Come trovare le coordinate dei punti di intersezione delle rette. I problemi più semplici con una retta su un piano

Linea perpendicolare

Questo compito è probabilmente uno dei più popolari e richiesti nei libri di testo scolastici. I compiti basati su questo tema sono molteplici. Questa è la definizione del punto di intersezione di due linee, questa è la definizione dell'equazione di una linea retta che passa per un punto della linea originale con un qualsiasi angolo.

Tratteremo questo argomento utilizzando nei nostri calcoli i dati ottenuti utilizzando

Fu lì che furono considerate la trasformazione dell'equazione generale di una retta in un'equazione con pendenza e viceversa, e la determinazione dei rimanenti parametri di una retta secondo determinate condizioni.

Cosa ci manca per risolvere i problemi a cui è dedicata questa pagina?

1. Formule per il calcolo di uno degli angoli tra due linee che si intersecano.

Se abbiamo due rette date dalle equazioni:

quindi uno degli angoli viene calcolato in questo modo:

2. Equazione di una retta con pendenza passante per un dato punto

Dalla formula 1 possiamo vedere due stati di confine

a) quando allora e quindi queste due rette date sono parallele (o coincidono)

b) quando , allora , e quindi queste rette sono perpendicolari, cioè si intersecano ad angolo retto.

Quali possono essere i dati iniziali per risolvere tali problemi, ad eccezione di una determinata linea retta?

Un punto su una linea e l'angolo al quale la seconda linea la interseca

La seconda equazione della retta

Quali compiti può risolvere un bot?

1. Sono date due rette (esplicitamente o implicitamente, ad esempio, da due punti). Calcola il punto di intersezione e gli angoli ai quali si intersecano.

2. Data una retta, un punto su una retta e un angolo. Determinare l'equazione di una retta che ne interseca una data con un angolo specificato

Esempi

Due rette sono date da equazioni. Trova il punto di intersezione di queste linee e gli angoli in cui si intersecano

riga_p A=11;B=-5;C=6,k=3/7;b=-5

Otteniamo il seguente risultato

Equazione della prima riga

y = 2,2 x + (1,2)

Equazione della seconda riga

y = 0,4285714285714 x + (-5)

Angolo di intersezione di due linee (in gradi)

-42.357454705937

Punto di intersezione di due linee

x=-3,5

y=-6,5

Non dimenticare che i parametri delle due righe sono separati da una virgola e i parametri di ciascuna riga da un punto e virgola.

La retta passa per due punti (1:-4) e (5:2). Trova l'equazione di una linea retta che passa per il punto (-2:-8) e interseca la linea originale con un angolo di 30 gradi.

Una linea retta ci è nota perché sono noti i due punti per i quali passa.

Resta da determinare l'equazione della seconda retta. Un punto ci è noto e invece del secondo viene indicato l'angolo in cui la prima linea interseca la seconda.

Tutto sembra essere noto, ma la cosa principale qui è non sbagliarsi. Stiamo parlando dell'angolo (30 gradi) non tra l'asse x e la linea, ma tra la prima e la seconda linea.

Per questo pubblichiamo così. Determiniamo i parametri della prima linea e scopriamo con quale angolo interseca l'asse x.

linea xa=1;xb=5;ya=-4;yb=2

Equazione generale Ax+By+C = 0

Coefficiente A = -6

Fattore B = 4

Coefficiente C = 22

Coefficiente a= 3,6666666666667

Coefficiente b = -5,5

Coefficiente k = 1,5

Angolo di inclinazione rispetto all'asse (in gradi) f = 56,309932474019

Coefficiente p = 3,0508510792386

Coefficiente q = 2,5535900500422

Distanza tra i punti=7.211102550928

Vediamo che la prima linea attraversa l'asse ad angolo 56.309932474019 gradi.

I dati di origine non dicono esattamente come la seconda linea interseca la prima. Dopotutto, è possibile tracciare due linee che soddisfano le condizioni, la prima ruotata di 30 gradi in senso orario e la seconda di 30 gradi in senso antiorario.

