La superficie laterale di una piramide retta. Come trovare l'area di un cilindro

Superficie della piramide. In questo articolo esamineremo i problemi con le piramidi regolari. Lascia che ti ricordi che una piramide regolare è una piramide la cui base è un poligono regolare, la sommità della piramide è proiettata nel centro di questo poligono.

La faccia laterale di tale piramide è un triangolo isoscele.L'altezza di questo triangolo tracciato dal vertice di una piramide regolare si chiama apotema, SF - apotema:

Nel tipo di problema presentato di seguito, è necessario trovare la superficie dell'intera piramide o l'area della sua superficie laterale. Il blog ha già discusso diversi problemi con le piramidi regolari, in cui la domanda riguardava la ricerca degli elementi (altezza, bordo di base, bordo laterale).

I compiti dell'esame di stato unificato di solito esaminano piramidi triangolari, quadrangolari ed esagonali regolari. Non ho riscontrato alcun problema con le piramidi pentagonali ed ettagonali regolari.

La formula per l'area dell'intera superficie è semplice: devi trovare la somma dell'area della base della piramide e dell'area della sua superficie laterale:

Consideriamo i compiti:

I lati della base di una piramide quadrangolare regolare sono 72, i bordi laterali sono 164. Trova la superficie di questa piramide.

La superficie della piramide è pari alla somma delle aree della superficie laterale e della base:

*La superficie laterale è composta da quattro triangoli di uguale area. La base della piramide è un quadrato.

Possiamo calcolare l'area del lato della piramide utilizzando:

Pertanto, la superficie della piramide è:

Risposta: 28224

I lati della base di una piramide esagonale regolare sono pari a 22, i bordi laterali sono pari a 61. Trova la superficie laterale di questa piramide.

La base di una piramide esagonale regolare è un esagono regolare.

La superficie laterale di questa piramide è composta da sei aree di triangoli uguali con lati 61,61 e 22:

Troviamo l'area del triangolo utilizzando la formula di Erone:

Pertanto la superficie laterale è:

Risposta: 3240

*Nei problemi presentati sopra, l'area della faccia laterale potrebbe essere trovata utilizzando un'altra formula del triangolo, ma per questo è necessario calcolare l'apotema.

27155. Trova la superficie totale di una piramide regolare quadrangolare i cui lati di base sono 6 e la cui altezza è 4.

Per trovare l'area della piramide dobbiamo conoscere l'area della base e l'area della superficie laterale:

L'area della base è 36 poiché è un quadrato di lato 6.

La superficie laterale è composta da quattro facce, che sono triangoli uguali. Per trovare l'area di un tale triangolo, devi conoscerne la base e l'altezza (apotema):

*L'area di un triangolo è pari alla metà del prodotto della base per l'altezza tracciata su questa base.

La base è nota, è pari a sei. Troviamo l'altezza. Considera un triangolo rettangolo (evidenziato in giallo):

Una gamba è pari a 4, poiché questa è l'altezza della piramide, l'altra è pari a 3, poiché è pari alla metà dello spigolo della base. Possiamo trovare l'ipotenusa usando il teorema di Pitagora:

Ciò significa che l'area della superficie laterale della piramide è:

Pertanto, la superficie dell'intera piramide è:

Risposta: 96

27069. I lati della base di una piramide quadrangolare regolare sono pari a 10, gli spigoli laterali sono pari a 13. Trova la superficie di questa piramide.

27070. I lati della base di una piramide esagonale regolare sono pari a 10, gli spigoli laterali sono pari a 13. Trova la superficie laterale di questa piramide.

Esistono anche formule per la superficie laterale di una piramide regolare. In una piramide regolare la base è una proiezione ortogonale della superficie laterale, quindi:

P- perimetro della base, l- apotema della piramide

*Questa formula si basa sulla formula per l'area di un triangolo.

Se vuoi saperne di più su come vengono derivate queste formule, non perdertelo, segui la pubblicazione degli articoli.È tutto. Buona fortuna a te!

