La somma totale degli angoli di un triangolo. La somma degli angoli di un triangolo

Seguito di ieri:

Giochiamo con un mosaico per una fiaba in geometria:

C'erano triangoli. Così simili che sono solo copie l'uno dell'altro.
Stavano fianco a fianco in linea retta. E poiché avevano tutti la stessa altezza...
allora le loro cime erano allo stesso livello, sotto il righello:

I triangoli adoravano rotolare e stare in testa. Salirono in prima fila e si fermarono all'angolo come acrobati.
E lo sappiamo già: quando stanno con le cime esattamente in linea,
poi anche le piante dei piedi sono foderate, perché se qualcuno ha la stessa altezza, allora è a testa in giù con la stessa altezza!

In tutto erano uguali - e l'altezza era la stessa, e le suole erano una a una,
e scivola sui lati - uno è più ripido, l'altro è più dolce - della stessa lunghezza
e hanno la stessa pendenza. Beh, solo gemelli! (solo in abiti diversi, ognuno ha il proprio pezzo del puzzle).

Dove i triangoli hanno gli stessi lati? Dove sono gli angoli?

I triangoli stavano sulla testa, si alzarono e decisero di scivolare via e sdraiarsi nella fila inferiore.
Scivolò e scivolò giù come una collina; e le diapositive sono le stesse!
Quindi si adattano esattamente tra i triangoli inferiori, senza spazi vuoti, e nessuno ha premuto su nessuno.

Abbiamo guardato intorno ai triangoli e abbiamo notato una caratteristica interessante.
Ovunque i loro angoli si incontrassero, tutti e tre gli angoli si incontravano sicuramente:
la più grande è la "testa d'angolo", l'angolo più acuto e la terza, l'angolo medio.
Hanno anche legato dei nastri colorati, in modo che si vedesse immediatamente dov'era.

E si è scoperto che i tre angoli del triangolo, se li unisci...
compongono un grande angolo, "angolo aperto" - come la copertina di un libro aperto,

______________________O ___________________

Si chiama così: angolo storto.

Qualsiasi triangolo è come un passaporto: tre angoli insieme equivalgono a un angolo piatto.
Qualcuno ti busserà: - toc toc, sono un triangolo, lasciami passare la notte!
E tu a lui - Mostrami la somma degli angoli in forma estesa!
Ed è subito chiaro se si tratta di un vero triangolo o di un impostore.
Verifica non riuscita - Girati di centottanta gradi e torna a casa!

Quando si dice "girare di 180°" significa girarsi all'indietro e
andare nella direzione opposta.

Lo stesso nelle espressioni più familiari, senza "vissero":

Facciamo una traslazione parallela del triangolo ABC lungo l'asse OX
per vettore AB uguale alla lunghezza della base AB.
Linea DF passante per i vertici C e C 1 dei triangoli
parallelo all'asse del OX, poiché perpendicolare all'asse del OX
i segmenti h e h 1 (altezze di triangoli uguali) sono uguali.
Pertanto, la base del triangolo A 2 B 2 C 2 è parallela alla base AB
e uguale ad esso in lunghezza (perché la parte superiore C 1 è spostata rispetto a C della quantità AB).
I triangoli A 2 B 2 C 2 e ABC sono uguali su tre lati.
E così gli angoli ∠A 1 ∠B ∠C 2 , formanti un angolo sviluppato, sono uguali agli angoli del triangolo ABC.
=> La somma degli angoli di un triangolo è 180°

Con i movimenti - "trasmissioni" la cosiddetta prova è più breve e più chiara,
sui pezzi del puzzle anche un bambino può capire.

Ma la scuola tradizionale:

basato sull'uguaglianza degli angoli trasversali interni tagliati su linee parallele

prezioso in quanto dà un'idea del perché è così,
Perché la somma degli angoli di un triangolo è uguale all'angolo?

Perché altrimenti le linee parallele non avrebbero le proprietà familiari al nostro mondo.

I teoremi funzionano in entrambi i modi. Dall'assioma delle rette parallele segue
uguaglianza degli angoli trasversali e verticali, e di essi - la somma degli angoli di un triangolo.

Ma è vero anche il contrario: finché gli angoli del triangolo sono 180°, ci sono linee parallele
(tale che attraverso un punto non giacente su una retta sia possibile tracciare un'unica retta || data).
Se un giorno comparisse nel mondo un triangolo in cui la somma degli angoli non fosse uguale all'angolo piatto -
allora quelli paralleli cesseranno di essere paralleli, il mondo intero sarà distorto e distorto.

