La soluzione generale dell'equazione differenziale è. Risoluzione delle più semplici equazioni differenziali del primo ordine

Oggi, una delle competenze più importanti per qualsiasi specialista è la capacità di risolvere equazioni differenziali. Risolvere equazioni differenziali: nessun compito applicato può farne a meno, sia esso il calcolo di parametri fisici o la modellazione dei cambiamenti come risultato delle politiche macroeconomiche adottate. Queste equazioni sono importanti anche per una serie di altre scienze, come la chimica, la biologia, la medicina, ecc. Di seguito forniremo un esempio dell'uso delle equazioni differenziali in economia, ma prima parleremo brevemente dei principali tipi di equazioni.

Equazioni differenziali: i tipi più semplici

I saggi dicevano che le leggi del nostro universo sono scritte in linguaggio matematico. Naturalmente, in algebra ci sono molti esempi di varie equazioni, ma si tratta, per la maggior parte, di esempi didattici che non sono applicabili nella pratica. La matematica veramente interessante inizia quando vogliamo descrivere i processi che si verificano nella vita reale. Ma come possiamo riflettere il fattore tempo che governa i processi reali: inflazione, produzione o indicatori demografici?

Ricordiamo un'importante definizione tratta da un corso di matematica riguardante la derivata di una funzione. La derivata è il tasso di variazione di una funzione, quindi può aiutarci a riflettere il fattore tempo nell'equazione.

Cioè, creiamo un'equazione con una funzione che descrive l'indicatore a cui siamo interessati e aggiungiamo la derivata di questa funzione all'equazione. Questa è un'equazione differenziale. Passiamo ora a quelli più semplici tipi di equazioni differenziali per dummy.

L'equazione differenziale più semplice ha la forma $y'(x)=f(x)$, dove $f(x)$ è una determinata funzione e $y'(x)$ è la derivata o il tasso di variazione del valore desiderato funzione. Può essere risolto con l'integrazione ordinaria: $$y(x)=\int f(x)dx.$$

Il secondo tipo più semplice è chiamato equazione differenziale con variabili separabili. Tale equazione è simile a questa: $y’(x)=f(x)\cdot g(y)$. Si può vedere che anche la variabile dipendente $y$ fa parte della funzione costruita. L'equazione può essere risolta in modo molto semplice: è necessario "separare le variabili", ovvero portarla nella forma $y'(x)/g(y)=f(x)$ o $dy/g(y) =f(x)dx$. Resta da integrare entrambi i membri $$\int \frac(dy)(g(y))=\int f(x)dx$$ - questa è la soluzione dell'equazione differenziale di tipo separabile.

L'ultimo tipo semplice è un'equazione differenziale lineare del primo ordine. Ha la forma $y’+p(x)y=q(x)$. Qui $p(x)$ e $q(x)$ sono alcune funzioni e $y=y(x)$ è la funzione richiesta. Per risolvere tale equazione vengono utilizzati metodi speciali (metodo di variazione di Lagrange di una costante arbitraria, metodo di sostituzione di Bernoulli).

Esistono tipi di equazioni più complessi: equazioni del secondo, terzo e generalmente arbitrario, equazioni omogenee e disomogenee, nonché sistemi di equazioni differenziali. Risolverli richiede una preparazione preliminare ed esperienza nella risoluzione di problemi più semplici.

Le cosiddette equazioni alle derivate parziali sono di grande importanza per la fisica e, inaspettatamente, per la finanza. Ciò significa che la funzione desiderata dipende da più variabili contemporaneamente. Ad esempio, l’equazione di Black-Scholes nel campo dell’ingegneria finanziaria descrive il valore di un’opzione (tipo di titolo) in base alla sua redditività, all’entità dei pagamenti e alle date di inizio e fine dei pagamenti. Risolvere un'equazione alle derivate parziali è piuttosto complesso e solitamente richiede l'uso di programmi speciali come Matlab o Maple.

Un esempio di applicazione di un'equazione differenziale in economia

Diamo, come promesso, un semplice esempio di risoluzione di un'equazione differenziale. Innanzitutto, impostiamo l'attività.

Per alcune aziende, la funzione del ricavo marginale derivante dalla vendita dei propri prodotti ha la forma $MR=10-0,2q$. Qui $MR$ è il ricavo marginale dell'impresa e $q$ è il volume della produzione. Dobbiamo trovare le entrate totali.

