Le equazioni canoniche di una linea retta nello spazio sono equazioni che definiscono una linea retta passante per un dato punto collinearmente rispetto a un vettore direzione.

Siano dati un punto e un vettore direzione. Un punto arbitrario giace su una linea l solo se i vettori e sono collineari, cioè soddisfano la condizione:

Le equazioni di cui sopra sono le equazioni canoniche della retta.

Numeri M , N E P sono proiezioni del vettore di direzione sugli assi delle coordinate. Poiché il vettore è diverso da zero, allora tutti i numeri M , N E P non possono essere zero allo stesso tempo. Ma uno o due di essi potrebbero essere zero. In geometria analitica, ad esempio, è consentita la seguente notazione:

il che significa che le proiezioni del vettore sugli assi Ehi E Oz sono uguali a zero. Pertanto sia il vettore che la retta dati dalle equazioni canoniche sono perpendicolari agli assi Ehi E Oz, cioè aerei yOz .

Esempio 1 Componi le equazioni di una retta nello spazio perpendicolare a un piano e passante per il punto di intersezione di questo piano con l'asse Oz .

Soluzione. Trovare il punto di intersezione del piano dato con l'asse Oz. Da qualsiasi punto dell'asse Oz, ha coordinate , quindi, assumendo nella data equazione del piano x=y= 0, otteniamo 4 z- 8 = 0 o z= 2. Pertanto, il punto di intersezione del piano dato con l'asse Oz ha coordinate (0; 0; 2) . Poiché la linea desiderata è perpendicolare al piano, è parallela al suo vettore normale. Pertanto, il vettore normale può fungere da vettore direttivo della retta dato piano.

Ora scriviamo le equazioni desiderate della retta passante per il punto UN= (0; 0; 2) nella direzione del vettore :

Equazioni della retta passante per due punti dati

Una linea retta può essere definita da due punti che giacciono su di essa E In questo caso il vettore direttivo della retta può essere il vettore . Quindi assumono la forma le equazioni canoniche della retta

Le equazioni precedenti definiscono una retta passante per due punti dati.

Esempio 2 Scrivi l'equazione di una retta nello spazio passante per i punti e .

Soluzione. Scriviamo le equazioni desiderate della retta nella forma data sopra nel riferimento teorico:

Poiché , la linea desiderata è perpendicolare all'asse Ehi .

Retto come una linea di intersezione di piani

Una retta nello spazio può essere definita come una linea di intersezione di due piani non paralleli e, cioè, come un insieme di punti che soddisfano un sistema di due equazioni lineari

Le equazioni del sistema sono anche chiamate equazioni generali della retta nello spazio.

Esempio 3 Comporre equazioni canoniche di una retta nello spazio dato dalle equazioni generali

Soluzione. Per scrivere le equazioni canoniche di una retta o, che è lo stesso, l'equazione di una retta passante per due punti dati, è necessario trovare le coordinate di due punti qualsiasi sulla retta. Possono essere, ad esempio, i punti di intersezione di una linea retta con due piani coordinati qualsiasi yOz E xOz .

Punto di intersezione di una retta con un piano yOz ha un'ascissa X= 0. Pertanto, assumendo in questo sistema di equazioni X= 0 , otteniamo un sistema con due variabili:

La sua decisione sì = 2 , z= 6 insieme a X= 0 definisce un punto UN(0; 2; 6) della riga desiderata. Assumendo quindi nel dato sistema di equazioni sì= 0 , otteniamo il sistema

La sua decisione X = -2 , z= 0 insieme a sì= 0 definisce un punto B(-2; 0; 0) intersezione di una linea con un piano xOz .

Ora scriviamo le equazioni di una retta passante per i punti UN(0; 2; 6) e B (-2; 0; 0) :

oppure dopo aver diviso i denominatori per -2:

Definizione. Qualsiasi retta del piano può essere data da un'equazione del primo ordine

Ah + Wu + C = 0,

e le costanti A, B non sono uguali a zero allo stesso tempo. Questa equazione del primo ordine si chiama l'equazione generale della retta. A seconda dei valori delle costanti A, B e C sono possibili i seguenti casi particolari:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - la linea passa attraverso l'origine

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C \u003d 0) - la linea è parallela all'asse del bue

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C \u003d 0) - la linea è parallela all'asse Oy

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - la linea retta coincide con l'asse Oy

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - la linea retta coincide con l'asse del Bue

L'equazione di una retta può essere presentata in varie forme a seconda delle condizioni iniziali date.

