درس وعرض حول موضوع: "التسلسلات الرقمية. التقدم الهندسي"
مواد إضافية
أعزائي المستخدمين، لا تنسوا ترك تعليقاتكم ومراجعاتكم ورغباتكم! تم فحص جميع المواد بواسطة برنامج مكافحة الفيروسات.
الوسائل التعليمية والمحاكيات في متجر Integral الإلكتروني للصف التاسع
القوى والجذور الوظائف والرسوم البيانية
يا رفاق، اليوم سوف نتعرف على نوع آخر من التقدم.
موضوع درس اليوم هو التقدم الهندسي.
المتوالية الهندسية
تعريف. التسلسل العددي الذي يكون فيه كل حد، بدءًا من الثاني، يساوي حاصل ضرب الحد السابق وبعض الأرقام الثابتة يسمى متوالية هندسية.دعونا نحدد التسلسل بشكل متكرر: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
حيث b و q عبارة عن أرقام محددة. الرقم q يسمى مقام التقدم.
مثال. 1,2,4,8,16... متوالية هندسية يكون فيها الحد الأول يساوي واحدًا، و$q=2$.
مثال. 8،8،8،8... متوالية هندسية يكون فيها الحد الأول ثمانية،
و $س=1$.
مثال. 3,-3,3,-3,3... متوالية هندسية يكون فيها الحد الأول يساوي ثلاثة،
و $س=-1$.
التقدم الهندسي له خصائص الرتابة.
إذا كان $b_(1)>0$، $q>1$،
ثم يتزايد التسلسل.
إذا كان $b_(1)>0$، $0 يُشار إلى التسلسل عادةً بالشكل: $b_(1)، b_(2)، b_(3)، ...، b_(n)، ...$.
تمامًا كما هو الحال في المتوالية الحسابية، إذا كان عدد العناصر في المتوالية الهندسية محدودًا، فإن المتتابعة تسمى متوالية هندسية منتهية.
$b_(1)، b_(2)، b_(3)، ...، b_(n-2)، b_(n-1)، b_(n)$.
لاحظ أنه إذا كانت المتتابعة متوالية هندسية، فإن متوالية مربعات الحدود تكون متوالية هندسية أيضًا. في التسلسل الثاني، الحد الأول يساوي $b_(1)^2$، والمقام يساوي $q^2$.
صيغة الحد n من التقدم الهندسي
يمكن أيضًا تحديد التقدم الهندسي في شكل تحليلي. دعونا نرى كيفية القيام بذلك:$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
نلاحظ بسهولة النمط: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
صيغتنا تسمى "صيغة الحد النوني للتقدم الهندسي".
دعونا نعود إلى الأمثلة لدينا.
مثال. 1،2،4،8،16... متوالية هندسية يكون فيها الحد الأول يساوي واحد،
و $س=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.
مثال. 16,8,4,2,1,1/2… متوالية هندسية يكون فيها الحد الأول ستة عشر، و$q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.
مثال. 8,8,8,8... متوالية هندسية يكون فيها الحد الأول يساوي ثمانية، و$q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.
مثال. 3,-3,3,-3,3... متوالية هندسية يكون فيها الحد الأول يساوي ثلاثة، و$q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.
مثال. بالنظر إلى التقدم الهندسي $b_(1)، b_(2)، …، b_(n)، … $.
أ) من المعروف أن $b_(1)=6, q=3$. ابحث عن $b_(5)$.
ب) من المعروف أن $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. ابحث عن ن.
ج) من المعروف أن $q=-2, b_(6)=96$. ابحث عن $b_(1)$.
د) من المعروف أن $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. ابحث عن س.
حل.
أ) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
ب) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$، بما أن $2^7=128 => n-1=7; ن = 8 دولار.
ج) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
د) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.
مثال. الفرق بين الحدين السابع والخامس من المتتابعة الهندسية هو 192، ومجموع الحدين الخامس والسادس من المتتابعة الهندسية هو 192. أوجد الحد العاشر من هذه المتتابعة.
حل.
نحن نعلم أن: $b_(7)-b_(5)=192$ و$b_(5)+b_(6)=192$.
ونعرف أيضًا: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
ثم:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
لقد حصلنا على نظام المعادلات:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
معادلة معادلاتنا نحصل على:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$ف^2-1=ف+1$.
$q^2-q-2=0$.
حصلنا على حلين س: $q_(1)=2، q_(2)=-1$.
عوض بالتسلسل في المعادلة الثانية:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ لا توجد حلول.
لقد حصلنا على ذلك: $b_(1)=4, q=2$.
لنجد الحد العاشر: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.
مجموع التقدم الهندسي المحدود
دعونا نحصل على تقدم هندسي محدود. دعونا، كما هو الحال في المتوالية الحسابية، نحسب مجموع حدودها.دعونا نعطي تقدمًا هندسيًا محدودًا: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
دعونا نقدم التسمية لمجموع مصطلحاتها: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
في الحالة عندما يكون $q=1$. جميع حدود المتوالية الهندسية تساوي الحد الأول، فمن الواضح أن $S_(n)=n*b_(1)$.
دعونا الآن ننظر في الحالة $q≠1$.
دعونا نضرب المبلغ أعلاه بـ q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
ملحوظة:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.
$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
لقد حصلنا على صيغة مجموع التقدم الهندسي المحدود.
مثال.
أوجد مجموع الحدود السبعة الأولى لمتتالية هندسية حدها الأول 4 ومقامها 3.
حل.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.
مثال.
أوجد الحد الخامس من المتوالية الهندسية المعروفة: $b_(1)=-3$; $b_(ن)=-3072$; $S_(ن)=-4095$.
حل.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$ف^(ن-1)=1024$.
$س^(ن)=1024q$.
$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
1365 ف - 1365 = 1024 ف - 1 دولار.
341 دولارًا = 1364 دولارًا.
$س=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.
خاصية مميزة للتقدم الهندسي
يا رفاق، تم إعطاء تقدم هندسي. دعونا نلقي نظرة على أعضائها الثلاثة المتتاليين: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.نحن نعرف ذلك:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
ثم:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
إذا كان التقدم محدودًا، فإن هذه المساواة تنطبق على جميع الحدود باستثناء الأول والأخير.
إذا لم يكن معروفًا مسبقًا ما هو شكل التسلسل، ولكن من المعروف أن: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
ومن ثم يمكننا أن نقول بأمان أن هذا تقدم هندسي.
التسلسل الرقمي هو تقدم هندسي فقط عندما يكون مربع كل عضو مساويًا لمنتج العضوين المتجاورين في التسلسل. لا تنس أنه بالنسبة للتقدم المحدود، لا يتم استيفاء هذا الشرط للفصلين الأول والأخير.
دعونا نلقي نظرة على هذه الهوية: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ يسمى الوسط الهندسي للرقمين a وb.
معامل أي حد من المتوالية الهندسية يساوي المتوسط الهندسي للحدين المتجاورين.
مثال.
ابحث عن x بحيث يكون $x+2; 2x+2; 3x+3$ عبارة عن ثلاث فترات متتالية من التقدم الهندسي.
حل.
دعونا نستخدم الخاصية المميزة:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ و$x_(2)=-1$.
دعونا نستبدل حلولنا بالتسلسل في التعبير الأصلي:
مع $x=2$، حصلنا على التسلسل: 4;6;9 – تقدم هندسي مع $q=1.5$.
بالنسبة إلى $x=-1$، نحصل على التسلسل: 1;0;0.
الجواب: $x=2.$
مشاكل لحلها بشكل مستقل
1. أوجد الحد الأول الثامن من المتتابعة الهندسية 16;-8;4;-2….2. أوجد الحد العاشر من المتتابعة الهندسية 11،22،44….
3. من المعروف أن $b_(1)=5, q=3$. ابحث عن $b_(7)$.
4. من المعروف أن $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. ابحث عن ن.
5. أوجد مجموع أول 11 حدًا من المتوالية الهندسية 3;12;48….
6. ابحث عن x بحيث يكون $3x+4; 2x+4; x+5$ عبارة عن ثلاثة فترات متتالية من المتوالية الهندسية.
