Determinare il tipo di equazione differenziale. Equazioni differenziali lineari ed omogenee del primo ordine

Equazione differenziale ordinaria è un'equazione che mette in relazione una variabile indipendente, una funzione sconosciuta di questa variabile e le sue derivate (o differenziali) di vario ordine.

L'ordine dell'equazione differenziale si chiama ordine della derivata massima in esso contenuta.

Oltre a quelle ordinarie, vengono studiate anche le equazioni alle derivate parziali. Si tratta di equazioni relative a variabili indipendenti, una funzione sconosciuta di queste variabili e le sue derivate parziali rispetto alle stesse variabili. Ma considereremo solo equazioni differenziali ordinarie e pertanto, per brevità, ometteremo la parola “ordinario”.

Esempi di equazioni differenziali:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

L'equazione (1) è del quarto ordine, l'equazione (2) è del terzo ordine, le equazioni (3) e (4) sono del secondo ordine, l'equazione (5) è del primo ordine.

Equazione differenziale N L'ordine non deve necessariamente contenere una funzione esplicita, tutte le sue derivate dalla prima alla N-esimo ordine e variabile indipendente. Non può contenere esplicitamente derivati ​​di determinati ordini, una funzione o una variabile indipendente.

Ad esempio, nell'equazione (1) chiaramente non ci sono derivate del terzo e del secondo ordine, così come una funzione; nell'equazione (2) - la derivata del secondo ordine e la funzione; nell'equazione (4) - la variabile indipendente; nell'equazione (5) - funzioni. Solo l'equazione (3) contiene esplicitamente tutte le derivate, la funzione e la variabile indipendente.

Risoluzione di un'equazione differenziale viene chiamata ogni funzione y = f(x), quando sostituito nell'equazione si trasforma in un'identità.

Il processo per trovare la soluzione di un'equazione differenziale è chiamato its integrazione.

Esempio 1. Trova la soluzione dell'equazione differenziale.

Soluzione. Scriviamo questa equazione nella forma . La soluzione è trovare la funzione dalla sua derivata. La funzione originaria, come noto dal calcolo integrale, è un'antiderivativa per, ad es.

Questo è quello che è soluzione di questa equazione differenziale . Cambiando in esso C, otterremo soluzioni diverse. Abbiamo scoperto che esiste un numero infinito di soluzioni per un'equazione differenziale del primo ordine.

Soluzione generale dell'equazione differenziale N l'ordine n è la sua soluzione, espressa esplicitamente rispetto alla funzione sconosciuta e contenente N costanti arbitrarie indipendenti, cioè

La soluzione dell'equazione differenziale nell'Esempio 1 è generale.

Soluzione parziale dell'equazione differenziale viene chiamata una soluzione in cui alle costanti arbitrarie vengono assegnati valori numerici specifici.

Esempio 2. Trovare la soluzione generale dell'equazione differenziale e una soluzione particolare per .

Soluzione. Integriamo entrambi i membri dell'equazione un numero di volte pari all'ordine dell'equazione differenziale.

,

.

Di conseguenza, abbiamo ricevuto una soluzione generale:

di una data equazione differenziale del terzo ordine.

Ora troviamo una soluzione particolare nelle condizioni specificate. Per fare ciò, sostituisci i loro valori invece dei coefficienti arbitrari e ottieni

.

Se, oltre all'equazione differenziale, la condizione iniziale è data nella forma , viene chiamato tale problema Problema di Cauchy . Sostituisci i valori e nella soluzione generale dell'equazione e trova il valore di una costante arbitraria C, e quindi una particolare soluzione dell'equazione per il valore trovato C. Questa è la soluzione al problema di Cauchy.

Esempio 3. Risolvi il problema di Cauchy per l'equazione differenziale dell'Esempio 1 soggetto a .

Soluzione. Sostituiamo i valori della condizione iniziale nella soluzione generale sì = 3, X= 1. Otteniamo

Scriviamo la soluzione del problema di Cauchy per questa equazione differenziale del primo ordine:

Risolvere equazioni differenziali, anche quelle più semplici, richiede buone capacità di integrazione e derivate, comprese funzioni complesse. Questo può essere visto nel seguente esempio.

Esempio 4. Trovare la soluzione generale dell'equazione differenziale.

Soluzione. L'equazione è scritta in una forma tale da poter integrare immediatamente entrambi i lati.

.

Applichiamo il metodo di integrazione per cambio di variabile (sostituzione). Lascia che sia allora.

Obbligatorio da prendere dx e ora - attenzione - lo facciamo secondo le regole di differenziazione di una funzione complessa, poiché X e c'è una funzione complessa ("mela" è l'estrazione di una radice quadrata o, che è la stessa cosa, elevare alla potenza "metà", e "carne macinata" è l'espressione stessa sotto la radice):

Troviamo l'integrale:

Ritornando alla variabile X, noi abbiamo:

.

Questa è la soluzione generale di questa equazione differenziale di primo grado.

Per risolvere equazioni differenziali saranno necessarie non solo le competenze delle sezioni precedenti della matematica superiore, ma anche le competenze della matematica elementare, cioè della matematica scolastica. Come già accennato, in un'equazione differenziale di qualsiasi ordine potrebbe non esserci una variabile indipendente, cioè una variabile X. La conoscenza delle proporzioni scolastiche che non sono state dimenticate (tuttavia, a seconda di chi) dalla scuola aiuterà a risolvere questo problema. Questo è il prossimo esempio.

Penso che dovremmo iniziare con la storia di uno strumento matematico così glorioso come le equazioni differenziali. Come tutti i calcoli differenziali e integrali, queste equazioni furono inventate da Newton alla fine del XVII secolo. Considerò questa sua particolare scoperta così importante che criptò persino un messaggio, che oggi può essere tradotto più o meno così: "Tutte le leggi della natura sono descritte da equazioni differenziali". Ciò può sembrare un’esagerazione, ma è vero. Qualsiasi legge della fisica, della chimica e della biologia può essere descritta da queste equazioni.

I matematici Eulero e Lagrange hanno dato un enorme contributo allo sviluppo e alla creazione della teoria delle equazioni differenziali. Già nel XVIII secolo scoprirono e svilupparono ciò che oggi studiano nei corsi universitari di alto livello.

Una nuova pietra miliare nello studio delle equazioni differenziali è iniziata grazie a Henri Poincaré. Ha creato la "teoria qualitativa delle equazioni differenziali", che, combinata con la teoria delle funzioni di una variabile complessa, ha dato un contributo significativo alla fondazione della topologia: la scienza dello spazio e delle sue proprietà.

Cosa sono le equazioni differenziali?

Molte persone hanno paura di una frase, ma in questo articolo illustreremo in dettaglio l'intera essenza di questo utilissimo apparato matematico, che in realtà non è così complicato come sembra dal nome. Per iniziare a parlare di equazioni differenziali del primo ordine, dovresti prima acquisire familiarità con i concetti di base che sono intrinsecamente associati a questa definizione. E inizieremo con il differenziale.

Differenziale

Molte persone conoscono questo concetto fin dai tempi della scuola. Tuttavia, diamo un’occhiata più da vicino. Immagina il grafico di una funzione. Possiamo aumentarlo a tal punto che qualsiasi suo segmento assumerà la forma di una linea retta. Prendiamo su di esso due punti infinitamente vicini tra loro. La differenza tra le loro coordinate (x o y) sarà infinitesimale. Si chiama differenziale ed è indicato con i segni dy (differenziale di y) e dx (differenziale di x). È molto importante capire che il differenziale non è una quantità finita, e questo è il suo significato e la sua funzione principale.

Ora dobbiamo considerare il prossimo elemento, che ci sarà utile per spiegare il concetto di equazione differenziale. Questo è un derivato.

Derivato

Probabilmente tutti abbiamo sentito questo concetto a scuola. Si dice che la derivata sia la velocità con cui una funzione aumenta o diminuisce. Tuttavia, da questa definizione molto diventa poco chiaro. Proviamo a spiegare la derivata attraverso i differenziali. Torniamo a un segmento infinitesimo di una funzione con due punti che si trovano a una distanza minima l'uno dall'altro. Ma anche a questa distanza la funzione riesce a cambiare leggermente. E per descrivere questo cambiamento hanno inventato una derivata, che altrimenti può essere scritta come un rapporto di differenziali: f(x)"=df/dx.

