Trovare il limite lim n tende all'infinito. limiti in linea

In matematica esiste il limite di una funzione. Per capire come trovare i limiti occorre ricordare la definizione di limite di una funzione: una funzione f(x) ha limite L nel punto x = a, se per ogni sequenza di valori di x convergenti al punto a, la sequenza dei valori di y si avvicina:

• Llim f(x) = L

Il concetto e le proprietà dei limiti

Cos'è un limite può essere capito da un esempio. Supponiamo di avere una funzione y=1/x. Se aumentiamo costantemente il valore di x e guardiamo a cosa è uguale y, otterremo valori sempre decrescenti: a x=10000 y=1/10000; a x=1000000 y=1/1000000. Quelli. più x, meno y. Se x = ∞, y sarà così piccolo che può essere considerato uguale a 0. Pertanto, il limite della funzione y \u003d 1 / x mentre x tende a ∞ è 0. È scritto in questo modo:

• lim1/х=0

Il limite di una funzione ha diverse proprietà che è necessario ricordare: questo faciliterà notevolmente la soluzione dei problemi per trovare i limiti:

• Il limite della somma è uguale alla somma dei limiti: lim(x+y)=lim x+lim y
• Il limite del prodotto è uguale al prodotto dei limiti: lim(xy)=lim x*lim y
• Il limite del quoziente è uguale al quoziente dei limiti: lim(x/y)=lim x/lim y
• Il fattore costante viene tolto dal segno limite: lim(Cx)=C lim x

La funzione y=1 /x, in cui x →∞, il limite è zero, quando x→0, il limite è ∞.

• lim (sen x)/x=1 x→0

Dall'articolo sopra puoi scoprire qual è il limite e con cosa viene mangiato: questo è MOLTO importante. Perché? Potresti non capire cosa sono i determinanti e risolverli con successo, potresti non capire affatto cos'è un derivato e trovarli sui "cinque". Ma se non capisci cos'è un limite, sarà difficile risolvere compiti pratici. Inoltre, non sarà superfluo familiarizzare con gli esempi di progettazione delle decisioni e le mie raccomandazioni per la progettazione. Tutte le informazioni sono presentate in modo semplice e accessibile.

E ai fini di questa lezione, abbiamo bisogno dei seguenti materiali metodologici: Limiti notevoli E Formule trigonometriche. Si possono trovare nella pagina. È meglio stampare i manuali: è molto più conveniente, inoltre spesso è necessario accedervi offline.

Cosa c'è di straordinario nei limiti meravigliosi? La particolarità di questi limiti sta nel fatto che sono stati dimostrati dalle più grandi menti di famosi matematici, e i discendenti riconoscenti non dovranno soffrire di limiti terribili con una pila di funzioni trigonometriche, logaritmi e gradi. Cioè, quando troveremo i limiti, utilizzeremo risultati già pronti che sono stati dimostrati teoricamente.

Ci sono diversi limiti notevoli, ma nella pratica gli studenti part-time nel 95% dei casi hanno due limiti notevoli: Primo meraviglioso limite, Il secondo meraviglioso limite. Va notato che questi sono nomi storicamente stabiliti e quando, ad esempio, parlano del "primo limite notevole", intendono con questo una cosa molto specifica, e non un limite casuale preso dal soffitto.

Primo meraviglioso limite

Considera il seguente limite: (invece della lettera nativa "egli" userò la lettera greca "alfa", questo è più conveniente in termini di presentazione del materiale).

Secondo la nostra regola per la ricerca dei limiti (vedi articolo Limiti. Esempi di soluzioni) proviamo a sostituire lo zero nella funzione: al numeratore otteniamo zero (il seno di zero è zero), al denominatore, ovviamente, anche zero. Siamo quindi di fronte a un'indeterminatezza della forma che, fortunatamente, non ha bisogno di essere svelata. Nel corso dell’analisi matematica, si dimostra che:

Questo fatto matematico si chiama Primo meraviglioso limite. Non darò una dimostrazione analitica del limite, ma ne considereremo il significato geometrico nella lezione successiva funzioni infinitesimali.

Spesso nelle attività pratiche le funzioni possono essere organizzate diversamente, questo non cambia nulla:

– lo stesso primo meraviglioso limite.

Ma non puoi riorganizzare il numeratore e il denominatore da solo! Se un limite è dato nella forma , allora deve essere risolto nella stessa forma, senza riorganizzare nulla.

In pratica da parametro può fungere non solo una variabile, ma anche una funzione elementare, una funzione complessa. L'importante è solo che tenda a zero.

Esempi:
, , ,

Qui , , , , e tutto è in fermento: vale il primo meraviglioso limite.

Ed ecco la voce successiva: eresia:

Perché? Poiché il polinomio non tende a zero, tende a cinque.

A proposito, la domanda riguarda il riempimento, ma qual è il limite ? La risposta si trova alla fine della lezione.

In pratica non tutto è così liscio, quasi mai allo studente verrà proposto di risolvere un limite gratuito e ottenere un credito facile. Hmmm... sto scrivendo queste righe e mi è venuto in mente un pensiero molto importante - dopo tutto, sembra che sia meglio ricordare a memoria le definizioni e le formule matematiche “libere”, questo può essere di inestimabile aiuto nel test, quando la questione verrà decisa tra i “due” e i “tre”, e l'insegnante decide di porre allo studente qualche semplice domanda o di offrirsi di risolvere l'esempio più semplice (“forse lui (a) sa ancora cosa?!”).

Passiamo agli esempi pratici:

Esempio 1

Trova il limite

Se notiamo un seno nel limite, ciò dovrebbe immediatamente portarci a pensare alla possibilità di applicare il primo limite notevole.

Per prima cosa proviamo a sostituire 0 nell'espressione sotto il segno limite (lo facciamo mentalmente o su una bozza):

Quindi abbiamo un'indeterminatezza della forma, its assicurati di indicare nel prendere una decisione. L'espressione sotto il segno limite sembra il primo meraviglioso limite, ma non è proprio così, è sotto il seno, ma al denominatore.