Cordiali saluti, Alexander Krutitskikh.

P.S: ti sarei grato se mi parlassi del sito sui social network.

Nella preparazione all'Esame di Stato Unificato di matematica, gli studenti devono sistematizzare le loro conoscenze di algebra e geometria. Vorrei combinare tutte le informazioni conosciute, ad esempio, su come calcolare l'area di una piramide. Inoltre, partendo dalla base e dai bordi laterali fino a tutta la superficie. Se la situazione con le facce laterali è chiara, poiché sono triangoli, allora la base è sempre diversa.

Come trovare l'area della base della piramide?

Può essere assolutamente qualsiasi figura: da un triangolo arbitrario a un n-gon. E questa base, oltre alla differenza nel numero degli angoli, può essere una figura regolare o irregolare. Nei compiti dell'Esame di Stato Unificato che interessano gli scolari, ci sono solo compiti con le cifre corrette alla base. Pertanto, parleremo solo di loro.

Triangolo regolare

Cioè, equilatero. Quello in cui tutti i lati sono uguali e sono contrassegnati dalla lettera “a”. In questo caso, l'area della base della piramide viene calcolata con la formula:

S = (a 2 * √3) / 4.

Piazza

La formula per calcolare la sua area è la più semplice, anche qui “a” è il lato:

N-gon regolare arbitrario

Il lato di un poligono ha la stessa notazione. Per il numero degli angoli si usa la lettera latina n.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).

Cosa fare quando si calcola la superficie laterale e totale?

Poiché la base è una figura regolare, tutte le facce della piramide sono uguali. Inoltre ciascuno di essi è un triangolo isoscele, poiché i bordi laterali sono uguali. Quindi, per calcolare l'area laterale della piramide, avrai bisogno di una formula composta dalla somma di monomi identici. Il numero di termini è determinato dal numero di lati della base.

L'area di un triangolo isoscele si calcola con la formula in cui la metà del prodotto della base viene moltiplicata per l'altezza. Questa altezza nella piramide è chiamata apotema. La sua designazione è "A". La formula generale per la superficie laterale è:

S = ½ P*A, dove P è il perimetro della base della piramide.

Ci sono situazioni in cui non si conoscono i lati della base, ma si danno i bordi laterali (c) e l'angolo piatto al suo apice (α). Quindi è necessario utilizzare la seguente formula per calcolare l'area laterale della piramide:

S = n/2 * in 2 sin α .

Compito n. 1

Condizione. Trova l'area totale della piramide se la sua base ha un lato di 4 cm e l'apotema ha un valore di √3 cm.

Soluzione. Devi iniziare calcolando il perimetro della base. Poiché questo è un triangolo regolare, allora P = 3*4 = 12 cm Poiché l'apotema è noto, possiamo immediatamente calcolare l'area dell'intera superficie laterale: ½*12*√3 = 6√3 cm 2.

Per il triangolo alla base, ottieni il seguente valore dell'area: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.

Per determinare l'intera area, dovrai sommare i due valori risultanti: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

Risposta. 10√3 cm2.

Problema n.2

Condizione. C'è una piramide quadrangolare regolare. La lunghezza del lato base è di 7 mm, il bordo laterale è di 16 mm. È necessario scoprire la sua superficie.

Soluzione. Poiché il poliedro è quadrangolare e regolare, la sua base è quadrata. Una volta conosciuta l'area della base e delle facce laterali, sarai in grado di calcolare l'area della piramide. La formula per il quadrato è riportata sopra. E per le facce laterali si conoscono tutti i lati del triangolo. Pertanto, puoi utilizzare la formula di Erone per calcolare le loro aree.

I primi calcoli sono semplici e portano al seguente numero: 49 mm 2. Per il secondo valore dovrai calcolare il semiperimetro: (7 + 16*2): 2 = 19,5 mm. Ora puoi calcolare l'area di un triangolo isoscele: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Esistono solo quattro triangoli di questo tipo, quindi quando calcoli il numero finale dovrai moltiplicarlo per 4.

