Dividi un angolo in 3 parti uguali. Divisione di un angolo in tre parti uguali utilizzando compasso e righello (trisezione dell'angolo)

L'emergere del problema della trisezione di un angolo (cioè della divisione di un angolo in tre parti uguali) è condizionato dalla necessità di risolvere il problema della costruzione di poligoni regolari. La costruzione di un pentagono regolare con compasso e righello dovette fare una grande impressione sui pitagorici, perché la stella regolare a cinque punte era il loro segno identificativo (simboleggiava la salute). È nota la seguente leggenda.

Un Pitagorico stava morendo in terra straniera e non poteva pagare l'uomo che si prendeva cura di lui. Prima della sua morte, gli ordinò di raffigurare una stella a cinque punte sulla sua dimora: se mai passasse un Pitagorico, glielo chiederà sicuramente. Infatti, qualche anno dopo, un pitagorico vide questo segno e ricompensò il proprietario della casa.

L'origine del problema della trisezione di un angolo è legata anche ad attività pratiche, in particolare era necessario poter dividere un cerchio in parti uguali nella fabbricazione di una ruota a raggi, dividendo un angolo o un arco di Il cerchio in più parti uguali era necessario anche in architettura, nella creazione di ornamenti, nelle attrezzature edili e in astronomia.

Con l'aiuto di un compasso e di una riga per n=6 e 8 si possono costruire n-angoli regolari, ma per n=7 e 9 ciò è impossibile. Costruire un ettagono regolare è un problema interessante: si può risolvere utilizzando il metodo "inserisci". La costruzione di un ettagono regolare fu proposta da Archimede. Ma i tentativi di costruire un ennagono regolare avrebbero dovuto portare al problema della trisezione dell'angolo, perché per costruire un ennagono regolare era necessario costruire un angolo di 360 ° / 9 \u003d 120/3, cioè dividere l'angolo di 120° in tre parti uguali.

Perché i greci preferivano il compasso e il righello agli altri strumenti?

Gli scienziati non possono rispondere a questa domanda in modo inequivocabile e sufficientemente convincente. È perché la bussola e il righello sono gli strumenti più semplici? Può darsi. Tuttavia, è possibile specificare molti altri strumenti, semplici come compassi e righelli, o quasi altrettanto semplici. Con l'aiuto di alcuni di essi, vengono risolti anche i compiti formulati.

Nella letteratura pertinente si possono trovare tentativi di spiegare una simpatia così insolita dei greci specificamente per la bussola e il righello. Qualsiasi figura geometrica è composta da due tipi di linee: una linea retta o una curva. E ogni curva è costituita da parti di cerchi di diverso diametro. In questo caso la retta e il cerchio sono le uniche linee a curvatura costante sul piano.

Divisione di un angolo retto in tre parti uguali.

In alcuni casi particolari è facile eseguire la divisione dell'angolo. Quindi i Pitagorici erano in grado di dividere un angolo retto in tre parti uguali, basandosi sul fatto che in un triangolo equilatero ogni angolo è uguale a 60º.

Si richieda di dividere in tre parti uguali la retta (MAN.

Lasciamo da parte un segmento arbitrario AC sul raggio AN, sul quale costruiamo un triangolo equilatero ASV. Poiché (CAB è uguale a 60º, allora (BAM è uguale a 30º. Costruiamo la bisettrice AD ​​dell'angolo CAB, otteniamo la divisione richiesta della retta (MAN in tre angoli uguali: (NAD, (DAB, (BAM .

Il problema della trisezione di un angolo risulta risolvibile per alcuni altri valori particolari dell'angolo (ad esempio, per angoli di 90o/2n, dove n è un numero naturale). Il fatto che qualsiasi angolo non possa essere diviso in tre parti uguali utilizzando solo compasso e riga fu dimostrato solo nella prima metà del XIX secolo.

Risolvere con il metodo degli "inserti"

Alcuni dei metodi di trisezione degli angoli considerati dai Greci utilizzavano il cosiddetto metodo di inserimento. Consisteva nel trovare la posizione di una linea passante per un dato punto O, sulla quale due linee date (o una linea e un cerchio) taglierebbero un segmento di una data lunghezza a. Tale costruzione può essere eseguita utilizzando un compasso e un righello con due divisioni, la cui distanza è pari ad a.

Con l'aiuto degli "inserti" è molto semplice dividere l'angolo in tre parti uguali. Prendi un punto arbitrario A dal lato dell'angolo con vertice B e lascia cadere la perpendicolare AC da esso all'altro lato.

Disegna per il punto A una semiretta codirezionale con la semiretta BC. Inseriamo ora un segmento DE di lunghezza 2AB tra i raggi AC e l in modo che la sua continuazione passi per il punto B. Quindi (EBC \u003d (ABC / 3. Infatti, sia G il punto medio del segmento DE. Il punto A giace su un cerchio di diametro DE, quindi AG = GE = DE/2 = AB. I triangoli BAG e AGE sono isosceli, quindi (ABG = (AGB = 2(AEG = 2(EBC.

Pappo di Alessandria dimostrò che il compito di "inserire" un segmento tra date rette perpendicolari l1 e l2 si riduce alla costruzione di un punto di intersezione tra un cerchio e un'iperbole. Consideriamo un rettangolo ABCD, le cui estensioni dei lati BC e CD sono linee date, e il vertice A è un punto dato attraverso il quale è necessario tracciare una linea che interseca le linee l1 e l2 nei punti E e F tale che il segmento EF ha una determinata lunghezza.

