السنة الأولى، الرياضيات العليا، دراسة المصفوفاتوالإجراءات الأساسية عليها. نحن هنا ننظم العمليات الأساسية التي يمكن إجراؤها باستخدام المصفوفات. من أين تبدأ التعرف على المصفوفات؟ بالطبع من أبسط الأشياء - التعاريف والمفاهيم الأساسية والعمليات البسيطة. نؤكد لك أن المصفوفات سوف يفهمها كل من يخصص لها القليل من الوقت على الأقل!

تعريف المصفوفة

مصفوفةهو جدول مستطيل من العناصر. حسنا، بعبارات بسيطة – جدول الأرقام.

عادة، يتم الإشارة إلى المصفوفات بأحرف لاتينية كبيرة. على سبيل المثال، مصفوفة أ ، مصفوفة ب وما إلى ذلك وهلم جرا. يمكن أن تكون المصفوفات بأحجام مختلفة: مستطيلة ومربعة، وهناك أيضًا مصفوفات صفوف وأعمدة تسمى المتجهات. يتم تحديد حجم المصفوفة من خلال عدد الصفوف والأعمدة. على سبيل المثال، لنكتب مصفوفة مستطيلة الحجم م على ن ، أين م - عدد الأسطر، و ن - عدد الأعمدة.

العناصر التي ط=ي (a11، a22، .. ) تشكل القطر الرئيسي للمصفوفة وتسمى قطري.

ماذا يمكنك أن تفعل بالمصفوفات؟ إضافة/طرح, اضرب برقم, تتكاثر فيما بينها, تبديل موضع. الآن عن كل هذه العمليات الأساسية على المصفوفات بالترتيب.

عمليات الجمع والطرح للمصفوفات

دعنا نحذرك على الفور أنه لا يمكنك سوى إضافة مصفوفات من نفس الحجم. وستكون النتيجة مصفوفة من نفس الحجم. إن إضافة (أو طرح) المصفوفات أمر بسيط - تحتاج فقط إلى إضافة العناصر المقابلة لها . دعونا نعطي مثالا. لنجري عملية جمع مصفوفتين A وB بحجم اثنين في اثنين.

يتم إجراء الطرح عن طريق القياس، فقط مع الإشارة المعاكسة.

يمكن ضرب أي مصفوفة برقم عشوائي. لفعل هذا، تحتاج إلى مضاعفة كل عنصر من عناصره بهذا الرقم. على سبيل المثال، لنضرب المصفوفة A من المثال الأول بالرقم 5:

عملية ضرب المصفوفة

لا يمكن ضرب كل المصفوفات معًا. على سبيل المثال، لدينا مصفوفتان - A وB. ويمكن ضربهما في بعضهما البعض فقط إذا كان عدد أعمدة المصفوفة A يساوي عدد صفوف المصفوفة B. في هذه الحالة سيكون كل عنصر من عناصر المصفوفة الناتجة، الموجود في الصف الأول والعمود j، مساويًا لمجموع منتجات العناصر المقابلة في الصف الأول من العامل الأول والعمود j من الثاني. لفهم هذه الخوارزمية، دعونا نكتب كيفية ضرب مصفوفتين مربعتين:

ومثال مع الأعداد الحقيقية. دعونا نضرب المصفوفات:

عملية تبديل المصفوفة

تبديل المصفوفة هو عملية يتم فيها تبديل الصفوف والأعمدة المقابلة. على سبيل المثال، لننقل المصفوفة A من المثال الأول:

محدد المصفوفة

المحدد أو المحدد هو أحد المفاهيم الأساسية للجبر الخطي. ذات مرة، توصل الناس إلى معادلات خطية، وبعدها كان عليهم أن يتوصلوا إلى محدد. في النهاية، الأمر متروك لك للتعامل مع كل هذا، لذا، الدفعة الأخيرة!

المحدد هو خاصية عددية للمصفوفة المربعة، وهي ضرورية لحل العديد من المسائل.
لحساب محدد أبسط مصفوفة مربعة، تحتاج إلى حساب الفرق بين منتجات عناصر الأقطار الرئيسية والثانوية.

محدد المصفوفة من الدرجة الأولى، أي التي تتكون من عنصر واحد، يساوي هذا العنصر.

ماذا لو كانت المصفوفة ثلاثة في ثلاثة؟ وهذا أكثر صعوبة، ولكن يمكنك التعامل معه.