Se le strisce con un ornamento di triangoli sono posizionate una sopra l'altra -
puoi coprire l'intero campo con uno schema ripetuto, come un pavimento con piastrelle:

puoi tracciare forme diverse su una griglia di questo tipo: esagoni, rombi,
poligoni stellati e ottieni una varietà di parquet

Piastrellare un aereo con il parquet non è solo un gioco divertente, ma anche un vero e proprio problema matematico:

________________________________________ _______________________-------__________ ________________________________________ ______________
/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\=/\__||_/ \__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\

Poiché ogni quadrilatero è un rettangolo, un quadrato, un rombo, ecc.,
può essere formato da due triangoli,
rispettivamente la somma degli angoli del quadrilatero: 180° + 180°= 360°

I triangoli isosceli identici vengono piegati in quadrati in modi diversi.
Piccolo quadrato in 2 parti. Medio di 4. E il più grande degli 8.
Quante figure nel disegno, composto da 6 triangoli?

Teorema sulla somma degli angoli interni di un triangolo

La somma degli angoli di un triangolo è 180°.

Prova:

• È dato il triangolo ABC.
• Traccia una linea DK passante per il vertice B parallela alla base AC.
• \angle CBK= \angle C come traverso interno con parallele DK e AC e secante BC.
• \angolo DBA = \angolo A interno trasversalmente giacente in DK \parallelo AC e secante AB. L'angolo DBK è dritto e uguale a
• \angle DBK = \angle DBA + \angle B + \angle CBK
• Poiché l'angolo piatto è 180 ^\circ , e \angle CBK = \angle C e \angle DBA = \angle A , otteniamo 180 ^\circ = \angolo A + \angolo B + \angolo C.

Teorema dimostrato

Conseguenze del teorema sulla somma degli angoli di un triangolo:

1. La somma degli angoli acuti di un triangolo rettangolo è 90°.
2. In un triangolo rettangolo isoscele ogni angolo acuto è 45°.
3. In un triangolo equilatero ogni angolo è 60°.
4. In ogni triangolo, o tutti gli angoli sono acuti, oppure due angoli sono acuti e il terzo è ottuso o retto.
5. Un angolo esterno di un triangolo è uguale alla somma di due angoli interni ad esso non adiacenti.

Teorema dell'angolo esterno del triangolo

Un angolo esterno di un triangolo è uguale alla somma dei due angoli rimanenti del triangolo che non sono adiacenti a quell'angolo esterno.

Prova:

• È dato il triangolo ABC, dove BCD è l'angolo esterno.
• \angolo BAC + \angolo ABC +\angolo BCA = 180^0
• Dalle uguaglianze, l'angolo \angolo BCD + \angolo BCA = 180^0
• Noi abbiamo \angolo BCD = \angolo BAC+\angolo ABC.

Traguardi e obbiettivi:

Educativo:

• ripetere e generalizzare la conoscenza del triangolo;
• dimostrare il teorema della somma dei triangoli;
• verificare praticamente la correttezza della formulazione del teorema;
• imparare ad applicare le conoscenze acquisite nella risoluzione dei problemi.

Sviluppando:

• sviluppare il pensiero geometrico, l'interesse per la materia, l'attività cognitiva e creativa degli studenti, il discorso matematico, la capacità di acquisire autonomamente la conoscenza.

Educativo:

• sviluppare le qualità personali degli studenti, quali determinazione, perseveranza, precisione, capacità di lavorare in gruppo.

Attrezzatura: proiettore multimediale, triangoli di carta colorata, materiale didattico "Live Mathematics", computer, schermo.

Fase preparatoria: l'insegnante dà il compito allo studente di preparare un cenni storici sul teorema “La somma degli angoli di un triangolo”.

Tipo di lezione: imparare nuovo materiale.

Durante le lezioni

I. Momento organizzativo

Saluti. Atteggiamento psicologico degli studenti al lavoro.

II. Riscaldamento

Abbiamo incontrato la figura geometrica "triangolo" nelle lezioni precedenti. Ripetiamo quello che sappiamo del triangolo?

Gli studenti lavorano in gruppi. Viene data loro l'opportunità di comunicare tra loro, ciascuno per costruire in modo indipendente il processo cognitivo.

Quello che è successo? Ogni gruppo dà i propri suggerimenti e l'insegnante li scrive sulla lavagna. I risultati sono in discussione:

Immagine 1

III. Formuliamo il compito della lezione

Quindi sappiamo già molto del triangolo. Ma non tutto. Ognuno di voi ha triangoli e goniometri sulla scrivania. Cosa ne pensi, quale compito possiamo formulare?

Gli studenti formulano il compito della lezione: trovare la somma degli angoli di un triangolo.