Ora vale la pena considerare le proprietà di base del derivato. Ce ne sono solo tre:

1. La derivata di una somma o differenza può essere rappresentata come somma o differenza di derivate: (a+b)"=a"+b" e (a-b)"=a"-b".
2. La seconda proprietà è legata alla moltiplicazione. La derivata di un prodotto è la somma dei prodotti di una funzione e della derivata di un'altra: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. La derivata della differenza può essere scritta come la seguente uguaglianza: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Tutte queste proprietà ci saranno utili per trovare soluzioni alle equazioni differenziali del primo ordine.

Esistono anche le derivate parziali. Diciamo di avere una funzione z che dipende dalle variabili xey. Per calcolare la derivata parziale di questa funzione, ad esempio rispetto a x, dobbiamo prendere la variabile y come costante e semplicemente differenziarla.

Integrante

Un altro concetto importante è integrale. In realtà, questo è l'esatto opposto di un derivato. Esistono diversi tipi di integrali, ma per risolvere le equazioni differenziali più semplici abbiamo bisogno di quelle più banali

Quindi, diciamo che abbiamo una certa dipendenza di f da x. Ne prendiamo l'integrale e otteniamo la funzione F(x) (spesso chiamata antiderivativa), la cui derivata è uguale alla funzione originale. Quindi F(x)"=f(x). Ne consegue anche che l'integrale della derivata è uguale alla funzione originaria.

Quando si risolvono le equazioni differenziali, è molto importante comprendere il significato e la funzione dell'integrale, poiché dovrai prenderle molto spesso per trovare la soluzione.

Le equazioni variano a seconda della loro natura. Nella prossima sezione esamineremo i tipi di equazioni differenziali del primo ordine e poi impareremo come risolverli.

Classi di equazioni differenziali

I "diffuri" sono suddivisi secondo l'ordine dei derivati ​​in essi coinvolti. Quindi c'è il primo, il secondo, il terzo e altri ordini. Possono anche essere suddivisi in diverse classi: derivate ordinarie e parziali.

In questo articolo esamineremo le equazioni differenziali ordinarie del primo ordine. Discuteremo anche esempi e modi per risolverli nelle sezioni seguenti. Considereremo solo le ODE, perché questi sono i tipi di equazioni più comuni. Quelle ordinarie si dividono in sottospecie: con variabili separabili, omogenee ed eterogenee. Successivamente, imparerai come differiscono l'uno dall'altro e imparerai come risolverli.

Inoltre, queste equazioni possono essere combinate in modo da ottenere un sistema di equazioni differenziali del primo ordine. Considereremo anche tali sistemi e impareremo come risolverli.

Perché consideriamo solo il primo ordine? Perché devi iniziare con qualcosa di semplice ed è semplicemente impossibile descrivere tutto ciò che riguarda le equazioni differenziali in un articolo.

Equazioni separabili

Queste sono forse le equazioni differenziali del primo ordine più semplici. Questi includono esempi che possono essere scritti come segue: y"=f(x)*f(y). Per risolvere questa equazione, abbiamo bisogno di una formula per rappresentare la derivata come rapporto di differenziali: y"=dy/dx. Usandolo otteniamo la seguente equazione: dy/dx=f(x)*f(y). Ora possiamo passare al metodo per risolvere esempi standard: divideremo le variabili in parti, cioè sposteremo tutto con la variabile y nella parte in cui si trova dy, e faremo lo stesso con la variabile x. Otteniamo un'equazione della forma: dy/f(y)=f(x)dx, che si risolve prendendo gli integrali di entrambi i membri. Non dimenticare la costante che deve essere impostata dopo aver preso l'integrale.

La soluzione a qualsiasi “differenza” è una funzione della dipendenza di x da y (nel nostro caso) o, se è presente una condizione numerica, allora la risposta sotto forma di numero. Diamo un'occhiata all'intero processo di soluzione utilizzando un esempio specifico:

Spostiamo le variabili in direzioni diverse:

Ora prendiamo gli integrali. Tutti possono essere trovati in una speciale tabella degli integrali. E otteniamo:

ln(y) = -2*cos(x) + C

Se necessario, possiamo esprimere "y" come funzione di "x". Ora possiamo dire che la nostra equazione differenziale è risolta se la condizione non è specificata. È possibile specificare una condizione, ad esempio y(n/2)=e. Quindi sostituiamo semplicemente i valori di queste variabili nella soluzione e troviamo il valore della costante. Nel nostro esempio è 1.

Equazioni differenziali omogenee del primo ordine

Ora passiamo alla parte più difficile. Le equazioni differenziali omogenee del primo ordine possono essere scritte in forma generale come segue: y"=z(x,y). Va notato che la funzione destra di due variabili è omogenea e non può essere divisa in due dipendenze : z su x e z su y. Controllare , se l'equazione è omogenea o meno è abbastanza semplice: facciamo la sostituzione x=k*x e y=k*y. Ora cancelliamo tutte le k. Se tutte queste lettere vengono cancellate , allora l'equazione è omogenea e puoi tranquillamente iniziare a risolverla Guardando al futuro , diciamo: anche il principio per risolvere questi esempi è molto semplice.

Dobbiamo fare una sostituzione: y=t(x)*x, dove t è una certa funzione che dipende anche da x. Allora possiamo esprimere la derivata: y"=t"(x)*x+t. Sostituendo tutto questo nella nostra equazione originale e semplificandola, otteniamo un esempio con variabili separabili t e x. Lo risolviamo e otteniamo la dipendenza t(x). Quando lo riceviamo, sostituiamo semplicemente y=t(x)*x nella nostra sostituzione precedente. Quindi otteniamo la dipendenza di y da x.

Per renderlo più chiaro, diamo un'occhiata a un esempio: x*y"=y-x*e y/x .

Durante il controllo con la sostituzione, tutto si riduce. Ciò significa che l’equazione è veramente omogenea. Ora facciamo un'altra sostituzione di cui abbiamo parlato: y=t(x)*x e y"=t"(x)*x+t(x). Dopo la semplificazione otteniamo la seguente equazione: t"(x)*x=-e t. Risolviamo l'esempio risultante con variabili separate e otteniamo: e -t =ln(C*x). Non dobbiamo fare altro che sostituire t con y/x (dopo tutto, se y =t*x, allora t=y/x), e otteniamo la risposta: e -y/x =ln(x*C).

Equazioni differenziali lineari del primo ordine

È tempo di esaminare un altro argomento ampio. Analizzeremo equazioni differenziali disomogenee del primo ordine. In cosa differiscono dai due precedenti? Scopriamolo. Le equazioni differenziali lineari del primo ordine in forma generale possono essere scritte come segue: y" + g(x)*y=z(x). È opportuno chiarire che z(x) e g(x) possono essere quantità costanti.

E ora un esempio: y" - y*x=x 2 .

Esistono due soluzioni e le esamineremo entrambe in ordine. Il primo è il metodo per variare le costanti arbitrarie.

Per risolvere l'equazione in questo modo, devi prima equiparare il lato destro a zero e risolvere l'equazione risultante, che, dopo aver trasferito le parti, assumerà la forma:

ln|y|=x2/2 + C;

y=e x2/2 *y C =C 1 *e x2/2 .

Adesso dobbiamo sostituire la costante C 1 con la funzione v(x), che dobbiamo trovare.

Sostituiamo la derivata:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

E sostituisci queste espressioni nell'equazione originale:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Si può vedere che due termini sono cancellati sul lato sinistro. Se in qualche esempio ciò non è accaduto, significa che hai fatto qualcosa di sbagliato. Continuiamo:

v"*ex2/2 = x2 .

Ora risolviamo la solita equazione in cui dobbiamo separare le variabili:

dv/dx=x2 /ex2/2 ;

dv = x2*e - x2/2dx.

Per estrarre l'integrale, dovremo applicare qui l'integrazione per parti. Tuttavia, questo non è l’argomento del nostro articolo. Se sei interessato, puoi imparare come eseguire tali azioni da solo. Non è difficile e, con sufficiente abilità e attenzione, non ci vuole molto tempo.

Passiamo al secondo metodo per risolvere equazioni disomogenee: il metodo Bernoulli. Quale approccio sia più veloce e più semplice dipende da te.