بالنسبة لمثل هذه المصفوفة، تكون قيمة المحدد تساوي مجموع منتجات عناصر القطر الرئيسي ومنتجات العناصر الموجودة على المثلثات ذات الوجه الموازي للقطر الرئيسي، والتي منها منتج القطر الرئيسي يتم طرح عناصر القطر الثانوي وحاصل ضرب العناصر الموجودة على المثلثات ذات وجه القطر الثانوي الموازي.

لحسن الحظ، نادرا ما يكون من الضروري حساب محددات المصفوفات ذات الأحجام الكبيرة.

لقد نظرنا هنا إلى العمليات الأساسية على المصفوفات. بالطبع، في الحياة الواقعية، قد لا تواجه أبدًا حتى تلميحًا لنظام مصفوفة من المعادلات، أو على العكس من ذلك، قد تواجه حالات أكثر تعقيدًا عندما تضطر حقًا إلى إرهاق عقلك. في مثل هذه الحالات توجد خدمات طلابية محترفة. اطلب المساعدة، واحصل على حل مفصل وعالي الجودة، واستمتع بالنجاح الأكاديمي ووقت الفراغ.

بعد دراسة المواضيع التمهيدية عن المصفوفات وخصائصها والعمليات عليها، نحتاج إلى اكتساب خبرة عملية من خلال حل أمثلة واقعية لعمليات جمع وطرح المصفوفات. من خلال توحيد المعرفة المكتسبة في الممارسة العملية، يمكنك الانتقال إلى المواضيع التالية.

لنبدأ الدراسة بمشاكل أبسط، ثم ننتقل تدريجيًا إلى المشكلات الأكثر تعقيدًا. سنعلق على جميع الإجراءات، وإذا لزم الأمر، سنقدم بعض الحواشي التي تشرح بمزيد من التفصيل حول بعض التحولات.

بعد تحديد أهداف هذا الدرس، ننتقل إلى الممارسة.

إضافة المصفوفة باستخدام الأمثلة:

1) أضف مصفوفتين واكتب النتيجة.

أول شيء يجب فعله هو تحديد ما إذا كانت المشكلة لها حل.

أبعاد المصفوفتين متطابقة، مما يعني وجود الحل.

ننتقل إلى الجمع المباشر، بإضافة عناصر المصفوفة. سيبدو الحل النهائي كما يلي:

كما نرى، يوضح هذا المثال بوضوح جمع مصفوفتين.
دعونا نحاول النظر في مسألة إضافة أكثر تعقيدًا بعض الشيء.

2) أضف مصفوفتين "أ" و"ب"

أبعاد المصفوفات متطابقة، مما يعني أنه يمكننا المتابعة إلى عملية الجمع.
وستكون نتيجة الإضافة هي النتيجة الموضحة في الصورة أدناه:

3) إضافة المصفوفتين "أ" و"ب"

كما فعلنا من قبل، علينا أولا تحديد البعد. أبعاد المصفوفات "أ" و"ب" هي نفسها، يمكننا المضي قدمًا في إضافتها.

تتم إضافة عناصر المصفوفة بنفس الطريقة تمامًا كما في الأمثلة التي تم حلها أعلاه.
سيبدو حل المشكلة المعروضة كما يلي:

4) اجمع المصفوفات واكتب الإجابة.

أولاً، دعونا نتحقق من الحجم. نرى أن أبعاد المصفوفة "أ" هي 3×2 (3 صفوف وعمودين)، وأبعاد المصفوفة "ب" هي 2×3، أي أنهما غير متساويين، وبالتالي، فمن المستحيل لإضافة المصفوفتين "أ" و"ب".
الجواب: لا توجد حلول.

5) إثبات صحة المساواة: أ+ب=ب+أ.
المصفوفات لها نفس الحجم وتبدو كما يلي:

أولاً، دعونا نجمع المصفوفة A+B، ثم B+A، ثم نقارن النتيجة.

وكما نرى فإن نتيجة الإضافة هي نفسها تماماً، أي. إعادة ترتيب مواضع الحدود لا يغير قيمة المجموع.
وقد ناقشنا ذلك في الموضوع السابق في باب خواص الأفعال بالمصفوفات.

طرح المصفوفات باستخدام الأمثلة:

طرح المصفوفة ليس بسيطًا مثل الجمع، لكن الفرق صغير جدًا.
من أجل طرح مصفوفة أخرى من مصفوفة واحدة، يجب أولاً أن تكون من نفس البعد، وثانيًا، يتم الطرح وفقًا للصيغة: A-B = A+(-1) B من الضروري إضافة الثانية إلى المصفوفة الأولى وهي مضروبة في الرقم (-1).

دعونا نلقي نظرة على هذا بمزيد من التفصيل باستخدام مثال.

