Esempi sono gli intervalli di funzioni crescenti e decrescenti. Funzioni crescenti e decrescenti sull'intervallo, estremi

Il lavoro di laurea sotto forma di esame di stato unificato per gli alunni di 11 anni contiene necessariamente compiti per il calcolo dei limiti, gli intervalli di diminuzione e aumento della derivata di una funzione, la ricerca di punti estremi e la tracciatura di grafici. Una buona conoscenza di questo argomento consente di rispondere correttamente a diverse domande dell'esame e di non incontrare difficoltà nell'ulteriore formazione professionale.

I fondamenti del calcolo differenziale sono uno degli argomenti principali della matematica della scuola moderna. Studia l'uso della derivata per studiare le dipendenze delle variabili: è attraverso la derivata che si può analizzare l'aumento e la diminuzione di una funzione senza fare riferimento al disegno.

La preparazione completa dei laureati per superare l'esame sul portale educativo "Shkolkovo" aiuterà a comprendere a fondo i principi di differenziazione - a comprendere la teoria in dettaglio, studiare esempi di risoluzione di problemi tipici e cimentarsi in un lavoro indipendente. Ti aiuteremo a colmare le lacune nella conoscenza - per chiarire la tua comprensione dei concetti lessicali dell'argomento e delle dipendenze delle quantità. Gli studenti saranno in grado di ripetere come trovare intervalli di monotonicità, ovvero l'aumento o la diminuzione della derivata di una funzione su un determinato intervallo, quando i punti di confine sono inclusi e non inclusi negli intervalli trovati.

Prima di iniziare la soluzione diretta dei problemi tematici, ti consigliamo di andare prima alla sezione "Riferimenti teorici" e ripetere le definizioni di concetti, regole e formule tabulari. Qui puoi anche leggere come trovare e registrare ciascun intervallo di funzioni crescenti e decrescenti sul grafico della derivata.

Tutte le informazioni offerte sono presentate nella forma più accessibile per essere comprese praticamente da zero. Il sito fornisce materiali per la percezione e l'assimilazione in diverse forme: lettura, visione di video e formazione diretta sotto la guida di insegnanti esperti. Gli educatori professionisti ti diranno in dettaglio come trovare gli intervalli di derivazione crescente e decrescente di una funzione utilizzando metodi analitici e grafici. Durante i webinar sarà possibile porre qualsiasi domanda di interesse sia teorico che di risoluzione di problemi specifici.

Ricordando i punti principali dell'argomento, guarda gli esempi di aumento della derivata di una funzione, simili ai compiti delle opzioni dell'esame. Per consolidare ciò che hai imparato, guarda il "Catalogo": qui troverai esercizi pratici per il lavoro indipendente. I compiti nella sezione sono selezionati a diversi livelli di complessità, tenendo conto dello sviluppo delle competenze. Per ognuno di essi, ad esempio, sono allegati gli algoritmi di soluzione e le risposte corrette.

Scegliendo la sezione "Costruttore", gli studenti potranno esercitarsi nello studio dell'aumento e della diminuzione della derivata di una funzione su versioni reali dell'USE, costantemente aggiornate con le ultime modifiche e innovazioni.

Sulla base di segni sufficienti si trovano intervalli di aumento e diminuzione della funzione.

Ecco le diciture dei cartelli:

• se la derivata della funzione y = f(x) positivo per qualsiasi X dall'intervallo X, allora la funzione aumenta di X;
• se la derivata della funzione y = f(x) negativo per qualsiasi X dall'intervallo X, allora la funzione diminuisce di X.

Pertanto, per determinare gli intervalli di incremento e decremento di una funzione, è necessario:

• trovare l'ambito della funzione;

• trovare la derivata di una funzione;

• agli intervalli risultanti aggiungi i punti di confine in cui la funzione è definita e continua.

Consideriamo un esempio per chiarire l'algoritmo.

Esempio.

Trova gli intervalli di aumento e diminuzione della funzione .

Soluzione.

Il primo passo è trovare l'ambito della definizione della funzione. Nel nostro esempio, l'espressione al denominatore non dovrebbe svanire, quindi, .