Completiamo il triangolo DEF al parallelogramma DEFG. Per costruire la linea desiderata è sufficiente costruire il punto G, quindi attraverso il punto A tracciare una linea parallela alla linea DG. Il punto G è lontano dal punto D di una data distanza DG = EF, quindi il punto G giace su una circonferenza costruibile.

D'altra parte, dalla somiglianza dei triangoli ABF e EDA si ottiene AB: ED = BF: AD, cioè ED*BF=AB*AD. Pertanto, FG*BF=AB*AD = SABCD, cioè il punto G giace sull'iperbole (se si dirigono gli assi Ox e Oy lungo i raggi BF e BA, allora questa iperbole è data dall'equazione xy = SABCD)

Soluzione utilizzando quadritrix

Tra i problemi “grammaticali” rientra il problema di dividere un angolo sotto qualsiasi aspetto. La prima curva per risolvere un problema del genere fu inventata da Ippia d'Elide. Successivamente (a partire da Dinostrato) questa curva venne utilizzata anche per risolvere la quadratura del cerchio. Leibniz chiamò questa curva quadritrix.

Si ottiene nel modo seguente. Sia nel quadrato ABCD gli estremi del segmento B′C′ muoversi uniformemente lungo i lati rispettivamente BA e CD, e il segmento AN ruoti uniformemente attorno al punto A. Il segmento B′C′ nel momento iniziale coincide con il segmento BC, e il segmento AN coincide con il segmento AB; entrambi i segmenti raggiungono contemporaneamente la loro posizione finale AD. Una quadritrix è una curva descritta dal punto di intersezione dei segmenti B′C′ e AN.

Per dividere l'angolo acuto φ in qualche rapporto è necessario mettere da parte l'angolo DAL = φ nel disegno sopra, dove L giace sulla quadratica. Lasciamo cadere la perpendicolare LH al segmento AD. Dividiamo questa perpendicolare nel rapporto richiesto per il punto P. Tracciamo per P un segmento parallelo ad AD finché non si interseca con la quadritrix nel punto Q; il raggio AQ divide l'angolo LAD nel rapporto richiesto, poiché, per la definizione di quadritrix, (LAQ: (QAD = (LP: (LH.

Lavoro pratico sulla costruzione dei trisettori di un angolo

Il metodo di inserimento

Con l'aiuto di una quadritrice

Soluzione utilizzando il teorema di Morley

Poiché qualsiasi angolo non può essere diviso in tre parti uguali, possiamo risolvere il problema della trisezione di un angolo in ordine inverso utilizzando il teorema di Morley.

Teorema. Si intersechino nel punto A1 le trisettrici degli angoli B e C più vicini al lato BC; i punti B1 e C1 sono definiti in modo simile. Allora il triangolo A1B1C1 è equilatero e il segmento C1C è perpendicolare alla base di un triangolo regolare.

Risolviamo il seguente problema: costruiremo un triangolo, da tutti gli angoli di cui vengono disegnati i trisettori.

Piano di costruzione.

1) Costruisci due angoli arbitrari (BAC1 e (ABC1), un lato dei quali è comune.

Gli angoli costruiti devono soddisfare la disuguaglianza:

2) Sia il raggio AC1 l'asse di simmetria. Rifletti (BAC1 attorno all'asse AC1. Allo stesso modo, rifletti attorno all'asse BC1 (ABC1.

3) Sia il raggio AC2 l'asse di simmetria. Rifletti (C1AC2 attorno all'asse AC2. Allo stesso modo, rifletti attorno all'asse BC2 (C1BC2.

4) Collegare i punti di intersezione dei trisettori C1 e C2 con un segmento C1C2.

5) Il teorema di Morley dice che quando i trisettori di un triangolo si intersecano, si ottiene un triangolo regolare, e il segmento C1C2 è perpendicolare alla base di un triangolo regolare e passa per il vertice di questo triangolo. Per costruire un triangolo regolare, conoscendone l'altezza, è necessario: a) costruire i raggi provenienti dal punto C1 con un angolo di 30º rispetto al segmento C1C2; b) segnare i punti di intersezione dei raggi costruiti con i trisettori con le lettere B1 e A1; c) collegare i punti A1, B1, C1. Otteniamo un triangolo equilatero A1B1C1.

6) Tracciamo i raggi dal punto C, passanti per i vertici del triangolo regolare B1 e A1.

Lasciamo nella figura i segmenti dei trisettori del triangolo.

Abbiamo costruito un triangolo ABC, da tutti gli angoli di cui sono disegnati i trisettori.

Indecidibilità della trisezione di un angolo con compasso e riga

Per dimostrare l'impossibilità di dividere qualsiasi angolo in tre parti uguali con l'aiuto di compasso e riga, è sufficiente dimostrare che è impossibile dividere un determinato angolo in questo modo. Dimostreremo che non è possibile trisecare un angolo di 30° utilizzando compasso e riga. Introduciamo il sistema di coordinate Oxy, scegliendo come origine delle coordinate il vertice dell'angolo dato AOB e dirigendo l'asse Ox lungo il lato OA. Possiamo supporre che i punti A e B siano a distanza 1 dal punto O. Quindi, nel problema della trisezione di un angolo, è necessario costruire un punto (cosφ, sinφ) da un punto con coordinate (cos Зφ, peccato Зφ). Nel caso in cui φ=10°, il punto iniziale ha coordinate. Entrambe le sue coordinate sono espresse in radicali quadrati. Basta quindi dimostrare che il numero sin 10° non è espresso in radicali quadrati.