6) أوجد الفرق بين المصفوفتين "C" و"D"

أبعاد المصفوفتين متطابقة، مما يعني أنه يمكننا البدء في عملية الطرح.
للقيام بذلك، اطرح المصفوفة الثانية من المصفوفة الأولى مضروبة في الرقم (-1). كما نعلم، من أجل ضرب رقم واحد في مصفوفة، عليك ضرب كل عنصر من عناصرها في رقم معين. سيبدو الحل الكامل كما يلي:

كما يتبين من هذا الحل، فإن الطرح هو نفس العملية البسيطة مثل جمع المصفوفات، ويتطلب من الطلاب فقط أن يكون لديهم معرفة حسابية، لذلك يمكن لكل طالب حل هذه المشكلات.

بهذا نكون قد أنهينا هذا الدرس ونأمل أنه بعد قراءة هذه المادة وحل المسائل المعروضة بالتفصيل، يمكنك الآن بسهولة إضافة وطرح المصفوفات، وهذا الموضوع بسيط للغاية بالنسبة لك.

إضافة المصفوفة:

الطرح وإضافة المصفوفاتيقلل من العمليات المقابلة على عناصرها. عملية إضافة المصفوفةدخلت فقط ل المصفوفاتنفس الحجم، أي ل المصفوفاتحيث يكون عدد الصفوف والأعمدة متساويًا على التوالي. مجموع المصفوفاتيتم استدعاء A و B مصفوفةج، التي تساوي عناصرها مجموع العناصر المقابلة لها. C = A + B c ij = a ij + b ij معرف بالمثل فرق المصفوفة.

ضرب المصفوفة بعدد :

عملية ضرب المصفوفة (القسمة).من أي حجم برقم تعسفي يتم تقليله إلى ضرب (قسمة) كل عنصر المصفوفاتلهذا الرقم. منتج المصفوفةويسمى الرقم ك مصفوفةب، هكذا

ب ي = ك × أ ي . ب = ك × أ ب ج = ك × أ ج . مصفوفة- أ = (-1) × أ يسمى العكس مصفوفةأ.

خواص جمع المصفوفات وضرب المصفوفة بعدد:

عمليات إضافة المصفوفةو ضرب المصفوفةعلى رقم له الخصائص التالية: 1. A + B = B + A؛ 2. أ + (ب + ج) = (أ + ب) + ج؛ 3. أ + 0 = أ؛ 4. أ - أ = 0؛ 5. 1 × أ = أ؛ 6. α × (أ + ب) = αA + αB؛ 7. (α + β) × A = αA + βA؛ 8. α × (βA) = (αβ) × A؛ ، حيث A و B و C عبارة عن مصفوفات، و α و β أرقام.

ضرب المصفوفة (منتج المصفوفة):

عملية ضرب مصفوفتينيتم إدخاله فقط في حالة عدد الأعمدة الأولى المصفوفاتيساوي عدد أسطر الثانية المصفوفات. منتج المصفوفةو م×ن على مصفوفةفي n×p، يسمى مصفوفةمع m×p بحيث يكون ik = a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a in × b nk ، أي أنه تم العثور على مجموع منتجات عناصر الصف i المصفوفاتوإلى العناصر المقابلة للعمود j المصفوفاتب. إذا المصفوفات A وB مربعان لهما نفس الحجم، وبالتالي فإن المنتجين AB وBA موجودان دائمًا. من السهل إظهار أن A × E = E × A = A، حيث A مربع مصفوفةه - الوحدة مصفوفةنفس الحجم.

خصائص ضرب المصفوفات:

ضرب المصفوفةغير تبادلية، أي AB ≠ BA حتى لو تم تعريف كلا المنتجين. ومع ذلك، إذا كان لأي المصفوفاتالعلاقة AB=BA محققة، إذن هكذا المصفوفاتتسمى تبادلية. المثال الأكثر شيوعًا هو واحد مصفوفة، الذي يتنقل مع أي شخص آخر مصفوفةنفس الحجم. فقط تلك المربعة يمكن أن تكون قابلة للتبديل المصفوفاتمن نفس الترتيب. أ × ه = ه × أ = أ

ضرب المصفوفةله الخصائص التالية: 1. أ × (ب × ج) = (أ × ب) × ج؛ 2. أ × (ب + ج) = أب + أس؛ 3. (أ + ب) × ج = أ + ب. 4. α × (AB) = (αA) × B؛ 5. أ × 0 = 0؛ 0 × أ = 0؛ 6. (AB) T = B T A T؛ 7. (ABC) T = C T V T A T؛ 8. (أ + ب) ت = أ تي + ب تي؛

2. محددات الأمرين الثاني والثالث. خصائص المحددات.

