Prima di iniziare a decidere problemi di progressione aritmetica, consideriamo cos'è una sequenza numerica, poiché una progressione aritmetica è un caso speciale di sequenza numerica.

Una sequenza numerica è un insieme di numeri, ciascun elemento del quale ha il proprio numero di serie. Gli elementi di questo insieme sono chiamati membri della sequenza. Il numero di serie di un elemento di sequenza è indicato da un indice:

Il primo elemento della sequenza;

Il quinto elemento della sequenza;

- l'elemento “n-esimo” della sequenza, ovvero elemento "in coda" al numero n.

Esiste una relazione tra il valore di un elemento di sequenza e il suo numero di sequenza. Pertanto, possiamo considerare una sequenza come una funzione il cui argomento è il numero ordinale dell'elemento della sequenza. In altre parole, possiamo dirlo la sequenza è una funzione dell'argomento naturale:

La sequenza può essere impostata in tre modi:

1 . La sequenza può essere specificata utilizzando una tabella. In questo caso, impostiamo semplicemente il valore di ciascun membro della sequenza.

Ad esempio, qualcuno ha deciso di dedicarsi alla gestione del tempo personale e, per cominciare, di contare quanto tempo trascorre su VKontakte durante la settimana. Registrando il tempo nella tabella riceverà una sequenza composta da sette elementi:

La prima riga della tabella indica il numero del giorno della settimana, la seconda l'ora in minuti. Vediamo che lunedì qualcuno ha trascorso 125 minuti su VKontakte, cioè giovedì - 248 minuti e venerdì solo 15.

2 . La sequenza può essere specificata utilizzando la formula dell'ennesimo termine.

In questo caso, la dipendenza del valore di un elemento di sequenza dal suo numero è espressa direttamente sotto forma di formula.

Ad esempio, se , allora

Per trovare il valore di un elemento di sequenza con un dato numero, sostituiamo il numero dell'elemento nella formula dell'ennesimo termine.

Facciamo la stessa cosa se dobbiamo trovare il valore di una funzione conoscendo il valore dell'argomento. Sostituiamo il valore dell'argomento nell'equazione della funzione:

Se, ad esempio, , Quello

Vorrei notare ancora una volta che in una sequenza, a differenza di una funzione numerica arbitraria, l'argomento può essere solo un numero naturale.

3 . La sequenza può essere specificata utilizzando una formula che esprime la dipendenza del valore del membro della sequenza numero n dai valori dei membri precedenti. In questo caso non è sufficiente conoscere solo il numero del membro della sequenza per trovarne il valore. Dobbiamo specificare il primo membro o i primi membri della sequenza.

Consideriamo ad esempio la sequenza ,

Possiamo trovare i valori dei membri della sequenza in sequenza, a partire dal terzo:

Cioè ogni volta, per trovare il valore dell'ennesimo termine della successione, si torna ai due precedenti. Questo metodo per specificare una sequenza viene chiamato ricorrente, dalla parola latina ricorrere- ritorno.

Ora possiamo definire una progressione aritmetica. Una progressione aritmetica è un semplice caso speciale di una sequenza numerica.

Progressione aritmetica è una sequenza numerica, ciascun membro della quale, a partire dal secondo, è uguale al precedente sommato allo stesso numero.

Il numero viene chiamato differenza di progressione aritmetica. La differenza di una progressione aritmetica può essere positiva, negativa o uguale a zero.

Se titolo="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} crescente.

Ad esempio, 2; 5; 8; undici;...

Se , allora ogni termine di una progressione aritmetica è minore del precedente, e la progressione è decrescente.

Ad esempio, 2; -1; -4; -7;...

Se , allora tutti i termini della progressione sono uguali allo stesso numero e la progressione lo è stazionario.

Ad esempio, 2;2;2;2;...

La proprietà principale di una progressione aritmetica:

Diamo un'occhiata alla foto.

Lo vediamo

, e allo stesso tempo

Sommando queste due uguaglianze, otteniamo:

Dividiamo entrambi i membri dell'uguaglianza per 2:

Quindi ogni membro della progressione aritmetica, a partire dal secondo, è uguale alla media aritmetica dei due vicini:

Inoltre, da allora

, e allo stesso tempo

, Quello

, e quindi

Ogni termine di una progressione aritmetica, che inizia con title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Formula dell'esimo termine.

Vediamo che i termini della progressione aritmetica soddisfano le seguenti relazioni:

e infine

Noi abbiamo formula dell'ennesimo termine.

IMPORTANTE! Qualsiasi membro di una progressione aritmetica può essere espresso tramite e. Conoscendo il primo termine e la differenza di una progressione aritmetica, puoi trovare qualsiasi suo termine.

La somma di n termini di una progressione aritmetica.

In una progressione aritmetica arbitraria, le somme dei termini equidistanti da quelli estremi sono uguali tra loro:

Consideriamo una progressione aritmetica con n termini. Sia la somma di n termini di questa progressione uguale a .

Disponiamo i termini della progressione prima in ordine crescente di numeri, e poi in ordine decrescente:

Aggiungiamo a coppie:

La somma in ciascuna parentesi è , il numero di coppie è n.

Noi abbiamo:

COSÌ, la somma di n termini di una progressione aritmetica può essere trovata utilizzando le formule:

Consideriamo Risoluzione di problemi di progressione aritmetica.

1 . La sequenza è data dalla formula dell'ennesimo termine: . Dimostrare che questa sequenza è una progressione aritmetica.

