Cosa sono i numeri naturali e non naturali? Come spiegare a un bambino, o magari non a un bambino, quali sono le differenze tra loro? Scopriamolo. Per quanto ne sappiamo, i numeri naturali e non naturali vengono studiati in quinta elementare e il nostro obiettivo è spiegare agli studenti in modo che capiscano e imparino veramente cosa e come.
Storia
I numeri naturali sono uno dei concetti più antichi. Molto tempo fa, quando le persone ancora non sapevano contare e non avevano idea dei numeri, quando avevano bisogno di contare qualcosa, ad esempio pesci, animali, eliminavano punti o trattini su vari oggetti, come scoprirono in seguito gli archeologi . A quel tempo era molto difficile per loro vivere, ma la civiltà si sviluppò prima secondo il sistema numerico romano e poi verso il sistema decimale. Ora quasi tutti usano i numeri arabi.
Tutto sui numeri naturali
I numeri naturali sono numeri primi che utilizziamo nella nostra vita quotidiana per contare gli oggetti per determinarne la quantità e l'ordine. Attualmente utilizziamo la notazione decimale per scrivere i numeri. Per scrivere qualsiasi numero utilizziamo dieci cifre, da zero a nove.
I numeri naturali sono quei numeri che usiamo quando contiamo oggetti o indichiamo il numero seriale di qualcosa. Esempio: 5, 368, 99, 3684.
La serie numerica è chiamata numeri naturali, che sono disposti in ordine crescente, cioè. da uno all'infinito. Tale serie inizia con il numero più piccolo - 1, e non esiste un numero naturale più grande, poiché la serie di numeri è semplicemente infinita.
In generale, lo zero non è considerato un numero naturale, poiché significa l'assenza di qualcosa e non si conta nemmeno gli oggetti.
Il sistema numerico arabo è il sistema moderno che usiamo ogni giorno. È una delle varianti dell'indiano (decimale).
Questo sistema numerico è diventato moderno grazie al numero 0, inventato dagli arabi. Prima di ciò, era assente nel sistema indiano.
numeri non naturali. Cos'è questo?
I numeri naturali non includono i numeri negativi e i non interi. Quindi sono numeri non naturali
Di seguito sono riportati degli esempi.
I numeri non naturali sono:
- Numeri negativi, ad esempio: -1, -5, -36... e così via.
- Numeri razionali espressi in decimali: 4.5, -67, 44.6.
- Sotto forma di frazione semplice: 1/2, 40 2/7, ecc.
Numeri irrazionali, come e = 2,71828, √2 = 1,41421 e simili.
Speriamo di averti aiutato molto con i numeri naturali e non naturali. Ora diventerà più facile per te spiegare questo argomento a tuo figlio, e lui lo imparerà come i grandi matematici!
Numeri interi- numeri utilizzati per contare gli oggetti . Qualsiasi numero naturale può essere scritto utilizzando dieci cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Tale registrazione di numeri è chiamata decimale.
Viene chiamata la sequenza di tutti i numeri naturali naturale fianco a fianco .
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...
Maggior parte piccolo un numero naturale è uno (1). Nella serie naturale ogni numero successivo è 1 in più del precedente. serie naturali infinito non esiste un numero più grande.
Il significato di una cifra dipende dalla sua posizione nella notazione del numero. Ad esempio, il numero 4 significa: 4 unità, se si trova all'ultimo posto nella voce numerica (in unità posto); 4 dieci, se è all'ultimo posto (al posto delle decine); 4 centinaia, se è al terzo posto dalla fine (V centinaia di posti).
La cifra 0 significa mancanza di unità di questa categoria nella notazione decimale di un numero. Serve anche per denotare il numero " zero". Questo numero significa "nessuno". Il punteggio 0: 3 di una partita di calcio indica che la prima squadra non ha segnato un solo gol contro l'avversario.
Zero non comprendono ai numeri naturali. E in effetti il conteggio degli articoli non parte mai da zero.
Se un numero naturale ha una sola cifra – una cifra, quindi viene chiamato inequivocabile. Quelli. inequivocabilenumero naturale- un numero naturale il cui record è costituito da un segno – una cifra. Ad esempio, i numeri 1, 6, 8 sono cifre singole.
doppia cifranumero naturale- un numero naturale, il cui record è composto da due caratteri: due cifre.
Ad esempio, i numeri 12, 47, 24, 99 sono a doppia cifra.