محدد المصفوفةالنظام الثاني، أو المحددالترتيب الثاني هو الرقم الذي يتم حسابه بواسطة الصيغة:

محدد المصفوفةالترتيب الثالث، أو المحددالترتيب الثالث هو الرقم الذي يتم حسابه بواسطة الصيغة:

يمثل هذا الرقم مجموعًا جبريًا يتكون من ستة حدود. يحتوي كل مصطلح على عنصر واحد بالضبط من كل صف وكل عمود المصفوفات. يتكون كل مصطلح من منتج ثلاثة عوامل.

علامات مع أي أعضاء محدد المصفوفةالمدرجة في الصيغة إيجاد محدد المصفوفةويمكن تحديد الترتيب الثالث باستخدام المخطط المعطى، والذي يسمى قاعدة المثلثات أو قاعدة ساروس. الحدود الثلاثة الأولى تؤخذ بعلامة الجمع وتحدد من الشكل الأيسر، والحدود الثلاثة التالية تؤخذ بعلامة الطرح وتحدد من الشكل الأيمن.

تحديد عدد المصطلحات المطلوب العثور عليها محدد المصفوفة، في مجموع جبري، يمكنك حساب المضروب: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 × 2 × 3 = 6

خصائص محددات المصفوفة

خصائص محددات المصفوفة:

الخاصية رقم 1:

محدد المصفوفةلن يتغير إذا تم استبدال صفوفه بأعمدة، كل صف بعمود بنفس الرقم، والعكس صحيح (Transposition). |أ| = |أ| ت

عاقبة:

الأعمدة والصفوف محدد المصفوفةمتساوية، وبالتالي فإن الخصائص المتأصلة في الصفوف تنطبق أيضًا على الأعمدة.

الخاصية رقم 2:

عند إعادة ترتيب صفين أو عمودين محدد المصفوفةسيتم تغيير الإشارة إلى العكس، مع الحفاظ على القيمة المطلقة، أي:

العقار رقم 3:

محدد المصفوفةوجود صفين متماثلين يساوي صفرًا.

العقار رقم 4:

العامل المشترك لعناصر أي سلسلة محدد المصفوفةيمكن أن تؤخذ كعلامة المحدد.

النتائج الطبيعية من العقارين رقم 3 ورقم 4:

إذا كانت جميع عناصر سلسلة معينة (صف أو عمود) متناسبة مع العناصر المقابلة لها في سلسلة متوازية، فهذا هو الحال محدد المصفوفةيساوي الصفر.

العقار رقم 5:

محدد المصفوفةتساوي الصفر، إذن محدد المصفوفةيساوي الصفر.

العقار رقم 6:

إذا كانت جميع عناصر الصف أو العمود المحددتم تقديمه كمجموع فترتين، إذن المحدد المصفوفاتيمكن تمثيلها كمجموع 2 المحدداتوفقا للصيغة:

العقار رقم 7:

إذا إلى أي صف (أو عمود) المحددأضف العناصر المقابلة لصف (أو عمود) آخر، مضروبة في نفس العدد، ثم محدد المصفوفةلن تغير قيمته

مثال على استخدام الخصائص للحساب محدد المصفوفة:

مقدمة

ترتيب المصفوفة الضرب البديهي

العمليات على المصفوفات، خصائص العمليات.

في هذه المقالة سوف نفهم كيفية إجراء عملية الجمع على المصفوفات من نفس الترتيب، عملية ضرب مصفوفة في عدد، وعملية ضرب المصفوفات من ترتيب مناسب، وسوف نقوم بتعيين خصائص العمليات بشكل بديهي، و ناقش أيضًا أولوية العمليات على المصفوفات. وبالتوازي مع النظرية، سنقدم حلولاً تفصيلية لأمثلة يتم فيها تنفيذ العمليات على المصفوفات.

دعونا نلاحظ على الفور أن كل ما يلي ينطبق على المصفوفات التي تكون عناصرها أعدادًا حقيقية (أو مركبة).

عملية إضافة مصفوفتين

تعريف عملية جمع مصفوفتين.

يتم تعريف عملية الإضافة فقط للمصفوفات ذات الترتيب نفسه. بمعنى آخر، من المستحيل إيجاد مجموع المصفوفات ذات الأبعاد المختلفة، وبشكل عام من المستحيل الحديث عن إضافة مصفوفات ذات أبعاد مختلفة. لا يمكنك أيضًا التحدث عن مجموع مصفوفة ورقم أو مجموع مصفوفة وبعض العناصر الأخرى.