Equazione di una retta per un punto e un vettore normale

Definizione. In un sistema di coordinate cartesiane rettangolari, un vettore con componenti (A, B) è perpendicolare alla retta data dall'equazione Ax + By + C = 0.

Esempio. Trova l'equazione di una retta passante per il punto A(1, 2) perpendicolare a (3, -1).

Soluzione. Con A = 3 e B = -1 componiamo l'equazione di una linea retta: 3x - y + C = 0. Per trovare il coefficiente C, sostituiamo nell'espressione risultante le coordinate del punto A. Otteniamo: 3 - 2 + C = 0, quindi C = -1 . Totale: l'equazione desiderata: 3x - y - 1 \u003d 0.

Equazione di una retta passante per due punti

Siano dati nello spazio due punti M 1 (x 1, y 1, z 1) e M 2 (x 2, y 2, z 2), quindi l'equazione di una retta passante per questi punti:

Se uno qualsiasi dei denominatori è uguale a zero, il numeratore corrispondente deve essere posto uguale a 0. Sul piano, l'equazione della retta scritta sopra è semplificata:

se x 1 ≠ x 2 e x = x 1 se x 1 = x 2.

Si chiama Frazione = k fattore di pendenza Dritto.

Esempio. Trova l'equazione di una retta passante per i punti A(1, 2) e B(3, 4).

Soluzione. Applicando la formula precedente otteniamo:

Equazione di una retta che parte da un punto e da un pendio

Se il totale Ax + Wu + C = 0 porta alla forma:

e designare , allora viene chiamata l'equazione risultante equazione di una retta inclinataK.

Equazione di una retta con un punto e un vettore direzione

Per analogia con il punto, considerando l'equazione di una retta passante per il vettore normale, si può inserire l'assegnazione di una retta passante per un punto e di un vettore direttrice di una retta.

Definizione. Ogni vettore diverso da zero (α 1, α 2), le cui componenti soddisfano la condizione A α 1 + B α 2 = 0 è chiamato vettore direttore della retta

Ah + Wu + C = 0.

Esempio. Trova l'equazione di una retta con vettore direzione (1, -1) e passante per il punto A(1, 2).

Soluzione. Cercheremo l'equazione della retta desiderata nella forma: Ax + By + C = 0. Secondo la definizione, i coefficienti devono soddisfare le condizioni:

1 * A + (-1) * B = 0, cioè A = B.

Allora l'equazione di una retta ha la forma: Ax + Ay + C = 0, oppure x + y + C / A = 0. per x = 1, y = 2 otteniamo C / A = -3, cioè equazione desiderata:

Equazione di una retta in segmenti

Se nell’equazione generale della retta Ah + Wu + C = 0 C≠0, allora dividendo per –C otteniamo: O

Il significato geometrico dei coefficienti è quello del coefficiente UNè la coordinata del punto di intersezione della linea con l'asse x, e B- la coordinata del punto di intersezione della retta con l'asse Oy.

Esempio. Data l'equazione generale della linea x - y + 1 = 0. Trova l'equazione di questa linea nei segmenti.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Equazione normale di una retta

Se entrambi i lati dell'equazione Ax + Vy + C = 0 vengono moltiplicati per il numero , che è chiamato fattore normalizzante, allora otteniamo

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

Equazione normale di una retta. Il segno ± del fattore di normalizzazione deve essere scelto in modo tale che μ * С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Esempio. Data l'equazione generale della linea 12x - 5y - 65 = 0. È necessario scrivere vari tipi di equazioni per questa linea.

l'equazione di questa retta in segmenti:

l'equazione di questa linea con la pendenza: (dividi per 5)

; cosφ = 12/13; peccato φ= -5/13; p=5.

Va notato che non tutte le rette possono essere rappresentate da un'equazione in segmenti, ad esempio, rette parallele agli assi o passanti per l'origine.

Esempio. La linea retta taglia segmenti positivi uguali sugli assi delle coordinate. Scrivi l'equazione di una retta se l'area del triangolo formato da questi segmenti è 8 cm 2.

Soluzione. L'equazione della retta ha la forma: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Esempio. Scrivi l'equazione di una retta passante per il punto A (-2, -3) e l'origine.

Soluzione. L’equazione di una retta ha la forma: , dove x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Angolo tra le linee su un piano

Definizione. Se due linee sono date y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , allora l'angolo acuto tra queste linee sarà definito come

Due rette sono parallele se k 1 = k 2 . Due rette sono perpendicolari se k 1 = -1/ k 2 .

