Le disuguaglianze logaritmiche di alto livello sono esempi di soluzioni. Risoluzione di semplici disuguaglianze logaritmiche

Obiettivi della lezione:

Didattico:

• Livello 1 - insegna a risolvere le più semplici disuguaglianze logaritmiche, utilizzando la definizione di logaritmo, le proprietà dei logaritmi;
• Livello 2 - risolvere le disuguaglianze logaritmiche, scegliendo il proprio metodo di soluzione;
• Livello 3: essere in grado di applicare conoscenze e abilità in situazioni non standard.

Sviluppando: sviluppare memoria, attenzione, pensiero logico, capacità di confronto, essere in grado di generalizzare e trarre conclusioni

Educativo: coltivare l'accuratezza, la responsabilità per il compito svolto, l'assistenza reciproca.

Metodi di insegnamento: verbale , visivo , pratico , ricerca parziale , autogoverno , controllo.

Forme di organizzazione dell'attività cognitiva degli studenti: frontale , individuale , lavoro in coppia.

Attrezzatura: una serie di attività di test, una nota di riferimento, fogli bianchi per le soluzioni.

Tipo di lezione: imparare nuovo materiale.

Durante le lezioni

1. Momento organizzativo. Viene annunciato il tema e gli obiettivi della lezione, lo schema della lezione: a ogni studente viene consegnata una scheda di valutazione, che lo studente compila durante la lezione; per ogni coppia di studenti - materiali stampati con compiti, è necessario completare i compiti in coppia; fogli bianchi per decisioni; fogli di riferimento: definizione del logaritmo; grafico di una funzione logaritmica, sue proprietà; proprietà dei logaritmi; algoritmo per la risoluzione delle disuguaglianze logaritmiche.

Tutte le decisioni dopo l'autovalutazione vengono sottoposte al docente.

Scheda dei punteggi degli studenti

2. Attualizzazione della conoscenza.

Istruzioni dell'insegnante. Ricorda la definizione di logaritmo, il grafico della funzione logaritmica e le sue proprietà. Per fare ciò, leggi il testo alle pagine 88–90, 98–101 del libro di testo “Algebra e l'inizio dell'analisi 10–11” edito da Sh.A Alimov, Yu.M Kolyagin e altri.

Agli studenti vengono consegnati dei fogli sui quali sono scritti: la definizione del logaritmo; mostra un grafico di una funzione logaritmica, le sue proprietà; proprietà dei logaritmi; algoritmo per risolvere disuguaglianze logaritmiche, un esempio di risoluzione di una disuguaglianza logaritmica che si riduce a un quadrato.

3. Imparare nuovo materiale.

La soluzione delle disuguaglianze logaritmiche si basa sulla monotonicità della funzione logaritmica.

Algoritmo per risolvere le disuguaglianze logaritmiche:

A) Trovare il dominio di definizione della disuguaglianza (l'espressione sublogaritmica è maggiore di zero).
B) Presenta (se possibile) le parti sinistra e destra della disuguaglianza come logaritmi nella stessa base.
C) Determinare se la funzione logaritmica è crescente o decrescente: se t>1, allora crescente; se 0 1, poi decrescente.
D) Passare ad una disuguaglianza più semplice (espressioni sublogaritmiche), considerando che il segno della disuguaglianza rimarrà se la funzione è crescente, e cambierà se è decrescente.

Elemento di apprendimento n. 1.

Scopo: fissare la soluzione delle disuguaglianze logaritmiche più semplici

Forma di organizzazione dell'attività cognitiva degli studenti: lavoro individuale.

Compiti per lavoro indipendente per 10 minuti. Per ogni disuguaglianza ci sono diverse risposte, devi scegliere quella giusta e controllare per chiave.

CHIAVE: 13321, punteggio massimo - 6 p.

Elemento di apprendimento n.2.

Scopo: fissare la soluzione delle disuguaglianze logaritmiche applicando le proprietà dei logaritmi.

Istruzioni dell'insegnante. Richiamare le proprietà fondamentali dei logaritmi. Per fare ciò, leggi il testo del libro di testo a p.92, 103–104.

Compiti per lavoro indipendente per 10 minuti.

CHIAVE: 2113, il numero massimo di punti è 8 b.

Elemento di apprendimento n. 3.

Scopo: studiare la soluzione delle disuguaglianze logaritmiche mediante il metodo della riduzione al quadrato.