In questi casi dobbiamo organizzare da soli il primo meraviglioso limite, utilizzando un dispositivo artificiale. Il ragionamento può essere il seguente: “sotto il seno abbiamo, il che significa che dobbiamo entrare anche nel denominatore”.
E questo viene fatto in modo molto semplice:

Cioè, il denominatore in questo caso viene moltiplicato artificialmente per 7 e diviso per gli stessi sette. Ora il record ha assunto una forma familiare.
Quando il compito viene redatto a mano, è consigliabile segnare il primo meraviglioso limite con una matita semplice:

Quello che è successo? In effetti, l'espressione cerchiata si è trasformata in un'unità ed è scomparsa nel prodotto:

Ora non resta che sbarazzarsi della frazione di tre piani:

Chi ha dimenticato la semplificazione delle frazioni multipiano, si prega di aggiornare il materiale nel libro di consultazione Formule matematiche della scuola calda .

Pronto. Risposta finale:

Se non vuoi usare i segni della matita, la soluzione può essere formattata in questo modo:

“

Usiamo il primo limite notevole

“

Esempio 2

Trova il limite

Ancora una volta vediamo una frazione e un seno al limite. Proviamo a sostituire lo zero al numeratore e al denominatore:

Abbiamo infatti incertezza e quindi dobbiamo cercare di organizzare il primo limite notevole. Alla lezione Limiti. Esempi di soluzioni abbiamo considerato la regola secondo cui quando abbiamo incertezza, allora dobbiamo fattorizzare il numeratore e il denominatore in fattori. Qui - la stessa cosa, presenteremo i gradi come prodotto (moltiplicatori):

Analogamente all'esempio precedente, delineiamo con una matita i meravigliosi limiti (qui sono due), e indichiamo che tendono a uno:

In realtà la risposta è già pronta:

Nei seguenti esempi, non realizzerò disegni con Paint, penso a come elaborare correttamente una soluzione su un taccuino: lo capisci già.

Esempio 3

Trova il limite

Sostituiamo lo zero nell'espressione sotto il segno limite:

È stata ottenuta un'incertezza che deve essere divulgata. Se c'è una tangente nel limite, viene quasi sempre convertita in seno e coseno secondo la nota formula trigonometrica (a proposito, fanno più o meno lo stesso con la cotangente, vedere il materiale metodologico Formule trigonometriche calde Sulla pagina Formule matematiche, tabelle e materiali di riferimento).

In questo caso:

Il coseno di zero è uguale a uno, ed è facile eliminarlo (non dimenticare di segnare che tende a uno):

Pertanto, se al limite il coseno è un MOLTIPLICATORE, allora, grosso modo, deve essere trasformato in un'unità, che scompare nel prodotto.

Qui tutto si è rivelato più semplice, senza moltiplicazioni e divisioni. Anche il primo limite notevole si trasforma in unità e scompare nel prodotto:

Di conseguenza, si ottiene l'infinito, succede.

Esempio 4

Trova il limite

Proviamo a sostituire lo zero al numeratore e al denominatore:

Incertezza ottenuta (il coseno di zero, come ricordiamo, è uguale a uno)

Usiamo la formula trigonometrica. Prendi nota! Per qualche ragione, i limiti che utilizzano questa formula sono molto comuni.

Togliamo i moltiplicatori costanti oltre l'icona del limite:

Organizziamo il primo limite notevole:

Qui abbiamo solo un meraviglioso limite, che si trasforma in uno solo e scompare nel prodotto:

Liberiamoci dai tre piani:

Il limite è effettivamente risolto, indichiamo che il seno rimanente tende a zero:

Esempio 5

Trova il limite

Questo esempio è più complicato, prova a capirlo da solo:

Alcuni limiti possono essere ridotti al 1° limite notevole modificando la variabile, puoi leggere questo argomento più avanti nell'articolo Metodi di risoluzione dei limiti.

Il secondo meraviglioso limite

Nella teoria dell’analisi matematica si dimostra che:

Questo fatto si chiama secondo limite notevole.

Riferimento: è un numero irrazionale.

Come parametro può fungere non solo una variabile, ma anche una funzione complessa. È importante solo che tende all'infinito.

Esempio 6

Trova il limite

Quando l'espressione sotto il segno limite è al potere, questo è il primo segno che devi provare ad applicare il secondo meraviglioso limite.

Ma prima, come sempre, proviamo a sostituire un numero infinitamente grande nell'espressione, secondo quale principio viene fatto, è stato analizzato nella lezione Limiti. Esempi di soluzioni.

È facile capirlo quando la base del grado e l'esponente - , cioè c'è un'incertezza della forma:

Questa incertezza viene rivelata proprio con l'aiuto del secondo limite notevole. Ma, come spesso accade, il secondo meraviglioso limite non sta su un piatto d’argento, e va organizzato artificialmente. Si può ragionare così: in questo esempio il parametro significa che dobbiamo anche organizzarci nell'indicatore. Per fare ciò eleviamo la base a potenza, e affinché l'espressione non cambi, la eleviamo a potenza:

Quando l'attività viene redatta a mano, segniamo con una matita:

Quasi tutto è pronto, la terribile laurea si è trasformata in una bella lettera:

Allo stesso tempo, l'icona del limite stessa viene spostata sull'indicatore:

Esempio 7

Trova il limite

Attenzione! Questo tipo di limite è molto comune, studia questo esempio con molta attenzione.

Proviamo a sostituire nell'espressione un numero infinitamente grande sotto il segno limite:

Il risultato è un'incertezza. Ma il secondo notevole limite riguarda l’incertezza della forma. Cosa fare? Devi convertire la base della laurea. Discutiamo così: al denominatore abbiamo , il che significa che dobbiamo organizzarci anche al numeratore.

Il primo limite notevole è chiamato la seguente uguaglianza:

\begin(equation)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation)

Poiché per $\alpha\to(0)$ abbiamo $\sin\alpha\to(0)$, diciamo che il primo limite notevole rivela un'indeterminazione della forma $\frac(0)(0)$. In generale, nella formula (1), al posto della variabile $\alpha$, sotto il segno del seno e al denominatore, si può collocare qualsiasi espressione, purché siano soddisfatte due condizioni:

1. Le espressioni sotto il segno del seno e al denominatore tendono contemporaneamente a zero, cioè c'è un'incertezza della forma $\frac(0)(0)$.
2. Le espressioni sotto il segno del seno e al denominatore sono le stesse.