Teorema. Le rette Ax + Vy + C \u003d 0 e A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sono parallele quando i coefficienti A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB sono proporzionali. Se anche С 1 = λС, allora le rette coincidono. Le coordinate del punto di intersezione di due linee si trovano come soluzione al sistema di equazioni di queste linee.

Equazione di una retta passante per un punto dato e perpendicolare ad una retta data

Definizione. La linea che passa per il punto M 1 (x 1, y 1) e perpendicolare alla linea y \u003d kx + b è rappresentata dall'equazione:

Distanza dal punto alla linea

Teorema. Se viene fornito un punto M(x 0, y 0), la distanza dalla linea Ax + Vy + C \u003d 0 è definita come

Prova. Sia il punto M 1 (x 1, y 1) la base della perpendicolare calata dal punto M alla retta data. Quindi la distanza tra i punti M e M 1:

(1)

Le coordinate x 1 e y 1 possono essere trovate come soluzione al sistema di equazioni:

La seconda equazione del sistema è l'equazione di una retta passante per un dato punto M 0 perpendicolare ad una data retta. Se trasformiamo la prima equazione del sistema nella forma:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Per 0 + C = 0,

quindi, risolvendo, otteniamo:

Sostituendo queste espressioni nell'equazione (1), troviamo:

Il teorema è stato dimostrato.

Esempio. Determina l'angolo tra le linee: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Esempio. Mostra che le rette 3x - 5y + 7 = 0 e 10x + 6y - 3 = 0 sono perpendicolari.

Soluzione. Troviamo: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, quindi le linee sono perpendicolari.

Esempio. Sono dati i vertici del triangolo A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Trova l'equazione per l'altezza ricavata dal vertice C.

Soluzione. Troviamo l'equazione del lato AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

L'equazione dell'altezza desiderata è: Ax + By + C = 0 oppure y = kx + b. k = . Allora y = . Perché l'altezza passa per il punto C, quindi le sue coordinate soddisfano questa equazione: da cui b = 17. Totale: .

Risposta: 3x + 2y - 34 = 0.

Proprietà della retta nella geometria euclidea.

Ci sono infinite linee che possono essere tracciate attraverso qualsiasi punto.

Per due punti qualsiasi non coincidenti passa una sola retta.

Due rette non coincidenti nel piano o si intersecano in un unico punto oppure lo sono

parallelo (segue dal precedente).

Nello spazio tridimensionale, ci sono tre opzioni per la posizione relativa di due linee:

le linee si intersecano;

le linee rette sono parallele;

le linee rette si intersecano.

Dritto linea- curva algebrica del primo ordine: nel sistema di coordinate cartesiane, una retta

è data sul piano da un'equazione di primo grado (equazione lineare).

Equazione generale della retta.

Definizione. Qualsiasi retta del piano può essere data da un'equazione del primo ordine

Ah + Wu + C = 0,

e costante A, B non uguale a zero allo stesso tempo. Questa equazione del primo ordine si chiama generale

equazione della linea retta. A seconda dei valori delle costanti A, B E CON Sono possibili i seguenti casi particolari:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- la retta passa per l'origine

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( Per + C = 0)- retta parallela all'asse OH

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- retta parallela all'asse UO

. B = C = 0, A ≠ 0- la linea coincide con l'asse UO

. A = C = 0, B ≠ 0- la linea coincide con l'asse OH

L'equazione di una retta può essere rappresentata in varie forme a seconda dei dati

condizioni iniziali.

Equazione di una retta per un punto e un vettore normale.

Definizione. In un sistema di coordinate cartesiane rettangolari, un vettore con componenti (A, B)

perpendicolare alla retta data dall'equazione

Ah + Wu + C = 0.

Esempio. Trovare l'equazione di una retta passante per un punto UN(1, 2) perpendicolare al vettore (3, -1).

Soluzione. Componiamo in A \u003d 3 e B \u003d -1 l'equazione della retta: 3x - y + C \u003d 0. Per trovare il coefficiente C

sostituiamo nell'espressione risultante le coordinate del punto dato A. Otteniamo: 3 - 2 + C \u003d 0, quindi

C = -1. Totale: l'equazione desiderata: 3x - y - 1 \u003d 0.

Equazione della retta passante per due punti.

Siano dati due punti nello spazio M1 (x1, y1, z1) E M2 (x2, y2, z2), Poi equazione della linea retta,

passando per questi punti:

Se uno qualsiasi dei denominatori è uguale a zero, il numeratore corrispondente deve essere impostato uguale a zero. SU

piano, l'equazione di una retta scritta sopra è semplificata:

Se x1 ≠ x2 E x = x1, Se x1 = x2 .

Frazione =k chiamato fattore di pendenza Dritto.

Esempio. Trova l'equazione di una retta passante per i punti A(1, 2) e B(3, 4).

Soluzione. Applicando la formula precedente otteniamo:

Equazione di una retta per un punto e una pendenza.

Se l'equazione generale di una retta Ah + Wu + C = 0 portare nel modulo:

e designare , allora viene chiamata l'equazione risultante

equazione di una retta con pendenza k.

Equazione di una retta su un punto e un vettore direttrice.

Per analogia con il punto, considerando l'equazione di una linea retta passante per il vettore normale, puoi entrare nel compito

una retta passante per un punto e un vettore direzione di una retta.

Definizione. Ogni vettore diverso da zero (α1, α2), i cui componenti soddisfano la condizione

Aα1 + Bα2 = 0 chiamato vettore direzione della retta.

Ah + Wu + C = 0.

Esempio. Trova l'equazione di una retta con vettore direzione (1, -1) e passante per il punto A(1, 2).

Soluzione. Cercheremo l'equazione della retta desiderata nella forma: Ascia + Per + C = 0. Secondo la definizione,

i coefficienti devono soddisfare le condizioni:

1 * A + (-1) * B = 0, cioè A = B.

Allora l'equazione di una retta ha la forma: Ax + Ay + C = 0, O x + y + C / A = 0.

A x=1, y=2 noi abbiamo C/A = -3, cioè. equazione desiderata:

x + y - 3 = 0

Equazione di una retta in segmenti.

Se nell'equazione generale della retta Ah + Wu + C = 0 C≠0, allora, dividendo per -C, otteniamo:

o dove

Il significato geometrico dei coefficienti è che il coefficiente a è la coordinata del punto di intersezione

dritto con asse OH, UN B- la coordinata del punto di intersezione della linea con l'asse UO.

Esempio. Viene data l'equazione generale di una retta x - y + 1 = 0. Trova l'equazione di questa linea retta in segmenti.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Equazione normale di una retta.

Se entrambi i lati dell'equazione Ah + Wu + C = 0 dividere per numero , che è chiamato

fattore normalizzante, allora otteniamo

xcosφ + ysinφ - p = 0 -Equazione normale di una retta.

Il segno ± del fattore di normalizzazione deve essere scelto in modo tale μ*C< 0.

R- la lunghezza della perpendicolare percorsa dall'origine alla retta,

UN φ - l'angolo formato da questa perpendicolare con la direzione positiva dell'asse OH.

Esempio. Data l'equazione generale della retta 12x - 5a - 65 = 0. Necessario per scrivere vari tipi di equazioni

questa linea retta.

L'equazione di questa retta in segmenti:

L'equazione di questa linea con la pendenza: (dividi per 5)

Equazione di una retta:

cosφ = 12/13; peccato φ= -5/13; p=5.

Va notato che non tutte le linee rette possono essere rappresentate da un'equazione in segmenti, ad esempio, linee rette,

parallelo agli assi o passante per l'origine.

Angolo tra le linee su un piano.

Definizione. Se vengono fornite due righe y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, quindi l'angolo acuto tra queste linee

sarà definito come

Due rette sono parallele se k1 = k2. Due linee sono perpendicolari

Se k1 \u003d -1 / k2 .

Teorema.

Diretto Ah + Wu + C = 0 E A1x + B1y + C1 \u003d 0 sono paralleli quando i coefficienti sono proporzionali

A1 \u003d λA, B1 \u003d λB. Se anche С 1 \u003d λС, allora le linee coincidono. Coordinate del punto di intersezione di due rette

si trovano come soluzione al sistema di equazioni di queste linee.

L'equazione di una retta passante per un dato punto è perpendicolare a una retta data.

Definizione. Una retta passante per un punto M1 (x1, y1) e perpendicolare alla linea y = kx + b

rappresentato dall'equazione:

La distanza da un punto ad una linea.

Teorema. Se viene assegnato un punto M(x0, y0), quindi la distanza dalla linea Ah + Wu + C = 0 definito come:

Prova. Lasciamo il punto M1 (x1, y1)- la base della perpendicolare è caduta dal punto M per una data

diretto. Quindi la distanza tra i punti M E M1:

(1)

Coordinate x1 E 1 può essere trovato come soluzione al sistema di equazioni:

La seconda equazione del sistema è l'equazione di una retta passante perpendicolarmente per un dato punto M 0

data linea. Se trasformiamo la prima equazione del sistema nella forma:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Per 0 + C = 0,

quindi, risolvendo, otteniamo:

Sostituendo queste espressioni nell'equazione (1), troviamo:

Il teorema è stato dimostrato.

