Come calcolare il volume di un corpo di rivoluzione utilizzando un integrale definito? Lezione “Calcolo dei volumi dei corpi di rivoluzione utilizzando un integrale definito.

Definizione 3. Un corpo di rivoluzione è un corpo ottenuto facendo ruotare una figura piana attorno ad un asse che non interseca la figura e giace sullo stesso piano con essa.

L'asse di rotazione può anche intersecare la figura se è l'asse di simmetria della figura.

Teorema 2.
, asse
e segmenti di retta
E

ruota attorno ad un asse
. Quindi il volume del corpo di rivoluzione risultante può essere calcolato con la formula

(2)

Prova. Per un tale corpo, la sezione con l'ascissa è un cerchio di raggio
, Significa
e la formula (1) dà il risultato desiderato.

Se la figura è limitata dai grafici di due funzioni continue
E
e segmenti di linea
E
, Inoltre
E
, quindi ruotando attorno all'asse delle ascisse, otteniamo un corpo il cui volume

Esempio 3 Calcolare il volume di un toro ottenuto ruotando una circonferenza delimitata da un cerchio

attorno all'asse x.

R soluzione. Il cerchio specificato è delimitato dal basso dal grafico della funzione
, e al di sopra -
. La differenza dei quadrati di queste funzioni:

Volume desiderato

(il grafico dell'integrando è il semicerchio superiore, quindi l'integrale scritto sopra è l'area del semicerchio).

Esempio 4 Segmento parabolico con base
e altezza , ruota attorno alla base. Calcolare il volume del corpo risultante ("limone" di Cavalieri).

R soluzione. Posiziona la parabola come mostrato in figura. Quindi la sua equazione
, E
. Troviamo il valore del parametro :
. Quindi, il volume desiderato:

Teorema 3. Sia un trapezio curvilineo delimitato dal grafico di una funzione continua non negativa
, asse
e segmenti di retta
E
, Inoltre
, ruota attorno ad un asse
. Quindi il volume del corpo di rivoluzione risultante può essere trovato con la formula

(3)

idea di prova. Divisione del segmento
punti

, in parti e tracciare linee rette
. L'intero trapezio si decomporrà in strisce, che possono essere considerate approssimativamente rettangoli con una base
e altezza
.

Il cilindro risultante dalla rotazione di tale rettangolo viene tagliato lungo la generatrice e dispiegato. Otteniamo un “quasi” parallelepipedo di dimensioni:
,
E
. Il suo volume
. Quindi, per il volume di un corpo di rivoluzione avremo un'uguaglianza approssimativa

Per ottenere l'uguaglianza esatta dobbiamo passare al limite a
. La somma scritta sopra è la somma integrale della funzione
, quindi, al limite si ottiene l'integrale dalla formula (3). Il teorema è stato dimostrato.

Osservazione 1. Nei Teoremi 2 e 3 la condizione
può essere omesso: la formula (2) è generalmente insensibile al segno
, e nella formula (3) è sufficiente
sostituito da
.

Esempio 5 Segmento parabolico (base
, altezza ) ruota attorno all'altezza. Trova il volume del corpo risultante.

Soluzione. Disporre la parabola come mostrato in figura. E sebbene l'asse di rotazione attraversi la figura, esso - l'asse - è l'asse di simmetria. Pertanto, va considerata solo la metà destra del segmento. Equazione della parabola
, E
, Significa
. Abbiamo per il volume:

Osservazione 2. Se il confine curvilineo di un trapezio curvilineo è dato dalle equazioni parametriche
,
,
E
,
quindi è possibile utilizzare le formule (2) e (3) con la sostituzione SU
E
SU
quando cambia T da
Prima .

Esempio 6 La figura è delimitata dal primo arco della cicloide
,
,
e l'asse delle ascisse. Trova il volume del corpo ottenuto ruotando questa figura attorno: 1) all'asse
; 2) assi
.

Soluzione. 1) Formula generale
Nel nostro caso:

2) Formula generale
Per la nostra figura:

Incoraggiamo gli studenti a fare tutti i calcoli da soli.

Osservazione 3. Sia un settore curvilineo delimitato da una linea continua
e raggi
,

, ruota attorno all'asse polare. Il volume del corpo risultante può essere calcolato con la formula.

Esempio 7 Parte di una figura delimitata da una cardioide
, che giace fuori dal cerchio
, ruota attorno all'asse polare. Trova il volume del corpo risultante.

Soluzione. Entrambe le linee, e quindi la figura che delimitano, sono simmetriche rispetto all'asse polare. Pertanto è necessario considerare solo la parte per la quale
. Le curve si intersecano a
E

A
. Inoltre, la figura può essere considerata come la differenza di due settori, e quindi il volume può essere calcolato come la differenza di due integrali. Abbiamo:

Compiti per una soluzione indipendente.

1. Un segmento circolare la cui base
, altezza , ruota attorno alla base. Trova il volume del corpo di rivoluzione.

2. Trova il volume di un paraboloide di rivoluzione la cui base , e l'altezza è .

3. Figura delimitata da un astroide
,
ruota attorno all'asse x. Trova il volume del corpo, che si ottiene in questo caso.

4. Figura delimitata da linee
E
ruota attorno all'asse x. Trova il volume del corpo di rivoluzione.

Argomento: "Calcolo dei volumi dei corpi di rivoluzione utilizzando un integrale definito"

Tipo di lezione: combinato.

Lo scopo della lezione: imparare a calcolare i volumi dei corpi di rivoluzione utilizzando gli integrali.

Compiti:

consolidare la capacità di selezionare trapezi curvilinei da una serie di forme geometriche e sviluppare l'abilità di calcolare le aree dei trapezi curvilinei;

conoscere il concetto di figura tridimensionale;

imparare a calcolare i volumi dei corpi di rivoluzione;

promuovere lo sviluppo del pensiero logico, del discorso matematico competente, dell'accuratezza nella costruzione dei disegni;

coltivare l'interesse per la materia, operare con concetti e immagini matematiche, coltivare la volontà, l'indipendenza, la perseveranza nel raggiungimento del risultato finale.

Durante le lezioni

I. Momento organizzativo.

Saluto di gruppo. Comunicazione agli studenti degli obiettivi della lezione.

Vorrei iniziare la lezione di oggi con una parabola. “C'era un uomo saggio che sapeva tutto. Una persona voleva dimostrare che il saggio non sa tutto. Stringendo la farfalla tra le mani, chiese: "Dimmi, saggio, quale farfalla è nelle mie mani: viva o morta?" E lui stesso pensa: "Se dice il vivo, la ammazzo, se dice il morto, la lascio uscire". Il saggio, dopo aver riflettuto, rispose: "Tutto è nelle tue mani".

Pertanto, lavoriamo fruttuosamente oggi, acquisiamo un nuovo bagaglio di conoscenze e applicheremo le competenze e le abilità acquisite nella vita futura e nelle attività pratiche. "Tutto è nelle tue mani".

II. Ripetizione di materiale precedentemente appreso.

Ricordiamo i punti principali del materiale precedentemente studiato. Per fare ciò, completeremo l'attività "Elimina la parola in più".

(Gli studenti dicono una parola in più.)

Giusto "Differenziale". Prova a nominare le parole rimanenti in una parola comune. (Calcolo integrale.)

Ricordiamo le principali fasi e concetti relativi al calcolo integrale.

Esercizio. Ripristina i passaggi. (Lo studente esce e scrive le parole necessarie con un pennarello.)

Lavora sui quaderni.

La formula di Newton-Leibniz fu sviluppata dal fisico inglese Isaac Newton (1643-1727) e dal filosofo tedesco Gottfried Leibniz (1646-1716). E questo non sorprende, perché la matematica è la lingua parlata dalla natura stessa.

Considera come viene utilizzata questa formula per risolvere compiti pratici.

Esempio 1: Calcola l'area di una figura delimitata da linee

Soluzione: Costruiamo sul piano delle coordinate i grafici delle funzioni . Selezionare l'area della figura da trovare.

III. Imparare nuovo materiale.

Presta attenzione allo schermo. Cosa è mostrato nella prima immagine? (La figura mostra una figura piatta.)

Cosa è mostrato nella seconda immagine? Questa cifra è piatta? (La figura mostra una figura tridimensionale.)

Nello spazio, sulla terra e nella vita di tutti i giorni incontriamo non solo figure piatte, ma anche tridimensionali, ma come calcolare il volume di tali corpi? Ad esempio: il volume di un pianeta, di una cometa, di un meteorite, ecc.

Pensano al volume quando costruiscono case e versano l'acqua da una nave all'altra. Avrebbero dovuto sorgere regole e metodi per il calcolo dei volumi, un'altra cosa è quanto fossero accurati e giustificati.

L'anno 1612 fu molto fruttuoso per gli abitanti della città austriaca di Linz, dove visse l'allora famoso astronomo Giovanni Keplero, soprattutto per l'uva. La gente preparava le botti di vino e voleva sapere come determinarne praticamente il volume.