Quindi, quando risolviamo l'equazione con questo metodo, dobbiamo fare una sostituzione: y=k*n. Qui k e n sono alcune funzioni dipendenti da x. Quindi la derivata sarà simile a questa: y"=k"*n+k*n". Sostituiamo entrambe le sostituzioni nell'equazione:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Raggruppamento:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

Ora dobbiamo equiparare a zero ciò che è tra parentesi. Ora, se combiniamo le due equazioni risultanti, otteniamo un sistema di equazioni differenziali del primo ordine che deve essere risolto:

Risolviamo la prima uguaglianza come un'equazione ordinaria. Per fare ciò, è necessario separare le variabili:

Prendiamo l'integrale e otteniamo: ln(n)=x 2 /2. Allora, se esprimiamo n:

Ora sostituiamo l'uguaglianza risultante nella seconda equazione del sistema:

k"*ex2/2 =x2 .

E trasformando, otteniamo la stessa uguaglianza del primo metodo:

dk=x2 /ex2/2 .

Inoltre non discuteremo ulteriori azioni. Vale la pena dire che inizialmente la risoluzione delle equazioni differenziali del primo ordine causa notevoli difficoltà. Tuttavia, man mano che approfondisci l'argomento, inizia a funzionare sempre meglio.

Dove vengono utilizzate le equazioni differenziali?

Le equazioni differenziali sono utilizzate molto attivamente in fisica, poiché quasi tutte le leggi fondamentali sono scritte in forma differenziale e le formule che vediamo sono soluzioni a queste equazioni. In chimica vengono utilizzati per lo stesso motivo: con il loro aiuto si derivano le leggi fondamentali. In biologia, le equazioni differenziali vengono utilizzate per modellare il comportamento dei sistemi, come predatore e preda. Possono anche essere utilizzati per creare modelli di riproduzione, ad esempio, di una colonia di microrganismi.

In che modo le equazioni differenziali possono aiutarti nella vita?

La risposta a questa domanda è semplice: per niente. Se non sei uno scienziato o un ingegnere, è improbabile che ti siano utili. Tuttavia, per lo sviluppo generale non farà male sapere cos'è un'equazione differenziale e come viene risolta. E poi la domanda del figlio o della figlia è “cos’è un’equazione differenziale?” non ti confonderò. Bene, se sei uno scienziato o un ingegnere, allora capisci tu stesso l'importanza di questo argomento in qualsiasi scienza. Ma la cosa più importante è che ora la domanda “come risolvere un’equazione differenziale del primo ordine?” puoi sempre dare una risposta. D'accordo, è sempre bello quando capisci qualcosa che le persone hanno persino paura di capire.

Principali problemi nello studio

Il problema principale nella comprensione di questo argomento è la scarsa capacità di integrare e differenziare le funzioni. Se non sei bravo con le derivate e gli integrali, probabilmente vale la pena studiarne di più, padroneggiare diversi metodi di integrazione e differenziazione e solo allora iniziare a studiare il materiale descritto nell'articolo.

Alcuni si stupiscono quando scoprono che dx si può riportare, perché precedentemente (a scuola) si era affermato che la frazione dy/dx è indivisibile. Qui è necessario leggere la letteratura sulla derivata e capire che si tratta di un rapporto di quantità infinitesimali che può essere manipolato durante la risoluzione delle equazioni.

Molte persone non si rendono immediatamente conto che risolvere equazioni differenziali del primo ordine è spesso una funzione o un integrale che non può essere preso, e questo malinteso dà loro molti problemi.

Cos’altro puoi studiare per una migliore comprensione?

È meglio iniziare un'ulteriore immersione nel mondo del calcolo differenziale con libri di testo specializzati, ad esempio sull'analisi matematica per studenti di specialità non matematiche. Quindi puoi passare alla letteratura più specializzata.

Vale la pena dire che, oltre alle equazioni differenziali, esistono anche le equazioni integrali, quindi avrai sempre qualcosa a cui aspirare e qualcosa da studiare.

Conclusione

Ci auguriamo che dopo aver letto questo articolo tu abbia un'idea di cosa sono le equazioni differenziali e di come risolverle correttamente.

In ogni caso, la matematica ci sarà utile in qualche modo nella vita. Sviluppa la logica e l'attenzione, senza le quali ogni persona è senza mani.

Equazioni differenziali (DE). Queste due parole di solito terrorizzano la persona media. Le equazioni differenziali sembrano essere qualcosa di proibitivo e difficile da padroneggiare per molti studenti. Uuuuuu... equazioni differenziali, come posso sopravvivere a tutto questo?!

Questa opinione e questo atteggiamento sono fondamentalmente sbagliati, perché in effetti EQUAZIONI DIFFERENZIALI: È SEMPLICE E ANCHE DIVERTENTE. Cosa devi sapere ed essere in grado di fare per imparare a risolvere le equazioni differenziali? Per studiare con successo le diffusioni, devi essere bravo a integrare e differenziare. Meglio si studiano gli argomenti Derivata di una funzione di una variabile E Integrale indefinito, tanto più facile sarà comprendere le equazioni differenziali. Dirò di più, se hai capacità di integrazione più o meno decenti, allora l'argomento è quasi stato padroneggiato! Più integrali di vario tipo riesci a risolvere, meglio è. Perché? Perché dovrai integrarti molto. E differenziare. Anche altamente raccomandato imparare a trovare derivata di una funzione specificata implicitamente.

Nel 95% dei casi le prove contengono 3 tipi di equazioni differenziali del primo ordine: equazioni a variabili separabili, che considereremo in questa lezione; equazioni omogenee E equazioni lineari non omogenee. Per chi inizia a studiare i diffusori, consiglio di leggere le lezioni in questo ordine. Esistono tipi ancora più rari di equazioni differenziali: equazioni alle derivate totali, Equazioni di Bernoulli e alcuni altri. I più importanti degli ultimi due tipi sono le equazioni alle differenziali totali, poiché oltre a questa equazione differenziale sto considerando un nuovo materiale: l'integrazione parziale.

Per prima cosa ricordiamo le solite equazioni. Contengono variabili e numeri. L'esempio più semplice: . Cosa significa risolvere un'equazione ordinaria? Questo significa trovare insieme di numeri, che soddisfano questa equazione. È facile notare che l'equazione dei bambini ha un'unica radice: . Solo per divertimento, controlliamo e sostituiamo la radice trovata nella nostra equazione:

– si ottiene l’uguaglianza corretta, il che significa che la soluzione è stata trovata correttamente.

I diffusori sono progettati più o meno allo stesso modo!

Equazione differenziale primo ordine, contiene:
1) variabile indipendente;
2) variabile dipendente (funzione);
3) la derivata prima della funzione: .

In alcuni casi, l'equazione del primo ordine potrebbe mancare di "x" e/o "y" - importante per andare alla sala di controllo era derivata prima e non aveva derivati ​​di ordine superiore – , ecc.

Cosa significa ? Risolvere un'equazione differenziale significa trovare molte funzioni, che soddisfano questa equazione. Questo insieme di funzioni viene chiamato soluzione generale dell'equazione differenziale.

Esempio 1

Risolvere l'equazione differenziale

Munizioni complete. Da dove iniziare a risolvere qualsiasi equazione differenziale del primo ordine?

Prima di tutto, devi riscrivere la derivata in una forma leggermente diversa. Ricordiamo la scomoda notazione per la derivata: . Questa designazione di derivato probabilmente è sembrata ridicola e inutile a molti di voi, ma è ciò che governa nei diffusori!

Quindi, nella prima fase riscriviamo la derivata nella forma di cui abbiamo bisogno:

Nella seconda fase Sempre vediamo se è possibile variabili separate? Cosa significa separare le variabili? In parole povere, sul lato sinistro dobbiamo andarcene solo "greci", UN dal lato giusto organizzare solo "X". La divisione delle variabili viene effettuata utilizzando manipolazioni “scolastiche”: mettendole tra parentesi, trasferendo termini da parte a parte con cambio di segno, trasferendo fattori da parte a parte secondo la regola della proporzione, ecc.

I differenziali e sono moltiplicatori completi e partecipanti attivi alle ostilità. Nell’esempio in esame, le variabili possono essere facilmente separate lanciando i fattori secondo la regola delle proporzioni:

Le variabili sono separate. Sul lato sinistro ci sono solo le “Y”, sul lato destro solo le “X”.

