Cilindro come figura geometrica.

Un cilindro è un corpo geometrico delimitato da due piani paralleli e una superficie cilindrica. Nell'articolo parleremo di come trovare l'area di un cilindro e, utilizzando la formula, risolveremo ad esempio diversi problemi.

Un cilindro ha tre superfici: una superiore, una inferiore e una laterale.

La parte superiore e inferiore del cilindro sono cerchi e sono facili da definire.

È noto che l'area di un cerchio è uguale a πr 2 . Pertanto, la formula per l'area di due cerchi (superiore e inferiore del cilindro) sarà simile a πr 2 + πr 2 = 2πr 2 .

La terza superficie laterale del cilindro è la parete curva del cilindro. Per rappresentare al meglio questa superficie, proviamo a trasformarla per ottenere una forma riconoscibile. Immagina che un cilindro sia un normale barattolo di latta privo di coperchio superiore e inferiore. Facciamo un'incisione verticale sulla parete laterale dall'alto verso il basso del barattolo (Step 1 nella figura) e proviamo ad aprire (raddrizzare) il più possibile la figura risultante (Step 2).

Dopo la completa apertura del barattolo risultante, vedremo una figura familiare (passaggio 3), questo è un rettangolo. L'area di un rettangolo è facile da calcolare. Ma prima torniamo un attimo al cilindro originale. Il vertice del cilindro originale è un cerchio, e sappiamo che la circonferenza di un cerchio si calcola con la formula: L = 2πr. Nella figura è segnato in rosso.

Quando la parete laterale del cilindro è completamente espansa, vediamo che la circonferenza diventa la lunghezza del rettangolo risultante. I lati di questo rettangolo saranno la circonferenza (L = 2πr) e l'altezza del cilindro (h). L'area di un rettangolo è uguale al prodotto dei suoi lati - S = lunghezza x larghezza = L x h = 2πr x h = 2πrh. Di conseguenza, abbiamo ottenuto una formula per calcolare la superficie laterale di un cilindro.

La formula per l'area della superficie laterale di un cilindro
Lato S = 2pr

Superficie totale di un cilindro

Infine, se sommiamo l'area di tutte e tre le superfici, otteniamo la formula per la superficie totale di un cilindro. L'area della superficie del cilindro è uguale all'area della parte superiore del cilindro + l'area della base del cilindro + l'area della superficie laterale del cilindro o S = πr 2 + πr2 + 2πrh = 2πr2 + 2πrh. A volte questa espressione è scritta con la formula identica 2πr (r + h).

La formula per la superficie totale di un cilindro
S = 2πr2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r è il raggio del cilindro, h è l'altezza del cilindro

Esempi di calcolo della superficie di un cilindro

Per comprendere le formule di cui sopra, proviamo a calcolare la superficie di un cilindro utilizzando degli esempi.

1. Il raggio della base del cilindro è 2, l'altezza è 3. Determina l'area della superficie laterale del cilindro.

La superficie totale si calcola con la formula: lato S. = 2pr

Lato S = 2*3,14*2*3

Lato S = 6,28 * 6

Lato S = 37,68

La superficie laterale del cilindro è 37,68.

2. Come trovare la superficie di un cilindro se l'altezza è 4 e il raggio è 6?

La superficie totale si calcola con la formula: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

S = 226,08 + 150,72

La superficie del cilindro è 376,8.

Cilindro

sicuramente Un cilindro è un corpo formato da due cerchi allineati

traslazione parallela e tutti i segmenti che collegano i punti corrispondenti

questi cerchi.

I cerchi sono chiamati basi del cilindro, e i segmenti che collegano i punti corrispondenti dei cerchi di questi cerchi sono chiamati generatori del cilindro (Fig. 1)

riso. 1 fico. 2 fig. 3 fig. 4

Proprietà del cilindro:

1) Le basi del cilindro sono uguali e giacciono su piani paralleli.

2) Le generatrici del cilindro sono uguali e parallele.

sicuramente Il raggio di un cilindro è il raggio della sua base.

sicuramente L'altezza di un cilindro è la distanza tra i piani delle sue basi.

sicuramente La sezione di un cilindro mediante un piano passante per l'asse del cilindro si chiama sezione assiale.

