Qual è il nome della parte comune del triangolo. Tipi di triangoli

Oggi andremo nel paese della geometria, dove conosceremo diversi tipi di triangoli.

Esamina le forme geometriche e trova l'“extra” tra loro (Fig. 1).

Riso. 1. Illustrazione ad esempio

Vediamo che le figure n. 1, 2, 3, 5 sono quadrangoli. Ognuno di loro ha il proprio nome (Fig. 2).

Riso. 2. Quadrangoli

Ciò significa che la figura "extra" è un triangolo (Fig. 3).

Riso. 3. Illustrazione ad esempio

Un triangolo è una figura composta da tre punti che non giacciono sulla stessa linea retta e da tre segmenti che collegano questi punti a coppie.

I punti vengono chiamati vertici del triangolo, segmenti - suo partiti. I lati del triangolo si formano Ai vertici di un triangolo ci sono tre angoli.

Le caratteristiche principali di un triangolo sono tre lati e tre angoli. I triangoli sono classificati in base all'angolo acuto, rettangolare e ottuso.

Un triangolo si dice acuto se tutti e tre i suoi angoli sono acuti, cioè inferiori a 90° (Fig. 4).

Riso. 4. Triangolo acuto

Un triangolo si dice rettangolo se uno dei suoi angoli misura 90° (Fig. 5).

Riso. 5. Triangolo rettangolo

Un triangolo si dice ottuso se uno dei suoi angoli è ottuso, cioè maggiore di 90° (Fig. 6).

Riso. 6. Triangolo ottuso

Secondo il numero dei lati uguali i triangoli sono equilateri, isosceli, scaleni.

Un triangolo isoscele è un triangolo in cui due lati sono uguali (Fig. 7).

Riso. 7. Triangolo isoscele

Questi lati sono chiamati laterale, Terzo lato - base. In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono uguali.

I triangoli isosceli lo sono acuto e ottuso(Fig. 8) .

Riso. 8. Triangoli isosceli acuti e ottusi

Si chiama triangolo equilatero, in cui tutti e tre i lati sono uguali (Fig. 9).

Riso. 9. Triangolo equilatero

In un triangolo equilatero tutti gli angoli sono uguali. Triangoli equilateri Sempre ad angolo acuto.

Un triangolo è chiamato versatile, in cui tutti e tre i lati hanno lunghezze diverse (Fig. 10).

Riso. 10. Triangolo scaleno

Completa il compito. Dividi questi triangoli in tre gruppi (Fig. 11).

Riso. 11. Illustrazione per il compito

Per prima cosa distribuiamo in base alla dimensione degli angoli.

Triangoli acuti: n. 1, n. 3.

Triangoli rettangoli: #2, #6.

Triangoli ottusi: #4, #5.

Questi triangoli sono divisi in gruppi in base al numero di lati uguali.

Triangoli scaleni: n. 4, n. 6.

Triangoli isosceli: n. 2, n. 3, n. 5.

Triangolo equilatero: n. 1.

Rivedi i disegni.

Pensa a quale pezzo di filo è composto da ciascun triangolo (fig. 12).

Riso. 12. Illustrazione per il compito

Puoi discutere in questo modo.

Il primo pezzo di filo è diviso in tre parti uguali, quindi puoi ricavarne un triangolo equilatero. È mostrato per terzo nella figura.

Il secondo pezzo di filo è diviso in tre parti diverse, quindi puoi ricavarne un triangolo scaleno. È mostrato per primo nella foto.

Il terzo pezzo di filo è diviso in tre parti, dove le due parti hanno la stessa lunghezza, quindi puoi ricavarne un triangolo isoscele. È mostrato per secondo nella figura.

Oggi nella lezione abbiamo conosciuto diversi tipi di triangoli.

Bibliografia

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Compiti a casa

1. Termina le frasi.

a) Un triangolo è una figura composta da ..., che non giace sulla stessa linea retta, e ..., che collega questi punti a coppie.

b) I punti vengono chiamati … , segmenti - suo … . I lati di un triangolo si formano ai vertici di un triangolo ….

c) A seconda della grandezza dell'angolo, i triangoli sono ..., ..., ....

d) Secondo il numero dei lati uguali i triangoli sono..., ..., ....

2. Disegna

a) un triangolo rettangolo

b) un triangolo acuto;

c) un triangolo ottuso;

d) un triangolo equilatero;

e) triangolo scaleno;

e) un triangolo isoscele.

3. Prepara un compito sull'argomento della lezione per i tuoi compagni.

Forse la figura più elementare, semplice e interessante in geometria è un triangolo. Nel corso della scuola secondaria si studiano le sue proprietà di base, ma a volte la conoscenza su questo argomento si forma incompleta. I tipi di triangoli determinano inizialmente le loro proprietà. Ma questa visione rimane contrastante. Quindi ora diamo uno sguardo più da vicino a questo argomento.

I tipi di triangoli dipendono dalla misura in gradi degli angoli. Queste figure sono acute, rettangolari e ottuse. Se tutti gli angoli non superano i 90 gradi, la figura può essere tranquillamente definita ad angolo acuto. Se almeno un angolo del triangolo è di 90 gradi, hai a che fare con una sottospecie rettangolare. Di conseguenza, in tutti gli altri casi, quello considerato è chiamato angolo ottuso.

Ci sono molti compiti per le sottospecie ad angolo acuto. Una caratteristica distintiva è la posizione interna dei punti di intersezione delle bisettrici, delle mediane e delle altezze. In altri casi, questa condizione potrebbe non essere soddisfatta. Determinare il tipo di figura "triangolo" non è difficile. Basta conoscere, ad esempio, il coseno di ciascun angolo. Se qualche valore è inferiore a zero, il triangolo è comunque ottuso. Nel caso di esponente zero, la figura ha un angolo retto. Tutti i valori positivi ti dicono sicuramente che hai una visione ad angolo acuto.

È impossibile non dire del triangolo rettangolo. Questa è la visione più ideale, dove tutti i punti di intersezione di mediane, bisettrici e altezze coincidono. Nello stesso luogo si trova anche il centro del cerchio inscritto e di quello circoscritto. Per risolvere i problemi, devi conoscere solo un lato, poiché inizialmente gli angoli sono impostati per te e gli altri due lati sono noti. Cioè, la cifra è data da un solo parametro. Ci sono la loro caratteristica principale: l'uguaglianza dei due lati e degli angoli alla base.

A volte c'è la domanda se esiste un triangolo con determinati lati. Quello che ti stai veramente chiedendo è se questa descrizione si adatta alla specie principale. Ad esempio, se la somma di due lati è inferiore al terzo, in realtà tale cifra non esiste affatto. Se il compito richiede di trovare i coseni degli angoli di un triangolo con i lati 3,5,9, allora l'ovvio può essere spiegato qui senza complessi trucchi matematici. Supponiamo di voler andare dal punto A al punto B. La distanza in linea retta è di 9 chilometri. Tuttavia, ti sei ricordato che devi andare al punto C nel negozio. La distanza da A a C è di 3 chilometri e da C a B - 5. Pertanto, risulta che quando ti sposti nel negozio camminerai un chilometro in meno. Ma poiché il punto C non si trova sulla linea AB, dovrai percorrere una distanza extra. Qui nasce una contraddizione. Questa è, ovviamente, una spiegazione ipotetica. La matematica conosce più di un modo per dimostrare che tutti i tipi di triangoli obbediscono all'identità di base. Si dice che la somma di due lati è maggiore della lunghezza del terzo.

Ogni tipo ha le seguenti proprietà:

1) La somma di tutti gli angoli è 180 gradi.

2) C'è sempre un ortocentro, il punto di intersezione di tutte e tre le altezze.

3) Tutte e tre le mediane tracciate dai vertici degli angoli interni si intersecano in un unico punto.

4) Un cerchio può essere circoscritto attorno a qualsiasi triangolo. È anche possibile inscrivere un cerchio in modo che abbia solo tre punti di contatto e non vada oltre i lati esterni.

Ora hai conosciuto le proprietà di base dei diversi tipi di triangoli. In futuro, è importante capire con cosa hai a che fare quando risolvi un problema.

Compiti:

1. Presentare agli studenti i diversi tipi di triangoli a seconda del tipo di angoli (rettangolare, acuto, ottuso). Impara a trovare i triangoli e i loro tipi nei disegni. Fissare i concetti geometrici fondamentali e le loro proprietà: retta, segmento, semiretta, angolo.

2. Sviluppo del pensiero, dell'immaginazione, del discorso matematico.

3. Educazione all'attenzione, all'attività.

Durante le lezioni

I. Momento organizzativo.

Quanto abbiamo bisogno dei ragazzi?
Per le nostre abili mani?
Disegna due quadrati
E hanno un grande cerchio.
E poi altri cerchi
Berretto triangolare.
Quindi è venuto fuori molto, molto
Allegro Strano.

II. Annuncio dell'argomento della lezione.

Oggi nella lezione faremo un viaggio intorno alla città della Geometria e visiteremo il microdistretto dei Triangoli (cioè, conosceremo diversi tipi di triangoli a seconda dei loro angoli, impareremo a trovare questi triangoli nei disegni). condurrà una lezione sotto forma di un “gioco di competizione” tramite comandi.

1 squadra - “Segmento”.

2 squadre - "Ray".

Squadra 3 - "Angolo".

E gli ospiti rappresenteranno la giuria.

La giuria ci guiderà lungo il percorso

E non lascerà senza attenzione. (Valutare in base ai punti 5,4,3,...).

E su cosa viaggeremo per la città della Geometria? Ricordi quali tipi di trasporto passeggeri ci sono in città? Siamo tanti, quale scegliamo? (Autobus).

Autobus. Chiaramente, brevemente. Inizia l'imbarco.

Mettiamoci comodi e iniziamo il nostro viaggio. I capitani delle squadre ricevono i biglietti.

Ma questi biglietti non sono facili, e i biglietti sono “compiti”.

III. Ripetizione del materiale trattato.

Primo stop"Ripetere."

Domanda per tutte le squadre.

Trova una linea retta nel disegno e dai un nome alle sue proprietà.

Senza fine e senza spigolo, la linea è dritta!
Almeno cento anni lo percorrono,
Non troverai la fine della strada!

• La linea retta non ha né inizio né fine: è infinita, quindi non può essere misurata.

Iniziamo la nostra competizione.

Proteggi i nomi delle tue squadre.

(Tutte le squadre leggono le prime domande e discutono. A turno, i capitani delle squadre leggono le domande, 1 squadra legge 1 domanda).

1. Mostra un segmento nel disegno. Quello che viene chiamato taglio. Dai un nome alle sue proprietà.

• La parte di retta delimitata da due punti si chiama segmento. Un segmento di linea ha un inizio e una fine, quindi può essere misurato con un righello.

(La squadra 2 legge 1 domanda).

1. Mostra la trave nel disegno. Quello che viene chiamato un raggio. Dai un nome alle sue proprietà.

• Se segni un punto e da esso tracci una parte di una linea retta, otterrai l'immagine di una trave. Il punto da cui parte una parte della linea è chiamato inizio del raggio.

Il raggio non ha fine, quindi non può essere misurato.

(La squadra 3 legge 1 domanda).

1. Mostra l'angolo sul disegno. Quello che viene chiamato angolo. Dai un nome alle sue proprietà.

• Tracciando due raggi da un punto, si ottiene una figura geometrica, chiamata angolo. Un angolo ha un vertice e i raggi stessi sono chiamati lati dell'angolo. Gli angoli vengono misurati in gradi utilizzando un goniometro.

Fizkultminutka (alla musica).

IV. Prepararsi allo studio di nuovo materiale.

Seconda fermata"Favoloso".

Durante una passeggiata, la Matita ha incontrato diverse angolazioni. Avrei voluto salutarli, ma ho dimenticato il nome di ognuno di loro. La matita dovrà aiutare.

(Gli angoli dello studio vengono controllati utilizzando il modello di un angolo retto).