لذلك، دعونا نجلس ونبدأ في كتابة بعض الأرقام. على سبيل المثال:
يمكنك كتابة أي أرقام، ويمكن أن يكون هناك أي عدد تريده (في حالتنا، هناك). بغض النظر عن عدد الأرقام التي نكتبها، يمكننا دائمًا معرفة أي منها هو الأول، وأيها هو الثاني، وهكذا حتى الرقم الأخير، أي أنه يمكننا ترقيمها. وهذا مثال على التسلسل الرقمي:
تسلسل رقميهي مجموعة من الأرقام، يمكن تخصيص رقم فريد لكل منها.
على سبيل المثال، بالنسبة لتسلسلنا:
الرقم المخصص خاص برقم واحد فقط في التسلسل. بمعنى آخر، لا توجد ثلاثة أرقام ثانية في المتتابعة. الرقم الثاني (مثل الرقم رقم) هو نفسه دائمًا.
الرقم الذي يحمل الرقم يسمى العضو n في التسلسل.
عادة ما نسمي التسلسل بأكمله بحرف ما (على سبيل المثال،)، وكل عضو في هذا التسلسل هو نفس الحرف مع فهرس يساوي رقم هذا العضو: .
في حالتنا هذه:
أكثر أنواع التقدم شيوعًا هي الحسابية والهندسية. وفي هذا الموضوع سنتحدث عن النوع الثاني - المتوالية الهندسية.
لماذا هناك حاجة للتقدم الهندسي وتاريخه؟
حتى في العصور القديمة، كان عالم الرياضيات الإيطالي الراهب ليوناردو بيزا (المعروف باسم فيبوناتشي) يتعامل مع الاحتياجات العملية للتجارة. كانت على الراهب مهمة تحديد ما هو أقل عدد من الأوزان التي يمكن استخدامها لوزن منتج ما؟ يثبت فيبوناتشي في أعماله أن نظام الأوزان هذا هو الأمثل: هذه واحدة من المواقف الأولى التي كان على الناس فيها التعامل مع تقدم هندسي، والذي ربما سمعت عنه بالفعل ولديك على الأقل فهم عام له. بمجرد أن تفهم الموضوع تمامًا، فكر في سبب كون هذا النظام هو الأمثل؟
حاليًا، في ممارسة الحياة، يتجلى التقدم الهندسي عند استثمار الأموال في أحد البنوك، عندما يتم استحقاق مبلغ الفائدة على المبلغ المتراكم في الحساب للفترة السابقة. وبعبارة أخرى، إذا قمت بوضع المال على وديعة لأجل في بنك الادخار، فبعد عام سوف تزيد الوديعة بالمبلغ الأصلي، أي. المبلغ الجديد سيكون مساوياً للمساهمة مضروبة في. وفي عام آخر سيزيد هذا المبلغ بمقدار، أي. سيتم مضاعفة المبلغ الذي تم الحصول عليه في ذلك الوقت مرة أخرى وهكذا. يتم وصف موقف مماثل في مشاكل حساب ما يسمى الفائدة المركبة– يتم أخذ النسبة في كل مرة من المبلغ الموجود في الحساب مع مراعاة الفوائد السابقة. سنتحدث عن هذه المهام بعد قليل.
هناك العديد من الحالات البسيطة التي يتم فيها تطبيق التقدم الهندسي. فمثلاً انتشار الأنفلونزا: شخص أصاب شخص آخر، وهم بدورهم نقلوا العدوى لشخص آخر، وبالتالي تكون الموجة الثانية من العدوى لشخص، وهم بدورهم يصيبون آخر... وهكذا.. .
بالمناسبة، الهرم المالي، نفس MMM، هو حساب بسيط وجاف يعتمد على خصائص التقدم الهندسي. مثير للاهتمام؟ دعونا معرفة ذلك.
المتوالية الهندسية.
لنفترض أن لدينا تسلسلًا رقميًا:
ستجيب على الفور بأن هذا أمر سهل وأن اسم هذا التسلسل هو مع اختلاف أعضائه. وماذا عن هذا:
إذا قمت بطرح الرقم السابق من الرقم اللاحق، سترى أنه في كل مرة تحصل على فرق جديد (وهكذا)، ولكن التسلسل موجود بالتأكيد ويسهل ملاحظته - كل رقم لاحق أكبر مرات من الرقم السابق!
يسمى هذا النوع من التسلسل الرقمي المتوالية الهندسيةويتم تعيينه.
المتوالية الهندسية () عبارة عن تسلسل عددي يختلف حده الأول عن الصفر، وكل حد ابتداء من الثاني يساوي الحد الذي يسبقه مضروبا في نفس العدد. ويسمى هذا الرقم مقام التقدم الهندسي.
القيود أن الحد الأول () ليس متساويا وليس عشوائيا. لنفترض أنه لا يوجد شيء، ولا يزال الحد الأول متساويًا، وq تساوي، امممم.. فليكن، فيتبين:
توافق على أن هذا لم يعد تقدمًا.
كما تفهم، سنحصل على نفس النتائج إذا كان هناك أي رقم غير الصفر، أ. في هذه الحالات، لن يكون هناك أي تقدم، حيث أن سلسلة الأرقام بأكملها ستكون إما كلها أصفار، أو رقم واحد، وكل الباقي سيكون أصفارًا.
الآن دعونا نتحدث بمزيد من التفصيل عن مقام التقدم الهندسي، أي o.
دعونا نكرر: - هذا هو الرقم كم مرة يتغير كل مصطلح لاحق؟المتوالية الهندسية.
ماذا تعتقد أنه يمكن أن يكون؟ هذا صحيح، إيجابي وسلبي، ولكن ليس الصفر (تحدثنا عن هذا أعلى قليلا).
لنفترض أن حالتنا إيجابية. دعونا في حالتنا، أ. ما هي قيمة المصطلح الثاني و؟ يمكنك الإجابة بسهولة على ذلك:
صحيح. وفقًا لذلك، إذا كانت جميع المصطلحات اللاحقة للتقدم لها نفس العلامة - فهي إيجابية.
ماذا لو كانت سلبية؟ على سبيل المثال، أ. ما هي قيمة المصطلح الثاني و؟
هذه قصة مختلفة تماما
حاول حساب شروط هذا التقدم. كم لم تحصل عليه؟ أملك. وبالتالي، إذا، فإن علامات شروط التقدم الهندسي تتناوب. أي إذا رأيت تقدماً بعلامات متناوبة لأعضائه فإن مقامه سالب. يمكن أن تساعدك هذه المعرفة على اختبار نفسك عند حل المشكلات المتعلقة بهذا الموضوع.
الآن دعونا نتدرب قليلًا: حاول تحديد أي تسلسل رقمي يمثل تقدمًا هندسيًا وأيها يمثل تقدمًا حسابيًا:
فهمتها؟ دعونا نقارن إجاباتنا:
- التقدم الهندسي - 3، 6.
- التقدم الحسابي - 2، 4.
- إنها ليست متتابعة حسابية أو هندسية - 1، 5، 7.
دعنا نعود إلى تقدمنا الأخير ونحاول العثور على العضو الخاص به، تمامًا كما هو الحال في التقدم الحسابي. كما كنت قد خمنت، هناك طريقتان للعثور عليه.
نحن نضرب كل حد على التوالي.
لذا، فإن الحد العاشر للتقدم الهندسي الموصوف يساوي.
كما خمنت بالفعل، الآن سوف تستمد بنفسك صيغة ستساعدك في العثور على أي عضو في التقدم الهندسي. أو هل قمت بالفعل بتطويره بنفسك، مع وصف كيفية العثور على العضو رقم خطوة بخطوة؟ إذا كان الأمر كذلك، فتحقق من صحة تفكيرك.
ولنوضح ذلك بمثال إيجاد الحد العاشر لهذا التقدم:
بعبارة أخرى:
أوجد قيمة حد المتوالية الهندسية المعطاة بنفسك.
حدث؟ دعونا نقارن إجاباتنا:
يرجى ملاحظة أنك حصلت على نفس الرقم تمامًا كما في الطريقة السابقة، عندما قمنا بضربنا بالتتابع في كل حد سابق من المتوالية الهندسية.
دعونا نحاول "نزع الطابع الشخصي" عن هذه الصيغة - فلنضعها بشكل عام ونحصل على:
الصيغة المشتقة صحيحة لجميع القيم - الإيجابية والسلبية. تحقق من ذلك بنفسك عن طريق حساب شروط التقدم الهندسي بالشروط التالية: أ.