تعريف.

مجموع مصفوفتين وهي مصفوفة عناصرها تساوي مجموع العناصر المقابلة للمصفوفات A و B، أي .

وبالتالي فإن نتيجة عملية جمع مصفوفتين هي مصفوفة من نفس الترتيب.

خصائص عملية إضافة المصفوفة.

ما هي خصائص عملية إضافة المصفوفة؟ من السهل جدًا الإجابة على هذا السؤال، بدءًا من تعريف مجموع مصفوفتين بترتيب معين وتذكر خصائص عملية جمع الأعداد الحقيقية (أو المعقدة).

تتميز المصفوفات A وB وC من نفس الترتيب بخاصية الترابط الخاصة بالجمع A+(B+C)=(A+B)+C.

بالنسبة للمصفوفات ذات الترتيب المعطى، يوجد عنصر محايد بالنسبة لعملية الجمع، وهو المصفوفة الصفرية. أي أن الخاصية A+O=A صحيحة.

بالنسبة للمصفوفة غير الصفرية A من ترتيب معين، هناك مصفوفة (-A)، مجموعها هو مصفوفة صفرية: A+(-A)=O.

بالنسبة للمصفوفات A وB من ترتيب معين، فإن خاصية الجمع A+B=B+A هي خاصية تبادلية.

وبالتالي، فإن مجموعة من المصفوفات ذات ترتيب معين تولد مجموعة أبيل المضافة (مجموعة أبيلية فيما يتعلق بعملية الجمع الجبرية).

عملية ضرب المصفوفة بعدد

تعريف عملية ضرب المصفوفة برقم.

يتم تعريف عملية ضرب المصفوفة برقم للمصفوفات من أي ترتيب.

تعريف.

منتج مصفوفة وعدد حقيقي (أو مركب) هو مصفوفة يتم الحصول على عناصرها عن طريق ضرب العناصر المقابلة للمصفوفة الأصلية في الرقم، أي.

وبالتالي، فإن نتيجة ضرب المصفوفة في عدد هي مصفوفة من نفس الترتيب.

خصائص عملية ضرب المصفوفة بعدد.

بالنسبة للمصفوفات من نفس الترتيب A وB، بالإضافة إلى الأعداد الحقيقية (أو المعقدة) العشوائية، تكون خاصية توزيع الضرب بالنسبة إلى الجمع صحيحة.

بالنسبة للمصفوفة العشوائية A وأي أرقام حقيقية (أو مركبة)، فإن خاصية التوزيع تنطبق.

بالنسبة للمصفوفة التعسفية، تكون A وأي أرقام حقيقية (أو معقدة) والخاصية الترابطية للضرب صحيحة.

الرقم المحايد عند ضربه في مصفوفة اختيارية A هو واحد، أي .

من خصائص عملية ضرب مصفوفة برقم، يترتب على ذلك أن ضرب مصفوفة صفرية بالرقم صفر سيعطي مصفوفة صفرية، وحاصل ضرب رقم عشوائي ومصفوفة صفر هو مصفوفة صفرية.

ضرب مصفوفة بعدد - أمثلة وحلها.

دعونا نلقي نظرة على عملية ضرب المصفوفة برقم باستخدام الأمثلة.

أوجد حاصل ضرب العدد 2 والمصفوفة.

لضرب مصفوفة في رقم، عليك ضرب كل عنصر من عناصرها في هذا الرقم:

ضرب مصفوفة برقم.

نقوم بضرب كل عنصر من عناصر المصفوفة المحددة برقم معين:

عملية ضرب مصفوفتين

تعريف عملية ضرب مصفوفتين.

يتم تعريف عملية ضرب المصفوفتين A وB فقط في الحالة التي يكون فيها عدد أعمدة المصفوفة A مساويًا لعدد صفوف المصفوفة B.

تعريف. منتج المصفوفة A من الرتبة والمصفوفة B من الرتبة هو مصفوفة C من الرتبة، كل عنصر فيها يساوي مجموع منتجات عناصر الصف الأول من المصفوفة A بالعناصر المقابلة من العمود j للمصفوفة B، أي

وبالتالي فإن نتيجة عملية ضرب مصفوفة ترتيبية في مصفوفة ترتيبية هي مصفوفة ترتيبية.

ضرب المصفوفة - حلول الأمثلة.

دعونا نلقي نظرة على ضرب المصفوفات باستخدام الأمثلة، ثم ننتقل إلى سرد خصائص عملية ضرب المصفوفات.

أوجد جميع عناصر المصفوفة C، والتي يتم الحصول عليها عن طريق ضرب المصفوفات و.

ترتيب المصفوفة A هو p=3 في n=2، وترتيب المصفوفة B هو n=2 في q=4، وبالتالي فإن ترتيب حاصل ضرب هذه المصفوفات سيكون p=3 في q=4. دعونا نستخدم الصيغة

نأخذ قيم i على التوالي من 1 إلى 3 (حيث أن p=3) لكل j من 1 إلى 4 (بما أن q=4)، وn=2 في حالتنا، إذًا

بهذه الطريقة، يتم حساب جميع عناصر المصفوفة C، والمصفوفة التي يتم الحصول عليها عن طريق ضرب مصفوفتين محددتين لها الشكل.

إجراء ضرب المصفوفات و.

تسمح ترتيبات المصفوفات الأصلية بإجراء عملية الضرب. ونتيجة لذلك، يجب أن نحصل على مصفوفة من الرتبة 2 في 3.

المصفوفات وتعطى. أوجد حاصل ضرب المصفوفتين A وB، وكذلك المصفوفتين B وA.

بما أن ترتيب المصفوفة A هو 3 في 1، والمصفوفة B هي 1 في 3، فإن A?B سيكون ترتيبها 3 في 3، وسيكون حاصل ضرب المصفوفتين B وA ترتيبًا 1 في 1.

كما ترون، . هذه إحدى خصائص عملية ضرب المصفوفات.

خصائص عملية ضرب المصفوفة.

إذا كانت المصفوفات A وB وC ذات رتب مناسبة، فإن الخصائص التالية لعملية ضرب المصفوفات تكون صالحة.

خاصية الترابط لضرب المصفوفة.

خاصيتين للتوزيع و.

بشكل عام، عملية ضرب المصفوفات غير تبادلية.

مصفوفة الهوية E من الرتبة n في n هي عنصر محايد فيما يتعلق بالضرب، أي أنه بالنسبة لمصفوفة اعتباطية A من الرتبة p في n تكون المساواة صحيحة، وبالنسبة لمصفوفة اعتباطية A من الرتبة n في p تكون المساواة حقيقي.

تجدر الإشارة إلى أنه، مع الترتيبات المناسبة، فإن منتج المصفوفة الصفرية O والمصفوفة A يعطي المصفوفة الصفرية. كما أن حاصل ضرب A وO يعطي مصفوفة صفرية إذا كانت الأوامر تسمح بعملية ضرب المصفوفات.

يوجد بين المصفوفات المربعة ما يسمى بمصفوفات التقليب، وعملية الضرب فيها تكون تبادلية، أي. مثال على مصفوفات التقليب هو زوج من مصفوفة الهوية وأي مصفوفة أخرى بنفس الترتيب، كما هو صحيح.

طريقة 1

النظر في المصفوفة أالبعد 3x4. دعونا نضرب هذه المصفوفة بالرقم ك. عند ضرب مصفوفة بعدد فإن المصفوفة الناتجة تكون لها نفس بعد المصفوفة الأصلية، وكل عنصر من عناصر المصفوفة أمضروبة في عدد ك.

دعونا ندخل عناصر المصفوفة في النطاق ب3:E5، والرقم ك- في الخلية H4. في النطاق ك3:ن5 حساب المصفوفة في، تم الحصول عليها عن طريق ضرب المصفوفة ألكل رقم ك: ب=أ*ك. للقيام بذلك، نقدم الصيغة =B3*$ح$4إلى الخلية ك3 ، أين على الساعة 3- عنصر 11المصفوفات أ.

ملحوظة: عنوان الخلية ح4 نقوم بإدخاله كرابط مطلق بحيث لا يتغير الرابط عند نسخ الصيغة.

باستخدام علامة الملء التلقائي، انسخ صيغة الخلية ك3 في.

لذا، قمنا بضرب المصفوفة أفي Excel والحصول على مصفوفة في.

لتقسيم المصفوفة أبواسطة رقم ك في الخلية ك3 دعونا نقدم الصيغة =B3/$H$4 في.

الطريقة 2

تختلف هذه الطريقة في أن نتيجة ضرب/قسمة مصفوفة على رقم هي في حد ذاتها مصفوفة. في هذه الحالة، لا يمكنك حذف عنصر صفيف.