Prossima fase - integrazione di equazioni differenziali. È semplice, mettiamo gli integrali su entrambi i membri:

Naturalmente dobbiamo prendere gli integrali. In questo caso sono tabellari:

Come ricordiamo, a qualsiasi antiderivativa viene assegnata una costante. Qui ci sono due integrali, ma è sufficiente scrivere la costante una volta. È quasi sempre assegnato al lato destro.

A rigor di termini, dopo aver preso gli integrali, l'equazione differenziale è considerata risolta. L'unica cosa è che la nostra “y” non è espressa tramite “x”, cioè viene presentata la soluzione in modo implicito modulo. La soluzione di un'equazione differenziale in forma implicita si chiama integrale generale dell'equazione differenziale. Cioè, questo è un integrale generale.

Ora dobbiamo cercare di trovare una soluzione generale, ovvero provare a rappresentare la funzione in modo esplicito.

Ricorda la prima tecnica, è molto comune e viene spesso utilizzata in compiti pratici. Quando un logaritmo appare a destra dopo l'integrazione, è quasi sempre consigliabile scrivere la costante anche sotto il logaritmo.

Questo è, invece di le voci sono solitamente scritte .

Qui è la stessa costante a tutti gli effetti di . Perché è necessario? E per rendere più semplice esprimere “gioco”. Usiamo la proprietà scolastica dei logaritmi: . In questo caso:

Ora logaritmi e moduli possono essere rimossi da entrambe le parti con la coscienza pulita:

La funzione è presentata esplicitamente. Questa è la soluzione generale.

Molte funzionalità è una soluzione generale di un'equazione differenziale.

Dando a una costante valori diversi, è possibile ottenere un numero infinito di soluzioni private equazione differenziale. Una qualsiasi delle funzioni , , ecc. soddisferà l'equazione differenziale.

A volte viene chiamata la soluzione generale famiglia di funzioni. In questo esempio, la soluzione generale è una famiglia di funzioni lineari o, più precisamente, una famiglia di proporzionalità diretta.

Molte equazioni differenziali sono abbastanza facili da testare. Questo viene fatto in modo molto semplice, prendiamo la soluzione trovata e troviamo la derivata:

Sostituiamo la nostra soluzione e la derivata trovata nell'equazione originale:

– si ottiene l’uguaglianza corretta, il che significa che la soluzione è stata trovata correttamente. In altre parole, la soluzione generale soddisfa l’equazione.

Dopo una revisione approfondita del primo esempio, è opportuno rispondere ad alcune domande ingenue sulle equazioni differenziali.

1)In questo esempio, siamo riusciti a separare le variabili: . È sempre possibile farlo? No, non sempre. E ancora più spesso le variabili non possono essere separate. Ad esempio, nel equazioni omogenee del primo ordine, è necessario prima sostituirlo. In altri tipi di equazioni, ad esempio, in un'equazione lineare disomogenea del primo ordine, è necessario utilizzare varie tecniche e metodi per trovare una soluzione generale. Le equazioni a variabili separabili, che considereremo nella prima lezione, sono il tipo più semplice di equazioni differenziali.

2) È sempre possibile integrare un’equazione differenziale? No, non sempre. È molto facile trovare un’equazione “fantasiosa” che non può essere integrata; inoltre, ci sono integrali che non possono essere presi. Ma tali DE possono essere risolti approssimativamente utilizzando metodi speciali. D'Alembert e Cauchy garantiscono. ...ugh, lurkmore.ru ho letto molto proprio adesso.

3) In questo esempio, abbiamo ottenuto una soluzione sotto forma di integrale generale . È sempre possibile trovare una soluzione generale a partire da un integrale generale, cioè esprimere esplicitamente la “y”? No, non sempre. Per esempio: . Bene, come puoi esprimere "greco" qui?! In questi casi, la risposta dovrebbe essere scritta come integrale generale. Inoltre, a volte è possibile trovare una soluzione generale, ma è scritta in modo così complicato e goffo che è meglio lasciare la risposta sotto forma di integrale generale

Non abbiamo fretta. Un altro semplice telecomando e un'altra soluzione tipica.

Esempio 2

Trovare una soluzione particolare dell'equazione differenziale che soddisfi la condizione iniziale

In base alle condizioni, devi trovare soluzione privata DE che soddisfa la condizione iniziale. Questa formulazione della domanda viene anche chiamata Problema di Cauchy.

Per prima cosa troviamo una soluzione generale. Non c'è alcuna variabile "x" nell'equazione, ma questo non dovrebbe creare confusione, l'importante è che abbia la derivata prima.

Riscriviamo la derivata nella forma richiesta:

Ovviamente le variabili possono essere separate, ragazzi a sinistra, ragazze a destra:

Integriamo l'equazione:

Si ottiene l'integrale generale. Qui ho disegnato una costante con un asterisco, fatto sta che molto presto si trasformerà in un'altra costante.

Proviamo ora a trasformare l'integrale generale in una soluzione generale (esprimere esplicitamente la “y”). Ricordiamo le belle vecchie cose della scuola: . In questo caso:

La costante nell'indicatore sembra in qualche modo poco kosher, quindi di solito viene riportata con i piedi per terra. Nel dettaglio, ecco come avviene. Usando la proprietà dei gradi, riscriviamo la funzione come segue:

Se è una costante, allora è anche una costante, che indichiamo con la lettera:

Ricorda di “portare giù” la costante, questa è la seconda tecnica che viene spesso utilizzata quando si risolvono le equazioni differenziali.

Quindi, la soluzione generale è: . Questa è una bella famiglia di funzioni esponenziali.

Nella fase finale, è necessario trovare una soluzione particolare che soddisfi la condizione iniziale data. Anche questo è semplice.

Qual è il compito? È necessario ritirare come il valore di una costante in modo che la condizione iniziale specificata sia soddisfatta.

Può essere formattato in diversi modi, ma questo sarà probabilmente il modo più chiaro. Nella soluzione generale, al posto della “X” sostituiamo uno zero, e al posto della “Y” sostituiamo un due:



Questo è,

Versione di design standard:

Sostituiamo il valore trovato della costante nella soluzione generale:
– questa è la soluzione particolare di cui abbiamo bisogno.

Controlliamo. Il controllo di una soluzione privata prevede due fasi.

Per prima cosa è necessario verificare se la particolare soluzione trovata soddisfa davvero la condizione iniziale? Al posto della “X” sostituiamo uno zero e vediamo cosa succede:
- sì, in effetti, è stato ricevuto un due, il che significa che la condizione iniziale è soddisfatta.

La seconda fase è già familiare. Prendiamo la soluzione particolare risultante e troviamo la derivata:

Sostituiamo nell'equazione originale:

– si ottiene l’uguaglianza corretta.

Conclusione: la soluzione particolare è stata trovata correttamente.

Passiamo ad esempi più significativi.

Esempio 3

Risolvere l'equazione differenziale

Soluzione: Riscriviamo la derivata nella forma che ci serve:

Valutiamo se è possibile separare le variabili? Potere. Spostiamo il secondo termine a destra con cambio di segno:

E trasferiamo i moltiplicatori secondo la regola delle proporzioni:

Le variabili sono separate, integriamo entrambe le parti:

Devo avvisarti, il giorno del giudizio si avvicina. Se non hai studiato bene integrali indefiniti, hai risolto alcuni esempi, quindi non c'è nessun posto dove andare: ora dovrai padroneggiarli.

L'integrale del secondo membro è facile da trovare; trattiamo l'integrale della cotangente utilizzando la tecnica standard che abbiamo visto nella lezione Integrazione di funzioni trigonometriche l'anno scorso:

A destra abbiamo il logaritmo, secondo il mio primo consiglio tecnico, in questo caso sotto il logaritmo va scritta anche la costante.

Cerchiamo ora di semplificare l’integrale generale. Poiché disponiamo solo di logaritmi, è del tutto possibile (e necessario) eliminarli. “Impacchettiamo” i logaritmi il più possibile. Il confezionamento viene effettuato utilizzando tre proprietà:

Per favore copia queste tre formule nel tuo quaderno di esercizi; vengono usate molto spesso quando si risolvono le diffusioni.

Descriverò la soluzione in grande dettaglio:

L'imballaggio è completo, rimuovi i logaritmi:

È possibile esprimere la "y"? Potere. È necessario quadrare entrambe le parti. Ma non è necessario.