Questo articolo continua l'argomento dell'equazione di una linea retta su un piano: considera un tipo di equazione come l'equazione generale di una linea retta. Definiamo un teorema e diamo la sua dimostrazione; Scopriamo cos'è un'equazione generale incompleta di una linea retta e come effettuare le transizioni da un'equazione generale ad altri tipi di equazioni di una linea retta. Consolideremo l'intera teoria con illustrazioni e risolvendo problemi pratici.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Sia dato sul piano un sistema di coordinate rettangolari O x y.

Teorema 1

Qualsiasi equazione di primo grado, avente la forma A x + B y + C \u003d 0, dove A, B, C sono alcuni numeri reali (A e B non sono uguali a zero allo stesso tempo) definisce una linea retta in un sistema di coordinate rettangolari su un piano. A sua volta, qualsiasi linea in un sistema di coordinate rettangolari sul piano è determinata da un'equazione che ha la forma A x + B y + C = 0 per un determinato insieme di valori A, B, C.

Prova

Questo teorema consiste di due punti, li dimostreremo ciascuno.

Dimostriamo che l'equazione A x + B y + C = 0 definisce una retta sul piano.

Sia un punto M 0 (x 0 , y 0) le cui coordinate corrispondono all'equazione A x + B y + C = 0 . Quindi: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Sottrai dai lati sinistro e destro delle equazioni A x + B y + C \u003d 0 i lati sinistro e destro dell'equazione A x 0 + B y 0 + C \u003d 0, otteniamo una nuova equazione che assomiglia ad A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . È equivalente a A x + B y + C = 0 .

L'equazione risultante A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 è una condizione necessaria e sufficiente per la perpendicolarità dei vettori n → = (A, B) e M 0 M → = (x - x 0, y - y 0 ). Pertanto, l'insieme dei punti M (x, y) definisce in un sistema di coordinate rettangolari una retta perpendicolare alla direzione del vettore n → = (A, B) . Possiamo supporre che non sia così, ma allora i vettori n → = (A, B) e M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) non sarebbero perpendicolari e l'uguaglianza A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 non sarebbe vero.

Pertanto, l'equazione A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 definisce una linea in un sistema di coordinate rettangolari sul piano, e quindi l'equazione equivalente A x + B y + C \u003d 0 definisce la stessa linea. Abbiamo così dimostrato la prima parte del teorema.

Dimostriamo che qualsiasi retta in un sistema di coordinate rettangolari su un piano può essere data da un'equazione di primo grado A x + B y + C = 0 .

Impostiamo sul piano una retta a in un sistema di coordinate rettangolari; punto M 0 (x 0 , y 0) attraverso il quale passa questa linea, nonché il vettore normale di questa linea n → = (A , B) .

Lascia che esista anche un punto M (x , y) - un punto mobile della linea. In questo caso, i vettori n → = (A , B) e M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) sono perpendicolari tra loro e il loro prodotto scalare è zero:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Riscriviamo l'equazione A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 , definiamo C: C = - A x 0 - B y 0 e infine otteniamo l'equazione A x + B y + C = 0 .

Quindi abbiamo dimostrato la seconda parte del teorema e l'intero teorema nel suo insieme.

Definizione 1

Un'equazione che assomiglia A x + B y + C = 0 - Questo equazione generale della retta su un piano in un sistema di coordinate rettangolariOxy.

Sulla base del teorema dimostrato, possiamo concludere che una retta data su un piano in un sistema di coordinate rettangolari fisso e la sua equazione generale sono indissolubilmente legate. In altre parole, la retta originaria corrisponde alla sua equazione generale; l'equazione generale di una retta corrisponde ad una retta data.

Dalla dimostrazione del teorema segue anche che i coefficienti A e B per le variabili xey sono le coordinate del vettore normale della retta, che è dato dall'equazione generale della retta A x + B y + C = 0 .

Considera un esempio specifico dell'equazione generale di una linea retta.

Sia data l'equazione 2 x + 3 y - 2 = 0, che corrisponde a una linea retta in un dato sistema di coordinate rettangolari. Il vettore normale di questa linea è il vettore n → = (2, 3). Disegna una determinata linea retta nel disegno.

Si può anche sostenere quanto segue: la linea retta che vediamo nel disegno è determinata dall'equazione generale 2 x + 3 y - 2 = 0, poiché le coordinate di tutti i punti di una determinata linea retta corrispondono a questa equazione.

Possiamo ottenere l'equazione λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 moltiplicando entrambi i membri dell'equazione generale della retta per un numero diverso da zero λ. L'equazione risultante è equivalente all'equazione generale originale, pertanto descriverà la stessa linea nel piano.

Definizione 2

Equazione generale completa di una retta- un'equazione così generale della linea A x + B y + C \u003d 0, in cui i numeri A, B, C sono diversi da zero. Altrimenti l'equazione è incompleto.

Analizziamo tutte le varianti dell'equazione generale incompleta della retta.

Quando A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, l'equazione generale diventa B y + C \u003d 0. Tale equazione generale incompleta definisce una linea retta in un sistema di coordinate rettangolari O x y parallela all'asse O x, poiché per qualsiasi valore reale di x, la variabile y assumerà il valore -CB. In altre parole, l'equazione generale della linea A x + B y + C \u003d 0, quando A \u003d 0, B ≠ 0, definisce il luogo dei punti (x, y) le cui coordinate sono uguali allo stesso numero -CB.
Se A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0, l'equazione generale diventa y \u003d 0. Tale equazione incompleta definisce l'asse x O x .
Quando A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0, otteniamo un'equazione generale incompleta A x + C \u003d 0, che definisce una linea retta parallela all'asse y.
Sia A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, quindi l'equazione generale incompleta assumerà la forma x \u003d 0 e questa è l'equazione della linea di coordinate O y.
Infine, quando A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0, l'equazione generale incompleta assume la forma A x + B y \u003d 0. E questa equazione descrive una linea retta che passa per l'origine. Infatti, la coppia di numeri (0 , 0) corrisponde all'uguaglianza A x + B y = 0 , poiché A · 0 + B · 0 = 0 .

Illustriamo graficamente tutti i tipi sopra descritti dell'equazione generale incompleta di una linea retta.

Esempio 1

È noto che la retta data è parallela all'asse y e passa per il punto 2 7 , - 11 . È necessario scrivere l'equazione generale di una data retta.

Soluzione

Una linea retta parallela all'asse y è data da un'equazione della forma A x + C \u003d 0, in cui A ≠ 0. La condizione specifica anche le coordinate del punto attraverso il quale passa la linea, e le coordinate di questo punto corrispondono alle condizioni dell'equazione generale incompleta A x + C = 0 , cioè l'uguaglianza è corretta:

A27 + C = 0

È possibile determinare C da esso dando ad A un valore diverso da zero, ad esempio A = 7 . In questo caso, otteniamo: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Conosciamo entrambi i coefficienti A e C, li sostituiamo nell'equazione A x + C = 0 e otteniamo l'equazione richiesta della retta: 7 x - 2 = 0

Risposta: 7 x - 2 = 0

Esempio 2

Il disegno mostra una linea retta, è necessario scrivere la sua equazione.

Soluzione

Il disegno fornito ci consente di prendere facilmente i dati iniziali per risolvere il problema. Vediamo nel disegno che la retta data è parallela all'asse O x e passa per il punto (0 , 3).

La retta parallela all'ascissa è determinata dall'equazione generale incompleta B y + С = 0. Trova i valori di B e C . Le coordinate del punto (0, 3), poiché la retta data lo attraversa, soddisferanno l'equazione della retta B y + С = 0, allora vale l'uguaglianza: В · 3 + С = 0. Impostiamo B su un valore diverso da zero. Diciamo B \u003d 1, in questo caso dall'uguaglianza B · 3 + C \u003d 0 possiamo trovare C: C \u003d - 3. Utilizzando i valori noti di B e C, otteniamo l'equazione richiesta della retta: y - 3 = 0.

Risposta: y - 3 = 0 .

Equazione generale della retta passante per un punto dato del piano

Lascia che la linea data passi attraverso il punto M 0 (x 0, y 0), quindi le sue coordinate corrispondono all'equazione generale della linea, ad es. l'uguaglianza è vera: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Sottrai i lati sinistro e destro di questa equazione dai lati sinistro e destro dell'equazione generale completa della retta. Otteniamo: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, questa equazione è equivalente a quella generale originale, passa attraverso il punto M 0 (x 0, y 0) e ha a vettore normale n → \u003d (A, B) .

Il risultato che abbiamo ottenuto permette di scrivere l'equazione generale di una retta per le coordinate note del vettore normale della retta e le coordinate di un certo punto di questa retta.