Contiamoli

Se la seconda linea viene ruotata di 30 gradi IN SENSO ANTIORARIO, la seconda linea avrà un grado di intersezione con l'asse x 30+56.309932474019 = 86 .309932474019 gradi

riga_p xa=-2;ya=-8;f=86.309932474019

Parametri in linea retta in base ai parametri specificati

Equazione generale Ax+By+C = 0

Coefficiente A = 23,011106998916

Fattore B = -1,4840558255286

Coefficiente C = 34,149767393603

Equazione di una retta in segmenti x/a+y/b = 1

Coefficiente a= -1,4840558255286

Coefficiente b = 23,011106998916

Equazione di una retta con coefficiente angolare y = kx + b

Coefficiente k = 15,50553499458

Angolo di inclinazione rispetto all'asse (in gradi) f = 86,309932474019

Equazione normale della retta x*cos(q)+y*sin(q)-p = 0

Coefficiente p = -1,4809790664999

Coefficiente q = 3,0771888256405

Distanza tra i punti=23.058912962428

Distanza dal punto alla linea li =

cioè, la nostra equazione di seconda riga è y= 15.505553499458x+ 23.011106998916

Siano date due rette e occorre trovare il loro punto di intersezione. Poiché questo punto appartiene a ciascuna delle due rette date, le sue coordinate devono soddisfare sia l'equazione della prima retta che quella della seconda retta.

Pertanto, per trovare le coordinate del punto di intersezione di due linee, è necessario risolvere il sistema di equazioni

Esempio 1. Trova il punto di intersezione delle linee e

Soluzione. Troveremo le coordinate del punto di intersezione desiderato risolvendo il sistema di equazioni

Il punto di intersezione M ha coordinate

Mostriamo come costruire una linea retta dalla sua equazione. Per tracciare una linea è sufficiente conoscere due dei suoi punti. Per tracciare ciascuno di questi punti, diamo un valore arbitrario a una delle sue coordinate, e poi dall'equazione troviamo il valore corrispondente dell'altra coordinata.

Se nell'equazione generale di una linea retta entrambi i coefficienti alle coordinate attuali non sono uguali a zero, per costruire questa linea retta è meglio trovare i punti della sua intersezione con gli assi delle coordinate.

Esempio 2. Costruisci una linea retta.

Soluzione. Trova il punto di intersezione di questa linea con l'asse x. Per fare ciò, risolviamo insieme le loro equazioni:

e otteniamo . È stato così trovato il punto M (3; 0) dell'intersezione di questa retta con l'asse delle ascisse (Fig. 40).

Risolvere quindi congiuntamente l'equazione della retta data e l'equazione dell'asse y

troviamo il punto di intersezione della linea con l'asse y. Infine, costruiamo una retta dai suoi due punti M e

Oh-oh-oh-oh-oh ... beh, è metallico, come se leggessi la frase da solo =) Ma poi il relax aiuta, soprattutto perché oggi ho comprato gli accessori adatti. Passiamo quindi alla prima sezione, spero che entro la fine dell'articolo manterrò l'umore allegro.

Disposizione reciproca di due rette

Il caso in cui la sala canta in coro. Due righe possono:

1) corrispondenza;

2) essere parallelo: ;

3) oppure si intersecano in un unico punto: .

Aiuto per i manichini : ricordatevi il segno matematico dell'intersezione, si verificherà molto spesso. La voce significa che la linea si interseca con la linea nel punto.

Come determinare la posizione relativa di due linee?

Partiamo dal primo caso:

Due rette coincidono se e solo se i rispettivi coefficienti sono proporzionali, cioè esiste un numero "lambda" tale che le uguaglianze

Consideriamo le linee rette e componiamo tre equazioni dai coefficienti corrispondenti: . Da ciascuna equazione segue che, quindi, queste linee coincidono.

Infatti, se tutti i coefficienti dell'equazione moltiplicare per -1 (cambiare segno) e tutti i coefficienti dell'equazione riduci di 2, ottieni la stessa equazione: .

Il secondo caso in cui le rette sono parallele:

Due rette sono parallele se e solo se i loro coefficienti alle variabili sono proporzionali: , Ma.

Ad esempio, consideriamo due linee rette. Controlliamo la proporzionalità dei coefficienti corrispondenti per le variabili:

Tuttavia è chiaro che.

E il terzo caso, quando le linee si intersecano:

Due rette si intersecano se e solo se i loro coefficienti delle variabili NON sono proporzionali, cioè NON esiste un valore di "lambda" tale che le uguaglianze siano soddisfatte

Quindi, per le linee rette comporremo un sistema:

Dalla prima equazione segue che , e dalla seconda equazione: , quindi, il sistema è incoerente(nessuna soluzione). Pertanto, i coefficienti delle variabili non sono proporzionali.