Dimostriamo che la differenza tra due termini adiacenti della successione è uguale allo stesso numero.

Abbiamo scoperto che la differenza tra due membri adiacenti della sequenza non dipende dal loro numero ed è una costante. Pertanto, per definizione, questa sequenza è una progressione aritmetica.

2 . Data una progressione aritmetica -31; -27;...

a) Trova 31 termini della progressione.

b) Determina se il numero 41 è incluso in questa progressione.

UN) Lo vediamo ;

Scriviamo la formula per l'ennesimo termine della nostra progressione.

Generalmente

Nel nostro caso , Ecco perché

Calcolatore in linea.
Risoluzione di una progressione aritmetica.
Dati: a n , d, n
Trova: un 1

Questo programma matematico trova \(a_1\) di una progressione aritmetica basata sui numeri specificati dall'utente \(a_n, d\) e \(n\).
I numeri \(a_n\) e \(d\) possono essere specificati non solo come numeri interi, ma anche come frazioni. Inoltre, il numero frazionario può essere inserito sotto forma di frazione decimale (\(2.5\)) e sotto forma di frazione ordinaria (\(-5\frac(2)(7)\)).

Il programma non solo fornisce la risposta al problema, ma mostra anche il processo per trovare una soluzione.

Questo calcolatore online può essere utile per gli studenti delle scuole superiori nelle scuole secondarie durante la preparazione a test ed esami, per testare le conoscenze prima dell'Esame di Stato Unificato e per i genitori per controllare la soluzione di molti problemi di matematica e algebra. O forse è troppo costoso per te assumere un tutor o acquistare nuovi libri di testo? O vuoi semplicemente finire i compiti di matematica o algebra il più velocemente possibile? In questo caso potete anche utilizzare i nostri programmi con soluzioni dettagliate.

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Se non hai familiarità con le regole per l'immissione dei numeri, ti consigliamo di familiarizzare con esse.

Regole per l'immissione dei numeri

I numeri \(a_n\) e \(d\) possono essere specificati non solo come numeri interi, ma anche come frazioni.
Il numero \(n\) può essere solo un numero intero positivo.

Regole per l'immissione delle frazioni decimali.
Le parti intere e frazionarie nelle frazioni decimali possono essere separate da un punto o da una virgola.
Ad esempio, puoi inserire frazioni decimali come 2,5 o come 2,5

Regole per l'immissione delle frazioni ordinarie.
Solo un numero intero può fungere da numeratore, denominatore e parte intera di una frazione.

Il denominatore non può essere negativo.

Quando si inserisce una frazione numerica, il numeratore è separato dal denominatore da un segno di divisione: /
Ingresso:
Risultato: \(-\frac(2)(3)\)

La parte intera è separata dalla frazione dal segno e commerciale: &
Ingresso:
Risultato: \(-1\frac(2)(3)\)

Immettere i numeri a n, d, n Trova un 1

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Una piccola teoria.

Sequenza numerica

Nella pratica quotidiana, la numerazione dei vari oggetti viene spesso utilizzata per indicare l'ordine in cui sono disposti. Ad esempio, le case di ogni strada sono numerate. In biblioteca gli abbonamenti dei lettori vengono numerati e poi disposti secondo l'ordine dei numeri assegnati in appositi schedari.

In una cassa di risparmio, utilizzando il numero di conto personale del depositante, puoi facilmente trovare questo conto e vedere quale deposito c'è su di esso. Supponiamo che il conto n. 1 contenga un deposito di a1 rubli, il conto n. 2 contenga un deposito di a2 rubli, ecc. sequenza numerica
un 1, un 2, un 3, ..., un N
dove N è il numero di tutti i conti. Qui, ogni numero naturale n da 1 a N è associato a un numero a n.

Ha studiato anche matematica sequenze di numeri infinite:
un 1 , un 2 , un 3 , ..., un n , ... .
Il numero viene chiamato 1 primo termine della sequenza, numero a 2 - secondo termine della sequenza, numero a 3 - terzo termine della sequenza eccetera.
Si chiama il numero a n ennesimo (ennesimo) membro della sequenza, e il numero naturale n è suo numero.

Ad esempio, nella sequenza dei quadrati dei numeri naturali 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... e 1 = 1 è il primo termine della sequenza; e n = n 2 è l'ennesimo termine della successione; a n+1 = (n + 1) 2 è il (n + 1)esimo (n più il primo) termine della sequenza. Spesso una sequenza può essere specificata dalla formula del suo ennesimo termine. Ad esempio, la formula \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) definisce la sequenza \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)

Progressione aritmetica

La durata dell'anno è di circa 365 giorni. Un valore più accurato è \(365\frac(1)(4)\) giorni, quindi ogni quattro anni si accumula un errore di un giorno.

Per tenere conto di questo errore, viene aggiunto un giorno ogni quattro anni e l'anno prolungato viene chiamato anno bisestile.

Ad esempio, nel terzo millennio, gli anni bisestili sono gli anni 2004, 2008, 2012, 2016,….

In questa sequenza ogni membro, a partire dal secondo, è uguale al precedente, sommato allo stesso numero 4. Tali sequenze sono chiamate progressioni aritmetiche.

Definizione.
La sequenza numerica è chiamata a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... progressione aritmetica, se per tutto naturale n l'uguaglianza
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
dove d è un numero.

Da questa formula segue che a n+1 - a n = d. Il numero d è chiamato differenza progressione aritmetica.