Spesso vengono utilizzati anche corollari dal primo limite notevole:

\begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(equazione)

Undici esempi sono risolti in questa pagina. L'esempio n. 1 è dedicato alla dimostrazione delle formule (2)-(4). Gli esempi n. 2, n. 3, n. 4 e n. 5 contengono soluzioni con commenti dettagliati. Gli esempi 6-10 contengono soluzioni quasi senza commenti, perché negli esempi precedenti sono state fornite spiegazioni dettagliate. Durante la risoluzione vengono utilizzate alcune formule trigonometriche che possono essere trovate.

Osservo che la presenza di funzioni trigonometriche, unita all'incertezza di $\frac (0) (0)$, non significa che debba essere applicato il primo limite notevole. A volte sono sufficienti semplici trasformazioni trigonometriche, ad esempio vedi.

Esempio 1

Dimostrare che $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

a) Poiché $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, allora:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

Poiché $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ e $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , Quello:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

b) Facciamo la sostituzione $\alpha=\sin(y)$. Poiché $\sin(0)=0$, dalla condizione $\alpha\to(0)$ si ottiene $y\to(0)$. Inoltre, esiste un intorno allo zero dove $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, quindi:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

L'uguaglianza $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ è dimostrata.

c) Facciamo la sostituzione $\alpha=\tg(y)$. Poiché $\tg(0)=0$, le condizioni $\alpha\to(0)$ e $y\to(0)$ sono equivalenti. Inoltre esiste un intorno dello zero dove $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, quindi, basandoci sui risultati del punto a), avremo:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

L'uguaglianza $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ è dimostrata.

Le uguaglianze a), b), c) vengono spesso utilizzate insieme al primo limite notevole.

Esempio n.2

Limite di calcolo $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)( x+7))$.

Poiché $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ e $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, cioè e il numeratore e il denominatore della frazione tendono contemporaneamente a zero, allora si tratta di un'incertezza della forma $\frac(0)(0)$, cioè Fatto. Inoltre, si può vedere che le espressioni sotto il segno del seno e al denominatore sono le stesse (cioè ed è soddisfatto):

Pertanto, entrambe le condizioni elencate all'inizio della pagina sono soddisfatte. Ne consegue che la formula è applicabile, vale a dire $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.

Risposta: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

Esempio n.3

Trova $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.

Poiché $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ e $\lim_(x\to(0))x=0$, abbiamo a che fare con un'incertezza della forma $\frac( 0 )(0)$, ovvero Fatto. Tuttavia, le espressioni sotto il segno del seno e al denominatore non corrispondono. Qui è necessario adattare l'espressione al denominatore alla forma desiderata. Abbiamo bisogno che l'espressione $9x$ sia al denominatore, quindi diventerà vera. Fondamentalmente, ci manca il fattore $9$ nel denominatore, che non è così difficile da inserire, basta moltiplicare l'espressione nel denominatore per $9$. Naturalmente, per compensare la moltiplicazione per $9$, bisognerà subito dividere per $9$ e dividere:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x) $$

Ora le espressioni al denominatore e sotto il segno del seno sono le stesse. Entrambe le condizioni per il limite $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ sono soddisfatte. Quindi $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. E questo significa che:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

Risposta: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

Esempio n.4

Trova $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.

Poiché $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ e $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, qui abbiamo a che fare con un'indeterminatezza del forma $\frac(0)(0)$. Tuttavia, la forma del primo limite notevole è rotta. Un numeratore contenente $\sin(5x)$ richiede $5x$ al denominatore. In questa situazione, il modo più semplice è dividere il numeratore per $5x$ e moltiplicarlo immediatamente per $5x$. Inoltre, eseguiremo un'operazione simile con il denominatore, moltiplicando e dividendo $\tg(8x)$ per $8x$:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

Riducendo di $x$ e togliendo la costante $\frac(5)(8)$ dal segno limite, otteniamo:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Si noti che $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ soddisfa pienamente i requisiti per il primo limite notevole. Per trovare $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ è applicabile la seguente formula:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Risposta: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

Esempio n.5

Trova $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.

Poiché $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (ricorda che $\cos(0)=1$) e $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, allora abbiamo a che fare con un'indeterminazione della forma $\frac(0)(0)$. Tuttavia, per applicare il primo meraviglioso limite, dovresti eliminare il coseno al numeratore andando ai seni (per poi applicare la formula) o alle tangenti (per poi applicare la formula). Puoi farlo con la seguente trasformazione:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\sinistra(1-\cos^2(5x)\destra)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\sinistra(1-\cos^2(5x)\destra)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Torniamo al limite:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\destra) $$

La frazione $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ è già vicina alla forma richiesta per il primo limite notevole. Lavoriamo un po' con la frazione $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, adattandola al primo limite meraviglioso (nota che le espressioni al numeratore e sotto il seno devono corrispondere):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\sinistra(\frac(\sin(5x))(5x)\destra)^2$$

Torniamo al limite considerato:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0 ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$

Risposta: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

Esempio n.6

Trova il limite $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.

Poiché $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ e $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, allora abbiamo a che fare con l'incertezza di $\frac(0)(0)$. Apriamolo con l'aiuto del primo limite notevole. Per fare ciò, passiamo dai coseni ai seni. Poiché $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, allora:

$$1-\cos(6x)=2\sen^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sen^2(x).$$

Passando nel limite dato ai seni, avremo:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Risposta: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

Esempio n.7

Calcola il limite $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ dato $\alpha\neq\ beta $.

Spiegazioni dettagliate sono state fornite in precedenza, ma qui notiamo semplicemente che ancora una volta c'è un'indeterminatezza di $\frac(0)(0)$. Passiamo dai coseni ai seni utilizzando la formula

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

Usando la formula sopra, otteniamo:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\destra| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta )(2)\destra)\cdot\sin\sinistra(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\destra))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

Risposta: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2)(2)$.

