Varianza attraverso l'aspettativa di accoppiamento. Aspettativa matematica e sue proprietà

L'aspettativa matematica di una variabile casuale discreta è la somma dei prodotti di tutti i suoi possibili valori e delle loro probabilità.

Se una variabile casuale assume solo valori di probabilità rispettivamente uguali, l'aspettativa matematica di una variabile casuale è determinata dall'uguaglianza

Se una variabile casuale discreta assume un insieme numerabile di possibili valori, allora

Inoltre, l'aspettativa matematica esiste se la serie a destra dell'uguaglianza converge assolutamente.

Commento. Dalla definizione segue che l'aspettativa matematica di una variabile casuale discreta è una quantità non casuale (costante).

Definizione di aspettativa matematica nel caso generale

Determiniamo l'aspettativa matematica di una variabile casuale la cui distribuzione non è necessariamente discreta. Cominciamo con il caso delle variabili casuali non negative. L'idea sarà quella di approssimare tali variabili casuali utilizzando variabili discrete per le quali l'aspettativa matematica è già stata determinata, e impostare l'aspettativa matematica uguale al limite delle aspettative matematiche delle variabili casuali discrete che la approssimano. A proposito, questa è un'idea generale molto utile, ovvero che alcune caratteristiche vengono prima determinate per oggetti semplici, e poi per oggetti più complessi vengono determinate approssimandoli a quelli più semplici.

Lemma 1. Sia una variabile casuale arbitraria non negativa. Allora esiste una sequenza di variabili casuali discrete tale che

Prova. Dividiamo il semiasse in segmenti di uguale lunghezza e determiniamo

Quindi le proprietà 1 e 2 seguono facilmente dalla definizione di variabile casuale, e

Lemma 2. Sia una variabile casuale non negativa e due sequenze di variabili casuali discrete che possiedono le proprietà 1-3 del Lemma 1. Allora

Prova. Si noti che per variabili casuali non negative consentiamo

In virtù della Proprietà 3, è facile vedere che esiste una sequenza di numeri positivi tale che

Ne consegue che

Utilizzando le proprietà delle aspettative matematiche per variabili casuali discrete, otteniamo

Passando al limite a si ottiene l'enunciato del Lemma 2.

Definizione 1. Sia una variabile casuale non negativa, - una sequenza di variabili casuali discrete che hanno le proprietà 1-3 del Lemma 1. L'aspettativa matematica di una variabile casuale è il numero

Il Lemma 2 garantisce che esso non dipende dalla scelta della sequenza approssimante.

Sia ora una variabile casuale arbitraria. Definiamo

Dalla definizione ne consegue facilmente

Definizione 2. L'aspettativa matematica di una variabile casuale arbitraria è il numero

Se almeno uno dei numeri a destra di questa uguaglianza è finito.

Proprietà dell'aspettativa matematica

Proprietà 1. L'aspettativa matematica di un valore costante è uguale alla costante stessa:

Prova. Considereremo una costante come una variabile casuale discreta che ha un valore possibile e lo assume con probabilità, quindi,

Osservazione 1. Definiamo il prodotto di una variabile costante per una variabile casuale discreta come un casuale discreto i cui valori possibili sono uguali ai prodotti della costante per i valori possibili; le probabilità dei valori possibili sono uguali alle probabilità dei corrispondenti valori possibili. Ad esempio, se la probabilità di un valore possibile è uguale allora è uguale anche la probabilità che il valore assuma quel valore

Proprietà 2. Il fattore costante può essere tolto dal segno dell'aspettativa matematica:

Prova. Sia la variabile casuale data dalla legge della distribuzione di probabilità:

Tenendo conto dell'Osservazione 1, scriviamo la legge di distribuzione della variabile casuale

Osservazione 2. Prima di passare alla proprietà successiva, facciamo presente che due variabili aleatorie si dicono indipendenti se la legge di distribuzione di una di esse non dipende da quali possibili valori ha assunto l'altra variabile. Altrimenti le variabili casuali sono dipendenti. Diverse variabili casuali sono dette mutuamente indipendenti se le leggi di distribuzione di un numero qualsiasi di esse non dipendono dai possibili valori assunti dalle restanti variabili.

