دعونا نحلل نوعين من الحلول لأنظمة المعادلات:

1. حل النظام باستخدام طريقة الاستبدال.
2. حل النظام عن طريق الجمع (الطرح) لمعادلات النظام حدًا تلو الآخر.

من أجل حل نظام المعادلات بطريقة الاستبدالتحتاج إلى اتباع خوارزمية بسيطة:
1. اكسبريس. من أي معادلة نعبر عن متغير واحد.
2. بديل. نعوض بالقيمة الناتجة في معادلة أخرى بدلاً من المتغير المعبر عنه.
3. حل المعادلة الناتجة بمتغير واحد. نجد حلا للنظام.

لتحل النظام عن طريق طريقة الجمع (الطرح) مصطلحًا تلو الآخربحاجة ل:
1. حدد المتغير الذي سنعمل له معاملات متطابقة.
2. نقوم بجمع أو طرح المعادلات، مما ينتج عنه معادلة ذات متغير واحد.
3. حل المعادلة الخطية الناتجة. نجد حلا للنظام.

حل النظام هو نقاط تقاطع الرسوم البيانية للوظائف.

دعونا نفكر بالتفصيل في حل الأنظمة باستخدام الأمثلة.

مثال 1:

دعونا نحل بطريقة الاستبدال

حل نظام المعادلات باستخدام طريقة الاستبدال

2x+5y=1 (معادلة واحدة)
x-10y=3 (المعادلة الثانية)

1. اكسبريس
ويمكن ملاحظة أنه يوجد في المعادلة الثانية متغير x بمعامل 1، مما يعني أنه من الأسهل التعبير عن المتغير x من المعادلة الثانية.
س=3+10ص

2. وبعد أن عبرنا عنها، نعوض بـ 3+10y في المعادلة الأولى بدلاً من المتغير x.
2(3+10ص)+5ص=1

3. حل المعادلة الناتجة بمتغير واحد.
2(3+10ص)+5ص=1 (افتح القوسين)
6+20ص+5ص=1
25ص=1-6
25ص=-5 |: (25)
ص=-5:25
ص=-0.2

حل نظام المعادلة هو نقاط تقاطع الرسوم البيانية، لذلك علينا إيجاد x و y، لأن نقطة التقاطع تتكون من x و y.لنجد x، في النقطة الأولى التي عبرنا عنها نستبدل y.
س=3+10ص
س=3+10*(-0.2)=1

ومن المعتاد أن نكتب النقاط في المقام الأول نكتب المتغير x، وفي المركز الثاني المتغير y.
الجواب: (1؛ -0.2)

المثال رقم 2:

دعونا نحل باستخدام طريقة الجمع (الطرح) حدًا تلو الآخر.

حل نظام المعادلات باستخدام طريقة الجمع

3x-2y=1 (معادلة واحدة)
2x-3y=-10 (المعادلة الثانية)

1. نختار متغيرًا، لنفترض أننا اخترنا x. في المعادلة الأولى، المتغير x له معامل 3، في الثانية - 2. نحن بحاجة إلى جعل المعاملات هي نفسها، ولهذا لدينا الحق في ضرب المعادلات أو القسمة على أي رقم. نضرب المعادلة الأولى في 2، والثانية في 3 ونحصل على المعامل الإجمالي 6.

3س-2ص=1 |*2
6س-4ص=2

2س-3ص=-10 |*3
6س-9ص=-30

2. اطرح الثانية من المعادلة الأولى للتخلص من المتغير x وحل المعادلة الخطية.
__6س-4ص=2

5ص=32 | :5
ص=6.4

3. ابحث عن x. نعوض بـ y الموجود في أي من المعادلات، دعنا نقول في المعادلة الأولى.
3س-2ص=1
3س-2*6.4=1
3س-12.8=1
3س=1+12.8
3x=13.8 |:3
س=4.6

ستكون نقطة التقاطع x=4.6؛ ص=6.4
الجواب: (4.6؛ 6.4)

هل تريد الاستعداد للامتحانات مجانا؟ مدرس على الانترنت مجانا. لا تمزح.

في دورة الرياضيات للصف السابع نواجه لأول مرة المعادلات مع متغيرينولكن يتم دراستها فقط في سياق أنظمة المعادلات ذات المجهولين. وهذا هو السبب في أن سلسلة كاملة من المشكلات التي يتم فيها إدخال شروط معينة على معاملات المعادلة التي تحدها تختفي عن الأنظار. بالإضافة إلى ذلك، يتم أيضًا تجاهل طرق حل المشكلات مثل "حل معادلة بالأعداد الطبيعية أو الصحيحة"، على الرغم من وجود مشكلات من هذا النوع بشكل متزايد في مواد امتحانات الدولة الموحدة وفي امتحانات القبول.

ما المعادلة التي ستسمى معادلة ذات متغيرين؟

لذا، على سبيل المثال، المعادلات 5x + 2y = 10 أو x 2 + y 2 = 20 أو xy = 12 هي معادلات في متغيرين.

خذ بعين الاعتبار المعادلة 2x – y = 1. تصبح صحيحة عندما يكون x = 2 و y = 3، لذا فإن هذا الزوج من القيم المتغيرة هو حل للمعادلة المعنية.