Esempio n.8

Trova il limite $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.

Poiché $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (ricordiamo che $\sin(0)=\tg(0)=0$) e $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, allora abbiamo a che fare con un'indeterminazione della forma $\frac(0)(0)$. Analizziamolo in questo modo:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\destra)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\destra) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$

Risposta: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

Esempio n.9

Trova il limite $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.

Poiché $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ e $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, allora esiste un'indeterminazione della forma $\frac(0)(0)$. Prima di procedere alla sua espansione, conviene modificare la variabile in modo tale che la nuova variabile tenda a zero (notare che nelle formule la variabile $\alpha \to$). Il modo più semplice è introdurre la variabile $t=x-3$. Tuttavia, per comodità di ulteriori trasformazioni (questo vantaggio può essere visto nel corso della soluzione seguente), vale la pena effettuare la seguente sostituzione: $t=\frac(x-3)(2)$. Noto che in questo caso sono applicabili entrambe le sostituzioni, solo la seconda sostituzione ti permetterà di lavorare meno con le frazioni. Da $x\to(3)$, allora $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\destra| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Risposta: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

Esempio n.10

Trova il limite $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2)$.

Anche in questo caso abbiamo a che fare con l'incertezza di $\frac(0)(0)$. Prima di procedere alla sua espansione, conviene effettuare un cambio di variabile in modo tale che la nuova variabile tenda a zero (notare che nelle formule la variabile è $\alpha\to(0)$). Il modo più semplice è introdurre la variabile $t=\frac(\pi)(2)-x$. Poiché $x\to\frac(\pi)(2)$, allora $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\sinistra|\frac(0)(0)\destra| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0 ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\sinistra(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\destra)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

Risposta: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.

Esempio n.11

Trova i limiti $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2 \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

In questo caso non dobbiamo utilizzare il primo limite meraviglioso. Nota: sia nel primo che nel secondo limite ci sono solo funzioni e numeri trigonometrici. Spesso, in esempi di questo genere, è possibile semplificare l'espressione posta sotto il segno limite. In questo caso, dopo la citata semplificazione e riduzione di alcuni fattori, l'incertezza scompare. Ho fatto questo esempio con un solo scopo: mostrare che la presenza di funzioni trigonometriche sotto il segno limite non significa necessariamente l'applicazione del primo limite notevole.

Poiché $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (ricordiamo che $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) e $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (ricordiamo che $\cos\frac(\pi)(2)=0$), allora abbiamo a che fare con l'incertezza della forma $\frac(0)(0)$. Tuttavia, ciò non significa affatto che dobbiamo utilizzare il primo limite notevole. Per rivelare l’incertezza è sufficiente tenere conto che $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

Esiste una soluzione simile nel libro delle soluzioni di Demidovich (n. 475). Per quanto riguarda il secondo limite, come negli esempi precedenti di questa sezione, abbiamo un'incertezza della forma $\frac(0)(0)$. Perché sorge? Si verifica perché $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ e $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Usiamo questi valori per trasformare le espressioni nel numeratore e nel denominatore. Lo scopo delle nostre azioni: scrivere la somma al numeratore e al denominatore come prodotto. A proposito, spesso conviene cambiare una variabile all'interno di una forma simile in modo che la nuova variabile tenda a zero (vedi, ad esempio, gli esempi n. 9 o n. 10 in questa pagina). Tuttavia, in questo esempio, non ha senso sostituire la variabile, anche se, se lo si desidera, la sostituzione della variabile $t=x-\frac(2\pi)(3)$ è facile da implementare.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2 \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$

Come puoi vedere, non abbiamo dovuto applicare il primo meraviglioso limite. Naturalmente, questo può essere fatto se lo si desidera (vedi nota sotto), ma non è necessario.

Quale sarebbe la soluzione utilizzando il primo limite notevole? mostra nascondi

Utilizzando il primo limite notevole otteniamo:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ destra))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\sinistra(-\frac(1)(2)\destra)\cdot\sinistra(-\frac(1)(2)\destra)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Risposta: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.