Pertanto, le opere considerate di Keplero segnarono l'inizio di un intero flusso di ricerca, culminato nell'ultimo quarto del XVII secolo. design nelle opere di I. Newton e G.V. Calcolo differenziale e integrale di Leibniz. Da quel momento, la matematica delle variabili di grandezza ha preso un posto di primo piano nel sistema della conoscenza matematica.

Quindi oggi saremo impegnati in tali attività pratiche, quindi,

L'argomento della nostra lezione: "Calcolo dei volumi dei corpi di rivoluzione utilizzando un integrale definito".

Imparerai la definizione di corpo di rivoluzione completando il seguente compito.

"Labirinto".

Esercizio. Trova una via d'uscita dalla situazione confusa e scrivi la definizione.

IVCalcolo dei volumi.

Utilizzando un integrale definito, puoi calcolare il volume di un corpo, in particolare un corpo di rivoluzione.

Un corpo di rivoluzione è un corpo ottenuto facendo ruotare un trapezio curvilineo attorno alla sua base (Fig. 1, 2)

Il volume di un corpo di rivoluzione è calcolato da una delle formule:

1. attorno all'asse x.

2. , se la rotazione del trapezio curvilineo attorno all'asse y.

Gli studenti scrivono le formule di base su un quaderno.

L'insegnante spiega la soluzione degli esempi alla lavagna.

1. Trova il volume del corpo ottenuto ruotando attorno all'asse y di un trapezio curvilineo delimitato da linee: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Soluzione.

Risposta: 1163 cm3.

2. Trova il volume del corpo ottenuto ruotando un trapezio parabolico attorno all'asse delle ascisse y = , x = 4, y = 0.

Soluzione.

V. Simulatore di matematica.

2. Viene chiamato l'insieme di tutte le derivate di una data funzione

A) un integrale indefinito

B) funzione,

B) differenziazione.

7. Trova il volume del corpo ottenuto ruotando attorno all'asse delle ascisse di un trapezio curvilineo delimitato da linee:

D/Z. Correzione di nuovo materiale

Calcola il volume del corpo formato dalla rotazione del petalo attorno all'asse x y=x2, y2=x.

Tracciamo i grafici della funzione. y=x2, y2=x. Il grafico y2 = x si trasforma nella forma y = .

Abbiamo V = V1 - V2 Calcoliamo il volume di ciascuna funzione:

Conclusione:

L'integrale definito è una sorta di base per lo studio della matematica, che fornisce un contributo indispensabile alla risoluzione di problemi di contenuto pratico.

L'argomento "Integrale" dimostra chiaramente la connessione tra matematica e fisica, biologia, economia e tecnologia.

Lo sviluppo della scienza moderna è impensabile senza l’uso dell’integrale. A questo proposito, è necessario iniziare a studiarlo nel quadro dell'istruzione specializzata secondaria!

VI. Classificazione.(Con commento.)

Grande Omar Khayyam - matematico, poeta, filosofo. Chiama ad essere padroni del suo destino. Ascolta un estratto dal suo lavoro:

Dici che questa vita è solo un momento.
Apprezzalo, trai ispirazione da esso.
Man mano che lo spendi, così passerà.
Non dimenticare: lei è la tua creazione.

Tipologia di lezione: combinata.

Lo scopo della lezione: imparare a calcolare i volumi dei corpi di rivoluzione utilizzando gli integrali.

Compiti:

consolidare la capacità di selezionare trapezi curvilinei da una serie di forme geometriche e sviluppare l'abilità di calcolare le aree dei trapezi curvilinei;
conoscere il concetto di figura tridimensionale;
imparare a calcolare i volumi dei corpi di rivoluzione;
promuovere lo sviluppo del pensiero logico, del discorso matematico competente, dell'accuratezza nella costruzione dei disegni;
coltivare l'interesse per la materia, operare con concetti e immagini matematiche, coltivare la volontà, l'indipendenza, la perseveranza nel raggiungimento del risultato finale.

Durante le lezioni

I. Momento organizzativo.

Saluto di gruppo. Comunicazione agli studenti degli obiettivi della lezione.

Riflessione. Melodia calma.

Vorrei iniziare la lezione di oggi con una parabola. “C'era un uomo saggio che sapeva tutto. Una persona voleva dimostrare che il saggio non sa tutto. Stringendo la farfalla tra le mani, chiese: "Dimmi, saggio, quale farfalla è nelle mie mani: viva o morta?" E lui stesso pensa: "Se dice il vivo, la ucciderò, se dice il morto, la farò uscire". Il saggio, riflettendo, rispose: "Tutto nelle tue mani". (Presentazione.Diapositiva)

- Pertanto, lavoriamo fruttuosamente oggi, acquisiamo un nuovo bagaglio di conoscenze e applicheremo le competenze e le abilità acquisite nella vita successiva e nelle attività pratiche. "Tutto nelle tue mani".

II. Ripetizione di materiale precedentemente appreso.

Rivediamo i punti principali del materiale precedentemente studiato. Per fare questo, eseguiamo il compito "Rimuovi la parola ridondante."(Diapositiva.)

(Lo studente va all'ID con l'aiuto di una gomma per rimuovere la parola in più.)

- Giusto "Differenziale". Prova a nominare le parole rimanenti in una parola comune. (Calcolo integrale.)

- Ricordiamo le principali fasi e concetti legati al calcolo integrale..

"Mazzo matematico".

Esercizio. Ripristina i passaggi. (Lo studente esce e scrive le parole necessarie con una penna.)

- Ascolteremo più tardi una relazione sull'applicazione degli integrali.

Lavora sui quaderni.

– La formula di Newton-Leibniz fu sviluppata dal fisico inglese Isaac Newton (1643–1727) e dal filosofo tedesco Gottfried Leibniz (1646–1716). E questo non sorprende, perché la matematica è la lingua che parla la natura stessa.

– Considera come questa formula viene utilizzata nella risoluzione di compiti pratici.

Esempio 1: Calcola l'area di una figura delimitata da linee

Soluzione: costruiamo grafici di funzioni sul piano delle coordinate . Selezionare l'area della figura da trovare.

III. Imparare nuovo materiale.

- Presta attenzione allo schermo. Cosa è mostrato nella prima immagine? (Diapositiva) (La figura mostra una figura piatta.)

Cosa è mostrato nella seconda immagine? Questa cifra è piatta? (Diapositiva) (La figura mostra una figura tridimensionale.)

- Nello spazio, sulla terra e nella vita di tutti i giorni incontriamo non solo figure piatte, ma anche tridimensionali, ma come possiamo calcolare il volume di tali corpi? Ad esempio, il volume di un pianeta, di una cometa, di un meteorite, ecc.

– Pensa al volume, alla costruzione di case e al versamento dell’acqua da un recipiente all’altro. Avrebbero dovuto sorgere regole e metodi per il calcolo dei volumi, un'altra cosa è quanto fossero accurati e giustificati.

Messaggio dello studente. (Tjurina Vera.)

- Pertanto, le opere considerate di Keplero segnarono l'inizio di un intero flusso di ricerca, culminato nell'ultimo quarto del XVII secolo. design nelle opere di I. Newton e G.V. Calcolo differenziale e integrale di Leibniz. Da quel momento, la matematica delle variabili di grandezza ha preso un posto di primo piano nel sistema della conoscenza matematica.

- Quindi oggi saremo impegnati in tali attività pratiche, quindi,

L'argomento della nostra lezione: "Calcolo dei volumi dei corpi di rivoluzione utilizzando un integrale definito". (Diapositiva)

- Imparerai la definizione di corpo di rivoluzione completando il seguente compito.

"Labirinto".

Labirinto (parola greca) significa passaggio alla prigione. Un labirinto è un'intricata rete di percorsi, passaggi, stanze che comunicano tra loro.

Ma la definizione "si è schiantata", c'erano accenni sotto forma di frecce.

Esercizio. Trova una via d'uscita dalla situazione confusa e scrivi la definizione.

Diapositiva. “Scheda istruzioni” Calcolo dei volumi.

Utilizzando un integrale definito, puoi calcolare il volume di un corpo, in particolare un corpo di rivoluzione.

Un corpo di rivoluzione è un corpo ottenuto facendo ruotare un trapezio curvilineo attorno alla sua base (Fig. 1, 2)

Il volume di un corpo di rivoluzione si calcola con una delle formule:

1. attorno all'asse x.

2. , se la rotazione del trapezio curvilineo attorno all'asse y.

Ogni studente riceve una scheda di istruzioni. L'insegnante evidenzia i punti principali.

L'insegnante spiega alla lavagna la soluzione degli esempi.