وبالتالي فإن حل أي معادلة ذات متغيرين هو مجموعة من الأزواج المرتبة (x;y)، وهي قيم المتغيرات التي تحول هذه المعادلة إلى مساواة عددية حقيقية.

يمكن للمعادلة ذات المجهولين أن:

أ) لديك حل واحد.على سبيل المثال، المعادلة x 2 + 5y 2 = 0 لها حل فريد (0؛ 0)؛

ب) لديها حلول متعددة.على سبيل المثال، (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 له 4 حلول: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2)؛

الخامس) ليس لديهم حلول.على سبيل المثال، المعادلة x 2 + y 2 + 1 = 0 ليس لها حلول؛

ز) لديها العديد من الحلول لا حصر لها.على سبيل المثال، x + y = 3. حلول هذه المعادلة ستكون أرقام مجموعها يساوي 3. يمكن كتابة مجموعة الحلول لهذه المعادلة على الصورة (k; 3 – k)، حيث k هي أي قيمة حقيقية رقم.

الطرق الرئيسية لحل المعادلات ذات المتغيرين هي الطرق التي تعتمد على تحليل التعبيرات، وعزل مربع كامل، واستخدام خصائص المعادلة التربيعية، والتعبيرات المحدودة، وطرق التقدير. عادة ما يتم تحويل المعادلة إلى شكل يمكن من خلاله الحصول على نظام للعثور على المجهول.

التخصيم

مثال 1.

حل المعادلة: xy – 2 = 2x – y.

حل.

نقوم بتجميع المصطلحات لغرض التحليل:

(ص + ص) – (2س + 2) = 0. من كل قوس نخرج عاملاً مشتركًا:

ص(س + 1) – 2(س + 1) = 0;

(س + 1)(ص – 2) = 0. لدينا:

y = 2، x – أي عدد حقيقي أو x = -1، y – أي عدد حقيقي.

هكذا، الجواب هو جميع أزواج النموذج (x; 2)، x € R و (-1؛ y)، y € R.

مساواة الأعداد غير السالبة بالصفر

مثال 2.

حل المعادلة: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

حل.

التجميع:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. الآن يمكن طي كل قوس باستخدام صيغة الفرق التربيعي.

(3س - 2) 2 + (2ص - 3) 2 = 0.

مجموع تعبيرين غير سالبين يكون صفرًا فقط إذا كان 3x – 2 = 0 و2y – 3 = 0.

هذا يعني أن x = 2/3 و y = 3/2.

الجواب: (2/3؛ 3/2).

طريقة التقدير

مثال 3.

حل المعادلة: (س 2 + 2س + 2)(ص 2 – 4ص + 6) = 2.

حل.

في كل قوس نختار مربعًا كاملاً:

((x + 1) 2 + 1)((ص – 2) 2 + 2) = 2. دعونا نقدر معنى العبارات الموجودة بين قوسين.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 و (y – 2) 2 + 2 ≥ 2، فإن الطرف الأيسر من المعادلة يكون دائمًا على الأقل 2. تكون المساواة ممكنة إذا:

(س + 1) 2 + 1 = 1 و (ص – 2) 2 + 2 = 2، مما يعني أن س = -1، ص = 2.

الجواب: (-1؛2).

دعونا نتعرف على طريقة أخرى لحل المعادلات ذات متغيرين من الدرجة الثانية. تتكون هذه الطريقة من معالجة المعادلة على أنها مربع فيما يتعلق ببعض المتغيرات.

مثال 4.

حل المعادلة: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

حل.

دعونا نحل المعادلة كمعادلة تربيعية لـ x. لنجد المميز:

د = 36 – 4(ص – 4√ص + 13) = -4ص + 16√ص – 16 = -4(√ص – 2) 2 . سيكون للمعادلة حل فقط عندما يكون D = 0، أي إذا كانت y = 4. نعوض بقيمة y في المعادلة الأصلية ونجد أن x = 3.

الجواب: (3؛ 4).

غالبًا ما تشير في المعادلات ذات المجهولين القيود على المتغيرات.

مثال 5.

حل المعادلة بالأعداد الصحيحة: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

حل.

لنعيد كتابة المعادلة على الصورة x 2 = -5y 2 + 20x + 2. الطرف الأيمن من المعادلة الناتجة عند القسمة على 5 يعطي الباقي 2. لذلك، x 2 لا يقبل القسمة على 5. لكن مربع a العدد الذي لا يقبل القسمة على 5 يعطي الباقي 1 أو 4. وبالتالي فإن المساواة مستحيلة ولا توجد حلول.

الجواب: لا جذور.

مثال 6.

حل المعادلة: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

حل.

دعونا نسلط الضوء على المربعات الكاملة في كل قوس:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. الطرف الأيسر من المعادلة دائمًا أكبر من أو يساوي 3. المساواة ممكنة بشرط |x| - 2 = 0 و y + 3 = 0. وبالتالي، x = ± 2، y = -3.

الجواب: (2؛ -3) و (-2؛ -3).

مثال 7.

لكل زوج من الأعداد الصحيحة السالبة (x;y) التي تحقق المعادلة
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33، احسب المجموع (x + y). يرجى الإشارة إلى أصغر مبلغ في إجابتك.

حل.

دعونا نختار المربعات الكاملة:

(س 2 – 2 س ص + ص 2) + (ص 2 + 4 ص + 4) = 37؛

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. بما أن x وy عددان صحيحان، فإن مربعاتهما هي أيضًا أعداد صحيحة. نحصل على مجموع مربعي عددين صحيحين يساوي 37 إذا أضفنا 1 + 36. وبالتالي:

(س - ص) 2 = 36 و (ص + 2) 2 = 1

(س - ص) 2 = 1 و (ص + 2) 2 = 36.

وبحل هذه الأنظمة مع مراعاة أن x و y سالبتين نجد الحلول: (-7؛ -1)، (-9؛ -3)، (-7؛ -8)، (-9؛ -8).

الجواب: -17.

لا تيأس إذا كنت تواجه صعوبة في حل المعادلات ذات المجهولين. مع القليل من الممارسة، يمكنك التعامل مع أي معادلة.

لا تزال لديك أسئلة؟ لا تعرف كيفية حل المعادلات في متغيرين؟
للحصول على مساعدة من المعلم، قم بالتسجيل.
الدرس الأول مجاني!

موقع الويب، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر.

المعادلات

كيفية حل المعادلات؟

في هذا القسم سوف نتذكر (أو ندرس، اعتمادًا على من تختاره) المعادلات الأساسية. إذن ما هي المعادلة؟ في اللغة البشرية، هذا نوع من التعبير الرياضي حيث توجد علامة يساوي ومجهول. والذي يشار إليه عادة بالحرف "X". حل المعادلة- هذا هو العثور على قيم x التي يتم استبدالها بها إبداعيالتعبير سوف يعطينا الهوية الصحيحة. اسمحوا لي أن أذكرك أن الهوية هي تعبير لا شك فيه حتى بالنسبة لشخص غير مثقل بالمعرفة الرياضية على الإطلاق. مثل 2=2، 0=0، ab=ab، وما إلى ذلك. فكيف حل المعادلات؟دعونا معرفة ذلك.

هناك كل أنواع المعادلات (أنا متفاجئ، أليس كذلك؟). ولكن يمكن تقسيم كل تنوعها اللامتناهي إلى أربعة أنواع فقط.

4. آخر.)

كل الباقي، بالطبع، الأهم من ذلك كله، نعم...) وهذا يشمل التكعيبي، الأسي، اللوغاريتمي، المثلثي وجميع أنواع الآخرين. وسنعمل معهم بشكل وثيق في الأقسام المناسبة.

سأقول على الفور أنه في بعض الأحيان تكون معادلات الأنواع الثلاثة الأولى مشوشة للغاية لدرجة أنك لن تتعرف عليها حتى... لا شيء. وسوف نتعلم كيفية الاسترخاء لهم.

ولماذا نحتاج إلى هذه الأنواع الأربعة؟ ثم ماذا المعادلات الخطيةحلها بطريقة واحدة مربعآحرون، الكسر الكسرى - الثالث،أ استراحةإنهم لا يجرؤون على الإطلاق! حسنًا، لا يعني ذلك أنهم لا يستطيعون اتخاذ القرار على الإطلاق، بل إنني كنت مخطئًا في الرياضيات.) الأمر فقط أن لديهم تقنيات وأساليب خاصة بهم.

ولكن لأي (أكرر - ل أي!) توفر المعادلات أساسًا موثوقًا وآمنًا للحل. يعمل في كل مكان ودائما. كريم الأساس هذا - يبدو مخيفًا، لكنه بسيط جدًا. و جدا (جداً!)مهم.

في الواقع، يتكون حل المعادلة من هذه التحولات ذاتها. 99% أجب على السؤال: " كيفية حل المعادلات؟" يكمن بالتحديد في هذه التحولات. هل التلميح واضح؟)

التحويلات المتطابقة للمعادلات.

في أي معادلاتللعثور على المجهول، تحتاج إلى تحويل وتبسيط المثال الأصلي. وهكذا عندما يتغير المظهر جوهر المعادلة لم يتغير.تسمى هذه التحولات تطابقأو ما يعادلها.

لاحظ أن هذه التحولات تنطبق على وجه التحديد للمعادلات.هناك أيضًا تحولات في الهوية في الرياضيات التعبيرات.هذا موضوع آخر

الآن سوف نكرر كل شيء، كل شيء، كل شيء أساسي تحويلات متماثلة للمعادلات.

أساسية لأنه يمكن تطبيقها عليها أيالمعادلات - الخطية، التربيعية، الكسرية، المثلثية، الأسية، اللوغاريتمية، إلخ. وما إلى ذلك وهلم جرا.

التحول الأول للهوية: يمكنك إضافة (طرح) إلى طرفي أي معادلة أي(لكنه واحد!) رقم أو تعبير (بما في ذلك تعبير بمجهول!). وهذا لا يغير جوهر المعادلة.