Applicazione

Limiti online al sito per il pieno consolidamento del materiale trattato da studenti e scolari. Come trovare il limite online utilizzando la nostra risorsa? Questo è molto semplice da fare, devi solo scrivere correttamente la funzione originale con la variabile x, selezionare l'infinito desiderato dal selettore e fare clic sul pulsante "Soluzione". Nel caso in cui il limite della funzione debba essere calcolato in un punto x, è necessario specificare il valore numerico proprio di questo punto. Riceverai la risposta alla decisione del limite in pochi secondi, in altre parole, istantaneamente. Tuttavia, se inserisci dati errati, il servizio ti avviserà automaticamente di un errore. Correggi la funzione introdotta in precedenza e ottieni la soluzione corretta del limite. Per risolvere i limiti vengono utilizzate tutte le tecniche possibili, soprattutto il metodo L'Hospital, poiché è universale e porta a una risposta più rapida rispetto ad altri metodi di calcolo del limite di una funzione. È interessante considerare esempi in cui il modulo è presente. A proposito, secondo le regole della nostra risorsa, il modulo è indicato con la classica barra verticale in matematica "|" o Abs(f(x)) dal latino assoluto. Spesso è necessaria una soluzione a un limite per calcolare la somma di una sequenza numerica. Come tutti sanno, basta esprimere correttamente la somma parziale della sequenza in studio, e poi tutto sarà molto più semplice grazie al nostro servizio gratuito del sito, poiché il calcolo del limite dalla somma parziale è la somma finale della sequenza numerica . In generale, la teoria del passaggio al limite è il concetto base di tutta l'analisi matematica. Tutto si basa proprio sulle transizioni limite, cioè la soluzione dei limiti è la base della scienza dell'analisi matematica. L'integrazione si avvale anche del passaggio al limite, quando l'integrale è teoricamente rappresentato come la somma di un numero illimitato di aree. Dove c'è un numero illimitato di qualcosa, cioè la tendenza del numero di oggetti all'infinito, allora entra sempre in vigore la teoria delle transizioni limite, e nella forma generalmente accettata questa è la soluzione dei limiti familiari a tutti. Risolvere i limiti online sul sito site è un servizio unico per ottenere una risposta precisa e immediata in tempo reale. Il limite di una funzione (il valore limite di una funzione) in un dato punto, il limite per il dominio di definizione di una funzione, è un valore al quale tende il valore della funzione in esame quando il suo argomento tende ad un dato punto. Non di rado, e diremmo anche molto spesso, gli studenti si trovano a dover risolvere i limiti online durante lo studio di calcolo infinitesimale. Chiedendo informazioni sulla soluzione del limite online con una soluzione dettagliata solo in casi speciali, diventa chiaro che non è possibile affrontare un compito difficile senza l'uso di un calcolatore del limite computazionale. La soluzione dei limiti tramite il nostro servizio è garanzia di accuratezza e semplicità.Il limite di una funzione è una generalizzazione del concetto di limite di una successione: inizialmente per limite di una funzione in un punto si intendeva il limite di una sequenza di elementi dell'ambito di una funzione, composta da immagini di punti di una sequenza di elementi del dominio di una funzione convergenti a un dato punto (limite in a che viene considerato); se tale limite esiste, allora si dice che la funzione converge al valore specificato; se tale limite non esiste, allora la funzione si dice divergente. Risolvere i limiti online diventa una risposta facile per gli utenti, a condizione che sappiano come risolvere il limite online utilizzando il sito web. Restiamo concentrati e non lasciamo che gli errori ci diano problemi sotto forma di voti insoddisfacenti. Come ogni soluzione ai limiti online, il tuo compito verrà presentato in una forma comoda e comprensibile, con una soluzione dettagliata, nel rispetto di tutte le norme e i regolamenti per ottenere una soluzione. La definizione di limite di una funzione è spesso formulata nel linguaggio degli intorni. Qui i limiti della funzione sono considerati solo nei punti che sono limitanti per il dominio della funzione, nel senso che in ogni intorno di un dato punto ci sono punti del dominio della definizione di questa stessa funzione. Questo ci permette di parlare della tendenza dell'argomento della funzione verso un dato punto. Ma non è necessario che il punto limite del dominio di definizione appartenga al dominio stesso, e ciò si dimostra risolvendo il limite: ad esempio si può considerare il limite di una funzione agli estremi di un intervallo aperto su cui la funzione è definito. In questo caso, i confini stessi dell'intervallo non rientrano nel dominio di definizione. In questo senso, il sistema degli intorni perforati di un dato punto è un caso speciale di tale base di insiemi. La risoluzione dei limiti online con una soluzione dettagliata avviene in tempo reale e applicando formule in forma esplicita: puoi risparmiare tempo e, soprattutto, denaro, poiché per questo non chiediamo alcuna ricompensa. Se esiste un limite in un punto del dominio della funzione e la soluzione di questo limite è uguale al valore della funzione in quel punto, allora la funzione è continua in quel punto. Sul nostro sito la soluzione dei limiti è disponibile online 24 ore su 24, tutti i giorni e ogni minuto. È molto importante utilizzare il calcolatore dei limiti e l'importante è utilizzarlo ogni volta che è necessario verificare le proprie conoscenze. Gli studenti traggono chiaramente vantaggio da tutte queste funzionalità. Calcolare il limite, utilizzando e applicando solo la teoria, non è sempre così facile come dicono gli studenti esperti dei dipartimenti di matematica delle università del paese. Un fatto resta tale in presenza di uno scopo. Di solito, la soluzione dei limiti trovata non è applicabile localmente per i problemi di impostazione. Lo studente si rallegrerà non appena scoprirà il calcolatore dei limiti online su Internet e in accesso gratuito, e non solo per se stesso, ma per tutti. La nomina dovrebbe essere considerata come la matematica, in generale, la sua comprensione. Se chiedi su Internet come trovare in dettaglio il limite online, la massa di siti che appaiono a seguito della richiesta non ti aiuterà come facciamo noi. La differenza dei lati viene moltiplicata per l'equivalenza dell'occorrenza. Il limite primordialmente legittimo di una funzione deve essere determinato dalla loro formulazione del problema matematico stesso. Hamilton aveva ragione, ma vale la pena considerare le dichiarazioni dei suoi contemporanei. In nessun caso il calcolo dei limiti online non è un compito così difficile come potrebbe sembrare a qualcuno a prima vista.. Per non infrangere la verità di teorie incrollabili. Tornando alla situazione iniziale, è necessario calcolare il limite in modo rapido, efficiente e in una forma ben formattata. Sarebbe stato possibile fare altrimenti? Questo approccio è ovvio e giustificato. Il calcolatore del limite è progettato per aumentare la conoscenza, migliorare la qualità della scrittura dei compiti e aumentare l'umore generale tra gli studenti, quindi sarà giusto per loro. Devi solo pensare il più velocemente possibile e la mente trionferà. Parlare esplicitamente dei limiti online in termini di interpolazione è un esercizio molto raffinato per i professionisti del settore. Prevediamo il rapporto del sistema di differenze non programmate in punti nello spazio. E ancora, il problema si riduce all'incertezza, basata sul fatto che il limite della funzione esiste all'infinito e in un certo intorno di un punto locale su un dato asse x dopo una trasformazione affine dell'espressione iniziale. Sarà più facile analizzare l'ascesa dei punti sul piano e sulla sommità dello spazio. Nella situazione generale non si parla della derivazione di una formula matematica, sia in natura che in teoria, per cui il calcolatore dei limiti online viene utilizzato in questo senso per lo scopo previsto. Senza definire il limite online, trovo difficile effettuare ulteriori calcoli nel campo dello studio dello spazio curvilineo. Non sarebbe più facile in termini di trovare la vera risposta corretta. Non è possibile calcolare il limite se un dato punto nello spazio non è definito a priori? Confutiamo la presenza di risposte al di fuori del campo di studio. Dal punto di vista dell'analisi matematica, si può discutere della soluzione dei limiti come dell'inizio dello studio di una sequenza di punti su un asse. Potrebbe essere inappropriato il fatto stesso dell'operazione di calcolo. I numeri sono rappresentati come una sequenza infinita e vengono identificati con il record iniziale dopo che abbiamo risolto in dettaglio il limite online secondo la teoria. Giustificato semplicemente a favore del miglior rapporto qualità-prezzo. Il risultato del limite della funzione, come errore evidente di un problema formulato in modo errato, può distorcere l'idea del reale processo meccanico di un sistema instabile. La capacità di esprimere il significato direttamente nel viewport. Avendo confrontato il limite online con un analogo record di valore limite unilaterale, è meglio evitare di esprimerlo esplicitamente utilizzando formule di riduzione. Oltre all'avvio dell'esecuzione proporzionale dell'attività. Espandiamo il polinomio dopo essere riusciti a calcolare il limite unilaterale e scriverlo all'infinito. Semplici riflessioni portano nell'analisi matematica al risultato reale. Una semplice soluzione di limiti spesso si riduce a un diverso grado di uguaglianza di esempi matematici opposti eseguibili. Le linee e i numeri di Fibonacci hanno decifrato il calcolatore dei limiti online, a seconda di ciò, è possibile ordinare un calcolo senza limiti e la complessità potrebbe passare in secondo piano. C'è un processo di dispiegamento del grafico su un piano in una fetta di spazio tridimensionale. Ciò ha instillato la necessità di punti di vista diversi su un problema matematico complesso. Tuttavia, il risultato non ti farà aspettare. Tuttavia, il processo in corso di realizzazione del prodotto ascendente distorce lo spazio delle linee e annota il limite online per familiarizzare con la dichiarazione del problema. La naturalezza del flusso del processo di accumulo dei problemi determina la necessità di conoscenza di tutte le aree delle discipline matematiche. Un eccellente calcolatore dei limiti diventerà uno strumento indispensabile nelle mani di studenti esperti e ne apprezzeranno tutti i vantaggi rispetto agli analoghi del progresso digitale. Nelle scuole, per qualche motivo, i limiti online vengono chiamati in modo diverso rispetto agli istituti. Il valore della funzione aumenterà modificando l'argomento. Anche Lopital ha detto: trovare il limite della funzione è solo metà dell'opera, è necessario portare il compito alla sua logica conclusione e presentare la risposta in forma ampliata. La realtà è adeguata alla presenza dei fatti nel caso. Il limite online è associato ad aspetti storicamente importanti delle discipline matematiche e costituisce la base dello studio della teoria dei numeri. La codifica della pagina in formule matematiche è disponibile nella lingua del client nel browser. Come si calcola il limite con un metodo legale accettabile, senza forzare la funzione a cambiare nella direzione dell'asse x. In generale, la realtà dello spazio non dipende solo dalla convessità di una funzione o dalla sua concavità. Elimina tutte le incognite dal problema e la soluzione dei limiti ridurrà al minimo costo le risorse matematiche a tua disposizione. La soluzione dell'attività impostata correggerà la funzionalità del cento per cento. L'aspettativa che si verifica toccherà il limite online in dettaglio rispetto alla deviazione dal rapporto singolare meno significativo. Sono passati tre giorni da quando è stata presa la decisione matematica a favore della scienza. Questa è davvero un'attività utile. Senza una ragione per non avere un limite, l’online significherebbe una divergenza nell’approccio generale alla risoluzione dei problemi situazionali. In futuro sarà necessario un nome migliore per il limite unilaterale con incertezza 0/0. Una risorsa può essere non solo bella e buona, ma anche utile quando può calcolare il limite per te. Il grande scienziato, da studente, ricercava le funzioni per scrivere un lavoro scientifico. Sono passati dieci anni. Prima di varie sfumature, vale la pena commentare inequivocabilmente l'aspettativa matematica a favore del fatto che il limite della funzione prende in prestito la divergenza dei principali. Hanno risposto al lavoro di controllo ordinato. In matematica, una posizione eccezionale nell'insegnamento è, curiosamente, lo studio del limite online con reciproche relazioni di terzi. Come accade di solito. Non puoi suonare nulla. Dopo aver analizzato gli approcci degli studenti alle teorie matematiche, lasceremo completamente la decisione dei limiti alla fase finale. Questo è il significato di quanto segue, esamina il testo. La rifrazione definisce in modo univoco un'espressione matematica come l'essenza dell'informazione ricevuta. Il limite online è l'essenza della determinazione della vera posizione del sistema matematico della relatività dei vettori multidirezionali. In questo senso intendo esprimere la mia opinione. Come nel compito precedente. Il limite distintivo online estende in dettaglio la sua influenza sulla visione matematica dello studio sequenziale dell'analisi del programma nel campo di studio. Nel contesto della teoria, la matematica è qualcosa di più elevato della semplice scienza. La lealtà è confermata dalle azioni. Non è possibile interrompere deliberatamente la catena di numeri consecutivi che iniziano il loro movimento verso l'alto se il limite viene calcolato in modo errato. La superficie double face si esprime nella sua forma naturale a grandezza naturale. Dietro l'opportunità di esplorare l'analisi matematica, il limite di una funzione racchiude una sequenza di serie funzionali come un intorno epsilon in un dato punto. Come segno di differenza rispetto alla teoria delle funzioni non sono esclusi errori nei calcoli, ma ciò è previsto dalla situazione. Dividendo per il limite del problema in linea, si può scrivere la funzione di divergenza variabile per il prodotto veloce di un sistema non lineare di spazio tridimensionale. Il caso banale è alla base dell’operazione. Non è necessario essere uno studente per analizzare questo caso. L'insieme dei momenti del calcolo in corso, inizialmente la soluzione dei limiti, definisce come il funzionamento dell'intero sistema integrale di avanzamento lungo l'asse delle ordinate su più valori di numeri. Prendiamo come valore base il valore matematico più piccolo possibile. La conclusione è ovvia. La distanza tra i piani aiuterà ad espandere la teoria dei limiti online, poiché l'uso del metodo di calcolo divergente dell'aspetto circumpolare del significato non ha un significato intrinseco. Una scelta eccellente, se il calcolatore del limite si trova sul server, può essere preso così com'è senza distorcere il significato del cambiamento della superficie nelle aree, altrimenti il ​​problema della linearità aumenterà. Un'analisi matematica completa ha rivelato l'instabilità del sistema insieme alla sua descrizione nella regione dell'intorno più piccolo del punto. Come ogni funzione limite lungo l'asse di intersezione delle ordinate e delle ascisse, è possibile racchiudere i valori numerici degli oggetti in qualche intorno minimo secondo la distribuzione della funzionalità del processo di ricerca. Scriviamo l'attività punto per punto. C'è una divisione in fasi di scrittura. Le affermazioni accademiche secondo cui è davvero difficile o per niente facile calcolare il limite sono supportate da un'analisi delle opinioni matematiche di tutti gli studenti e dei dottorandi senza eccezioni. I possibili risultati intermedi non ti faranno aspettare a lungo. Il limite di cui sopra esplora in dettaglio il minimo assoluto della differenza del sistema degli oggetti, oltre il quale la linearità dello spazio della matematica viene distorta. La segmentazione su vasta scala dell'area non viene utilizzata dagli studenti per calcolare la discrepanza multipla dopo aver scritto il calcolatore del limite di sottrazione online. Dopo l'inizio vietamo agli studenti di rivedere i compiti per lo studio dell'ambiente spaziale in matematica. Poiché abbiamo già trovato il limite della funzione, costruiamo un grafico del suo studio sul piano. Evidenziamo l'asse y con un colore speciale e mostriamo la direzione delle linee. C'è stabilità. L'incertezza è presente a lungo durante la stesura della risposta. Calcola il limite di una funzione in un punto semplicemente analizzando la differenza dei limiti all'infinito nelle condizioni iniziali. Questo metodo non è noto a tutti gli utenti. Abbiamo bisogno dell’analisi matematica. La soluzione dei limiti accumula esperienza nelle menti di generazioni per molti anni a venire. È impossibile non complicare il processo. Gli studenti di tutte le generazioni sono responsabili della sua conclusione. Tutto quanto sopra può iniziare a cambiare in assenza di un argomento fisso in termini di posizione delle funzioni vicino ad un certo punto in ritardo rispetto ai calcolatori limite in termini di differenza di potenza di calcolo. Studiamo la funzione per ottenere la risposta risultante. La conclusione non è ovvia. Dopo aver escluso dal numero totale di funzioni definite implicitamente dopo la trasformazione delle espressioni matematiche, resta l'ultimo passaggio per trovare i limiti online correttamente e con elevata precisione. È necessario verificare l'accettabilità della decisione emessa. Il processo continua. Individuare la sequenza separatamente dalle funzioni e, applicando la loro vasta esperienza, i matematici devono calcolare il limite dietro la giustificazione della direzione corretta nello studio. Tale risultato non necessita di un aumento teorico. Modificare la proporzione dei numeri all'interno di un intorno di un punto diverso da zero sull'asse delle ascisse rispetto all'angolo spaziale di inclinazione variabile del calcolatore del limite laterale online nell'ambito di un compito scritto di matematica. Colleghiamo due aree nello spazio. I disaccordi tra i risolutori su come il limite di una funzione acquisisce le proprietà di valori unilaterali nello spazio non possono essere ignorati dalle prestazioni controllate e rafforzate degli studenti. La direzione dei limiti matematici online ha assunto una delle posizioni più contestate riguardo all'incertezza nei calcoli di questi stessi limiti. In una fase iniziale della scienza, un calcolatore limite online per l'altezza di triangoli isosceli e cubi con un lato di tre raggi circolari aiuterà uno studente a imparare a memoria. Lasciamo alla coscienza degli studenti il ​​compito di risolvere i limiti nello studio di un sistema matematico funzionante indebolito dal lato del piano della ricerca. La visione dello studente della teoria dei numeri è ambigua. Ognuno ha la propria opinione. Il giusto orientamento nello studio della matematica aiuterà a calcolare il limite nel vero senso della parola, come avviene nelle università dei paesi avanzati. La cotangente in matematica si calcola come un calcolatore limite ed è il rapporto di altre due funzioni trigonometriche elementari, vale a dire il coseno e il seno dell'argomento. Questo conclude la soluzione in mezzi segmenti. È improbabile che un altro approccio risolva la situazione a favore del momento passato. Si può parlare a lungo di quanto sia molto difficile e inutile risolvere in dettaglio il limite online senza capirlo, ma questo approccio tende a costruire in meglio la disciplina interna degli studenti.

Argomento 4.6 Calcolo dei limiti

Il limite di una funzione non dipende dal fatto che sia definito o meno nel punto limite. Ma nella pratica del calcolo dei limiti delle funzioni elementari, questa circostanza è essenziale.

1. Se la funzione è elementare e se il valore limite dell'argomento appartiene al suo dominio di definizione, allora il calcolo del limite della funzione si riduce ad una semplice sostituzione del valore limite dell'argomento, perché limite della funzione elementare f (x) a x lottare perUN , che è incluso nel dominio di definizione, è uguale al valore privato della funzione in x= UN, cioè. lim f(x)=f( UN) .

2. Se x va all'infinito oppure l'argomento tende a un numero che non appartiene al dominio della funzione, in ognuno di questi casi la ricerca del limite della funzione richiede uno studio speciale.

Di seguito sono riportati i limiti più semplici, basati sulle proprietà dei limiti, che possono essere utilizzati come formule:

Casi più complessi di ricerca del limite di una funzione:

ciascuno è considerato separatamente.

Questa sezione presenterà le principali modalità di comunicazione delle incertezze.

1. Il caso in cui x lottare perUN la funzione f(x) rappresenta il rapporto tra due quantità infinitesime

a) Per prima cosa bisogna assicurarsi che il limite della funzione non sia trovabile per sostituzione diretta e, con la modifica indicata nell'argomento, rappresenti il ​​rapporto tra due quantità infinitesime. Si effettuano trasformazioni per ridurre la frazione di un fattore tendente a 0. Secondo la definizione di limite di una funzione, l'argomento x tende al suo valore limite, senza mai coincidere con esso.

In generale, se si ricerca il limite di una funzione x lottare perUN , allora bisogna ricordare che x non assume valore UN, cioè. x non è uguale ad a.

b) Si applica il teorema di Bezout. Se stai cercando il limite di una frazione il cui numeratore e denominatore sono polinomi che diventano 0 nel punto limite x \u003d UN, allora secondo il teorema precedente, entrambi i polinomi sono divisibili senza resto per x- UN.

c) L'irrazionalità nel numeratore o denominatore viene distrutta moltiplicando il numeratore o denominatore per l'espressione coniugata all'irrazionale, quindi dopo la semplificazione la frazione viene ridotta.

d) Viene utilizzato il 1° limite notevole (4.1).

e) Usiamo il teorema di equivalenza infinitesimale e il seguente b.m.:

2. Il caso in cui x lottare perUN la funzione f(x) rappresenta il rapporto tra due quantità infinitamente grandi

a) Dividere numeratore e denominatore di una frazione per la potenza più alta dell'incognito.

b) In generale, puoi usare la regola

3. Il caso in cui x lottare perUN la funzione f(x) rappresenta il prodotto di un valore infinitesimo e di uno infinitamente grande

La frazione viene convertita in una forma il cui numeratore e denominatore tendono contemporaneamente a 0 o all'infinito, cioè il caso 3 si riduce al caso 1 o al caso 2.

4. Il caso in cui x lottare perUN la funzione f(x) rappresenta la differenza di due quantità positive infinitamente grandi

Questo caso viene ridotto alla specie 1 o 2 in uno dei seguenti modi:

a) ridurre le frazioni a un denominatore comune;

b) trasformazione della funzione nella forma di frazione;

c) sbarazzarsi dell'irrazionalità.

5. Il caso in cui x lottare perUN la funzione f(x) rappresenta una potenza la cui base tende a 1 e il cui esponente tende all'infinito.

La funzione si trasforma in modo da utilizzare il 2° limite notevole (4.2).

Esempio. Trovare .

Perché x tende a 3, allora il numeratore della frazione tende al numero 3 2 +3 *3+4=22, e il denominatore al numero 3+8=11. Quindi,

Esempio

Qui il numeratore e il denominatore della frazione a x tendente a 2 tendono a 0 (incertezza della forma), scomponiamo numeratore e denominatore in fattori, otteniamo lim(x-2)(x+2)/(x-2)(x-5)

Esempio

Moltiplichiamo il numeratore e il denominatore per l'espressione coniugata al numeratore, abbiamo

Aprendo le parentesi al numeratore, otteniamo

Esempio

Livello 2 Esempio. Facciamo un esempio di applicazione del concetto di limite di una funzione nei calcoli economici. Consideriamo un'operazione finanziaria ordinaria: prestare una somma S 0 con la condizione che dopo un periodo di tempo T l'importo verrà rimborsato S T. Definiamo il valore R crescita relativa formula

r=(S T -S 0)/S 0 (1)

La crescita relativa può essere espressa in percentuale moltiplicando il valore risultante R entro 100.

Dalla formula (1) è facile determinare il valore S T:

S T= S 0 (1 + R)

Quando si calcolano i prestiti a lungo termine che coprono diversi anni interi, viene utilizzato uno schema di interessi composti. Consiste nel fatto che se per il 1 ° anno l'importo S 0 aumenta in (1 + R) volte, poi per il secondo anno in (1+ R) volte la somma aumenta S 1 = S 0 (1 + R), questo è S 2 = S 0 (1 + R) 2 . Allo stesso modo, si scopre S 3 = S 0 (1 + R) 3 . Dagli esempi sopra riportati è possibile ricavare una formula generale per il calcolo della crescita dell'importo N anni quando si calcola secondo il sistema dell’interesse composto:

S n= S 0 (1 + R) N.

Nei calcoli finanziari vengono utilizzati schemi in cui l'interesse composto viene calcolato più volte all'anno. Allo stesso tempo, stabilisce rata annuale R E numero di pagamenti all'anno K. Di norma, i ratei vengono effettuati a intervalli regolari, ovvero alla durata di ciascun intervallo Tk fa parte dell'anno. Poi per un periodo di T anni (qui T non necessariamente un numero intero) S T calcolato dalla formula

(2)

dove è la parte intera del numero, che è uguale al numero stesso, se, ad esempio, T? numero intero.

Lasciamo stare il tasso annuo R e prodotto N ratei annuali a intervalli regolari. Quindi per l'anno l'importo S 0 viene aumentato al valore determinato dalla formula

(3)

Nell'analisi teorica e nella pratica dell'attività finanziaria si incontra spesso il concetto di “interessi maturati continuamente”. Per passare agli interessi maturati in modo continuativo è necessario nelle formule (2) e (3) aumentare indefinitamente, rispettivamente, i numeri K E N(cioè mirare K E N all'infinito) e calcolare a quale limite tenderanno le funzioni S T E S 1 . Applichiamo questa procedura alla formula (3):

Si noti che il limite tra parentesi graffe è lo stesso del secondo limite notevole. Ne consegue che al tasso annuale R ad un interesse continuamente maturato, l'importo S 0 per 1 anno viene aumentato al valore S 1 * , che è determinato dalla formula

S 1 * = S 0 ehm (4)

Ora facciamo la somma S 0 è prestato con interesse N una volta all'anno a intervalli regolari. Denota Rif tasso annuo al quale alla fine dell'anno l'importo S 0 viene incrementato a un valore S 1 * dalla formula (4). In questo caso, lo diremo Rif- Questo tasso d'interesse annuale N una volta all'anno, equivalente ad una percentuale annua R con maturazione continua. Dalla formula (3) otteniamo

S* 1 \u003d S 0 (1 + r e / n) n

Uguagliando le parti giuste dell'ultima formula e della formula (4), assumendo l'ultima T= 1, possiamo derivare le relazioni tra le quantità R E Rif:

Queste formule sono ampiamente utilizzate nei calcoli finanziari.