Conclusione: le linee si intersecano

Nei problemi pratici può essere utilizzato lo schema di soluzione appena considerato. A proposito, è molto simile all'algoritmo per controllare la collinearità dei vettori, che abbiamo considerato nella lezione. Il concetto di (non) dipendenza lineare dei vettori. Base vettoriale. Ma esiste un pacchetto più civile:

Esempio 1

Scopri la posizione relativa delle linee:

Soluzione basato sullo studio dei vettori direttivi delle rette:

a) Dalle equazioni troviamo i vettori di direzione delle rette: .

, quindi i vettori non sono collineari e le linee si intersecano.

Per ogni evenienza, metterò una pietra con i puntatori all'incrocio:

Gli altri saltano sopra la pietra e seguono, direttamente verso Kashchei l'Immortale =)

b) Trovare i vettori di direzione delle rette:

Le linee hanno lo stesso vettore di direzione, il che significa che sono parallele o uguali. Qui il determinante non è necessario.

Ovviamente i coefficienti delle incognite sono proporzionali, mentre .

Scopriamo se l'uguaglianza è vera:

Così,

c) Trovare i vettori di direzione delle rette:

Calcoliamo il determinante, composto dalle coordinate di questi vettori:
, quindi, i vettori di direzione sono collineari. Le linee sono parallele o coincidono.

Il fattore di proporzionalità "lambda" è facile da vedere direttamente dal rapporto dei vettori di direzione collineari. Tuttavia, può essere trovato anche attraverso i coefficienti delle equazioni stesse: .

Ora scopriamo se l'uguaglianza è vera. Entrambi i termini liberi sono zero, quindi:

Il valore risultante soddisfa questa equazione (qualsiasi numero generalmente la soddisfa).

Pertanto le linee coincidono.

Risposta:

Molto presto imparerai (o addirittura avrai già imparato) a risolvere verbalmente il problema considerato letteralmente in pochi secondi. A questo proposito, non vedo alcun motivo per offrire qualcosa per una soluzione indipendente, è meglio porre un altro mattone importante nelle basi geometriche:

Come disegnare una linea parallela a una data?

Per l'ignoranza di questo compito più semplice, l'Usignolo il Ladro punisce severamente.

Esempio 2

La retta è data dall'equazione . Scrivi l'equazione della retta parallela che passa per il punto.

Soluzione: Indica la riga sconosciuta con la lettera . Cosa dice la condizione a riguardo? La retta passa per il punto. E se le linee sono parallele, allora è ovvio che il vettore direttivo della linea "ce" è adatto anche per costruire la linea "de".

Togliamo il vettore direzione dall'equazione:

Risposta:

La geometria dell'esempio sembra semplice:

La verifica analitica consiste nei seguenti passaggi:

1) Controlliamo che le rette abbiano lo stesso vettore di direzione (se l'equazione della retta non è adeguatamente semplificata, allora i vettori saranno collineari).

2) Controlla se il punto soddisfa l'equazione risultante.

La verifica analitica nella maggior parte dei casi è facile da eseguire per via orale. Osserva le due equazioni e molti di voi capiranno rapidamente quanto sono parallele le linee senza alcun disegno.

Gli esempi di auto-soluzione oggi saranno creativi. Perché devi ancora competere con Baba Yaga e lei, sai, è un'amante di tutti i tipi di enigmi.

Esempio 3

Scrivi l'equazione della retta passante per un punto parallelo alla retta se

C'è un modo razionale e non molto razionale per risolvere. La via più breve è alla fine della lezione.

Abbiamo lavorato un po' con le linee parallele e ci ritorneremo più tardi. Il caso delle linee coincidenti è di scarso interesse, quindi consideriamo un problema che ti è ben noto dal curriculum scolastico:

Come trovare il punto di intersezione di due linee?

Se dritto si intersecano nel punto , allora le sue coordinate sono la soluzione sistemi di equazioni lineari

Come trovare il punto di intersezione delle linee? Risolvi il sistema.

Ecco a te significato geometrico di un sistema di due equazioni lineari in due incognite sono due linee rette che si intersecano (il più delle volte) su un piano.

Esempio 4

Trova il punto di intersezione delle linee

Soluzione: Esistono due modi per risolvere: grafico e analitico.

Il modo grafico è semplicemente disegnare le linee indicate e trovare il punto di intersezione direttamente dal disegno:

Ecco il nostro punto: . Per verificare, dovresti sostituire le sue coordinate in ciascuna equazione di una linea retta, dovrebbero adattarsi sia lì che lì. In altre parole, le coordinate di un punto sono la soluzione del sistema . In effetti, abbiamo considerato un modo grafico per risolvere sistemi di equazioni lineari con due equazioni, due incognite.