Istruzioni per l'insegnante: il metodo per ridurre la disuguaglianza a un quadrato consiste nel trasformare la disuguaglianza in una forma tale che una certa funzione logaritmica sia denotata da una nuova variabile, ottenendo una disuguaglianza quadrata rispetto a questa variabile.

Usiamo il metodo dell'intervallo.

Hai superato il primo livello di assimilazione del materiale. Ora dovrai scegliere autonomamente un metodo per risolvere le equazioni logaritmiche, utilizzando tutte le tue conoscenze e capacità.

Elemento di apprendimento numero 4.

Scopo: consolidare la soluzione delle disuguaglianze logaritmiche scegliendo un modo razionale per risolverle da soli.

Compiti per lavoro indipendente per 10 minuti

Elemento di apprendimento numero 5.

Istruzioni dell'insegnante. Ben fatto! Hai padroneggiato la soluzione di equazioni del secondo livello di complessità. Lo scopo del tuo ulteriore lavoro è applicare le tue conoscenze e abilità in situazioni più complesse e non standard.

Compiti per una soluzione indipendente:

Istruzioni dell'insegnante. È fantastico se hai fatto tutto il lavoro. Ben fatto!

Il voto dell'intera lezione dipende dal numero di punti ottenuti per tutti gli elementi didattici:

• se N ≥ 20, allora ottieni un punteggio pari a “5”,
• per 16 ≤ N ≤ 19 – punteggio “4”,
• per 8 ≤ N ≤ 15 – punteggio “3”,
• al n< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

Volpi stimate da consegnare all'insegnante.

5. Compiti a casa: se hai ottenuto non più di 15 b - lavora sugli errori (le soluzioni possono essere prese dall'insegnante), se hai ottenuto più di 15 b - svolgi un compito creativo sull'argomento "Disequazioni logaritmiche".

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Tra l'intera varietà di disuguaglianze logaritmiche, le disuguaglianze con base variabile vengono studiate separatamente. Vengono risolti secondo una formula speciale, che per qualche motivo viene raramente insegnata a scuola:

log k (x ) f (x ) ∨ log k (x ) g (x ) ⇒ (f (x ) − g (x )) (k (x ) − 1) ∨ 0

Invece della taccola "∨", puoi mettere qualsiasi segno di disuguaglianza: più o meno. La cosa principale è che in entrambe le disuguaglianze i segni sono gli stessi.

Quindi eliminiamo i logaritmi e riduciamo il problema a una disuguaglianza razionale. Quest'ultimo è molto più semplice da risolvere, ma quando si scartano i logaritmi potrebbero apparire radici extra. Per eliminarli è sufficiente trovare l'intervallo di valori ammissibili. Se hai dimenticato l'ODZ del logaritmo, ti consiglio vivamente di ripeterlo - vedi "Cos'è un logaritmo".

Tutto ciò che riguarda l'intervallo di valori accettabili deve essere scritto e risolto separatamente:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Queste quattro disuguaglianze costituiscono un sistema e devono essere soddisfatte simultaneamente. Quando viene trovato l'intervallo di valori accettabili, resta da incrociare con la soluzione di una disuguaglianza razionale - e la risposta è pronta.

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

Per prima cosa scriviamo l'ODZ del logaritmo:

Le prime due disuguaglianze vengono eseguite automaticamente e l'ultima dovrà essere scritta. Poiché il quadrato di un numero è zero se e solo se il numero stesso è zero, abbiamo:

x2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Risulta che l'ODZ del logaritmo è composto da tutti numeri tranne zero: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Ora risolviamo la disuguaglianza principale:

Eseguiamo la transizione dalla disuguaglianza logaritmica a quella razionale. Nella disuguaglianza originale c'è un segno “minore di”, quindi anche la disuguaglianza risultante dovrebbe avere un segno “minore di”. Abbiamo:

(10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x2)x2< 0;
(3 − x) (3 + x) x 2< 0.

Zeri di questa espressione: x = 3; x = -3; x = 0. Inoltre, x = 0 è la radice della seconda molteplicità, il che significa che quando la attraversa, il segno della funzione non cambia. Abbiamo:

Otteniamo x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Questo insieme è completamente contenuto nell'ODZ del logaritmo, il che significa che questa è la risposta.

Trasformazione delle disuguaglianze logaritmiche

Spesso la disuguaglianza originaria differisce da quella sopra. Questo è facile da risolvere secondo le regole standard per lavorare con i logaritmi - vedere "Proprietà di base dei logaritmi". Vale a dire:

1. Qualsiasi numero può essere rappresentato come un logaritmo con una data base;
2. La somma e la differenza dei logaritmi con la stessa base possono essere sostituite da un unico logaritmo.

