Il concetto di laurea in matematica viene introdotto già al 7° anno in una lezione di algebra. E in futuro, durante tutto il corso di studio della matematica, questo concetto verrà utilizzato attivamente nelle sue varie forme. I gradi sono un argomento piuttosto difficile, che richiede la memorizzazione dei valori e la capacità di contare correttamente e rapidamente. Per lavorare più velocemente e meglio con le lauree in matematica, hanno inventato le proprietà della laurea. Aiutano a ridurre i grandi calcoli, a convertire in una certa misura un enorme esempio in un unico numero. Non ci sono così tante proprietà e tutte sono facili da ricordare e applicare nella pratica. Pertanto, l'articolo discute le principali proprietà della laurea e dove vengono applicate.
proprietà del grado
Considereremo 12 proprietà di un grado, comprese le proprietà delle potenze con la stessa base, e forniremo un esempio per ciascuna proprietà. Ognuna di queste proprietà ti aiuterà a risolvere i problemi con i gradi più velocemente, oltre a salvarti da numerosi errori di calcolo.
1a proprietà.
Molte persone molto spesso dimenticano questa proprietà, commettono errori rappresentando un numero al grado zero come zero.
2a proprietà.
3a proprietà.
Va ricordato che questa proprietà può essere utilizzata solo quando si moltiplicano i numeri, non funziona con la somma! E non dobbiamo dimenticare che questa e le seguenti proprietà si applicano solo a potenze con la stessa base.
4a proprietà.
Se il numero nel denominatore viene elevato a una potenza negativa, durante la sottrazione, il grado del denominatore viene preso tra parentesi per sostituire correttamente il segno in ulteriori calcoli.
La proprietà funziona solo durante la divisione, non durante la sottrazione!
5a proprietà.
6a proprietà.
Questa proprietà può essere applicata anche al contrario. Un'unità divisa per un numero in una certa misura è quel numero elevato a una potenza negativa.
7a proprietà.
Questa proprietà non può essere applicata alla somma e alla differenza! Quando si eleva una somma o una differenza a una potenza, vengono utilizzate formule di moltiplicazione abbreviate e non le proprietà della potenza.
Ottava proprietà.
9a proprietà.
Questa proprietà funziona per qualsiasi grado frazionario con numeratore uguale a uno, la formula sarà la stessa, cambierà solo il grado della radice a seconda del denominatore del grado.
Inoltre, questa proprietà viene spesso utilizzata in ordine inverso. La radice di qualsiasi potenza di un numero può essere rappresentata come quel numero elevato alla potenza di uno diviso per la potenza della radice. Questa proprietà è molto utile nei casi in cui non viene estratta la radice del numero.
Decima proprietà.
Questa proprietà funziona non solo con la radice quadrata e il secondo grado. Se il grado della radice e il grado in cui questa radice è sollevata sono gli stessi, la risposta sarà un'espressione radicale.
11a proprietà.
Devi essere in grado di vedere questa proprietà in tempo quando la risolvi per salvarti da calcoli enormi.
12a proprietà.
Ognuna di queste proprietà ti incontrerà più di una volta nei compiti, può essere data nella sua forma pura o potrebbe richiedere alcune trasformazioni e l'uso di altre formule. Pertanto, per la soluzione corretta, non è sufficiente conoscere solo le proprietà, è necessario esercitarsi e collegare il resto delle conoscenze matematiche.
Applicazione dei gradi e loro proprietà
Sono utilizzati attivamente in algebra e geometria. Le lauree in matematica hanno un posto importante e separato. Con il loro aiuto, vengono risolte equazioni e disuguaglianze esponenziali, così come le potenze spesso complicano equazioni ed esempi relativi ad altre sezioni della matematica. Gli esponenti aiutano ad evitare calcoli grandi e lunghi, è più facile ridurre e calcolare gli esponenti. Ma per lavorare con grandi potenze, o con potenze di grandi numeri, è necessario conoscere non solo le proprietà del grado, ma anche lavorare con competenza con le basi, essere in grado di scomporle per facilitare il proprio compito. Per comodità dovresti conoscere anche il significato dei numeri elevati a potenza. Ciò ridurrà il tempo necessario per la risoluzione eliminando la necessità di lunghi calcoli.