Inoltre, in base al numero di caratteri in un dato numero, i nomi vengono assegnati ad altri numeri:
numeri 326, 532, 893 - tre cifre;
numeri 1126, 4268, 9999 - quattro cifre eccetera.
Due cifre, tre cifre, quattro cifre, cinque cifre, ecc. vengono chiamati i numeri numeri a più cifre .
Per leggere i numeri a più cifre, questi si dividono, partendo da destra, in gruppi di tre cifre ciascuno (il gruppo più a sinistra può essere composto da una o due cifre). Questi gruppi sono chiamati classi.
Milioniè millemila (1000mila), si scrive 1 milione o 1.000.000.
Miliardiè 1000 milioni. È registrato da 1 miliardo o 1.000.000.000.
Le prime tre cifre a destra costituiscono la classe delle unità, le tre successive la classe delle migliaia, poi ci sono le classi dei milioni, dei miliardi, ecc. (Fig. 1).
Riso. 1. Classe di milioni, classe di migliaia e classe di quote (da sinistra a destra)
Nella griglia di bit è scritto il numero 15389000286 (Fig. 2).
Riso. 2. Griglia delle cifre: numero 15 miliardi 389 milioni 286
Questo numero ha 286 unità nella classe uno, zero unità nella classe delle migliaia, 389 unità nella classe dei milioni e 15 unità nella classe dei miliardi.
Numeri interi
La definizione di numeri naturali è numeri interi positivi. I numeri naturali vengono utilizzati per contare oggetti e per molti altri scopi. Ecco i numeri:
Questa è una serie naturale di numeri.
Lo zero è un numero naturale? No, lo zero non è un numero naturale.
Quanti numeri naturali esistono? Esiste un insieme infinito di numeri naturali.
Qual è il numero naturale più piccolo? Uno è il numero naturale più piccolo.
Qual è il numero naturale più grande? Non può essere specificato perché esiste un insieme infinito di numeri naturali.
La somma dei numeri naturali è un numero naturale. Quindi, l'addizione dei numeri naturali a e b:
Il prodotto dei numeri naturali è un numero naturale. Quindi, il prodotto dei numeri naturali a e b:
c è sempre un numero naturale.
Differenza dei numeri naturali Non sempre esiste un numero naturale. Se il minuendo è maggiore del sottraendo la differenza tra i numeri naturali è un numero naturale, altrimenti non lo è.
Il quoziente dei numeri naturali Non sempre esiste un numero naturale. Se per i numeri naturali a e b
dove c è un numero naturale, significa che a è parimente divisibile per b. In questo esempio a è il dividendo, b è il divisore, c è il quoziente.
Il divisore di un numero naturale è il numero naturale per il quale il primo numero è uniformemente divisibile.
Ogni numero naturale è divisibile per 1 e per se stesso.
I numeri naturali semplici sono divisibili solo per 1 e per se stessi. Qui intendiamo diviso completamente. Esempio, numeri 2; 3; 5; 7 è divisibile solo per 1 e per se stesso. Questi sono semplici numeri naturali.
Uno non è considerato un numero primo.
I numeri maggiori di uno e che non sono primi si chiamano numeri composti. Esempi di numeri composti:
Uno non è considerato un numero composto.
L'insieme dei numeri naturali è formato dall'uno, dai numeri primi e dai numeri composti.
L'insieme dei numeri naturali è indicato con la lettera latina N.
Proprietà di addizione e moltiplicazione dei numeri naturali:
proprietà commutativa dell'addizione
proprietà associativa dell'addizione
(a+b)+c=a+(b+c);
Proprietà commutativa della moltiplicazione
proprietà associativa della moltiplicazione
(ab)c = a(bc);
proprietà distributiva della moltiplicazione
A(b+c) = ab+ac;
Numeri interi
Gli interi sono numeri naturali, zero e il contrario dei numeri naturali.
I numeri opposti ai numeri naturali sono numeri interi negativi, ad esempio:
1; -2; -3; -4;...
L'insieme dei numeri interi è indicato con la lettera latina Z.
Numeri razionali
I numeri razionali sono gli interi e le frazioni.
Qualsiasi numero razionale può essere rappresentato come una frazione periodica. Esempi:
1,(0); 3,(6); 0,(0);...
Dagli esempi si può vedere che qualsiasi numero intero è una frazione periodica con un periodo pari a zero.