Come puoi vedere dal problema, questo è un esempio applicato dalla microeconomia. Molte aziende e imprese si confrontano costantemente con tali calcoli nel corso delle loro attività.

Cominciamo con la soluzione. Come noto dalla microeconomia, il ricavo marginale è un derivato del ricavo totale e il ricavo è pari a zero con vendite pari a zero.

Da un punto di vista matematico il problema si è ridotto alla soluzione dell’equazione differenziale $R’=10-0.2q$ nella condizione $R(0)=0$.

Integriamo l'equazione, prendendo la funzione antiderivativa di entrambi i membri, e otteniamo la soluzione generale: $$R(q) = \int (10-0.2q)dq = 10 q-0.1q^2+C. $$

Per trovare la costante $C$, richiama la condizione $R(0)=0$. Sostituiamo: $$R(0) =0-0+C = 0. $$ Quindi C=0 e la nostra funzione di ricavo totale assume la forma $R(q)=10q-0,1q^2$. Il problema è risolto.

Altri esempi di diverse tipologie di telecomando sono raccolti nella pagina:

Consideriamo un'equazione lineare omogenea del secondo ordine, cioè l'equazione

e stabilire alcune proprietà delle sue soluzioni.

Proprietà 1
Se è una soluzione di un'equazione lineare omogenea, allora C, Dove C- una costante arbitraria, è una soluzione della stessa equazione.
Prova.
Sostituendo nel lato sinistro dell'equazione in esame C, noi abbiamo: ,
ma perché è una soluzione dell'equazione originale.
Quindi,

e la validità di questa proprietà è stata dimostrata.

Proprietà 2
La somma di due soluzioni di un'equazione lineare omogenea è una soluzione della stessa equazione.
Prova.
Siano allora e soluzioni dell'equazione in esame
E .
Ora sostituendo + nell'equazione in esame avremo:
, cioè. + è la soluzione dell'equazione originale.
Dalle proprietà provate segue che, conoscendo due soluzioni particolari di un'equazione lineare omogenea del secondo ordine, si può ottenere la soluzione , a seconda di due costanti arbitrarie, cioè dal numero di costanti che l'equazione del secondo ordine deve contenere una soluzione generale. Ma questa decisione sarà generale, cioè? È possibile soddisfare condizioni iniziali date arbitrariamente scegliendo costanti arbitrarie?
Per rispondere a questa domanda utilizzeremo il concetto di indipendenza lineare delle funzioni, che può essere definito come segue.

Vengono richiamate le due funzioni linearmente indipendenti su un certo intervallo, se il loro rapporto su questo intervallo non è costante, cioè Se
.
Altrimenti vengono chiamate le funzioni linearmente dipendente.
In altre parole, si dice che due funzioni siano linearmente dipendenti da un certo intervallo se dall'intero intervallo.

Esempi

1. Funzioni sì 1 = e X e sì 2 = e -X sono linearmente indipendenti per tutti i valori di x, perché
.
2. Funzioni sì 1 = e X e sì 2 = 5 e X linearmente dipendente, perché
.

Teorema 1.

Se le funzioni e dipendono linearmente da un certo intervallo, viene chiamato il determinante Il determinante di Vronskij determinate funzioni è identicamente uguale a zero su questo intervallo.

Prova.

Se
,
dove , allora e .
Quindi,
.
Il teorema è stato dimostrato.

Commento.
Il determinante di Wronski, che compare nel teorema considerato, è solitamente indicato con la lettera W o simboli.
Se le funzioni sono soluzioni di un'equazione lineare omogenea del secondo ordine, allora per esse vale il seguente teorema inverso e, inoltre, più forte.

Teorema 2.

Se il determinante di Wronski, compilato per soluzioni e un'equazione lineare omogenea del secondo ordine, svanisce almeno in un punto, allora queste soluzioni sono linearmente dipendenti.

Prova.