Osservazione 3. Definiamo il prodotto di variabili casuali indipendenti e come una variabile casuale i cui valori possibili sono uguali ai prodotti di ogni valore possibile per ogni valore possibile, le probabilità dei possibili valori del prodotto sono uguali a i prodotti delle probabilità dei possibili valori dei fattori. Ad esempio, se la probabilità di un valore possibile è, la probabilità di un valore possibile è, allora la probabilità di un valore possibile è

Proprietà 3. L'aspettativa matematica del prodotto di due variabili casuali indipendenti è uguale al prodotto delle loro aspettative matematiche:

Prova. Lasciamo che le variabili casuali indipendenti siano specificate dalle loro stesse leggi di distribuzione di probabilità:

Compiliamo tutti i valori che può assumere una variabile casuale. Per fare ciò, moltiplichiamo tutti i valori possibili per ciascun valore possibile; Di conseguenza, otteniamo e, tenendo conto dell'Osservazione 3, scriviamo la legge di distribuzione, assumendo per semplicità che tutti i possibili valori del prodotto siano diversi (se così non è, la dimostrazione viene eseguita in un modo simile):

L'aspettativa matematica è uguale alla somma dei prodotti di tutti i valori possibili e delle loro probabilità:

Conseguenza. L'aspettativa matematica del prodotto di diverse variabili casuali reciprocamente indipendenti è uguale al prodotto delle loro aspettative matematiche.

Proprietà 4. L'aspettativa matematica della somma di due variabili casuali è uguale alla somma delle aspettative matematiche dei termini:

Prova. Lasciamo variabili casuali e specificate dalle seguenti leggi di distribuzione:

Compiliamo tutti i possibili valori di una quantità. Per fare ciò, aggiungiamo ogni possibile valore a ogni possibile valore; otteniamo: assumiamo per semplicità che questi possibili valori siano diversi (se così non fosse, la dimostrazione viene eseguita in modo simile) e denotiamo le loro probabilità rispettivamente con e

L'aspettativa matematica di un valore è uguale alla somma dei prodotti di valori possibili e delle loro probabilità:

Proviamo che un Evento che assumerà valore (la probabilità di questo evento è uguale) comporta un evento che assumerà valore o (la probabilità di questo evento per il teorema di addizione è uguale), e viceversa. Ne consegue quindi che le uguaglianze si dimostrano in modo simile

Sostituendo i membri destri di queste uguaglianze nella relazione (*), otteniamo

o infine

Varianza e deviazione standard

In pratica, spesso è necessario stimare la dispersione dei possibili valori di una variabile casuale attorno al suo valore medio. Nell'artiglieria, ad esempio, è importante sapere quanto vicino cadranno i proiettili al bersaglio da colpire.

A prima vista, può sembrare che il modo più semplice per stimare la dispersione sia calcolare tutte le possibili deviazioni di una variabile casuale e quindi trovare il loro valore medio. Tuttavia, questo percorso non darà nulla, poiché il valore medio della deviazione, ad es. per ogni variabile casuale è uguale a zero. Questa proprietà si spiega con il fatto che alcune possibili deviazioni sono positive, mentre altre sono negative; per effetto del loro reciproco annullamento il valore medio dello scostamento risulta pari a zero. Queste considerazioni indicano l'opportunità di sostituire eventuali deviazioni con i loro valori assoluti o con i loro quadrati. Questo è quello che fanno in pratica. È vero, nel caso in cui le possibili deviazioni siano sostituite da valori assoluti, è necessario operare con valori assoluti, il che a volte porta a serie difficoltà. Pertanto, molto spesso prendono una strada diversa, ad es. calcolare il valore medio della deviazione quadrata, che si chiama dispersione.

Caratteristiche numeriche di base delle variabili aleatorie discrete e continue: aspettativa matematica, dispersione e deviazione standard. Loro proprietà ed esempi.

La legge di distribuzione (funzione di distribuzione e serie di distribuzione o densità di probabilità) descrive completamente il comportamento di una variabile casuale. Ma in una serie di problemi è sufficiente conoscere alcune caratteristiche numeriche del valore in esame (ad esempio il suo valore medio e la possibile deviazione da esso) per rispondere alla domanda posta. Consideriamo le principali caratteristiche numeriche delle variabili casuali discrete.

Definizione 7.1.Aspettativa matematica Una variabile casuale discreta è la somma dei prodotti dei suoi possibili valori e delle loro probabilità corrispondenti:

M(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p p p.(7.1)

Se il numero di possibili valori di una variabile casuale è infinito, allora la serie risultante converge assolutamente.

Nota 1. A volte viene chiamata l'aspettativa matematica media ponderata, poiché è approssimativamente uguale alla media aritmetica dei valori osservati della variabile casuale su un gran numero di esperimenti.

Nota 2. Dalla definizione di aspettativa matematica segue che il suo valore non è inferiore al valore più piccolo possibile di una variabile casuale e non superiore al più grande.

Nota 3. L'aspettativa matematica di una variabile casuale discreta è Non casuale(costante. Vedremo più avanti che lo stesso vale per le variabili casuali continue.

Esempio 1. Trova l'aspettativa matematica di una variabile casuale X- il numero di pezzi standard tra tre selezionati da un lotto di 10 pezzi, di cui 2 difettosi. Creiamo una serie di distribuzione per X. Dalle condizioni problematiche ne consegue che X può assumere i valori 1, 2, 3. Quindi

Esempio 2. Determinare l'aspettativa matematica di una variabile casuale X- il numero di lanci di moneta effettuati prima della prima apparizione dello stemma. Questa quantità può assumere un numero infinito di valori (l'insieme dei valori possibili è l'insieme dei numeri naturali). La sua serie di distribuzione ha la forma:

X			…	P	…
R	0,5	(0,5) 2	…	(0,5)P	…

+ (durante il calcolo è stata utilizzata due volte la formula per la somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente: , da dove ).

Proprietà dell'aspettativa matematica.

1) L'aspettativa matematica di una costante è uguale alla costante stessa:

M(CON) = CON.(7.2)

Prova. Se consideriamo CON come variabile casuale discreta che assume un solo valore CON con probabilità R= 1, quindi M(CON) = CON?1 = CON.

2) Il fattore costante può essere tolto dal segno dell'aspettativa matematica:

M(CX) = CM(X). (7.3)

Prova. Se la variabile casuale X dato dalle serie di distribuzione

Poi M(CX) = Cx 1 R 1 + Cx 2 R 2 + … + Cx p p p = CON(X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p r p) = CM(X).

Definizione 7.2. Vengono chiamate due variabili casuali indipendente, se la legge di distribuzione di uno di essi non dipende da quali valori ha assunto l'altro. Altrimenti le variabili casuali dipendente.

Definizione 7.3. Chiamiamo prodotto di variabili casuali indipendenti X E Y variabile casuale XY, i cui valori possibili sono uguali ai prodotti di tutti i valori possibili X per tutti i valori possibili Y, e le probabilità corrispondenti sono uguali ai prodotti delle probabilità dei fattori.

3) L'aspettativa matematica del prodotto di due variabili casuali indipendenti è uguale al prodotto delle loro aspettative matematiche:

M(XY) = M(X)M(Y). (7.4)

Prova. Per semplificare i calcoli, ci limitiamo al caso in cui X E Y assumere solo due valori possibili:

Quindi, M(XY) = X 1 sì 1 ?P 1 G 1 + X 2 sì 1 ?P 2 G 1 + X 1 sì 2 ?P 1 G 2 + X 2 sì 2 ?P 2 G 2 = sì 1 G 1 (X 1 P 1 + X 2 P 2) + + sì 2 G 2 (X 1 P 1 + X 2 P 2) = (sì 1 G 1 + sì 2 G 2) (X 1 P 1 + X 2 P 2) = M(X)?M(Y).

Nota 1. Allo stesso modo puoi dimostrare questa proprietà per un numero maggiore di possibili valori dei fattori.

Nota 2. La proprietà 3 è vera per il prodotto di un numero qualsiasi di variabili casuali indipendenti, il che è dimostrato mediante induzione matematica.

Definizione 7.4. Definiamo somma di variabili casuali X E Y come variabile casuale X+Y, i cui valori possibili sono uguali alle somme di ciascun valore possibile X con ogni valore possibile Y; le probabilità di tali somme sono uguali ai prodotti delle probabilità dei termini (per le variabili casuali dipendenti - i prodotti della probabilità di un termine per la probabilità condizionale del secondo).

4) L'aspettativa matematica della somma di due variabili casuali (dipendenti o indipendenti) è uguale alla somma delle aspettative matematiche dei termini:

M (X+Y) = M (X) + M (Y). (7.5)

Prova.

Consideriamo ancora le variabili casuali definite dalle serie di distribuzione fornite nella dimostrazione della proprietà 3. Quindi i possibili valori X+Y Sono X 1 + A 1 , X 1 + A 2 , X 2 + A 1 , X 2 + A 2. Indichiamo rispettivamente le loro probabilità come R 11 , R 12 , R 21 e R 22. Lo troveremo M(X+Y) = (X 1 + sì 1)P 11 + (X 1 + sì 2)P 12 + (X 2 + sì 1)P 21 + (X 2 + sì 2)P 22 =

= X 1 (P 11 + P 12) + X 2 (P 21 + P 22) + sì 1 (P 11 + P 21) + sì 2 (P 12 + P 22).

Dimostriamolo R 11 + R 22 = R 1 . In effetti, l'evento che X+Y assumerà valori X 1 + A 1 o X 1 + A 2 e la cui probabilità è R 11 + R 22 coincide con l'evento che X = X 1 (la sua probabilità è R 1). Si dimostra in modo simile P 21 + P 22 = R 2 , P 11 + P 21 = G 1 , P 12 + P 22 = G 2. Significa,

M(X+Y) = X 1 P 1 + X 2 P 2 + sì 1 G 1 + sì 2 G 2 = M (X) + M (Y).

Commento. Dalla proprietà 4 segue che la somma di un numero qualsiasi di variabili casuali è uguale alla somma delle aspettative matematiche dei termini.

Esempio. Trova l'aspettativa matematica della somma del numero di punti ottenuti lanciando cinque dadi.

Troviamo l'aspettativa matematica del numero di punti lanciati lanciando un dado:

M(X 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) Lo stesso numero è uguale all'aspettativa matematica del numero di punti lanciati su qualsiasi dado. Pertanto, per la proprietà 4 M(X)=

Dispersione.

Per avere un'idea del comportamento di una variabile casuale non è sufficiente conoscere solo la sua aspettativa matematica. Consideriamo due variabili casuali: X E Y, specificato dalla serie di distribuzione del modulo

X
R	0,1	0,8	0,1

Y
P	0,5	0,5

Lo troveremo M(X) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, M(Y) = 0?0.5 + 100?0.5 = 50. Come puoi vedere, le aspettative matematiche di entrambe le quantità sono uguali, ma se per HM(X) descrive bene il comportamento di una variabile casuale, essendo il suo valore più probabile possibile (e i restanti valori non differiscono molto da 50), quindi i valori Y significativamente rimosso da M(Y). Pertanto, insieme all'aspettativa matematica, è auspicabile sapere quanto i valori di una variabile casuale si discostano da essa. Per caratterizzare questo indicatore, viene utilizzata la dispersione.

Definizione 7.5.Dispersione (scattering) di una variabile casuale è l'aspettativa matematica del quadrato della sua deviazione dall'aspettativa matematica:

D(X) = M (X-M(X))². (7.6)

Troviamo la varianza della variabile casuale X(numero di parti standard tra quelle selezionate) nell'esempio 1 di questa lezione. Calcoliamo la deviazione quadrata di ogni possibile valore dall'aspettativa matematica:

(1 - 2,4) 2 = 1,96; (2 - 2,4) 2 = 0,16; (3 - 2,4) 2 = 0,36. Quindi,

Nota 1. Nel determinare la dispersione non viene valutata la deviazione dalla media stessa, ma il suo quadrato. Questo viene fatto in modo che le deviazioni di segni diversi non si annullino a vicenda.

Nota 2. Dalla definizione di dispersione segue che questa quantità assume solo valori non negativi.

Nota 3. Esiste una formula per il calcolo della varianza più conveniente per i calcoli, la cui validità è dimostrata nel seguente teorema:

Teorema 7.1.D(X) = M(X²) - M²( X). (7.7)

Prova.