بالمناسبة، كنت تستخدم هذا التحويل باستمرار، وكنت تعتقد أنك تنقل بعض الحدود من جزء من المعادلة إلى جزء آخر مع تغيير الإشارة. يكتب:

الحالة مألوفة، نحرك الاثنين إلى اليمين فنحصل على:

في الواقع أنت تم استبعاده او تم اخذهمن طرفي المعادلة اثنان. والنتيجة هي نفسها:

س+2 - 2 = 3 - 2

إن تحريك المصطلحات إلى اليسار واليمين مع تغيير الإشارة هو ببساطة نسخة مختصرة من تحويل الهوية الأول. ولماذا نحتاج إلى هذه المعرفة العميقة؟ - أنت تسأل. لا شيء في المعادلات في سبيل الله تحمليه. فقط لا تنسى تغيير العلامة. لكن في حالات عدم المساواة، يمكن لعادة التحويل أن تؤدي إلى طريق مسدود...

تحويل الهوية الثانية: يمكن ضرب طرفي المعادلة (تقسيمها) على نفس الشيء غير صفريةرقم أو تعبير وهنا يظهر بالفعل قيد مفهوم: الضرب في الصفر أمر غبي، والقسمة مستحيلة تمامًا. هذا هو التحويل الذي تستخدمه عندما تحل شيئًا رائعًا

انها واضحة X= 2. كيف وجدته؟ بالاختيار؟ أم أنها فجرت عليك للتو؟ لكي لا تختار ولا تنتظر البصيرة، عليك أن تفهم أنك عادل قسمة طرفي المعادلةعلى 5. عند تقسيم الجانب الأيسر (5x)، تم تقليل الخمسة، وترك X خالصًا. وهو بالضبط ما نحتاجه. وعند قسمة الطرف الأيمن من (١٠) على خمسة، يكون الناتج بالطبع اثنين.

هذا كل شئ.

إنه أمر مضحك، لكن هذين التحولين المتطابقين (اثنتين فقط!) هما أساس الحل جميع معادلات الرياضيات.رائع! من المنطقي أن ننظر إلى أمثلة ماذا وكيف، أليس كذلك؟)

أمثلة على التحويلات المتماثلة للمعادلات. المشاكل الرئيسية.

دعنا نبدء ب أولاًتحول الهوية. نقل اليسار واليمين.

قدوة للصغار.)

لنفترض أننا بحاجة إلى حل المعادلة التالية:

3-2س=5-3س

ولنتذكر التعويذة: "مع X - إلى اليسار، بدون X - إلى اليمين!"هذه التعويذة عبارة عن تعليمات لاستخدام التحويل الأول للهوية.) ما التعبير الذي يحمل علامة X الموجود على اليمين؟ 3x؟ الجواب غير صحيح! على يميننا - 3x! ناقصثلاثة ×! لذلك، عند التحرك إلى اليسار، ستتغير الإشارة إلى علامة زائد. سوف يتحول:

3-2س+3س=5

لذا، تم جمع علامات X في كومة. دعونا ندخل في الأرقام. هناك ثلاثة على اليسار. بأي علامة؟ الجواب "بلا أحد" غير مقبول!) أمام الثلاثة بالفعل لا يوجد شيء مرسوم. وهذا يعني أنه قبل الثلاثة يوجد زائد.لذلك وافق علماء الرياضيات. لا شيء مكتوب، وهو ما يعني زائد.لذلك، سيتم نقل الثلاثي إلى الجانب الأيمن مع ناقص.نحن نحصل:

-2س+3س=5-3

لم يتبق سوى تفاهات. على اليسار - إحضار مماثلة، على اليمين - عد. الجواب يأتي مباشرة:

في هذا المثال، كان تحويل هوية واحد كافيا. ولم تكن هناك حاجة إلى الثانية. حسنًا حسنًا.)

قدوة للأطفال الأكبر سنا.)

إذا أعجبك هذا الموقع...

بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

في دورة الرياضيات المدرسية، يتم دراسة صيغ جذور المعادلات التربيعية، والتي يمكنك من خلالها حل أي معادلات تربيعية. ومع ذلك، هناك طرق أخرى لحل المعادلات التربيعية تتيح لك حل العديد من المعادلات بسرعة وكفاءة كبيرة. هناك عشر طرق لحل المعادلات التربيعية. في عملي، قمت بتحليل كل واحد منهم بالتفصيل.

1. الطريقة : تحليل الجانب الأيسر من المعادلة.

دعونا نحل المعادلة

× 2 + 10س - 24 = 0.

دعونا نحلل الجانب الأيسر:

س 2 + 10س - 24 = س 2 + 12س - 2س - 24 = س(س + 12) - 2(س + 12) = (س + 12)(س - 2).

ولذلك يمكن إعادة كتابة المعادلة على النحو التالي:

(س + 12)(س - 2) = 0

بما أن حاصل الضرب يساوي صفرًا، فإن أحد عوامله على الأقل يساوي صفرًا. وبالتالي يصبح الطرف الأيسر من المعادلة صفرًا س = 2، وأيضا متى س = - 12. وهذا يعني أن العدد 2 و - 12 هي جذور المعادلة × 2 + 10س - 24 = 0.