Esempio 3

Dato un punto M 0 (- 3, 4) attraverso il quale passa la linea e il vettore normale di questa linea n→ = (1, - 2) . È necessario scrivere l'equazione di una determinata retta.

Soluzione

Le condizioni iniziali ci consentono di ottenere i dati necessari per compilare l'equazione: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Poi:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Il problema avrebbe potuto essere risolto diversamente. L'equazione generale di una retta ha la forma A x + B y + C = 0 . Il vettore normale dato permette di ottenere i valori dei coefficienti A e B , quindi:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Troviamo ora il valore di C, utilizzando il punto M 0 (- 3, 4) dato dalla condizione del problema, attraverso il quale passa la retta. Le coordinate di questo punto corrispondono all'equazione x - 2 · y + C = 0 , cioè - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Quindi C = 11. L'equazione della retta richiesta assume la forma: x - 2 · y + 11 = 0 .

Risposta: x - 2 y + 11 = 0 .

Esempio 4

Data una retta 2 3 x - y - 1 2 = 0 e un punto M 0 giacente su questa retta. Di questo punto si conosce solo l'ascissa, che è uguale a - 3. È necessario determinare l'ordinata del punto dato.

Soluzione

Impostiamo la designazione delle coordinate del punto M 0 come x 0 e y 0 . I dati iniziali indicano che x 0 \u003d - 3. Poiché il punto appartiene a una determinata linea, le sue coordinate corrispondono all'equazione generale di questa linea. Allora sarà vera la seguente uguaglianza:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Definire y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Risposta: - 5 2

Transizione dall'equazione generale della retta ad altri tipi di equazioni della retta e viceversa

Come sappiamo, esistono diversi tipi di equazioni della stessa retta nel piano. La scelta del tipo di equazione dipende dalle condizioni del problema; è possibile scegliere quello più conveniente per la propria soluzione. È qui che l'abilità di convertire un'equazione di un tipo in un'equazione di un altro tipo torna molto utile.

Innanzitutto, considera la transizione dall'equazione generale della forma A x + B y + C = 0 all'equazione canonica x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Se A ≠ 0, trasferiamo il termine B y sul lato destro dell'equazione generale. Sul lato sinistro togliamo A tra parentesi. Di conseguenza, otteniamo: A x + C A = - B y .

Questa uguaglianza può essere scritta come una proporzione: x + C A - B = y A .

Se B ≠ 0, lasciamo solo il termine A x sul lato sinistro dell'equazione generale, trasferiamo gli altri sul lato destro, otteniamo: A x \u003d - B y - C. Togliamo - B tra parentesi, quindi: A x \u003d - B y + C B.

Riscriviamo l'uguaglianza come proporzione: x - B = y + C B A .

Naturalmente non è necessario memorizzare le formule risultanti. È sufficiente conoscere l'algoritmo delle azioni durante il passaggio dall'equazione generale a quella canonica.

Esempio 5

Viene data l'equazione generale della linea 3 y - 4 = 0. Deve essere convertito in un'equazione canonica.

Soluzione

Scriviamo l'equazione originale come 3 y - 4 = 0 . Successivamente, agiamo secondo l'algoritmo: il termine 0 x rimane sul lato sinistro; e sul lato destro tiriamo fuori - 3 tra parentesi; otteniamo: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Scriviamo l'uguaglianza risultante come proporzione: x - 3 = y - 4 3 0 . Pertanto, abbiamo ottenuto un'equazione della forma canonica.

Risposta: x - 3 = y - 4 3 0.

Per trasformare l'equazione generale di una retta in parametrica, viene prima effettuata la transizione alla forma canonica, quindi la transizione dall'equazione canonica della retta alle equazioni parametriche.

Esempio 6

La retta è data dall'equazione 2 x - 5 y - 1 = 0 . Scrivi le equazioni parametriche di questa retta.

Soluzione

Facciamo il passaggio dall'equazione generale a quella canonica:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Prendiamo ora entrambe le parti dell'equazione canonica risultante uguali a λ, quindi:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Risposta:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

L'equazione generale può essere convertita in un'equazione lineare con pendenza y = k x + b, ma solo quando B ≠ 0. Per la transizione sul lato sinistro lasciamo il termine B y , il resto lo trasferiamo a destra. Otteniamo: B y = - A x - C . Dividiamo entrambe le parti dell'uguaglianza risultante per B , che è diverso da zero: y = - A B x - C B .