Considera un estratto dalla famosa fiaba di A. S. Pushkin "La storia dello zar Saltan, del suo glorioso e potente figlio, il principe Gvidon Saltanovich, e della bellissima principessa Lebed" (Diapositiva 4):

…..
E ha portato un messaggero ubriaco
Lo stesso giorno l'ordine è:
“Lo zar ordina ai suoi boiardi,
Non perdere tempo
E la regina e la prole
Gettato di nascosto nell’abisso delle acque”.
Non c'è niente da fare: i boiardi,
Avendo pianto per il sovrano
E la giovane regina
Una folla venne nella sua camera da letto.
Dichiarato il testamento reale -
Lei e suo figlio hanno un destino malvagio,
Leggi il decreto ad alta voce
E la regina allo stesso tempo
Mi hanno messo in una botte con mio figlio,
Pregato, arrotolato
E mi hanno fatto entrare nell'okian -
Così ordinò lo zar Saltan.

Quale dovrebbe essere il volume della botte affinché la regina e suo figlio possano entrarci?

– Considera i seguenti compiti

1. Trova il volume del corpo ottenuto ruotando attorno all'asse y di un trapezio curvilineo delimitato da linee: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Risposta: 1163 cm 3 .

Trova il volume del corpo ottenuto ruotando un trapezio parabolico attorno all'ascissa y = , x = 4, y = 0.

IV. Correzione di nuovo materiale

Esempio 2. Calcola il volume del corpo formato dalla rotazione del petalo attorno all'asse x y \u003d x 2, y 2 \u003d x.

Tracciamo i grafici della funzione. y=x2, y2=x. Programma y2 = x trasformarsi nella forma sì= .

Abbiamo V \u003d V1 - V2 Calcoliamo il volume di ciascuna funzione

- Ora diamo un'occhiata alla torre della stazione radio a Mosca su Shabolovka, costruita secondo il progetto di un meraviglioso ingegnere russo, l'accademico onorario V. G. Shukhov. Consiste di parti: iperboloidi di rivoluzione. Inoltre, ciascuno di essi è costituito da aste metalliche rettilinee che collegano cerchi adiacenti (Fig. 8, 9).

- Considera il problema.

Trova il volume del corpo ottenuto ruotando gli archi dell'iperbole attorno al suo asse immaginario, come mostrato in Fig. 8, dove

cubo unità

Incarichi di gruppo. Gli studenti tirano a sorte i compiti, i disegni vengono realizzati su carta Whatman, uno dei rappresentanti del gruppo difende il lavoro.

1° gruppo.

Colpo! Colpo! Un altro successo!
Una palla vola nel cancello: PALLA!
E questa è una pallina di anguria
Verde, rotondo, delizioso.
Guarda meglio: che palla!
È composto da cerchi.
Tagliare l'anguria in cerchi
E assaggiarli.

Trovare il volume di un corpo ottenuto dalla rotazione attorno all'asse OX di una funzione delimitata da

Errore! Il segnalibro non è definito.

- Dimmi, per favore, dove ci incontriamo con questa figura?

Casa. compito per il gruppo 1. CILINDRO (diapositiva) .

"Cilindro: che cos'è?" Ho chiesto a mio padre.
Il padre rise: Il cilindro è un cappello.
Per avere un'idea corretta,
Il cilindro, diciamo, è un barattolo di latta.
Il tubo del piroscafo è un cilindro,
Anche il tubo sul nostro tetto

Tutti i tubi sono simili a un cilindro.
E ho fatto un esempio come questo:
Il mio amato caleidoscopio
Non puoi distogliere lo sguardo da lui.
Sembra anche un cilindro.

- Esercizio. Compito per casa per tracciare una funzione e calcolare il volume.

2° gruppo. CONO (diapositiva).

La mamma ha detto: E ora
Riguardo al cono sarà la mia storia.
Stargazer con un berretto alto
Conta le stelle tutto l'anno.
CONO: il cappello dell'osservatore delle stelle.
Questo è quello che è. Inteso? Questo è tutto.
La mamma era a tavola
Versò l'olio nelle bottiglie.
- Dov'è l'imbuto? Nessun imbuto.
Aspetto. Non restare in disparte.
- Mamma, non mi muoverò da questo posto,
Dimmi di più sul cono.
- L'imbuto ha la forma di un cono di annaffiatoio.
Vieni, trovami presto.
Non sono riuscito a trovare l'imbuto
Ma la mamma ha fatto una borsa,
Avvolgi il cartone attorno al dito
E abilmente fissato con una graffetta.
L'olio scorre, la mamma è felice
Il cono è venuto proprio bene.

