Informazioni preliminari
Consideriamo innanzitutto direttamente il concetto di triangolo.
Definizione 1
Chiameremo triangolo una figura geometrica composta da tre punti collegati da segmenti (Fig. 1).
Definizione 2
I punti all'interno della Definizione 1 saranno chiamati vertici del triangolo.
Definizione 3
I segmenti nell'ambito della Definizione 1 saranno chiamati lati del triangolo.
Ovviamente ogni triangolo avrà 3 vertici e 3 lati.
Teorema sulla somma degli angoli in un triangolo
Introduciamo e dimostriamo uno dei principali teoremi relativi ai triangoli, vale a dire il teorema sulla somma degli angoli in un triangolo.
Teorema 1
La somma degli angoli in qualsiasi triangolo arbitrario è $180^\circ$.
Prova.
Consideriamo il triangolo $EGF$. Dimostriamo che la somma degli angoli di questo triangolo è $180^\circ$. Facciamo una costruzione aggiuntiva: tracciamo una linea $XY||EG$ (Fig. 2)
Poiché le rette $XY$ e $EG$ sono parallele, allora $∠E=∠XFE$ è trasversale alla secante $FE$ e $∠G=∠YFG$ è trasversale alla secante $FG$
L'angolo $XFY$ sarà dritto, quindi uguale a $180^\circ$.
$∠XFY=∠XFE+∠F+∠YFG=180^\circ$
Quindi
$∠E+∠F+∠Sol=180^\circ$
Il teorema è stato dimostrato.
Teorema dell'angolo esterno del triangolo
Un altro teorema sulla somma degli angoli di un triangolo può essere considerato il teorema sull'angolo esterno. Per prima cosa introduciamo questo concetto.
Definizione 4
Un angolo esterno di un triangolo è un angolo adiacente a qualsiasi angolo del triangolo (Fig. 3).
Consideriamo ora direttamente il teorema.
Teorema 2
L'angolo esterno di un triangolo è uguale alla somma dei due angoli del triangolo che non sono adiacenti ad esso.
Prova.
Consideriamo un triangolo arbitrario $EFG$. Lascia che abbia l'angolo esterno del triangolo $FGQ$ (Fig. 3).
Per il Teorema 1, avremo che $∠E+∠F+∠G=180^\circ$, quindi,
$∠G=180^\circ-(∠E+∠F)$
Poiché l'angolo $FGQ$ è esterno, allora è adiacente all'angolo $∠G$
$∠FGQ=180^\circ-∠G=180^\circ-180^\circ+(∠E+∠F)=∠E+∠F$
Il teorema è stato dimostrato.
Esempio di compito
Esempio 1
Trova tutti gli angoli di un triangolo se è equilatero.
Poiché tutti i lati di un triangolo equilatero sono uguali, avremo che anche tutti gli angoli che lo compongono sono uguali tra loro. Indichiamo le loro misure di laurea con $α$.
Quindi, per il Teorema 1, otterremo
$α+α+α=180^\circ$
Risposta: tutti gli angoli sono $60^\circ$.
Esempio 2
Trova tutti gli angoli di un triangolo isoscele se uno dei suoi angoli è uguale a $100^\circ$.
Introduciamo la seguente notazione per gli angoli in un triangolo isoscele:
Poiché nella condizione non è specificato quale tipo di angolo sia uguale a $100^\circ$, sono possibili due casi:
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L'angolo pari a $100^\circ$ è l'angolo alla base del triangolo.
Secondo il teorema dell'angolo alla base di un triangolo isoscele, otteniamo
$∠2=∠3=100^\circ$
Ma allora solo la loro somma sarà maggiore di $180^\circ$, il che contraddice la condizione del Teorema 1. Quindi questo caso non regge.
L'angolo uguale a $100^\circ$ è l'angolo tra lati uguali, cioè
La domanda è stata aperta il 04/08/2017 alle 12:25
Non proprio___
2. In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono ottusi.
Non proprio___
3. All'intersezione di due linee parallele di una secante trasversale, gli angoli di menzogna sono uguali
angoli corrispondenti.