Qualsiasi numero razionale può essere rappresentato come una frazione m/n, dove m è un numero intero e n è un numero naturale. Rappresentiamo il numero 3,(6) dell'esempio precedente come tale frazione.
Numeri interi- I numeri naturali sono numeri utilizzati per contare gli oggetti. L'insieme di tutti i numeri naturali è talvolta chiamato serie naturale: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, ecc. .
Per scrivere i numeri naturali, vengono utilizzate dieci cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Con l'aiuto di esse, puoi scrivere qualsiasi numero naturale. Questa notazione è chiamata decimale.
La serie naturale dei numeri può essere continuata indefinitamente. Non esiste un numero che sia l'ultimo, perché si può sempre sommare l'ultimo numero e si otterrà un numero già maggiore di quello desiderato. In questo caso diciamo che non esiste un numero massimo nella serie naturale.
Cifre dei numeri naturali
Quando si scrive qualsiasi numero utilizzando i numeri, la posizione in cui si trova il numero nel numero è cruciale. Ad esempio, il numero 3 significa: 3 unità se è l'ultimo nel numero; 3 decine se sarà nel numero al penultimo posto; 4 centesimi, se sarà nel numero al terzo posto dalla fine.
L'ultima cifra indica la cifra delle unità, la penultima quella delle decine, 3 dalla fine quella delle centinaia.
Cifre singole e multiple
Se c'è uno 0 in qualsiasi cifra del numero, significa che non ci sono unità in quella cifra.
Il numero 0 sta per zero. Zero è "nessuno".
Lo zero non è un numero naturale. Anche se alcuni matematici la pensano diversamente.
Se un numero è composto da una cifra, viene chiamato a una cifra, due a due cifre, tre a tre cifre, ecc.
I numeri che non sono a cifra singola sono anche chiamati a cifre multiple.
Classi di cifre per la lettura di grandi numeri naturali
Per leggere i numeri naturali grandi, il numero viene diviso in gruppi di tre cifre, partendo dal bordo destro. Questi gruppi sono chiamati classi.
Le prime tre cifre dal bordo destro costituiscono la classe delle unità, le tre successive la classe delle migliaia, le tre successive la classe dei milioni.
Un milione è millemila, per la registrazione usano l'abbreviazione milione, 1 milione = 1.000.000.
Un miliardo = mille milioni. Per la registrazione viene utilizzata l'abbreviazione miliardo 1 miliardo = 1.000.000.000.
Scrivi e leggi l'esempio
Questo numero ha 15 unità nella classe dei miliardi, 389 unità nella classe dei milioni, zero unità nella classe delle migliaia e 286 unità nella classe delle unità.
Questo numero è così: 15 miliardi 389 milioni 286.
Leggi i numeri da sinistra a destra. A sua volta, viene chiamato il numero di unità di ciascuna classe e quindi viene aggiunto il nome della classe.
Numeri naturali e loro proprietà
I numeri naturali vengono utilizzati per contare gli oggetti nella vita. Qualsiasi numero naturale utilizza le cifre $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$
Una sequenza di numeri naturali, in cui ogni numero successivo è $1$ maggiore del precedente, forma una serie naturale, che inizia con uno (perché uno è il numero naturale più piccolo) e non ha il valore più grande, cioè infinito.
Lo zero non è considerato un numero naturale.
Proprietà della relazione seguente
Tutte le proprietà dei numeri naturali e le operazioni su di essi derivano dalle quattro proprietà delle relazioni di successione, formulate in $1891$ da D. Peano:
Uno è un numero naturale che non segue alcun numero naturale.
Ogni numero naturale è seguito da uno ed un solo numero
Ogni numero naturale diverso da $1$ segue uno ed un solo numero naturale
Il sottoinsieme dei numeri naturali contenente il numero $1$, e insieme a ciascun numero il numero che lo segue, contiene tutti i numeri naturali.
Se il record di un numero naturale è composto da una cifra si dice a una cifra (ad esempio $2.6.9$, ecc.), se il record è composto da due cifre si chiama a doppia cifra (ad esempio $12.18 0,45$), ecc. Allo stesso modo. Due cifre, tre cifre, quattro cifre, ecc. i numeri sono chiamati multivalore in matematica.