Il metodo grafico, ovviamente, non è male, ma presenta notevoli svantaggi. No, il punto non è che gli alunni di seconda media decidano in questo modo, il punto è che ci vorrà del tempo per fare un disegno corretto ed ESATTO. Inoltre, alcune linee non sono così facili da costruire e il punto di intersezione stesso può trovarsi da qualche parte nel trentesimo regno fuori dal foglio del quaderno.

Pertanto, è più opportuno cercare il punto di intersezione con il metodo analitico. Risolviamo il sistema:

Per risolvere il sistema è stato utilizzato il metodo dell’addizione terminologica delle equazioni. Per sviluppare le competenze rilevanti, visita la lezione Come risolvere un sistema di equazioni?

Risposta:

La verifica è banale: le coordinate del punto di intersezione devono soddisfare ciascuna equazione del sistema.

Esempio 5

Trova il punto di intersezione delle linee se si intersecano.

Questo è un esempio fai da te. È conveniente dividere il problema in più fasi. L'analisi della condizione suggerisce che è necessario:
1) Scrivi l'equazione di una retta.
2) Scrivi l'equazione di una retta.
3) Scopri la posizione relativa delle linee.
4) Se le linee si intersecano, trova il punto di intersezione.

Lo sviluppo di un algoritmo di azione è tipico di molti problemi geometrici e su questo mi concentrerò ripetutamente.

Soluzione completa e risposta alla fine del tutorial:

Un paio di scarpe non sono ancora consumate, siamo arrivati alla seconda parte della lezione:

Linee perpendicolari. La distanza da un punto ad una linea.
Angolo tra le linee

Cominciamo con un compito tipico e molto importante. Nella prima parte, abbiamo imparato come costruire una linea retta parallela a quella data, e ora la capanna sulle cosce di pollo girerà di 90 gradi:

Come disegnare una linea perpendicolare a una data?

Esempio 6

La retta è data dall'equazione . Scrivi l'equazione della retta perpendicolare passante per un punto.

Soluzione: Si sa per presupposto che . Sarebbe bello trovare il vettore direzione della retta. Poiché le linee sono perpendicolari, il trucco è semplice:

Dall'equazione “togliamo” il vettore normale: , che sarà il vettore direttivo della retta.

Componiamo l'equazione di una retta con un punto e un vettore direttrice:

Risposta:

Sviluppiamo lo schizzo geometrico:

Hmmm... Cielo arancione, mare arancione, cammello arancione.

Verifica analitica della soluzione:

1) Estrarre i vettori di direzione dalle equazioni e con l'aiuto prodotto scalare di vettori concludiamo che le linee sono effettivamente perpendicolari: .

A proposito, puoi usare i vettori normali, è ancora più semplice.

2) Controlla se il punto soddisfa l'equazione risultante .

La verifica, ancora una volta, è facile da eseguire verbalmente.

Esempio 7

Trova il punto di intersezione delle rette perpendicolari, se l'equazione è nota e punto.

Questo è un esempio fai da te. Ci sono diverse azioni nell'attività, quindi è conveniente organizzare la soluzione punto per punto.

Il nostro entusiasmante viaggio continua:

Distanza dal punto alla linea

Davanti a noi c'è una striscia rettilinea del fiume e il nostro compito è raggiungerla per la via più breve. Non ci sono ostacoli e il percorso ottimale sarà il movimento lungo la perpendicolare. Cioè, la distanza da un punto a una linea è la lunghezza del segmento perpendicolare.

La distanza in geometria è tradizionalmente indicata con la lettera greca "ro", ad esempio: - la distanza dal punto "em" alla retta "de".

Distanza dal punto alla linea è espresso dalla formula

Esempio 8

Trova la distanza da un punto a una linea

Soluzione: tutto ciò che serve è sostituire con attenzione i numeri nella formula ed eseguire i calcoli:

Risposta:

Eseguiamo il disegno:

La distanza trovata dal punto alla linea è esattamente la lunghezza del segmento rosso. Se realizzi un disegno su carta a quadretti su una scala di 1 unità. \u003d 1 cm (2 celle), quindi la distanza può essere misurata con un normale righello.

Considera un'altra attività secondo lo stesso disegno:

Il compito è trovare le coordinate del punto , che è simmetrico al punto rispetto alla linea . Propongo di eseguire le azioni da solo, tuttavia delineerò l'algoritmo di soluzione con risultati intermedi:

1) Trova una retta perpendicolare ad una retta.

2) Trova il punto di intersezione delle linee: .

Entrambe le azioni vengono discusse in dettaglio in questa lezione.