Esercizio. Calcolare il volume del corpo ottenuto ruotando attorno all'asse x

Casa. compito per il 2° gruppo. PIRAMIDE(diapositiva).

Ho visto la foto. In questa immagine
C'è una PIRAMIDE nel deserto sabbioso.
Tutto nella piramide è straordinario,
C'è qualche mistero e mistero in esso.
La Torre Spasskaya sulla Piazza Rossa
Sia i bambini che gli adulti sono ben noti.
Guarda la torre: dall'aspetto ordinario,
Cosa c'è sopra di lei? Piramide!

Esercizio. Compiti a casa tracciare una funzione e calcolare il volume della piramide

- Abbiamo calcolato i volumi di vari corpi in base alla formula base per i volumi dei corpi utilizzando l'integrale.

Questa è un'altra conferma che l'integrale definito costituisce un fondamento per lo studio della matematica.

"Adesso riposiamoci un po'."

Trovane un paio.

Suona la melodia matematica del domino.

"La strada che lui stesso cercava non sarà mai dimenticata..."

Lavoro di ricerca. Applicazione dell'integrale in economia e tecnologia.

Test per studenti forti e calcio di matematica.

Simulatore di matematica.

2. Viene chiamato l'insieme di tutte le derivate di una data funzione

A) un integrale indefinito

B) funzione,

B) differenziazione.

7. Trova il volume del corpo ottenuto ruotando attorno all'asse delle ascisse di un trapezio curvilineo delimitato da linee:

D/Z. Calcolare i volumi dei corpi di rivoluzione.

Riflessione.

Accettazione della riflessione nella forma cinquain(cinque righe).

1a riga: il nome dell'argomento (un sostantivo).

2a riga: una descrizione dell'argomento in poche parole, due aggettivi.

3a riga: una descrizione dell'azione all'interno di questo argomento in tre parole.

4a riga: una frase di quattro parole, mostra l'atteggiamento nei confronti dell'argomento (un'intera frase).

La quinta riga è un sinonimo che ripete l'essenza dell'argomento.

Volume.
Funzione integrale definita e integrabile.
Costruiamo, ruotiamo, calcoliamo.
Corpo ottenuto facendo ruotare un trapezio curvilineo (attorno alla sua base).
Corpo di rivoluzione (corpo geometrico 3D).

Conclusione (diapositiva).

Un integrale definito è una sorta di base per lo studio della matematica, che fornisce un contributo indispensabile alla risoluzione di problemi di contenuto pratico.
L'argomento "Integrale" dimostra chiaramente la connessione tra matematica e fisica, biologia, economia e tecnologia.
Lo sviluppo della scienza moderna è impensabile senza l’uso dell’integrale. A questo proposito, è necessario iniziare a studiarlo nel quadro dell'istruzione specializzata secondaria!

Classificazione. (Con commento.)

Il grande Omar Khayyam è un matematico, poeta e filosofo. Chiama ad essere padroni del suo destino. Ascolta un estratto dal suo lavoro:

Dici che questa vita è solo un momento.
Apprezzalo, trai ispirazione da esso.
Man mano che lo spendi, così passerà.
Non dimenticare: lei è la tua creazione.

I. Volumi di corpi di rivoluzione. Studiare preliminarmente il capitolo XII, p°p° 197, 198, secondo il libro di testo di G. M. Fikhtengol'ts* Analizzare in dettaglio gli esempi riportati in p° 198.

508. Calcola il volume del corpo formato dalla rotazione dell'ellisse attorno all'asse x.

Così,

530. Trova l'area della superficie formata dalla rotazione attorno all'asse Ox dell'arco della sinusoide y \u003d sin x dal punto X \u003d 0 al punto X \u003d It.

531. Calcola la superficie di un cono di altezza h e raggio r.

532. Calcola la superficie formata da

rotazione dell'astroide x3 -) - y* - a3 attorno all'asse x.

533. Calcola l'area della superficie formata dall'inversione dell'anello della curva 18 y-x(6-x)r attorno all'asse x.

534. Trova la superficie del toro prodotta dalla rotazione del cerchio X2 - j - (y-3)2 = 4 attorno all'asse x.

535. Calcola l'area della superficie formata dalla rotazione del cerchio X = a costo, y = asint attorno all'asse del Bue.

536. Calcola l'area della superficie formata dalla rotazione dell'anello della curva x = 9t2, y = St - 9t3 attorno all'asse Ox.

537. Trovare l'area della superficie formata dalla rotazione dell'arco della curva x = e * sint, y = el cost attorno all'asse Ox

da t = 0 a t = -.