Passiamo alla funzione derivativa:

Per determinare gli intervalli di aumento e diminuzione della funzione con un criterio sufficiente, risolviamo le disuguaglianze E sul dominio di definizione. Utilizziamo una generalizzazione del metodo degli intervalli. L'unica vera radice del numeratore è x=2, e il denominatore svanisce in x=0. Questi punti dividono il dominio di definizione in intervalli in cui la derivata della funzione conserva il suo segno. Segniamo questi punti sulla linea numerica. Con più e meno indichiamo condizionalmente gli intervalli su cui la derivata è positiva o negativa. Le frecce sottostanti mostrano schematicamente l'incremento o il decremento della funzione sull'intervallo corrispondente.

Così, E .

Al punto x=2 la funzione è definita e continua, quindi va sommata sia all'intervallo crescente che a quello decrescente. Al punto x=0 la funzione non è definita, quindi questo punto non è compreso negli intervalli richiesti.

Presentiamo il grafico della funzione per confrontare con esso i risultati ottenuti.

Risposta: la funzione aumenta con , diminuisce nell'intervallo (0; 2] .

- Punti estremi di una funzione di una variabile. Condizioni sufficienti per un estremo

Sia la funzione f(x), definita e continua nell'intervallo , non monotona in esso. Esistono parti [ , ] dell'intervallo in cui i valori massimo e minimo vengono raggiunti dalla funzione nel punto interno, ad es. tra i.

Si dice che la funzione f(x) ha un massimo (o un minimo) in un punto se questo punto può essere circondato da un intorno (x 0 - ,x 0 +) contenuto nell'intervallo in cui è data la funzione, tale che la disuguaglianza è soddisfatta in tutti i suoi punti.

f(x)< f(x 0)(или f(x)>f(x0))

In altre parole, il punto x 0 attribuisce alla funzione f (x) un massimo (minimo) se il valore f (x 0) risulta essere il più grande (il più piccolo) dei valori assunti dalla funzione in alcuni (a meno piccolo) intorno a questo punto. Si noti che la definizione stessa di massimo (minimo) presuppone che la funzione sia data su entrambi i lati del punto x 0 .

Se esiste un tale intorno all'interno del quale (per x=x 0) la disuguaglianza rigorosa

f(x) f(x0)

poi dicono che la funzione ha il suo massimo (minimo) nel punto x 0, altrimenti ne ha uno improprio.

Se la funzione ha massimi nei punti x 0 e x 1, allora, applicando il secondo teorema di Weierstrass all'intervallo, vediamo che la funzione raggiunge il suo valore più piccolo in questo intervallo in un punto x 2 tra x 0 e x 1 e ha un minimo lì. Allo stesso modo, tra due minimi ci sarà sicuramente un massimo. Nel caso più semplice (e, in pratica, il più importante), quando una funzione ha generalmente solo un numero finito di massimi e minimi, questi si alternano semplicemente.

Si noti che per designare un massimo o un minimo esiste anche un termine che li unisce: extremum.

I concetti di massimo (max f(x)) e minimo (min f(x)) sono proprietà locali della funzione e hanno luogo in un certo punto x 0 . I concetti di valore massimo (sup f(x)) e minimo (inf f(x)) si riferiscono a un segmento finito e sono proprietà globali di una funzione su un segmento.

La Figura 1 mostra che nei punti x 1 e x 3 ci sono dei massimi locali e nei punti x 2 e x 4 ci sono dei minimi locali. Tuttavia, la funzione raggiunge il valore più basso nel punto x=a e il valore più alto nel punto x=b.

Poniamoci il problema di trovare tutti i valori dell'argomento che forniscono un estremo alla funzione. Nel risolverlo, il derivato giocherà il ruolo principale.

Supponiamo innanzitutto che per la funzione f(x) nell'intervallo (a,b) esista una derivata finita. Se nel punto x 0 la funzione ha un estremo, quindi, applicando all'intervallo (x 0 -, x 0 +), discusso sopra, il teorema di Fermat, concludiamo che f (x) \u003d 0 questo è il necessario condizione per l'estremo. L'estremo dovrebbe essere cercato solo nei punti in cui la derivata è pari a zero.

Non si creda però che ogni punto in cui la derivata è uguale a zero consegni un estremo alla funzione: la condizione necessaria appena indicata non è sufficiente.