Per definizione di progressione aritmetica abbiamo:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
Dove
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), dove \(n>1 \)

Pertanto ogni termine di una progressione aritmetica, a partire dal secondo, è uguale alla media aritmetica dei suoi due termini adiacenti. Questo spiega il nome progressione "aritmetica".

Si noti che se vengono forniti a 1 e d, i restanti termini della progressione aritmetica possono essere calcolati utilizzando la formula ricorrente a n+1 = a n + d. In questo modo non è difficile calcolare i primi termini della progressione, però, ad esempio, un 100 richiederà già molti calcoli. In genere, per questo viene utilizzata la formula dell'ennesimo termine. Per definizione di progressione aritmetica
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
eccetera.
Affatto,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
poiché l'ennesimo termine di una progressione aritmetica si ottiene dal primo termine sommando (n-1) volte il numero d.
Questa formula si chiama formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica.

Somma dei primi n termini di una progressione aritmetica

Trova la somma di tutti i numeri naturali da 1 a 100.
Scriviamo questo importo in due modi:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Sommiamo queste uguaglianze termine per termine:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Questa somma ha 100 termini
Pertanto, 2S = 101 * 100, quindi S = 101 * 50 = 5050.

Consideriamo ora una progressione aritmetica arbitraria
un 1 , un 2 , un 3 , ..., un n , ...
Sia S n la somma dei primi n termini di questa progressione:
S n = un 1 , un 2 , un 3 , ..., un n
Poi la somma dei primi n termini di una progressione aritmetica è uguale a
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

Poiché \(a_n=a_1+(n-1)d\), sostituendo una n in questa formula otteniamo un'altra formula per trovare somma dei primi n termini di una progressione aritmetica:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

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Ce ne sono altri
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Per coloro che sono molto "non molto..."
E per chi “tantissimo…”)

Una progressione aritmetica è una serie di numeri in cui ciascun numero è maggiore (o minore) del precedente della stessa quantità.

Questo argomento sembra spesso complesso e incomprensibile. Gli indici delle lettere, l'ennesimo termine della progressione, la differenza della progressione - tutto questo crea in qualche modo confusione, sì... Scopriamo il significato della progressione aritmetica e tutto andrà subito meglio.)

Il concetto di progressione aritmetica.

La progressione aritmetica è un concetto molto semplice e chiaro. Hai qualche dubbio? Invano.) Guarda tu stesso.

Scriverò una serie di numeri incompiuta:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Puoi estendere questa serie? Quali numeri verranno dopo, dopo il cinque? Tutti... ehm... insomma tutti si renderanno conto che dopo verranno i numeri 6, 7, 8, 9, ecc.

Complichiamo il compito. Ti do una serie di numeri incompiuta:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Sarai in grado di cogliere lo schema, estendere la serie e nominare settimo numero di riga?

Se ti sei reso conto che questo numero è 20, congratulazioni! Non solo ti sei sentito punti chiave della progressione aritmetica, ma li abbiamo anche utilizzati con successo negli affari! Se non l’hai capito, continua a leggere.

Ora traduciamo i punti chiave delle sensazioni in matematica.)

Primo punto chiave.

La progressione aritmetica si occupa di serie di numeri. All'inizio questo crea confusione. Siamo abituati a risolvere equazioni, disegnare grafici e tutto il resto... Ma qui estendiamo la serie, troviamo il numero della serie...

Va bene. È solo che le progressioni sono la prima conoscenza di una nuova branca della matematica. La sezione si chiama "Serie" e funziona specificamente con serie di numeri ed espressioni. Abituatevi.)

Secondo punto chiave.

In una progressione aritmetica qualsiasi numero è diverso dal precedente dello stesso importo.

Nel primo esempio, questa differenza è una. Qualunque numero tu prenda, è uno in più rispetto al precedente. Nel secondo - tre. Qualsiasi numero è tre in più del precedente. In realtà, è questo momento che ci dà l'opportunità di cogliere lo schema e calcolare i numeri successivi.

Terzo punto chiave.

Questo momento non è eclatante, sì... Ma è molto, molto importante. Eccolo: Ogni numero di progressione è al suo posto. C’è il primo numero, c’è il settimo, c’è il quarantacinquesimo, ecc. Se li mescoli a caso, lo schema scomparirà. Scomparirà anche la progressione aritmetica. Ciò che resta è solo una serie di numeri.

Questo è il punto.

Naturalmente, nuovi termini e designazioni compaiono in un nuovo argomento. Devi conoscerli. Altrimenti non capirai il compito. Ad esempio, dovrai decidere qualcosa come:

Annota i primi sei termini della progressione aritmetica (a n), se a 2 = 5, d = -2,5.

Ispirante?) Lettere, alcuni indici... E il compito, tra l'altro, non potrebbe essere più semplice. Hai solo bisogno di capire il significato dei termini e delle designazioni. Ora padroneggeremo questa questione e torneremo al compito.

Termini e designazioni.

Progressione aritmeticaè una serie di numeri in cui ogni numero è diverso dal precedente dello stesso importo.

Questa quantità si chiama . Diamo un'occhiata a questo concetto in modo più dettagliato.

Differenza di progressione aritmetica.

Differenza di progressione aritmeticaè l'importo di cui qualsiasi numero di progressione Di più precedente.

Un punto importante. Per favore presta attenzione alla parola "Di più". Matematicamente, ciò significa che ogni numero di progressione lo è aggiungendo differenza di progressione aritmetica rispetto al numero precedente.