Il concetto di grado gioca un ruolo speciale nei logaritmi. Poiché il logaritmo, in sostanza, è la potenza di un numero.
Le formule di moltiplicazione abbreviate sono un altro esempio dell'uso dei poteri. Non possono utilizzare le proprietà dei gradi, sono scomposti secondo regole speciali, ma in ogni formula di moltiplicazione abbreviata ci sono invariabilmente gradi.
I titoli di studio vengono utilizzati attivamente anche in fisica e informatica. Tutte le traduzioni nel sistema SI vengono effettuate utilizzando i gradi e in futuro, quando si risolvono i problemi, vengono applicate le proprietà del grado. Nell'informatica, le potenze di due vengono utilizzate attivamente, per comodità di conteggio e semplificazione della percezione dei numeri. Ulteriori calcoli per conversioni di unità di misura o calcoli di problemi, proprio come in fisica, avvengono utilizzando le proprietà del grado.
I gradi sono molto utili anche in astronomia, dove raramente è possibile trovare l'uso delle proprietà dei gradi, ma i gradi stessi vengono utilizzati attivamente per abbreviare la registrazione di varie quantità e distanze.
I gradi vengono utilizzati anche nella vita di tutti i giorni, per calcolare aree, volumi, distanze.
Con l'aiuto dei gradi, vengono scritti valori molto grandi e molto piccoli in qualsiasi campo della scienza.
equazioni e disuguaglianze esponenziali
Le proprietà dei gradi occupano un posto speciale proprio nelle equazioni e disequazioni esponenziali. Questi compiti sono molto comuni, sia nel percorso scolastico che negli esami. Tutti vengono risolti applicando le proprietà del grado. L'incognita è sempre nel grado stesso, quindi, conoscendo tutte le proprietà, non sarà difficile risolvere una simile equazione o disuguaglianza.
Come moltiplicare i poteri? Quali poteri possono essere moltiplicati e quali no? Come si moltiplica un numero per una potenza?
In algebra il prodotto delle potenze si può trovare in due casi:
1) se i titoli hanno la stessa base;
2) se i gradi hanno gli stessi indicatori.
Quando si moltiplicano potenze con la stessa base, la base deve rimanere la stessa e gli esponenti devono essere sommati:
Quando si moltiplicano i gradi con gli stessi indicatori, l'indicatore totale può essere tolto tra parentesi:
Considera come moltiplicare i poteri, con esempi specifici.
L'unità nell'esponente non è scritta, ma quando si moltiplicano i gradi si tiene conto di:
Quando si moltiplica, il numero di gradi può essere qualsiasi. Va ricordato che non è possibile scrivere il segno di moltiplicazione prima della lettera:
Nelle espressioni, l'elevamento a potenza viene eseguito per primo.
Se devi moltiplicare un numero per una potenza, devi prima eseguire l'elevamento a potenza e solo successivamente la moltiplicazione:
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Addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione di poteri
Addizione e sottrazione di poteri
Ovviamente i numeri dotati di potenze possono essere sommati come le altre quantità , sommandoli uno ad uno con i relativi segni.
Quindi, la somma di a 3 e b 2 è a 3 + b 2 .
La somma di a 3 - b n e h 5 - d 4 è a 3 - b n + h 5 - d 4.
Probabilità le stesse potenze delle stesse variabili possono essere aggiunti o sottratti.
Quindi, la somma di 2a 2 e 3a 2 è uguale a 5a 2 .
È anche ovvio che se prendiamo due quadrati a, o tre quadrati a, o cinque quadrati a.
Ma gradi varie variabili E vari gradi variabili identiche, devono essere aggiunti aggiungendoli ai loro segni.
Quindi, la somma di a 2 e a 3 è la somma di a 2 + a 3 .
È ovvio che il quadrato di a e il cubo di a non sono né il doppio del quadrato di a, ma il doppio del cubo di a.
La somma di a 3 b n e 3a 5 b 6 è a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Sottrazione le potenze si eseguono allo stesso modo dell'addizione, tranne che i segni del sottraendo devono essere cambiati di conseguenza.
O:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Moltiplicazione della potenza
I numeri con potenze possono essere moltiplicati come le altre quantità scrivendoli uno dopo l'altro, con o senza il segno di moltiplicazione tra di loro.