3) Il punto è il punto medio del segmento. Conosciamo le coordinate del centro e di una delle estremità. Di formule per le coordinate del centro del segmento Trovare .

Non sarà superfluo verificare che anche la distanza sia pari a 2,2 unità.

Qui possono sorgere difficoltà nei calcoli, ma nella torre un microcalcolatore aiuta molto, permettendoti di contare le frazioni ordinarie. Ho consigliato molte volte e lo consiglierò ancora.

Come trovare la distanza tra due rette parallele?

Esempio 9

Trova la distanza tra due linee parallele

Questo è un altro esempio di soluzione indipendente. Un piccolo suggerimento: ci sono infiniti modi per risolvere. Debriefing a fine lezione, ma meglio provare a indovinare da solo, penso che tu sia riuscito a disperdere bene il tuo ingegno.

Angolo tra due linee

Qualunque sia l'angolo, quindi lo stipite:

In geometria l'angolo formato da due rette è considerato MINORE, da ciò consegue automaticamente che non può essere ottuso. Nella figura, l'angolo indicato dall'arco rosso non è considerato l'angolo tra le linee che si intersecano. E il suo vicino “verde” o orientato in modo opposto angolo cremisi.

Se le rette sono perpendicolari, allora uno qualsiasi dei 4 angoli può essere considerato come l'angolo compreso tra loro.

In cosa differiscono gli angoli? Orientamento. Innanzitutto, la direzione di "scorrimento" dell'angolo è di fondamentale importanza. In secondo luogo, un angolo orientato negativamente viene scritto con un segno meno, ad esempio se .

Perché l'ho detto? Sembra che tu possa cavartela con il solito concetto di angolo. Il fatto è che nelle formule con cui troveremo gli angoli si può facilmente ottenere un risultato negativo, e questo non dovrebbe sorprenderti. Un angolo con un segno meno non è peggiore e ha un significato geometrico molto specifico. Nel disegno per un angolo negativo, è imperativo indicarne l'orientamento (in senso orario) con una freccia.

Come trovare l'angolo tra due linee? Esistono due formule di lavoro:

Esempio 10

Trova l'angolo tra le linee

Soluzione E Metodo uno

Consideriamo due rette date da equazioni in forma generale:

Se dritto non perpendicolare, Quello orientata l'angolo tra loro può essere calcolato utilizzando la formula:

Prestiamo molta attenzione al denominatore: questo è esattamente prodotto scalare vettori di direzione delle rette:

Se , allora il denominatore della formula svanisce, i vettori saranno ortogonali e le linee saranno perpendicolari. Per questo motivo è stata formulata una riserva sulla non perpendicolarità delle linee nella formulazione.

Sulla base di quanto sopra esposto, la soluzione è opportunamente formalizzata in due step:

1) Calcolare il prodotto scalare dei vettori direttivi di rette:
quindi le rette non sono perpendicolari.

2) Troviamo l'angolo tra le linee con la formula:

Utilizzando la funzione inversa, è facile trovare l'angolo stesso. In questo caso, utilizziamo la stranezza dell'arcotangente (vedi Fig. Grafici e proprietà delle funzioni elementari):

Risposta:

Nella risposta indichiamo il valore esatto, nonché il valore approssimativo (preferibilmente sia in gradi che in radianti), calcolato utilizzando una calcolatrice.

Beh, meno, quindi meno, va bene. Ecco un'illustrazione geometrica:

Non sorprende che l'angolo si sia rivelato di orientamento negativo, perché nella condizione del problema il primo numero è una linea retta e proprio da essa è iniziata la “torsione” dell'angolo.

Se vuoi davvero ottenere un angolo positivo, devi invertire le rette, cioè prendere i coefficienti della seconda equazione e prendi i coefficienti della prima equazione . Insomma, bisogna cominciare con una diretta .

Per trovare le coordinate del punto di intersezione dei grafici delle funzioni, è necessario equiparare entrambe le funzioni tra loro, spostare tutti i termini contenenti $ x $ sul lato sinistro e il resto sul lato destro e trovare le radici del risultato equazione.
Il secondo modo è comporre un sistema di equazioni e risolverlo sostituendo una funzione con un'altra
Il terzo metodo prevede la costruzione grafica delle funzioni e la definizione visiva del punto di intersezione.

Caso di due funzioni lineari

Consideriamo due funzioni lineari $ f(x) = k_1 x+m_1 $ e $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Queste funzioni sono chiamate dirette. Costruirli è abbastanza semplice, devi solo prendere due valori qualsiasi $x_1$ e $x_2$ e trovare $f(x_1)$ e $(x_2)$. Quindi ripetere lo stesso con la funzione $ g(x) $. Successivamente, trova visivamente le coordinate del punto di intersezione dei grafici delle funzioni.