Risulta: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 mm 2.

Risposta. Il valore desiderato è 267,576 mm 2.

Problema n.3

Condizione. Per una piramide quadrangolare regolare, è necessario calcolare l'area. Come sappiamo, il lato del quadrato è 6 cm e l'altezza è 4 cm.

Soluzione. Il modo più semplice è utilizzare la formula con il prodotto tra perimetro e apotema. Il primo valore è facile da trovare. La seconda è un po’ più complicata.

Dovremo ricordare il teorema di Pitagora e considerare che è formato dall'altezza della piramide e dall'apotema, che è l'ipotenusa. La seconda gamba è uguale alla metà del lato del quadrato, poiché l'altezza del poliedro cade nel suo centro.

L'apotema richiesto (ipotenusa di un triangolo rettangolo) è pari a √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Ora puoi calcolare il valore richiesto: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).

Risposta. 96 cm2.

Problema n.4

Condizione. Viene fornito il lato corretto: i lati della sua base sono 22 mm, i bordi laterali sono 61 mm. Qual è l'area della superficie laterale di questo poliedro?

Soluzione. Il ragionamento in esso contenuto è lo stesso descritto nell'attività n. 2. Solo che è stata data una piramide con un quadrato alla base, e ora è un esagono.

Innanzitutto, la superficie di base viene calcolata utilizzando la formula sopra: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm 2.

Ora devi trovare il semiperimetro di un triangolo isoscele, che è la faccia laterale. (22+61*2):2 = 72 cm Non resta che utilizzare la formula di Erone per calcolare l'area di ciascuno di questi triangoli, quindi moltiplicarla per sei e aggiungerla a quella ottenuta per la base.

Calcoli utilizzando la formula di Erone: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. Calcoli che daranno la superficie laterale: 660 * 6 = 3960 cm 2. Resta da sommarli per scoprire l'intera superficie: 5217,47≈5217 cm 2.

Risposta. La base è 726√3 cm2, la superficie laterale è 3960 cm2, l'area totale è 5217 cm2.

Un cilindro è una figura costituita da una superficie cilindrica e due cerchi disposti in parallelo. Il calcolo dell'area di un cilindro è un problema nel ramo geometrico della matematica, che può essere risolto in modo abbastanza semplice. Esistono diversi metodi per risolverlo, che alla fine si riducono sempre a una formula.

Come trovare l'area di un cilindro: regole di calcolo

• Per scoprire l'area del cilindro è necessario sommare le due aree della base con l'area della superficie laterale: S = Sside + 2Sbase. In una versione più dettagliata, questa formula assomiglia a questa: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
• La superficie laterale di un dato corpo geometrico può essere calcolata se si conoscono la sua altezza e il raggio del cerchio che giace alla sua base. In questo caso si può esprimere il raggio partendo dalla circonferenza, se data. L'altezza può essere trovata se il valore del generatore è specificato nella condizione. In questo caso la generatrice sarà uguale all'altezza. La formula per la superficie laterale di questo corpo è questa: S= 2 π rh.
• L'area della base viene calcolata utilizzando la formula per trovare l'area di un cerchio: S osn= π r 2 . In alcuni problemi può non essere dato il raggio, ma può essere data la circonferenza. Con questa formula il raggio si esprime abbastanza facilmente. С=2π r, r= С/2π. Devi anche ricordare che il raggio è la metà del diametro.
• Quando si eseguono tutti questi calcoli, il numero π di solito non viene tradotto in 3.14159... È sufficiente aggiungerlo accanto al valore numerico ottenuto come risultato dei calcoli.
• Successivamente, devi solo moltiplicare l'area trovata della base per 2 e aggiungere al numero risultante l'area calcolata della superficie laterale della figura.
• Se il problema indica che il cilindro ha sezione assiale e che è un rettangolo, la soluzione sarà leggermente diversa. In questo caso, la larghezza del rettangolo sarà pari al diametro del cerchio situato alla base del corpo. La lunghezza della figura sarà uguale alla generatrice o altezza del cilindro. È necessario calcolare i valori richiesti e sostituirli nella formula già nota. In questo caso la larghezza del rettangolo deve essere divisa per due per trovare l'area della base. Per trovare la superficie laterale, la lunghezza viene moltiplicata per due raggi e il numero π.
• Puoi calcolare l'area di un dato corpo geometrico attraverso il suo volume. Per fare ciò, devi ricavare il valore mancante dalla formula V=π r 2 h.
• Non c'è niente di complicato nel calcolare l'area di un cilindro. Basta conoscere le formule ed essere in grado di ricavare da esse le quantità necessarie per effettuare i calcoli.