Quindi, il risultato della moltiplicazione di a 3 per b 2 è a 3 b 2 o aaabb.
O:
x -3 ⋅ un m = un m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Il risultato nell'ultimo esempio può essere ordinato aggiungendo le stesse variabili.
L'espressione assumerà la forma: a 5 b 5 y 3 .
Confrontando diversi numeri (variabili) con potenze, possiamo vedere che se ne moltiplicano due qualsiasi, il risultato è un numero (variabile) con una potenza pari a somma gradi di termini.
Quindi, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Qui 5 è la potenza del risultato della moltiplicazione, pari a 2+3, la somma delle potenze dei termini.
Quindi, a n.a m = a m+n.
Per a n , a viene preso come fattore tante volte quanto è la potenza di n;
E a m , si prende come fattore tante volte quanto è uguale il grado m;
Ecco perché, le potenze con la stessa base possono essere moltiplicate sommando gli esponenti.
Quindi, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . E x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
O:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b2 y3 ⋅ b4 y = b6 y4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Moltiplica (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Risposta: x 4 - y 4.
Moltiplica (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Questa regola vale anche per i numeri i cui esponenti sono − negativo.
1. Quindi, a -2 .a -3 = a -5 . Questo può essere scritto come (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. a-n.a-m = a-n-m.
3. a -n .a m = a m-n .
Se si moltiplicano a + b per a - b, il risultato sarà a 2 - b 2: cioè
Il risultato della moltiplicazione della somma o della differenza di due numeri è uguale alla somma o alla differenza dei loro quadrati.
Se la somma e la differenza di due numeri aumenta a piazza, il risultato sarà uguale alla somma o alla differenza di questi numeri in il quarto grado.
Quindi, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .
Divisione dei poteri
I numeri dotati di potenze possono essere divisi come gli altri numeri sottraendo al divisore o ponendoli sotto forma di frazione.
Quindi a 3 b 2 diviso per b 2 è a 3 .
Scrivere un 5 diviso per 3 assomiglia a $\frac $. Ma questo è uguale a 2 . In una serie di numeri
un +4, un +3, un +2, un +1, un 0, un -1, un -2, un -3, un -4.
qualsiasi numero può essere diviso per un altro e l'esponente sarà uguale a differenza indicatori dei numeri divisibili.
Quando si dividono potenze con la stessa base si sottraggono gli esponenti..
Quindi, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Cioè $\frac = y$.
E a n+1:a = a n+1-1 = a n . Cioè $\frac = a^n$.
O:
a2m: aa = aa
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
La regola vale anche per i numeri con negativo valori dei gradi.
Il risultato della divisione a -5 per -3 è a -2 .
Inoltre, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 oppure $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
È necessario padroneggiare molto bene la moltiplicazione e la divisione dei poteri, poiché tali operazioni sono molto utilizzate in algebra.
Esempi di risoluzione di esempi con frazioni contenenti numeri con potenze
1. Ridurre gli esponenti in $\frac $ Risposta: $\frac $.
2. Ridurre gli esponenti in $\frac$. Risposta: $\frac $ o 2x.
3. Riduci gli esponenti a 2/a 3 e a -3/a -4 e portali a un denominatore comune.
a 2 .a -4 è un primo numeratore -2.
a 3 .a -3 è a 0 = 1, il secondo numeratore.
a 3 .a -4 è a -1 , il numeratore comune.
Dopo la semplificazione: a -2 /a -1 e 1/a -1 .
4. Riduci gli esponenti 2a 4 /5a 3 e 2 /a 4 e portali a un denominatore comune.
Risposta: 2a 3 / 5a 7 e 5a 5 / 5a 7 oppure 2a 3 / 5a 2 e 5/5a 2.
5. Moltiplica (a 3 + b)/b 4 per (a - b)/3.
6. Moltiplica (a 5 + 1)/x 2 per (b 2 - 1)/(x + a).
7. Moltiplica b 4 /a -2 per h -3 /x e a n /y -3 .
8. Dividere a 4 /y 3 per a 3 /y 2 . Risposta: a/a.
proprietà del grado
Ti ricordiamo che in questa lezione capiamo proprietà del grado con indicatori naturali e zero. I gradi con indicatori razionali e le loro proprietà saranno discussi nelle lezioni dell'ottavo anno.