Dovresti sapere che le funzioni lineari hanno un solo punto di intersezione e solo quando $ k_1 \neq k_2 $. Altrimenti, nel caso di $ k_1=k_2 $, le funzioni sono parallele tra loro, poiché $ k $ è il fattore di pendenza. Se $ k_1 \neq k_2 $, ma $ m_1=m_2 $, il punto di intersezione sarà $ M(0;m) $. È auspicabile ricordare questa regola per una risoluzione accelerata dei problemi.

Esempio 1
Sia dato $ f(x) = 2x-5 $ e $ g(x)=x+3 $. Trovare le coordinate del punto di intersezione dei grafici delle funzioni.
Soluzione
Come farlo? Poiché vengono presentate due funzioni lineari, la prima cosa che guardiamo è il coefficiente della pendenza di entrambe le funzioni $ k_1 = 2 $ e $ k_2 = 1 $. Nota che $ k_1 \neq k_2 $, quindi c'è un punto di intersezione. Troviamolo utilizzando l'equazione $ f(x)=g(x) $: $$2x-5 = x+3 $$ Spostiamo i termini da $ x $ a sinistra e il resto a destra: $$ 2x - x = 3+5 $$ Abbiamo ottenuto $ x=8 $ l'ascissa del punto di intersezione dei grafici, e ora troviamo l'ordinata. Per fare ciò, sostituiamo $ x = 8 $ in una qualsiasi delle equazioni in $ f(x) $ o in $ g(x) $: $$ f(8) = 2\cpunto 8 - 5 = 16 - 5 = 11 $$ Quindi, $ M (8;11) $ - è il punto di intersezione dei grafici di due funzioni lineari. Se non riesci a risolvere il tuo problema, inviacelo. Forniremo una soluzione dettagliata. Potrai familiarizzare con l'avanzamento del calcolo e raccogliere informazioni. Questo ti aiuterà a ottenere un credito dall'insegnante in modo tempestivo!
Risposta
$$ M (8;11) $$

Caso di due funzioni non lineari

Esempio 3
Trova le coordinate del punto di intersezione dei grafici delle funzioni: $ f(x)=x^2-2x+1 $ e $ g(x)=x^2+1 $
Soluzione
Che dire di due funzioni non lineari? L'algoritmo è semplice: uguagliamo le equazioni tra loro e troviamo le radici: $$ x^2-2x+1=x^2+1 $$ Distribuiamo i termini con $ x $ e senza di esso su diversi lati dell'equazione: $$ x^2-2x-x^2=1-1 $$ L'ascissa del punto desiderato è stata trovata, ma non è sufficiente. Manca ancora l'ordinata $ y $. Sostituisci $ x = 0 $ in una qualsiasi delle due equazioni della formulazione del problema. Per esempio: $$ f(0)=0^2-2\cdot 0 + 1 = 1 $$ $ M (0;1) $ - punto di intersezione dei grafici delle funzioni
Risposta
$$ M (0;1) $$

Nello spazio bidimensionale, due linee si intersecano solo in un punto, dato dalle coordinate (x, y). Poiché entrambe le linee passano per il loro punto di intersezione, le coordinate (x, y) devono soddisfare entrambe le equazioni che descrivono queste linee. Con alcune competenze avanzate, puoi trovare i punti di intersezione di parabole e altre curve quadratiche.

Passi

Punto di intersezione di due linee

Annota l'equazione di ciascuna riga, isolando la variabile "y" sul lato sinistro dell'equazione. Gli altri termini dell'equazione dovrebbero essere posizionati sul lato destro dell'equazione. Forse l'equazione che ti è stata data al posto di "y" conterrà la variabile f (x) o g (x); in questo caso isolare tale variabile. Per isolare una variabile, eseguire le operazioni matematiche appropriate su entrambi i lati dell'equazione.