Poiché sin3φ = sin(φ + 2φ) =

sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ

Sinφ cos2φ + cosφ sin2φ =

cos2α = cos2α - sin2α

sin2α = 2senα cosα

Sinφ(cos2φ - sin2φ) + cosφ(2sinφ cosφ) =

sin2α + cos2α = 1 cos2α = 1 - sin2α

Sinφ(1 - sin2φ - sin2φ) + 2senφ cos2φ =

Sinφ(1 - 2sen2φ) + 2senφ(1 - sin2φ) =

Sinφ(1 - 2sen2φ + 2 - 2sen2φ) =

Sinφ(3 - 4sen2φ) =

3sinφ - 4sin3φ sin3φ = 3sinφ - 4sin3φ, allora il numero x = sin 10° soddisfa l'equazione cubica

3x - 4x3 = ½ (φ =10°, 3φ =30°, sin3φ = ½)

8x3 - 6x + 1 = 0

(2x)3 -3*2x + 1 = 0

È sufficiente dimostrare che questa equazione non ha radici razionali. Supponiamo che 2x=p/q, dove p e q siano numeri interi senza divisori comuni. Allora p3 – 3pq2 + q3 = 0, cioè q3=p(3q2-p2). Pertanto, il numero q è divisibile per p, e quindi p=±1. Pertanto, ±13q2 + q3 =0, cioè q2(q±3)= ±1. Il numero 1 è divisibile per q, quindi q=±1. Di conseguenza, otteniamo che x \u003d ± 1/2. È facile verificare che i valori ±1/2 non sono radici dell'equazione. Si è ottenuta una contraddizione, quindi l'equazione non ha radici razionali, il che significa che il numero sin10° non è espresso in radicali quadrati.

Applicazione

La trisezione di un angolo è necessaria quando si costruiscono poligoni regolari. Considereremo il processo di costruzione usando l'esempio di un ennagono regolare inscritto in un cerchio.

Costruiamo un triangolo rettangolo ABC. Costruiamo i trisettori BC1 e BC2. Gli angoli sono 30º. Dividiamo uno degli angoli formati in due bisettrici di 15º. All'angolo retto "aggiungi" 15º su ciascun lato. Ancora una volta costruiamo i trisettori dell'angolo DBE risultante. Ripetiamo l'operazione altre due volte, ruotando il triangolo nel punto B in modo che DB coincida con la posizione precedente BE. Colleghiamo i punti ricevuti.

Siamo riusciti a costruire un ennagono regolare utilizzando la costruzione dei trisettori.

Trisettore

Il problema della trisezione di un angolo non è generalmente risolvibile con compasso e riga, ma ciò non significa affatto che questo problema non possa essere risolto con altri mezzi ausiliari.

Per raggiungere questo obiettivo sono stati inventati molti dispositivi meccanici, chiamati trisettori. Il trisettore più semplice è facile da realizzare con carta spessa, cartone o stagno sottile. Servirà come strumento di disegno ausiliario.

Trisettore e schema della sua applicazione.

La striscia AB adiacente al semicerchio ha una lunghezza pari al raggio del semicerchio. Il bordo della striscia BD forma un angolo retto con la retta AC; tocca il semicerchio nel punto B; la lunghezza di questa striscia è arbitraria. La stessa figura mostra l'applicazione del trisettore. Supponiamo, ad esempio, che sia necessario dividere l'angolo KSM in tre parti uguali

Il trisettore è posizionato in modo tale che il vertice dell'angolo S sia sulla linea BD, un lato dell'angolo passa per il punto A e l'altro lato tocca il semicerchio. Poi si tracciano le rette SB, SO, e si compie la divisione di questo angolo in tre parti uguali. Per dimostrarlo, colleghiamo con un segmento il centro del semicerchio O con il punto tangente N. È facile vedere che il triangolo ASB è uguale al triangolo SBO, e il triangolo SBO è uguale al triangolo OSN. Dall'uguaglianza di questi tre triangoli consegue che gli angoli ASB, BS0 e 0SN sono uguali tra loro, il che doveva essere dimostrato.

Questo modo di trisecare un angolo non è puramente geometrico; può essere chiamato meccanico.

Orologio trisettore

(Istruzioni per l'uso)

Attrezzatura: compasso, righello, orologio con frecce, matita, carta trasparente.

Progresso:

Trasferisci la figura di questo angolo su carta trasparente e nel momento in cui entrambe le lancette dell'orologio sono unite, posiziona il disegno sul quadrante in modo che la parte superiore dell'angolo coincida con il centro di rotazione delle lancette e un lato dell'angolo va lungo le mani.

Nel momento in cui la lancetta dei minuti dell'orologio si sposta in coincidenza con la direzione del secondo lato di questo angolo, traccia un raggio dalla parte superiore dell'angolo in senso orario. Si forma un angolo uguale all'angolo di rotazione della lancetta delle ore. Ora, con l'aiuto di compasso e righello, raddoppia questo angolo e raddoppia nuovamente l'angolo raddoppiato. L'angolo così ottenuto sarà ⅓ di questo.