Assegnazione alle squadre. Leggi le domande n. 2 e discuti.

La squadra 1 legge la domanda 2.

2. Trova un angolo retto, dai una definizione.

• Un angolo di 90° si chiama angolo retto.

La squadra 2 legge la domanda 2.

2. Trova un angolo acuto, dai una definizione.

• Un angolo minore di un angolo retto si chiama angolo acuto.

La squadra 3 legge la domanda 2.

2. Trova un angolo ottuso, dai una definizione.

Un angolo maggiore di un angolo retto si dice ottuso.

Nel microdistretto in cui Pencil amava passeggiare, tutti gli angoli differivano dagli altri residenti in quanto noi tre camminavamo sempre, bevevamo il tè insieme, andavamo al cinema insieme. E la Matita non riusciva a capire che tipo di figura geometrica compongono tre angoli messi insieme?

Una poesia ti darà un suggerimento.

Tu su di me, tu su di lui
Guarda tutti noi.
Abbiamo tutto, abbiamo tutto
Ne abbiamo solo tre!

A quale forma si fa riferimento?

• A proposito del triangolo.

Che forma si chiama triangolo?

• Un triangolo è una figura geometrica che ha tre vertici, tre angoli e tre lati.

(Gli studenti mostrano un triangolo nel disegno, nominano i vertici, gli angoli e i lati).

Vertici: A, B, C (punti)

Angoli: BAC, ABC, BCA.

Lati: AB, BC, CA (segmenti).

V. Educazione fisica:

batti il ​​piede 8 volte,
Batti le mani 9 volte
faremo squat 10 volte,
e piegarsi 6 volte
salteremo dritto
così tanti (visualizzazione triangolare)
Ehi, sì, conta! Gioco e altro ancora!

VI. Imparare nuovo materiale.

Ben presto gli angoli diventarono amici e divennero inseparabili.

E ora chiameremo il microdistretto: microdistretto dei Triangoli.

La terza fermata è “Znayka”.

Quali sono i nomi di questi triangoli?

Diamo loro dei nomi. E proviamo a formulare noi stessi la definizione.

2. Trova triangoli di diversi tipi

1 squadra troverà e mostrerà i triangoli ottusi.

2 troverà e mostrerà i triangoli rettangoli.

Il comando 3 troverà e mostrerà i triangoli acuti.

VIII. La prossima tappa è Pensare.

Assegnazione a tutte le squadre.

Dopo aver spostato 6 bastoncini, crea 4 triangoli uguali dalla lanterna.

Che tipo di angoli sono i triangoli? (Angolo acuto).

IX. Riassunto della lezione.

Che quartiere abbiamo visitato?

Quali tipi di triangoli conosci?

Di norma due triangoli sono considerati simili se hanno la stessa forma, anche se di dimensioni diverse, ruotati o addirittura capovolti.

La rappresentazione matematica di due triangoli simili A 1 B 1 C 1 e A 2 B 2 C 2 mostrata in figura è scritta come segue:

∆A 1 B 1 C 1 ~ ∆A 2 B 2 C 2

Due triangoli sono simili se:

1. Ciascun angolo di un triangolo è uguale all'angolo corrispondente di un altro triangolo:
∠A1 = ∠A2, ∠B1 = ∠B2 E ∠C1 = ∠C2

2. I rapporti tra i lati di un triangolo e i lati corrispondenti di un altro triangolo sono uguali tra loro:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. Relazioni due lati di un triangolo ai lati corrispondenti di un altro triangolo sono uguali tra loro e contemporaneamente
gli angoli tra questi lati sono uguali:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ e $\angle A_1 = \angle A_2$
O
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ e $\angle B_1 = \angle B_2$
O
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ e $\angle C_1 = \angle C_2$

I triangoli simili non devono essere confusi con i triangoli uguali. I triangoli congruenti hanno lunghezze dei lati corrispondenti. Quindi per triangoli uguali:

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

Ne consegue che tutti i triangoli uguali sono simili. Tuttavia, non tutti i triangoli simili sono uguali.

Sebbene la notazione sopra mostri che per scoprire se due triangoli sono simili o no, dobbiamo conoscere i valori dei tre angoli o le lunghezze dei tre lati di ciascun triangolo, per risolvere problemi con triangoli simili, è sufficiente conoscere tre valori qualsiasi tra quelli sopra indicati per ciascun triangolo. Questi valori possono essere in varie combinazioni:

1) tre angoli di ciascun triangolo (non è necessario conoscere la lunghezza dei lati dei triangoli).

Oppure almeno 2 angoli di un triangolo devono essere uguali a 2 angoli di un altro triangolo.
Poiché se 2 angoli sono uguali, anche il terzo angolo sarà uguale (il valore del terzo angolo è 180 - angolo1 - angolo2).

2) le lunghezze dei lati di ciascun triangolo (non è necessario conoscere gli angoli);

3) le lunghezze dei due lati e l'angolo tra loro.

Successivamente, consideriamo la soluzione di alcuni problemi con triangoli simili. Per prima cosa esamineremo i problemi che possono essere risolti utilizzando direttamente le regole di cui sopra, quindi discuteremo alcuni problemi pratici che possono essere risolti utilizzando il metodo dei triangoli simili.

Problemi pratici con triangoli simili

Esempio 1: Mostra che i due triangoli nella figura seguente sono simili.

Soluzione:
Poiché le lunghezze dei lati di entrambi i triangoli sono note, qui si può applicare la seconda regola:

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$

Esempio n.2: Mostra che due triangoli dati sono simili e trova le lunghezze dei lati PQ E PR.

Soluzione:
∠A = ∠P E ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(perché ∠C = 180 - ∠A - ∠B e ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)

Ne consegue che i triangoli ∆ABC e ∆PQR sono simili. Quindi:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Rightarrow PQ=\frac(4\times12)(6) = 8$ e
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14$

Esempio n.3: Determina la lunghezza AB in questo triangolo.

Soluzione:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED E ∠A comune => triangoli ΔABC E ΔADE sono simili.

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \Rightarrow 2\times AB = AB + 4 \Rightarrow AB = 4$

Esempio n.4: Determina la lunghezza d.C.(x) figura geometrica nella figura.

I triangoli ∆ABC e ∆CDE sono simili perché AB || DE e hanno un angolo superiore comune C.
Vediamo che un triangolo è una versione in scala dell'altro. Dobbiamo però dimostrarlo matematicamente.

AB || DE, CD || AC e AC || Unione Europea
∠BAC = ∠EDC e ∠ABC = ∠DEC

Sulla base di quanto sopra e tenendo conto della presenza di un angolo comune C, possiamo affermare che i triangoli ∆ABC e ∆CDE sono simili.

Quindi:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rightarrow CA = \frac(15 \times 11)(7 ) = $ 23,57
x = CA - CC = 23,57 - 15 = 8,57

Esempi pratici

Esempio n.5: La fabbrica utilizza un nastro trasportatore inclinato per trasportare i prodotti dal livello 1 al livello 2, che si trova 3 metri sopra il livello 1, come mostrato in figura. Il trasportatore inclinato è servito da un'estremità al livello 1 e dall'altra estremità ad una postazione di lavoro posta a una distanza di 8 metri dal punto operativo del livello 1.

La fabbrica vuole potenziare il trasportatore per accedere al nuovo livello, che si trova 9 metri sopra il livello 1, mantenendo l'angolo del trasportatore.

Determinare la distanza alla quale è necessario impostare una nuova stazione di lavoro per consentire al trasportatore di funzionare alla sua nuova estremità al livello 2. Calcolare inoltre la distanza aggiuntiva che il prodotto percorrerà quando si sposta a un nuovo livello.

Soluzione:

Innanzitutto, etichettiamo ciascun punto di intersezione con una lettera specifica, come mostrato in figura.

In base al ragionamento fatto negli esempi precedenti possiamo concludere che i triangoli ∆ABC e ∆ADE sono simili. Quindi,

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Rightarrow AB = \frac(8 \times 9)(3 ) = 24 milioni di dollari
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 m

Pertanto, il nuovo punto deve essere installato ad una distanza di 16 metri dal punto esistente.

E poiché la struttura è composta da triangoli rettangoli, possiamo calcolare la distanza percorsa dal prodotto come segue:

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8,54 m$

Allo stesso modo, $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25,63 m$
che è la distanza che il prodotto percorre nel momento in cui raggiunge il livello esistente.

y = AC - AE = 25,63 - 8,54 = 17,09 m
Questa è la distanza extra che un prodotto deve percorrere per raggiungere un nuovo livello.

Esempio n.6: Steve vuole visitare il suo amico che si è recentemente trasferito in una nuova casa. La mappa stradale per arrivare a casa di Steve e del suo amico, insieme alle distanze conosciute da Steve, è mostrata in figura. Aiuta Steve a raggiungere la casa del suo amico nel modo più breve.

Soluzione:

La tabella di marcia può essere rappresentata geometricamente nella forma seguente, come mostrato in figura.

Vediamo che i triangoli ∆ABC e ∆CDE sono simili, quindi:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

La dichiarazione del compito afferma che:

AB = 15 km, AC = 13,13 km, CD = 4,41 km e DE = 5 km

Utilizzando queste informazioni, possiamo calcolare le seguenti distanze:

$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \times 4,41)(5) = 13,23 km$
$CE = \frac(AC \times CD)(BC) = \frac(13,13 \times 4,41)(13,23) = 4,38 km$

Steve può arrivare a casa del suo amico utilizzando i seguenti percorsi:

A -> B -> C -> E -> G, la distanza totale è 7,5+13,23+4,38+2,5=27,61 km

F -> B -> C -> D -> G, la distanza totale è 7,5+13,23+4,41+2,5=27,64 km

F -> A -> C -> E -> G, la distanza totale è 7,5+13,13+4,38+2,5=27,51 km

F -> A -> C -> D -> G, la distanza totale è 7,5+13,13+4,41+2,5=27,54 km

Pertanto, il percorso n. 3 è il più breve e può essere offerto a Steve.

Esempio 7:
Trisha vuole misurare l'altezza della casa, ma non ha gli strumenti giusti. Notò che davanti alla casa cresceva un albero e decise di utilizzare la sua intraprendenza e la conoscenza della geometria acquisita a scuola per determinare l'altezza dell'edificio. Ha misurato la distanza dall'albero alla casa, il risultato è stato di 30 metri, poi si è messa di fronte all'albero e ha iniziato a indietreggiare finché il bordo superiore dell'edificio non è diventato visibile sopra la cima dell'albero. Trisha segnò il punto e misurò la distanza dall'albero. Questa distanza era di 5 m.

L'altezza dell'albero è di 2,8 me l'altezza degli occhi di Trisha è di 1,6 m Aiuta Trisha a determinare l'altezza dell'edificio.

Soluzione:

La rappresentazione geometrica del problema è mostrata in figura.

Per prima cosa usiamo la somiglianza dei triangoli ∆ABC e ∆ADE.

$\frac(BC)(DE) = \frac(1.6)(2.8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Rightarrow 2.8 \times AC = 1.6 \times (5 + AC) = 8 + 1,6 \volte AC$

$(2,8 - 1,6) \times AC = 8 \Rightarrow AC = \frac(8)(1,2) = 6,67$

Possiamo quindi utilizzare la somiglianza triangolare ΔACB e ΔAFG o ΔADE e ΔAFG. Scegliamo la prima opzione.

$\frac(BC)(FG) = \frac(1.6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6.67)(6.67 + 5 + 30) = 0.16 \Rightarrow H = \frac(1.6 )(0,16) = 10 m$

Il poligono più semplice studiato a scuola è un triangolo. È più comprensibile per gli studenti e incontra meno difficoltà. Nonostante esistano diversi tipi di triangoli che hanno proprietà speciali.

Che forma si chiama triangolo?

Formato da tre punti e segmenti di linea. I primi si chiamano vertici, i secondi si chiamano lati. Inoltre, tutti e tre i segmenti devono essere collegati in modo che tra loro si formino degli angoli. Da qui il nome della figura "triangolo".