2. الطريقة : طريقة اختيار مربع كامل

دعونا نحل المعادلة × 2 + 6س - 7 = 0.

حدد مربعًا كاملاً على الجانب الأيسر.

للقيام بذلك نكتب التعبير x 2 + 6x بالشكل التالي:

× 2 + 6س = × 2 + 2 × 3.

في التعبير الناتج، الحد الأول هو مربع الرقم x، والثاني هو المنتج المزدوج لـ x في 3. لذلك، للحصول على مربع كامل، تحتاج إلى إضافة 3 2، حيث

× 2+ 2 × 3 + 3 2 = (س + 3) 2.

دعونا الآن نحول الجانب الأيسر من المعادلة

× 2 + 6س - 7 = 0,

نضيف إليه ونطرح 3 2. لدينا:

× 2 + 6س - 7 =× 2+ 2 × 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (س + 3) 2 - 9 - 7 = (س + 3) 2 - 16.

وبالتالي يمكن كتابة هذه المعادلة على النحو التالي:

(س + 3) 2 - 16 = 0، (س + 3) 2 = 16.

لذلك، س + 3 - 4 = 0، × 1 = 1، أو س + 3 = -4، × 2 = -7.

3. الطريقة :حل المعادلات التربيعية باستخدام الصيغة.

دعونا نضرب طرفي المعادلة

اه 2+بس + ج = 0، أ ≠ 0

في 4a وبالتسلسل لدينا:

4أ 2 × 2 + 4أبس + 4ac = 0،

((2ax) 2 + 2axب + ب 2 ) - ب 2 + 4 تيار متردد = 0,

(2أكس + ب) 2 = ب 2 - 4أ،

2أكس + ب = ± √ ب 2 - 4أك،

2أكس = - ب ± √ ب 2 - 4أك،

أمثلة.

أ)دعونا نحل المعادلة: 4س 2 + 7س + 3 = 0.

أ = 4،ب= 7، ق = 3،د = ب 2 - 4 تيار متردد = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

د > 0, جذرين مختلفين؛

وهكذا، في حالة وجود تمييز إيجابي، أي. في

ب 2 - 4 تيار متردد >0 ، المعادلة اه 2+بس + ج = 0له جذوران مختلفتان.

ب)دعونا نحل المعادلة: 4س 2 - 4س + 1 = 0،

أ = 4،ب= - 4، ق = 1،د = ب 2 - 4 تيار متردد = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

د = 0, جذر واحد

فإذا كان المميز صفراً، أي. ب 2 - 4 تيار متردد = 0 ، ثم المعادلة

اه 2+بس + ج = 0له جذر واحد

الخامس)دعونا نحل المعادلة: 2س 2 + 3س + 4 = 0،

أ = 2،ب= 3، ج = 4،د = ب 2 - 4 تيار متردد = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13 , د < 0.

هذه المعادلة ليس لها جذور.

لذلك، إذا كان المميز سلبيا، أي. ب 2 - 4 تيار متردد < 0 ,

المعادلة اه 2+بس + ج = 0ليس له جذور.

الصيغة (1) لجذور المعادلة التربيعية اه 2+بس + ج = 0يسمح لك بالعثور على الجذور أي المعادلة التربيعية (إن وجدت)، بما في ذلك المخفضة والناقصة. يتم التعبير عن الصيغة (1) لفظيا على النحو التالي: جذور المعادلة التربيعية تساوي الكسر الذي بسطه يساوي المعامل الثاني المأخوذ بالإشارة المعاكسة، زائد ناقص الجذر التربيعي لمربع هذا المعامل دون أربعة أضعاف حاصل ضرب المعامل الأول بالحد الحر، و المقام هو ضعف المعامل الأول.

4. الطريقة: حل المعادلات باستخدام نظرية فييتا.

كما هو معروف، فإن المعادلة التربيعية المخفضة لها الشكل

× 2+بكسل + ج = 0. (1)

جذورها تلبي نظرية فييتا، والتي، ومتى أ = 1يشبه

س 1 س 2 = س,

س 1 + س 2 = - ص

من هذا يمكننا استخلاص الاستنتاجات التالية (من المعاملات p و q يمكننا التنبؤ بعلامات الجذور).

أ) إذا كان نصف العضو سمعطاة المعادلة (1) موجبة ( س > 0 ) فإن المعادلة لها جذرين لهما إشارة التساوي وهذا يعتمد على المعامل الثاني ص. لو ر< 0 ، فإن كلا الجذرين سلبيان إذا ر< 0 ، فإن كلا الجذرين موجبان.

على سبيل المثال،

س 2 – 3 س + 2 = 0; س 1 = 2 و س 2 = 1, لأن س = 2 > 0 و ص = - 3 < 0;

س 2 + 8 س + 7 = 0; س 1 = - 7 و س 2 = - 1, لأن س = 7 > 0 و ص= 8 > 0.

ب) إذا كان عضوا حرا سنظرا للمعادلة (1) سلبية ( س < 0 )، فإن المعادلة لها جذرين لهما إشارة مختلفة، وسيكون الجذر الأكبر موجبًا إذا ص < 0 أو سلبيا إذا ص > 0 .