Infatti, ogni volta che la lancetta dei minuti descrive un certo angolo, la lancetta delle ore durante questo periodo si sposta su un angolo 12 volte più piccolo e, dopo aver aumentato questo angolo di 4 volte, l'angolo (a / 12) * 4 = ⅓ a è ottenuto.

Conclusione

Pertanto, i problemi di costruzione irrisolvibili hanno svolto un ruolo speciale nella storia della matematica. Dopotutto, è stato dimostrato che questi problemi non possono essere risolti utilizzando solo compasso e riga. Ma la formulazione stessa del problema – “dimostrare l’irrisolvibilità” – è stata un coraggioso passo avanti.

Tuttavia, molte soluzioni sono state proposte utilizzando strumenti non tradizionali. Tutto ciò ha portato alla nascita e allo sviluppo di idee completamente nuove in geometria e algebra.

Dopo aver completato e analizzato il mio lavoro di ricerca, sono giunto alle seguenti conclusioni:

✓ l'emergere di tali problemi era dovuto al loro significato pratico (in particolare, la costruzione di poligoni regolari);

✓ tali problemi provocano lo sviluppo di nuovi metodi e teorie (il metodo delle "inserizioni", la comparsa di una quadratica, i teoremi di Morley);

✓ i problemi irrisolvibili attirano più attenzione verso le scienze: trovare una soluzione o dimostrarne l'impossibilità è un grande onore.

E ho anche scoperto:

✓ sui matematici che hanno studiato questo problema;

✓ nuovi concetti, termini (trisezione, trisettore, quadratrice) e teoremi (Morley) e appresi:

✓ reperire e selezionare efficacemente il materiale necessario;

✓ sistematizzare le conoscenze acquisite;

✓ redigere correttamente un documento di ricerca.

Trisecare un angolo significa dividere un angolo in tre parti uguali. Fare questo, ovviamente, non è affatto difficile. Puoi, ad esempio, misurare un dato angolo con un goniometro, dividere il numero di gradi trovato per tre, e poi usare lo stesso goniometro per mettere da parte in privato l'angolo contenente il numero di gradi ottenuto. Ma puoi cavartela

e senza goniometro, utilizzando il metodo delle "approssimazioni successive": avendo costruito un arco di raggio arbitrario per il quale l'angolo dato è centrale, prendiamo a occhio la corda corrispondente alla terza parte dell'arco, e poniamo successivamente questa corda tre volte lungo l'arco, partendo da una delle sue estremità. Se poi ci troviamo dall'altra parte dell'arco, il problema è risolto. Se però, come avviene di solito, non raggiungiamo l'altra estremità dell'arco, o non lo attraversiamo, allora la corda presa ad occhio dovrà essere corretta aumentandola o diminuendola di un terzo della distanza dall'arco. punto ottenuto fino alla fine dell'arco, e questo terzo Diamo un'occhiata di nuovo. Questo accordo corretto viene nuovamente messo da parte sull'arco e, se necessario, corretto nuovamente allo stesso modo. Ogni nuova corda (corretta) darà una soluzione sempre più precisa, e, infine, ripetendo più volte l'operazione, otterremo una corda che si adatta su un dato arco quasi esattamente tre volte, e verrà eseguita la trisezione dell'angolo. Naturalmente questi due metodi consentono di dividere un dato angolo non solo in tre, ma in un numero qualsiasi di parti uguali.

Tuttavia, quando i matematici parlano del problema della trisezione di un angolo, non intendono questi molto preziosi in termini pratici, ma pur sempre solo metodi approssimati, bensì il metodo esatto, inoltre, basato esclusivamente sull'uso di compasso e riga. Va inoltre notato che si intende l'uso di un solo bordo del righello e che il righello dovrebbe servire solo per tracciare linee rette (ad esempio, non sono consentite divisioni di scala), e il compasso dovrebbe essere usato solo per disegnare cerchi. Infine, il metodo desiderato dovrebbe fornire una soluzione al problema attraverso un numero finito di operazioni per disegnare linee e cerchi. L'ultima osservazione è molto importante. Quindi, stabilito (secondo la formula della somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente) che

al problema della trisezione di un angolo possiamo proporre la seguente soluzione, richiedendo l'uso solo di riga e compasso: dividiamo l'angolo dato in 4 parti uguali, cosa che, come sapete, può essere fatta utilizzando compasso e compasso righello, quindi aggiungere una correzione pari a un quarto di se stesso all'angolo risultante, ovvero l'angolo dato, quindi la seconda correzione,

uguale al primo, cioè un angolo dato, ecc. La soluzione esatta del problema in questo modo richiede un numero infinito di operazioni (dividendo gli angoli in 4 parti uguali), e quindi non è la soluzione classica che intendono quando parlare della soluzione del problema della trisezione di un angolo e di altri problemi costruttivi.

Parleremo quindi della soluzione esatta del problema della trisezione di un angolo disegnando un numero finito di linee e cerchi.

Per alcuni angoli, questo problema è risolto in modo abbastanza semplice. Quindi, per la trisezione di un angolo di 180 °, è sufficiente costruire un angolo di 60 °, cioè l'angolo di un triangolo equilatero, e per la trisezione di angoli di 90 ° e 45 ° - angoli di 30 ° e 15°, cioè la metà e un quarto dell'angolo del triangolo equilatero. È stato però dimostrato che insieme ad un insieme infinito di angoli che consentono la trisezione, esiste un insieme infinito di angoli che non consentono la trisezione (nel senso sopra indicato). Pertanto non è possibile dividere in tre parti uguali (tracciando un numero finito di linee e cerchi) né un angolo di 60°, né un angolo di 30°, né un angolo di 15°, né un angolo di 40°, né uno di 120°. angolo, né un insieme infinito di altri angoli.