Un esponente con esponente naturale ha diverse proprietà importanti che consentono di semplificare i calcoli negli esempi di esponenti.
Proprietà n. 1
Prodotto di poteri
Quando si moltiplicano potenze con la stessa base, la base rimane invariata e si sommano gli esponenti.
a m a n \u003d a m + n, dove "a" è un numero qualsiasi e "m", "n" sono numeri naturali qualsiasi.
Questa proprietà delle potenze influenza anche il prodotto di tre o più potenze.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
(0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
Tieni presente che nella proprietà indicata si trattava solo di moltiplicare le potenze con le stesse basi.. Non si applica alla loro aggiunta.
Non è possibile sostituire la somma (3 3 + 3 2) con 3 5 . Ciò è comprensibile se
calcolare (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 e 3 5 = 243
Proprietà n.2
Titoli privati
Quando si dividono potenze con la stessa base, la base rimane invariata e l'esponente del divisore viene sottratto dall'esponente del dividendo.
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Esempio. Risolvi l'equazione. Usiamo la proprietà dei gradi parziali.
3 8: t = 3 4
Risposta: t = 3 4 = 81
Utilizzando le proprietà n. 1 e n. 2, puoi facilmente semplificare le espressioni ed eseguire calcoli.
- Esempio. Semplifica l'espressione.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
Esempio. Trova il valore di un'espressione utilizzando le proprietà dei gradi.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Si noti che la proprietà 2 riguardava solo la divisione dei poteri con le stesse basi.
Non è possibile sostituire la differenza (4 3 −4 2) con 4 1 . Ciò è comprensibile se calcoli (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 e 4 1 = 4
Proprietà n. 3
Esponenziazione
Quando si eleva una potenza a potenza, la base della potenza rimane invariata e gli esponenti vengono moltiplicati.
(a n) m \u003d a n m, dove "a" è un numero qualsiasi e "m", "n" sono numeri naturali qualsiasi.
Si prega di notare che la proprietà n. 4, come altre proprietà dei gradi, viene applicata anche in ordine inverso.
(a n b n)= (a b) n
Cioè, per moltiplicare i gradi con gli stessi esponenti, puoi moltiplicare le basi e lasciare invariato l'esponente.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1
Negli esempi più complessi, potrebbero esserci casi in cui la moltiplicazione e la divisione devono essere eseguite su potenze con basi ed esponenti diversi. In questo caso, ti consigliamo di fare quanto segue.
Ad esempio, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
Esempio di esponenziazione di una frazione decimale.
4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4
Proprietà 5
Potenza del quoziente (frazioni)
Per elevare un quoziente a una potenza, puoi elevare separatamente il dividendo e il divisore a questa potenza e dividere il primo risultato per il secondo.
(a: b) n \u003d a n: b n, dove "a", "b" sono numeri razionali, b ≠ 0, n è qualsiasi numero naturale.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Ricordiamo che un quoziente può essere rappresentato come una frazione. Pertanto, ci soffermeremo più in dettaglio sull'argomento dell'elevazione di una frazione a potenza nella pagina successiva.
Gradi e Radici
Operazioni con poteri e radici. Laurea con negativo ,
zero e frazionario indicatore. Di espressioni che non hanno senso.
Operazioni con i gradi.
1. Quando si moltiplicano le potenze con la stessa base, i loro indicatori vengono sommati:
Sono · un n = un m + n .
2. Quando si dividono i gradi con la stessa base, i loro indicatori sottratto .
3. Il grado del prodotto di due o più fattori è uguale al prodotto dei gradi di questi fattori.
4. Il grado del rapporto (frazione) è uguale al rapporto tra i gradi del dividendo (numeratore) e del divisore (denominatore):
(a/b) n = un n / b n .
5. Quando si eleva un grado a una potenza, i loro indicatori vengono moltiplicati:
Tutte le formule di cui sopra vengono lette ed eseguite in entrambe le direzioni da sinistra a destra e viceversa.
ESEMPIO (2 3 5 / 15)² = 2² 3² 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .
Operazioni con le radici. In tutte le formule seguenti, il simbolo significa radice aritmetica(l'espressione radicale è positiva).
1. La radice del prodotto di più fattori è uguale al prodotto delle radici di questi fattori:
2. La radice del rapporto è uguale al rapporto tra le radici del dividendo e del divisore:
3. Quando si eleva una radice a potenza, è sufficiente elevare a questa potenza numero della radice:
4. Se aumenti il grado della radice di m volte e contemporaneamente aumenti il numero della radice al m -esimo grado, il valore della radice non cambierà:
5. Se riduci il grado della radice di m volte e allo stesso tempo estrai la radice dell'm-esimo grado dal numero radicale, il valore della radice non cambierà:
Estensione del concetto di laurea. Finora abbiamo considerato solo i titoli di studio con indicatore naturale; ma possono portare anche operazioni con poteri e radici negativo, zero E frazionario indicatori. Tutti questi esponenti richiedono una definizione aggiuntiva.
Grado con esponente negativo. La potenza di un numero con esponente negativo (intero) è definita come quella divisa per la potenza dello stesso numero con esponente uguale al valore assoluto dell'esponente negativo:
Ora la formula Sono : UN = un m-n può essere utilizzato non solo per M, più di N, ma anche a M, meno di N .
ESEMPIO UN 4: UN 7 = un 4 — 7 = un — 3 .
Se vogliamo la formula Sono : UN = Sono — N era giusto m = n, abbiamo bisogno di una definizione di grado zero.
Grado con esponente zero. Il grado di qualsiasi numero diverso da zero con esponente zero è 1.
ESEMPI. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Un grado con un esponente frazionario. Per elevare un numero reale a alla potenza m / n, è necessario estrarre la radice dell'ennesimo grado dalla potenza m-esima di questo numero a:
Di espressioni che non hanno senso. Esistono molte di queste espressioni.
Dove UN ≠ 0 , non esiste.
Infatti, se lo assumiamo Xè un certo numero, quindi, secondo la definizione dell'operazione di divisione, abbiamo: UN = 0· X, cioè. UN= 0, che contraddice la condizione: UN ≠ 0
— qualsiasi numero.
Infatti, se assumiamo che questa espressione sia uguale a un numero X, allora secondo la definizione dell'operazione di divisione abbiamo: 0 = 0 X. Ma questa uguaglianza vale per qualsiasi numero x, il che era da dimostrare.
0 0 — qualsiasi numero.
Soluzione Consideriamo tre casi principali:
1) X = 0 – questo valore non soddisfa questa equazione
2) quando X> 0 otteniamo: x/x= 1, cioè 1 = 1, da cui segue,
Che cosa X- qualsiasi numero; ma tenendo conto di ciò
il nostro caso X> 0 , la risposta è X > 0 ;
Regole per moltiplicare le potenze con basi diverse
LAUREA CON INDICATORE RAZIONALE,
FUNZIONE POTENZA IV
§ 69. Moltiplicazione e divisione dei poteri con le stesse basi
Teorema 1. Per moltiplicare le potenze con le stesse basi basta sommare gli esponenti, e lasciare la base uguale, cioè
Prova. Per definizione di laurea
2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.
Abbiamo considerato il prodotto di due potenze. In effetti, la proprietà dimostrata è vera per qualsiasi numero di potenze con le stesse basi.
Teorema 2. Per dividere i poteri con le stesse basi, quando l'indicatore del dividendo è maggiore dell'indicatore del divisore, basta sottrarre l'indicatore del divisore dall'indicatore del dividendo, e lasciare la base uguale, cioè A t > n
(UN =/= 0)
Prova. Ricordiamo che il quoziente di divisione di un numero per un altro è il numero che, moltiplicato per un divisore, dà il dividendo. Pertanto, dimostrare la formula , dove UN =/= 0, è come dimostrare la formula
Se t > n , quindi il numero t-p sarà naturale; quindi, per il Teorema 1
Il Teorema 2 è dimostrato.
Si noti che la formula
dimostrato da noi solo presupponendo che t > n . Pertanto, da quanto dimostrato non è ancora possibile trarre, ad esempio, le seguenti conclusioni:
Inoltre non abbiamo ancora considerato i gradi con esponente negativo, e non sappiamo ancora quale significato si possa dare all’espressione 3 - 2 .
