sistemi numerici di Mikushin A.V. Corso di lezioni "Dispositivi digitali e microprocessori"
• Butler J. T., Sasao T. Sistemi numerici ridondanti a valori multipli L'articolo discute i sistemi numerici che utilizzano cifre maggiori di uno e consentono la ridondanza nella rappresentazione dei numeri

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