هل حسبت؟ دعونا نقارن النتائج:
توافق على أنه سيكون من الممكن العثور على مصطلح التقدم بنفس طريقة العثور على مصطلح، ومع ذلك، هناك احتمال لحساب غير صحيح. وإذا وجدنا بالفعل الحد العاشر للتقدم الهندسي، فما الذي يمكن أن يكون أبسط من استخدام الجزء "المقطوع" من الصيغة.
تناقص التقدم الهندسي بشكل لا نهائي.
تحدثنا مؤخرًا عن حقيقة أنه يمكن أن يكون أكبر أو أقل من الصفر، إلا أن هناك قيمًا خاصة تسمى المتوالية الهندسية يتناقص بلا حدود.
لماذا تعتقد أن هذا الاسم أعطى؟
أولاً، دعونا نكتب بعض التقدم الهندسي المكون من الحدود.
فلنقول إذن:
نرى أن كل حد لاحق أقل من الذي قبله بعامل، ولكن هل سيكون هناك أي رقم؟ سوف تجيب على الفور بـ "لا". وهذا هو السبب في أنه يتناقص بلا حدود - فهو يتناقص ويتناقص، لكنه لا يصبح صفرًا أبدًا.
لكي نفهم بوضوح كيف يبدو هذا بصريًا، دعونا نحاول رسم رسم بياني لتقدمنا. لذا، في حالتنا، تأخذ الصيغة الشكل التالي:
في الرسوم البيانية اعتدنا على رسم الاعتماد عليها، لذلك:
لم يتغير جوهر التعبير: في الإدخال الأول أظهرنا اعتماد قيمة عضو في متوالية هندسية على رقمه الترتيبي، وفي الإدخال الثاني أخذنا ببساطة قيمة عضو في متوالية هندسية على أنها ، وتم تعيين الرقم الترتيبي ليس كـ، بل كـ. كل ما يتعين علينا القيام به هو بناء رسم بياني.
دعونا نرى ما حصل. هذا هو الرسم البياني الذي توصلت إليه:
هل ترى؟ تتناقص الدالة، وتميل إلى الصفر، ولكنها لا تتعداها أبدًا، لذا فهي تتناقص إلى ما لا نهاية. دعونا نحدد نقاطنا على الرسم البياني، وفي نفس الوقت ما الإحداثيات والمعنى:
حاول أن ترسم رسمًا بيانيًا للتقدم الهندسي بشكل تخطيطي إذا كان حده الأول متساويًا أيضًا. تحليل ما هو الفرق مع الرسم البياني السابق لدينا؟
هل تستطيع فعلها؟ هذا هو الرسم البياني الذي توصلت إليه:
الآن بعد أن فهمت تمامًا أساسيات موضوع التقدم الهندسي: أنت تعرف ما هو، وتعرف كيفية العثور على مصطلحه، وتعرف أيضًا ما هو التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي، دعنا ننتقل إلى خاصيته الرئيسية.
خاصية التقدم الهندسي.
هل تتذكر خاصية شروط التقدم الحسابي؟ نعم، نعم، كيفية العثور على قيمة عدد معين من التقدم عندما تكون هناك قيم سابقة ولاحقة لشروط هذا التقدم. هل تذكر؟ هذا:
الآن نحن نواجه نفس السؤال تمامًا فيما يتعلق بشروط التقدم الهندسي. لاستخلاص مثل هذه الصيغة، لنبدأ بالرسم والتفكير. سترى أن الأمر سهل جدًا، وإذا نسيت، يمكنك إخراجه بنفسك.
لنأخذ متوالية هندسية بسيطة أخرى، والتي نعرفها و. كيف تجد؟ مع التقدم الحسابي الأمر سهل وبسيط، ولكن ماذا عن هنا؟ في الواقع، لا يوجد شيء معقد في الهندسة أيضًا - ما عليك سوى كتابة كل قيمة تُعطى لنا وفقًا للصيغة.
قد تسأل ماذا يجب أن نفعل حيال ذلك الآن؟ نعم، بسيط جدا. أولاً، دعونا نصور هذه الصيغ في صورة ونحاول إجراء عمليات معالجة مختلفة بها للوصول إلى القيمة.
دعونا نلخص الأرقام المعطاة لنا، ودعونا نركز فقط على التعبير عنها من خلال الصيغة. علينا إيجاد القيمة الموضحة باللون البرتقالي، مع معرفة الحدود المجاورة لها. دعونا نحاول القيام بإجراءات مختلفة معهم، ونتيجة لذلك يمكننا الحصول عليها.
إضافة.
دعونا نحاول إضافة تعبيرين ونحصل على:
من هذا التعبير، كما ترون، لا يمكننا التعبير عنه بأي شكل من الأشكال، لذلك، سنحاول خيار آخر - الطرح.
الطرح.
وكما ترى، لا يمكننا التعبير عن ذلك أيضًا، لذا دعونا نحاول ضرب هذه المقادير في بعضها البعض.
عمليه الضرب.
انظر الآن بعناية إلى ما لدينا من خلال ضرب شروط التقدم الهندسي المعطاة لنا مقارنة بما يجب العثور عليه:
خمن ما أتحدث عنه؟ بشكل صحيح، للعثور علينا نحتاج إلى أخذ الجذر التربيعي لأرقام التقدم الهندسي المجاورة للرقم المطلوب مضروبًا في بعضها البعض:
ها أنت ذا. لقد استمدت بنفسك خاصية التقدم الهندسي. حاول كتابة هذه الصيغة بشكل عام. حدث؟
نسيت الشرط ل؟ فكر في سبب أهميته، على سبيل المثال، حاول حسابه بنفسك. ماذا سيحدث في هذه الحالة؟ هذا صحيح، محض هراء لأن الصيغة تبدو كما يلي:
وبناء على ذلك، لا ننسى هذا القيد.
الآن دعونا نحسب ما يساويه
اجابة صحيحة - ! إذا لم تنس القيمة الثانية المحتملة أثناء الحساب، فأنت رائع ويمكنك الانتقال فورًا إلى التدريب، وإذا نسيت، فاقرأ ما تمت مناقشته أدناه وانتبه إلى سبب وجوب كتابة كلا الجذرين في إجابة.
لنرسم كلا من التقدمين الهندسيين لدينا - أحدهما بقيمة والآخر بقيمة ونتحقق مما إذا كان لكل منهما الحق في الوجود:
من أجل التحقق من وجود مثل هذا التقدم الهندسي أم لا، من الضروري معرفة ما إذا كانت جميع حدوده المعطاة هي نفسها؟ احسب q للحالتين الأولى والثانية.
ترى لماذا علينا أن نكتب إجابتين؟ لأن علامة المصطلح الذي تبحث عنه تعتمد على ما إذا كانت إيجابية أم سلبية! وبما أننا لا نعرف ما هو، علينا كتابة الإجابتين بعلامة موجب وسالب.
الآن بعد أن أتقنت النقاط الرئيسية واستنتجت صيغة خاصية التقدم الهندسي، ابحث عن ومعرفة و
قارن إجاباتك بالإجابات الصحيحة:
ما رأيك، ماذا لو لم يتم إعطاؤنا قيم شروط التقدم الهندسي المجاورة للرقم المطلوب، ولكن على مسافة متساوية منه. على سبيل المثال، نحن بحاجة إلى العثور على، وإعطاء و. هل يمكننا استخدام الصيغة التي استنتجناها في هذه الحالة؟ حاول تأكيد أو دحض هذا الاحتمال بنفس الطريقة، مع وصف ما تتكون منه كل قيمة، كما فعلت عندما استنتجت الصيغة في الأصل.
على ماذا حصلت؟
الآن انظر بعناية مرة أخرى.
وبالمقابل:
من هذا يمكننا أن نستنتج أن الصيغة تعمل ليس فقط مع الدول المجاورةمع الشروط المطلوبة للتقدم الهندسي، ولكن أيضًا مع على مسافة متساويةمن ما يبحث عنه الأعضاء.
وبالتالي، فإن صيغتنا الأولية تأخذ الشكل:
أي أننا إذا قلنا ذلك في الحالة الأولى، فإننا نقول الآن إنه يمكن أن يساوي أي عدد طبيعي أصغر منه. الشيء الرئيسي هو أنه هو نفسه لكلا الرقمين المحددين.
تدرب على أمثلة محددة، فقط كن حذرًا للغاية!
- ، . يجد.
- ، . يجد.
- ، . يجد.
مقرر؟ أتمنى أن تكون منتبهًا للغاية وأن تلاحظ وجود مشكلة صغيرة.
دعونا نقارن النتائج.
في الحالتين الأوليين، نطبق الصيغة المذكورة أعلاه بهدوء ونحصل على القيم التالية:
وفي الحالة الثالثة، وبعد الفحص الدقيق للأرقام التسلسلية للأرقام المعطاة لنا، نفهم أنها ليست على مسافة متساوية من الرقم الذي نبحث عنه: فهو الرقم السابق، ولكنه محذوف في موضع، لذا فهو ليس من الممكن تطبيق الصيغة.
كيف حلها؟ انها في الواقع ليست صعبة كما يبدو! دعونا نكتب مما يتكون كل رقم مُعطى لنا والرقم الذي نبحث عنه.
لذلك لدينا و. دعونا نرى ما يمكننا القيام به معهم؟ أقترح التقسيم على. نحن نحصل:
نستبدل بياناتنا في الصيغة:
الخطوة التالية التي يمكننا إيجادها هي - لهذا نحتاج إلى أخذ الجذر التكعيبي للرقم الناتج.
الآن دعونا ننظر مرة أخرى إلى ما لدينا. لدينا ذلك، ولكن علينا العثور عليه، وهو بدوره يساوي:
وجدنا جميع البيانات اللازمة للحساب. استبدل في الصيغة:
جوابنا: .
حاول حل مشكلة أخرى مماثلة بنفسك:
منح: ،
يجد:
كم لم تحصل عليه؟ أملك - .
كما ترون، في الأساس تحتاج تذكر صيغة واحدة فقط- . ويمكنك سحب الباقي بنفسك دون أي صعوبة في أي وقت. للقيام بذلك، ما عليك سوى كتابة أبسط تقدم هندسي على قطعة من الورق وكتابة ما يساويه كل رقم من أرقامه، وفقًا للصيغة الموضحة أعلاه.
مجموع شروط التقدم الهندسي.
الآن دعونا نلقي نظرة على الصيغ التي تسمح لنا بحساب مجموع حدود التقدم الهندسي بسرعة في فترة زمنية معينة:
لاشتقاق صيغة مجموع حدود المتتابعة الهندسية المحدودة، اضرب جميع أجزاء المعادلة أعلاه في. نحن نحصل:
انظر بعناية: ما هو الشيء المشترك بين الصيغتين الأخيرتين؟ هذا صحيح، الأعضاء المشتركون مثلاً، وهكذا، باستثناء العضو الأول والأخير. دعونا نحاول طرح الأول من المعادلة الثانية. على ماذا حصلت؟
الآن عبر عن حد التقدم الهندسي من خلال الصيغة واستبدل التعبير الناتج في الصيغة الأخيرة:
قم بتجميع التعبير. يجب ان تحصل على:
كل ما يتعين علينا القيام به هو التعبير عن:
وفقا لذلك، في هذه الحالة.
ماذا إذا؟ ما هي الصيغة التي تعمل بعد ذلك؟ تخيل تقدمًا هندسيًا عند. كيف تبدو؟ سلسلة من الأرقام المتطابقة صحيحة، لذا ستبدو الصيغة كما يلي:
هناك العديد من الأساطير حول التقدم الحسابي والهندسي. واحد منهم هو أسطورة ست، خالق الشطرنج.
يعرف الكثير من الناس أن لعبة الشطرنج اخترعت في الهند. عندما التقى بها الملك الهندوسي، كان مسرورًا بذكائها وتنوع المناصب الممكنة فيها. بعد أن علم أن أحد رعاياه اخترعها، قرر الملك أن يكافئه شخصيًا. استدعى المخترع إلى نفسه وأمره أن يطلب منه كل ما يريد، ووعد بتحقيق حتى أكثر الرغبات مهارة.
طلب سيتا وقتًا للتفكير، وعندما ظهر سيتا أمام الملك في اليوم التالي، فاجأ الملك بالتواضع غير المسبوق في طلبه. طلب أن يعطي حبة قمح للمربع الأول من رقعة الشطرنج، وحبة قمح للمربع الثاني، وحبة قمح للمربع الثالث، وحبة قمح للربع، الخ.
فغضب الملك وطرد سيث قائلاً إن طلب الخادم لا يليق بكرم الملك، لكنه وعد بأن الخادم سيحصل على حبوبه مقابل كل مربعات اللوح.
والآن السؤال: باستخدام صيغة مجموع حدود التقدم الهندسي، احسب عدد الحبوب التي يجب أن يحصل عليها سيث؟
لنبدأ بالتفكير. وبما أن سيث، بحسب الشرط، طلب حبة قمح للمربع الأول من رقعة الشطرنج، وللثاني، والثالث، والرابع، وما إلى ذلك، فإننا نرى أن المشكلة تتعلق بمتتابعة هندسية. ماذا يساوي في هذه الحالة؟
يمين.
مجموع مربعات رقعة الشطرنج. على التوالى، . لدينا جميع البيانات، وكل ما تبقى هو إدخالها في الصيغة وإجراء الحساب.
لتخيل "مقياس" رقم معين على الأقل تقريبًا، نقوم بالتحويل باستخدام خصائص الدرجة:
بالطبع، إذا كنت تريد، يمكنك استخدام آلة حاسبة وحساب الرقم الذي ستحصل عليه في النهاية، وإذا لم يكن الأمر كذلك، فسيتعين عليك أن تصدق كلامي: القيمة النهائية للتعبير ستكون.
إنه:
كوينتيليون كوادريليون تريليون مليار مليون ألف.
أوه) إذا كنت تريد أن تتخيل ضخامة هذا العدد، فقم بتقدير حجم الحظيرة المطلوبة لاستيعاب الكمية الكاملة من الحبوب.
إذا كان ارتفاع الحظيرة م وعرضها م، فيجب أن يمتد طولها لمسافة كيلومتر، أي. ضعف المسافة من الأرض إلى الشمس.
لو كان الملك قويا في الرياضيات، لكان بإمكانه أن يدعو العالم نفسه إلى عد الحبوب، لأنه لكي يعد مليون حبة، فإنه يحتاج على الأقل إلى يوم من العد المتواصل، ونظرا لأنه من الضروري عد كوينتيليونات، فإن الحبوب يجب أن يحسب طوال حياته.
والآن دعونا نحل مسألة بسيطة تتضمن مجموع حدود المتوالية الهندسية.
أصيب طالب في الصف 5A فاسيا بالأنفلونزا، لكنه يواصل الذهاب إلى المدرسة. كل يوم، يصيب فاسيا شخصين، اللذين بدورهما يصيبان شخصين آخرين، وهكذا. لا يوجد سوى الناس في الفصل. في كم يومًا سيصاب الفصل بأكمله بالأنفلونزا؟
لذلك، فإن المصطلح الأول للتقدم الهندسي هو فاسيا، أي شخص. أما الفصل الرابع من المتوالية الهندسية فهو الشخصان اللذان نقل إليهما العدوى في أول يوم من وصوله. المجموع الإجمالي لشروط التقدم يساوي عدد طلاب 5A. وعليه فإننا نتحدث عن تقدم يتم فيه:
لنستبدل بياناتنا في صيغة مجموع حدود المتوالية الهندسية:
سوف يمرض الفصل بأكمله في غضون أيام. لا تصدق الصيغ والأرقام؟ حاول تصوير "عدوى" الطلاب بنفسك. حدث؟ انظروا كيف يبدو بالنسبة لي:
احسب بنفسك عدد الأيام التي سيستغرقها الطلاب ليصابوا بالأنفلونزا إذا أصاب كل منهم شخصًا واحدًا، وكان هناك شخص واحد فقط في الفصل.
ما القيمة التي حصلت عليها؟ اتضح أن الجميع بدأ يمرض بعد يوم واحد.
كما ترون، فإن هذه المهمة والرسم الخاص بها يشبهان الهرم، حيث "تجلب" كل مهمة لاحقة أشخاصًا جددًا. ومع ذلك، عاجلا أم آجلا، تأتي لحظة عندما لا يستطيع الأخير جذب أي شخص. في حالتنا، إذا تخيلنا أن الفصل معزول، فإن الشخص يغلق السلسلة (). وبالتالي، إذا كان الشخص متورطا في الهرم المالي، حيث تم إعطاء المال إذا أحضرت مشاركين آخرين، فإن الشخص (أو بشكل عام) لن يحضر أي شخص، وبالتالي، سيخسر كل ما استثمره في هذا الاحتيال المالي.