Se le equazioni delle rette non ti vengono fornite, sulla base delle informazioni a te note.
Esempio. Date le rette descritte dalle equazioni e y − 12 = − 2 x (\displaystyle y-12=-2x). Per isolare la "y" nella seconda equazione, aggiungi il numero 12 a entrambi i lati dell'equazione:

Stai cercando il punto di intersezione di entrambe le rette, ovvero il punto le cui coordinate (x, y) soddisfano entrambe le equazioni. Poiché la variabile "y" si trova sul lato sinistro di ciascuna equazione, le espressioni sul lato destro di ciascuna equazione possono essere equiparate. Scrivi una nuova equazione.
- Esempio. Perché y = x + 3 (\displaystyle y=x+3) E y = 12 − 2x (\displaystyle y=12-2x), allora possiamo scrivere la seguente uguaglianza: .
Trova il valore della variabile "x". La nuova equazione contiene solo una variabile "x". Per trovare "x", isola questa variabile sul lato sinistro dell'equazione eseguendo i calcoli appropriati su entrambi i lati dell'equazione. Dovresti ottenere un'equazione come x = __ (se non puoi farlo, vedi questa sezione).
- Esempio. x + 3 = 12 − 2 x (\displaystyle x+3=12-2x)
- Aggiungere 2x (\displaystyle 2x) a ciascun lato dell'equazione:
- 3x + 3 = 12 (\displaystyle 3x+3=12)
- Sottrai 3 da ciascun lato dell'equazione:
- 3x=9 (\displaystyle 3x=9)
- Dividi ciascun lato dell'equazione per 3:
- x = 3 (\displaystyle x=3).
Utilizzare il valore trovato della variabile "x" per calcolare il valore della variabile "y". Per fare ciò, sostituire il valore trovato "x" nella (qualsiasi) retta dell'equazione.
- Esempio. x = 3 (\displaystyle x=3) E y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)
- y = 3 + 3 (\displaystyle y=3+3)
- y=6 (\displaystyle y=6)
Controlla la risposta. Per fare ciò, sostituisci il valore di "x" in un'altra equazione di una linea retta e trova il valore di "y". Se ottieni valori "y" diversi, controlla che i calcoli siano corretti.
- Esempio: x = 3 (\displaystyle x=3) E y = 12 − 2x (\displaystyle y=12-2x)
- y = 12 - 2 (3) (\displaystyle y=12-2(3))
- y = 12 - 6 (\displaystyle y=12-6)
- y=6 (\displaystyle y=6)
- Hai ottenuto lo stesso valore "y", quindi non ci sono errori nei tuoi calcoli.
Annotare le coordinate (x, y). Calcolando i valori di "x" e "y", hai trovato le coordinate del punto di intersezione di due linee. Annotare le coordinate del punto di intersezione nella forma (x, y).
- Esempio. x = 3 (\displaystyle x=3) E y=6 (\displaystyle y=6)
- Pertanto, due linee si intersecano in un punto con coordinate (3,6).
Calcoli in casi particolari. In alcuni casi non è possibile trovare il valore della variabile "x". Ma questo non significa che tu abbia commesso un errore. Un caso particolare si verifica quando è soddisfatta una delle seguenti condizioni:
- Se due rette sono parallele non si intersecano. In questo caso, la variabile "x" verrà semplicemente ridotta e la tua equazione si trasformerà in un'uguaglianza priva di significato (ad esempio, 0 = 1 (\displaystyle 0=1)). In questo caso, scrivi nella tua risposta che le linee non si intersecano o che non esiste una soluzione.
- Se entrambe le equazioni descrivono una linea retta, allora ci sarà un numero infinito di punti di intersezione. In questo caso, la variabile "x" verrà semplicemente ridotta e la tua equazione si trasformerà in un'uguaglianza rigorosa (ad esempio, 3 = 3 (\displaystyle 3=3)). In questo caso, scrivi nella tua risposta che le due righe coincidono.
Problemi con funzioni quadratiche
1. Definizione di funzione quadratica. In una funzione quadratica, una o più variabili hanno un secondo grado (ma non superiore), ad esempio, x2 (\displaystyle x^(2)) O y 2 (\displaystyle y^(2)). I grafici delle funzioni quadratiche sono curve che potrebbero non intersecarsi o intersecarsi in uno o due punti. In questa sezione ti spiegheremo come trovare il punto o i punti di intersezione delle curve quadratiche.
2. Riscrivi ciascuna equazione isolando la variabile "y" sul lato sinistro dell'equazione. Gli altri termini dell'equazione dovrebbero essere posizionati sul lato destro dell'equazione.