Esempio 7

L'equazione generale di una retta è data: 2 x + 7 y = 0 . Devi convertire quell'equazione in un'equazione di pendenza.

Soluzione

Eseguiamo le azioni necessarie secondo l'algoritmo:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Risposta: y = - 2 7 x .

Dall'equazione generale di una linea retta è sufficiente ottenere semplicemente un'equazione in segmenti della forma x a + y b \u003d 1. Per effettuare una tale transizione, trasferiamo il numero C sul lato destro dell'uguaglianza, dividiamo entrambe le parti dell'uguaglianza risultante per - С e, infine, trasferiamo i coefficienti delle variabili xey ai denominatori:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Esempio 8

È necessario convertire l'equazione generale della retta x - 7 y + 1 2 = 0 nell'equazione della retta a segmenti.

Soluzione

Spostiamo 1 2 a destra: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Dividi per -1/2 entrambi i lati dell'equazione: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Risposta: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

In generale è facile anche il passaggio inverso: da altri tipi di equazioni a quella generale.

L'equazione della retta in segmenti e l'equazione della pendenza possono essere facilmente convertite in un'equazione generale semplicemente raccogliendo tutti i termini sul lato sinistro dell'equazione:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

L’equazione canonica si converte in quella generale secondo il seguente schema:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Per passare dal parametrico si effettua prima il passaggio al canonico, e poi a quello generale:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Esempio 9

Sono date le equazioni parametriche della retta x = - 1 + 2 · λ y = 4. È necessario scrivere l'equazione generale di questa linea.

Soluzione

Facciamo il passaggio dalle equazioni parametriche a quelle canoniche:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Passiamo dal canonico al generale:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Risposta: y - 4 = 0

Esempio 10

Viene data l'equazione di una linea retta in segmenti x 3 + y 1 2 = 1. È necessario effettuare la transizione alla forma generale dell'equazione.

Soluzione:

Riscriviamo semplicemente l'equazione nella forma richiesta:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Risposta: 1 3 X + 2 y - 1 = 0 .

Elaborazione dell'equazione generale di una retta

Sopra abbiamo detto che l'equazione generale può essere scritta con le coordinate note del vettore normale e le coordinate del punto attraverso il quale passa la retta. Tale retta è definita dall'equazione A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Nello stesso posto abbiamo analizzato l'esempio corrispondente.

Consideriamo ora esempi più complessi in cui, innanzitutto, è necessario determinare le coordinate del vettore normale.

Esempio 11

Data una linea parallela alla linea 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . È noto anche il punto M 0 (4 , 1) per il quale passa la retta data. È necessario scrivere l'equazione di una determinata retta.

Soluzione

Le condizioni iniziali ci dicono che le rette sono parallele, mentre, come vettore normale della retta la cui equazione deve essere scritta, prendiamo il vettore direttrice della retta n → \u003d (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0. Ora conosciamo tutti i dati necessari per comporre l'equazione generale di una retta:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Risposta: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Esempio 12

La retta data passa per l'origine perpendicolare alla retta x - 2 3 = y + 4 5 . È necessario scrivere l'equazione generale di una data retta.

Soluzione

Il vettore normale della linea data sarà il vettore direttivo della linea x - 2 3 = y + 4 5 .

Allora n → = (3, 5) . La retta passa per l'origine, cioè attraverso il punto O (0, 0) . Componiamo l'equazione generale di una data retta:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Risposta: 3 x + 5 y = 0 .

Se noti un errore nel testo, evidenzialo e premi Ctrl+Invio

Equazione di una retta passante per un dato punto in una data direzione. Equazione della retta passante per due punti dati. Angolo tra due linee. Condizione di parallelismo e perpendicolarità di due rette. Determinazione del punto di intersezione di due linee

1. Equazione di una retta passante per un punto dato UN(X 1 , sì 1) in una determinata direzione, determinata dalla pendenza K,

sì - sì 1 = K(X - X 1). (1)

Questa equazione definisce una matita di linee che passano attraverso un punto UN(X 1 , sì 1), che è chiamato il centro del raggio.

2. Equazione della retta passante per due punti: UN(X 1 , sì 1) e B(X 2 , sì 2) è scritto così:

La pendenza di una retta passante per due punti dati è determinata dalla formula

3. Angolo tra rette UN E Bè l'angolo di cui deve essere ruotata la prima retta UN attorno al punto di intersezione di queste linee in senso antiorario finché non coincide con la seconda linea B. Se due rette sono date da equazioni di pendenza

sì = K 1 X + B 1 ,