كل ما قيل أعلاه يشير إلى تقدم هندسي متناقص أو متزايد، ولكن، كما تتذكر، لدينا نوع خاص - تقدم هندسي متناقص بلا حدود. كيفية حساب مجموع أعضائها؟ ولماذا يتميز هذا النوع من التقدم بخصائص معينة؟ دعونا معرفة ذلك معا.
لذا، أولاً، دعونا نلقي نظرة مرة أخرى على هذا الرسم للتقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي من مثالنا:
الآن دعونا نلقي نظرة على صيغة مجموع التقدم الهندسي، المشتقة قبل قليل:
أو
ما الذي نسعى إليه؟ هذا صحيح، الرسم البياني يوضح أنه يميل إلى الصفر. وهذا يعني أنه سيكون متساويًا تقريبًا، على التوالي، عند حساب التعبير الذي سنحصل عليه تقريبًا. وفي هذا الصدد، نعتقد أنه عند حساب مجموع متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائي، يمكن إهمال هذه القوس، لأنها ستكون متساوية.
- الصيغة هي مجموع شروط التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي.
مهم!نحن نستخدم صيغة مجموع حدود المتوالية الهندسية المتناقصة بشكل لا نهائي فقط إذا كان الشرط ينص بوضوح على أننا بحاجة إلى إيجاد المجموع لانهائيعدد من أعضاء.
إذا تم تحديد رقم محدد n، فإننا نستخدم الصيغة لمجموع حدود n، حتى لو كان أو.
الآن دعونا نتدرب.
- أوجد مجموع الحدود الأولى للتقدم الهندسي باستخدام و.
- أوجد مجموع حدود المتتابعة الهندسية المتناقصة بشكل لا نهائي باستخدام و.
أتمنى أن تكون حذراً للغاية. دعونا نقارن إجاباتنا:
الآن أنت تعرف كل شيء عن التقدم الهندسي، وحان الوقت للانتقال من النظرية إلى التطبيق. مشاكل التقدم الهندسي الأكثر شيوعًا التي تمت مواجهتها في الاختبار هي مشاكل حساب الفائدة المركبة. هؤلاء هم الذين سنتحدث عنهم.
مسائل في حساب الفائدة المركبة.
ربما تكون قد سمعت عما يسمى بصيغة الفائدة المركبة. هل تفهم ماذا يعني ذلك؟ إذا لم يكن الأمر كذلك، فلنكتشف ذلك، لأنه بمجرد أن تفهم العملية نفسها، ستفهم على الفور ما علاقة التقدم الهندسي بها.
نذهب جميعًا إلى البنك ونعلم أن هناك شروطًا مختلفة للودائع: وهذا يشمل المدة والخدمات الإضافية والفائدة بطريقتين مختلفتين لحسابها - بسيطة ومعقدة.
مع مصلحة بسيطةكل شيء أكثر أو أقل وضوحًا: يتم استحقاق الفائدة مرة واحدة في نهاية مدة الإيداع. وهذا هو، إذا قلنا أننا نقوم بإيداع 100 روبل لمدة عام، فسيتم إضافتها فقط في نهاية العام. وفقا لذلك، بحلول نهاية الإيداع، سوف نتلقى روبل.
الفائدة المركبة- هذا هو الخيار الذي يحدث فيه رسملة الفائدة، أي. إضافتها إلى مبلغ الوديعة وحساب الدخل اللاحق ليس من المبلغ الأولي، ولكن من مبلغ الوديعة المتراكمة. الكتابة بالأحرف الكبيرة لا تحدث بشكل مستمر، ولكن مع بعض التكرار. كقاعدة عامة، تكون هذه الفترات متساوية وغالبا ما تستخدم البنوك شهرا أو ربع أو سنة.
لنفترض أننا نقوم بإيداع نفس الروبل سنويًا، ولكن مع رسملة شهرية للإيداع. ماذا نفعل؟
هل تفهم كل شيء هنا؟ إذا لم يكن الأمر كذلك، فلنكتشف ذلك خطوة بخطوة.
أحضرنا الروبل إلى البنك. بحلول نهاية الشهر، من المفترض أن يكون لدينا مبلغ في حسابنا يتكون من الروبل الخاص بنا بالإضافة إلى الفائدة عليه، وهو:
يوافق؟
يمكننا إخراجها من الأقواس ثم نحصل على:
موافق، هذه الصيغة تشبه بالفعل ما كتبناه في البداية. كل ما تبقى هو معرفة النسب المئوية
في بيان المشكلة قيل لنا عن المعدلات السنوية. كما تعلم، نحن لا نضرب في - بل نقوم بتحويل النسب المئوية إلى كسور عشرية، أي:
يمين؟ الآن قد تسأل، من أين جاء الرقم؟ بسيط جدا!
أكرر: بيان المشكلة يقول عنه سنويالفائدة التي تتراكم شهريا. كما تعلمون، في غضون عام من الأشهر، سيخصم البنك منا جزءًا من الفائدة السنوية شهريًا:
أدركت ذلك؟ حاول الآن أن تكتب كيف سيبدو هذا الجزء من الصيغة إذا قلت أن الفائدة يتم حسابها يوميًا.
هل تستطيع فعلها؟ دعونا نقارن النتائج:
أحسنت! دعنا نعود إلى مهمتنا: اكتب المبلغ الذي سيتم إضافته إلى حسابنا في الشهر الثاني، مع مراعاة تراكم الفائدة على مبلغ الإيداع المتراكم.
وهنا ما حصلت عليه:
أو بمعنى آخر:
أعتقد أنك لاحظت بالفعل وجود نمط وشاهدت تقدمًا هندسيًا في كل هذا. اكتب ما سوف يساويه عضوه، أو بمعنى آخر، ما هو المبلغ الذي سنحصل عليه في نهاية الشهر.
فعل؟ دعونا تحقق!
كما ترون، إذا قمت بوضع المال في البنك لمدة عام بسعر فائدة بسيط، فسوف تتلقى روبل، وإذا بسعر فائدة مركب، فستحصل على روبل. الفائدة صغيرة، ولكن هذا يحدث فقط خلال السنة الخامسة، ولكن الرسملة لفترة أطول تكون أكثر ربحية:
دعونا نلقي نظرة على نوع آخر من المسائل التي تتضمن الفائدة المركبة. بعد ما اكتشفته، سيكون الأمر أساسيًا بالنسبة لك. إذن المهمة:
بدأت شركة زفيزدا الاستثمار في الصناعة عام 2000 برأس مال بالدولار. وهي تحصل في كل عام منذ عام 2001 على ربح يعادل رأس مال العام السابق. ما هو مقدار الربح الذي ستحصل عليه شركة "زفيزدا" في نهاية عام 2003 إذا لم يتم سحب الأرباح من التداول؟
رأس مال شركة زفيزدا عام 2000.
- رأس مال شركة زفيزدا عام 2001.
- رأس مال شركة زفيزدا عام 2002.
- رأس مال شركة زفيزدا عام 2003.
أو يمكننا أن نكتب باختصار:
بالنسبة لحالتنا:
2000، 2001، 2002 و 2003.
على التوالى:
روبل
يرجى ملاحظة أنه في هذه المسألة ليس لدينا قسمة على أو على، حيث أن النسبة تعطى سنويا ويتم حسابها سنويا. وهذا هو، عند قراءة مسألة الفائدة المركبة، انتبه إلى النسبة المئوية المعطاة وفي أي فترة يتم حسابها، وعندها فقط انتقل إلى الحسابات.
الآن أنت تعرف كل شيء عن التقدم الهندسي.
تمرين.
- أوجد حد المتوالية الهندسية إذا كان معروفا ذلك و
- أوجد مجموع الحدود الأولى للمتتابعة الهندسية إذا علمت ذلك، و
- بدأت شركة MDM Capital الاستثمار في الصناعة في عام 2003، برأس مال بالدولار. وهي تحصل في كل عام منذ عام 2004 على ربح يعادل رأس مال العام السابق. بدأت شركة MSK Cash Flows الاستثمار في هذه الصناعة في عام 2005 بمبلغ 10000 دولار، وبدأت في تحقيق أرباح في عام 2006 بمبلغ. بكم دولار يزيد رأس مال إحدى الشركات على الأخرى في نهاية عام 2007 إذا لم يتم سحب الأرباح من التداول؟
الإجابات:
- نظرًا لأن بيان المشكلة لا ينص على أن التقدم لا نهائي وأنه مطلوب العثور على مجموع عدد محدد من حدوده، يتم إجراء الحساب وفقًا للصيغة:
شركة إم دي إم كابيتال:2003، 2004، 2005، 2006، 2007.
- يزيد بنسبة 100٪ أي مرتين.
على التوالى:
روبل
شركة إم إس كيه للتدفقات النقدية:2005، 2006، 2007.
- يزيد، أي بالأوقات.
على التوالى:
روبل
روبل
دعونا نلخص.
1) المتوالية الهندسية ( ) عبارة عن تسلسل عددي يختلف حده الأول عن الصفر، وكل حد ابتداء من الثاني يساوي الحد الذي قبله مضروبا في نفس العدد. ويسمى هذا الرقم مقام التقدم الهندسي.
2) معادلة حدود المتوالية الهندسية هي .
3) يمكن أن تأخذ أي قيم باستثناء و.
- إذا، فإن جميع المصطلحات اللاحقة للتقدم لها نفس العلامة - هم إيجابية;
- إذا، ثم جميع الشروط اللاحقة للتقدم علامات بديلة
- متى - يسمى التقدم متناقصًا بلا حدود.
4) ، في - خاصية التقدم الهندسي (المصطلحات المجاورة)
أو
، عند (مصطلحات متساوية البعد)
وعندما تجده، لا تنس ذلك يجب أن يكون هناك إجابتين.
على سبيل المثال،
5) يتم حساب مجموع شروط التقدم الهندسي بالصيغة:
أو
أو
مهم!نحن نستخدم صيغة مجموع حدود المتوالية الهندسية المتناقصة بشكل لا نهائي فقط إذا كان الشرط ينص بوضوح على أننا بحاجة إلى إيجاد مجموع عدد لا نهائي من الحدود.
6) يتم أيضًا حساب مسائل الفائدة المركبة باستخدام صيغة الحد الرابع من التقدم الهندسي، بشرط عدم سحب الأموال من التداول:
المتوالية الهندسية. باختصار عن الأشياء الرئيسية
المتوالية الهندسية( ) هي متوالية عددية حدها الأول يختلف عن الصفر، وكل حد ابتداء من الثاني يساوي الحد الذي قبله مضروبا في نفس العدد. هذا الرقم يسمى مقام التقدم الهندسي.
مقام التقدم الهندسييمكن أن تأخذ أي قيمة باستثناء و.
- إذا، فإن جميع المصطلحات اللاحقة للتقدم لها نفس العلامة - فهي إيجابية؛
- إذا، فإن جميع الأعضاء اللاحقين في التقدم يتبادلون العلامات؛
- متى - يسمى التقدم متناقصًا بلا حدود.
معادلة شروط التقدم الهندسي - .
مجموع شروط التقدم الهندسيتحسب بواسطة الصيغة:
أو
إذا كان التقدم يتناقص بشكل لا نهائي، فعندئذ:
المقالات 2/3 المتبقية متاحة فقط للطلاب الأذكياء!
كن طالبًا في YouClever،
الاستعداد لامتحان الدولة الموحدة أو امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات بسعر "فنجان قهوة شهريًا"،
واحصل أيضًا على وصول غير محدود إلى الكتاب المدرسي "YouClever"، وبرنامج الإعداد "100gia" (كتاب الحلول)، واختبار غير محدود لامتحان الدولة الموحدة واختبار الدولة الموحدة، و6000 مشكلة مع تحليل الحلول، وخدمات YouClever و100gia الأخرى.
الدرس حول هذا الموضوع "تناقص التقدم الهندسي بشكل لا نهائي"
الغرض من الدرس:تعريف الطلاب بنوع جديد من التسلسل - وهو تقدم هندسي متناقص بشكل لا نهائي.
مهام:
صياغة فكرة أولية عن حد التسلسل العددي؛ التعرف على طريقة أخرى لتحويل الكسور الدورية اللانهائية إلى كسور عادية باستخدام صيغة مجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي؛
تنمية الصفات الفكرية لشخصية تلاميذ المدارس مثل التفكير المنطقي والقدرة على القيام بإجراءات تقييمية والتعميم؛
تعزيز النشاط والمساعدة المتبادلة والجماعية والاهتمام بالموضوع.
معدات:فئة الكمبيوتر، جهاز العرض، الشاشة.
نوع الدرس:الدرس - تعلم موضوع جديد.
خلال الفصول الدراسية
أنا . منظمة. لحظة. اذكر موضوع الدرس والغرض منه.
ثانيا . تحديث معارف الطلاب.1. التحقق من الواجبات المنزلية.
1) التحقق من الصيغ الأساسية المتعلقة بالمتتابعات الحسابية والهندسية. يقوم طالبان بإعداد ملاحظات حول الصيغ على السبورة.
2) يفعله باقي الطلاب الإملاء الرياضي حول موضوع "مجموع الصيغ".
مهام:
№1. أوجد مجموع الحدود الخمسة الأولى للتقدم الحسابي إذا كان حدها الأول هو 6 (الخيار الأول)، -20 (الخيار الثاني)، والحد الخامس هو -6 (الخيار الأول)، 20 (الخيار الثاني).
№2. أوجد مجموع الحدود الخمسة الأولى للتقدم الحسابي إذا كان حدها الأول هو -20 (الخيار الأول)، و6 (الخيار الثاني)، والفرق هو 10 (الخيار الأول)، و-3 (الخيار الثاني).
№3. أوجد مجموع الحدود الخمسة الأولى للمتتالية الهندسية إذا كان حدها الأول يساوي 1 (الخيار الأول)، -1 (الخيار الثاني)، والمقام هو -2 (الخيار الأول)، 2 (الخيار الثاني).
في نهاية الإملاء، يتم فحص عمل اثنين من الطلاب بشكل انتقائي للتقييم، بينما يقوم الباقي بإجراء اختبار ذاتي باستخدام الحلول الجاهزة المكتوبة على لوحات السبورة.
حلول:
مهام
1. يتم إعطاء التقدم الحسابي من خلال الصيغة أ ن = 7 – 4 ن. يجد أ 10 . (-33)
2. في التقدم الحسابي أ 3 = 7 و أ 5 = 1 . يجد أ 4 . (4)
3. في التقدم الحسابي أ 3 = 7 و أ 5 = 1 . يجد أ 17 . (-35)
4. في التقدم الحسابي أ 3 = 7 و أ 5 = 1 . يجد س 17 . (-187)
5. للتقدم الهندسي 
العثور على الحد الخامس. 
6. للتقدم الهندسي يجد نالعضو ال. 
7. أضعافا مضاعفة ب 3 = 8 و ب 5 = 2 . يجد ب 4 . (4)
8. أضعافا مضاعفة ب
3
= 8
و ب
5
= 2
. يجد ب
1
و
س
. 
9. أضعافا مضاعفة ب 3 = 8 و ب 5 = 2 . يجد س 5 . (62)
ثالثا . تعلم موضوع جديد(مظاهرة العرض).
لنفترض مربعًا طول ضلعه 1. لنرسم مربعًا آخر طول ضلعه نصف حجم المربع الأول، ثم مربعًا آخر طول ضلعه نصف الثاني، ثم المربع الذي يليه، وما إلى ذلك. في كل مرة يساوي جانب المربع الجديد نصف المربع السابق.
ونتيجة لذلك، حصلنا على سلسلة من جوانب المربعات 
تشكيل متوالية هندسية مع المقام .
والأهم من ذلك، أنه كلما قمنا ببناء مثل هذه المربعات، كلما كان جانب المربع أصغر. على سبيل المثال,
أولئك. ومع زيادة العدد n، تقترب شروط التقدم من الصفر.
باستخدام هذا الرقم، يمكنك التفكير في تسلسل آخر.
على سبيل المثال، تسلسل مساحات المربعات:
. ومرة أخرى، إذا نتزداد إلى أجل غير مسمى، ثم تقترب المساحة من الصفر إلى أقرب ما تريد.
دعونا ننظر إلى مثال آخر. مثلث متساوي الأضلاع طول أضلاعه 1 سم. لنقم ببناء المثلث التالي بحيث تكون رءوسه في منتصف أضلاع المثلث الأول، وفقًا لنظرية خط الوسط للمثلث - ضلع الثاني يساوي نصف ضلع الأول، وضلع الثالث يساوي نصف الجانب الثاني، الخ. مرة أخرى نحصل على سلسلة من أطوال أضلاع المثلثات.
في 
.
إذا اعتبرنا تقدمًا هندسيًا بمقام سلبي.
ثم، مرة أخرى، بأعداد متزايدة نشروط التقدم تقترب من الصفر.
دعونا ننتبه إلى قواسم هذه المتتابعات. في كل مكان كانت القواسم أقل من 1 في القيمة المطلقة.
يمكننا أن نستنتج أن المتتابعة الهندسية سوف تتناقص بشكل لا نهائي إذا كان معامل مقامها أقل من 1.
العمل الأمامي.
تعريف:
يقال إن المتوالية الهندسية تتناقص بشكل لا نهائي إذا كان معامل مقامها أقل من واحد. 
.
باستخدام التعريف، يمكنك أن تقرر ما إذا كان التقدم الهندسي يتناقص بشكل لا نهائي أم لا.
مهمة
هل المتوالية عبارة عن متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائي إذا كانت معطاة بالصيغة:
; 
.
حل:
. سوف نجد س
.
; 
; 
; 
.
هذا التقدم الهندسي يتناقص بلا حدود.
ب)هذا التسلسل ليس تقدمًا هندسيًا متناقصًا بشكل لا نهائي.
خذ بعين الاعتبار مربعًا طول ضلعه يساوي 1. اقسمه إلى نصفين، أي نصفين إلى نصفين، وما إلى ذلك. تشكل مساحات جميع المستطيلات الناتجة متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائي: 
مجموع مساحات جميع المستطيلات التي تم الحصول عليها بهذه الطريقة سيكون مساوياً لمساحة المربع الأول ويساوي 1. 
لكن على الجانب الأيسر من هذه المساواة يوجد مجموع عدد لا نهائي من الحدود.
لنفكر في مجموع حدود n الأولى. 
وفقًا لصيغة مجموع الحدود n الأولى للتقدم الهندسي، فهي تساوي 
.
لو نيزيد بلا حدود إذن
أو 
. لهذا 
، أي. 
.
مجموع متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائيهناك حد التسلسل س 1 , س 2 , س 3 , …, س ن , … .
على سبيل المثال، للتقدم 
,
لأن 
مجموع متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائييمكن العثور عليها باستخدام الصيغة 
.
ثالثا . الفهم والتوحيد(استكمال المهام).
المهمة رقم 2. أوجد مجموع متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائي حيث يكون الحد الأول 3 والحد الثاني 0.3.
حل:
المهمة رقم 3. الكتاب المدرسي ص 160 رقم 433(1)
أوجد مجموع المتوالية الهندسية المتناقصة بلا حدود:
حل:
المهمة رقم 4. اكتب الكسر العشري الدوري اللانهائي 0,(5) ككسر عادي.
الطريقة الأولى. دع x=0,(5)= 0.555... / 10 الطريقة الثانية. 0,(5)=0.555…=
المهمة رقم 5. الكتاب المدرسي ص 162 رقم 445(3) (الحل المستقل)
اكتب الكسر العشري الدوري اللانهائي 0,(12) ككسر عادي.
الجواب: 0,(12)= 4/33.
رابعا . تلخيص.
ما هو التسلسل الذي تعرفت عليه اليوم؟
تحديد متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائي.
كيف نثبت أن التقدم الهندسي يتناقص بشكل لا نهائي؟
أعط صيغة مجموع المتوالية الهندسية المتناقصة بشكل لا نهائي.
الخامس . العمل في المنزل.
دعونا نفكر في سلسلة معينة.
7 28 112 448 1792...
ومن الواضح تمامًا أن قيمة أي عنصر من عناصره أكبر بأربع مرات تمامًا من العنصر السابق. هذا يعني أن هذه السلسلة عبارة عن تقدم.
التقدم الهندسي هو تسلسل لا نهائي من الأرقام، السمة الرئيسية له هي أن الرقم التالي يتم الحصول عليه من الرقم السابق عن طريق الضرب برقم محدد. يتم التعبير عن ذلك من خلال الصيغة التالية.
a z +1 =a z ·q، حيث z هو رقم العنصر المحدد.
وفقا لذلك، ض ∈ ن.
الفترة التي يتم فيها دراسة التقدم الهندسي في المدرسة هي الصف التاسع. ستساعدك الأمثلة على فهم المفهوم:
0.25 0.125 0.0625...
وبناء على هذه الصيغة يمكن إيجاد مقام التقدم على النحو التالي:
لا يمكن أن يكون q أو b z صفرًا. كما أن كل عنصر من عناصر التقدم يجب ألا يساوي الصفر.
وفقًا لذلك، لمعرفة الرقم التالي في السلسلة، عليك ضرب الرقم الأخير بـ q.
لتعيين هذا التقدم، يجب عليك تحديد العنصر الأول والمقام. بعد ذلك، من الممكن العثور على أي من الحدود اللاحقة ومجموعها.
أصناف
اعتمادًا على q وa 1، ينقسم هذا التقدم إلى عدة أنواع:
- إذا كان كل من 1 و q أكبر من واحد، فإن هذا التسلسل هو تقدم هندسي يتزايد مع كل عنصر لاحق. ويرد أدناه مثال على ذلك.
مثال: أ 1 =3، ف=2 - كلا المعلمتين أكبر من واحد.
ومن ثم يمكن كتابة التسلسل الرقمي على النحو التالي:
3 6 12 24 48 ...
- إذا |ف| أقل من واحد، أي أن الضرب به يعادل القسمة، فإن المتوالية ذات الشروط المماثلة تكون متوالية هندسية تناقصية. ويرد أدناه مثال على ذلك.
مثال: أ 1 =6، ف=1/3 - أ 1 أكبر من واحد، ف أقل.
ومن ثم يمكن كتابة التسلسل الرقمي على النحو التالي:
6 2 2/3 ... - أي عنصر أكبر بثلاث مرات من العنصر الذي يليه.
- علامة بالتناوب. إذا س<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.
مثال: أ 1 = -3، ف = -2 - كلا المعلمتين أقل من الصفر.
ومن ثم يمكن كتابة التسلسل الرقمي على النحو التالي:
3, 6, -12, 24,...
الصيغ
هناك العديد من الصيغ للاستخدام المريح للتقدم الهندسي:
- صيغة المصطلح Z. يسمح لك بحساب عنصر تحت رقم محدد دون حساب الأرقام السابقة.
مثال:س = 3, أ 1 = 4. مطلوب حساب العنصر الرابع من التقدم.
حل:أ 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.
- مجموع العناصر الأولى التي تساوي كميتها ض. يسمح لك بحساب مجموع كل عناصر التسلسل حتىأ ضشامل.
منذ (1-س) في المقام، ثم (1 - ف)≠ 0، وبالتالي فإن q لا تساوي 1.
ملاحظة: إذا كانت q=1، فسيكون التقدم عبارة عن سلسلة من الأرقام المتكررة بلا حدود.
مجموع التقدم الهندسي، أمثلة:أ 1 = 2, س= -2. احسب S5.
حل:س 5 = 22- الحساب باستخدام الصيغة.
- المبلغ إذا |س| < 1 и если z стремится к бесконечности.
مثال:أ 1 = 2 , س= 0.5. العثور على المبلغ.
حل:سز = 2 · = 4
سز = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4
بعض الخصائص:
- خاصية مميزة. إذا كان الشرط التالي يعمل لأيض، فإن سلسلة الأرقام المعطاة هي تقدم هندسي:
أ ض 2 = أ ض -1 · أض+1
- أيضًا، يمكن العثور على مربع أي رقم في متوالية هندسية عن طريق إضافة مربعي أي رقمين آخرين في سلسلة معينة، إذا كانا على مسافة متساوية من هذا العنصر.
أ ض 2 = أ ض - ر 2 + أ ض + ر 2 ، أينر- المسافة بين هذه الأرقام.
- عناصرتختلف في سمرة واحدة.
- وتشكل لوغاريتمات عناصر التقدم أيضًا تقدمًا، ولكنها حسابية، أي أن كل منها أكبر من السابق برقم معين.
أمثلة على بعض المشاكل الكلاسيكية
لفهم ما هو التقدم الهندسي بشكل أفضل، يمكن أن تساعد الأمثلة مع الحلول للفئة 9.
- شروط:أ 1 = 3, أ 3 = 48. البحثس.
الحل: كل عنصر لاحق أكبر من العنصر الذي قبلهس مرة واحدة.من الضروري التعبير عن بعض العناصر بدلالة عناصر أخرى باستخدام المقام.
لذلك،أ 3 = س 2 · أ 1
عند الاستبدالس= 4
- شروط:أ 2 = 6, أ 3 = 12. احسب S 6.
حل:للقيام بذلك، ما عليك سوى العثور على q، العنصر الأول واستبداله في الصيغة.
أ 3 = س· أ 2 ، لذلك،س= 2
أ 2 = ف · أ 1،لهذا أ 1 = 3
س6= 189
- · أ 1 = 10, س= -2. ابحث عن العنصر الرابع للتقدم.
الحل: للقيام بذلك يكفي التعبير عن العنصر الرابع من خلال الأول ومن خلال المقام.
أ 4 = س 3· أ 1 = -80
مثال تطبيقى:
- قام أحد عملاء البنك بإيداع مبلغ قدره 10000 روبل، وبموجب شروطه، سيضيف العميل كل عام 6٪ منه إلى المبلغ الأصلي. كم سيكون المبلغ في الحساب بعد 4 سنوات؟
الحل: المبلغ الأولي هو 10 آلاف روبل. وهذا يعني أنه بعد سنة من الاستثمار سيكون لدى الحساب مبلغ يساوي 10,000 + 10,000 · 0.06 = 10000 1.06
وعليه فإن المبلغ الموجود في الحساب بعد سنة أخرى سيتم التعبير عنه على النحو التالي:
(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000
أي أن المبلغ يزيد كل عام بمقدار 1.06 مرة. وهذا يعني أنه للعثور على مبلغ الأموال في الحساب بعد 4 سنوات، يكفي العثور على العنصر الرابع من التقدم، والذي يعطى بالعنصر الأول يساوي 10 آلاف والمقام يساوي 1.06.
س = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625
أمثلة على مسائل حساب المجموع:
يستخدم التقدم الهندسي في مختلف المشاكل. يمكن إعطاء مثال للعثور على المبلغ على النحو التالي:
أ 1 = 4, س= 2، احسبس 5.
الحل: جميع البيانات اللازمة للحساب معروفة، ما عليك سوى استبدالها في الصيغة.
س 5 = 124
- أ 2 = 6, أ 3 = 18. احسب مجموع العناصر الستة الأولى.
حل:
في جيوم. التقدم، كل عنصر تالٍ أكبر بمقدار q من العنصر السابق، أي لحساب المجموع الذي تحتاج إلى معرفة العنصرأ 1 والقاسمس.
أ 2 · س = أ 3
س = 3
وبالمثل، تحتاج إلى العثور عليهاأ 1 ، معرفةأ 2 وس.
أ 1 · س = أ 2
أ 1 =2
س 6 = 728.
آنا مالكوفا
المتوالية الهندسيةعبارة عن تسلسل، كل حد منه، بدءًا من الثاني، يساوي منتج الحد السابق وبعض الأرقام الثابتة q:
عدد ثابت سيسمى مقام التقدم الهندسي.
صيغة الحد n من التقدم الهندسي:
صيغة لمجموع الأول يتم حساب أعضاء التقدم الهندسي بالصيغة:
مربع كل حد من المتوالية الهندسية بدءًا من الثاني يساوي حاصل ضرب الحدود المجاورة:
1. تنمو الطحالب على سطح البحيرة. وفي غضون يوم واحد، تنقسم كل طحالب إلى نصفين، وبدلاً من طحالب واحدة تظهر اثنتين. وبعد يوم آخر، يتم تقسيم كل من الطحالب الناتجة إلى نصفين وهكذا. وبعد 30 يومًا، أصبحت البحيرة مغطاة بالكامل بالطحالب. كم من الوقت استغرقت البحيرة حتى امتلأت نصفها؟
الجواب متناقض: بعد 29 يومًا.
من الأفضل حل هذه المشكلة "من النهاية". هنا أمامك بحيرة مليئة بالطحالب. ماذا حدث قبل يوم واحد؟ من الواضح أنه كان هناك نصف عدد الطحالب، أي أن البحيرة كانت نصفها مغطاة بها.
كل يوم كان هناك ضعف عدد الطحالب في البحيرة، أي زاد عددها في التقدم الهندسي.
2. امتحان الدولة الموحدة) حصل رجل الأعمال بوبليكوف على ربح قدره 5000 روبل في عام 2000. وفي كل سنة لاحقة، زادت أرباحه بنسبة 300٪ مقارنة بالعام السابق. كم عدد الروبلات التي كسبها بوبليكوف في عام 2003؟
كانت أرباح بوبليكوف في عام 2000 صغيرة. لكن في كل عام كان الربح يزداد بنسبة 300% أي 4 مرات مقارنة بالعام السابق. المتوالية الهندسية! نحن نبحث عن العضو الرابع لها:
3. (مشكلة امتحان الدولة الموحدة) بدأت شركة ألفا الاستثمار في صناعة واعدة في عام 2001 برأس مال قدره 3000 دولار. وفي كل عام منذ عام 2002، كانت الشركة تحقق ربحًا بنسبة 100% من رأس مال العام السابق. وبدأت شركة بيتا الاستثمار في صناعة أخرى في عام 2003 برأس مال قدره 6000 دولار، ومنذ عام 2004، حققت ربحًا سنويًا قدره 200% من رأس مال العام السابق. بكم دولار كان رأس مال إحدى الشركات أكبر من رأس مال الأخرى في نهاية عام 2006، إذا لم يتم سحب الأرباح من التداول؟
دعونا نحدد المفاهيم الأساسية للمشكلة.
رأس مال الشركة- مجموع الأموال المتاحة للشركة.
ربح– الفرق بين الدخل والمصروفات (التكاليف).
إذا كان ربح شركة ألفا في عام 2002 هو 100% من رأس مال العام السابق، فهذا يعني أن رأس مال شركة ألفا قد تضاعف خلال العام. وبالمثل، تضاعف رأس مال ألفا في الأعوام 2003 و2004 و2005 و2006، أي أنه كان آلاف الدولارات في عام 2006.
ويزداد رأس مال شركة بيتا 3 مرات سنويا. وفي عام 2006، زادت عدة مرات مقارنة بعام 2003 وبلغت بالدولار.
وهذا يزيد بـ 66 ألف دولار عن رأس مال شركة ألفا.
تناقص التقدم الهندسي بشكل لا نهائي
متوالية هندسية مقامها |q|<1, называется бесконечно убывающей.
مثال على متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائي.
ما هو مقدارها؟
لنرسم مستطيلاً بمساحة 1. أضف إليه مساحات بمساحة
إلى ماذا تميل مساحة الشكل الناتج مع الزيادة اللانهائية في n، أي مع إضافة مساحات أصغر من أي وقت مضى؟ من الواضح، من خلال اثنين.
مجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي هو الرقم الذي تم العثور عليه بواسطة الصيغة:
هناك نكتة رياضية، والآن سوف تفهمها.
عدد لا حصر له من علماء الرياضيات يدخلون إلى الحانة. يقول الأول: "سأتناول كأسًا من البيرة!" ثانياً: "سأتناول نصف كوب من البيرة!" ثالثًا: "سأتناول ربع كوب من البيرة!" رابعاً: "سأتناول كأساً من البيرة!" النادل: "انتظر لحظة... أنا أعرف حيلك - لديك كأسان من البيرة للجميع!"
مشاكل امتحان الدولة الموحدة لحل مستقل
1. حصل رجل الأعمال كوروفين على ربح قدره 1400000 روبل في عام 2000. وفي كل سنة لاحقة، زادت أرباحه بنسبة 20٪ مقارنة بالعام السابق. كم عدد الروبل الذي كسبه كوروفين في عام 2004؟
2. بدأت شركة ألفا الاستثمار في صناعة واعدة في عام 2001 برأس مال قدره 4000 دولار. وفي كل عام منذ عام 2002، كانت الشركة تحقق ربحًا يعادل 100% من رأس مال العام السابق. وبدأت شركة بيتا الاستثمار في صناعة أخرى في عام 2004 برأس مال قدره 4500 دولار، ومنذ عام 2005، حققت ربحًا سنويًا قدره 200% من رأس مال العام السابق. بكم دولار كان رأس مال إحدى الشركات أكبر من رأس مال الأخرى في نهاية عام 2007، إذا لم يتم سحب الأرباح من التداول؟
- الجواب: 2903040
- الجواب: 134500