على سبيل المثال،

س 2 + 4 س – 5 = 0; س 1 = - 5 و س 2 = 1, لأن س= - 5 < 0 و ص = 4 > 0;

س 2 – 8 س – 9 = 0; س 1 = 9 و س 2 = - 1, لأن س = - 9 < 0 و ص = - 8 < 0.

5. الطريقة: حل المعادلات بطريقة الرمي.

النظر في المعادلة التربيعية

اه 2+بس + ج = 0،أين أ ≠ 0.

بضرب الطرفين في a نحصل على المعادلة

أ 2 × 2 + أبس + أس = 0.

يترك آه = ذ، أين س = ص / أ; ثم نأتي إلى المعادلة

ذ 2+بواسطة+ التيار المتردد = 0،

يعادل هذا. جذورها في 1و فييمكن العثور على 2 باستخدام نظرية فييتا.

أخيرا وصلنا

س 1 = ص 1 /أو س 1 = ص 2 /أ.

مع هذه الطريقة المعامل أمضروباً باللفظ الحر، كأنه "ألقي" إليه، ولهذا سمي طريقة النقل. يتم استخدام هذه الطريقة عندما يكون من السهل العثور على جذور المعادلة باستخدام نظرية فييتا، والأهم من ذلك، عندما يكون المميز مربعًا دقيقًا.

مثال.

دعونا نحل المعادلة 2س 2 - 11س + 15 = 0.

حل.دعونا "نرمي" المعامل 2 إلى الحد الحر، ونتيجة لذلك نحصل على المعادلة

ص 2 - 11ص + 30 = 0.

وفقا لنظرية فييتا

ص 1 = 5 × 1 = 5/2س 1 = 2,5

ص 2 = 6س 2 = 6/2 س 2 = 3.

الجواب: 2.5؛ 3.

6. الطريقة: خصائص معاملات المعادلة التربيعية.

أ. دعونا نعطي معادلة تربيعية

اه 2+بس + ج = 0،أين أ ≠ 0.

1) إذا، أ+ب+ ج = 0 (أي أن مجموع المعاملات هو صفر)، ثم س 1 = 1،

س 2 = ق / أ.

دليل.بقسمة طرفي المعادلة على ≠ 0، نحصل على المعادلة التربيعية المختزلة

س 2 + ب/ أ س + ج/ أ = 0.

وفقا لنظرية فييتا

س 1 + س 2 = - ب/ أ,

س 1 س 2 = 1 ج/ أ.

بالشرط أ -ب+ ج = 0،أين ب= أ + ج.هكذا،

س 1 + س 2 = -أ+ ب/أ= -1 – ج/أ،

× 1 × 2 = - 1 (- ج/أ)،

أولئك. × 1 = -1و × 2 =ج/ أ، وهو ما كنا بحاجة إلى إثباته.

أمثلة.

1) دعونا نحل المعادلة 345س2 – 137س – 208 = 0.

حل.لأن أ +ب+ ج = 0 (345 – 137 – 208 = 0)،الذي - التي

× 1 = 1، × 2 =ج/ أ = -208/345.

الجواب: 1؛ -208/345.

2) حل المعادلة 132س2 – 247س + 115 = 0.

حل.لأن أ +ب+ ج = 0 (132 – 247 + 115 = 0)،الذي - التي

× 1 = 1، × 2 =ج/ أ = 115/132.

الجواب: 1؛ 115/132.

ب. إذا كان المعامل الثاني ب = 2 كهو عدد زوجي، ثم صيغة الجذر

مثال.

دعونا نحل المعادلة 3x2 - 14س + 16 = 0.

حل. لدينا: أ = 3،ب= - 14، ق = 16،ك = - 7 ;

د = ك 2 – تيار متردد = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, د > 0, جذرين مختلفين؛

نهج المؤلف لهذا الموضوع ليس من قبيل الصدفة. تمت مواجهة المعادلات ذات المتغيرين لأول مرة في دورة الصف السابع. معادلة واحدة بمتغيرين لها عدد لا نهائي من الحلول. ويظهر ذلك بوضوح من خلال الرسم البياني للدالة الخطية، الموضحة بالشكل ax + by=c. يدرس الطلاب في المقرر المدرسي أنظمة من معادلتين بمتغيرين. ونتيجة لذلك، فإن سلسلة كاملة من المشاكل ذات الشروط المحدودة لمعامل المعادلة، وكذلك طرق حلها، تقع خارج نطاق رؤية المعلم، وبالتالي الطالب.

نحن نتحدث عن حل معادلة ذات مجهولين في أعداد صحيحة أو أعداد طبيعية.

تتم دراسة الأعداد الطبيعية والأعداد الصحيحة في المدرسة في الصفوف 4-6. بحلول الوقت الذي يتخرجون فيه من المدرسة، لا يتذكر جميع الطلاب الاختلافات بين مجموعات هذه الأرقام.