Teorema 3. Per elevare una potenza a potenza è sufficiente moltiplicare gli esponenti, lasciando la stessa base dell'esponente, questo è
Prova. Utilizzando la definizione di grado e il Teorema 1 di questa sezione, otteniamo:
Q.E.D.
Ad esempio, (2 3) 2 = 2 6 = 64;
518 (Orale) Determinare X dalle equazioni:
1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 X ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 X ;
2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 X ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 X .
519. (Adeguato) Semplificare:
520. (Rettificato) Semplificare:
521. Presentare queste espressioni come gradi con le stesse basi:
1) 32 e 64; 3) 85 e 163; 5) 4 100 e 32 50;
2) -1000 e 100; 4) -27 e -243; 6) 81 75 8 200 e 3 600 4 150.
Se devi elevare un numero specifico a una potenza, puoi usare . Ora daremo uno sguardo più approfondito proprietà delle potenze.
Numeri esponenziali aprono grandi possibilità, ci permettono di convertire la moltiplicazione in addizione, e l’addizione è molto più semplice della moltiplicazione.
Ad esempio, dobbiamo moltiplicare 16 per 64. Il prodotto della moltiplicazione di questi due numeri è 1024. Ma 16 è 4x4 e 64 è 4x4x4. Quindi 16 volte 64=4x4x4x4x4 che è anche 1024.
Il numero 16 può anche essere rappresentato come 2x2x2x2 e 64 come 2x2x2x2x2x2 e se moltiplichiamo otteniamo nuovamente 1024.
Ora usiamo la regola. 16=4 2 , o 2 4 , 64=4 3 , o 2 6 , mentre 1024=6 4 =4 5 , o 2 10 .
Pertanto il nostro problema può essere scritto in un altro modo: 4 2 x4 3 =4 5 oppure 2 4 x2 6 =2 10, e ogni volta otteniamo 1024.
Possiamo risolvere una serie di esempi simili e vedere che la moltiplicazione di numeri con potenze si riduce a somma di esponenti, o un esponente, ovviamente, a condizione che le basi dei fattori siano uguali.
Quindi, senza moltiplicare, possiamo dire immediatamente che 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20.
Questa regola vale anche quando si dividono i numeri per potenze, ma in questo caso, ad es l'esponente del divisore viene sottratto dall'esponente del dividendo. Quindi, 2 5:2 3 =2 2 , che nei numeri ordinari è uguale a 32:8=4, cioè 2 2 . Riassumiamo:
a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, dove m e n sono numeri interi.
A prima vista, potrebbe sembrare così Moltiplicazione e divisione di numeri con potenze non molto comodo, perché prima bisogna rappresentare il numero in forma esponenziale. Non è difficile rappresentare i numeri 8 e 16 in questa forma, cioè 2 3 e 2 4, ma come farlo con i numeri 7 e 17? O cosa fare in quei casi in cui il numero può essere rappresentato in forma esponenziale, ma le basi delle espressioni esponenziali dei numeri sono molto diverse. Ad esempio, 8×9 è 2 3 x 3 2 , nel qual caso non possiamo sommare gli esponenti. Né 2 5 né 3 5 è la risposta, né lo è la risposta tra i due.
Allora vale la pena preoccuparsi di questo metodo? Ne vale sicuramente la pena. Offre enormi vantaggi, soprattutto per calcoli complessi e dispendiosi in termini di tempo.
Ovviamente i numeri dotati di potenze possono essere sommati come le altre quantità , sommandoli uno ad uno con i relativi segni.
Quindi, la somma di a 3 e b 2 è a 3 + b 2 .
La somma di a 3 - b n e h 5 -d 4 è a 3 - b n + h 5 - d 4 .
Probabilità le stesse potenze delle stesse variabili possono essere aggiunti o sottratti.
Quindi, la somma di 2a 2 e 3a 2 è 5a 2 .
È anche ovvio che se prendiamo due quadrati a, o tre quadrati a, o cinque quadrati a.
Ma gradi varie variabili E vari gradi variabili identiche, devono essere aggiunti aggiungendoli ai loro segni.