IV. Spiegazione del nuovo materiale

Parte pratica(contribuisce all'attualizzazione delle conoscenze e delle capacità di conoscenza di sé) Misura gli angoli con un goniometro e trova la loro somma. Annotare i risultati su un quaderno (ascoltare le risposte ricevute). Scopriamo che la somma degli angoli per ognuno si è rivelata diversa (questo può accadere perché il goniometro è stato applicato in modo impreciso, il calcolo è stato eseguito con noncuranza, ecc.).

Piega lungo le linee tratteggiate e scopri a cos'altro è uguale la somma degli angoli del triangolo:

UN)
figura 2

B)
Figura 3

V)
Figura 4

G)
Figura 5

e)
Figura 6

Dopo aver completato il lavoro pratico, gli studenti formulano la risposta: La somma degli angoli di un triangolo è uguale alla misura in gradi dell'angolo espanso, cioè 180°.

Insegnante: In matematica, il lavoro pratico consente solo di fare qualche affermazione, ma deve essere dimostrata. Un enunciato la cui validità è stabilita da una dimostrazione si chiama teorema. Quale teorema possiamo formulare e dimostrare?

Studenti: La somma degli angoli di un triangolo è 180 gradi.

Riferimento storico: La proprietà della somma degli angoli di un triangolo fu stabilita nell'antico Egitto. La dimostrazione fornita nei libri di testo moderni si trova nei commenti di Proclo sugli Elementi di Euclide. Proclo sostiene che questa prova (Fig. 8) fu scoperta dai Pitagorici (V secolo a.C.). Nel primo libro degli Elementi, Euclide espone un'altra dimostrazione del teorema sulla somma degli angoli di un triangolo, che è facile da comprendere con l'aiuto di un disegno (Fig. 7):

Figura 7

Figura 8

I disegni vengono visualizzati sullo schermo tramite un proiettore.

L'insegnante si offre di dimostrare il teorema con l'aiuto di disegni.

Successivamente la dimostrazione viene effettuata utilizzando il CMD "Live Mathematics". L'insegnante al computer proietta la dimostrazione del teorema.

Teorema della somma degli angoli del triangolo: "La somma degli angoli di un triangolo è 180°"

Figura 9

Prova:

UN)

Figura 10

B)

Figura 11

V)

Figura 12

Gli studenti annotano brevemente sul quaderno la dimostrazione del teorema:

Teorema: La somma degli angoli di un triangolo è 180°.

Figura 13

Dato:Δ ABC

Dimostrare: A + B + C = 180°.

Prova:

Ciò che doveva essere dimostrato.

V. Fis. minuto.

VI. Spiegazione del nuovo materiale (continua)

La conseguenza del teorema sulla somma degli angoli di un triangolo viene derivata dagli studenti da soli, ciò contribuisce allo sviluppo della capacità di formulare il proprio punto di vista, esprimerlo e argomentarlo:

In ogni triangolo, o tutti gli angoli sono acuti, oppure due angoli acuti e il terzo ottuso o retto.

Se in un triangolo tutti gli angoli sono acuti si dice ad angolo acuto.

Se uno degli angoli di un triangolo è ottuso, si chiama ottuso.

Se uno degli angoli di un triangolo è retto, allora si chiama rettangolare.

Il teorema della somma dei triangoli ci consente di classificare i triangoli non solo in base ai lati, ma anche in base agli angoli. (Durante l'introduzione dei tipi di triangoli, gli studenti compilano una tabella)

Tabella 1

Vista triangolare	Isoscele	Equilatero	Versatile
Rettangolare
ottuso
ad angolo acuto

VII. Consolidamento del materiale studiato.

1. Risolvere i problemi oralmente:

(I disegni vengono visualizzati sullo schermo tramite il proiettore)

Compito 1. Trova l'angolo C.

Figura 14

Attività 2. Trova l'angolo F.

Figura 15

Attività 3. Trova gli angoli K e N.

Figura 16

Attività 4. Trova gli angoli P e T.

Figura 17

1. Risolvi tu stesso il problema N. 223 (b, d).
2. Risolvi il problema alla lavagna e nei quaderni dello studente n. 224.
3. Domande: Un triangolo può avere: a) due angoli retti; b) due angoli ottusi; c) un angolo retto e uno ottuso.
4. (eseguito verbalmente) Le carte su ogni tavolo mostrano vari triangoli. Determina a occhio la forma di ciascun triangolo.

Figura 18

1. Trova la somma degli angoli 1, 2 e 3.

Figura 19

VIII. Riassunto della lezione.

Insegnante: Cosa abbiamo imparato? Il teorema si applica a qualsiasi triangolo?

IX. Riflessione.

Datemi il vostro umore ragazzi! Sul retro del triangolo, raffigura le tue espressioni facciali.