Usando cosa M(X) è un valore costante e, tenendo conto delle proprietà dell'aspettativa matematica, trasformiamo la formula (7.6) nella forma:

D(X) = M(X-M(X))² = M(X²-2 X?M(X) + M²( X)) = M(X²) - 2 M(X)?M(X) + M²( X) =

= M(X²) - 2 M²( X) + M²( X) = M(X²) - M²( X), che era ciò che doveva essere dimostrato.

Esempio. Calcoliamo le varianze delle variabili casuali X E Y discusso all'inizio di questa sezione. M(X) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.

M(Y) = (0 2 ?0,5 + 100²?0,5) - 50² = 5000 - 2500 = 2500. Quindi, la varianza della seconda variabile casuale è diverse migliaia di volte maggiore della varianza della prima. Quindi, anche senza conoscere le leggi di distribuzione di queste quantità, in base ai valori di dispersione conosciuti possiamo affermare che X si discosta poco dalle aspettative matematiche, mentre for Y questa deviazione è piuttosto significativa.

Proprietà di dispersione.

1) Varianza di un valore costante CON uguale a zero:

D (C) = 0. (7.8)

Prova. D(C) = M((CM(C))²) = M((CC)²) = M(0) = 0.

2) Il fattore costante può essere tolto dal segno di dispersione elevandolo al quadrato:

D(CX) = C² D(X). (7.9)

Prova. D(CX) = M((CX-M(CX))²) = M((CX-CM(X))²) = M(C²( X-M(X))²) =

= C² D(X).

3) La varianza della somma di due variabili casuali indipendenti è uguale alla somma delle loro varianze:

D(X+Y) = D(X) + D(Y). (7.10)

Prova. D(X+Y) = M(X² + 2 XY + Y²) - ( M(X) + M(Y))² = M(X²) + 2 M(X)M(Y) +

+ M(Y²) - M²( X) - 2M(X)M(Y) - M²( Y) = (M(X²) - M²( X)) + (M(Y²) - M²( Y)) = D(X) + D(Y).

Corollario 1. La varianza della somma di più variabili casuali reciprocamente indipendenti è uguale alla somma delle loro varianze.

Corollario 2. La varianza della somma di una costante e di una variabile casuale è uguale alla varianza della variabile casuale.

4) La varianza della differenza tra due variabili casuali indipendenti è pari alla somma delle loro varianze:

D(X-Y) = D(X) + D(Y). (7.11)

Prova. D(X-Y) = D(X) + D(-Y) = D(X) + (-1)² D(Y) = D(X) + D(X).

La varianza dà il valore medio della deviazione al quadrato di una variabile casuale dalla media; Per valutare la deviazione stessa, viene utilizzato un valore chiamato deviazione standard.

Definizione 7.6.Deviazione standardσ variabile casuale X si chiama radice quadrata della varianza:

Esempio. Nell'esempio precedente, le deviazioni standard X E Y sono uguali rispettivamente

Il concetto di aspettativa matematica può essere considerato usando l'esempio del lancio di un dado. Ad ogni lancio vengono registrati i punti persi. Per esprimerli vengono utilizzati valori naturali compresi tra 1 e 6.

Dopo un certo numero di lanci, mediante semplici calcoli, si può ricavare la media aritmetica dei punti lanciati.

Proprio come il verificarsi di uno qualsiasi dei valori nell'intervallo, questo valore sarà casuale.

Cosa succede se aumenti il ​​numero di lanci più volte? Con un gran numero di lanci, la media aritmetica dei punti si avvicinerà ad un numero specifico, che nella teoria della probabilità è chiamato aspettativa matematica.

Quindi, per aspettativa matematica intendiamo il valore medio di una variabile casuale. Questo indicatore può anche essere presentato come una somma ponderata di valori di valore probabili.

Questo concetto ha diversi sinonimi:

• valore medio;
• valore medio;
• indicatore di tendenza centrale;
• primo momento.

In altre parole non è altro che un numero attorno al quale sono distribuiti i valori di una variabile casuale.

Nelle diverse sfere dell’attività umana, gli approcci alla comprensione delle aspettative matematiche saranno leggermente diversi.

Può essere considerato come:

• il beneficio medio ottenuto dal prendere una decisione, quando tale decisione è considerata dal punto di vista della teoria dei grandi numeri;
• l'eventuale importo di vincita o perdita (teoria del gioco d'azzardo), calcolato in media per ciascuna scommessa. In gergo suonano come “vantaggio del giocatore” (positivo per il giocatore) o “vantaggio del casinò” (negativo per il giocatore);
• percentuale del profitto ricevuto dalle vincite.

L'aspettativa non è obbligatoria per tutte le variabili casuali. È assente per chi ha una discrepanza nella somma o nell'integrale corrispondente.

Proprietà dell'aspettativa matematica

Come ogni parametro statistico, l'aspettativa matematica ha le seguenti proprietà:

Formule di base per l'aspettativa matematica

Il calcolo del valore atteso matematico può essere effettuato sia per variabili aleatorie caratterizzate sia da continuità (formula A) che da discretezza (formula B):

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, dove xi sono i valori della variabile casuale, pi sono le probabilità:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, dove f(x) è la densità di probabilità data.

Esempi di calcolo delle aspettative matematiche

Esempio A.

È possibile scoprire l'altezza media dei nani nella fiaba di Biancaneve. È noto che ciascuno dei 7 nani aveva una certa altezza: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 e 0,81 m.

L'algoritmo di calcolo è abbastanza semplice:

• troviamo la somma di tutti i valori dell'indicatore di crescita (variabile casuale):
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• Dividi l'importo risultante per il numero di gnomi:
  6,31:7=0,90.

Pertanto, l'altezza media degli gnomi in una fiaba è di 90 cm, in altre parole, questa è l'aspettativa matematica della crescita degli gnomi.

Formula di lavoro - M(x)=4 0,2+6 0,3+10 0,5=6

Implementazione pratica dell'aspettativa matematica

Il calcolo dell'indicatore statistico dell'aspettativa matematica viene utilizzato in varie aree di attività pratica. Parliamo innanzitutto della sfera commerciale. Dopotutto, l'introduzione di questo indicatore da parte di Huygens è associata alla determinazione delle probabilità che possono essere favorevoli o, al contrario, sfavorevoli per qualche evento.

Questo parametro è ampiamente utilizzato per valutare i rischi, soprattutto quando si tratta di investimenti finanziari.
Pertanto, negli affari, il calcolo delle aspettative matematiche funge da metodo per valutare il rischio nel calcolo dei prezzi.

Questo indicatore può essere utilizzato anche per calcolare l'efficacia di determinate misure, ad esempio la tutela del lavoro. Grazie ad esso è possibile calcolare la probabilità che si verifichi un evento.

Un altro ambito di applicazione di questo parametro è la gestione. Può anche essere calcolato durante il controllo qualità del prodotto. Ad esempio, utilizzando mat. aspettative, è possibile calcolare il possibile numero di parti difettose prodotte.

L'aspettativa matematica risulta indispensabile anche quando si effettuano elaborazioni statistiche dei risultati ottenuti nel corso della ricerca scientifica. Consente di calcolare la probabilità di un risultato desiderato o indesiderato di un esperimento o studio a seconda del livello di raggiungimento dell'obiettivo. Dopotutto, il suo raggiungimento può essere associato a guadagno e beneficio, e il suo fallimento può essere associato a perdita o perdita.

Utilizzo delle aspettative matematiche nel Forex

L'applicazione pratica di questo parametro statistico è possibile quando si effettuano transazioni sul mercato dei cambi. Con il suo aiuto, puoi analizzare il successo delle transazioni commerciali. Inoltre, un aumento del valore dell’aspettativa indica un aumento del loro successo.

È anche importante ricordare che l’aspettativa matematica non deve essere considerata come l’unico parametro statistico utilizzato per analizzare la performance di un trader. L'uso di diversi parametri statistici insieme al valore medio aumenta significativamente la precisione dell'analisi.

Questo parametro si è dimostrato efficace nel monitoraggio delle osservazioni dei conti di trading. Grazie ad esso viene effettuata una rapida valutazione del lavoro svolto sul conto deposito. Nei casi in cui l’attività del trader ha successo ed evita perdite, non è consigliabile utilizzare esclusivamente il calcolo delle aspettative matematiche. In questi casi i rischi non vengono presi in considerazione, il che riduce l’efficacia dell’analisi.

Gli studi condotti sulle tattiche dei trader indicano che:

• Le tattiche più efficaci sono quelle basate sull'inserimento casuale;
• Le meno efficaci sono le tattiche basate su input strutturati.

Per ottenere risultati positivi, non meno importanti sono:

• tattiche di gestione del denaro;
• strategie di uscita.

Utilizzando un indicatore come l'aspettativa matematica, puoi prevedere quale sarà il profitto o la perdita quando investi 1 dollaro. È noto che questo indicatore, calcolato per tutti i giochi praticati nel casinò, è a favore dello stabilimento. Questo è ciò che ti permette di fare soldi. Nel caso di una lunga serie di giochi, la probabilità che un cliente perda denaro aumenta in modo significativo.

I giochi giocati da giocatori professionisti sono limitati a brevi periodi di tempo, il che aumenta la probabilità di vincere e riduce il rischio di perdere. Lo stesso schema si osserva quando si eseguono operazioni di investimento.

Un investitore può guadagnare una somma significativa avendo aspettative positive ed effettuando un gran numero di transazioni in un breve periodo di tempo.

Le aspettative possono essere pensate come la differenza tra la percentuale di profitto (PW) moltiplicata per il profitto medio (AW) e la probabilità di perdita (PL) moltiplicata per la perdita media (AL).

Ad esempio, possiamo considerare quanto segue: posizione – 12,5 mila dollari, portafoglio – 100 mila dollari, rischio di deposito – 1%. La redditività delle transazioni è del 40% dei casi con un profitto medio del 20%. In caso di perdita, la perdita media è del 5%. Calcolando l'aspettativa matematica per la transazione si ottiene un valore di $ 625.

Valore atteso

Dispersione la variabile casuale continua X, i cui possibili valori appartengono all'intero asse Ox, è determinata dall'uguaglianza:

Scopo del servizio. Il calcolatore online è progettato per risolvere i problemi in cui entrambi densità di distribuzione f(x) o funzione di ripartizione F(x) (vedi esempio). Di solito in tali compiti devi trovare aspettativa matematica, deviazione standard, funzioni grafico f(x) e F(x).

Istruzioni. Selezionare il tipo di dati di origine: densità di distribuzione f(x) o funzione di distribuzione F(x).

Densità di distribuzione f(x) data Funzione di distribuzione F(x) data

La densità di distribuzione f(x) è data:

La funzione di distribuzione F(x) è data:

Una variabile casuale continua è specificata da una densità di probabilità
(Legge sulla distribuzione di Rayleigh - utilizzata nell'ingegneria radiofonica). Trova M(x) , D(x) .

Viene chiamata la variabile casuale X continuo , se la sua funzione di distribuzione F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
La funzione di distribuzione di una variabile casuale continua viene utilizzata per calcolare la probabilità che una variabile casuale rientri in un dato intervallo:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
Inoltre, per una variabile casuale continua, non importa se i suoi confini sono inclusi o meno in questo intervallo:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Densità di distribuzione una variabile casuale continua è detta funzione
f(x)=F’(x) , derivata della funzione di distribuzione.

Proprietà della densità di distribuzione

1. La densità di distribuzione della variabile casuale è non negativa (f(x) ≥ 0) per tutti i valori di x.
2. Condizione di normalizzazione:

Il significato geometrico della condizione di normalizzazione: l'area sotto la curva di densità di distribuzione è uguale all'unità.
3. La probabilità che una variabile casuale X rientri nell'intervallo da α a β può essere calcolata utilizzando la formula

Dal punto di vista geometrico, la probabilità che una variabile casuale continua X rientri nell'intervallo (α, β) è uguale all'area del trapezio curvilineo sotto la curva di densità di distribuzione basata su questo intervallo.
4. La funzione di distribuzione è espressa in termini di densità come segue:

Il valore della densità di distribuzione nel punto x non è uguale alla probabilità di assumere questo valore; per una variabile casuale continua si può parlare solo della probabilità di cadere in un dato intervallo. Permettere )