Per calcolare, diciamo secondo numeri della serie, è necessario Primo numero aggiungere proprio questa differenza di una progressione aritmetica. Per il calcolo quinto- la differenza è necessaria aggiungere A il quarto, beh, ecc.

Differenza di progressione aritmetica Forse positivo, quindi ogni numero della serie risulterà reale più del precedente. Questa progressione si chiama crescente. Per esempio:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Qui si ottiene ogni numero aggiungendo numero positivo, +5 al precedente.

La differenza potrebbe essere negativo, quindi ogni numero della serie sarà meno del precedente. Questa progressione si chiama (non ci crederai!) decrescente.

Per esempio:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Anche qui si ottiene ogni numero aggiungendo al precedente, ma già un numero negativo, -5.

A proposito, quando si lavora con la progressione, è molto utile determinarne immediatamente la natura, se è in aumento o in diminuzione. Questo aiuta molto a orientarsi nella decisione, individuare i propri errori e correggerli prima che sia troppo tardi.

Differenza di progressione aritmetica solitamente indicato con la lettera D.

Come trovare D? Molto semplice. È necessario sottrarre da qualsiasi numero della serie precedente numero. Sottrarre. A proposito, il risultato della sottrazione si chiama "differenza".)

Definiamo, ad esempio, D per aumentare la progressione aritmetica:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Prendiamo qualsiasi numero della serie che vogliamo, ad esempio 11. Lo sottraiamo numero precedente quelli. 8:

Questa è la risposta corretta. Per questa progressione aritmetica, la differenza è tre.

Puoi prenderlo qualsiasi numero di progressione, Perché per una progressione specifica D-sempre la stessa. Almeno da qualche parte all'inizio della riga, almeno al centro, almeno ovunque. Non puoi prendere solo il primo numero. Semplicemente perché il primo numero nessun precedente.)

A proposito, sapendolo d=3, trovare il settimo numero di questa progressione è molto semplice. Aggiungiamo 3 al quinto numero: otteniamo il sesto, sarà 17. Aggiungiamo tre al sesto numero, otteniamo il settimo numero: venti.

Definiamo D per la progressione aritmetica discendente:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Ti ricordo che, indipendentemente dai segni, da determinare D bisogno da qualsiasi numero togli quello precedente. Scegli un numero di progressione qualsiasi, ad esempio -7. Il suo numero precedente è -2. Poi:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

La differenza di una progressione aritmetica può essere qualsiasi numero: intero, frazionario, irrazionale, qualsiasi numero.

Altri termini e designazioni.

Viene chiamato ogni numero della serie membro di una progressione aritmetica.

Ogni membro della progressione ha un proprio numero. I numeri sono rigorosamente in ordine, senza trucchi. Primo, secondo, terzo, quarto ecc. Ad esempio, nella progressione 2, 5, 8, 11, 14, ... due è il primo termine, cinque è il secondo, undici è il quarto, beh, avete capito...) Per favore capite bene - i numeri stessi può essere assolutamente qualsiasi cosa, intero, frazionario, negativo, qualunque cosa, ma numerazione dei numeri- rigorosamente in ordine!

Come scrivere una progressione in forma generale? Nessun problema! Ogni numero in una serie è scritto come una lettera. Per denotare una progressione aritmetica, di solito viene utilizzata la lettera UN. Il numero del membro è indicato da un indice in basso a destra. Scriviamo i termini separati da virgole (o punto e virgola), in questo modo:

un 1, un 2, un 3, un 4, un 5, .....

un 1- questo è il primo numero, un 3- terzo, ecc. Nulla di bello. Questa serie può essere scritta brevemente in questo modo: (UN).

Le progressioni accadono finito e infinito.

Definitivo la progressione ha un numero limitato di iscritti. Cinque, trentotto, qualunque cosa. Ma è un numero finito.

Infinito progressione - ha un numero infinito di membri, come puoi immaginare.)

Puoi scrivere la progressione finale attraverso una serie come questa, tutti i termini e un punto alla fine:

un 1, un 2, un 3, un 4, un 5.

O così, se ci sono molti membri:

un 1, un 2, ... un 14, un 15.

Nella voce breve dovrai inoltre indicare il numero dei membri. Ad esempio (per venti membri), in questo modo:

(a n), n = 20

Una progressione infinita può essere riconosciuta dai puntini di sospensione alla fine della riga, come negli esempi di questa lezione.

Ora puoi risolvere i compiti. I compiti sono semplici, servono esclusivamente a comprendere il significato di una progressione aritmetica.

Esempi di compiti sulla progressione aritmetica.

Diamo un'occhiata al compito sopra indicato in dettaglio:

1. Scrivi i primi sei termini della progressione aritmetica (a n), se a 2 = 5, d = -2,5.

Traduciamo il compito in un linguaggio comprensibile. È data una progressione aritmetica infinita. Il secondo numero di questa progressione è noto: un 2 = 5. La differenza di progressione è nota: d = -2,5. Dobbiamo trovare il primo, terzo, quarto, quinto e sesto termine di questa progressione.