Proprietà di addizione dei numeri naturali
Proprietà commutativa: $a+b=b+a$
La somma non cambia quando i termini vengono riorganizzati
Proprietà associativa: $a+ (b+c) =(a+b) +c$
Per sommare la somma di due numeri a un numero, puoi prima aggiungere il primo termine e poi, alla somma risultante, il secondo termine
L'aggiunta di zero non cambia il numero e se aggiungi qualsiasi numero a zero, ottieni il numero aggiunto.
proprietà di sottrazione
La proprietà di sottrarre la somma dal numero $a-(b+c) =a-b-c$ se $b+c ≤ a$
Per sottrarre la somma da un numero, puoi prima sottrarre il primo termine da questo numero, e poi dalla differenza risultante, il secondo termine
La proprietà di sottrarre un numero dalla somma $(a+b) -c=a+(b-c)$ se $c ≤ b$
Per sottrarre un numero dalla somma, puoi sottrarlo da un termine e aggiungere un altro termine alla differenza risultante
Se sottrai zero da un numero, il numero non cambierà.
Se lo sottrai dal numero stesso, ottieni zero
Proprietà di moltiplicazione
Spostamento $a\cdot b=b\cdot a$
Il prodotto di due numeri non cambia quando i fattori vengono riorganizzati
Associativo $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$
Per moltiplicare un numero per il prodotto di due numeri, puoi prima moltiplicarlo per il primo fattore, quindi moltiplicare il prodotto risultante per il secondo fattore
Moltiplicato per uno, il prodotto non cambia $m\cdot 1=m$
Moltiplicato per zero il prodotto è zero
Quando non ci sono parentesi nella notazione del prodotto, la moltiplicazione viene eseguita in ordine da sinistra a destra
Proprietà della moltiplicazione rispetto ad addizione e sottrazione
Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione
$(a+b)\cdot c=ac+bc$
Per moltiplicare la somma per un numero, puoi moltiplicare ogni termine per questo numero e sommare i prodotti risultanti
Ad esempio, $5(x+y)=5x+5y$
La proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla sottrazione
$(a-b)\cdot c=ac-bc$
Per moltiplicare la differenza per un numero, moltiplica il minuendo e sottrai questo numero e sottrai il secondo dal primo prodotto
Ad esempio, $5(x-y)=5x-5y$
Confronto tra numeri naturali
Per ogni numero naturale $a$ e $b$, solo una delle tre relazioni $a=b$, $a
Il numero più piccolo è quello che appare prima nella serie naturale, mentre quello più grande appare dopo. Lo zero è minore di qualsiasi numero naturale.
Esempio 1
Confronta i numeri $a$ e $555$, se è noto che esiste un numero $b$ e valgono le seguenti relazioni: $a
Soluzione: In base alla proprietà specificata, perché dalla condizione $a
qualsiasi sottoinsieme di numeri naturali contenente almeno un numero ha un numero più piccolo
Un sottoinsieme in matematica è una parte di un insieme. Un insieme si dice sottoinsieme di un altro se ogni elemento del sottoinsieme è anche elemento dell'insieme più grande.
Spesso, per confrontare i numeri, trovano la loro differenza e la confrontano con lo zero. Se la differenza è maggiore di $0$, ma il primo numero è maggiore del secondo, se la differenza è minore di $0$, allora il primo numero è minore del secondo.
Arrotondamento dei numeri naturali
Quando la precisione assoluta non è necessaria, o non è possibile, i numeri vengono arrotondati, ovvero vengono sostituiti da numeri vicini con zeri alla fine.
I numeri naturali vengono arrotondati per eccesso alle decine, alle centinaia, alle migliaia, ecc.
Quando si arrotonda un numero alle decine, viene sostituito dal numero più vicino costituito da decine intere; tale numero ha la cifra $0$ al posto delle unità
Quando si arrotonda un numero alle centinaia, viene sostituito dal numero più vicino costituito da centinaia intere; tale numero dovrebbe avere la cifra $0$ al posto delle decine e delle unità. Eccetera
I numeri a cui viene arrotondato il dato sono chiamati valore approssimativo del numero con la precisione delle cifre specificate. Ad esempio, se arrotondi il numero $564$ alle decine, otteniamo che puoi arrotondarlo con uno svantaggio e ottenere $560 $, o con una franchigia e ricevi $570$.
Regola di arrotondamento per i numeri naturali
Se a destra della cifra a cui viene arrotondato il numero c'è la cifra $5$ o una cifra maggiore di $5$, allora viene aggiunto $1$ alla cifra di questa cifra; in caso contrario, questa cifra rimane invariata.
Tutte le cifre situate a destra della cifra a cui viene arrotondato il numero vengono sostituite da zeri
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