Separatamente, voglio ricordarti l'intervallo di valori accettabili. Poiché nella disuguaglianza originaria possono esserci più logaritmi, è necessario trovare il DPV di ciascuno di essi. Pertanto, lo schema generale per risolvere le disuguaglianze logaritmiche è il seguente:

1. Trova l'ODZ di ciascun logaritmo incluso nella disuguaglianza;
2. Riduci la disuguaglianza a quella standard utilizzando le formule per aggiungere e sottrarre i logaritmi;
3. Risolvi la disuguaglianza risultante secondo lo schema sopra.

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

Trova il dominio di definizione (ODZ) del primo logaritmo:

Risolviamo con il metodo degli intervalli. Trovare gli zeri del numeratore:

3x−2 = 0;
x = 2/3.

Quindi - gli zeri del denominatore:

x−1 = 0;
x = 1.

Contrassegniamo zeri e segni sulla freccia delle coordinate:

Otteniamo x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Il secondo logaritmo dell'ODZ sarà lo stesso. Se non mi credi, puoi controllare. Ora trasformiamo il secondo logaritmo in modo che la base sia due:

Come puoi vedere, le triple alla base e prima del logaritmo si sono ridotte. Ottieni due logaritmi con la stessa base. Mettiamoli insieme:

logaritmo 2 (x − 1) 2< 2;
logaritmo 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Abbiamo ottenuto la disuguaglianza logaritmica standard. Ci liberiamo dei logaritmi con la formula. Poiché nella disuguaglianza originaria è presente un segno minore di, anche l'espressione razionale risultante deve essere inferiore a zero. Abbiamo:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x2 − 2x + 1 − 4< 0;
x2-2x-3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Abbiamo due set:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Candidato alla risposta: x ∈ (−1; 3).

Resta da attraversare questi set: otteniamo la vera risposta:

Siamo interessati all'intersezione degli insiemi, quindi scegliamo gli intervalli ombreggiati su entrambe le frecce. Otteniamo x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - tutti i punti sono perforati.

Disuguaglianze logaritmiche

Nelle lezioni precedenti abbiamo conosciuto le equazioni logaritmiche e ora sappiamo cosa sono e come risolverle. E la lezione di oggi sarà dedicata allo studio delle disuguaglianze logaritmiche. Quali sono queste disuguaglianze e qual è la differenza tra risolvere un'equazione logaritmica e le disuguaglianze?

Le disuguaglianze logaritmiche sono disuguaglianze che hanno una variabile sotto il segno del logaritmo o alla sua base.

Oppure si può anche dire che una disuguaglianza logaritmica è una disuguaglianza in cui il suo valore incognito, come nell'equazione logaritmica, sarà sotto il segno del logaritmo.

Le disuguaglianze logaritmiche più semplici si presentano così:

dove f(x) e g(x) sono alcune espressioni che dipendono da x.

Consideriamolo utilizzando il seguente esempio: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Risoluzione delle disuguaglianze logaritmiche

Prima di risolvere le disuguaglianze logaritmiche, vale la pena notare che una volta risolte, sono simili alle disuguaglianze esponenziali, vale a dire:

Innanzitutto, quando si passa dai logaritmi alle espressioni sotto il segno del logaritmo, bisogna confrontare anche la base del logaritmo con uno;

In secondo luogo, quando risolviamo una disuguaglianza logaritmica utilizzando un cambiamento di variabili, dobbiamo risolvere le disuguaglianze rispetto alla variazione finché non otteniamo la disuguaglianza più semplice.

Ma siamo stati noi a considerare momenti simili di risoluzione delle disuguaglianze logaritmiche. Ora diamo un'occhiata a una differenza piuttosto significativa. Tu ed io sappiamo che la funzione logaritmica ha un dominio di definizione limitato, quindi quando si passa dai logaritmi alle espressioni sotto il segno del logaritmo, è necessario tenere conto dell'intervallo di valori consentiti ​​​​(ODV).

Cioè, va tenuto presente che quando risolviamo un'equazione logaritmica, possiamo prima trovare le radici dell'equazione e poi verificare questa soluzione. Ma risolvere la disuguaglianza logaritmica non funzionerà in questo modo, poiché passando dai logaritmi alle espressioni sotto il segno del logaritmo, sarà necessario scrivere l'ODZ della disuguaglianza.

Inoltre, vale la pena ricordare che la teoria delle disuguaglianze è composta da numeri reali, che sono numeri positivi e negativi, oltre al numero 0.