Terzo consiglio tecnico: Se per ottenere una soluzione generale è necessario elevarsi a potenza o mettere radici, allora Nella maggior parte dei casi dovresti astenervi da queste azioni e lasciare la risposta sotto forma di un integrale generale. Il fatto è che la soluzione generale sembrerà pretenziosa e terribile - con grandi radici e segni.

Pertanto, scriviamo la risposta sotto forma di integrale generale. È considerata buona pratica presentare l'integrale generale nella forma , cioè sul lato destro, se possibile, lasciare solo una costante. Non è necessario farlo, ma fa sempre bene accontentare il professore ;-)

Risposta: integrale generale:

Nota:L'integrale generale di qualsiasi equazione può essere scritto in più di un modo. Pertanto, se il tuo risultato non coincide con una risposta precedentemente nota, ciò non significa che hai risolto l'equazione in modo errato.

Anche l'integrale generale è abbastanza facile da controllare, l'importante è riuscire a trovarlo derivate di una funzione specificata implicitamente. Differenziamo la risposta:

Moltiplichiamo entrambi i termini per:

E dividi per:

L'equazione differenziale originale è stata ottenuta esattamente, il che significa che l'integrale generale è stato trovato correttamente.

Esempio 4

Trovare una soluzione particolare dell'equazione differenziale che soddisfi la condizione iniziale. Eseguire il controllo.

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. Permettetemi di ricordarvi che il problema di Cauchy si compone di due fasi:
1) Trovare una soluzione generale.
2) Trovare una soluzione particolare.

Anche il controllo viene effettuato in due fasi (vedi anche Esempio 2), è necessario:
1) Assicurarsi che la particolare soluzione trovata soddisfi realmente la condizione iniziale.
2) Verificare che la soluzione particolare soddisfi generalmente l'equazione differenziale.

Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

Esempio 5

Trovare una soluzione particolare dell'equazione differenziale , soddisfacendo la condizione iniziale. Eseguire il controllo.

Soluzione: Per prima cosa troviamo una soluzione generale: questa equazione contiene già i differenziali già pronti e, quindi, la soluzione è semplificata. Separare le variabili:

Integriamo l'equazione:

L'integrale a sinistra è tabulare, si prende l'integrale a destra Metodo per sussumere una funzione sotto il segno differenziale:

L'integrale generale è stato ottenuto; è possibile esprimere con successo la soluzione generale? Potere. Appendiamo i logaritmi:

(Spero che tutti comprendano la trasformazione, queste cose dovrebbero già essere conosciute)

Quindi la soluzione generale è:

Troviamo una soluzione particolare corrispondente alla condizione iniziale data. Nella soluzione generale, invece di “X” sostituiamo zero, e invece di “Y” sostituiamo il logaritmo di due:

Design più familiare:

Sostituiamo il valore trovato della costante nella soluzione generale.

Risposta: soluzione privata:

Verifica: innanzitutto controlliamo se la condizione iniziale è soddisfatta:
- va tutto bene.

Ora controlliamo se la soluzione particolare trovata soddisfa del tutto l’equazione differenziale. Troviamo la derivata:

Consideriamo l'equazione originale: – è presentato in differenziale. Esistono due modi per verificare. È possibile esprimere il differenziale dalla derivata trovata:

Sostituiamo la soluzione particolare trovata e il differenziale risultante nell'equazione originale :

Usiamo l'identità logaritmica di base:

Si ottiene l'uguaglianza corretta, il che significa che la soluzione particolare è stata trovata correttamente.

Il secondo metodo di controllo è speculare e più familiare: dall'equazione Esprimiamo la derivata, per fare questo dividiamo tutti i pezzi per:

E nel DE trasformato sostituiamo la soluzione parziale ottenuta e il derivato trovato. Come risultato delle semplificazioni, si dovrebbe ottenere anche l'uguaglianza corretta.

Esempio 6

Risolvere l'equazione differenziale. Presentare la risposta sotto forma di integrale generale.

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo, completa la soluzione e rispondi alla fine della lezione.

Quali difficoltà si nascondono quando si risolvono equazioni differenziali con variabili separabili?

1) Non è sempre ovvio (soprattutto per una teiera) che le variabili possano essere separate. Consideriamo un esempio condizionale: . Qui devi togliere i fattori tra parentesi: e separare le radici: . È chiaro cosa fare dopo.

2) Difficoltà con l'integrazione stessa. Gli integrali spesso non sono i più semplici e se ci sono difetti nella capacità di trovarli integrale indefinito, allora sarà difficile con molti diffusori. Inoltre, la logica "poiché l'equazione differenziale è semplice, lascia che gli integrali siano più complicati" è popolare tra i compilatori di raccolte e manuali di formazione.

3) Trasformazioni con una costante. Come tutti hanno notato, puoi fare quasi tutto con una costante nelle equazioni differenziali. E tali trasformazioni non sono sempre comprensibili per un principiante. Consideriamo un altro esempio condizionale: . Si consiglia di moltiplicare tutti i termini per 2: . La costante risultante è anche una sorta di costante, che può essere denotata da: . Sì, e poiché c'è un logaritmo sul lato destro, è consigliabile riscrivere la costante sotto forma di un'altra costante: .

Il problema è che spesso non si preoccupano degli indici e usano la stessa lettera. Di conseguenza, il record della soluzione assume la forma seguente:

Che diavolo è questo? Ci sono anche errori. Formalmente sì. Ma in modo informale non ci sono errori; resta inteso che quando si converte una costante si ottiene comunque un'altra costante.

Oppure, in questo esempio, supponiamo che nel corso della risoluzione dell'equazione si ottenga un integrale generale. Questa risposta sembra brutta, quindi è consigliabile cambiare i segni di tutti i fattori: . Formalmente, secondo la registrazione, c'è ancora un errore, avrebbe dovuto essere trascritto. Ma informalmente si intende che si tratta pur sempre di un'altra costante (inoltre può assumere qualsiasi valore), quindi cambiare segno di una costante non ha alcun senso e si può usare la stessa lettera.

Cercherò di evitare un approccio imprudente e di assegnare comunque indici diversi alle costanti durante la conversione.

Esempio 7

Risolvere l'equazione differenziale. Eseguire il controllo.

Soluzione: Questa equazione consente la separazione delle variabili. Separiamo le variabili:

Integriamo:

Non è necessario definire qui la costante come logaritmo, poiché non ne verrà fuori nulla di utile.

Risposta: integrale generale:

Verifica: differenziare la risposta (funzione implicita):

Eliminiamo le frazioni moltiplicando entrambi i termini per:

È stata ottenuta l'equazione differenziale originale, il che significa che l'integrale generale è stato trovato correttamente.

Esempio 8

Trova una soluzione particolare del DE.
,

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. L'unico commento è che qui ottieni un integrale generale e, più correttamente parlando, devi escogitare non una soluzione particolare, ma integrale parziale. Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

Come già notato, nelle diffusioni con variabili separabili spesso non emergono gli integrali più semplici. Ed ecco un altro paio di esempi simili che puoi risolvere da solo. Consiglio a tutti di risolvere gli esempi n. 9-10, indipendentemente dal loro livello di preparazione, questo permetterà loro di aggiornare le proprie capacità nella ricerca degli integrali o di colmare lacune di conoscenza.

Esempio 9

Risolvere l'equazione differenziale

Esempio 10

Risolvere l'equazione differenziale

Ricorda che esiste più di un modo per scrivere un integrale generale e l'aspetto delle tue risposte potrebbe differire dall'aspetto delle mie risposte. Breve soluzione e risposte alla fine della lezione.

Buona promozione!

Esempio 4:Soluzione: Troviamo una soluzione generale. Separiamo le variabili:


Integriamo:



L’integrale generale è stato ottenuto; proviamo a semplificarlo. Imballiamo i logaritmi e liberiamocene:

Istituzione educativa "Stato bielorusso

Accademia Agraria"

Dipartimento di Matematica Superiore

EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE

Appunti delle lezioni per studenti di contabilità

forma di istruzione per corrispondenza (NISPO)

Gorki, 2013

Equazioni differenziali del primo ordine

Il concetto di equazione differenziale. Soluzioni generali e particolari

Quando si studiano vari fenomeni, spesso non è possibile trovare una legge che colleghi direttamente la variabile indipendente e la funzione desiderata, ma è possibile stabilire una connessione tra la funzione desiderata e le sue derivate.

