Come risolvere utilizzando gli esempi del metodo di Cramer. Equazioni lineari

2. Risoluzione di sistemi di equazioni utilizzando il metodo della matrice (utilizzando una matrice inversa).
3. Metodo di Gauss per la risoluzione di sistemi di equazioni.

Il metodo di Cramer.

Il metodo Cramer viene utilizzato per risolvere sistemi di equazioni algebriche lineari ( SLAU).

Formule che utilizzano l'esempio di un sistema di due equazioni con due variabili.
Dato: Risolvi il sistema utilizzando il metodo di Cramer

Per quanto riguarda le variabili X E A.
Soluzione:
Troviamo il determinante della matrice, composta dai coefficienti del sistema Calcolo dei determinanti. :

Applichiamo le formule di Cramer e troviamo i valori delle variabili:
E .
Esempio 1:
Risolvi il sistema di equazioni:

riguardo alle variabili X E A.
Soluzione:


Sostituiamo la prima colonna di questo determinante con una colonna di coefficienti del lato destro del sistema e troviamo il suo valore:

Facciamo una cosa simile, sostituendo la seconda colonna nel primo determinante:

Applicabile Le formule di Cramer e trovi i valori delle variabili:
E .
Risposta:
Commento: Questo metodo può risolvere sistemi di dimensioni superiori.

Commento: Se risulta che , ma non può essere diviso per zero, allora dicono che il sistema non ha una soluzione unica. In questo caso il sistema o ha infinite soluzioni oppure non ne ha affatto.

Esempio 2(numero infinito di soluzioni):

Risolvi il sistema di equazioni:

riguardo alle variabili X E A.
Soluzione:
Troviamo il determinante della matrice, composta dai coefficienti del sistema:

Risoluzione di sistemi mediante il metodo di sostituzione.

La prima delle equazioni del sistema è un'uguaglianza vera per qualsiasi valore delle variabili (perché 4 è sempre uguale a 4). Ciò significa che è rimasta solo un'equazione. Questa è un'equazione per la relazione tra variabili.
Abbiamo scoperto che la soluzione del sistema è una qualsiasi coppia di valori di variabili legate tra loro dall'uguaglianza .
La soluzione generale sarà scritta come segue:
Soluzioni particolari possono essere determinate scegliendo un valore arbitrario di y e calcolando x da questa uguaglianza di connessione.

eccetera.
Esistono infinite soluzioni simili.
Risposta: decisione comune
Soluzioni private:

Esempio 3(nessuna soluzione, il sistema è incompatibile):

Risolvi il sistema di equazioni:

Soluzione:
Troviamo il determinante della matrice, composta dai coefficienti del sistema:

Le formule di Cramer non possono essere utilizzate. Risolviamo questo sistema utilizzando il metodo di sostituzione

La seconda equazione del sistema è un'uguaglianza che non è vera per nessun valore delle variabili (ovviamente, poiché -15 non è uguale a 2). Se una delle equazioni del sistema non è vera per alcun valore delle variabili, allora l’intero sistema non ha soluzioni.
Risposta: nessuna soluzione

Il metodo di Cramer o la cosiddetta regola di Cramer è un metodo per cercare quantità sconosciute da sistemi di equazioni. Può essere utilizzato solo se il numero di valori cercati è equivalente al numero di equazioni algebriche nel sistema, cioè la matrice principale formata dal sistema deve essere quadrata e non contenere zero righe, e anche se il suo determinante deve non essere zero.

Teorema 1

Il teorema di Cramer Se il determinante principale $D$ della matrice principale, compilata sulla base dei coefficienti delle equazioni, non è uguale a zero, allora il sistema di equazioni è coerente e ha un'unica soluzione. La soluzione di un tale sistema si calcola attraverso le cosiddette formule di Cramer per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari: $x_i = \frac(D_i)(D)$

Cos'è il metodo Cramer?

L'essenza del metodo di Cramer è la seguente:

1. Per trovare una soluzione al sistema utilizzando il metodo di Cramer, calcoliamo innanzitutto il determinante principale della matrice $D$. Quando il determinante calcolato della matrice principale, calcolato con il metodo di Cramer, risulta essere uguale a zero, il sistema non ha un'unica soluzione o ha un numero infinito di soluzioni. In questo caso, per trovare una risposta generale o di base per il sistema, si consiglia di utilizzare il metodo gaussiano.
2. Successivamente è necessario sostituire la colonna più esterna della matrice principale con una colonna di termini liberi e calcolare il determinante $D_1$.
3. Ripeti lo stesso per tutte le colonne, ottenendo i determinanti da $D_1$ a $D_n$, dove $n$ è il numero della colonna più a destra.
4. Dopo aver trovato tutti i determinanti $D_1$...$D_n$, le variabili incognite possono essere calcolate utilizzando la formula $x_i = \frac(D_i)(D)$.

Tecniche per il calcolo del determinante di una matrice

Per calcolare il determinante di una matrice con dimensione maggiore di 2 per 2 si possono utilizzare diversi metodi:

• La regola dei triangoli, o regola di Sarrus, ricorda la stessa regola. L'essenza del metodo del triangolo è che quando si calcola il determinante, i prodotti di tutti i numeri collegati nella figura dalla linea rossa a destra vengono scritti con un segno più e tutti i numeri collegati in modo simile nella figura a sinistra si scrivono con il segno meno. Entrambe le regole sono adatte per matrici di dimensione 3 x 3. Nel caso della regola di Sarrus, la matrice stessa viene prima riscritta e accanto ad essa vengono riscritte nuovamente la prima e la seconda colonna. Le diagonali vengono disegnate attraverso la matrice e queste colonne aggiuntive; i membri della matrice che giacciono sulla diagonale principale o paralleli ad essa vengono scritti con un segno più, e gli elementi che giacciono sulla diagonale secondaria o paralleli ad essa vengono scritti con un segno meno.

Figura 1. Regola del triangolo per il calcolo del determinante per il metodo di Cramer

• Utilizzando un metodo noto come metodo gaussiano, questo metodo è talvolta chiamato anche riduzione dell'ordine del determinante. In questo caso, la matrice viene trasformata e ridotta alla forma triangolare, quindi vengono moltiplicati tutti i numeri sulla diagonale principale. Va ricordato che quando si cerca un determinante in questo modo, non è possibile moltiplicare o dividere righe o colonne per numeri senza estrarle come moltiplicatore o divisore. Nel caso della ricerca di un determinante è possibile solo sottrarre e sommare tra loro righe e colonne, avendo precedentemente moltiplicato la riga sottratta per un fattore diverso da zero. Inoltre, ogni volta che riorganizzi le righe o le colonne della matrice, dovresti ricordare la necessità di cambiare il segno finale della matrice.
• Quando si risolve uno SLAE con 4 incognite utilizzando il metodo Cramer, è meglio utilizzare il metodo Gauss per cercare e trovare determinanti o determinare il determinante cercando i minori.

Risoluzione di sistemi di equazioni utilizzando il metodo di Cramer

Applichiamo il metodo di Cramer per un sistema di 2 equazioni e due quantità richieste:

$\begin(cases) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end(cases)$

Mostriamolo in forma estesa per comodità:

$A = \begin(array)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(array)$

Troviamo il determinante della matrice principale, chiamato anche determinante principale del sistema:

$D = \begin(array)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(array) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Se il determinante principale non è uguale a zero, per risolvere lo slough utilizzando il metodo di Cramer è necessario calcolare un paio di determinanti in più da due matrici con le colonne della matrice principale sostituite da una riga di termini liberi:

$D_1 = \begin(array)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(array) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin(array)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(array) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Ora troviamo le incognite $x_1$ e $x_2$:

$x_1 = \frac(D_1)(D)$

$x_2 = \frac(D_2)(D)$

Esempio 1

Metodo di Cramer per la risoluzione degli SLAE con una matrice principale del 3° ordine (3 x 3) e tre richieste.

Risolvi il sistema di equazioni:

$\begin(cases) 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 - x_3 = 10 \\ \end(cases)$

Calcoliamo il determinante principale della matrice utilizzando la regola sopra indicata al punto numero 1:

$D = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = - 64$

E ora altre tre determinanti:

$D_1 = \begin(array)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(array) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = - 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = - $296

$D_2 = \begin(array)(|ccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = $108

$D_3 = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = - $60

Troviamo le quantità richieste:

$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$

$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$

$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$

Metodi Kramer E Gauss- uno dei metodi di soluzione più popolari SLAU. Inoltre, in alcuni casi è consigliabile utilizzare metodi specifici. La sessione è vicina e ora è il momento di ripeterli o padroneggiarli da zero. Oggi esamineremo la soluzione utilizzando il metodo di Cramer. Dopotutto, risolvere un sistema di equazioni lineari utilizzando il metodo Cramer è un'abilità molto utile.