La sezione assiale del cilindro è un rettangolo con i lati 2R e l(in un cilindro dritto l=H)fig. 2

La sezione trasversale del cilindro, parallela al suo asse, è rettangolare (Fig. 3).

Sezione di un cilindro secondo un piano parallelo alle basi - un cerchio uguale alle basi (Fig. 4)

La superficie di un cilindro.

La superficie laterale del cilindro è composta da generatori.

L'intera superficie di un cilindro è costituita dalle basi e dalla superficie laterale.

S pieno = 2 S principale + S lato ; S principale = P ∙ R 2 ; S lato = 2 P ∙ R ∙NS pieno = 2PR ∙(R +H)

Parte pratica:

№1. Il raggio del cilindro è 3 cm e la sua altezza è 5 cm. Trova l'area della sezione assiale e l'area della metà

superficie del cilindro.

№2. La diagonale della sezione assiale del cilindro è inclinata rispetto al piano di base secondo un angolo
ed è pari a 20 cm Trova l'area della superficie laterale del cilindro.

№3. Il raggio del cilindro è 2 cm e la sua altezza è 3 cm. Trova la diagonale della sezione assiale del cilindro.

№4. La diagonale della sezione assiale del cilindro, pari a
, forma un angolo con il piano della base
. Trova l'area della superficie laterale del cilindro.

№5. La superficie laterale del cilindro è 15 . Trova l'area della sezione assiale.

№6. Trova l'altezza del cilindro se la sua area di base è 1 e lato S =
.

№7. La diagonale della sezione assiale del cilindro ha una lunghezza di 8 cm ed è inclinata rispetto al piano della base secondo un angolo
. Trova l'area totale del cilindro.

Un camino cilindrico di diametro 65 cm ha un'altezza di 18 m. Quanto stagno è necessario per realizzarlo se il 10% del materiale viene utilizzato per il rivetto?

Delimitato da una superficie cilindrica e da due piani paralleli che la intersecano.

Definizioni correlate

Superficie cilindrica- una superficie ottenuta spostando una linea retta (generatrice), parallela ad una qualsiasi linea retta, che interseca una linea curva (guida), giacente in un piano non parallelo ad una retta data. Si chiamano figure piane formate dall'intersezione di una superficie cilindrica con due piani paralleli basi dei cilindri. Si chiama la superficie cilindrica compresa tra i piani delle basi superficie laterale cilindro. In caso di parallelismo del piano base e del piano guida, il confine della base coinciderà nella forma con la guida.

Tipi

Nella maggior parte dei casi per cilindro si intende un cilindro circolare rettilineo, in cui la guida è un cerchio e le basi sono perpendicolari alla generatrice. Un tale cilindro ha un asse di simmetria.

Altri tipi di cilindro - (a seconda dell'inclinazione della generatrice) obliquo o inclinato (se la generatrice non tocca la base ad angolo retto); (a seconda della forma della base) ellittica, iperbolica, parabolica.

Un prisma è anche una specie di cilindro, con una base a forma di poligono.

Superficie del cilindro

Superficie laterale

L'area della superficie laterale del cilindro è uguale alla lunghezza della generatrice moltiplicata per il perimetro della sezione del cilindro per un piano perpendicolare alla generatrice.

La superficie laterale di un cilindro rettilineo si calcola dal suo sviluppo. Lo sviluppo del cilindro è un rettangolo con un'altezza $H$ e lunghezza $P$ uguale al perimetro della base. Pertanto l'area della superficie laterale del cilindro è pari all'area del suo sviluppo e si calcola con la formula:

$S\_b\; =\; Ph$

In particolare, per un cilindro circolare retto:

$P\; =\; 2\; \backslash pi\; R$, E $S\_b\; =\; 2\; \backslash pi\; R\; h$

Per un cilindro inclinato la superficie laterale è pari alla lunghezza della generatrice moltiplicata per il perimetro della sezione perpendicolare alla generatrice:

$S\_b\; =\; P\_(\backslash perp)h$

Non esiste una formula semplice che esprima la superficie laterale di un cilindro obliquo in termini di parametri di base e altezza, in contrasto con il volume. Per un cilindro circolare inclinato, puoi utilizzare formule approssimative per il perimetro di un'ellisse, quindi moltiplicare il valore risultante per la lunghezza della generatrice.