Viene chiamata la relazione che collega la variabile indipendente, la funzione desiderata e le sue derivate equazione differenziale :

Qui X- variabile indipendente, sì– la funzione richiesta,
- derivate della funzione desiderata. In questo caso, la relazione (1) deve avere almeno una derivata.

L'ordine dell'equazione differenziale è chiamato ordine della derivata più alta inclusa nell'equazione.

Consideriamo l'equazione differenziale

. (2)

Poiché questa equazione include solo una derivata del primo ordine, viene chiamata è un'equazione differenziale del primo ordine.

Se l'equazione (2) può essere risolta rispetto alla derivata e scritta nella forma

, (3)

allora tale equazione è chiamata equazione differenziale del primo ordine in forma normale.

In molti casi è consigliabile considerare un'equazione della forma

che è chiamato un'equazione differenziale del primo ordine scritta in forma differenziale.

Perché
, allora l'equazione (3) può essere scritta nella forma
O
, dove possiamo contare
E
. Ciò significa che l'equazione (3) viene convertita nell'equazione (4).

Scriviamo l'equazione (4) nella forma
. Poi
,
,
, dove possiamo contare
, cioè. si ottiene un'equazione della forma (3). Pertanto, le equazioni (3) e (4) sono equivalenti.

Risoluzione di un'equazione differenziale (2) o (3) è chiamata qualsiasi funzione
, che, sostituendolo nell'equazione (2) o (3), lo trasforma in un'identità:

O
.

Il processo per trovare tutte le soluzioni di un'equazione differenziale è chiamato its integrazione e il grafico della soluzione
si chiama equazione differenziale curva integrale questa equazione.

Se la soluzione dell'equazione differenziale è ottenuta in forma implicita
, quindi viene chiamato integrante di questa equazione differenziale.

Soluzione generale di un'equazione differenziale del primo ordine è una famiglia di funzioni della forma
, dipendente da una costante arbitraria CON, ciascuno dei quali è una soluzione a una data equazione differenziale per qualsiasi valore ammissibile di una costante arbitraria CON. Pertanto, l'equazione differenziale ha un numero infinito di soluzioni.

Decisione privata un'equazione differenziale è una soluzione ottenuta dalla formula di soluzione generale per un valore specifico di una costante arbitraria CON, Compreso
.

Problema di Cauchy e sua interpretazione geometrica

L'equazione (2) ha un numero infinito di soluzioni. Per selezionare una soluzione da questo set, chiamata privata, è necessario impostare alcune condizioni aggiuntive.

Viene chiamato il problema di trovare una soluzione particolare all'equazione (2) in determinate condizioni Problema di Cauchy . Questo problema è uno dei più importanti nella teoria delle equazioni differenziali.

Il problema di Cauchy è formulato come segue: tra tutte le soluzioni dell'equazione (2) trova tale soluzione
, in cui la funzione
assume il valore numerico specificato , se la variabile indipendente X assume il valore numerico specificato , cioè.

,
, (5)

Dove D– dominio di definizione della funzione
.

Senso chiamato il valore iniziale della funzione , UN – valore iniziale della variabile indipendente . Viene chiamata la condizione (5). condizione iniziale O Condizione cauchy .

Da un punto di vista geometrico, il problema di Cauchy per l’equazione differenziale (2) può essere formulato come segue: dall'insieme delle curve integrali dell'equazione (2), selezionare quella che passa per un dato punto
.

Equazioni differenziali a variabili separabili

Uno dei tipi più semplici di equazioni differenziali è un'equazione differenziale del primo ordine che non contiene la funzione desiderata:

. (6)

Considerando che
, scriviamo l'equazione nella forma
O
. Integrando entrambi i membri dell'ultima equazione, otteniamo:
O

. (7)

Pertanto, (7) è una soluzione generale dell'equazione (6).

Esempio 1 . Trovare la soluzione generale dell'equazione differenziale
.

Soluzione . Scriviamo l'equazione nella forma
O
. Integriamo entrambi i lati dell'equazione risultante:
,
. Finalmente lo scriveremo
.

Esempio 2 . Trova la soluzione dell'equazione
dato che
.

Soluzione . Troviamo una soluzione generale dell'equazione:
,
,
,
. Per condizione
,
. Sostituiamo nella soluzione generale:
O
. Sostituiamo il valore trovato di una costante arbitraria nella formula per la soluzione generale:
. Questa è una soluzione particolare dell'equazione differenziale che soddisfa la condizione data.

L'equazione

(8)

Chiamato un'equazione differenziale del primo ordine che non contiene una variabile indipendente . Scriviamolo nel modulo
O
. Integriamo entrambi i membri dell'ultima equazione:
O
- soluzione generale dell'equazione (8).

Esempio . Trova la soluzione generale dell'equazione
.

Soluzione . Scriviamo questa equazione nella forma:
O
. Poi
,
,
,
. Così,
è la soluzione generale di questa equazione.

Equazione della forma

(9)

integra utilizzando la separazione delle variabili. Per fare ciò, scriviamo l'equazione nel modulo
, e poi utilizzando le operazioni di moltiplicazione e divisione lo portiamo a una forma tale che una parte includa solo la funzione di X e differenziale dx, e nella seconda parte – la funzione di A e differenziale dy. Per fare ciò, entrambi i lati dell'equazione devono essere moltiplicati per dx e dividere per
. Di conseguenza, otteniamo l'equazione

, (10)

in cui le variabili X E A separato. Integriamo entrambi i lati dell'equazione (10):
. La relazione risultante è l'integrale generale dell'equazione (9).

Esempio 3 . Integrazione dell'equazione
.

Soluzione . Trasformiamo l'equazione e separiamo le variabili:
,
. Integriamo:
,
oppure è l'integrale generale di questa equazione.
.

Sia data l'equazione nella forma

Questa equazione si chiama Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili in forma simmetrica.

Per separare le variabili, è necessario dividere entrambi i lati dell'equazione per
:

. (12)

L'equazione risultante viene chiamata equazione differenziale separata . Integriamo l'equazione (12):

.(13)

La relazione (13) è l'integrale generale dell'equazione differenziale (11).

Esempio 4 . Integrare un'equazione differenziale.

Soluzione . Scriviamo l'equazione nella forma

e dividi entrambe le parti per
,
. L'equazione risultante:
è un'equazione a variabili separate. Integriamolo:

,
,

,
. L'ultima uguaglianza è l'integrale generale di questa equazione differenziale.

Esempio 5 . Trovare una soluzione particolare dell'equazione differenziale
, soddisfacendo la condizione
.

Soluzione . Considerando che
, scriviamo l'equazione nella forma
O
. Separiamo le variabili:
. Integriamo questa equazione:
,
,
. La relazione risultante è l'integrale generale di questa equazione. Per condizione
. Sostituiamolo nell'integrale generale e troviamo CON:
,CON=1. Poi l'espressione
è una soluzione parziale di una data equazione differenziale, scritta come integrale parziale.

Equazioni differenziali lineari del primo ordine

L'equazione

(14)

chiamato Equazione differenziale lineare del primo ordine . Funzione sconosciuta
e la sua derivata entrano linearmente in questa equazione e le funzioni
E
continuo.

Se
, quindi l'equazione

(15)

chiamato lineare omogeneo . Se
, allora viene chiamata l'equazione (14). lineare disomogeneo .

Per trovare una soluzione all'equazione (14) si usa solitamente metodo di sostituzione (Bernoulli) , la cui essenza è la seguente.

Cercheremo una soluzione all'equazione (14) sotto forma di prodotto di due funzioni

, (16)

Dove
E
- alcune funzioni continue. Sostituiamo
e derivato
nell'equazione (14):

Funzione v selezioneremo in modo tale che la condizione sia soddisfatta
. Poi
. Pertanto, per trovare una soluzione all'equazione (14), è necessario risolvere il sistema di equazioni differenziali

La prima equazione del sistema è un'equazione lineare omogenea e può essere risolta con il metodo della separazione delle variabili:
,
,
,
,
. Come una funzione
puoi prendere una delle soluzioni parziali dell'equazione omogenea, cioè A CON=1:
. Sostituiamo nella seconda equazione del sistema:
O
.Poi
. Pertanto, la soluzione generale di un'equazione differenziale lineare del primo ordine ha la forma
.

Esempio 6 . Risolvi l'equazione
.