ومع ذلك، فإن مشكلة مثل "حل معادلة من الشكل ax + by=c بالأعداد الصحيحة" موجودة بشكل متزايد في امتحانات القبول بالجامعات وفي مواد امتحانات الدولة الموحدة.

حل المعادلات غير المؤكدة ينمي التفكير المنطقي والذكاء والاهتمام بالتحليل.

أقترح تطوير عدة دروس حول هذا الموضوع. ليس لدي توصيات واضحة بشأن توقيت هذه الدروس. يمكن أيضًا استخدام بعض العناصر في الصف السابع (لفصل قوي). يمكن اتخاذ هذه الدروس كأساس وتطوير دورة اختيارية صغيرة حول التدريب ما قبل المهني في الصف التاسع. وبالطبع يمكن استخدام هذه المادة في الصفوف 10-11 للتحضير للامتحانات.

الغرض من الدرس:

• تكرار وتعميم المعرفة حول موضوع "المعادلات من الدرجة الأولى والثانية"
• تنمية الاهتمام المعرفي بالموضوع
• تطوير القدرة على التحليل وإجراء التعميمات ونقل المعرفة إلى موقف جديد

الدرس 1.

خلال الفصول الدراسية.

1) المنظمة. لحظة.

2) تحديث المعرفة الأساسية.

تعريف. المعادلة الخطية في متغيرين هي معادلة من الشكل

mx + ny = k، حيث m، n، k أرقام، x، y متغيرات.

مثال: 5س+2ص=10

تعريف. حل المعادلة ذات المتغيرين هو زوج من قيم المتغيرات الذي يحول المعادلة إلى مساواة حقيقية.

تسمى المعادلات التي تحتوي على متغيرين لهما نفس الحلول مكافئة.

1. 5x+2y=12 (2)y = -2.5x+6

يمكن أن تحتوي هذه المعادلة على أي عدد من الحلول. للقيام بذلك، يكفي أن تأخذ أي قيمة x وتجد قيمة y المقابلة.

دع x = 2، y = -2.5 2+6 = 1

س = 4، ص = -2.5 4+6 =- 4

أزواج من الأرقام (2؛1)؛ (4;-4) – حلول المعادلة (1).

هذه المعادلة لديها عدد لا نهائي من الحلول.

3) الخلفية التاريخية

المعادلات غير المحددة (ديوفانتين) هي معادلات تحتوي على أكثر من متغير واحد.

في القرن الثالث. إعلان - كتب ديوفانتوس السكندري كتاب "الحساب" الذي وسع فيه مجموعة الأعداد إلى أرقام عقلانية وأدخل الرمزية الجبرية.

كما نظر ديوفانتوس في مسائل حل المعادلات غير المحددة وأعطى طرقًا لحل المعادلات غير المحددة من الدرجة الثانية والثالثة.

4) دراسة مواد جديدة.

تعريف: معادلة ديوفانتينية غير متجانسة من الدرجة الأولى مع مجهولين x، y هي معادلة من الشكل mx + ny = k، حيث m، n، k، x، y Z k0

البيان 1.

إذا كان الحد الحر k في المعادلة (1) غير قابل للقسمة على القاسم المشترك الأكبر (GCD) للرقمين m وn، فإن المعادلة (1) ليس لها حلول أعداد صحيحة.

مثال: 34س – 17ص = 3.

GCD (34; 17) = 17، 3 لا يقبل القسمة على 17، ولا يوجد حل في الأعداد الصحيحة.

دع k مقسومًا على gcd (m، n). من خلال قسمة جميع المعاملات، يمكننا التأكد من أن m وn يصبحان أوليين نسبيًا.

البيان 2.

إذا كان m وn في المعادلة (1) عددين أوليين نسبيًا، فإن هذه المعادلة لها حل واحد على الأقل.

البيان 3.

إذا كان المعاملان m وn للمعادلة (1) عبارة عن أرقام أولية، فإن هذه المعادلة لها عدد لا نهائي من الحلول:

حيث (؛ ) هو أي حل للمعادلة (1)، t Z

تعريف. معادلة ديوفانتينية متجانسة من الدرجة الأولى ذات مجهولين x,y هي معادلة من الصيغة mx + ny = 0، حيث (2)

البيان 4.

إذا كان m وn عددين أوليين، فإن أي حل للمعادلة (2) له الصيغة

5) الواجبات المنزلية. حل المعادلة بالأعداد الصحيحة:

1. 9س – 18ص = 5
2. س + ص = س ص
3. كان العديد من الأطفال يقطفون التفاح. جمع كل ولد 21 كجم، وجمعت الفتاة 15 كجم. في المجموع جمعوا 174 كجم. كم عدد الأولاد وكم فتاة قطفت التفاح؟

تعليق. لا يقدم هذا الدرس أمثلة على حل المعادلات في الأعداد الصحيحة. لذلك، يقوم الأطفال بحل الواجبات المنزلية بناءً على العبارة 1 والاختيار.

الدرس 2.

1) اللحظة التنظيمية

2) التحقق من الواجبات المنزلية

1) 9س - 18ص = 5

5 لا يقبل القسمة على 9، ولا توجد حلول للأعداد الصحيحة.