Quindi, la somma di a 2 e a 3 è la somma di a 2 + a 3 .
È ovvio che il quadrato di a e il cubo di a non sono né il doppio del quadrato di a, ma il doppio del cubo di a.
La somma di a 3 b n e 3a 5 b 6 è a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Sottrazione le potenze si eseguono allo stesso modo dell'addizione, tranne che i segni del sottraendo devono essere cambiati di conseguenza.
O:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Moltiplicazione della potenza
I numeri con potenze possono essere moltiplicati come le altre quantità scrivendoli uno dopo l'altro, con o senza il segno di moltiplicazione tra di loro.
Quindi, il risultato della moltiplicazione di a 3 per b 2 è a 3 b 2 o aaabb.
O:
x -3 ⋅ un m = un m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Il risultato nell'ultimo esempio può essere ordinato aggiungendo le stesse variabili.
L'espressione assumerà la forma: a 5 b 5 y 3 .
Confrontando diversi numeri (variabili) con potenze, possiamo vedere che se ne moltiplicano due qualsiasi, il risultato è un numero (variabile) con una potenza pari a somma gradi di termini.
Quindi, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Qui 5 è la potenza del risultato della moltiplicazione, pari a 2+3, la somma delle potenze dei termini.
Quindi, a n.a m = a m+n.
Per a n , a viene preso come fattore tante volte quanto è la potenza di n;
E a m , si prende come fattore tante volte quanto è uguale il grado m;
Ecco perché, le potenze con la stessa base possono essere moltiplicate sommando gli esponenti.
Quindi, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . E x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
O:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b2 y3 ⋅ b4 y = b6 y4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Moltiplica (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Risposta: x 4 - y 4.
Moltiplica (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Questa regola vale anche per i numeri i cui esponenti sono: negativo.
1. Quindi, a -2 .a -3 = a -5 . Questo può essere scritto come (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. a-n.a-m = a-n-m.
3. a -n .a m = a m-n .
Se si moltiplicano a + b per a - b, il risultato sarà a 2 - b 2: cioè
Il risultato della moltiplicazione della somma o della differenza di due numeri è uguale alla somma o alla differenza dei loro quadrati.
Se la somma e la differenza di due numeri aumenta a piazza, il risultato sarà uguale alla somma o alla differenza di questi numeri in il quarto grado.
Quindi, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .
Divisione dei poteri
I numeri dotati di potenze possono essere divisi come gli altri numeri sottraendo al divisore o ponendoli sotto forma di frazione.
Quindi a 3 b 2 diviso per b 2 è a 3 .
O:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$
Scrivere un 5 diviso per 3 assomiglia a $\frac(a^5)(a^3)$. Ma questo è uguale a 2 . In una serie di numeri
un +4, un +3, un +2, un +1, un 0, un -1, un -2, un -3, un -4.
qualsiasi numero può essere diviso per un altro e l'esponente sarà uguale a differenza indicatori dei numeri divisibili.
Quando si dividono potenze con la stessa base si sottraggono gli esponenti..
Quindi, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Cioè $\frac(yyy)(yy) = y$.
E a n+1:a = a n+1-1 = a n . Cioè $\frac(aa^n)(a) = a^n$.
O:
a2m: aa = aa
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
La regola vale anche per i numeri con negativo valori dei gradi.
Il risultato della divisione a -5 per -3 è a -2 .
Inoltre, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 oppure $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$
È necessario padroneggiare molto bene la moltiplicazione e la divisione dei poteri, poiché tali operazioni sono molto utilizzate in algebra.
Esempi di risoluzione di esempi con frazioni contenenti numeri con potenze
1. Riduci gli esponenti in $\frac(5a^4)(3a^2)$ Risposta: $\frac(5a^2)(3)$.
2. Riduci gli esponenti in $\frac(6x^6)(3x^5)$. Risposta: $\frac(2x)(1)$ o 2x.
3. Riduci gli esponenti a 2/a 3 e a -3/a -4 e portali a un denominatore comune.
a 2 .a -4 è un primo numeratore -2.
a 3 .a -3 è a 0 = 1, il secondo numeratore.
a 3 .a -4 è a -1 , il numeratore comune.
Dopo la semplificazione: a -2 /a -1 e 1/a -1 .
4. Riduci gli esponenti 2a 4 /5a 3 e 2 /a 4 e portali a un denominatore comune.
Risposta: 2a 3 / 5a 7 e 5a 5 / 5a 7 oppure 2a 3 / 5a 2 e 5/5a 2.
5. Moltiplica (a 3 + b)/b 4 per (a - b)/3.
6. Moltiplica (a 5 + 1)/x 2 per (b 2 - 1)/(x + a).
7. Moltiplica b 4 /a -2 per h -3 /x e a n /y -3 .
8. Dividere a 4 /y 3 per a 3 /y 2 . Risposta: a/a.
9. Dividere (h 3 - 1)/d 4 per (d n + 1)/h.
Nell'ultimo video tutorial, abbiamo appreso che il grado di una certa base è un'espressione che è il prodotto della base per se stessa, preso in una quantità pari all'esponente. Studiamo ora alcune delle proprietà e delle operazioni più importanti delle potenze.
Ad esempio, moltiplichiamo due potenze diverse con la stessa base:
Diamo un'occhiata a questo pezzo nella sua interezza:
(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32
Calcolando il valore di questa espressione, otteniamo il numero 32. D'altra parte, come si vede dallo stesso esempio, 32 può essere rappresentato come un prodotto della stessa base (due), preso 5 volte. E infatti, se conti, allora:
Pertanto si può tranquillamente concludere che:
(2) 3 * (2) 2 = (2) 5
Questa regola funziona con successo per qualsiasi indicatore e motivo. Questa proprietà di moltiplicazione del grado deriva dalla regola di conservazione del significato delle espressioni durante le trasformazioni nel prodotto. Per qualsiasi base a, il prodotto di due espressioni (a) x e (a) y è uguale a a (x + y). In altre parole, quando si producono espressioni con la stessa base, il monomio finale ha un grado totale formato sommando il grado della prima e della seconda espressione.
La regola presentata funziona benissimo anche quando si moltiplicano più espressioni. La condizione principale è che le basi per tutti siano le stesse. Per esempio:
(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8
È impossibile aggiungere gradi e in generale eseguire azioni congiunte di potere con due elementi dell'espressione se le loro basi sono diverse.
Come mostra il nostro video, a causa della somiglianza dei processi di moltiplicazione e divisione, le regole per aggiungere potenze durante un prodotto si trasferiscono perfettamente alla procedura di divisione. Considera questo esempio:
Effettuiamo una trasformazione termine per termine dell'espressione in una forma completa e riduciamo gli stessi elementi nel dividendo e nel divisore:
(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4
Il risultato finale di questo esempio non è così interessante, perché già nel corso della sua soluzione è chiaro che il valore dell'espressione è uguale al quadrato di due. Ed è il due che si ottiene sottraendo il grado della seconda espressione dal grado della prima.
Per determinare il grado del quoziente è necessario sottrarre il grado del divisore dal grado del dividendo. La regola funziona con la stessa base per tutti i suoi valori e per tutte le potenze naturali. In forma astratta abbiamo:
(a) x / (a) y = (a) x - y
La definizione del grado zero segue dalla regola di dividere basi identiche con potenze. Ovviamente la seguente espressione è:
(a) x / (a) x \u003d (a) (x - x) \u003d (a) 0
Se invece dividiamo in modo più visivo, otteniamo:
(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1
Riducendo tutti gli elementi visibili di una frazione si ottiene sempre l'espressione 1/1, cioè uno. Pertanto, è generalmente accettato che qualsiasi base elevata a zero sia uguale a uno:
Indipendentemente dal valore di a.
Tuttavia, sarebbe assurdo se 0 (che dà comunque 0 per qualsiasi moltiplicazione) fosse in qualche modo uguale a uno, quindi un'espressione come (0) 0 (da zero al grado zero) semplicemente non ha senso, e la formula (a) 0 = 1 aggiungi una condizione: "se a non è uguale a 0".
Facciamo l'esercizio. Troviamo il valore dell'espressione:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11
Dato che la base è la stessa ovunque ed è uguale a 34, il valore finale avrà la stessa base con un grado (secondo le regole sopra indicate):
In altre parole:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1
Risposta: L'espressione è uguale a uno.
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