Sistemi di equazioni algebriche lineari

Un sistema di equazioni algebriche lineari è un sistema di equazioni della forma:

Valore impostato X , in cui le equazioni del sistema si trasformano in identità, è detta soluzione del sistema, UN E B sono coefficienti reali. Un semplice sistema composto da due equazioni in due incognite può essere risolto mentalmente o esprimendo una variabile in termini dell'altra. Ma in uno SLAE possono esserci molto più di due variabili (x), e qui le semplici manipolazioni scolastiche non sono sufficienti. Cosa fare? Ad esempio, risolvi gli SLAE utilizzando il metodo di Cramer!

Quindi, lasciamo che il sistema sia composto da N equazioni con N sconosciuto.

Tale sistema può essere riscritto in forma matriciale

Qui UN – la matrice principale del sistema, X E B , rispettivamente, matrici colonna di variabili sconosciute e termini liberi.

Risoluzione degli SLAE utilizzando il metodo di Cramer

Se il determinante della matrice principale non è uguale a zero (la matrice non è singolare), il sistema può essere risolto utilizzando il metodo di Cramer.

Secondo il metodo di Cramer, la soluzione si trova utilizzando le formule:

Qui delta è il determinante della matrice principale, e delta x n-esimo – determinante ottenuto dal determinante della matrice principale sostituendo la n-esima colonna con una colonna di termini liberi.

Questa è l'intera essenza del metodo Cramer. Sostituendo i valori trovati utilizzando le formule sopra X nel sistema desiderato, siamo convinti della correttezza (o viceversa) della nostra soluzione. Per aiutarti a coglierne rapidamente l’essenza, forniamo di seguito un esempio di soluzione dettagliata di SLAE utilizzando il metodo di Cramer:

Anche se non ci riesci la prima volta, non scoraggiarti! Con un po' di pratica, inizierai a rompere gli SLAU come matti. Inoltre, ora non è assolutamente necessario studiare attentamente un taccuino, risolvere calcoli complicati e scrivere il nucleo. Puoi risolvere facilmente gli SLAE utilizzando il metodo di Cramer online, semplicemente sostituendo i coefficienti nel modulo finale. Puoi provare un calcolatore di soluzioni online utilizzando il metodo di Cramer, ad esempio, su questo sito web.

E se il sistema si rivela testardo e non si arrende, puoi sempre chiedere aiuto ai nostri autori, ad esempio. Se ci sono almeno 100 incognite nel sistema, lo risolveremo sicuramente correttamente e in tempo!

Con lo stesso numero di equazioni del numero di incognite con il determinante principale della matrice, che non è uguale a zero, i coefficienti del sistema (per tali equazioni esiste una soluzione e ce n'è solo una).

Il teorema di Cramer.

Quando il determinante della matrice di un sistema quadrato è diverso da zero, significa che il sistema è coerente e ha una soluzione e può essere trovato da Le formule di Cramer:

dove Δ - determinante della matrice del sistema,

Δ ioè il determinante della matrice del sistema, in cui invece di io La esima colonna contiene la colonna dei lati destri.

Quando il determinante di un sistema è zero, significa che il sistema può diventare cooperativo o incompatibile.

Questo metodo viene solitamente utilizzato per piccoli sistemi con calcoli estesi e se è necessario determinare una delle incognite. La complessità del metodo è che è necessario calcolare molti determinanti.

Descrizione del metodo Cramer.

Esiste un sistema di equazioni:

Un sistema di 3 equazioni può essere risolto utilizzando il metodo Cramer, discusso sopra per un sistema di 2 equazioni.

Componiamo un determinante dai coefficienti delle incognite:

Sarà determinante del sistema. Quando D≠0, il che significa che il sistema è coerente. Ora creiamo 3 determinanti aggiuntivi:

,,

Risolviamo il sistema tramite Le formule di Cramer:

Esempi di risoluzione di sistemi di equazioni utilizzando il metodo di Cramer.

Esempio 1.

Sistema dato:

Risolviamolo utilizzando il metodo di Cramer.

Per prima cosa devi calcolare il determinante della matrice del sistema:

Perché Δ≠0, il che significa che per il teorema di Cramer il sistema è consistente e ha una soluzione. Calcoliamo determinanti aggiuntivi. Il determinante Δ 1 si ottiene dal determinante Δ sostituendo la sua prima colonna con una colonna di coefficienti liberi. Noi abbiamo:

Allo stesso modo, otteniamo il determinante di Δ 2 dal determinante della matrice del sistema sostituendo la seconda colonna con una colonna di coefficienti liberi: