Ma poi allo studente è stato chiesto di dimostrare che la somma degli angoli di un triangolo è 180°. Lo studente ha fatto riferimento alle proprietà delle rette parallele. Ma iniziò a dimostrare le proprietà stesse delle rette parallele sulla base dei segni delle rette parallele. Il cerchio è chiuso. Pertanto, nel ripetere la teoria, sii coerente e attento. Quando leggi la dimostrazione del teorema, presta particolare attenzione a dove vengono utilizzate le condizioni del teorema nella dimostrazione, in cui in questo caso sono stati utilizzati i teoremi precedentemente dimostrati.
In questa sezione, le formulazioni dei teoremi sono fornite secondo il libro di testo di A. V. Pogorelov “Geometria. 7-9 gradi.
Teoremi fondamentali della planimetria e conseguenze da essi
1. Teoremi sulle rette (parallelismo e perpendicolarità sul piano)
Proprietà delle rette parallele.Due linee parallele alla terza sono parallele (Fig. 57).
(a||c, b||c) ? a||b.
Se due linee parallele sono intersecate da una terza linea, gli angoli interni trasversali sono uguali e la somma degli angoli interni unilaterali è 180 ° (Fig. 58).
a||b? ? = ?
? +? = 180°.
Segni di rette parallele.
Se all'intersezione di due linee della terza, gli angoli interni trasversali formati sono uguali, allora le linee sono parallele (Fig. 59):
Gli angoli trasversali interni sono uguali? a||b.
Se all'intersezione di due rette della terza, la somma degli angoli unilaterali interni risultanti è 180 °, allora le rette sono parallele (Fig. 60):
a||b.
Se all'intersezione di due linee della terza, gli angoli corrispondenti formati sono uguali, allora le linee sono parallele (Fig. 61):
a||b.
Teoremi sull'esistenza e unicità della perpendicolare alla retta. Per ogni punto di una retta si può condurre una retta ad essa perpendicolare, e una sola (fig. 62).
Da qualsiasi punto che non giace su una determinata linea si può tracciare una perpendicolare a questa linea, e solo una (Fig. 63).
La linea b è l'unica linea che passa per il punto A perpendicolare ad a.
Relazione tra parallelismo e perpendicolarità.
Due linee perpendicolari alla terza sono parallele (Fig. 64).
(a? c, b? c) ? a||b.
Se una linea è perpendicolare a una delle rette parallele, allora è perpendicolare anche all'altra (Fig. 65):
(a? b, b||c) ? UN? Con.
Riso. 65.
2 Teoremi sugli angoli. Angoli in un triangolo. Angoli inscritti in una circonferenza
proprietà degli angoli verticali.Gli angoli verticali sono uguali (Fig. 66):
? = ?.
Proprietà degli angoli di un triangolo isoscele. In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono uguali. È vero anche il teorema inverso: se due angoli in un triangolo sono uguali, allora è isoscele (Fig. 67):
AB = BC? ?A = ?C.
Teorema sulla somma degli angoli in un triangolo.
La somma degli angoli interni di un triangolo è 180° (Fig. 68):
? +? +? = 180°.
Teorema sulla somma degli angoli in un n-gono convesso.
La somma degli angoli di un n-gon convesso è 180°?(n - 2) (Fig. 69).
Esempio: ?1 + ?2 + ?3 + ?4 + ?5 = 180°?(5–2) = 540°.
Teorema sull'angolo esterno di un triangolo.
L'angolo esterno di un triangolo è uguale alla somma di due angoli interni ad esso non adiacenti (Fig. 70):
? = ? + ?.
Teorema sul valore di un angolo inscritto in una circonferenza.
L'angolo inscritto in una circonferenza è pari alla metà del corrispondente angolo al centro q (Fig. 71):
Riso. 71.
3. Teoremi fondamentali sul triangolo
Segni di uguaglianza dei triangoli. Se due lati e l'angolo tra loro di un triangolo sono uguali, rispettivamente, a due lati e l'angolo tra loro di un altro triangolo, allora tali triangoli sono uguali (Fig. 72).
ABC = ?A1B1C1 perché AB = A1B1, AC = A1C1 e ?A = ?A1.
Se il lato e gli angoli adiacenti ad esso di un triangolo sono uguali, rispettivamente, al lato e gli angoli adiacenti ad esso di un altro triangolo, allora tali triangoli sono uguali (Fig. 73).
ABC = ?A1B1C1 perché AC = A1C1, ?A = ?A1, ?C = ?C1.
Se tre lati di un triangolo sono uguali, rispettivamente, a tre lati di un altro triangolo, allora tali triangoli sono uguali (Fig. 74).
ABC = ?A1B1C1 perché AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1.
Segni di uguaglianza dei triangoli rettangoli.
Se l'ipotenusa e il cateto di un triangolo sono rispettivamente uguali all'ipotenusa e al cateto di un altro triangolo, allora tali triangoli sono uguali (Fig. 75).
ABC = ?A1B1C1 perché ?A = ?A1 = 90°; BC=B1C1; AB=A1B1.
Se l'ipotenusa e l'angolo acuto di un triangolo sono rispettivamente uguali all'ipotenusa e all'angolo acuto di un altro triangolo, allora tali triangoli sono uguali (Fig. 76).
ABC = ?A1B1C1, perché AB = A1B1, ?A = ?A1 a ?C = ?C1 = 90°.
Proprietà della mediana di un triangolo isoscele.
In un triangolo isoscele, la mediana portata alla base è la bisettrice e l'altezza (Fig. 77).
(AB = BC, AM = MS) ? (?AVM = ?MVS, ?AMV = ?VMS = 90°).
proprietà della linea mediana di un triangolo.
La linea mediana del triangolo, che collega i punti medi dei due lati dati, è parallela al terzo lato e pari alla metà di esso (Fig. 78).
EF||AC, EF = 1/2AC, poiché AE = EB e BF = FC.
Teorema del seno.
I lati del triangolo sono proporzionali ai seni degli angoli opposti (Fig. 79).
Riso. 79.
Teorema del coseno.
Il quadrato di qualsiasi lato di un triangolo è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati senza raddoppiare il prodotto di questi lati per il coseno dell'angolo compreso tra loro (Fig. 80).
À2= b2+ ñ2– 2bc cos?.
Il teorema di Pitagora (un caso particolare del teorema del coseno).
In un triangolo rettangolo il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei cateti (Fig. 81).
C2=a2+b2.
4. Proporzionalità e somiglianza sul piano
Teorema di Talete.Se le linee parallele che intersecano i lati di un angolo tagliano segmenti uguali su un lato di esso, tagliano segmenti uguali sull'altro lato (Fig. 82).
(AB = BC, AA1||BB1||CC1) ? A1B1 \u003d B1C1, q e p sono raggi che formano un angolo?.
a, b, c - linee rette che intersecano i lati dell'angolo.
Teorema sui segmenti proporzionali (una generalizzazione del teorema di Talete).
Le linee rette parallele che intersecano i lati dell'angolo tagliano segmenti proporzionali dai lati dell'angolo (Fig. 83).
Riso. 83.
O
proprietà della bisettrice di un triangolo.
La bisettrice di un triangolo divide il lato opposto in segmenti proporzionali agli altri due lati (fig. 84).
Se? = ?, allora
O
Segni di somiglianza dei triangoli.
Se due angoli di un triangolo sono uguali a due angoli di un altro triangolo, allora tali triangoli sono simili (Fig. 85).
I triangoli ABC e A1B1C1 sono simili perché ? = ?1 e? =?1.
Se due lati di un triangolo sono proporzionali a due lati di un altro triangolo e gli angoli formati da questi lati sono uguali, allora i triangoli sono simili (Fig. 86).
I triangoli ABC e A1B1C1 sono simili perché
E? =?1.
Se i lati di un triangolo sono proporzionali ai lati di un altro triangolo, allora tali triangoli sono simili (Fig. 87).
I triangoli ABC e A1B1C1 sono simili, perché
5. Disuguaglianze geometriche fondamentali
Il rapporto tra le lunghezze dell'obliquo e della perpendicolare.Se una perpendicolare e un obliquo vengono tracciati su una linea retta da un punto, allora qualsiasi obliquo è maggiore della perpendicolare, obliqui uguali hanno proiezioni uguali, di due obliqui, quello con la proiezione maggiore è maggiore (Fig. 88):
AA"< АВ < АС; если А"С >A"B, quindi AC > AB.
Disuguaglianza del triangolo.
Qualunque siano i tre punti, la distanza tra due di questi punti non è maggiore della somma delle loro distanze dal terzo punto. Ne consegue che in ogni triangolo ogni lato è minore della somma degli altri due (Fig. 89):
AC< АВ + ВС.
Relazione tra lati e angoli in un triangolo.
In un triangolo il lato maggiore è opposto all'angolo maggiore, e l'angolo maggiore è opposto al lato maggiore (fig. 90).
(AVANTI CRISTO< AB < AC) ? (?А < ?С < ?В).
Riso. 90.
6. Luogo fondamentale dei punti sul piano
Il luogo dei punti del piano, equidistanti dai lati dell'angolo, sarà la bisettrice dell'angolo dato (fig. 91).
AK = AT, dove A è un punto qualsiasi sulla bisettrice.
Il luogo dei punti equidistanti da due punti dati sarà una linea retta perpendicolare al segmento che collega questi punti e passante per il suo centro (Fig. 92).
MA = MB, dove M è un punto arbitrario sulla bisettrice perpendicolare del segmento AB.
Il luogo dei punti del piano, equidistanti da un punto dato, sarà un cerchio con centro in questo punto (Fig. 93).
Il punto O è equidistante dai punti della circonferenza.
La posizione del centro di un cerchio circoscritto ad un triangolo.
Il centro del cerchio circoscritto al triangolo è il punto di intersezione delle perpendicolari ai lati del triangolo, tracciate attraverso i punti medi di tali lati (fig. 94).
A, B, C sono i vertici del triangolo giacente sulla circonferenza.
AM = MV e AK = KS.
I punti M e K sono le basi delle perpendicolari rispettivamente ai lati AB e AC.
La posizione del centro di un cerchio inscritto in un triangolo.
Il centro di un cerchio inscritto in un triangolo è il punto di intersezione delle sue bisettrici (Fig. 95).
In ABC, i segmenti AT e CK sono bisettrici.
7. Teoremi sui quadrilateri
Proprietà del parallelogramma.Un parallelogramma ha i lati opposti uguali. Un parallelogramma ha gli angoli opposti.
Le diagonali del parallelogramma si intersecano e il punto di intersezione viene diviso a metà (Fig. 96).
AB = CD, BC = AD, ?BAD = ?BCD, ?ABS = ?ADC, AO = OC, BO = OD.
Caratteristiche di un parallelogramma.
Se un quadrilatero ha due lati paralleli e uguali, allora è un parallelogramma (Fig. 97).
BC||AD, BC = AD ? ABCD è un parallelogramma.
Se le diagonali di un quadrilatero si intersecano e il punto di intersezione è diviso a metà, allora questo quadrilatero è un parallelogramma (Fig. 98).
AO = OS, VO = OD? ABCD è un parallelogramma.
Proprietà del rettangolo.
Un rettangolo ha tutte le proprietà di un parallelogramma (un rettangolo ha i lati opposti uguali; un rettangolo ha gli angoli opposti uguali (90°); le diagonali del rettangolo si intersecano e il punto di intersezione è diviso a metà).
Le diagonali del rettangolo sono uguali (Fig. 99):
AC = BD.
Segno di rettangolo.
Se un parallelogramma ha tutti gli angoli uguali allora è un rettangolo.
Proprietà del rombo.
Per un rombo, tutte le proprietà di un parallelogramma sono caratteristiche (per un rombo, i lati opposti sono uguali - in generale, tutti i lati sono uguali per definizione; per un rombo, gli angoli opposti sono uguali; le diagonali del rombo si intersecano e l'intersezione punto è diviso a metà).
Le diagonali del rombo si intersecano ad angolo retto.
Le diagonali di un rombo sono le bisettrici dei suoi angoli (Fig. 100).
AC? BD, ?ABD = ?DBC = ?CDB = ?BDA, ?BAC = ?CAD = ?BCA = ?DCA.
Segno del rombo.
Se le diagonali di un parallelogramma sono perpendicolari allora è un rombo.
Proprietà quadrate.
Un quadrato ha le proprietà di un rettangolo e di un rombo.
Segno quadrato.
Se le diagonali di un rettangolo si intersecano ad angolo retto, allora è un quadrato.
proprietà della linea mediana di un trapezio.
La linea mediana del trapezio è parallela alle basi ed uguale alla loro semisomma (fig. 101).
Riso. 101.
Criteri per quadrilateri inscritti e circoscritti.
Se un cerchio può essere circoscritto attorno ad un quadrilatero, allora le somme dei suoi angoli opposti sono pari a 180° ciascuno (Fig. 102).
?A + ?C = ?B + ?D = 180°.
Se un cerchio può essere inscritto in un quadrilatero, allora le somme dei suoi lati opposti sono uguali (fig. 103).
AB + CD = d.C. + a.C.
Riso. 103.
8. Teoremi del cerchio
Proprietà delle corde e delle secanti.Se le corde AB e CD della circonferenza si intersecano nel punto S, allora AS ? BS=CS? DS (fig. 104).
Se si tracciano due secanti dal punto S al cerchio, che intersecano il cerchio nei punti A, B e C, D, rispettivamente, allora AS ? BS=CS? DS (Fig. 105).
Numero?.
Il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro non dipende dal raggio del cerchio, cioè è lo stesso per due cerchi qualsiasi. Questo numero è lo stesso? (Fig. 106).
Riso. 106.
9. Vettori
Teorema sullo sviluppo di un vettore in termini di base.Se sul piano sono dati due vettori non collineari aeb e qualsiasi altro vettore c, allora ci sono numeri unici n e m tali che c = na + mb (Fig. 107).
Dove
Il teorema sul prodotto scalare di vettori.
Il prodotto scalare dei vettori è uguale al prodotto dei loro valori q assoluti (lunghezze) e del coseno dell'angolo tra loro (Fig. 108).
OA? OV = OA? OB? cos?.
Riso. 108.
Formule base di planimetria
Per un triangolo (Fig. 109):
Riso. 109.
Dove a, b, c sono i lati del triangolo;
?, ?, ? - angoli opposti;
r e R sono i raggi dei cerchi inscritti e circoscritti;
ha, ma, la - altezza, mediana e bisettrice disegnate sul lato a;
S è l'area del triangolo;
è il semiperimetro del triangolo.
Le mediane del triangolo sono divise dal punto di intersezione in un rapporto di 2:1, contando dall'alto (Fig. 110).
Riso. 110.
Per i quadrilateri:
Dove a, b sono le lunghezze delle basi;
h è l'altezza del trapezio.
Area di un parallelogramma con i lati a, b e un angolo? tra loro si calcola con la formula S = ab sin?. Puoi anche usare la formula:
Dove d1, d2 sono le lunghezze delle diagonali, ? è l'angolo tra loro (o S = aha, dove ha è l'altezza).
Per un quadrilatero convesso arbitrario (Fig. 111):
Per un normale n-gon:
(R e r sono i raggi dei cerchi circoscritti e inscritti, e n è la lunghezza del lato di un n-gono regolare).
Per un cerchio e un cerchio (Fig. 112):
Riso. 112.
E 1\2R2?, se? espresso in radianti.
Ssegmento = Ssettore - Triangolo.
Formule di planimetria analitica
Se sono dati i punti A(x1; y1) e B(x2; y2), alloraEquazione della retta AB:
Si riduce facilmente alla forma ax + by + c = 0, dove il vettore n = (a, b) è perpendicolare alla retta.
La distanza dal punto A(x1; y1) alla retta ax + by + c = 0 è uguale a
La distanza tra le linee parallele ax + by + c1 = 0 e ax + by + c2 = 0 è
L'angolo tra le linee a1x + BLy + c1 = 0 e a2x + b2y + c2 = 0 si calcola con la formula:
Equazione di una circonferenza con centro in un punto O(x0, y0) e raggio R:(x – xo)2+ (y – yo)2= R2.
3.2. Domande per l'autoesame
1. a) Quale proprietà degli angoli verticali conosci? (1)
2. a) Formulare un segno di uguaglianza dei triangoli su due lati e l'angolo tra loro. (1)
3. a) Formulare un criterio per l'uguaglianza dei triangoli lungo un lato e due angoli. (1)
b) Dimostrare questa caratteristica. (1)
4. a) Elencare le principali proprietà di un triangolo isoscele. (1)
c) Dimostrare il test del triangolo isoscele. (1)
5. a) Formulare un segno di uguaglianza dei triangoli su tre lati. (1)
b) Dimostrare questa caratteristica. (1)
6. Dimostra che due rette parallele alla terza sono parallele. (2)
7. a) Formulare i segni delle rette parallele. (1)
c) Dimostrare i teoremi inversi. (1)
8. Dimostrare il teorema della somma dei triangoli. (1)
9. Dimostrare che l'angolo esterno di un triangolo è uguale alla somma di due angoli interni non adiacenti ad esso. (1)
10. a) Formulare segni di uguaglianza dei triangoli rettangoli. (1)
b) Dimostrare i segni di uguaglianza dei triangoli rettangoli lungo l'ipotenusa e il cateto; ipotenusa e angolo acuto. (1)
11. a) Dimostrare che da un punto non su una linea data si può far cadere una sola perpendicolare su questa linea. (1)
b) Dimostrare che per un punto giacente su una retta data si può tracciare un'unica retta perpendicolare a quella data. (1)
12. a) Dove è circoscritto al triangolo il centro del cerchio? (1)
13. a) Dov'è il centro del cerchio inscritto nel triangolo? (1)
b) Dimostrare il teorema corrispondente. (1)
14. Dimostrare la proprietà di una tangente a un cerchio. (1)
15. a) Quali proprietà conosci di un parallelogramma? (1)
b) Dimostrare queste proprietà. (1)
16. a) Quali segni di un parallelogramma conosci? (1)
b) Dimostrare questi segni. (1)
17. a) Quali proprietà e caratteristiche conosci di un rettangolo? (1)
18. a) Quali proprietà e caratteristiche conosci di un rombo? (1)
b) Dimostrare queste proprietà e caratteristiche. (1)
19. a) Quali proprietà e caratteristiche di un quadrato conosci? (1)
b) Dimostrare queste proprietà e caratteristiche. (1)
20. a) Formulare il teorema di Talete. (1)
b) Dimostrare questo teorema. (1)
21. a) Formulare il teorema di Talete generalizzato (teorema dei segmenti proporzionali). (1)
b) Dimostrare questo teorema. (2)
22. a) Quali proprietà conosci della linea mediana di un triangolo? (1)
b) Dimostrare queste proprietà. (1)
23. a) Quali proprietà conosci della linea mediana di un trapezio? (1)
b) Dimostrare queste proprietà. (1)
24. a) Formulare il teorema di Pitagora. (1)
b) Dimostrare il teorema di Pitagora. (1)
c) Enunciare e dimostrare il teorema contrario. (2)
25. Dimostrare che qualsiasi obliquo è maggiore della perpendicolare, e che dei due obliqui, quello con la proiezione maggiore è maggiore. (1)
26. a) Enunciare la disuguaglianza triangolare. (1)
b) Dimostrare la disuguaglianza del triangolo. (2)
27. Si danno le coordinate dei punti A(x1; y1) e B(x2; y2).
a) Qual è la formula per calcolare la lunghezza del segmento AB? (1)
b) Ricavare questa formula. (1)
28. Deriva l'equazione di una circonferenza centrata nel punto A(x0; y0) e raggio R. (1)
29. Dimostrare che qualsiasi retta in coordinate cartesiane x, y ha un'equazione della forma ax + by + c = 0. (2)
30. Scrivi l'equazione di una retta passante per i punti A (x1; y1) e B (x2; y2). Risposta: giustificare. (2)
31. Dimostrare che nell'equazione di una linea retta y = kx + b, il numero k è la tangente dell'angolo di inclinazione della linea retta rispetto alla direzione positiva dell'asse x. (2)
32. a) Cosa sai delle proprietà fondamentali dei movimenti? (2)
b) Dimostrare queste proprietà. (3)
33. Dimostrare che:
a) una trasformazione di simmetria attorno ad un punto è un movimento; (3)
b) una trasformazione di simmetria rispetto ad una retta è un movimento; (3)
c) il trasferimento parallelo è movimento. (3)
34. Dimostrare il teorema di esistenza e unicità per la traduzione parallela. (3)
35. Dimostrare che il valore assoluto del vettore ka è uguale a |k| ? |a|, mentre la direzione del vettore ka in a? О coincide con la direzione del vettore a se k > 0, ed opposta alla direzione del vettore a se k< 0. (1)
36. Dimostrare che qualsiasi vettore a può essere scomposto nei vettori b e c (tutti e tre i vettori giacciono sullo stesso piano). (1)
37. Sono dati i vettori a = (a1; a2) eb = (BL; b2). Prova che
Dove? è l'angolo tra i vettori.
38. a) Quali proprietà del prodotto scalare di vettori conosci? (1)
b) Dimostrare queste proprietà. (2)
39. Dimostrare che l'omotetià è una trasformazione di somiglianza. (1)
40. a) Quali proprietà di una trasformazione di somiglianza conosci? (1)
b) Dimostrare che la trasformazione di similarità preserva gli angoli tra i raggi. (2)
41. a) Formulare un criterio per la somiglianza dei triangoli in due angoli. (1)
42. a) Formulare un segno della somiglianza dei triangoli su due lati e dell'angolo tra loro. (1)
b) Dimostrare questo test. (1)
43. a) Formulare un criterio per la somiglianza dei triangoli su tre lati. (1)
b) Dimostrare questo test. (2)
44. a) Dichiara la proprietà della bisettrice di un triangolo. (1)
b) Dimostrare che la bisettrice di un triangolo divide il lato opposto in segmenti proporzionali agli altri due lati. (1)
45. a) Formulare la proprietà di un angolo inscritto in una circonferenza. (1)
b) Dimostrare questa proprietà. (1)
46. a) Dimostrare che se le corde AB e CD di una circonferenza si intersecano in un punto S, allora AS ? BS=CS? D.S. (1)
b) Dimostrare che se si tracciano due secanti dal punto S al cerchio, che intersecano il cerchio nei punti A, B e C, D, rispettivamente, allora AS ? BS=CS? D.S. (1)
47. a) Formulare il teorema del coseno per un triangolo. (1)
b) Dimostrare questo teorema. (1)
48. a) Formulare il teorema del seno. (1)
b) Dimostrare questo teorema. (1)
c) Dimostrare che nel teorema del seno ciascuno dei tre rapporti:
È uguale a 2R, dove R è il raggio del cerchio circoscritto al triangolo. (1)
49. Dimostra che in un triangolo il lato maggiore è opposto al lato maggiore, e il lato maggiore è opposto all'angolo maggiore. (2)
50. a) Qual è la somma degli angoli di un n-gono convesso? (1)
b) Derivare la formula per la somma degli angoli di un n-gono convesso. (1)
51. a) Dimostrare che una circonferenza può essere inscritta in un poligono regolare. (1)
b) Dimostrare che un cerchio può essere circoscritto attorno ad un poligono regolare. (1)
52. Dato un n-gon regolare con lato a. Derivare formule:
a) i raggi dei cerchi inscritti e circoscritti; (1)
b) l'area di un n-gon; (1)
c) angolo in alto. (1)
53. Dimostrare che il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro non dipende dalla grandezza del cerchio. (3)
54. Come convertire gli angoli da gradi a radianti e viceversa? (1)
55. Dimostra che l'area di un rettangolo è uguale al prodotto della lunghezza del rettangolo e della sua larghezza. (3)
56. a) Qual è la formula per calcolare l'area di un parallelogramma? (1)
b) Ricavare questa formula. (1)
57. (a) Quale formula si usa per calcolare l'area di un triangolo? (attraverso la base e l'altezza). (1)
b) Ricavare questa formula. (1)
c) Derivare la formula di Erone. (1)
58. a) Qual è la formula per calcolare l'area di un trapezio? (1)
b) Ricavare questa formula. (1)
59. Derivare le formule:
Dove a, b, c sono le lunghezze dei lati del triangolo;
S è la sua area;
R e r sono i raggi dei cerchi circoscritti e inscritti. (1)
60. Siano F1 e F2 due figure simili con coefficiente di somiglianza k. Qual è il rapporto tra le aree di queste figure? Risposta: giustificare. (1)
61. (a) Qual è la formula per calcolare l'area di un cerchio? (1)
b) Ricavare questa formula. (3)
62. Deriva la formula per l'area di un settore circolare. (2)
63. Deriva la formula per l'area di un segmento circolare. (2)
64. a) Dimostrare che le bisettrici di un triangolo si intersecano in un punto. (2)
b) Dimostrare che le mediane del triangolo si intersecano in un punto. (2)
c) Dimostrare che le altezze di un triangolo (o le loro estensioni) si intersecano in un punto. (2)
d) Dimostrare che le bisettrici perpendicolari dei lati del triangolo si intersecano in un punto. (1)
65. Dimostra che l'area di un triangolo è la metà del prodotto dei suoi due lati e del seno dell'angolo compreso tra loro. (1)
66. a) Teorema di Ceva. (3)
b) Dimostrare questo teorema. (3)
67. a) Enunciare il teorema di Menelao. (3)
b) Dimostrare questo teorema. (3)
c) Enunciare e dimostrare il teorema contrario. (3)
68. a) Dimostrare che se i lati di un angolo sono paralleli ai lati di un altro angolo, allora tali angoli sono uguali o uguali a 180°. (2)
Per cominciare, indichiamo diverse proprietà di base di vari tipi di angoli:
- La somma degli angoli adiacenti dà come risultato 180 gradi.
- Gli angoli verticali sono uguali tra loro.
Passiamo ora alle proprietà del triangolo. Sia un triangolo arbitrario:
Poi, somma degli angoli di un triangolo:
Ricordatevi anche questo la somma di due lati qualsiasi di un triangolo è sempre maggiore del terzo lato. L'area di un triangolo espressa in termini di due lati e l'angolo compreso tra loro:
L'area di un triangolo dato un lato e l'altezza sottratta da esso:
Il semiperimetro di un triangolo si trova con la seguente formula:
La formula di Erone per l'area di un triangolo:
L'area di un triangolo in termini di raggio del cerchio circoscritto:
Formula della mediana (la mediana è una linea tracciata attraverso un vertice e il punto medio del lato opposto in un triangolo):
Proprietà mediane:
- Tutte e tre le mediane si intersecano in un punto.
- Le mediane dividono il triangolo in sei triangoli della stessa area.
- Nel punto di intersezione, le mediane sono divise in un rapporto di 2:1, contando dai vertici.
Proprietà bisettrice (una bisettrice è una linea che divide un angolo in due angoli uguali, cioè a metà):
È importante sapere: Il centro di un cerchio inscritto in un triangolo si trova nell'intersezione delle bisettrici(tutte e tre le bisettrici si intersecano in questo punto). Formule della bisettrice:
La proprietà principale delle altezze di un triangolo (l'altezza in un triangolo è una linea che passa per un vertice del triangolo perpendicolare al lato opposto):
Tutte e tre le altezze di un triangolo si intersecano in un punto. La posizione del punto di intersezione è determinata dal tipo di triangolo:
- Se il triangolo è acutangolo il punto di intersezione delle altezze è interno al triangolo.
- In un triangolo rettangolo le altezze si intersecano nel vertice dell'angolo retto.
- Se il triangolo è ottuso il punto di intersezione delle altezze è esterno al triangolo.
Un'altra proprietà utile delle altezze dei triangoli:
Teorema del coseno:
Teorema del seno:
Il centro della circonferenza circoscritta al triangolo giace nell'intersezione delle perpendicolari medie. Tutte e tre le perpendicolari mediane si intersecano in questo punto. Il punto medio perpendicolare è una linea tracciata attraverso il punto medio di un lato di un triangolo ad esso perpendicolare.
Raggio di un cerchio inscritto in un triangolo regolare:
Raggio di un cerchio circoscritto ad un triangolo regolare:
Area di un triangolo rettangolo:
teorema di Pitagora per un triangolo rettangolo ( C- ipotenusa, UN E B- gambe):
Raggio di una circonferenza inscritta in un triangolo rettangolo:
Raggio di un cerchio circoscritto ad un triangolo rettangolo:
Area di un triangolo rettangolo ( H- altezza abbassata all'ipotenusa):
Proprietà dell'altezza ridotta all'ipotenusa di un triangolo rettangolo:
Triangoli simili- triangoli, nei quali gli angoli sono rispettivamente uguali, ed i lati dell'uno sono proporzionali ai lati simili dell'altro. In triangoli simili, le linee corrispondenti (altezze, mediane, bisettrici, ecc.) sono proporzionali. Parti correlate triangoli simili: lati opposti ad angoli uguali. coefficiente di somiglianza- numero K uguale al rapporto tra i lati simili di triangoli simili. Il rapporto tra i perimetri di triangoli simili è uguale al coefficiente di somiglianza. Il rapporto tra le lunghezze delle bisettrici, delle mediane, delle altezze e delle perpendicolari medie è uguale al coefficiente di somiglianza. Il rapporto tra le aree di triangoli simili è uguale al quadrato del coefficiente di somiglianza. Segni di somiglianza dei triangoli:
- A due angoli. Se due angoli di un triangolo sono rispettivamente uguali a due angoli di un altro, allora i triangoli sono simili.
- Su due lati e l'angolo tra di loro. Se due lati di un triangolo sono proporzionali a due lati di un altro e gli angoli compresi tra questi lati sono uguali, allora i triangoli sono simili.
- Su tre lati. Se tre lati di un triangolo sono proporzionali a tre lati simili di un altro, allora i triangoli sono simili.
Trapezio
Trapezio Un quadrilatero con esattamente una coppia di lati opposti paralleli. La lunghezza della linea mediana del trapezio:
Area del trapezio:
Alcune proprietà dei trapezi:
- La linea mediana del trapezio è parallela alle basi.
- Il segmento che collega i punti medi delle diagonali di un trapezio è uguale alla semidifferenza delle basi.
- In un trapezio i punti medi delle basi, il punto di intersezione delle diagonali e il punto di intersezione dei prolungamenti dei lati si trovano sulla stessa retta.
- Le diagonali di un trapezio lo dividono in quattro triangoli. I triangoli i cui lati sono basi sono simili, mentre i triangoli i cui lati sono lati sono uguali.
- Se la somma degli angoli di una qualsiasi base del trapezio è 90 gradi, il segmento che collega i punti medi delle basi è uguale alla semidifferenza delle basi.
- Un trapezio isoscele ha gli angoli uguali per ogni base.
- Un trapezio isoscele ha le diagonali uguali.
- In un trapezio isoscele l'altezza caduta dall'alto alla base maggiore lo divide in due segmenti, uno dei quali è pari alla metà della somma delle basi, l'altro alla metà della differenza delle basi.
Parallelogramma
Parallelogrammaè un quadrilatero i cui lati opposti sono paralleli a due a due, cioè giacciono su rette parallele. L'area di un parallelogramma attraverso il lato e l'altezza abbassata su di esso:
L'area di un parallelogramma passante per due lati e l'angolo compreso tra loro:
Alcune proprietà di un parallelogramma:
- I lati opposti di un parallelogramma sono uguali.
- Gli angoli opposti di un parallelogramma sono uguali.
- Le diagonali di un parallelogramma si intersecano e il punto di intersezione è diviso in due.
- La somma degli angoli adiacenti ad un lato è 180 gradi.
- La somma di tutti gli angoli di un parallelogramma è 360 gradi.
- La somma dei quadrati delle diagonali di un parallelogramma è pari al doppio della somma dei quadrati dei suoi lati.
Piazza
Piazza Un quadrilatero con tutti i lati uguali e tutti gli angoli uguali a 90 gradi. L'area di un quadrato in termini di lunghezza del suo lato:
L'area di un quadrato in termini di lunghezza della sua diagonale:
Proprietà quadrate- queste sono tutte le proprietà di un parallelogramma, rombo e rettangolo allo stesso tempo.
Rombo e rettangolo
Romboè un parallelogramma con tutti i lati uguali. L'area di un rombo (la prima formula è attraverso due diagonali, la seconda è attraverso la lunghezza del lato e l'angolo compreso tra i lati):
Proprietà del rombo:
- Il rombo è un parallelogramma. I suoi lati opposti sono paralleli a due a due.
- Le diagonali del rombo si intersecano ad angolo retto e si bisecano nel punto di intersezione.
- Le diagonali di un rombo sono le bisettrici dei suoi angoli.
Rettangoloè un parallelogramma in cui tutti gli angoli sono retti (pari a 90 gradi). Area di un rettangolo in termini di due lati adiacenti:
Proprietà del rettangolo:
- Le diagonali di un rettangolo sono uguali.
- Un rettangolo è un parallelogramma: i suoi lati opposti sono paralleli.
- I lati di un rettangolo sono anche le sue altezze.
- Il quadrato della diagonale di un rettangolo è uguale alla somma dei quadrati dei suoi due lati non opposti (secondo il teorema di Pitagora).
- Un cerchio può essere circoscritto a qualsiasi rettangolo e la diagonale del rettangolo è uguale al diametro del cerchio circoscritto.
Nota esplicativa
I biglietti offerti sono per un orale teorico esame annuale di trasferimento secondo planimetria studenti delle classi 9 di una scuola di istruzione generale, nonché delle classi 10 e 11 per prepararsi all'esame. I materiali proposti sono pienamente coerenti con il programma di matematica e il programma di istruzione specializzata.
I biglietti sono composti da dieci domande che riflettono le direzioni principali del corso di geometria.
Le domande sono focalizzate sulla verifica della padronanza dell'apparato concettuale della materia e sull'individuazione del livello di conoscenza di importanti fatti teorici. Alcuni di essi prevedono la prova del materiale presentato, dimostrando la conoscenza delle principali disposizioni teoriche del corso e la capacità di comprovarle.
Queste domande sono prese dai manuali:
Geometria. Compiti di prova. Smirnov V.A., Smirnova I.M.
Geometria. Libro di testo per le classi 7-9. Atanasyan, Butuzov, Kadomtsev e altri.
Geometria. Libro di testo per le classi 7-11 di A.V. Pogorelov.
CRITERI PER VALUTARE LA RISPOSTA DEGLI STUDENTI
Nel valutare le risposte degli studenti, puoi lasciarti guidare dai seguenti criteri.
Per una risposta completa e corretta a tutte le domande del biglietto viene assegnato un punteggio pari a "5". Per ottenere un punteggio pari a “3” è sufficiente rispondere alle otto domande del ticket.
In tutti gli altri casi viene assegnato il punteggio “4”.
Prova di planimetria
opzione 1
Segni di uguaglianza dei triangoli.
proprietà della linea mediana di un triangolo.
Determinazione dell'altezza di un triangolo.
Quali sono i raggi delle circonferenze inscritte e circoscritte in un triangolo rettangolo?
proprietà di figure simili.
Come si misura l'angolo al centro?
Proprietà degli accordi circolari.
Il centro del cerchio circoscritto è circoscritto ad un triangolo rettangolo.
Proprietà del triangolo rettangolo che ha l'angolo acuto di 30 gradi.
Definire una bisettrice perpendicolare.
opzione 2
Segni di uguaglianza dei triangoli rettangoli.
Determinazione della mediana di un triangolo.
Teorema di Pitagora.
Qual è la somma dei quadrati delle diagonali in un parallelogramma?
La formula per l'area di un triangolo rettangolo.
L'area del trapezio.
Proprietà degli angoli inscritti.
Proprietà del quadrilatero circoscritto.
Lunghezza dell'arco.
Seno, coseno, tangente di un angolo di 30 gradi.
Opzione 3
Teorema sulla somma degli angoli di un triangolo.
Proprietà delle mediane di un triangolo.
Definizione di bisettrice di un triangolo.
Teorema del coseno.
Formula della bisettrice del triangolo.
L'area del parallelogramma (3).
Qual è l'angolo formato da due secanti che si intersecano all'esterno del cerchio?
Proprietà di un quadrilatero inscritto.
Circonferenza.
Proprietà fondamentali degli accordi.
Opzione 4
Proprietà di un triangolo isoscele.
proprietà delle bisettrici perpendicolari.
Formula della mediana del triangolo.
Teorema del seno.
Quali sono gli elementi di un triangolo equilatero (altezza, raggio, area)?
Proprietà del trapezio isoscele.
Proprietà di una tangente e di una secante provenienti dallo stesso punto.
Qual è l'angolo tra le corde che si intersecano?
Seno, coseno, tangente di un angolo di 60 gradi.
Dov'è il centro della circonferenza inscritta nel triangolo?
Opzione 5
Disuguaglianza del triangolo.
Teorema sulle altezze di un triangolo.
Aree di triangoli simili.
Formule dell'area del triangolo (6).
Caratteristiche di un parallelogramma.
Teorema sulla linea mediana di un trapezio.
Formula di Erone per un quadrilatero.
Qual è l'angolo tra la tangente e la corda tracciata dal punto di contatto?
Zona del settore.
Seno, coseno, tangente di un angolo di 45 gradi.
Opzione 6
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Definizione della linea mediana di un triangolo.
Il teorema della bisettrice del triangolo.
Segni di somiglianza dei triangoli.
Teorema del coseno.
Formula dell'airone.
Proprietà del parallelogramma.
Zona del rombo.
Centro del cerchio inscritto e circoscritto in un triangolo.
Definire seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo acuto di un triangolo rettangolo
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