Ora scopriamo se il seguente modo spesso consigliato di dividere un angolo arbitrario in tre parti uguali è corretto. Dal vertice B con un raggio arbitrario, disegniamo un arco di cerchio che interseca i lati dell'angolo in punti (Fig. 39). Dividiamo la corda in tre parti uguali e colleghiamo i punti di divisione con B. Gli angoli risulteranno uguali e la trisezione di un angolo arbitrario, quindi, verrà eseguita come

richiesto, cioè tracciando un numero finito di linee e di cerchi: la divisione di un segmento in tre parti uguali, che qui era richiesta, è fattibile, come è noto, in questo modo.

Chi propone una tale soluzione ritiene che l'uguaglianza dei segmenti in cui abbiamo diviso la corda comporti l'uguaglianza degli archi che si otterranno se proseguiamo fino all'intersezione con il cerchio. È così? Se questi archi sono uguali, allora sono uguali anche gli angoli (sia ciascuno uguale ad a), uguali sono anche le corde che li sottraggono, ma il segmento è maggiore del segmento (questa affermazione è suggerita dal disegno, ma noi lo dimostreremo di seguito), e il segmento è uguale al segmento poiché gli angoli e sono uguali:

Di conseguenza, se i segmenti sono uguali, i segmenti e, contrariamente alla condizione, sono disuguali, e l'ipotesi di uguaglianza deve essere respinta.

Abbassata la perpendicolare dal vertice B alla corda, notiamo che l'intera figura è simmetrica rispetto a VC: piegando il disegno nel senso della lunghezza, porteremo le due metà di esso a coincidere. Da qui concludiamo che il segmento III è perpendicolare a e, per questo motivo, il segmento è parallelo ed i triangoli e sono simili, il che dà: Ma e quindi, come abbiamo detto sopra.

Dividere un angolo in tre parti uguali utilizzando compasso e righello (trisezione dell'angolo).

Annotazione:

Viene proposto un approccio generale per risolvere i problemi di divisione di un angolo in parti uguali utilizzando compasso e riga. A titolo di esempio viene mostrata la divisione di un angolo in tre parti uguali (Trisezione dell'angolo).

Parole chiave:

angolo; divisione dell'angolo; trisezione dell'angolo.

Introduzione.

Trisezione di un angolo: il problema di dividere un dato angolo in tre parti uguali costruendo un compasso e un righello. In altre parole, è necessario costruire i trisettori dell'angolo: i raggi che dividono l'angolo in tre parti uguali. Insieme ai problemi della quadratura del cerchio e del raddoppio del cubo, è uno dei classici problemi di costruzione irrisolvibili conosciuti fin dall'antica Grecia.

scopo Questo articolo è una prova dell'erroneità della suddetta affermazione circa l'irrisolvibilità, almeno in relazione al problema della trisezione di un angolo.

La soluzione proposta non richiede costruzioni complesse,quasi universale e consente di dividere gli angoli in un numero qualsiasi di parti uguali , che a sua volta ti consente di costruire qualsiasi poligono regolare.

Parte introduttiva.

Disegniamo una linea rettaUN e costruire su di esso ∆CDE. Lo chiameremo condizionatamente “di base” (Fig. 1).

Scegliamo in lineaUN punto arbitrario F e traccia un'altra linea rettaB attraverso il punto F e il vertice D del triangolo. In lineaB prendi due punti arbitrari G e H e collegali con i punti C ed E come mostrato in Fig.1. L'analisi della figura ci permette di annotare le seguenti ovvie relazioni tra gli angoli:

1.α 1 -α 3 =y 1 ; α 3 -α 5 =y 3 ; α 1 -α 5 =y 1 +y 3 ;

2.α 2 -α 4 =y 2 ; α 4 -α 6 =y 4 ; α 2 -α 6 =y 2 +y 4 ;

3.a 1 /a 2 =y 3 /a 4 ;

Spiegazione1. al punto 3: Siano gli angoli - ∟C,∟D,∟E gli angoli ai vertici corrispondenti del triangolo base ∆CDE. Quindi puoi scrivere:

∟DO+∟RE+∟MI=180 0 è la somma degli angoli ∆CDE;

∟C+y 2 +∟D-(y 2 +y 1 )+∟E+y 1 =180 0 è la somma degli angoli ∆CGE;

Lascia che tu 1 /a 2 =n oppure y 1 =n*y 2 , Poi,

∟C+y 2 +∟D-(y 2 +y 1 )+∟E+n*y 2 =180 0

Somma degli angoli ∆CHE:

∟C+(y 2 +y 4 )+∟D-(y 2 +y 4 +y 1 +y 3 )+∟E+n*(y 2 +y 4 )=180 0 , Dove

sì 1 +y 3 =n*(y 2 +y 4 ) o sì 1 +y 3 =n*y 2 +n*y 4 , e da y 1 =n*y 2 ,Quello

sì 3 =n*y 4 e quindi sì 1 /a 2 =y 3 /a 4 =n.

Quindi, prendi due punti arbitrari sulla lineaUN – N e M, e traccia due linee che li attraversanoC ED come mostrato in Fig.2. È ovvio, anche da quanto detto prima, che il rapporto tra le variazioni degli angoli corrispondenti sulle rette c e d è costante, cioè: (β 1 -β 3 )/(β 3 -β 5 )= (β 2 -β 4 )/(β 4 -β 6 )=y 1 /a 3 =y 2 /a 4 ;

Dividi un angolo in tre parti uguali.

Su una circonferenza centrata nel punto A tracciamo l'angolo E 1 AE 2 =β (vedi Fig. 3.1). Sul lato opposto del cerchio mettiamo da parte simmetricamente tre angoli: CAC 1 , C 1 AC 2 , C 2 AC 3 ciascuno uguale a β. Dividere l'angolo E 1 AE 2 , nei punti K 1 ,K 3 , in tre angoli uguali - ∟E 1 AK 1 , ∟K 1 AK 3 , ∟K 3 AE 2 pari a β/3. Disegna linee rette attraverso i punti del cerchio come mostrato in Fig. 3.1. Unisci i punti C,E con linee rette 1 e C 2 ,E. (Vedi Fig. 3.2)

Attraverso il punto K - intersezioni di linee e punto K 1 disegniamo una linea retta. Scegliamo un punto arbitrario K su questa linea 2 e traccia due linee che lo attraversano dai punti C e C 2 .

Non è difficile vedere che la Fig. 3.2, se si rimuove la linea circolare, è quasi identica alla Fig. 2. (La linea tratteggiata CC è stata aggiunta per chiarezza 2 ). Ciò significa che anche qui valgono tutte le relazioni menzionate sopra, cioè per gli angoli che devono essere divisi in tre parti uguali, la relazione y 1 /a 2 =y 3 /a 4 \u003d 1/2 (vedere Spiegazione 1. nella parte introduttiva). Dalla figura 3.2 diventa chiaro come dividere l'angolo in tre parti uguali.

Consideriamo, ad esempio, la divisione in tre parti uguali dell'angolo β=50 0 .

Opzione 1.

Su un cerchio con centro A tracciamo con un compasso simmetricamente l'uno rispetto all'altro e diametro CB (vedi Fig. 4.1) archi C 1 C 2 =B 1 B 2 =B 2 B 3 =B 1 B 4 pari a β=50 0 - rispetto al centro del cerchio. Mezzo arco C 1 C 2 – CC 1 dimezzare (punto D). Disegna linee attraverso i punti B 1 e D e i punti B 3 e C. Collegare i punti B 1 e C, B 3 e C 1 . Colleghiamo tra loro i punti di intersezione - F ed E, linee precedentemente disegnate. L'angolo risultante α=C 1 AG, dove G è il punto di intersezione della linea FE con il cerchio, è uguale a β/3.

Opzione 2.

Su un cerchio con centro A, tracciamo con un compasso simmetricamente l'uno rispetto all'altro e diametro CB (vedi Fig. 4.2) archi C 1 C 2 =B 1 B 2 =B 2 B 3 =B 1 B 4 =β=50 0 - rispetto al centro del cerchio. Punti di collegamento B 1 e C, B 3 e C 1 . Metti da parte gli angoli y 2 =2 anni 1 (vedi Figura 4.2) dalle linee B 1 C e B 3 C 1 e traccia linee rette corrispondenti a questi angoli. Colleghiamo tra loro i punti di intersezione - F ed E, linee precedentemente disegnate. L'angolo risultante α=C 1 AG≈16.67 0 , dove G è il punto di intersezione della linea FE con il cerchio, è pari a β/3.

Costruzione completa della divisione dell'angolo in tre parti uguali (usando l'esempio dell'angolo β=50 0 ) mostrato in Fig.5

Dividere un angolo in un numero dispari (>3) di angoli uguali.

Consideriamo ad esempio la divisione dell'angolo β=35 0 in cinque angoli uguali.

Metodo numero 1.

Su una circonferenza di centro A tracciamo con il compasso simmetricamente tra loro e diametro CB gli angoli C 2 AC 1 =B 1 AB 2 =B 2 AB 3 =B 3 AB 4 =B 4 AB 5 =B 5 AB 6 =β=35 0 .(vedi Fig.6)

Divisione dell'angolo C 2 AC semiangolo C 2 AC 1 a metà nel punto E. Unire i punti

E,C 2 ,B 1 ,B 2 ,B 3 tra loro come mostrato nella Figura 6. Inoltre, per dividere l'angolo, utilizziamo l'Opzione 2 dell'esempio precedente, poiché l'Opzione 1 per dividere gli angoli in un numero dispari di > 3 angoli uguali ovviamente non è applicabile. Dalle linee B 3 E e B 1 C 2 nei punti B 3 e B 1 di conseguenza, metti da parte gli angoli y 1 e sì 2 in un rapporto di 1:4. Dai punti B 3 e B 1 traccia le linee corrispondenti a questi angoli finché non si intersecano nel punto N. Angolo C 2 AK=α=7 0 sarà desiderato.

Metodo numero 2.

Questo metodo (vedi Fig. 7) è simile al primo con l'unica differenza che per le costruzioni viene utilizzato ¼ dell'angolo C2AC1: l'angolo EAC adiacente alla linea mediana del cerchio BC. Il vantaggio di questo metodo è che rende più semplice dividere l'angolo in un gran numero di angoli: 7, 9, 11, ecc.

Costruzione di un ettagono regolare.

Assumiamo che n sia il numero di partizioni (il numero di settori in cui è diviso l'angolo).

Allora sen-1=2 K (1), doveK è un numero intero qualsiasi, l'angolo viene diviso in un passo, come mostrato in precedenza. Sen-1≠2 K (2) - quindi l'angolo viene diviso in due fasi, prima inn-1 , e poi viaN . In tutti i casi vale la relazione:sì 1 /a 2 = 1/n-1 (3).

Spieghiamolo con l'esempio della costruzione di un ettagono regolare.

Per costruire un ettagono, devi trovare 1/7 dell'angolo 60 0 , moltiplicalo per sei e posticipa l'angolo risultante sette volte attorno al cerchio (questa è una delle opzioni possibili). Da 7-1 \u003d 6, quindi secondo la formula (2) l'angolo è 60 0 sarà diviso in due fasi. Nella prima fase dividiamo per sei e poi nella seconda fase per sette. A tal fine, dividiamo l'angolo 30 0 in tre settori uguali di 10 0 (vedi Fig.8), utilizzando, come la più semplice, l'Opzione 1 descritta all'inizio dell'articolo. Angolo ricevuto ECL=10 0 mettere da parte dalla linea mediana del cerchio (vedi Fig. 9). Assumeremo che l'angolo ECL appartenga all'angolo 60 simmetricamente disposto rispetto alla linea mediana 0 .

Successivamente per trovare 1/7 di un angolo di 60 0 Usiamo il Metodo n. 2 descritto in precedenza. A questo scopo mettiamo da parte l'angolo D 1 CD 2 =60 0 simmetrica alla linea mediana e all'angolo D 2 CD 3 =60 0 adiacente ad esso. Ai punti D 1 e D 3 costruire gli angoli y 1 e sì 2 alle linee D 1 E e D 3 L rispettivamente, osservando le proporzioni secondo la formula (3), ovvero da 1 a 6.

Disegniamo linee rette con angoli y 1 e sì 2 . Collega i punti di intersezione G e F delle linee corrispondenti. Angolo LCH=60 0 /7. Rimandiamo questo angolo sei volte dal punto L al punto B. Rimandiamo l'angolo risultante BCL altre sei volte e come risultato otteniamo l'ettagono LBKFMNA.

Conclusione.

Il metodo di divisione dell'angolo in parti uguali, proposto in questo articolo, ha una limitazione: l'impossibilità di applicarlo direttamente per angoli > 60 0 , il che, tuttavia, non è così significativo dal punto di vista della fondamentale risolvibilità del problema.

Elenco bibliografico:

1. Metelsky N. V. Matematica. Corso di scuola superiore per candidati alle università e alle scuole tecniche. ed. 3°, stereotipo. Mn., “Visheysh. Scuola”, 1975, 688 p. da malato.

8 giugno 2011

La divisione delle rette e degli angoli può essere effettuata in due modi: a occhio e con l'aiuto della costruzione geometrica.

Quando si divide una linea in due parti uguali, procedere come segue. La metà di questa linea retta si prende con un compasso ad occhio e questa metà viene messa da parte da entrambe le estremità della linea retta. Se le estremità delle metà convergono, questa linea viene divisa correttamente, in caso contrario, l'errore (differenza) viene nuovamente diviso a metà a occhio e aggiunto (o sottratto, a seconda delle necessità) alla metà presa dal compasso.

Fanno lo stesso quando dividono in 3, 5, ecc. Parti uguali. Quando dividi in 4 parti uguali, dividi prima la linea retta a metà, quindi entrambe le sue metà. Quando dividi in 6 parti uguali, dividi prima la linea in 3 parti uguali, quindi ciascuna parte a metà.

Allo stesso modo si divide l'angolo in parti uguali, con la differenza che l'arco tracciato di un raggio qualsiasi dal vertice dell'angolo dato e compreso tra i lati dell'angolo si divide in parti. I punti di divisione sono collegati al vertice dell'angolo tramite linee rette.

Dividere linee rette e angoli (archi) a occhio fa risparmiare tempo. Pertanto, bisogna costantemente praticare in tale divisione.

La divisione di una retta per costruzione si effettua come segue. Supponiamo che il segmento dato AN debba essere diviso in 5 parti uguali. Dall'estremità della linea AB con un angolo arbitrario tracciamo la linea AC e su di essa dal punto A lasciamo da parte cinque parti arbitrarie in modo che AD = DE = EF = FG = GH; colleghiamo H con N e per i punti D, E, F e G tracciamo rette parallele a NH, che intersecheranno AN nei punti I, K, L, M in modo che AL = IK = KL = LM = MN.

La divisione degli angoli in parti uguali mediante costruzione viene eseguita in tre modi principali.

1. Dividi questo angolo BAC in 2, 4, 8, ecc. Parti uguali.

Dai punti D e partendo dai centri tracciamo degli archi di raggio uguale che si intersecheranno in F. La retta FA dividerà a metà l'angolo BAC (e il punto G - l'arco DF).

Per dividere un angolo o un arco in 4 parti uguali, è necessario ripetere la stessa costruzione per ciascuna metà, ecc. La costruzione è adatta a qualsiasi angolo: dritto, ottuso e acuto.

2. Dividi l'angolo retto BAC in 3, 6, 12, ecc. Parti uguali.

Per raggio AD dai punti D ed E descriviamo archi che intersecano l'arco nei punti F e G; disegniamo AF e AG, che dividono l'angolo BAC e l'arco DF in 3 parti uguali.

Per dividere l'angolo in 6 parti uguali, devi dividere ogni terzo a metà, ecc.

Qualsiasi angolo yarugoy, ad eccezione di quello retto, può essere diviso in 3 parti uguali solo con l'occhio o con un goniometro.

3. Dividere a metà l'angolo formato dalle linee LV e CD, purché il vertice dell'angolo sia inaccessibile.

Sulla linea CD tracciare una linea retta EG passante per un punto arbitrario E, parallela alla LP, dallo stesso punto di raggio arbitrario descrivere l'arco GH; congiungere G e H con una retta e tracciarla finché non interseca la LP al punto I; poi dividiamo la linea HI a metà nel punto M e tracciamo la perpendicolare KL alla linea HI attraverso questo punto, questa perpendicolare dividerà l'angolo, il cui vertice è inaccessibile, in 2 parti uguali. A volte è necessario realizzare il passaggio di due listelli di larghezza diversa, ciò deve essere fatto utilizzando un arrotondamento lungo l'arco di cerchio, come mostrato in figura.

Continuiamo i segmenti a, c e b, d fino all'intersezione reciproca nei punti A e B e dividiamo a metà gli angoli risultanti. Se continuiamo la perpendicolare DC all'intersezione con le bisettrici degli angoli EAC e FBD, i punti M e M 1 ottenuti saranno i centri degli arrotondamenti desiderati.

L'angolo è diviso in parti uguali e con l'aiuto di un goniometro. Se è necessario, ad esempio, dividere un dato angolo in 7 parti uguali, trova a cosa è uguale l'angolo e dividi il numero di gradi risultante per 7; il risultato è solitamente impreciso, poiché i minuti e i secondi non vengono applicati ai normali goniometri. La correzione necessaria viene eseguita a occhio.

"Ristrutturazione delle camere durante la ristrutturazione",
N.P.Krasnov

Abbiamo già detto che per eseguire alcuni tipi di lavori pittorici è necessario saper disegnare. E la capacità di disegnare, a sua volta, richiede la conoscenza delle regole per costruire forme geometriche. Gli schizzi su carta vengono disegnati con l'aiuto di triangoli, serie T, pa di trasporto e compasso, e sul piano delle pareti e dei soffitti le costruzioni vengono eseguite utilizzando pesi, un righello, un compasso di legno e una corda. Allo stesso tempo, hai bisogno...

Un angolo retto, cioè pari a 90°, è formato da due rette tra loro perpendicolari. La perpendicolare è costruita come segue. Abbassare la perpendicolare. Da un dato punto C (esterno alla retta), come da un centro, descriviamo un arco di raggio arbitrario tale che intersechi una data linea in due punti D ed E da questi punti, come da centri, descriviamo archi con gli stessi raggi in modo che ...

La costruzione e la divisione degli angoli viene effettuata utilizzando un goniometro, tuttavia è possibile costruire molti angoli e anche dividerli utilizzando squadre e compasso. Utilizzando un righello e squadre con angoli di 30°, 60°, 90° e 45°, 45°, 90°, puoi costruire qualsiasi angolo che sia multiplo di 15°.

Nell'argomento sul quadrato a T, uno dei mostra quali combinazioni di quadrati vengono utilizzate per costruire angoli diversi. Considera attentamente la posizione dei quadrati quando costruisci i vari angoli e usa questa conoscenza quando realizzi i disegni. Nella pratica educativa, quando si realizzano disegni, l'uso di un goniometro è ridotto al minimo.

Dividere un angolo acuto in due parti uguali

La divisione di un angolo acuto in parti uguali viene eseguita utilizzando un compasso e un righello. Trovando la bisettrice dell'angolo, considera l'esempio di divisione dell'angolo BAC con un vertice nel punto A. Attraverso il punto A, con un raggio arbitrario R, costruiamo un arco finché i lati dell'angolo si intersecano nei punti 1 e 2. Attraverso punto 1 con lo stesso raggio, costruiamo un altro arco, la stessa corsa attraverso il punto 2.

Due archi che si intersecano tra loro danno il punto K, che colleghiamo con il punto A. La retta AK divide l'angolo BAC in due parti uguali e ne è la bisettrice.

Dividere un angolo con vertice rimosso in due parti uguali

Supponiamo di conoscere le parti AB e CD dei lati di tale angolo. Costruiamo due linee parallele lontane dai lati dell'angolo pari alla distanza L. La distanza dovrebbe essere scelta in modo tale che le linee selezionate si intersechino sul campo del foglio, ad esempio nel punto M. Successivamente, vengono eseguite tutte le costruzioni eseguite quando si divide un angolo acuto in due parti uguali.

La retta risultante MN divide l'angolo dato in due parti uguali e ne è la bisettrice.

Divisione di un angolo retto in tre parti uguali

Per dividere un angolo retto (ad esempio, l'angolo BCD) in tre parti uguali, traccia un arco di raggio arbitrario R dal vertice dell'angolo (punto C) finché non si interseca con i lati dell'angolo nei punti 1 e 2. Da punti 1 e 2, poiché dai centri, con raggio R , disegniamo archi che intersecano l'arco 1-2 nei punti M e N, otteniamo angoli 1CM = MCN = NC2 = 30°.