Lasciamo che il determinante di Wronski svanisca nel punto , cioè =0,
e lascia e .
Consideriamo un sistema lineare omogeneo

relativamente sconosciuto e.
Il determinante di questo sistema coincide con il valore del determinante di Wronski a
x=, cioè. coincide con , e quindi è uguale a zero. Pertanto, il sistema ha una soluzione diversa da zero e ( e non sono uguali a zero). Utilizzando questi valori e , considera la funzione . Questa funzione è una soluzione della stessa equazione delle funzioni e . Inoltre, questa funzione soddisfa zero condizioni iniziali: , perché E .
D'altra parte, è ovvio che la soluzione dell'equazione che soddisfa le condizioni iniziali pari a zero è la funzione sì=0.
Data l’unicità della soluzione, abbiamo: . Da ciò consegue ciò
,
quelli. funzioni e sono linearmente dipendenti. Il teorema è stato dimostrato.

Conseguenze.

1. Se il determinante di Wronski che appare nei teoremi è uguale a zero per qualche valore x=, allora è uguale a zero per qualsiasi valore Xdall'intervallo considerato.

2. Se le soluzioni sono linearmente indipendenti, allora il determinante di Wronski non si annulla in nessun punto dell'intervallo considerato.

3. Se il determinante di Wronski è diverso da zero almeno in un punto, allora le soluzioni sono linearmente indipendenti.

Teorema 3.

Se e sono due soluzioni linearmente indipendenti di un'equazione omogenea del secondo ordine, allora la funzione , dove e sono costanti arbitrarie, è una soluzione generale di questa equazione.

Prova.

Come è noto, la funzione è una soluzione dell'equazione in esame per qualsiasi valore di e . Dimostriamo ora che qualunque siano le condizioni iniziali
E ,
è possibile selezionare i valori delle costanti arbitrarie e fare in modo che la soluzione particolare corrispondente soddisfi le condizioni iniziali date.
Sostituendo le condizioni iniziali nelle uguaglianze, otteniamo un sistema di equazioni
.
Da questo sistema è possibile determinare e , poiché determinante di questo sistema

esiste un determinante di Wronski per x= e, quindi, non è uguale a zero (a causa dell'indipendenza lineare delle soluzioni e ).

; .

Una soluzione particolare con i valori ottenuti e soddisfa le condizioni iniziali date. Quindi il teorema è dimostrato.

Esempi

Esempio 1.

La soluzione generale dell'equazione è la soluzione .
Veramente,
.

Pertanto le funzioni sinx e cosx sono linearmente indipendenti. Ciò può essere verificato considerando la relazione di queste funzioni:

Esempio 2.

Soluzione y = C 1 e X +C 2 e -X l'equazione è generale, perché .

Esempio 3.

L'equazione , i cui coefficienti e
continua su ogni intervallo che non contenga il punto x = 0, ammette soluzioni parziali

(facile da verificare mediante sostituzione). Pertanto la sua soluzione generale ha la forma:
.

Commento

Abbiamo stabilito che la soluzione generale di un'equazione lineare omogenea del secondo ordine può essere ottenuta conoscendo due qualsiasi soluzioni parziali linearmente indipendenti di questa equazione. Tuttavia, non esistono metodi generali per trovare tali soluzioni parziali nella forma finale per equazioni a coefficienti variabili. Per le equazioni a coefficienti costanti tale metodo esiste e verrà discusso più avanti.

Equazione differenziale (DE) - questa è l'equazione,
dove sono le variabili indipendenti, y è la funzione e sono le derivate parziali.

Equazione differenziale ordinaria è un'equazione differenziale che ha una sola variabile indipendente, .

Equazione alle derivate parziali è un'equazione differenziale che ha due o più variabili indipendenti.

Le parole “ordinaria” e “derivate parziali” possono essere omesse se è chiaro quale equazione si sta considerando. Di seguito verranno prese in considerazione le equazioni differenziali ordinarie.

Ordine delle equazioni differenziali è l'ordine della derivata più alta.

Ecco un esempio di equazione del primo ordine:

Ecco un esempio di equazione del quarto ordine:

A volte un'equazione differenziale del primo ordine è scritta in termini di differenziali:

In questo caso le variabili x e y sono uguali. Cioè, la variabile indipendente può essere x o y. Nel primo caso, y è una funzione di x. Nel secondo caso x è funzione di y. Se necessario, possiamo ridurre questa equazione a una forma che includa esplicitamente la derivata y′.
Dividendo questa equazione per dx otteniamo:
.
Poiché e , ne consegue che
.