باستخدام طريقة الاختيار يمكنك إيجاد حل

الإجابة: (0;0)، (2;2)

3) لنجعل المعادلة:

دع الأولاد يكونون x، x Z، والبنات y، y Z، ثم يمكننا إنشاء المعادلة 21x + 15y = 174

لن يتمكن العديد من الطلاب، بعد أن كتبوا معادلة، من حلها.

الجواب: 4 أولاد و 6 بنات.

3) تعلم مواد جديدة

بعد أن واجهوا صعوبات في إكمال الواجبات المنزلية، أصبح الطلاب مقتنعين بالحاجة إلى تعلم أساليبهم في حل المعادلات غير المؤكدة. دعونا ننظر إلى بعض منهم.

I. طريقة النظر في بقايا القسمة.

مثال. حل المعادلة بالأعداد الصحيحة 3x – 4y = 1.

الجانب الأيسر من المعادلة يقبل القسمة على 3، لذلك يجب أن يكون الجانب الأيمن قابلاً للقسمة. دعونا ننظر في ثلاث حالات.

الجواب: أين م ز.

تعتبر الطريقة الموصوفة ملائمة للاستخدام إذا لم تكن الأرقام m و n صغيرة، ولكن يمكن تقسيمها إلى عوامل بسيطة.

مثال: حل المعادلات بالأعداد الصحيحة.

افترض أن y = 4n، ثم 16 - 7y = 16 - 7 4n = 16 - 28n = 4*(4-7n) مقسومة على 4.

y = 4n+1، ثم 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n لا يقبل القسمة على 4.

y = 4n+2، ثم 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n لا تقبل القسمة على 4.

y = 4n+3، ثم 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n لا يقبل القسمة على 4.

لذلك ص = 4ن، ثم

4س = 16 - 7 4ن = 16 - 28ن، س = 4 - 7ن

الجواب: حيث ن ز.

ثانيا. معادلات غير مؤكدة من الدرجة الثانية

سنتطرق اليوم في الدرس فقط إلى حل معادلات ديوفانتاين من الدرجة الثانية.

ومن بين جميع أنواع المعادلات، سننظر في الحالة التي يمكننا فيها تطبيق صيغة فرق المربعات أو طريقة أخرى للتحليل.

مثال: حل معادلة بأعداد صحيحة.

13 هو عدد أولي، لذلك لا يمكن تحليله إلا بأربع طرق: 13 = 13 1 = 1 13 = (-1)(-13) = (-13)(-1)

دعونا ننظر في هذه الحالات

الجواب: (7;-3)، (7;3)، (-7;3)، (-7;-3).

4) الواجبات المنزلية.

أمثلة. حل المعادلة بالأعداد الصحيحة:

(س - ص)(س + ص)=4

2س = 4	2س = 5	2س = 5
س = 2	س = 5/2	س = 5/2
ص = 0	لا يصلح	لا يصلح
2س = -4	لا يصلح	لا يصلح
س = -2
ص = 0

الجواب: (-2;0)، (2;0).

الإجابات: (-10;9)، (-5;3)، (-2;-3)، (-1;-9)، (1;9)، (2;3)، (5;-3) ، (10؛-9).

الخامس)

الإجابة: (2;-3)، (-1;-1)، (-4;0)، (2;2)، (-1;3)، (-4;5).

نتائج. ماذا يعني حل المعادلة بالأعداد الصحيحة؟

ما هي طرق حل المعادلات غير المؤكدة التي تعرفها؟

طلب:

تمارين للتدريب.

1) حل الأعداد الصحيحة.

أ) 8س + 12ص = 32	س = 1 + 3ن، ص = 2 - 2ن، ن ض
ب) 7س + 5ص = 29	س = 2 + 5ن، ص = 3 – 7ن، ن ض
ج) 4س + 7ص = 75	س = 3 + 7ن، ص = 9 – 4ن، ن ض
د) 9س – 2ص = 1	س = 1 – 2 م، ص = 4 + 9 م، م ض
هـ) 9س – 11ص = 36	س = 4 + 11ن، ص = 9ن، ن ض
هـ) 7س – 4ص = 29	س = 3 + 4ن، ص = -2 + 7ن، ن ض
ز) 19س – 5ص = 119	س = 1 + 5ب، ص = -20 + 19ب، ص ض
ح) 28س – 40ص = 60	س = 45 + 10ر، ص = 30 + 7ر، ر ض

2) أوجد الحلول الصحيحة غير السالبة للمعادلة:

الحل:ض (2؛ -1)

الأدب.

1. - موسوعة الأطفال "علم التربية" موسكو 1972.
2. الجبر 8، N.Ya. فيلينكين، VO "العلم"، نوفوسيبيرسك، 1992
3. مشاكل المنافسة على أساس نظرية الأعداد. V.Ya. جالكين، د. سيتشوجوف. جامعة ولاية ميشيغان، VMK، موسكو، 2005.
4. مشاكل الصعوبة المتزايدة في مقرر الجبر للصفوف 7-9. ن.ب. كوسريكينا. "التنوير"، موسكو، 1991
5. الجبر 7، ماكاريتشيف يو.إن، “التنوير”.