Ad esempio, quando il numero "a" è positivo, è necessario utilizzare la seguente notazione: a > 0. In questo caso, sia la somma che il prodotto di questi numeri saranno positivi.

Il principio di base per risolvere una disuguaglianza è sostituirla con una disuguaglianza più semplice, ma la cosa principale è che sia equivalente a quella data. Inoltre, abbiamo ottenuto anche una disuguaglianza e l'abbiamo nuovamente sostituita con una di forma più semplice, e così via.

Risolvendo le disuguaglianze con una variabile, devi trovare tutte le sue soluzioni. Se due disuguaglianze hanno la stessa variabile x, allora tali disuguaglianze sono equivalenti, purché le loro soluzioni siano le stesse.

Quando si eseguono compiti per risolvere le disuguaglianze logaritmiche, è necessario ricordare che quando a > 1, la funzione logaritmica aumenta e quando 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Modi per risolvere le disuguaglianze logaritmiche

Ora diamo un'occhiata ad alcuni dei metodi utilizzati per risolvere le disuguaglianze logaritmiche. Per una migliore comprensione e assimilazione, cercheremo di capirli utilizzando esempi specifici.

Sappiamo che la disuguaglianza logaritmica più semplice ha la seguente forma:

In questa disuguaglianza, V - è uno di tali segni di disuguaglianza come:<,>, ≤ o ≥.

Quando la base di questo logaritmo è maggiore di uno (a>1), effettuando la transizione dai logaritmi alle espressioni sotto il segno del logaritmo, in questa versione il segno di disuguaglianza viene preservato e la disuguaglianza sarà simile a questa:

che equivale al seguente sistema:

Nel caso in cui la base del logaritmo sia maggiore di zero e minore di uno (0

Questo è equivalente a questo sistema:

Diamo un'occhiata ad altri esempi di risoluzione delle disuguaglianze logaritmiche più semplici mostrate nell'immagine qui sotto:

Soluzione di esempi

Esercizio. Proviamo a risolvere questa disuguaglianza:

La decisione dell'area dei valori ammissibili.

Ora proviamo a moltiplicare il suo lato destro per:

Vediamo cosa possiamo fare:

Passiamo ora alla trasformazione delle espressioni sublogaritmiche. Poiché la base del logaritmo è 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

E da ciò ne consegue che l'intervallo da noi ottenuto appartiene interamente all'ODZ ed è una soluzione a tale disuguaglianza.

Ecco la risposta che abbiamo ottenuto:

Cosa è necessario per risolvere le disuguaglianze logaritmiche?

Ora proviamo ad analizzare di cosa abbiamo bisogno per risolvere con successo le disuguaglianze logaritmiche?

Innanzitutto, concentra tutta la tua attenzione e cerca di non commettere errori quando esegui le trasformazioni che si verificano in questa disuguaglianza. Inoltre, va ricordato che quando si risolvono tali disuguaglianze, è necessario prevenire espansioni e restringimenti della disuguaglianza ODZ, che possono portare alla perdita o all'acquisizione di soluzioni estranee.

In secondo luogo, quando si risolvono le disuguaglianze logaritmiche, è necessario imparare a pensare in modo logico e comprendere la differenza tra concetti come un sistema di disuguaglianze e un insieme di disuguaglianze, in modo da poter selezionare facilmente le soluzioni a una disuguaglianza, essendo guidati dal suo DHS.

In terzo luogo, per risolvere con successo tali disuguaglianze, ognuno di voi deve conoscere perfettamente tutte le proprietà delle funzioni elementari e comprenderne chiaramente il significato. Tali funzioni includono non solo logaritmica, ma anche razionale, potenza, trigonometrica, ecc., In una parola, tutte quelle che hai studiato durante l'algebra scolastica.

Come puoi vedere, dopo aver studiato il tema delle disuguaglianze logaritmiche, non c'è nulla di difficile nel risolvere queste disuguaglianze, a condizione che tu sia attento e persistente nel raggiungere i tuoi obiettivi. Affinché non ci siano problemi nella risoluzione delle disuguaglianze, è necessario allenarsi il più possibile, risolvendo vari compiti e allo stesso tempo memorizzare i modi principali per risolvere tali disuguaglianze e i loro sistemi. Con soluzioni infruttuose alle disuguaglianze logaritmiche, dovresti analizzare attentamente i tuoi errori in modo da non ritornarci più in futuro.

Compiti a casa

Per una migliore assimilazione dell'argomento e consolidamento del materiale trattato, risolvi le seguenti disuguaglianze: