La matrice A -1 è chiamata matrice inversa rispetto alla matrice A, se A * A -1 \u003d E, dove E è la matrice identità dell'ennesimo ordine. La matrice inversa può esistere solo per matrici quadrate.
Incarico di servizio. Utilizzando questo servizio online, puoi trovare addizioni algebriche, matrice trasposta A T , matrice di unione e matrice inversa. La soluzione viene effettuata direttamente sul sito (online) ed è gratuita. I risultati del calcolo vengono presentati in un report in formato Word e in formato Excel (è cioè possibile verificare la soluzione). vedere l'esempio di progettazione.
Istruzioni. Per ottenere una soluzione è necessario specificare la dimensione della matrice. Successivamente, nella nuova finestra di dialogo, compila la matrice A .
Vedi anche Matrice inversa con il metodo Jordan-Gauss
Algoritmo per trovare la matrice inversa
- Trovare la matrice trasposta A T .
- Definizione di addizioni algebriche. Sostituisci ogni elemento della matrice con il suo complemento algebrico.
- Compilazione di una matrice inversa da addizioni algebriche: ogni elemento della matrice risultante viene diviso per il determinante della matrice originale. La matrice risultante è l'inverso della matrice originale.
- Determina se la matrice è quadrata. In caso contrario, non esiste una matrice inversa per questo.
- Calcolo del determinante della matrice A . Se non è uguale a zero continuiamo la soluzione, altrimenti la matrice inversa non esiste.
- Definizione di addizioni algebriche.
- Compilazione della matrice unita (reciproca, aggiunta) C .
- Compilazione della matrice inversa da addizioni algebriche: ogni elemento della matrice aggiunta C è diviso per il determinante della matrice originale. La matrice risultante è l'inverso della matrice originale.
- Fai un controllo: moltiplica la matrice originale e quella risultante. Il risultato dovrebbe essere una matrice identità.
Esempio 1. Scriviamo la matrice nella forma:
Addizioni algebriche.
| A 1.1 = (-1) 1+1 |
|
∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
|
∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
| A 1,3 = (-1) 1+3 |
|
∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
| A 2,1 = (-1) 2+1 |
|
∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7
| A 2,2 = (-1) 2+2 |
|
∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
|
∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
| A 3,1 = (-1) 3+1 |
|
∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
| A 3,2 = (-1) 3+2 |
|
∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
| A 3,3 = (-1) 3+3 |
|
∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Poi matrice inversa può essere scritto come:
| LA -1 = 1/10 |
|
| A-1 = |
|
Un altro algoritmo per trovare la matrice inversa
Presentiamo un altro schema per trovare la matrice inversa.- Trova il determinante della matrice quadrata A .
- Troviamo addizioni algebriche a tutti gli elementi della matrice A .
- Scriviamo nelle colonne i complementi algebrici degli elementi delle righe (trasposizione).
- Dividiamo ciascun elemento della matrice risultante per il determinante della matrice A .
Un caso speciale: L'inverso, rispetto alla matrice identità E , è la matrice identità E .
Nella prima parte è stato considerato un metodo per trovare la matrice inversa mediante addizioni algebriche. Qui descriviamo un altro metodo per trovare matrici inverse: utilizzando le trasformazioni di Gauss e Gauss-Jordan. Spesso questo metodo per trovare la matrice inversa è chiamato metodo delle trasformazioni elementari.
Metodo delle trasformazioni elementari
Per applicare questo metodo, la matrice data $A$ e la matrice identità $E$ vengono scritte in un'unica matrice, ovvero formare una matrice della forma $(A|E)$ (questa matrice è detta anche matrice estesa). Successivamente, con l'aiuto di trasformazioni elementari eseguite con le righe della matrice espansa, la matrice a sinistra della riga diventa unitaria e la matrice espansa assume la forma $\left(E| A^(-1) \right )$. Le trasformazioni elementari in questa situazione includono le seguenti azioni:
- Sostituzione di due righe.
- Moltiplicare tutti gli elementi di una stringa per un numero diverso da zero.
- Sommando agli elementi di una riga i corrispondenti elementi di un'altra riga, moltiplicati per un fattore qualsiasi.
Queste trasformazioni elementari possono essere applicate in diversi modi. Di solito viene scelto il metodo di Gauss o il metodo di Gauss-Jordan. In generale, i metodi di Gauss e Gauss-Jordan sono destinati alla risoluzione di sistemi di equazioni algebriche lineari e non alla ricerca di matrici inverse. La frase "applicare il metodo di Gauss per trovare l'inverso di una matrice" dovrebbe essere intesa qui come "applicare le operazioni inerenti al metodo di Gauss per trovare l'inverso di una matrice".
La numerazione degli esempi continua dalla prima parte. Negli esempi viene considerato l'uso del metodo di Gauss per trovare la matrice inversa e negli esempi viene analizzato l'uso del metodo di Gauss-Jordan. Va notato che se durante la soluzione tutti gli elementi di una riga o colonna della matrice situata prima della riga vengono impostati su zero, la matrice inversa non esiste.
Esempio n.5
Trova la matrice $A^(-1)$ if $A=\left(\begin(array) (ccc) 7 & 4 & 6 \\ 2 & 5 & -4 \\ 1 & -1 & 3 \end( array )\destra)$.
In questo esempio, la matrice inversa verrà trovata utilizzando il metodo gaussiano. La matrice aumentata, che generalmente è $(A|E)$, in questo esempio assume la forma seguente: $ \left(\begin(array) (ccc|ccc) 7 & 4 & 6 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & -4 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 3 & 0 & 0 & 1 \end(array) \right)$.
Scopo: utilizzando trasformazioni elementari, portare la matrice estesa nella forma $\left(E|A^(-1) \right)$. Applichiamo le stesse operazioni utilizzate per risolvere sistemi di equazioni lineari con il metodo di Gauss. Per applicare il metodo gaussiano è conveniente quando il primo elemento della prima riga della matrice espansa è uno. Per ottenere ciò, scambiamo la prima e la terza riga della matrice espansa, che diventa: $ \left(\begin(array) (ccc|ccc) 1 & -1 & 3 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 5 & - 4 & 0 & 1 & 0 \\ 7 & 4 & 6 & 1 & 0 & 0 \end(array) \right)$.
Ora arriviamo alla soluzione. Il metodo Gauss è diviso in due fasi: avanti e indietro (una descrizione dettagliata di questo metodo per risolvere sistemi di equazioni è fornita negli esempi dell'argomento corrispondente). Gli stessi due passaggi verranno applicati nel processo di ricerca della matrice inversa.
corsa in avanti
Primo passo
Con l'aiuto della prima riga reimpostamo gli elementi della prima colonna situata sotto la prima riga:
Vorrei commentare un po' quello che ho fatto. La notazione $II-2\cdot I$ significa che dagli elementi della seconda riga sono stati sottratti i corrispondenti elementi della prima riga, precedentemente moltiplicati per due. Questa azione può essere scritta separatamente come segue:
L'azione $III-7\cdot I$ viene eseguita esattamente allo stesso modo. Se ci sono difficoltà nell'eseguire queste operazioni, possono essere eseguite separatamente (in modo simile all'azione $II-2\cdot I$ mostrata sopra), e quindi il risultato viene inserito nella matrice espansa.
Secondo passo
Con l'aiuto della seconda riga reimpostamo l'elemento della seconda colonna, situato sotto la seconda riga:
Dividi la terza riga per 5:
Il rettilineo è finito. Tutti gli elementi situati sotto la diagonale principale della matrice fino alla linea sono stati azzerati.
Inversione
Primo passo
Con l'aiuto della terza riga reimpostamo gli elementi della terza colonna situata sopra la terza riga:
Prima di passare al passaggio successivo, dividi la seconda riga per $7$:
Secondo passo
Con l'aiuto della seconda riga reimpostamo gli elementi della seconda colonna situata sopra la seconda riga:
Completate le trasformazioni, la matrice inversa viene trovata con il metodo gaussiano: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) -11/5 & 18/5 & 46/5 \\ 2 & -3 & -8 \ \ 7/5 & -11/5 & -27/5 \end(array) \right)$. Il controllo, se necessario, può essere effettuato nello stesso modo degli esempi precedenti. Se salti tutte le spiegazioni, la soluzione assumerà la forma:
Risposta: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) -11/5 & 18/5 & 46/5 \\ 2 & -3 & -8 \\ 7/5 & -11/ 5 & -27/5 \end(array) \right)$.
Esempio n.6
Trova la matrice $A^(-1)$ if $A=\left(\begin(array) (cccc) -5 & 4 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & -2 & 1 \\ 0 & 7 & - 4 & -3 \\ 1 & 4 & 0 & 6 \end(array) \right)$.
Per trovare la matrice inversa in questo esempio, utilizzeremo le stesse operazioni utilizzate per risolvere sistemi di equazioni lineari utilizzando il metodo di Gauss. Vengono fornite spiegazioni dettagliate, ma qui ci limitiamo a brevi commenti. Scriviamo la matrice aumentata: $\left(\begin(array) (cccc|cccc) -5 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & -2 & 1 &0 &1&0 &0 \ \ 0 & 7 & -4 & -3 &0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 4 & 0 & 6 &0 &0 & 0 & 1 \end(array) \right)$. Scambia la prima e la quarta riga di questa matrice: $\left(\begin(array) (cccc|cccc) 1 & 4 & 0 & 6 &0 &0 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & -2 & 1 &0 &1&0 &0 \ \ 0 & 7 & -4 & -3 &0 & 0 & 1 & 0\\ -5 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$.
corsa in avanti
Le trasformazioni di esecuzione in avanti sono complete. Tutti gli elementi situati sotto la diagonale principale della matrice a sinistra della linea sono impostati su zero.
Inversione
Trovato inverso gaussiano, $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) -13/14 & -75/8 & 31/8 & 7/2 \\ -19/8 & - 117/ 16 & 49/16 & 11/4 \\ -23/4 & -141/8 & 57/8 & 13/2 \\ 17/8 & 103/6 & -43/16 & -9/4 \ end( array)\destra)$. Il controllo, se necessario, viene eseguito come negli esempi n. 2 e n. 3.
Risposta: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) -13/14 & -75/8 & 31/8 & 7/2 \\ -19/8 & -117/16 & 49 /16 & 11/4 \\ -23/4 & -141/8 & 57/8 & 13/2 \\ 17/8 & 103/6 & -43/16 & -9/4 \end(array) \ destra)$.
Esempio n.7
Trova la matrice $A^(-1)$ if $A=\left(\begin(array) (ccc) 2 & 3 & 4 \\ 7 & 1 & 9 \\ -4 & 5 & -2 \end( array )\destra)$.
Per trovare la matrice inversa applichiamo le operazioni caratteristiche del metodo di Gauss-Jordan. La differenza rispetto al metodo gaussiano, considerato negli esempi precedenti e , è che la soluzione viene eseguita in una fase. Lascia che ti ricordi che il metodo Gauss è diviso in 2 fasi: il movimento in avanti ("facciamo" zeri sotto la diagonale principale della matrice alla barra) e il movimento inverso (resettiamo gli elementi sopra la diagonale principale della matrice al bar). Per calcolare la matrice inversa con il metodo Gauss-Jordan, non sono necessarie due fasi di soluzione. Innanzitutto, creiamo una matrice aumentata: $(A|E)$:
$$ (A|E)=\left(\begin(array) (ccc|ccc) 2 & 3 & 4 & 1 & 0 & 0\\ 7 & 1 & 9 & 0 & 1 & 0\\ -4 & 5 & -2 &0 & 0 & 1 \end(array) \right) $$
Primo passo
Imposta tutti gli elementi della prima colonna su zero tranne uno. Nella prima colonna, tutti gli elementi sono diversi da zero, quindi possiamo scegliere qualsiasi elemento. Prendiamo ad esempio $(-4)$:
L'elemento selezionato $(-4)$ è nella terza riga, quindi utilizziamo la terza riga per azzerare gli elementi selezionati della prima colonna:
Rendiamo uguale a uno il primo elemento della terza riga. Per fare ciò, dividiamo gli elementi della terza riga della matrice espansa per $(-4)$:
Ora iniziamo ad azzerare gli elementi corrispondenti della prima colonna:
Nei passaggi successivi non sarà più possibile utilizzare la terza riga, perché l'abbiamo già applicata nel primo passaggio.
Secondo passo
Scegliamo un elemento diverso da zero della seconda colonna e impostiamo tutti gli altri elementi della seconda colonna a zero. Possiamo scegliere uno dei due elementi: $\frac(11)(2)$ o $\frac(39)(4)$. L'elemento $\left(-\frac(5)(4) \right)$ non può essere selezionato perché si trova nella terza riga, che abbiamo utilizzato nel passaggio precedente. Selezioniamo l'elemento $\frac(11)(2)$, che si trova nella prima riga. Cambiamo $\frac(11)(2)$ in uno nella prima riga:
Ora impostiamo a zero gli elementi corrispondenti della seconda colonna:
In un ulteriore ragionamento, la prima riga non può essere utilizzata.
Terzo passo
È necessario reimpostare tutti gli elementi della terza colonna tranne uno. Dobbiamo scegliere un elemento diverso da zero della terza colonna. Tuttavia, non possiamo prendere $\frac(6)(11)$ o $\frac(13)(11)$ perché questi elementi si trovano nella prima e nella terza riga che abbiamo usato in precedenza. La scelta è piccola: rimane solo l'elemento $\frac(2)(11)$, che si trova nella seconda riga. Dividi tutti gli elementi della seconda riga per $\frac(2)(11)$:
Ora impostiamo a zero gli elementi corrispondenti della terza colonna:
Le trasformazioni con il metodo Gauss-Jordan sono completate. Resta solo da far sì che la matrice fino alla linea diventi unità. Per fare ciò, devi cambiare l'ordine delle linee. Innanzitutto, scambia la prima e la terza riga:
$$ \left(\begin(array) (ccc|ccc) 1 & 0 & 0 & 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 0 & 0 & 1 & -39/4 & 11/2 & 19/4 \\ 0 & 1 & 0 & 11/2 & -3 & -5/2 \end(array) \right) $$
Ora scambiamo la seconda e la terza riga:
$$ \left(\begin(array) (ccc|ccc) 1 & 0 & 0 & 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 0 & 1 & 0 & 11/2 & -3 & - 5/2 \\ 0 & 0 & 1 & -39/4 & 11/2 & 19/4 \end(array) \right) $$
Quindi $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 11/2 & -3 & -5/2 \\ - 39 /4 & 2/11 & 19/4 \end(array) \right)$. Naturalmente la soluzione può essere effettuata anche diversamente, scegliendo gli elementi sulla diagonale principale. Di solito è proprio quello che fanno, perché in questo caso, alla fine della soluzione, non sarà necessario invertire le linee. Ho fornito la soluzione precedente per un solo scopo: mostrare che la scelta di una riga ad ogni passaggio non è fondamentale. Se scegliamo elementi diagonali ad ogni passaggio, la soluzione sarà la seguente.
Sia una matrice quadrata dell'ennesimo ordine
Viene chiamata la matrice A -1 matrice inversa rispetto alla matrice A, se A * A -1 = E, dove E è la matrice identità dell'ordine n.
Matrice identità- una matrice quadrata in cui tutti gli elementi lungo la diagonale principale, passando dall'angolo in alto a sinistra all'angolo in basso a destra, sono uno e il resto è zero, ad esempio:
matrice inversa può esistere solo per matrici quadrate quelli. per quelle matrici che hanno lo stesso numero di righe e colonne.
Teorema della condizione di esistenza della matrice inversa
Affinché una matrice abbia una matrice inversa è necessario e sufficiente che sia non degenere.
Si chiama la matrice A = (A1, A2,...A n). non degenerato se i vettori colonna sono linearmente indipendenti. Il numero di vettori colonna linearmente indipendenti di una matrice è chiamato rango della matrice. Possiamo quindi dire che affinché esista una matrice inversa è necessario e sufficiente che il rango della matrice sia uguale alla sua dimensione, cioè r = n.
Algoritmo per trovare la matrice inversa
- Scrivi la matrice A nella tabella per risolvere i sistemi di equazioni con il metodo di Gauss e a destra (al posto delle parti giuste delle equazioni) assegnale la matrice E.
- Utilizzando le trasformazioni di Jordan, portare la matrice A in una matrice composta da singole colonne; in questo caso è necessario trasformare contemporaneamente la matrice E.
- Se necessario, riorganizzare le righe (equazioni) dell'ultima tabella in modo che la matrice identità E sia ottenuta sotto la matrice A della tabella originale.
- Scrivi la matrice inversa A -1, che si trova nell'ultima tabella sotto la matrice E della tabella originale.
Per la matrice A, trova la matrice inversa A -1
Soluzione: Scriviamo la matrice A e a destra assegniamo la matrice identità E. Usando le trasformazioni di Jordan, riduciamo la matrice A alla matrice identità E. I calcoli sono mostrati nella Tabella 31.1.
Verifichiamo la correttezza dei calcoli moltiplicando la matrice originale A e la matrice inversa A -1.
Come risultato della moltiplicazione della matrice, si ottiene la matrice identità. Pertanto i calcoli sono corretti.
Risposta: 
Soluzione di equazioni di matrice
Le equazioni della matrice possono assomigliare a:
AX = B, XA = B, AXB = C,
dove A, B, C sono matrici date, X è la matrice desiderata.
Le equazioni di matrice vengono risolte moltiplicando l'equazione per matrici inverse.
Ad esempio, per trovare la matrice da un'equazione, devi moltiplicare questa equazione per a sinistra.
Pertanto, per trovare una soluzione all'equazione, è necessario trovare la matrice inversa e moltiplicarla per la matrice sul lato destro dell'equazione.
Altre equazioni vengono risolte in modo simile.
Risolvi l'equazione AX = B se 
Soluzione: Poiché l'inverso della matrice è uguale (vedi esempio 1)
Il metodo della matrice nell'analisi economica
Insieme ad altri, trovano anche applicazione metodi matriciali. Questi metodi si basano sull'algebra lineare e di matrice vettoriale. Tali metodi vengono utilizzati ai fini dell'analisi di fenomeni economici complessi e multidimensionali. Molto spesso questi metodi vengono utilizzati quando è necessario confrontare il funzionamento delle organizzazioni e le loro divisioni strutturali.
Nel processo di applicazione dei metodi di analisi a matrice, si possono distinguere diverse fasi.
Nella prima fase viene effettuata la formazione di un sistema di indicatori economici e sulla base viene compilata una matrice di dati iniziali, che è una tabella in cui i numeri del sistema sono mostrati nelle sue singole righe (i = 1,2,....,n) e lungo i grafici verticali - numeri di indicatori (j = 1,2,....,m).
Nella seconda fase per ciascuna colonna verticale viene rivelato il maggiore tra i valori disponibili degli indicatori, che viene preso come unità.
Successivamente, tutti gli importi riflessi in questa colonna vengono divisi per il valore più grande e viene formata una matrice di coefficienti standardizzati.
Alla terza fase tutti i componenti della matrice sono quadrati. Se hanno un significato diverso, a ciascun indicatore della matrice viene assegnato un determinato coefficiente di ponderazione K. Il valore di quest'ultimo è determinato da un esperto.
All'ultimo quarta fase valori trovati delle valutazioni Rj raggruppati in ordine crescente o decrescente.
I metodi della matrice di cui sopra dovrebbero essere utilizzati, ad esempio, in un'analisi comparativa di vari progetti di investimento, nonché nella valutazione di altri indicatori di prestazione economica delle organizzazioni.
La matrice $A^(-1)$ è detta inversa della matrice quadrata $A$ se $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, dove $E $ è la matrice identità, il cui ordine è uguale all'ordine della matrice $A$.
Una matrice non singolare è una matrice il cui determinante non è uguale a zero. Pertanto, una matrice degenere è quella il cui determinante è uguale a zero.
La matrice inversa $A^(-1)$ esiste se e solo se la matrice $A$ è non singolare. Se la matrice inversa $A^(-1)$ esiste, allora è unica.
Esistono diversi modi per trovare l'inverso di una matrice e ne vedremo due. Questa pagina discuterà il metodo della matrice aggiunta, che è considerato standard nella maggior parte dei corsi di matematica superiore. Nella seconda parte viene considerato il secondo modo per trovare la matrice inversa (metodo delle trasformazioni elementari), che prevede l'uso del metodo di Gauss o del metodo di Gauss-Jordan.
Metodo della matrice aggiunta (unione).
Sia data la matrice $A_(n\times n)$. Per trovare la matrice inversa $A^(-1)$ sono necessari tre passaggi:
- Trova il determinante della matrice $A$ e assicurati che $\Delta A\neq 0$, cioè che la matrice A non è degenere.
- Componi i complementi algebrici $A_(ij)$ di ciascun elemento della matrice $A$ e scrivi la matrice $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ dalla matrice trovata complementi algebrici.
- Scrivi la matrice inversa tenendo conto della formula $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.
La matrice $(A^(*))^T$ viene spesso definita matrice aggiunta (reciproca, alleata) di $A$.
Se la decisione viene presa manualmente, il primo metodo è valido solo per matrici di ordini relativamente piccoli: secondo (), terzo (), quarto (). Per trovare la matrice inversa per una matrice di ordine superiore, vengono utilizzati altri metodi. Ad esempio, il metodo di Gauss, discusso nella seconda parte.
Esempio 1
Trova la matrice inversa alla matrice $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(array) \right)$.
Poiché tutti gli elementi della quarta colonna sono uguali a zero, allora $\Delta A=0$ (cioè la matrice $A$ è degenere). Poiché $\Delta A=0$, non esiste una matrice inversa a $A$.
Esempio n.2
Trova la matrice inversa alla matrice $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$.
Usiamo il metodo della matrice aggiunta. Innanzitutto, troviamo il determinante della matrice data $A$:
$$ \Delta A=\sinistra| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$
Poiché $\Delta A \neq 0$, esiste la matrice inversa, quindi continuiamo la soluzione. Trovare i Complementi Algebrici
\begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(allineato)
Comporre una matrice di complementi algebrici: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.
Trasporre la matrice risultante: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (la matrice risultante matrice è spesso chiamata matrice aggiunta o unione alla matrice $A$). Utilizzando la formula $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, abbiamo:
$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$
Quindi si trova la matrice inversa: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array) \destra) $. Per verificare la verità del risultato è sufficiente verificare la verità di una delle uguaglianze: $A^(-1)\cdot A=E$ oppure $A\cdot A^(-1)=E$. Controlliamo l'uguaglianza $A^(-1)\cdot A=E$. Per lavorare meno con le frazioni, sostituiremo la matrice $A^(-1)$ non nella forma $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$ ma come $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \ end(array)\right)$:
Risposta: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.
Esempio n.3
Trova l'inverso della matrice $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$.
Cominciamo calcolando il determinante della matrice $A$. Quindi il determinante della matrice $A$ è:
$$ \Delta A=\sinistra| \begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right| = 18-36+56-12=26. $$
Poiché $\Delta A\neq 0$, esiste la matrice inversa, quindi continuiamo la soluzione. Troviamo i complementi algebrici di ciascun elemento della matrice data:
Componiamo una matrice di addizioni algebriche e la trasponiamo:
$$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right) $$
Utilizzando la formula $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, otteniamo:
$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right) $$
Quindi $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$. Per verificare la verità del risultato è sufficiente verificare la verità di una delle uguaglianze: $A^(-1)\cdot A=E$ oppure $A\cdot A^(-1)=E$. Controlliamo l'uguaglianza $A\cdot A^(-1)=E$. Per lavorare meno con le frazioni, sostituiremo la matrice $A^(-1)$ non nella forma $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$, ma come $\frac(1)(26)\ cdot \left( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:
Il controllo è stato superato con successo, la matrice inversa $A^(-1)$ è stata trovata correttamente.
Risposta: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$.
Esempio n.4
Trova la matrice inversa di $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(array) \right)$.
Per una matrice del quarto ordine, trovare la matrice inversa utilizzando le addizioni algebriche è alquanto difficile. Tuttavia, tali esempi si trovano nei lavori di controllo.
Per trovare la matrice inversa, devi prima calcolare il determinante della matrice $A$. Il modo migliore per farlo in questa situazione è espandere il determinante in una riga (colonna). Selezioniamo qualsiasi riga o colonna e troviamo il complemento algebrico di ciascun elemento della riga o colonna selezionata.
Definizione 1: Una matrice si dice degenere se il suo determinante è zero.
Definizione 2: Una matrice si dice non singolare se il suo determinante non è uguale a zero.
Viene chiamata la matrice "A". matrice inversa, se la condizione A*A-1 = A-1 *A = E (matrice identità) è soddisfatta.
Una matrice quadrata è invertibile solo se è non singolare.
Schema per il calcolo della matrice inversa:
1) Calcolare il determinante della matrice "A" se ∆ A = 0, allora la matrice inversa non esiste.
2) Trova tutti i complementi algebrici della matrice "A".
3) Comporre una matrice di addizioni algebriche (Aij )
4) Trasporre la matrice dei complementi algebrici (Aij )T
5) Moltiplicare la matrice trasposta per il reciproco del determinante di questa matrice.
6) Esegui un controllo:
A prima vista può sembrare difficile, ma in realtà è tutto molto semplice. Tutte le soluzioni si basano su semplici operazioni aritmetiche, la cosa principale quando si risolve è non confondersi con i segni "-" e "+" e non perderli.
E ora risolviamo insieme a te un compito pratico calcolando la matrice inversa.
Obiettivo: trova la matrice inversa "A", mostrata nell'immagine seguente:
1. La prima cosa da fare è trovare il determinante della matrice "A":
Spiegazione:
Abbiamo semplificato il nostro determinante utilizzando le sue funzioni principali. Per prima cosa abbiamo aggiunto alla 2a e 3a riga gli elementi della prima riga, moltiplicati per un numero.
In secondo luogo, abbiamo cambiato la 2a e la 3a colonna del determinante e, in base alle sue proprietà, abbiamo cambiato il segno davanti ad essa.
In terzo luogo, abbiamo eliminato il fattore comune (-1) della seconda riga, cambiando così nuovamente il segno, che è diventato positivo. Abbiamo anche semplificato la riga 3 allo stesso modo dell'inizio dell'esempio.
Abbiamo un determinante triangolare, in cui gli elementi sotto la diagonale sono uguali a zero, e per la proprietà 7 è uguale al prodotto degli elementi della diagonale. Di conseguenza, abbiamo ottenuto ∆ A = 26, quindi esiste la matrice inversa.
A11 = 1*(3+1) = 4
A12 \u003d -1 * (9 + 2) \u003d -11
A13 = 1*1 = 1
A21 = -1*(-6) = 6
A22 = 1*(3-0) = 3
A23 = -1*(1+4) = -5
A31 = 1*2 = 2
A32 = -1*(-1) = -1
A33 = 1+(1+6) = 7
3. Il passo successivo è compilare una matrice dalle addizioni risultanti:
5. Moltiplichiamo questa matrice per il reciproco del determinante, cioè per 1/26:
6. Bene, ora non ci resta che controllare:
Durante la verifica abbiamo ricevuto una matrice di identità, pertanto la decisione è stata presa in modo assolutamente corretto.
2 modi per calcolare la matrice inversa.
1. Trasformazione elementare di matrici
2. Matrice inversa tramite un convertitore elementare.
La trasformazione della matrice elementare include:
1. Moltiplicare una stringa per un numero diverso da zero.
2. Aggiungendo a qualsiasi riga di un'altra riga, moltiplicata per un numero.
3. Scambiare le righe della matrice.
4. Applicando una catena di trasformazioni elementari, otteniamo un'altra matrice.
UN -1 = ?
1. (LA|MI) ~ (MI|LA -1 )
2.A -1*A=E
Vediamolo in un esempio pratico con numeri reali.
Esercizio: Trova la matrice inversa.
Soluzione:
Controlliamo:
Un piccolo chiarimento sulla soluzione:
Per prima cosa abbiamo scambiato le righe 1 e 2 della matrice, quindi abbiamo moltiplicato la prima riga per (-1).
Successivamente, la prima riga è stata moltiplicata per (-2) e aggiunta alla seconda riga della matrice. Quindi abbiamo moltiplicato la 2a riga per 1/4.
La fase finale della trasformazione è stata la moltiplicazione della seconda riga per 2 e l'addizione dalla prima. Di conseguenza, abbiamo una matrice identità a sinistra, quindi la matrice inversa è la matrice a destra.
Dopo aver verificato, eravamo convinti della correttezza della soluzione.
Come puoi vedere, calcolare la matrice inversa è molto semplice.
Nel concludere questa lezione, vorrei dedicare un po' di tempo anche alle proprietà di tale matrice.
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