Differenze nei nomi negli angoli

Poiché possono essere acuti, ottusi e diritti, i tipi di triangoli sono determinati da questi nomi. Di conseguenza, ci sono tre gruppi di tali figure.

• Primo. Se tutti gli angoli di un triangolo sono acuti allora si chiamerà triangolo acutangolo. Tutto è logico.

• Secondo. Uno degli angoli è ottuso, quindi il triangolo è ottuso. Più facile da nessuna parte.

• Terzo. Esiste un angolo pari a 90 gradi, che si chiama angolo retto. Il triangolo diventa rettangolare.

Differenze nei nomi sui lati

A seconda delle caratteristiche dei lati, si distinguono i seguenti tipi di triangoli:

il caso generale è versatile, in cui tutti i lati hanno lunghezza arbitraria;

isoscele, due lati dei quali hanno gli stessi valori numerici;

equilatero, tutti i suoi lati hanno la stessa lunghezza.

Se l'attività non specifica un tipo specifico di triangolo, è necessario disegnarne uno arbitrario. In cui tutti gli angoli sono acuti e i lati hanno lunghezze diverse.

Proprietà comuni a tutti i triangoli

1. Se sommi tutti gli angoli di un triangolo, ottieni un numero pari a 180º. E non importa di che tipo sia. Questa regola vale sempre.
2. Il valore numerico di qualsiasi lato del triangolo è inferiore alla somma degli altri due. Inoltre, è maggiore della loro differenza.
3. Ogni angolo esterno ha un valore che si ottiene sommando due angoli interni ad esso non adiacenti. Inoltre è sempre più grande di quello interno adiacente.
4. Il lato più piccolo di un triangolo è sempre opposto all'angolo più piccolo. Viceversa, se il lato è grande, l'angolo sarà massimo.

Queste proprietà sono sempre valide, indipendentemente dal tipo di triangoli considerati nei problemi. Tutto il resto deriva da caratteristiche specifiche.

Proprietà di un triangolo isoscele

• Gli angoli adiacenti alla base sono uguali.
• L'altezza che arriva alla base è anche mediana e bisettrice.
• Le altezze, mediane e bisettrici, che sono costruite ai lati del triangolo, sono rispettivamente uguali tra loro.

Proprietà di un triangolo equilatero

Se esiste una cifra del genere, tutte le proprietà descritte sopra saranno vere. Perché un equilatero sarà sempre isoscele. Ma non viceversa, un triangolo isoscele non sarà necessariamente equilatero.

• Tutti i suoi angoli sono uguali tra loro e hanno un valore di 60º.
• Ogni mediana di un triangolo equilatero è la sua altezza e la sua bisettrice. E sono tutti uguali tra loro. Per determinare i loro valori esiste una formula che consiste nel prodotto del lato e della radice quadrata di 3 diviso 2.

Proprietà di un triangolo rettangolo

• La somma di due angoli acuti dà come risultato 90º.
• La lunghezza dell'ipotenusa è sempre maggiore di quella di qualsiasi cateto.
• Il valore numerico della mediana tracciata rispetto all'ipotenusa è pari alla metà di essa.
• La gamba ha lo stesso valore se si trova di fronte ad un angolo di 30º.
• L'altezza, disegnata dall'alto con un valore di 90º, ha una certa dipendenza matematica dalle gambe: 1 / n 2 \u003d 1 / a 2 + 1 / in 2. Qui: a, c - gambe, n - altezza.

Problemi con diversi tipi di triangoli

N. 1. Dato un triangolo isoscele. Il suo perimetro è noto ed è pari a cm 90. Occorre conoscerne i lati. Come condizione aggiuntiva: il lato laterale è 1,2 volte più piccolo della base.

Il valore del perimetro dipende direttamente dalle quantità che devono essere trovate. La somma di tutti e tre i lati darà 90 cm Ora devi ricordare il segno del triangolo, secondo il quale è isoscele. Cioè, le due parti sono uguali. Puoi creare un'equazione con due incognite: 2a + b \u003d 90. Qui a è il lato, b è la base.

È tempo per una condizione aggiuntiva. Seguendolo, si ottiene la seconda equazione: b \u003d 1.2a. Puoi sostituire questa espressione nella prima. Risulta: 2a + 1.2a \u003d 90. Dopo le trasformazioni: 3.2a \u003d 90. Quindi a \u003d 28.125 (cm). Adesso è facile scoprirne il motivo. È meglio farlo dalla seconda condizione: v \u003d 1,2 * 28,125 \u003d 33,75 (cm).

Per verificare, puoi aggiungere tre valori: 28,125 * 2 + 33,75 = 90 (cm). Va bene.

Risposta: i lati del triangolo misurano 28,125 cm, 28,125 cm, 33,75 cm.

N. 2. Il lato di un triangolo equilatero è 12 cm, devi calcolarne l'altezza.

Soluzione. Per cercare una risposta basta tornare al momento in cui sono state descritte le proprietà del triangolo. Questa è la formula per trovare l'altezza, la mediana e la bisettrice di un triangolo equilatero.

n \u003d a * √3 / 2, dove n è l'altezza, a è il lato.

La sostituzione e il calcolo danno il seguente risultato: n = 6 √3 (cm).

Non è necessario memorizzare questa formula. Basti ricordare che l'altezza divide il triangolo in due rettangoli. Inoltre, risulta essere una gamba, e l'ipotenusa in essa contenuta è il lato di quella originale, la seconda gamba è la metà del lato noto. Ora devi scrivere il teorema di Pitagora e ricavare una formula per l'altezza.

Risposta: l'altezza è 6 √3 cm.

Numero 3. Viene dato MKR: un triangolo di 90 gradi in cui forma un angolo K. I lati MP e KR sono noti, sono rispettivamente uguali a 30 e 15 cm È necessario scoprire il valore dell'angolo P.

Soluzione. Se fai un disegno, diventa chiaro che MP è l'ipotenusa. Inoltre, è grande il doppio della gamba del CD. Ancora una volta, è necessario rivolgersi alle proprietà. Uno di questi è proprio legato agli angoli. Da ciò è chiaro che l'angolo del KMR è di 30º. Quindi l'angolo desiderato P sarà pari a 60º. Ciò deriva da un'altra proprietà secondo la quale la somma di due angoli acuti deve essere uguale a 90º.

Risposta: l'angolo R è 60º.

N. 4. Devi trovare tutti gli angoli di un triangolo isoscele. Di lui si sa che l'angolo esterno dall'angolo alla base è di 110º.

Soluzione. Poiché viene fornito solo l'angolo esterno, è necessario utilizzare questo. Si forma con un angolo interno sviluppato. Quindi la loro somma dà 180º. Cioè, l'angolo alla base del triangolo sarà uguale a 70º. Essendo isoscele, il secondo angolo ha lo stesso valore. Resta da calcolare il terzo angolo. Per una proprietà comune a tutti i triangoli, la somma degli angoli è 180º. Quindi il terzo è definito come 180º - 70º - 70º = 40º.

Risposta: gli angoli sono 70º, 70º, 40º.

N. 5. È noto che in un triangolo isoscele l'angolo opposto alla base è 90º. Sulla base è segnato un punto. Il segmento che lo collega con un angolo retto lo divide in un rapporto da 1 a 4. Devi conoscere tutti gli angoli del triangolo più piccolo.

Soluzione. Uno degli angoli può essere determinato immediatamente. Poiché il triangolo è rettangolo ed isoscele, quelli che si trovano alla sua base saranno 45º, cioè 90º/2.

Il secondo aiuterà a trovare la relazione nota nella condizione. Poiché è uguale a 1 a 4, le parti in cui è diviso sono solo 5. Quindi, per trovare l'angolo più piccolo del triangolo, hai bisogno di 90º / 5 = 18º. Resta da scoprire il terzo. Per fare ciò, da 180º (la somma di tutti gli angoli di un triangolo), devi sottrarre 45º e 18º. I calcoli sono semplici e risulta: 117º.