Risoluzione di equazioni differenziali

Le derivate delle funzioni elementari si esprimono attraverso funzioni elementari. Gli integrali delle funzioni elementari spesso non sono espressi in termini di funzioni elementari. Con le equazioni differenziali la situazione è ancora peggiore. Come risultato della soluzione puoi ottenere:

• dipendenza esplicita di una funzione da una variabile;

  Risoluzione di un'equazione differenziale è la funzione y = u (X), che è definito, n volte differenziabile, e .

• dipendenza implicita sotto forma di un'equazione di tipo Φ (x, y) = 0 o sistemi di equazioni;

  Integrale di un'equazione differenziale è una soluzione di un'equazione differenziale che ha una forma implicita.

• dipendenza espressa tramite funzioni elementari e integrali da esse;

  Risoluzione di un'equazione differenziale in quadrature - questo sta trovando una soluzione sotto forma di una combinazione di funzioni elementari e dei loro integrali.

• la soluzione potrebbe non essere espressa tramite funzioni elementari.

Poiché la risoluzione delle equazioni differenziali si riduce al calcolo degli integrali, la soluzione include un insieme di costanti C 1, C 2, C 3, ... C n. Il numero di costanti è uguale all'ordine dell'equazione. Integrale parziale di un'equazione differenziale è l'integrale generale per dati valori delle costanti C 1, C 2, C 3, ..., C n.

Riferimenti:
V.V. Stepanov, Corso di equazioni differenziali, "LKI", 2015.
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Raccolta di problemi di matematica superiore, “Lan”, 2003.

In alcuni problemi di fisica non è possibile stabilire una connessione diretta tra le quantità che descrivono il processo. Ma è possibile ottenere un'uguaglianza contenente le derivate delle funzioni studiate. Ecco come nascono le equazioni differenziali e la necessità di risolverle per trovare una funzione sconosciuta.

Questo articolo è destinato a coloro che si trovano ad affrontare il problema di risolvere un'equazione differenziale in cui la funzione sconosciuta è una funzione di una variabile. La teoria è strutturata in modo tale che con una conoscenza pari a zero delle equazioni differenziali puoi far fronte al tuo compito.

Ad ogni tipo di equazione differenziale è associato un metodo di soluzione con spiegazioni dettagliate e soluzioni ad esempi e problemi tipici. Tutto quello che devi fare è determinare il tipo di equazione differenziale del tuo problema, trovare un esempio analizzato simile ed eseguire azioni simili.

Per risolvere con successo le equazioni differenziali, avrai anche bisogno della capacità di trovare insiemi di antiderivative (integrali indefiniti) di varie funzioni. Se necessario, si consiglia di fare riferimento alla sezione.

Considereremo dapprima le tipologie di equazioni differenziali ordinarie del primo ordine risolvibili rispetto alla derivata, poi passeremo alle ODE del secondo ordine, quindi ci soffermeremo sulle equazioni di ordine superiore e termineremo con i sistemi di equazioni differenziali.

Ricordiamo che se y è una funzione dell'argomento x.

Equazioni differenziali del primo ordine.

Le più semplici equazioni differenziali del primo ordine della forma.

Scriviamo alcuni esempi di tale controllo remoto .

Equazioni differenziali può essere risolto rispetto alla derivata dividendo entrambi i membri dell'uguaglianza per f(x) . In questo caso arriviamo a un'equazione che sarà equivalente a quella originale per f(x) ≠ 0. Esempi di tali ODE sono .

Se ci sono valori dell'argomento x in cui le funzioni f(x) e g(x) svaniscono contemporaneamente, compaiono soluzioni aggiuntive. Ulteriori soluzioni all'equazione dato x sono le funzioni definite per questi valori di argomento. Esempi di tali equazioni differenziali includono:

Equazioni differenziali del secondo ordine.

Equazioni differenziali lineari omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti.

LDE con coefficienti costanti è un tipo molto comune di equazione differenziale. La loro soluzione non è particolarmente difficile. Per prima cosa si trovano le radici dell'equazione caratteristica . Per p e q diversi sono possibili tre casi: le radici dell'equazione caratteristica possono essere reali e diverse, reali e coincidenti o coniugati complessi. A seconda dei valori delle radici dell'equazione caratteristica, la soluzione generale dell'equazione differenziale viene scritta come , O , o rispettivamente.