538. Mostrare che la superficie prodotta dalla rotazione dell'arco della cicloide x = a (q> - sin φ), y = a (I - cos φ) attorno all'asse Oy, è pari a 16 u2 o2.

539. Trova la superficie ottenuta ruotando la cardioide attorno all'asse polare.

540. Trovare l'area della superficie formata dalla rotazione della lemniscata attorno all'asse polare.

Compiti aggiuntivi per il Capitolo IV

Aree delle figure piane

541. Trova l'intera area di una regione delimitata da una curva E l'asse Oh.

542. Trova l'area della regione delimitata dalla curva

E l'asse Oh.

543. Trovare la parte dell'area della regione situata nel primo quadrante e delimitata dalla curva

l coordinare gli assi.

544. Trova l'area dell'area contenuta all'interno

cicli:

545. Trova l'area della regione delimitata da un anello della curva:

546. Trova l'area dell'area contenuta all'interno dell'anello:

547. Trova l'area della regione delimitata dalla curva

E l'asse Oh.

548. Trova l'area della regione delimitata dalla curva

E l'asse Oh.

549. Trova l'area della regione delimitata dall'asse Oxr

dritto e curvo

Sia T un corpo di rivoluzione formato dalla rotazione attorno all'asse delle ascisse di un trapezio curvilineo situato nel semipiano superiore e delimitato dall'asse delle ascisse, dalle rette x=a e x=b e dal grafico di una funzione continua y =f(x) .

Dimostriamolo il corpo di rivoluzione è cubabile e il suo volume è espresso dalla formula

V=\pi \int\limits_(a)^(b) f^2(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)y^2\,dx\,.

Innanzitutto dimostriamo che questo corpo di rivoluzione è regolare se prendiamo come \Pi il piano Oyz perpendicolare all'asse di rivoluzione. Si noti che la sezione situata a distanza x dal piano Oyz è un cerchio di raggio f(x) e la sua area S(x) è \pi f^2(x) (Fig. 46). Pertanto, la funzione S(x) è continua per la continuità di f(x) . Successivamente, se S(x_1)\leqslant S(x_2), allora questo significa che . Ma le proiezioni delle sezioni sul piano Oyz sono cerchi di raggio f(x_1) e f(x_2) con centro O , e da f(x_1)\leqinclinazione f(x_2) ne consegue che il cerchio di raggio f(x_1) è contenuto nel cerchio di raggio f(x_2) .

Quindi il corpo di rotazione è regolare. Pertanto, è cubabile e il suo volume è calcolato dalla formula

V=\pi \int\limits_(a)^(b) S(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)f^2(x)\,dx\,.

Se un trapezio curvilineo fosse delimitato sia dal basso che dall'alto dalle curve y_1=f_1(x), y_2=f_2(x) , allora

V= \pi \int\limits_(a)^(b)y_2^2\,dx- \pi \int\limits_(a)^(b)y_1^2\,dx= \pi\int\limits_(a )^(b)\Bigl(f_2^2(x)-f_1^2(x)\Bigr)dx\,.

La formula (3) può essere utilizzata anche per calcolare il volume di un corpo di rivoluzione nel caso in cui il confine della figura rotante sia dato da equazioni parametriche. In questo caso bisogna usare il cambio di variabile sotto il segno di integrale definito.

In alcuni casi risulta conveniente scomporre i corpi di rivoluzione non in cilindri circolari diritti, ma in figure di tipo diverso.

Ad esempio, troviamo il volume del corpo ottenuto ruotando un trapezio curvilineo attorno all'asse y. Per prima cosa troviamo il volume ottenuto ruotando un rettangolo di altezza y#, alla cui base si trova il segmento . Questo volume è uguale alla differenza tra i volumi di due cilindri circolari diritti

\Delta V_k= \pi y_k x_(k+1)^2- \pi y_k x_k^2= \pi y_k \bigl(x_(k+1)+x_k\bigr) \bigl(x_(k+1)- x_k\bigr).

Ma ora è chiaro che il volume desiderato viene stimato dall'alto e dal basso come segue:

2\pi \sum_(k=0)^(n-1) m_kx_k\Delta x_k \leqslant V\leqslant 2\pi \sum_(k=0)^(n-1) M_kx_k\Delta x_k\,.

Da ciò segue facilmente formula per il volume di un corpo di rivoluzione attorno all'asse y:

V=2\pi \int\limits_(a)^(b) xy\,dx\,.