Estremi di funzione

Definizione 2

Un punto $x_0$ è detto punto di massimo della funzione $f(x)$ se esiste un intorno di questo punto tale che per tutti gli $x$ di questo intorno vale la disuguaglianza $f(x)\le f(x_0 )$ è soddisfatto.

Definizione 3

Un punto $x_0$ è detto punto massimo della funzione $f(x)$ se esiste un intorno di questo punto tale che per tutti gli $x$ di questo intorno vale la disuguaglianza $f(x)\ge f(x_0) $ è soddisfatto.

Il concetto di estremo di una funzione è strettamente correlato al concetto di punto critico di una funzione. Introduciamo la sua definizione.

Definizione 4

$x_0$ è detto punto critico della funzione $f(x)$ se:

1) $x_0$ - punto interno del dominio di definizione;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ o non esiste.

Per il concetto di estremo si possono formulare teoremi sulle condizioni sufficienti e necessarie per la sua esistenza.

Teorema 2

Condizione estrema sufficiente

Sia il punto $x_0$ critico per la funzione $y=f(x)$ e si trovi nell'intervallo $(a,b)$. Sia su ciascun intervallo $\left(a,x_0\right)\ e\ (x_0,b)$ la derivata $f"(x)$ che esista e mantenga un segno costante. Quindi:

1) Se sull'intervallo $(a,x_0)$ la derivata $f"\left(x\right)>0$, e sull'intervallo $(x_0,b)$ la derivata $f"\left(x\ Giusto)

2) Se la derivata $f"\left(x\right)0$ è nell'intervallo $(a,x_0)$, allora il punto $x_0$ è il punto minimo per questa funzione.

3) Se sia sull'intervallo $(a,x_0)$ che sull'intervallo $(x_0,b)$ la derivata $f"\left(x\right) >0$ oppure la derivata $f"\left(x \Giusto)

Questo teorema è illustrato nella Figura 1.

Figura 1. Condizione sufficiente per l'esistenza degli estremi

Esempi di estremi (Fig. 2).

Figura 2. Esempi di punti estremi

La regola per esaminare una funzione per un estremo

2) Trovare la derivata $f"(x)$;

7) Trarre conclusioni sulla presenza di massimi e minimi su ciascun intervallo, utilizzando il Teorema 2.

Funzione Ascendente e Decrescente

Introduciamo innanzitutto le definizioni di funzione crescente e decrescente.

Definizione 5

Una funzione $y=f(x)$ definita su un intervallo $X$ si dice crescente se per qualsiasi punto $x_1,x_2\in X$ per $x_1

Definizione 6

Una funzione $y=f(x)$ definita su un intervallo $X$ si dice decrescente se per qualsiasi punto $x_1,x_2\in X$ per $x_1f(x_2)$.

Esaminare una funzione per aumentare e diminuire

Puoi studiare le funzioni di aumento e diminuzione utilizzando la derivata.

Per esaminare una funzione per intervalli di aumento e diminuzione, è necessario effettuare le seguenti operazioni:

1) Trovare il dominio della funzione $f(x)$;

2) Trovare la derivata $f"(x)$;

3) Trovare i punti in cui l'uguaglianza $f"\left(x\right)=0$;

4) Trovare i punti in cui $f"(x)$ non esiste;

5) Segnare sulla retta coordinata tutti i punti trovati ed il dominio della funzione data;

6) Determinare il segno della derivata $f"(x)$ su ciascun intervallo risultante;

7) Concludi: negli intervalli in cui $f"\left(x\right)0$ la funzione aumenta.

Esempi di problemi per lo studio di funzioni crescenti, decrescenti e presenza di punti estremi

Esempio 1

Indagare la funzione di aumento e diminuzione e la presenza di punti di massimo e minimo: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

Poiché i primi 6 punti sono uguali, li disegneremo per primi.

1) Dominio di definizione: tutti i numeri reali;

2) $f"\sinistra(x\destra)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\sinistra(x\destra)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ esiste in tutti i punti del dominio di definizione;

5) Linea coordinata:

Figura 3

6) Determinare il segno della derivata $f"(x)$ su ciascun intervallo:

\ \}