Soluzione . Cercheremo una soluzione all'equazione nel modulo
. Poi
. Sostituiamo nell'equazione:

O
. Funzione v scegliere in modo tale che valga l’uguaglianza
. Poi
. Risolviamo la prima di queste equazioni utilizzando il metodo della separazione delle variabili:
,
,
,
,. Funzione v Sostituiamo nella seconda equazione:
,
,
,
. La soluzione generale di questa equazione è
.

Domande per l'autocontrollo della conoscenza

Cos'è un'equazione differenziale?

Qual è l'ordine di un'equazione differenziale?

Quale equazione differenziale è chiamata equazione differenziale del primo ordine?

Come si scrive un'equazione differenziale del primo ordine in forma differenziale?

Qual è la soluzione di un'equazione differenziale?

Cos'è una curva integrale?

Qual è la soluzione generale di un'equazione differenziale del primo ordine?

Cos'è la soluzione parziale di un'equazione differenziale?

Come viene formulato il problema di Cauchy per un'equazione differenziale del primo ordine?

Qual è l'interpretazione geometrica del problema di Cauchy?

Come scrivere un'equazione differenziale con variabili separabili in forma simmetrica?

Quale equazione è chiamata equazione differenziale lineare del primo ordine?

Quale metodo può essere utilizzato per risolvere un'equazione differenziale lineare del primo ordine e qual è l'essenza di questo metodo?

Compiti per lavoro indipendente

Risolvere equazioni differenziali con variabili separabili:

UN)
; B)
;

V)
; G)
.

2. Risolvi equazioni differenziali lineari del primo ordine:

UN)
; B)
; V)
;

G)
; D)
.

Il contenuto dell'articolo

EQUAZIONI DIFFERENZIALI. Molte leggi fisiche che governano determinati fenomeni sono scritte sotto forma di un'equazione matematica che esprime una certa relazione tra determinate quantità. Spesso si parla della relazione tra quantità che cambiano nel tempo, ad esempio l'efficienza del motore, misurata dalla distanza che un'auto può percorrere con un litro di carburante, dipende dalla velocità dell'auto. L'equazione corrispondente contiene una o più funzioni e le loro derivate ed è chiamata equazione differenziale. (La velocità di variazione della distanza nel tempo è determinata dalla velocità; pertanto, la velocità è una derivata della distanza; analogamente, l'accelerazione è una derivata della velocità, poiché l'accelerazione determina la velocità di variazione della velocità nel tempo.) La grande importanza di tale differenziale Le equazioni hanno per la matematica e soprattutto per le sue applicazioni, si spiegano con il fatto che lo studio di molti problemi fisici e tecnici si riduce alla risoluzione di tali equazioni. Le equazioni differenziali svolgono un ruolo significativo anche in altre scienze, come la biologia, l'economia e l'ingegneria elettrica; infatti, sorgono ovunque ci sia bisogno di una descrizione quantitativa (numerica) dei fenomeni (purché il mondo circostante cambi nel tempo, e le condizioni cambino da un luogo all'altro).

Esempi.

Gli esempi seguenti forniscono una migliore comprensione di come vengono formulati i vari problemi nel linguaggio delle equazioni differenziali.

1) La legge del decadimento di alcune sostanze radioattive è che il tasso di decadimento è proporzionale alla quantità disponibile di questa sostanza. Se X– la quantità di sostanza in un determinato momento T, allora questa legge può essere scritta come segue:

Dove dx/dtè il tasso di decadimento e K– qualche costante positiva che caratterizza una data sostanza. (Il segno meno sul lato destro lo indica X diminuisce nel tempo; un segno più, sempre implicito quando il segno non è esplicitamente dichiarato, significherebbe questo X aumenta nel tempo.)

2) Il contenitore contiene inizialmente 10 kg di sale disciolti in 100 m 3 di acqua. Se l'acqua pura viene versata in un contenitore ad una velocità di 1 m 3 al minuto e mescolata uniformemente con la soluzione, e la soluzione risultante fuoriesce dal contenitore alla stessa velocità, quanto sale ci sarà nel contenitore ad ogni successivo tempo? Se X– quantità di sale (in kg) alla volta nel contenitore T, quindi in qualsiasi momento T Contiene 1 m 3 di soluzione nel contenitore X/100 kg sale; quindi la quantità di sale diminuisce rapidamente X/100 kg/min, oppure

3) Lascia che ci siano masse sul corpo M sospesa all'estremità della molla, agisce una forza di richiamo proporzionale alla quantità di tensione della molla. Permettere X– la quantità di deviazione del corpo dalla posizione di equilibrio. Quindi, secondo la seconda legge di Newton, che afferma che l'accelerazione (la derivata seconda di X nel tempo, indicato D 2 X/dt 2) in proporzione alla forza:

Il lato destro ha il segno meno perché la forza di richiamo riduce l'allungamento della molla.

4) La legge del raffreddamento dei corpi afferma che la quantità di calore nel corpo diminuisce in proporzione alla differenza di temperatura tra il corpo e l'ambiente. Se una tazza di caffè riscaldata ad una temperatura di 90°C si trova in una stanza dove la temperatura è di 20°C, allora

Dove T– temperatura del caffè in quel momento T.

5) Il ministro degli Esteri dello Stato di Blefuscu sostiene che il programma di armamenti adottato da Lilliput costringe il suo paese ad aumentare il più possibile le spese militari. Dichiarazioni simili sono state fatte dal ministro degli Esteri di Lilliput. La situazione risultante (nella sua interpretazione più semplice) può essere accuratamente descritta da due equazioni differenziali. Permettere X E sì- le spese per l'armamento di Lilliput e Blefuscu. Supponendo che Lilliput aumenti le sue spese per gli armamenti ad un tasso proporzionale al tasso di aumento delle spese per gli armamenti di Blefuscu, e viceversa, otteniamo:

dove sono i membri ascia E - di descrivere la spesa militare di ciascun paese, K E l sono costanti positive. (Questo problema fu formulato per la prima volta in questo modo nel 1939 da L. Richardson.)

Dopo che il problema è stato scritto nel linguaggio delle equazioni differenziali, dovresti provare a risolverle, ad es. trovare le quantità i cui tassi di variazione sono inclusi nelle equazioni. A volte le soluzioni si trovano sotto forma di formule esplicite, ma più spesso possono essere presentate solo in forma approssimativa o si possono ottenere informazioni qualitative su di esse. Spesso può essere difficile determinare se esiste una soluzione, per non parlare di trovarne una. Una sezione importante della teoria delle equazioni differenziali è costituita dai cosiddetti “teoremi di esistenza”, in cui viene dimostrata l'esistenza di una soluzione per l'uno o l'altro tipo di equazione differenziale.

La formulazione matematica originale di un problema fisico solitamente contiene ipotesi semplificatrici; il criterio della loro ragionevolezza può essere il grado di coerenza della soluzione matematica con le osservazioni disponibili.

Soluzioni di equazioni differenziali.

Equazione differenziale, per esempio dy/dx = X/sì, è soddisfatto non da un numero, ma da una funzione, in questo caso particolare tale che il suo grafico in qualsiasi punto, ad esempio in un punto con coordinate (2,3), ha una tangente con un coefficiente angolare pari al rapporto di le coordinate (nel nostro esempio, 2/3). È facile verificarlo se si costruiscono un gran numero di punti e si traccia da ciascuno un breve segmento con una pendenza corrispondente. La soluzione sarà una funzione il cui grafico tocca ciascuno dei suoi punti con il segmento corrispondente. Se ci sono abbastanza punti e segmenti, allora possiamo delineare approssimativamente il percorso delle curve della soluzione (tre di queste curve sono mostrate in Fig. 1). Per ogni punto passa esattamente una curva soluzione sì N. 0. Ogni soluzione individuale è chiamata soluzione parziale di un'equazione differenziale; se è possibile trovare una formula contenente tutte le soluzioni particolari (con l'eventuale eccezione di alcune particolari), allora si dice che è stata ottenuta una soluzione generale. Una soluzione particolare rappresenta una funzione, mentre una soluzione generale ne rappresenta un'intera famiglia. Risolvere un'equazione differenziale significa trovare la sua soluzione particolare o generale. Nell'esempio che stiamo considerando, la soluzione generale ha la forma sì 2 – X 2 = C, Dove C- qualsiasi numero; una soluzione particolare passante per il punto (1,1) ha la forma sì = X e si ottiene quando C= 0; una soluzione particolare passante per il punto (2,1) ha la forma sì 2 – X 2 = 3. La condizione che richiede che la curva della soluzione passi, ad esempio, per il punto (2,1), è chiamata condizione iniziale (poiché specifica il punto iniziale della curva della soluzione).