Superficie totale

La superficie totale di un cilindro è pari alla somma delle aree della sua superficie laterale e delle sue basi.

Per un cilindro circolare diritto: $S\_(p)\; =\; 2\; \backslash pi\; R\; h\; +2\; \backslash pi\; R^2\; =\; 2\backslash pi\; R\; (h+R)$

Volume del cilindro

Per un cilindro inclinato esistono due formule:

• Il volume è uguale alla lunghezza della generatrice moltiplicata per l'area della sezione trasversale del cilindro mediante un piano perpendicolare alla generatrice. $V=S\_(\backslash perp)l$,
• Il volume è uguale all'area della base moltiplicata per l'altezza (la distanza tra i piani in cui giacciono le basi): $V=Sh=Sl\backslash sin(\backslash varphi)$,

Dove $l$- la lunghezza della generatrice, e $\backslash varphi$- l'angolo tra la generatrice e il piano della base. Per cilindro dritto $h=l$.

Per cilindro dritto $\backslash sin(\backslash varphi)=1$, $l=h$ E $S\_(\backslash perp)=S$ e il volume è:

• $V=Sl=Sh$

Per un cilindro circolare:

$V=\backslash pi\; R^(2)h=\backslash pi\; \backslash frac(d^(2))(4)h$

Dove D- diametro della base.

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Appunti

Un estratto che caratterizza il Cilindro

- Paris la capitale du monde... [Parigi è la capitale del mondo...] - ha detto Pierre, concludendo il suo discorso.
Il capitano guardò Pierre. Aveva l'abitudine di fermarsi nel bel mezzo di una conversazione e guardare con occhi affettuosi e ridenti.
- Eh bien, si vous ne m "aviez pas dit que vous etes Russe, j" aurai parie que vous etes Parisien. Vous avez ce je ne sais, quoi, ce… [Beh, se non mi avessi detto che sei russo, scommetterei che sei parigino. C'è qualcosa in te, questo...] – e, dopo aver detto questo complimento, guardò di nuovo in silenzio.
- J "ai ete a Paris, j" y ai passe des annees, [ero a Parigi, ho trascorso lì anni interi] - disse Pierre.
Oh ca se voit bien. Parigi!.. Un homme qui ne connait pas Paris, est un sauvage. Un Parisien, ca se sent a deux lieux. Paris, s "est Talma, la Duschenois, Potier, la Sorbonne, les boulevards, - e notando che la conclusione era più debole della precedente, aggiunse frettolosamente: - Il n" y a qu "un Paris au monde. Vous avez ete a Paris et vous etes reste Busse. Eh bien, je ne vous en estime pas moins. [Oh, puoi vederlo. Parigi!... Un uomo che non conosce Parigi è un selvaggio. Puoi riconoscere un parigino a due miglia di distanza ... Parigi è Talma, Duchenois, Pottier, la Sorbona, i boulevard... C'è solo Parigi in tutto il mondo. Tu sei stato a Parigi e sei rimasto russo. Ebbene, non ti rispetto di meno per questo.]
Sotto l'effetto del vino bevuto e dopo giorni trascorsi in solitudine con i suoi pensieri cupi, Pierre provò un piacere involontario nel parlare con quest'uomo allegro e di buon carattere.
- Pour en revenir a vos dames, on les dit bien belles. Quelle fichue idee d "aller s" enterrer dans les steppes, quand l "armee francaise est a Moscou. Quelle chance elles ont manque celles la. Vos moujiks c" est autre choose, mais voua autres gens civilises vous devriez nous connaitre mieux que ca . Nous avons pris Vienna, Berlino, Madrid, Napoli, Roma, Varsavia, tutte le capitali del mondo... On nous craint, mais on nous aime. Nous sommes bons a connaitre. Et puis l'Empereur! [Ma torniamo alle vostre dame: dicono che sono molto belle. Che idea stupida andare a scavare nelle steppe quando l'esercito francese è a Mosca! Hanno perso una bellissima occasione. I vostri uomini, mi risulta, ma voi siete persone istruite - avreste dovuto conoscerci meglio di così. Abbiamo preso Vienna, Berlino, Madrid, Napoli, Roma, Varsavia, tutte le capitali del mondo. Ci temono, ma ci amano. Non è dannoso saperlo noi meglio E poi l'imperatore ...] - iniziò, ma Pierre lo interruppe.
- L "Empereur", ripeté Pierre, e il suo viso assunse improvvisamente un'espressione triste e imbarazzata. - Est ce que l "Empereur? .. [Imperatore... Cos'è l'imperatore? ..]
- L "Empereur? C" est la generosite, la clemence, la Justice, l "ordre, le genie, voila l" Empereur! C "est moi, Ram ball, qui vous le dit. Tel que vous me voyez, j" etais son ennemi il y a encore huit ans. Mon pere a ete comte emigre... Mais il m"a vaincu, cet homme. Il m" a empoigne. Je n "ai pas pu resister au spectacle de grandeur et de gloire dont il couvrait la France. Quand j" ai compris ce qu "il voulait, quand j" ai vu qu "il nous faisait une litiere de lauriers, voyez vous, je me suis dit: voila un souverain, et je me suis donne a lui. Eh voila! Oh, oui, mon cher, c "est le plus grand homme des siecles goes et a venir. [Imperatore? Questa generosità, misericordia, giustizia, ordine, genio: ecco cos'è un imperatore! Sono io, Rambal, che ti parlo. Come mi vedi, ero suo nemico otto anni fa. Mio padre era un conte ed un emigrante. Ma mi ha sconfitto, quest'uomo. Ha preso possesso di me. Non ho potuto resistere allo spettacolo di maestà e di gloria con cui ha ricoperto la Francia. Quando ho capito cosa voleva, quando ho visto che ci preparava un letto di allori, mi sono detta: ecco il sovrano, e mi sono donata a lui. E così! Oh sì, mio ​​caro, questo è il più grande uomo delle epoche passate e future.] kylindros, rullo, rullo) - un corpo geometrico delimitato da una superficie cilindrica (chiamata superficie laterale del cilindro) e non più di due superfici (basi del cilindro); inoltre, se le basi sono due, allora l'una è ottenuta dall'altra per trasferimento parallelo lungo la generatrice della superficie laterale del cilindro; e la base interseca ciascuna generatrice della superficie laterale esattamente una volta.

Un corpo infinito delimitato da una superficie cilindrica infinita chiusa si chiama cilindro infinito, delimitato da un raggio cilindrico chiuso e dalla sua base, si chiama cilindro aperto. La base e i generatori di una trave cilindrica sono chiamati rispettivamente base e generatori di un cilindro aperto.

Viene chiamato un corpo finito delimitato da una superficie cilindrica finita chiusa e da due sezioni che la separano cilindro finale, o effettivamente cilindro. Le sezioni sono chiamate basi del cilindro. Per definizione di superficie cilindrica finita, le basi di un cilindro sono uguali.

Ovviamente le generatrici della superficie laterale del cilindro sono di uguale lunghezza (denominate Alto cilindro) segmenti che giacciono su linee parallele e con le estremità che giacciono sulle basi del cilindro. Le curiosità matematiche includono la definizione di qualsiasi superficie tridimensionale finita senza autointersezioni come un cilindro ad altezza zero (questa superficie è considerata contemporaneamente da entrambe le basi del cilindro finito). Le basi del cilindro influiscono qualitativamente sul cilindro.

Se le basi del cilindro sono piane (e quindi i piani che le contengono sono paralleli), allora si chiama cilindro in piedi sull'aereo. Se le basi di un cilindro poggiante su un piano sono perpendicolari alla generatrice, il cilindro si dice diritto.

In particolare, se la base di un cilindro poggiante su un piano è un cerchio, allora si parla di cilindro circolare (rotondo); se un'ellisse, allora ellittica.

Il volume del cilindro finale è uguale all'integrale dell'area di base lungo la generatrice. In particolare, il volume di un cilindro circolare retto è

,

(dove è il raggio della base, è l'altezza).

La superficie laterale di un cilindro si calcola utilizzando la seguente formula:

.

La superficie totale di un cilindro è la somma della superficie laterale e dell'area delle basi. Per un cilindro circolare diritto:

.

Fondazione Wikimedia. 2010 .