Figura 20

Compiti a casa: p.30 (parte 1), domanda 1 cap. IV pagina 89 del libro di testo; N. 223 (a, c), N. 225.

Questo teorema è stato formulato anche nel libro di testo di L.S. Atanasyan. , e nel libro di testo Pogorelov A.V. . Le dimostrazioni di questo teorema in questi libri di testo non differiscono in modo significativo, e quindi ne presentiamo la dimostrazione, ad esempio, dal libro di testo di Pogorelov A.V.

Teorema: La somma degli angoli di un triangolo è 180°

Prova. Sia ABC il triangolo dato. Traccia una linea passante per il vertice B parallela alla linea AC. Segna il punto D su di esso in modo che i punti A e D si trovino sui lati opposti della linea BC (Fig. 6).

Gli angoli DBC e ACB sono uguali come traverse interne, formate da una secante BC con rette parallele AC e BD. Pertanto la somma degli angoli del triangolo ai vertici B e C è uguale all'angolo ABD. E la somma di tutti e tre gli angoli di un triangolo è uguale alla somma degli angoli ABD e BAC. Poiché questi angoli interni sono unilaterali per le parallele AC e BD e per la secante AB, la loro somma è 180°. Il teorema è stato dimostrato.

L'idea di questa dimostrazione è tracciare una linea parallela e denotare l'uguaglianza degli angoli richiesti. Ricostruiamo l'idea di tale costruzione aggiuntiva dimostrando questo teorema utilizzando il concetto di esperimento mentale. Dimostrazione del teorema mediante un esperimento mentale. Quindi, l'oggetto del nostro esperimento mentale sono gli angoli di un triangolo. Mettiamolo mentalmente in condizioni tali in cui la sua essenza possa essere rivelata con particolare certezza (fase 1).

Tali condizioni saranno una tale disposizione degli angoli del triangolo, in cui tutti e tre i vertici saranno combinati in un punto. Tale combinazione è possibile se si ammette la possibilità di “spostare” gli angoli, mediante lo spostamento dei lati del triangolo senza modificare l'angolo di inclinazione (Fig. 1). Tali movimenti sono essenzialmente trasformazioni mentali successive (fase 2).

Designando gli angoli e i lati del triangolo (Fig. 2), gli angoli ottenuti durante il "movimento", formiamo così mentalmente l'ambiente, il sistema di connessioni in cui collochiamo il nostro soggetto di pensiero (fase 3).

La linea AB “muovendosi” lungo la linea BC e non modificando l'angolo di inclinazione rispetto ad essa, traduce l'angolo 1 in angolo 5, e “muovendosi” lungo la linea AC, traduce l'angolo 2 in angolo 4. Poiché con tale “movimento” la linea AB non cambia l'angolo di inclinazione rispetto alle linee AC e BC, quindi la conclusione è ovvia: i raggi a e a1 sono paralleli ad AB e si incrociano, e i raggi b e b1 sono continuazioni dei lati BC e AC, rispettivamente. Poiché l'angolo 3 e l'angolo tra i raggi at e at1 sono verticali, sono uguali. La somma di questi angoli è uguale all'angolo espanso aa1 - che significa 180 °.

CONCLUSIONE

Nel lavoro di tesi sono state effettuate dimostrazioni “costruite” di alcuni teoremi geometrici scolastici, utilizzando la struttura di un esperimento mentale, che costituiva una conferma dell'ipotesi formulata.

Le prove presentate si basavano su idealizzazioni visuo-sensoriali: “compressione”, “stiramento”, “scorrimento”, che hanno permesso di trasformare in modo speciale l'oggetto geometrico originario e di evidenziarne le caratteristiche essenziali, tipiche di un pensiero sperimentare. Allo stesso tempo, l'esperimento mentale agisce come un certo "strumento creativo" che contribuisce all'emergere della conoscenza geometrica (ad esempio, sulla linea mediana di un trapezio o sugli angoli di un triangolo). Tali idealizzazioni permettono di cogliere l'intera idea di prova, l'idea di realizzare una “costruzione aggiuntiva”, che ci permette di parlare della possibilità di una comprensione più consapevole da parte degli scolari del processo di prova deduttiva formale di teoremi geometrici.

Un esperimento mentale è uno dei metodi di base per ottenere e scoprire teoremi geometrici. È necessario sviluppare una metodologia per trasferire il metodo allo studente. Resta aperta la questione sull’età dello studente accettabile per “accettare” il metodo, sugli “effetti collaterali” delle prove presentate in questo modo.

Queste domande richiedono ulteriori studi. Ma in ogni caso, una cosa non c'è dubbio: un esperimento mentale sviluppa il pensiero teorico negli scolari, ne è la base e, quindi, è necessario sviluppare la capacità di sperimentazione mentale.