Si può dimostrare che nell'esempio (1) la soluzione generale ha la forma X = ce –kt, Dove C– una costante che può essere determinata, ad esempio, indicando la quantità di sostanza in T= 0. L'equazione dell'esempio (2) è un caso speciale dell'equazione dell'esempio (1), corrispondente K= 1/100. Condizione iniziale X= 10 a T= 0 dà una soluzione particolare X = 10e –T/100 . L'equazione dell'esempio (4) ha una soluzione generale T = 70 + ce –kt e una particolare soluzione 70+130 – kt; per determinare il valore K, sono necessari dati aggiuntivi.

Equazione differenziale dy/dx = X/sìè detta equazione del primo ordine, poiché contiene la derivata prima (l'ordine di un'equazione differenziale è solitamente considerato l'ordine della derivata più alta in essa inclusa). Per la maggior parte (sebbene non tutte) delle equazioni differenziali del primo tipo che si presentano nella pratica, per ciascun punto passa solo una curva risolutiva.

Esistono diversi tipi importanti di equazioni differenziali del primo ordine che possono essere risolte sotto forma di formule contenenti solo funzioni elementari: potenze, esponenti, logaritmi, seno e coseno, ecc. Tali equazioni includono quanto segue.

Equazioni a variabili separabili.

Equazioni della forma dy/dx = F(X)/G(sì) può essere risolto scrivendolo in differenziali G(sì)dy = F(X)dx e integrando entrambe le parti. Nel peggiore dei casi, la soluzione può essere rappresentata come integrali di funzioni note. Ad esempio, nel caso dell'equazione dy/dx = X/sì abbiamo F(X) = X, G(sì) = sì. Scrivendolo nel form aa = xdx e integrando, otteniamo sì 2 = X 2 + C. Le equazioni con variabili separabili includono equazioni degli esempi (1), (2), (4) (possono essere risolte nel modo descritto sopra).

Equazioni ai differenziali totali.

Se l'equazione differenziale ha la forma dy/dx = M(X,sì)/N(X,sì), Dove M E N sono due funzioni date, può essere rappresentato come M(X,sì)dx – N(X,sì)dy= 0. Se il lato sinistro è il differenziale di qualche funzione F(X,sì), allora l'equazione differenziale può essere scritta come dF(X,sì) = 0, che è equivalente all'equazione F(X,sì) = cost. Pertanto, le curve di soluzione dell’equazione sono le “linee di livelli costanti” della funzione, ovvero il luogo dei punti che soddisfano le equazioni F(X,sì) = C. L'equazione aa = xdx(Fig. 1) - con variabili separabili, e lo stesso - in differenziali totali: per essere sicuri di quest'ultimo, lo scriviamo nella forma aa – xdx= 0, cioè D(sì 2 – X 2) = 0. Funzione F(X,sì) in questo caso è uguale a (1/2)( sì 2 – X 2); alcune delle sue linee di livello costanti sono mostrate in Fig. 1.

Equazioni lineari.

Le equazioni lineari sono equazioni di “primo grado”: ​​la funzione sconosciuta e le sue derivate compaiono in tali equazioni solo di primo grado. Pertanto, l'equazione differenziale lineare del primo ordine ha la forma dy/dx + P(X) = Q(X), Dove P(X) E Q(X) sono funzioni che dipendono solo da X. La sua soluzione può sempre essere scritta utilizzando integrali di funzioni note. Molti altri tipi di equazioni differenziali del primo ordine vengono risolti utilizzando tecniche speciali.

Equazioni di ordine superiore.

Molte equazioni differenziali che i fisici incontrano sono equazioni del secondo ordine (cioè equazioni contenenti derivate seconde), come ad esempio l'equazione del moto armonico semplice dell'esempio (3), md 2 X/dt 2 = –kx. In generale, possiamo aspettarci che un'equazione del secondo ordine abbia soluzioni parziali che soddisfano due condizioni; ad esempio, si potrebbe richiedere che la curva della soluzione passi per un dato punto in una data direzione. Nei casi in cui l'equazione differenziale contiene un determinato parametro (un numero il cui valore dipende dalle circostanze), esistono soluzioni del tipo richiesto solo per determinati valori di questo parametro. Consideriamo ad esempio l'equazione md 2 X/dt 2 = –kx e noi lo chiederemo sì(0) = sì(1) = 0. Funzione sìє 0 è ovviamente una soluzione, ma se è un multiplo intero P, cioè. K = M 2 N 2 P 2, dove Nè un numero intero, ma in realtà solo in questo caso esistono altre soluzioni e cioè: sì= peccato npx. I valori dei parametri per i quali l'equazione ha soluzioni particolari sono chiamati caratteristici o autovalori; svolgono un ruolo importante in molti compiti.

L'equazione del moto armonico semplice è un esempio di un'importante classe di equazioni, vale a dire le equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. Un esempio più generale (anche del secondo ordine) è l'equazione

Dove UN E B vengono date costanti, F(X) è una determinata funzione. Tali equazioni possono essere risolte in vari modi, ad esempio utilizzando la trasformata integrale di Laplace. Lo stesso si può dire delle equazioni lineari di ordine superiore a coefficienti costanti. Anche le equazioni lineari a coefficienti variabili svolgono un ruolo importante.

Equazioni differenziali non lineari.

Le equazioni contenenti funzioni sconosciute e le loro derivate a potenze superiori alla prima o in qualche modo più complesso sono chiamate non lineari. Negli ultimi anni hanno attirato una crescente attenzione. Il fatto è che le equazioni fisiche sono solitamente lineari solo in prima approssimazione; Ulteriori e più accurate ricerche, di norma, richiedono l'uso di equazioni non lineari. Inoltre, molti problemi sono di natura non lineare. Poiché le soluzioni alle equazioni non lineari sono spesso molto complesse e difficili da rappresentare con formule semplici, una parte significativa della teoria moderna è dedicata all'analisi qualitativa del loro comportamento, ad es. lo sviluppo di metodi che permettano, senza risolvere l'equazione, di dire qualcosa di significativo sulla natura delle soluzioni nel loro insieme: ad esempio, che sono tutte limitate, o hanno natura periodica, o dipendono in un certo modo da i coefficienti.

Soluzioni approssimate alle equazioni differenziali possono essere trovate numericamente, ma ciò richiede molto tempo. Con l'avvento dei computer ad alta velocità, questo tempo è stato notevolmente ridotto, il che ha aperto nuove possibilità per la soluzione numerica di molti problemi che in precedenza erano irraggiungibili per tale soluzione.

Teoremi di esistenza.

Un teorema di esistenza è un teorema che afferma che, in determinate condizioni, una data equazione differenziale ha una soluzione. Esistono equazioni differenziali che non hanno soluzioni o ne hanno più del previsto. Lo scopo di un teorema di esistenza è convincerci che una data equazione ha effettivamente una soluzione e, molto spesso, assicurarci che abbia esattamente una soluzione del tipo richiesto. Ad esempio, l'equazione che abbiamo già incontrato dy/dx = –2sì ha esattamente una soluzione passante per ogni punto del piano ( X,sì), e poiché abbiamo già trovato una di queste soluzioni, abbiamo così risolto completamente questa equazione. D'altra parte, l'equazione ( dy/dx) 2 = 1 – sì 2 ha molte soluzioni. Tra questi ci sono diretti sì = 1, sì= –1 e curve sì= peccato( X + C). La soluzione può consistere in diversi segmenti di queste linee rette e curve, che si intersecano l'una nell'altra nei punti di contatto (Fig. 2).

Equazioni alle derivate parziali.

Un'equazione differenziale ordinaria è un'affermazione sulla derivata di una funzione sconosciuta di una variabile. Un'equazione differenziale parziale contiene una funzione di due o più variabili e le derivate di tale funzione rispetto ad almeno due variabili diverse.

In fisica, esempi di tali equazioni sono l'equazione di Laplace

X, sì) all'interno del cerchio se i valori tu specificato in ogni punto del cerchio di delimitazione. Poiché in fisica i problemi con più di una variabile rappresentano la regola e non l’eccezione, è facile immaginare quanto vasto sia l’argomento della teoria delle equazioni differenziali alle derivate parziali.