Esempio 4 Trovare il volume di una palla di raggio R.

Soluzione. Senza perdere in generalità, considereremo una circonferenza di raggio R centrata nell'origine. Questo cerchio, ruotando attorno all'asse del Bue, forma una palla. L'equazione del cerchio è x^2+y^2=R^2 , quindi y^2=R^2-x^2 . Data la simmetria del cerchio attorno all'asse y, troviamo prima la metà del volume desiderato

\frac(1)(2)V= \pi\int\limits_(0)^(R)y^2\,dx= \pi\int\limits_(0)^(R) (R^2-x^ 2)\,dx= \sinistra.(\pi\!\sinistra(R^2x- \frac(x^3)(3)\destra))\destra|_(0)^(R)= \pi\ !\left(R^3- \frac(R^3)(3)\right)= \frac(2)(3)\pi R^3.

Pertanto, il volume dell'intera sfera è \frac(4)(3)\pi R^3.

Esempio 5 Calcola il volume di un cono la cui altezza è h e il raggio della base è r.

Soluzione. Scegliamo un sistema di coordinate in modo che l'asse del Bue coincida con l'altezza h (Fig. 47), e prendiamo come origine la sommità del cono. Allora l'equazione della retta OA può essere scritta come y=\frac(r)(h)\,x .

Utilizzando la formula (3), otteniamo:

V=\pi \int\limits_(0)^(h) y^2\,dx= \pi \int\limits_(0)^(h) \frac(r^2)(h^2)\,x ^2\,dx= \sinistra.(\frac(\pi r^2)(h^2)\cdot \frac(x^3)(3))\destra|_(0)^(h)= \ frac(\pi)(3)\,r^2h\,.

Esempio 6 Trova il volume del corpo ottenuto ruotando attorno all'asse delle ascisse dell'astroide \begin(cases)x=a\cos^3t\,\\ y=a\sin^3t\,.\end(cases)(Fig. 48).

Soluzione. Costruiamo un astroide. Considera la metà della parte superiore dell'astroide, situata simmetricamente rispetto all'asse y. Utilizzando la formula (3) e cambiando la variabile sotto il segno di integrale definito, troviamo i limiti di integrazione per la nuova variabile t.

Se x=a\cos^3t=0 , allora t=\frac(\pi)(2) e se x=a\cos^3t=a , allora t=0 . Dato che y^2=a^2\sin^6t e dx=-3a\cos^2t\sin(t)\,dt, noi abbiamo:

V=\pi \int\limits_(a)^(b) y^2\,dx= \pi \int\limits_(\pi/2)^(0) a^2\sin^6t \bigl(-3a \cos^2t\sin(t)\bigr)\,dt= \ldots= \frac(16\pi)(105)\,a^3.

Sarà il volume dell'intero corpo formato dalla rotazione dell'astroide \frac(32\pi)(105)\,a^3.

Esempio 7 Trovare il volume del corpo ottenuto ruotando attorno all'asse y di un trapezio curvilineo delimitato dall'asse delle ascisse e dal primo arco della cicloide \begin(cases)x=a(t-\sin(t)),\\ y=a(1-\cos(t)).\end(cases).

Soluzione. Usiamo la formula (4): V=2\pi\int\limits_(a)^(b)xy\,dx, e sostituire la variabile sotto il segno di integrale, tenendo conto che il primo arco della cicloide si forma quando la variabile t cambia da 0 a 2\pi . Così,

\begin(aligned)V&= 2\pi \int\limits_(0)^(2\pi) a(t-\sin(t))a(1-\cos(t))a(1-\cos( t))\,dt= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi) (t-\sin(t))(1-\cos(t))^2\,dt= \\ &= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi)\bigl(t-\sin(t)- 2t\cos(t)+ 2\sin(t)\cos( t)+ t\cos^2t- \sin(t)\cos^2t\bigr)\,dt=\\ &= \left.(2\pi a^3\!\left(\frac(t^2 )(2)+ \cos(t)- 2t\sin(t)- 2\cos(t)+ \sin^2t+ \frac(t^2)(4)+ \frac(t)(4)\sin2t+ \frac(1)(8)\cos2t+ \frac(1)(3)\cos^3t\right))\right|_(0)^(2\pi)=\\ &= 2\pi a^3 \!\left(2\pi^2+1-2+\pi^2+\frac(1)(8)+ \frac(1)(3)-1+2- \frac(1)(8) - \frac(1)(3)\right)= 6\pi^3a^3. \end(allineato)

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