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Questo termine ha altri significati, vedi Ambito (significati). Il volume è una funzione additiva di un insieme (misura) che caratterizza la capacità di una regione di spazio che occupa. Inizialmente, è nato ed è stato applicato senza restrizioni ... ... Wikipedia

Una parte della geometria inclusa nella matematica elementare (Vedi matematica elementare). I confini dell’egualitarismo, così come della matematica elementare in generale, non sono strettamente delineati. Dicono che E.g. sia quella parte della geometria che si studia in... ... Grande Enciclopedia Sovietica

Libri

• Geometria. 10-11 gradi. Mappe tecnologiche delle lezioni (CD). Standard educativo dello stato federale, Gilyarova Marina Gennadievna. Una lavagna interattiva nelle lezioni delle scuole superiori è uno strumento elettronico moderno che accelera notevolmente l'accesso alle informazioni necessarie, ne facilita la percezione e contribuisce a...

Cilindro (cilindro circolare) - un corpo costituito da due cerchi, combinati mediante trasferimento parallelo, e tutti i segmenti che collegano i punti corrispondenti di questi cerchi. I cerchi sono chiamati basi del cilindro, e i segmenti che collegano i punti corrispondenti dei cerchi sono chiamati generatori del cilindro.

Le basi del cilindro sono uguali e giacciono su piani paralleli, e le generatrici del cilindro sono parallele e uguali. La superficie di un cilindro è costituita dalle basi e da una superficie laterale. La superficie laterale è formata da generatori.

Un cilindro si dice rettilineo se le sue generatrici sono perpendicolari ai piani della base. Un cilindro può essere considerato un corpo ottenuto facendo ruotare come asse un rettangolo attorno ad uno dei suoi lati. Esistono altri tipi di cilindri: ellittico, iperbolico, parabolico. Un prisma è anche considerato una specie di cilindro.

La Figura 2 mostra un cilindro inclinato. Le circonferenze di centro O e O 1 sono le sue basi.

Il raggio di un cilindro è il raggio della sua base. L'altezza del cilindro è la distanza tra i piani delle basi. L'asse di un cilindro è una retta passante per i centri delle basi. È parallelo ai generatori. La sezione di un cilindro mediante un piano passante per l'asse del cilindro si chiama sezione assiale. Il piano passante per la generatrice di un cilindro rettilineo e perpendicolare alla sezione assiale tracciata attraverso tale generatrice è chiamato piano tangente al cilindro.

Un piano perpendicolare all'asse del cilindro interseca la sua superficie laterale lungo una circonferenza uguale alla circonferenza della base.

Un prisma inscritto in un cilindro è un prisma le cui basi sono poligoni uguali inscritti nelle basi del cilindro. I suoi bordi laterali sono generatrici del cilindro. Un prisma si dice circoscritto ad un cilindro se le sue basi sono poligoni uguali circoscritti alle basi del cilindro. I piani delle sue facce toccano la superficie laterale del cilindro.

L'area della superficie laterale del cilindro può essere calcolata moltiplicando la lunghezza della generatrice per il perimetro della sezione del cilindro per un piano perpendicolare alla generatrice.

La superficie laterale di un cilindro destro si ricava dal suo sviluppo. Lo sviluppo del cilindro è un rettangolo di altezza h e lunghezza P, che è uguale al perimetro della base. Pertanto l'area della superficie laterale del cilindro è pari all'area del suo sviluppo e si calcola con la formula:

In particolare, per un cilindro circolare retto:

P = 2πR e Sb = 2πRh.

La superficie totale di un cilindro è pari alla somma delle aree della sua superficie laterale e delle sue basi.

Per un cilindro circolare diritto:

S p = 2πRh + 2πR 2 = 2πR(h + R)

Esistono due formule per trovare il volume di un cilindro inclinato.

Puoi trovare il volume moltiplicando la lunghezza della generatrice per l'area della sezione trasversale del cilindro mediante un piano perpendicolare alla generatrice.

Il volume di un cilindro inclinato è uguale al prodotto dell'area della base e dell'altezza (la distanza tra i piani su cui giacciono le basi):

V = Sh = S l sin α,

dove l è la lunghezza della generatrice e α è l'angolo tra la generatrice e il piano della base. Per un cilindro diritto h = l.

La formula per trovare il volume di un cilindro circolare è la seguente:

V \u003d π R 2 h \u003d π (d 2 / 4) h,

dove d è il diametro della base.

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