Per chiarezza, scriverò una serie in base alle condizioni del problema. I primi sei termini, dove il secondo termine è cinque:

un 1, 5, un 3, un 4, un 5, un 6,....

un 3 = un 2 + D

Sostituisci nell'espressione un 2 = 5 E d = -2,5. Non dimenticare il meno!

un 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Il terzo termine si è rivelato più piccolo del secondo. Tutto è logico. Se il numero è maggiore del precedente negativo valore, il che significa che il numero stesso sarà inferiore a quello precedente. La progressione è in diminuzione. Ok, teniamone conto.) Contiamo il quarto termine della nostra serie:

un 4 = un 3 + D

un 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

un 5 = un 4 + D

un 5=0+(-2,5)= - 2,5

un 6 = un 5 + D

un 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Quindi sono stati calcolati i termini dal terzo al sesto. Il risultato è la seguente serie:

a 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....

Resta da trovare il primo termine un 1 secondo il noto secondo. Questo è un passo nella direzione opposta, a sinistra.) Quindi, la differenza della progressione aritmetica D non dovrebbe essere aggiunto un 2, UN porta via:

un 1 = un 2 - D

un 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Questo è tutto. Risposta al compito:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Di passaggio, vorrei sottolineare che abbiamo risolto questo compito ricorrente modo. Questa terribile parola significa solo la ricerca di un membro della progressione secondo il numero precedente (adiacente). Di seguito esamineremo altri modi per lavorare con la progressione.

Da questo semplice compito si può trarre una conclusione importante.

Ricordare:

Se conosciamo almeno un termine e la differenza di una progressione aritmetica, possiamo trovare qualsiasi termine di questa progressione.

Ti ricordi? Questa semplice conclusione consente di risolvere la maggior parte dei problemi del corso scolastico su questo argomento. Tutte le attività ruotano attorno a tre parametri principali: membro di una progressione aritmetica, differenza di una progressione, numero di un membro della progressione. Tutto.

Naturalmente, tutta l'algebra precedente non viene cancellata.) Disuguaglianze, equazioni e altre cose sono collegate alla progressione. Ma secondo la progressione stessa- tutto ruota attorno a tre parametri.

Ad esempio, diamo un'occhiata ad alcune attività popolari su questo argomento.

2. Scrivi la progressione aritmetica finita come una serie se n=5, d = 0,4 e a 1 = 3,6.

Tutto è semplice qui. Tutto è già stato dato. È necessario ricordare come si contano i membri di una progressione aritmetica, contarli e scriverli. Si consiglia di non perdere le parole nelle condizioni del compito: “finale” e “ n=5". Per non contare finché non sarai completamente blu in faccia.) Ci sono solo 5 (cinque) membri in questa progressione:

a2 = a1 + d = 3,6 + 0,4 = 4

un3 = un2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

un 4 = un 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

un 5 = un 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Resta da scrivere la risposta:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Un altro compito:

3. Determina se il numero 7 sarà un membro della progressione aritmetica (a n), se un 1 = 4,1; d = 1,2.

Hmm... Chi lo sa? Come determinare qualcosa?

Come-come... Annota la progressione sotto forma di serie e vedi se ci sarà un sette oppure no! Contiamo:

a2 = a1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3

un3 = un2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5

un 4 = un 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Ora è chiaramente visibile che siamo solo in sette scivolato attraverso tra 6,5 e 7,7! Il sette non rientra nella nostra serie di numeri e quindi il sette non farà parte della progressione data.

Risposta: no.

Ed ecco un problema basato su una versione reale del GIA:

4. Vengono scritti diversi termini consecutivi della progressione aritmetica:

...; 15; X; 9; 6; ...

Ecco una serie scritta senza fine e senza inizio. Nessun numero di membri, nessuna differenza D. Va bene. Per risolvere il problema è sufficiente comprendere il significato di una progressione aritmetica. Diamo un'occhiata e vediamo cosa è possibile sapere di questa serie? Quali sono i tre parametri principali?

Numeri dei membri? Non c'è un solo numero qui.

Ma i numeri sono tre e – attenzione! - parola "coerente" in condizione. Ciò significa che i numeri sono rigorosamente in ordine, senza lacune. Ce ne sono due in questa fila? limitrofo numeri conosciuti? Sì! Questi sono 9 e 6. Pertanto, possiamo calcolare la differenza della progressione aritmetica! Sottrai da sei precedente numero, cioè nove:

Sono rimaste solo sciocchezze. Quale sarà il numero precedente per X? Quindici. Ciò significa che X può essere facilmente trovato mediante una semplice addizione. Aggiungi la differenza della progressione aritmetica a 15:

È tutto. Risposta: x=12

Risolviamo noi stessi i seguenti problemi. Nota: questi problemi non si basano su formule. Puramente per comprendere il significato di una progressione aritmetica.) Scriviamo semplicemente una serie di numeri e lettere, guardiamo e capiamo.

5. Trovare il primo termine positivo della progressione aritmetica se a 5 = -3; d = 1,1.

6. È noto che il numero 5.5 è membro della progressione aritmetica (a n), dove a 1 = 1.6; d = 1,3. Determina il numero n di questo termine.

7. È noto che nella progressione aritmetica a 2 = 4; un 5 = 15,1. Trovane 3.

8. Vengono scritti diversi termini consecutivi della progressione aritmetica:

...; 15,6; X; 3.4; ...

Trovare il termine della progressione indicata dalla lettera x.

9. Il treno iniziò a muoversi dalla stazione, aumentando uniformemente la velocità di 30 metri al minuto. Quale sarà la velocità del treno tra cinque minuti? Dai la tua risposta in km/ora.

10. È noto che nella progressione aritmetica a 2 = 5; un 6 = -5. Trova un 1.

Risposte (disordinate): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.

Tutto ha funzionato? Sorprendente! Potrai padroneggiare la progressione aritmetica a un livello superiore nelle lezioni seguenti.

Non ha funzionato tutto? Nessun problema. Nella Sezione Speciale 555, tutti questi problemi vengono risolti pezzo per pezzo.) E, naturalmente, viene descritta una semplice tecnica pratica che evidenzia immediatamente la soluzione a tali compiti in modo chiaro, chiaro, a colpo d'occhio!

A proposito, nel puzzle del treno ci sono due problemi in cui le persone spesso inciampano. Uno è puramente in termini di progressione, e il secondo è generale per qualsiasi problema di matematica e anche di fisica. Questa è una traslazione delle dimensioni dall'una all'altra. Mostra come questi problemi dovrebbero essere risolti.

In questa lezione abbiamo visto il significato elementare di una progressione aritmetica e i suoi parametri principali. Questo è sufficiente per risolvere quasi tutti i problemi su questo argomento. Aggiungere D ai numeri, scrivete una serie, tutto si risolverà.

La soluzione con le dita funziona bene per tratti di riga molto brevi, come negli esempi di questo tutorial. Se la serie è più lunga i calcoli diventano più complicati. Ad esempio, se nel problema 9 nella domanda sostituiamo "cinque minuti" SU "trentacinque minuti" il problema peggiorerà notevolmente.)

E ci sono anche compiti semplici in sostanza, ma assurdi in termini di calcoli, ad esempio:

Viene fornita una progressione aritmetica (a n). Trova a 121 se a 1 = 3 e d = 1/6.

E allora, aggiungeremo 1/6 molte, molte volte?! Puoi ucciderti!?

Puoi.) Se non conosci una formula semplice con la quale puoi risolvere tali compiti in un minuto. Questa formula sarà nella prossima lezione. E questo problema è risolto lì. In un minuto.)

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Somma di una progressione aritmetica.

La somma di una progressione aritmetica è una cosa semplice. Sia nel significato che nella formula. Ma ci sono tutti i tipi di compiti su questo argomento. Da semplice a abbastanza solido.

Innanzitutto, comprendiamo il significato e la formula dell'importo. E poi decideremo. Per il tuo piacere.) Il significato dell'importo è semplice come un muggito. Per trovare la somma di una progressione aritmetica basta sommare con attenzione tutti i suoi termini. Se questi termini sono pochi, puoi aggiungerli senza alcuna formula. Ma se c'è molto, o molto... l'addizione è fastidiosa.) In questo caso la formula viene in soccorso.

La formula per l'importo è semplice:

Scopriamo che tipo di lettere sono incluse nella formula. Questo chiarirà molto le cose.

S n - la somma di una progressione aritmetica. Risultato dell'addizione tutti membri, con Primo Di scorso.È importante. Si sommano esattamente Tutto membri di fila, senza saltare o saltare. E, appunto, a partire da Primo. In problemi come trovare la somma del terzo e dell'ottavo termine, o la somma del quinto e del ventesimo termine, l'applicazione diretta della formula sarà deludente.)

un 1 - Primo membro della progressione. Qui è tutto chiaro, è semplice Primo numero di riga.

UN- scorso membro della progressione. L'ultimo numero della serie. Non è un nome molto familiare, ma se applicato all’importo è molto adatto. Allora lo vedrai tu stesso.

N - numero dell'ultimo membro. È importante capire che nella formula questo numero coincide con il numero di termini aggiunti.

Definiamo il concetto scorso membro UN. Domanda complicata: quale membro sarà l'ultimo se dato infinito progressione aritmetica?)

Per rispondere con sicurezza è necessario comprendere il significato elementare della progressione aritmetica e... leggere attentamente il compito!)

Nel compito di trovare la somma di una progressione aritmetica, l'ultimo termine compare sempre (direttamente o indirettamente), che dovrebbe essere limitato. Altrimenti, un importo finale e specifico semplicemente non esiste. Per la soluzione non importa se la progressione è data: finita o infinita. Non importa come viene dato: una serie di numeri o una formula per l'ennesimo termine.

La cosa più importante è capire che la formula funziona dal primo termine della progressione fino al termine con numero N. In realtà, il nome completo della formula è simile al seguente: la somma dei primi n termini di una progressione aritmetica. Il numero di questi primissimi membri, cioè N, è determinato esclusivamente dal compito. In un'attività, tutte queste preziose informazioni sono spesso crittografate, sì... Ma non importa, negli esempi seguenti sveliamo questi segreti.)

Esempi di compiti sulla somma di una progressione aritmetica.

Innanzitutto informazioni utili:

La principale difficoltà nei compiti che comportano la somma di una progressione aritmetica risiede nella corretta determinazione degli elementi della formula.

Gli autori dei compiti crittografano proprio questi elementi con un'immaginazione illimitata.) La cosa principale qui è non avere paura. Comprendendo l'essenza degli elementi, è sufficiente decifrarli semplicemente. Diamo un'occhiata ad alcuni esempi in dettaglio. Cominciamo con un compito basato su un vero GIA.

1. La progressione aritmetica è data dalla condizione: a n = 2n-3.5. Trova la somma dei suoi primi 10 termini.

Buon lavoro. Facile.) Per determinare l'importo utilizzando la formula, cosa dobbiamo sapere? Primo membro un 1, ultimo termine UN, sì, il numero dell'ultimo membro N.

Dove posso trovare il numero dell'ultimo membro? N? Sì, proprio lì, a condizione! Dice: trova la somma primi 10 membri. Bene, con che numero sarà? scorso, decimo membro?) Non ci crederai, il suo numero è decimo!) Pertanto, invece di UN Sostituiremo nella formula un 10, e invece N- dieci. Ripeto, il numero dell'ultimo membro coincide con il numero dei soci.

Resta da determinare un 1 E un 10. Questo può essere facilmente calcolato utilizzando la formula per l'ennesimo termine, fornita nella dichiarazione del problema. Non sai come farlo? Frequenta la lezione precedente, senza questa non c'è modo.

un 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

un 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S10.

Abbiamo scoperto il significato di tutti gli elementi della formula per la somma di una progressione aritmetica. Non resta che sostituirli e contare:

Questo è tutto. Risposta: 75.

Un altro compito basato sul GIA. Un po' più complicato:

2. Data una progressione aritmetica (a n), la cui differenza è 3,7; a1 =2,3. Trova la somma dei suoi primi 15 termini.

Scriviamo subito la formula della somma:

Questa formula ci consente di trovare il valore di qualsiasi termine in base al suo numero. Cerchiamo una semplice sostituzione:

un 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Resta da sostituire tutti gli elementi della formula con la somma di una progressione aritmetica e calcolare la risposta:

Risposta: 423.

A proposito, se nella formula della somma invece di UN Sostituiamo semplicemente la formula all'ennesimo termine e otteniamo:

Presentiamone di simili e otteniamo una nuova formula per la somma dei termini di una progressione aritmetica:

Come puoi vedere, l'ennesimo termine non è richiesto qui UN. In alcuni problemi questa formula aiuta molto, sì... Puoi ricordare questa formula. Oppure puoi semplicemente visualizzarlo al momento giusto, come qui. Dopotutto, devi sempre ricordare la formula per la somma e la formula per l'ennesimo termine.)

Ora il compito sotto forma di una breve crittografia):

3. Trova la somma di tutti i numeri positivi a due cifre che sono multipli di tre.

Oh! Né il tuo primo membro, né l'ultimo, né alcuna progressione... Come vivere!?

Dovrai pensare con la tua testa ed estrarre dalla condizione tutti gli elementi della somma della progressione aritmetica. Sappiamo cosa sono i numeri a due cifre. Sono costituiti da due numeri.) Quale sarà il numero a due cifre Primo? 10, presumibilmente.) A ultima cosa numero a doppia cifra? 99, ovviamente! Quelli a tre cifre lo seguiranno...

Multipli di tre... Hm... Questi sono i numeri divisibili per tre, ecco! Dieci non è divisibile per tre, 11 non è divisibile... 12... è divisibile! Dunque, qualcosa sta emergendo. Puoi già scrivere una serie in base alle condizioni del problema:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Questa serie sarà una progressione aritmetica? Certamente! Ogni termine differisce dal precedente rigorosamente tre. Se aggiungi 2 o 4 a un termine, ad esempio, il risultato, ad es. il nuovo numero non è più divisibile per 3. Puoi determinare immediatamente la differenza della progressione aritmetica: d = 3. Tornerà utile!)

Quindi, possiamo tranquillamente annotare alcuni parametri di progressione:

Quale sarà il numero? N ultimo membro? Chi pensa che 99 si sbaglia di grosso... I numeri vanno sempre in fila, ma i nostri membri saltano sopra il tre. Non corrispondono.

Ci sono due soluzioni qui. Un modo è per i super laboriosi. Puoi scrivere la progressione, l'intera serie di numeri e contare il numero dei membri con il dito.) Il secondo modo è per chi è riflessivo. Devi ricordare la formula per l'ennesimo termine. Se applichiamo la formula al nostro problema, troviamo che 99 è il trentesimo termine della progressione. Quelli. n = 30.

Diamo un'occhiata alla formula per la somma di una progressione aritmetica:

Guardiamo e ci rallegriamo.) Abbiamo estratto dalla dichiarazione del problema tutto il necessario per calcolare l'importo:

un 1= 12.

un 30= 99.

S n = S30.

Tutto ciò che resta è l'aritmetica elementare. Sostituiamo i numeri nella formula e calcoliamo:

Risposta: 1665

Un altro tipo di puzzle popolare:

4. Data una progressione aritmetica:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Trova la somma dei termini dal ventesimo al trentaquattro.

Guardiamo la formula per l'importo e... ci arrabbiamo.) La formula, lasciatemelo ricordare, calcola l'importo dal primo membro. E nel problema devi calcolare la somma dal ventesimo... La formula non funzionerà.

Ovviamente puoi scrivere l'intera progressione in una serie e aggiungere termini da 20 a 34. Ma... è in qualche modo stupido e richiede molto tempo, giusto?)

Esiste una soluzione più elegante. Dividiamo la nostra serie in due parti. La prima parte sarà dal primo mandato al diciannovesimo. Seconda parte - dai venti ai trentaquattro.È chiaro che se calcoliamo la somma dei termini della prima parte S 1-19, aggiungiamolo con la somma dei termini della seconda parte S 20-34, si ottiene la somma della progressione dal primo termine al trentaquattresimo S 1-34. Come questo:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Da questo possiamo vedere che trovi la somma S 20-34 può essere fatto mediante una semplice sottrazione

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Vengono considerati entrambi gli importi sul lato destro dal primo membro, cioè la formula della somma standard è del tutto applicabile a loro. Iniziamo?