Un parallelepipedo è un prisma quadrangolare con alla base un parallelogramma. Esistono formule già pronte per il calcolo della superficie laterale e totale di una figura, per le quali sono richieste solo le lunghezze delle tre dimensioni del parallelepipedo.

Come trovare la superficie laterale di un parallelepipedo rettangolare

È necessario distinguere tra un parallelepipedo rettangolare e un parallelepipedo dritto. La base di una figura retta può essere un parallelogramma qualsiasi. L'area di tale figura deve essere calcolata utilizzando altre formule.

La somma S delle facce laterali di un parallelepipedo rettangolo si calcola utilizzando la semplice formula P*h, dove P è il perimetro e h è l'altezza. Dalla figura si vede che i lati opposti di un parallelepipedo rettangolare sono uguali, e l'altezza h coincide con la lunghezza degli spigoli perpendicolari alla base.

Area superficiale di un cuboide

L'area totale della figura è composta dal lato e dall'area di 2 basi. Come trovare l'area di un parallelepipedo rettangolare:

Dove a, b e c sono le dimensioni del corpo geometrico.
Le formule descritte sono facili da comprendere e utili per risolvere molti problemi di geometria. Un esempio di un'attività tipica è mostrato nell'immagine seguente.

Quando si risolvono problemi di questo tipo, è necessario ricordare che la base di un prisma quadrangolare viene scelta arbitrariamente. Se prendiamo come base la faccia con dimensioni x e 3, allora i valori di Sside saranno diversi e Stotal rimarrà 94 cm2.

Area superficiale di un cubo

Un cubo è un parallelepipedo rettangolare in cui tutte e 3 le dimensioni sono uguali. A questo proposito, le formule per l'area totale e laterale di un cubo differiscono da quelle standard.

Il perimetro del cubo è 4a, quindi Slato = 4*a*a = 4*a2. Queste espressioni non sono necessarie per la memorizzazione, ma accelerano notevolmente la soluzione dei compiti.

Prima di studiare le domande su questa figura geometrica e sulle sue proprietà, dovresti comprendere alcuni termini. Quando una persona sente parlare di una piramide, immagina enormi edifici in Egitto. Ecco come appaiono quelli più semplici. Ma ne esistono di diversi tipi e forme, il che significa che la formula di calcolo per le forme geometriche sarà diversa.

Piramide - figura geometrica, che denota e rappresenta diversi volti. In sostanza, questo è lo stesso poliedro, alla base del quale si trova un poligono, e sui lati ci sono triangoli che si collegano in un punto: il vertice. La figura è disponibile in due tipologie principali:

• corretto;
• troncato.

Nel primo caso la base è un poligono regolare. Qui tutte le superfici laterali sono uguali tra loro e la figura stessa piaceranno all'occhio di un perfezionista.

Nel secondo caso, ci sono due basi: una grande nella parte inferiore e una piccola nella parte superiore, che ripete la forma di quella principale. In altre parole, una piramide tronca è un poliedro con una sezione trasversale parallela alla base.

Termini e simboli

Parole chiave:

• Triangolo regolare (equilatero).- una figura con tre angoli uguali e lati uguali. In questo caso, tutti gli angoli sono di 60 gradi. La figura è il più semplice dei poliedri regolari. Se questa figura si trova alla base, tale poliedro verrà chiamato triangolare regolare. Se la base è quadrata la piramide si chiamerà piramide quadrangolare regolare.
• Vertice– il punto più alto in cui i bordi si incontrano. L'altezza dell'apice è formata da una linea retta che si estende dall'apice alla base della piramide.
• Bordo– uno dei piani del poligono. Può avere la forma di un triangolo nel caso di una piramide triangolare, o di un trapezio nel caso di una piramide tronca.
• sezione trasversale- una figura piatta formata a seguito della dissezione. Non deve essere confuso con una sezione, poiché una sezione mostra anche cosa c'è dietro la sezione.
• Apotema- un segmento disegnato dalla sommità della piramide alla sua base. È anche l'altezza del viso in cui si trova il secondo punto di altezza. Questa definizione è valida solo in relazione ad un poliedro regolare. Ad esempio, se questa non è una piramide tronca, la faccia sarà un triangolo. In questo caso, l'altezza di questo triangolo diventerà l'apotema.

Formule di area

Trova l'area della superficie laterale della piramide qualsiasi tipo può essere eseguito in diversi modi. Se la figura non è simmetrica ed è un poligono con lati diversi, in questo caso è più semplice calcolare la superficie totale attraverso la totalità di tutte le superfici. In altre parole, devi calcolare l'area di ciascuna faccia e sommarle.

A seconda dei parametri conosciuti, potrebbero essere necessarie formule per il calcolo di un quadrato, trapezio, quadrilatero arbitrario, ecc. Le formule stesse in diversi casi avranno anche delle differenze.

Nel caso di una figura regolare, trovare l'area è molto più semplice. È sufficiente conoscere solo alcuni parametri chiave. Nella maggior parte dei casi, sono richiesti calcoli specifici per tali cifre. Pertanto di seguito verranno riportate le formule corrispondenti. Altrimenti dovresti scrivere tutto su più pagine, il che non farebbe altro che confonderti e confonderti.

Formula base per il calcolo La superficie laterale di una piramide regolare avrà la seguente forma:

S=½ Pa (P è il perimetro della base ed è l'apotema)

Diamo un'occhiata a un esempio. Il poliedro ha una base con segmenti A1, A2, A3, A4, A5 e tutti sono uguali a 10 cm. Lascia che l'apotema sia uguale a 5 cm. Per prima cosa devi trovare il perimetro. Poiché tutte e cinque le facce della base sono uguali, puoi trovarla così: P = 5 * 10 = 50 cm Successivamente applichiamo la formula di base: S = ½ * 50 * 5 = 125 cm quadrati.

Superficie laterale di una piramide triangolare regolare più semplice da calcolare. La formula è simile alla seguente:

S =½* ab *3, dove a è l'apotema, b è la faccia della base. Il fattore tre qui indica il numero di facce della base e la prima parte è l'area della superficie laterale. Diamo un'occhiata a un esempio. Data una figura con apotema di 5 cm e spigolo di base di 8 cm, calcoliamo: S = 1/2*5*8*3=60 cm quadrato.

Superficie laterale di una piramide troncaÈ un po' più difficile da calcolare. La formula è simile a questa: S =1/2*(p_01+ p_02)*a, dove p_01 e p_02 sono i perimetri delle basi ed è l'apotema. Diamo un'occhiata a un esempio. Diciamo che per una figura quadrangolare le dimensioni dei lati delle basi sono 3 e 6 cm, e l'apotema è 4 cm.

Qui per prima cosa devi trovare i perimetri delle basi: р_01 =3*4=12 cm; р_02=6*4=24 cm Resta da sostituire i valori nella formula principale e otteniamo: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm quadrato.

Pertanto, puoi trovare la superficie laterale di una piramide regolare di qualsiasi complessità. Dovresti stare attento e non confondere questi calcoli con l'area totale dell'intero poliedro. E se hai ancora bisogno di farlo, basta calcolare l'area della base maggiore del poliedro e sommarla all'area della superficie laterale del poliedro.

video

Questo video ti aiuterà a consolidare le informazioni su come trovare la superficie laterale di diverse piramidi.

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