Ad esempio, consideriamo un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine con coefficienti costanti. Le radici della sua equazione caratteristica sono k 1 = -3 e k 2 = 0. Le radici sono reali e diverse, quindi la soluzione generale del LODE a coefficienti costanti ha la forma


Equazioni differenziali lineari disomogenee del secondo ordine a coefficienti costanti.

La soluzione generale di un LDDE del secondo ordine a coefficienti costanti y viene cercata sotto forma di somma della soluzione generale del corrispondente LDDE e una soluzione particolare all'equazione disomogenea originale, cioè . Il paragrafo precedente è dedicato alla ricerca di una soluzione generale per un'equazione differenziale omogenea a coefficienti costanti. E una soluzione particolare è determinata o dal metodo dei coefficienti indefiniti per una certa forma della funzione f(x) sul lato destro dell'equazione originale, o dal metodo della variazione delle costanti arbitrarie.

Come esempi di LDDE del secondo ordine con coefficienti costanti, diamo


Per comprendere la teoria e conoscere soluzioni dettagliate di esempi, ti offriamo nella pagina equazioni differenziali lineari disomogenee del secondo ordine con coefficienti costanti.

Equazioni differenziali omogenee lineari (LODE) ed equazioni differenziali lineari disomogenee (LNDE) del secondo ordine.

Un caso particolare di equazioni differenziali di questo tipo sono LODE e LDDE a coefficienti costanti.

La soluzione generale del LODE su un certo segmento è rappresentata da una combinazione lineare di due soluzioni parziali linearmente indipendenti y 1 e y 2 di questa equazione, cioè, .

La difficoltà principale sta proprio nel trovare soluzioni parziali linearmente indipendenti di un'equazione differenziale di questo tipo. Tipicamente, soluzioni particolari vengono selezionate dai seguenti sistemi di funzioni linearmente indipendenti:


Tuttavia, le soluzioni particolari non vengono sempre presentate in questa forma.

Un esempio di LOD è .

La soluzione generale dell'LDDE si cerca nella forma , dove è la soluzione generale del corrispondente LDDE, ed è la soluzione particolare dell'equazione differenziale originaria. Abbiamo appena parlato di trovarlo, ma può essere determinato utilizzando il metodo della variazione delle costanti arbitrarie.

Si può fornire un esempio di LNDU .

Equazioni differenziali di ordine superiore.

Equazioni differenziali che consentono una riduzione dell'ordine.

Ordine delle equazioni differenziali , che non contiene la funzione desiderata e le sue derivate fino all'ordine k-1, può essere ridotto a n-k sostituendo .

In questo caso, l'equazione differenziale originale verrà ridotta a . Dopo aver trovato la sua soluzione p(x), resta da ritornare alla sostituzione e determinare la funzione sconosciuta y.

Ad esempio, l'equazione differenziale dopo la sostituzione diventerà un'equazione a variabili separabili e il suo ordine verrà ridotto dalla terza alla prima.

Equazione differenziale ordinaria è un'equazione che mette in relazione una variabile indipendente, una funzione sconosciuta di questa variabile e le sue derivate (o differenziali) di vario ordine.

L'ordine dell'equazione differenziale si chiama ordine della derivata massima in esso contenuta.

Oltre a quelle ordinarie, vengono studiate anche le equazioni alle derivate parziali. Si tratta di equazioni relative a variabili indipendenti, una funzione sconosciuta di queste variabili e le sue derivate parziali rispetto alle stesse variabili. Ma considereremo solo equazioni differenziali ordinarie e pertanto, per brevità, ometteremo la parola “ordinario”.

Esempi di equazioni differenziali:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

L'equazione (1) è del quarto ordine, l'equazione (2) è del terzo ordine, le equazioni (3) e (4) sono del secondo ordine, l'equazione (5) è del primo ordine.

Equazione differenziale N L'ordine non deve necessariamente contenere una funzione esplicita, tutte le sue derivate dalla prima alla N-esimo ordine e variabile indipendente. Non può contenere esplicitamente derivati ​​di determinati ordini, una funzione o una variabile indipendente.