لتقسيم مصفوفة على رقم باستخدام هذه الطريقة، حدد النطاق الذي سيتم حساب النتيجة فيه، وأدخل علامة "="، وحدد النطاق الذي يحتوي على المصفوفة الأصلية A، ثم اضغط على علامة الضرب (*) على لوحة المفاتيح وحدد الخلية مع الرقم ك السيطرة +التحول+يدخل

لإجراء القسمة في هذا المثال، أدخل الصيغة =B3:E5/H4 في النطاق، أي. قم بتغيير علامة "*" إلى "/".

جمع وطرح المصفوفات في برنامج Excel

طريقة 1

وتجدر الإشارة إلى أنه يمكن جمع وطرح مصفوفات لها نفس البعد (كل مصفوفة لها نفس عدد الصفوف والأعمدة). وعلاوة على ذلك، كل عنصر من عناصر المصفوفة الناتجة معسيكون مساوياً لمجموع عناصر المصفوفة المقابلة أو في، أي. مع اي جي =و آي + باي جاي.

دعونا ننظر في المصفوفات أو فيالبعد 3x4. دعونا نحسب مجموع هذه المصفوفات. للقيام بذلك، في الخلية ن3 دعونا نقدم الصيغة =ب3+ح3، أين ب3و ح3- العناصر الأولى للمصفوفات أو فيعلى التوالى. في هذه الحالة، تحتوي الصيغة على روابط نسبية ( على الساعة 3و ح3 )، وذلك عند نسخ الصيغة إلى النطاق الكامل للمصفوفة معكان من الممكن أن يتغيروا.

باستخدام علامة الملء التلقائي، انسخ الصيغة من الخلية ن3 إلى الأسفل وإلى اليمين على كامل نطاق المصفوفة مع.

لطرح مصفوفة فيمن المصفوفة أ (ج=أ - ب) في الخلية ن3 دعونا نقدم الصيغة =B3 - H3ونسخه إلى النطاق الكامل للمصفوفة مع.

الطريقة 2

تختلف هذه الطريقة في أن نتيجة إضافة/طرح المصفوفات هي في حد ذاتها مصفوفة. في هذه الحالة، لا يمكنك حذف عنصر صفيف.

لتقسيم مصفوفة على رقم باستخدام هذه الطريقة، حدد النطاق الذي سيتم حساب النتيجة فيه، وأدخل علامة "="، ثم حدد النطاق الذي يحتوي على المصفوفة الأولى أ، اضغط على علامة الإضافة (+) على لوحة المفاتيح وحدد المصفوفة الثانية في. بعد إدخال الصيغة، اضغط على مجموعة المفاتيح السيطرة +التحول+يدخلبحيث يتم ملء النطاق بأكمله بالقيم.

ضرب المصفوفات في برنامج Excel

تجدر الإشارة إلى أنه لا يمكن ضرب المصفوفات إلا إذا كان عدد أعمدة المصفوفة الأولى أيساوي عدد صفوف المصفوفة الثانية في.

دعونا ننظر في المصفوفات أالبعد 3x4و فيالبعد 4x2. ضرب هذه المصفوفات يؤدي إلى المصفوفة معالبعد 3x2.

دعونا نحسب منتج هذه المصفوفات ج=أ*بباستخدام الوظيفة المضمنة =متعددة(). للقيام بذلك، حدد النطاق ل3: م5 - سيحتوي على عناصر المصفوفة مع، تم الحصول عليها نتيجة الضرب. على علامة التبويب الصيغدعنا نختار إدراج وظيفة.

في مربع الحوار إدراج المهاماختر الفئة رياضي- وظيفة مومنيف — نعم.

في مربع الحوار الحجج الوظيفيةتحديد النطاقات التي تحتوي على المصفوفات أو في. للقيام بذلك، مقابل array1، انقر فوق السهم الأحمر.

أ(سيظهر اسم النطاق في سطر الوسيطة)، وانقر على السهم الأحمر.

بالنسبة إلى array2، نقوم بنفس الإجراءات. انقر على السهم المقابل array2.

حدد النطاق الذي يحتوي على عناصر المصفوفة في، وانقر على السهم الأحمر.

في مربع الحوار، بجانب خطوط إدخال نطاقات المصفوفة، ستظهر عناصر المصفوفة، وفي الأسفل - عناصر المصفوفة مع. بعد إدخال القيم، اضغط على اختصار لوحة المفاتيح يحول+ كنترول نعم.

مهم.إذا قمت بالضغط فقط نعم مع.

سوف نحصل على نتيجة ضرب المصفوفة أو في.

يمكننا تغيير قيم خلايا المصفوفة أو في، قيم المصفوفة معسوف تتغير تلقائيا.

نقل مصفوفة في Excel

تبديل المصفوفة هو عملية على مصفوفة يتم فيها استبدال الأعمدة بصفوف ذات أرقام مقابلة. نحن نشير إلى المصفوفة المنقولة في.

دع المصفوفة تعطى أالبعد 3x4، باستخدام الدالة =ترانسب()حساب المصفوفة المنقولة في، وسيكون البعد لهذه المصفوفة 4x3.

دعونا نختار النطاق ح3:ج6 ، حيث سيتم إدخال قيم المصفوفة المنقولة.

على علامة التبويب الصيغدعنا نختار إدراج وظيفةاختر تصنيف الروابط والمصفوفات- وظيفة نقل — نعم.

في مربع الحوار الحجج الوظيفيةتشير إلى نطاق المصفوفة ب3:E5 أ يحول+ كنترولوانقر بزر الماوس الأيسر على الزر نعم.

مهم.إذا قمت بالضغط فقط نعم، فسيقوم البرنامج بحساب قيمة الخلية الأولى فقط من نطاق المصفوفة في.

اضغط للتكبير

لقد حصلنا على مصفوفة منقولة.

العثور على المصفوفة العكسية في Excel

مصفوفة أ-1يسمى معكوس المصفوفة أ، لو أž أ -1 = أ -1ž أ=ه، أين ههي مصفوفة الهوية. تجدر الإشارة إلى أنه لا يمكن العثور على معكوس المصفوفة إلا لمصفوفة مربعة (نفس عدد الصفوف والأعمدة).

دع المصفوفة تعطى أالبعد 3x3فلنوجد المصفوفة العكسية باستخدام الدالة =MOBR().

للقيام بذلك، حدد النطاق ز3: أنا5 ، والتي سوف تحتوي على عناصر المصفوفة العكسية، في علامة التبويب الصيغدعنا نختار إدراج وظيفة.

في مربع الحوار إدراج المهاماختر تصنيف رياضي- وظيفة موبر — نعم.

في مربع الحوار الحجج الوظيفيةتشير إلى نطاق المصفوفة على الساعة 3:د5 تحتوي على عناصر المصفوفة أ. اضغط على اختصار لوحة المفاتيح يحول+ كنترولوانقر بزر الماوس الأيسر على الزر نعم.

مهم.إذا قمت بالضغط فقط نعم، فسيقوم البرنامج بحساب قيمة الخلية الأولى فقط من نطاق المصفوفة أ-1.

اضغط للتكبير

لقد حصلنا على المصفوفة العكسية.

إيجاد محدد المصفوفة في برنامج إكسل

محدد المصفوفة هو رقم يعد من الخصائص المهمة للمصفوفة المربعة.

كيفية البحث عن المصفوفات وتعريفها في Excel

دع المصفوفة تعطى أالبعد 3x3فلنحسب محدده باستخدام الدالة =موبريد().

للقيام بذلك، حدد الخلية H4، سيتم حساب محدد المصفوفة فيه، في علامة التبويب الصيغدعنا نختار إدراج وظيفة.

في مربع الحوار إدراج المهاماختر تصنيف رياضي- وظيفة موبريد — نعم.

في مربع الحوار الحجج الوظيفيةتشير إلى نطاق المصفوفة على الساعة 3:د5 تحتوي على عناصر المصفوفة أ. انقر نعم.

اضغط للتكبير

لقد حسبنا محدد المصفوفة أ.

وفي الختام دعونا ننتبه إلى نقطة مهمة. يتعلق الأمر بتلك العمليات على المصفوفات التي استخدمنا فيها وظائف مدمجة في البرنامج، ونتيجة لذلك حصلنا على مصفوفة جديدة (ضرب المصفوفات، وإيجاد المصفوفات المعكوسة والمحولة). في المصفوفة الناتجة عن العملية، لا يمكن إزالة بعض العناصر. أولئك. إذا اخترنا، على سبيل المثال، عنصرًا واحدًا من المصفوفة واضغطنا ديل، فسيقوم البرنامج بإصدار تحذير: لا يمكنك تغيير جزء من المصفوفة.

اضغط للتكبير

يمكننا فقط إزالة جميع عناصر هذه المصفوفة.

فيديو تعليمي

— مدرس الفيزياء وعلوم الكمبيوتر وتكنولوجيا المعلومات والاتصالات، MKOU "المدرسة الثانوية"، ص. سافولنكا، منطقة يوكنوفسكي، منطقة كالوغا. مؤلف ومدرس دورات عن بعد حول أساسيات محو الأمية الحاسوبية والبرامج المكتبية. مؤلف المقالات ودروس الفيديو والتطورات.