Estraiamo i parametri di progressione dalla dichiarazione del problema:

d = 1,5.

un 1= -21,5.

Per calcolare la somma dei primi 19 e dei primi 34 termini, avremo bisogno del 19° e del 34° termine. Li calcoliamo utilizzando la formula per l'ennesimo termine, come nel problema 2:

un 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

un 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Non è rimasto niente. Dalla somma di 34 termini sottrai la somma di 19 termini:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Risposta: 262,5

Una nota importante! C'è un trucco molto utile per risolvere questo problema. Invece del calcolo diretto di cosa hai bisogno (S 20-34), abbiamo contato qualcosa che sembrerebbe non necessario - S 1-19. E poi hanno deciso S 20-34, scartando il superfluo dal risultato completo. Questo tipo di “finta con le orecchie” spesso ti salva da problemi malvagi.)

In questa lezione abbiamo affrontato problemi per i quali è sufficiente comprendere il significato della somma di una progressione aritmetica. Bene, devi conoscere un paio di formule.)

Consiglio pratico:

Quando risolvi qualsiasi problema che coinvolga la somma di una progressione aritmetica, consiglio di scrivere immediatamente le due formule principali di questo argomento.

Formula per l'ennesimo termine:

Queste formule ti diranno immediatamente cosa cercare e in quale direzione pensare per risolvere il problema. Aiuta.

E ora i compiti per una soluzione indipendente.

5. Trova la somma di tutti i numeri a due cifre che non sono divisibili per tre.

Bello?) Il suggerimento è nascosto nella nota al problema 4. Bene, il problema 3 aiuterà.

6. La progressione aritmetica è data dalla condizione: a 1 = -5,5; un n+1 = un n +0,5. Trova la somma dei suoi primi 24 termini.

Insolito?) Questa è una formula ricorrente. Puoi leggerlo nella lezione precedente. Non ignorare il collegamento, tali problemi si riscontrano spesso nell'Accademia statale delle scienze.

7. Vasya ha risparmiato soldi per le vacanze. Fino a 4550 rubli! E ho deciso di regalare alla mia persona preferita (me stesso) qualche giorno di felicità). Vivi magnificamente senza negarti nulla. Spendi 500 rubli il primo giorno e ogni giorno successivo spendi 50 rubli in più rispetto al precedente! Fino a quando i soldi non finiscono. Quanti giorni di felicità ha avuto Vasya?

È difficile?) La formula aggiuntiva dell'attività 2 aiuterà.

Risposte (allo sbando): 7, 3240, 6.

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Progressione aritmetica nominare una sequenza di numeri (termini di una progressione)

In cui ogni termine successivo differisce dal precedente per un nuovo termine, chiamato anche differenza di passo o progressione.

Pertanto, specificando il passo di progressione e il suo primo termine, puoi trovare qualsiasi dei suoi elementi utilizzando la formula

Proprietà di una progressione aritmetica

1) Ogni membro di una progressione aritmetica, a partire dal secondo numero, è la media aritmetica del membro precedente e successivo della progressione

È vero anche il contrario. Se la media aritmetica dei termini pari (dispari) adiacenti di una progressione è uguale al termine che si trova tra di loro, allora questa sequenza di numeri è una progressione aritmetica. Utilizzando questa istruzione, è molto semplice controllare qualsiasi sequenza.

Inoltre, per la proprietà della progressione aritmetica, la formula di cui sopra può essere generalizzata come segue

Questo è facile da verificare se scrivi i termini a destra del segno uguale

Viene spesso utilizzato nella pratica per semplificare i calcoli nei problemi.

2) La somma dei primi n termini di una progressione aritmetica si calcola utilizzando la formula

Ricorda bene la formula per la somma di una progressione aritmetica; è indispensabile nei calcoli e la si trova molto spesso in semplici situazioni della vita.

3) Se hai bisogno di trovare non l'intera somma, ma parte della sequenza a partire dal suo k-esimo termine, allora ti sarà utile la seguente formula di somma

4) Di interesse pratico è trovare la somma di n termini di una progressione aritmetica a partire dal k-esimo numero. Per fare ciò, usa la formula

Questo conclude il materiale teorico e passa alla risoluzione pratica dei problemi comuni.

Esempio 1. Trovare il quarantesimo termine della progressione aritmetica 4;7;...

Soluzione:

Secondo la condizione che abbiamo

Determiniamo il passo di progressione

Utilizzando una formula ben nota troviamo il quarantesimo termine della progressione

Esempio 2. Una progressione aritmetica è data dal terzo e dal settimo termine. Trova il primo termine della progressione e la somma di dieci.

Soluzione:

Scriviamo gli elementi dati della progressione utilizzando le formule

Sottraiamo la prima dalla seconda equazione, di conseguenza troviamo il passaggio di progressione

Sostituiamo il valore trovato in una qualsiasi delle equazioni per trovare il primo termine della progressione aritmetica

Calcoliamo la somma dei primi dieci termini della progressione

Senza utilizzare calcoli complessi, abbiamo trovato tutte le quantità richieste.

Esempio 3. Una progressione aritmetica è data dal denominatore e da uno dei suoi termini. Trova il primo termine della progressione, la somma dei suoi 50 termini partendo da 50 e la somma dei primi 100.

Soluzione:

Scriviamo la formula per il centesimo elemento della progressione