Non proprio___
4. All'intersezione di due rette parallele, la somma secante degli angoli unilaterali è 180 °.
Non proprio___
5. L'angolo esterno di un triangolo è uguale alla differenza di due angoli del triangolo che non sono adiacenti ad esso.
Non proprio___
6. Le diagonali di un parallelogramma sono uguali.
Non proprio___
7. Le diagonali di un quadrato sono mutuamente perpendicolari.
Non proprio___
8. Le diagonali del rettangolo dividono gli angoli del rettangolo a metà.
Non proprio___
9. La mediana di un triangolo divide i lati del triangolo in un rapporto di 2:1, contando dall'alto.
Non proprio___
10. Le bisettrici di un triangolo si intersecano in un punto.
Non proprio___
11. L'altezza di un triangolo isoscele portato alla base è la mediana e la bisettrice.
Non proprio___
12. Un triangolo in cui il quadrato di uno dei lati è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati è rettangolare.
Non proprio___
13. Un quadrilatero con due lati paralleli è un trapezio.
Non proprio___
14. In un parallelogramma, la somma dei quadrati delle diagonali è uguale alla somma dei quadrati di tutti i suoi lati.
Non proprio___
15. L'area di un rombo è uguale al prodotto del quadrato del lato e del seno dell'angolo del rombo.
Non proprio___
16. L'area di un rettangolo è la metà del prodotto del quadrato della diagonale e del seno dell'angolo compreso tra le diagonali.
Non proprio___
17. La tangente di un angolo acuto di un triangolo rettangolo è uguale al rapporto tra il cateto adiacente e quello opposto.
Non proprio___
18. Il raggio di un cerchio che circoscrive un triangolo rettangolo è uguale al rapporto tra la gamba adiacente e quella opposta.
Non proprio___
19. I punti medi dei lati di qualsiasi quadrilatero sono i vertici di un parallelogramma.
Non proprio___
20. Se le diagonali di un parallelogramma sono uguali, allora questo parallelogramma è un quadrato.
Non proprio___
21. Il segmento che collega i punti medi delle diagonali di un trapezio è uguale alla semidifferenza delle sue basi.
Non proprio___
22. Il punto di intersezione della continuazione dei lati del trapezio e il centro delle sue basi giacciono su una linea retta.
Non proprio___
23. Se gli angoli alla base di un trapezio sono uguali, allora è isoscele.
Non proprio___
24. La linea mediana di un trapezio è uguale alla semidifferenza delle sue basi.
Non proprio___
25. Il rapporto tra le aree di figure simili è pari al coefficiente di somiglianza.
Non proprio___
26. Il diametro, perpendicolare alla corda, divide a metà gli archi da essa contratti.
Non proprio___
27. Dei due accordi quello più distante dal centro è maggiore.
Non proprio___
28. Il raggio di un cerchio è il doppio del diametro.
Non proprio___
29. Una linea retta che ha due punti in comune con un cerchio è una tangente.
Non proprio___
30. Il centro di un cerchio inscritto in un angolo giace sulla bisettrice di questo angolo.
Non proprio___
31. Il vertice di un angolo inscritto giace al centro del cerchio.
Non proprio___
32. I centri dei cerchi inscritti e circoscritti di un triangolo equilatero coincidono.
Non proprio___
33. Un cerchio può essere inscritto in un quadrilatero se la somma degli angoli opposti è 180°.
Non proprio___
34. La lunghezza di un cerchio è ∏d, dove d è il diametro del cerchio.
Non proprio___
35. La somma degli angoli di un poligono è 180°: (n-2).
Non proprio___
36. L'ipotenusa di un triangolo rettangolo è uguale alla gamba divisa per il seno dell'angolo opposto a questa gamba.
Non proprio___
37. La bisettrice di un triangolo divide il suo lato in segmenti proporzionali agli altri due lati.
Non proprio___
38. Le linee rette contenenti le altezze di un triangolo si intersecano in tre punti.
Non proprio___
39. il punto di intersezione delle bisettrici di un triangolo è il centro di un cerchio circoscritto a questo triangolo.
Non proprio___
40. L'angolo formato dalle bisettrici degli angoli verticali è 180°.
Non proprio___
Informazioni preliminari
Consideriamo innanzitutto direttamente il concetto di triangolo.
Definizione 1
Chiameremo triangolo una figura geometrica composta da tre punti collegati da segmenti (Fig. 1).
Definizione 2
I punti all'interno della Definizione 1 saranno chiamati vertici del triangolo.
Definizione 3
I segmenti nell'ambito della Definizione 1 saranno chiamati lati del triangolo.
Ovviamente ogni triangolo avrà 3 vertici e 3 lati.
Teorema sulla somma degli angoli in un triangolo
Introduciamo e dimostriamo uno dei principali teoremi relativi ai triangoli, vale a dire il teorema sulla somma degli angoli in un triangolo.
Teorema 1
La somma degli angoli in qualsiasi triangolo arbitrario è $180^\circ$.
Prova.
Consideriamo il triangolo $EGF$. Dimostriamo che la somma degli angoli di questo triangolo è $180^\circ$. Facciamo una costruzione aggiuntiva: tracciamo una linea $XY||EG$ (Fig. 2)
Poiché le rette $XY$ e $EG$ sono parallele, allora $∠E=∠XFE$ è trasversale alla secante $FE$ e $∠G=∠YFG$ è trasversale alla secante $FG$
L'angolo $XFY$ sarà dritto, quindi uguale a $180^\circ$.
$∠XFY=∠XFE+∠F+∠YFG=180^\circ$
Quindi
$∠E+∠F+∠Sol=180^\circ$
Il teorema è stato dimostrato.
Teorema dell'angolo esterno del triangolo
Un altro teorema sulla somma degli angoli di un triangolo può essere considerato il teorema sull'angolo esterno. Per prima cosa introduciamo questo concetto.
Definizione 4
Un angolo esterno di un triangolo è un angolo adiacente a qualsiasi angolo del triangolo (Fig. 3).
Consideriamo ora direttamente il teorema.
Teorema 2
L'angolo esterno di un triangolo è uguale alla somma dei due angoli del triangolo che non sono adiacenti ad esso.
Prova.
Consideriamo un triangolo arbitrario $EFG$. Lascia che abbia l'angolo esterno del triangolo $FGQ$ (Fig. 3).
Per il Teorema 1, avremo che $∠E+∠F+∠G=180^\circ$, quindi,
$∠G=180^\circ-(∠E+∠F)$
Poiché l'angolo $FGQ$ è esterno, allora è adiacente all'angolo $∠G$
$∠FGQ=180^\circ-∠G=180^\circ-180^\circ+(∠E+∠F)=∠E+∠F$
Il teorema è stato dimostrato.
Esempio di compito
Esempio 1
Trova tutti gli angoli di un triangolo se è equilatero.
Poiché tutti i lati di un triangolo equilatero sono uguali, avremo che anche tutti gli angoli che lo compongono sono uguali tra loro. Indichiamo le loro misure di laurea con $α$.
Quindi, per il Teorema 1, otterremo
$α+α+α=180^\circ$
Risposta: tutti gli angoli sono $60^\circ$.
Esempio 2
Trova tutti gli angoli di un triangolo isoscele se uno dei suoi angoli è uguale a $100^\circ$.
Introduciamo la seguente notazione per gli angoli in un triangolo isoscele:
Poiché nella condizione non è specificato quale tipo di angolo sia uguale a $100^\circ$, sono possibili due casi:
L'angolo pari a $100^\circ$ è l'angolo alla base del triangolo.
Secondo il teorema dell'angolo alla base di un triangolo isoscele, otteniamo
$∠2=∠3=100^\circ$
Ma allora solo la loro somma sarà maggiore di $180^\circ$, il che contraddice la condizione del Teorema 1. Quindi questo caso non regge.
L'angolo uguale a $100^\circ$ è l'angolo tra lati uguali, cioè
“Dimmelo e lo dimenticherò
Mostramelo e lo ricorderò
Coinvolgimi e imparerò”
Proverbio orientale
Scopo: dimostrare il teorema sulla somma degli angoli di un triangolo, esercitarsi a risolvere problemi utilizzando questo teorema, sviluppare l'attività cognitiva degli studenti utilizzando materiale aggiuntivo da varie fonti, coltivare la capacità di ascoltare gli altri.
Attrezzatura: Goniometro, righello, motivi a triangolo, striscia d'umore.
DURANTE LE LEZIONI
1. Momento organizzativo.
Segna sul nastro dell'umore il tuo stato all'inizio della lezione.
2. Ripetizione.
Ripeti i concetti che verranno utilizzati nella dimostrazione del teorema: le proprietà degli angoli con rette parallele, la definizione di angolo retto, la misura in gradi di un angolo retto.
3. Nuovo materiale.
3.1. Lavoro pratico.
Ogni studente ha tre modelli di triangolo: acuto, rettangolare e ottuso. Si propone di misurare gli angoli di un triangolo e trovarne la somma. Analizza il risultato. Puoi ottenere valori177, 178, 179, 180, 181, 182, 183 gradi. Calcolare la media aritmetica (=180°) Si propone di ricordare quando gli angoli hanno una misura in gradi pari a 180 gradi. Gli studenti ricordano che questo è un angolo piatto e la somma degli angoli unilaterali.
Proviamo a ottenere la somma degli angoli di un triangolo usando l'origami.
Riferimento storico
L'origami (dal giapponese lett. “carta piegata”) è l'antica arte di piegare figure di carta. L'arte degli origami affonda le sue radici nell'antica Cina, dove fu scoperta la carta.
3.2. Dimostrazione del teorema dal libro di testo di L.S. Atanasyan.
Teorema sulla somma degli angoli di un triangolo.
Dimostriamo uno dei teoremi più importanti della geometria: il teorema sulla somma degli angoli di un triangolo.
Teorema. La somma degli angoli di un triangolo è 180°.
Prova. Considera un triangolo ABC arbitrario e dimostra che A + B + C = 180°.
Tracciamo una linea retta a passante per il vertice B, parallela al lato AC. Gli angoli 1 e 4 sono angoli trasversali all'intersezione delle rette parallele a e AC presso la secante AB, e gli angoli 3 e 5 sono angoli trasversali all'intersezione delle stesse rette parallele presso la secante BC. Quindi l'angolo 4 è uguale all'angolo 1, l'angolo 5 è uguale all'angolo 3.
Ovviamente la somma degli angoli 4, 2 e 5 è uguale all'angolo con vertice B, cioè angolo 4+angolo 2+angolo 5=180°. Da qui, tenendo conto delle uguaglianze precedenti, otteniamo: angolo 1 + angolo 2+ angolo 3= 180°, ovvero A + B+ C=180°. Il teorema è stato dimostrato.
3.3. Dimostrazione del teorema dal libro di testo di A. V. Pogorelov
Dimostrare: A + B + C = 180°
Prova:
1. Traccia attraverso il vertice B la linea BD // AC
2. DBC=ACB, poiché giace trasversalmente in AC//BD e secante BC.
3.ABD=ACB+CBD
Quindi A + B + C = ABD + BAC
4. ABD e BAC sono unilaterali con BD // AC e la secante AB, quindi la loro somma è pari a 180 °, cioè А+B + C=180° , cosa da dimostrare.
3. 4. Dimostrazione del teorema dal libro di testo Kiselev A.N., Rybkina N.A.
Dato: ABC
Dimostrare: A+B+C=180°
Prova:
1. Continuiamo il lato AC. Effettueremo CE//AB
2. A \u003d ESD, come corrispondente a AB / / CE e AD - secante
3. B \u003d TUTTI, come se giacesse trasversalmente con AB / / CE e BC - secante.
4. ESD + ALL + C \u003d 180 °, quindi A + B + C \u003d 180 °, che doveva essere dimostrato.
3.5. Corollari 1. In ogni triangolo, tutti gli angoli sono acuti, oppure due angoli sono acuti e il terzo è ottuso o retto.
Conseguenza 2.
L'angolo esterno di un triangolo è uguale alla somma degli altri due angoli del triangolo non adiacenti ad esso.
3.6. Il teorema ci permette di classificare i triangoli non solo in base ai lati, ma anche in base agli angoli.
| Vista triangolare | Isoscele | Equilatero | Versatile |
| rettangolare |  |
||
| ottuso |  |
||
| ad angolo acuto |
4. Fissazione.
4.1. Soluzione di problemi secondo disegni già pronti.
Trova gli angoli sconosciuti di un triangolo.
4.2. Verifica delle conoscenze.
1. Alla fine della nostra lezione, rispondi alle domande:
Ci sono triangoli con angoli:
a) 30, 60, 90 gradi,
b) 46, 4, 140 gradi,
c) 56, 46, 72 gradi?
2. Può esserci in un triangolo:
a) due angoli ottusi
b) angoli ottusi e retti,
c) due angoli retti?
3. Determina il tipo di triangolo se un angolo è di 45 gradi, l'altro è di 90 gradi.
4. In quale triangolo la somma degli angoli è maggiore: in un triangolo acuto, ottuso o rettangolo?
5. È possibile misurare gli angoli di qualsiasi triangolo?
Questa è una domanda scherzosa, perché esiste il Triangolo delle Bermuda, situato nell'Oceano Atlantico tra le Bermuda, lo stato di Porto Rico e la penisola della Florida, di cui è impossibile misurare gli angoli. ( Allegato 1)
5. Il risultato della lezione.
Segna sul nastro dell'umore il tuo stato alla fine della lezione.
Compiti a casa.
Pag. 30–31; N. 223 a, b; N. 227a; quaderno di esercizi n. 116, 118.