Ad esempio, nell'equazione (1) chiaramente non ci sono derivate del terzo e del secondo ordine, così come una funzione; nell'equazione (2) - la derivata del secondo ordine e la funzione; nell'equazione (4) - la variabile indipendente; nell'equazione (5) - funzioni. Solo l'equazione (3) contiene esplicitamente tutte le derivate, la funzione e la variabile indipendente.

Risoluzione di un'equazione differenziale viene chiamata ogni funzione y = f(x), quando sostituito nell'equazione si trasforma in un'identità.

Il processo per trovare la soluzione di un'equazione differenziale è chiamato its integrazione.

Esempio 1. Trova la soluzione dell'equazione differenziale.

Soluzione. Scriviamo questa equazione nella forma . La soluzione è trovare la funzione dalla sua derivata. La funzione originaria, come noto dal calcolo integrale, è un'antiderivativa per, ad es.

Questo è quello che è soluzione di questa equazione differenziale . Cambiando in esso C, otterremo soluzioni diverse. Abbiamo scoperto che esiste un numero infinito di soluzioni per un'equazione differenziale del primo ordine.

Soluzione generale dell'equazione differenziale N l'ordine n è la sua soluzione, espressa esplicitamente rispetto alla funzione sconosciuta e contenente N costanti arbitrarie indipendenti, cioè

La soluzione dell'equazione differenziale nell'Esempio 1 è generale.

Soluzione parziale dell'equazione differenziale viene chiamata una soluzione in cui alle costanti arbitrarie vengono assegnati valori numerici specifici.

Esempio 2. Trovare la soluzione generale dell'equazione differenziale e una soluzione particolare per .

Soluzione. Integriamo entrambi i membri dell'equazione un numero di volte pari all'ordine dell'equazione differenziale.

,

.

Di conseguenza, abbiamo ricevuto una soluzione generale:

di una data equazione differenziale del terzo ordine.

Ora troviamo una soluzione particolare nelle condizioni specificate. Per fare ciò, sostituisci i loro valori invece dei coefficienti arbitrari e ottieni

.

Se, oltre all'equazione differenziale, la condizione iniziale è data nella forma , viene chiamato tale problema Problema di Cauchy . Sostituisci i valori e nella soluzione generale dell'equazione e trova il valore di una costante arbitraria C, e quindi una particolare soluzione dell'equazione per il valore trovato C. Questa è la soluzione al problema di Cauchy.

Esempio 3. Risolvi il problema di Cauchy per l'equazione differenziale dell'Esempio 1 soggetto a .

Soluzione. Sostituiamo i valori della condizione iniziale nella soluzione generale sì = 3, X= 1. Otteniamo

Scriviamo la soluzione del problema di Cauchy per questa equazione differenziale del primo ordine:

Risolvere equazioni differenziali, anche quelle più semplici, richiede buone capacità di integrazione e derivate, comprese funzioni complesse. Questo può essere visto nel seguente esempio.

Esempio 4. Trovare la soluzione generale dell'equazione differenziale.

Soluzione. L'equazione è scritta in una forma tale da poter integrare immediatamente entrambi i lati.

.

Applichiamo il metodo di integrazione per cambio di variabile (sostituzione). Lascia che sia allora.

Obbligatorio da prendere dx e ora - attenzione - lo facciamo secondo le regole di differenziazione di una funzione complessa, poiché X e c'è una funzione complessa ("mela" è l'estrazione di una radice quadrata o, che è la stessa cosa, elevare alla potenza "metà", e "carne macinata" è l'espressione stessa sotto la radice):

Troviamo l'integrale:

Ritornando alla variabile X, noi abbiamo:

.

Questa è la soluzione generale di questa equazione differenziale di primo grado.

Per risolvere equazioni differenziali saranno necessarie non solo le competenze delle sezioni precedenti della matematica superiore, ma anche le competenze della matematica elementare, cioè della matematica scolastica. Come già accennato, in un'equazione differenziale di qualsiasi ordine potrebbe non esserci una variabile indipendente, cioè una variabile X. La conoscenza delle proporzioni scolastiche che non sono state dimenticate (tuttavia, a seconda di chi) dalla scuola aiuterà a risolvere questo problema. Questo è il prossimo esempio.