  - Esempio. Trova il/i punto/i di intersezione dei grafici x 2 + 2 x - y = - 1 (\displaystyle x^(2)+2x-y=-1) E
  - Isolare la variabile "y" sul lato sinistro dell'equazione:
  - E y = x + 7 (\displaystyle y=x+7) .
  - In questo esempio, ti viene data una funzione quadratica e una funzione lineare. Ricorda che se ti vengono fornite due funzioni quadratiche, i calcoli sono gli stessi dei passaggi seguenti.
3. Uguagliare le espressioni sul lato destro di ciascuna equazione. Poiché la variabile "y" si trova sul lato sinistro di ciascuna equazione, le espressioni sul lato destro di ciascuna equazione possono essere equiparate.
  - Esempio. y = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle y=x^(2)+2x+1) E y = x + 7 (\displaystyle y=x+7)
4. Trasferisci tutti i termini dell'equazione risultante sul lato sinistro e scrivi 0 sul lato destro. Per fare ciò, eseguire operazioni matematiche di base. Ciò ti consentirà di risolvere l'equazione risultante.
  - Esempio. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 (\displaystyle x^(2)+2x+1=x+7)
  - Sottrai "x" da entrambi i membri dell'equazione:
  - x2 + x + 1 = 7 (\displaystyle x^(2)+x+1=7)
  - Sottrai 7 da entrambi i membri dell'equazione:
5. Risolvi l'equazione quadratica. Trasferendo tutti i termini dell'equazione sul lato sinistro, ottieni un'equazione quadratica. Può essere risolto in tre modi: utilizzando una formula speciale e.
  - Esempio. x 2 + x − 6 = 0 (\displaystyle x^(2)+x-6=0)
  - Fattorizzando l'equazione, ottieni due binomi che, una volta moltiplicati, danno l'equazione originale. Nel nostro esempio, il primo membro x2 (\displaystyle x^(2)) può essere scomposto in x*x. Inserisci la seguente voce: (x)(x) = 0
  - Nel nostro esempio, l'intercetta -6 può essere scomposta come segue: − 6 ∗ 1 (\displaystyle -6*1), − 3 ∗ 2 (\displaystyle -3*2), − 2 ∗ 3 (\displaystyle -2*3), − 1*6 (\displaystyle -1*6).
  - Nel nostro esempio, il secondo termine è x (o 1x). Aggiungi ogni coppia di fattori di intercetta (nel nostro esempio -6) fino ad ottenere 1. Nel nostro esempio, la coppia corretta di fattori di intercetta è -2 e 3 ( − 2 ∗ 3 = − 6 (\displaystyle -2*3=-6)), Perché − 2 + 3 = 1 (\displaystyle -2+3=1).
  - Riempi gli spazi vuoti con la coppia di numeri trovata: .
6. Non dimenticare il secondo punto di intersezione dei due grafici. Se risolvi il problema rapidamente e senza molta attenzione, puoi dimenticare il secondo punto di intersezione. Ecco come trovare le coordinate "x" di due punti di intersezione:
  - Esempio (fattorizzazione). Se nell'equazione (x − 2) (x + 3) = 0 (\displaystyle (x-2)(x+3)=0) una delle espressioni tra parentesi sarà uguale a 0, quindi l'intera equazione sarà uguale a 0. Pertanto possiamo scriverla così: x - 2 = 0 (\displaystyle x-2=0) → x = 2 (\displaystyle x=2) E x + 3 = 0 (\displaystyle x+3=0) → x = − 3 (\displaystyle x=-3) (ovvero, hai trovato due radici dell'equazione).
  - Esempio (usa la formula o il quadrato completo). Quando si utilizza uno di questi metodi, nel processo di soluzione verrà visualizzata una radice quadrata. Ad esempio, l'equazione del nostro esempio assumerà la forma x = (− 1 + 25) / 2 (\displaystyle x=(-1+(\sqrt (25)))/2). Ricorda che quando estrai la radice quadrata otterrai due soluzioni. Nel nostro caso: 25 = 5 ∗ 5 (\displaystyle (\sqrt(25))=5*5), E 25 = (− 5) ∗ (− 5) (\displaystyle (\sqrt (25))=(-5)*(-5)). Quindi scrivi due equazioni e trova due valori x.
7. I grafici si intersecano in un punto o non si intersecano affatto. Tali situazioni si verificano quando sono soddisfatte le seguenti condizioni:
  - Se i grafici si intersecano in un punto, l'equazione quadratica viene scomposta in fattori uguali, ad esempio (x-1) (x-1) = 0 e la radice quadrata di 0 appare nella formula ( 0 (\displaystyle (\sqrt(0)))). In questo caso l’equazione ha una sola soluzione.
  - Se i grafici non si intersecano affatto, l'equazione non viene fattorizzata e nella formula viene visualizzata la radice quadrata di un numero negativo (ad esempio, − 2 (\displaystyle (\sqrt(-2)))). In questo caso, scrivi nella risposta che non esiste una soluzione.