ELABORAZIONE DEI RISULTATI DELLA MISURAZIONE
NELLA PRATICA DI FISICA
Misure ed errori di misura
La fisica è una scienza sperimentale, il che significa che le leggi fisiche vengono stabilite e verificate accumulando e confrontando dati sperimentali. Lo scopo del laboratorio di fisica è che gli studenti studino attraverso l'esperienza i fenomeni fisici di base, imparino a misurare correttamente i valori numerici delle grandezze fisiche e li confrontino con formule teoriche.
Tutte le misurazioni possono essere divise in due tipi: Dritto E indiretto.
A diretto Nelle misurazioni, il valore della quantità desiderata si ottiene direttamente dalle letture del dispositivo di misurazione. Quindi, ad esempio, la lunghezza viene misurata con un righello, il tempo viene misurato con un orologio, ecc.
Se la quantità fisica desiderata non può essere misurata direttamente dal dispositivo, ma è espressa attraverso le quantità misurate utilizzando una formula, tali misurazioni vengono chiamate indiretto.
Misurare qualsiasi quantità non fornisce un valore assolutamente accurato per quella quantità. Ogni misurazione contiene sempre qualche errore (errore). L'errore è la differenza tra il valore misurato e quello reale.
Gli errori sono solitamente suddivisi in sistematico E casuale.
Sistematico chiamato errore che rimane costante per tutta la serie di misurazioni. Tali errori sono causati dall'imperfezione dello strumento di misura (ad esempio, lo spostamento del punto zero del dispositivo) o del metodo di misurazione e possono, in linea di principio, essere esclusi dal risultato finale introducendo un'adeguata correzione.
Tra gli errori sistematici rientra anche l'errore degli strumenti di misura. La precisione di qualsiasi dispositivo è limitata ed è caratterizzata dalla sua classe di precisione, che solitamente è indicata sulla scala di misurazione.
Casuale chiamato errore che varia nei diversi esperimenti e può essere sia positivo che negativo. Gli errori casuali sono causati da ragioni che dipendono sia dal dispositivo di misurazione (attrito, spazi vuoti, ecc.) sia da condizioni esterne (vibrazioni, fluttuazioni di tensione nella rete, ecc.).
Gli errori casuali non possono essere esclusi empiricamente, ma la loro influenza sul risultato può essere ridotta mediante misurazioni ripetute.
CALCOLO DELL'ERRORE NELLE MISURE DIRETTE
VALORE MEDIO ED ERRORE ASSOLUTO MEDIO.
Supponiamo di effettuare una serie di misurazioni del valore X. A causa della presenza di errori casuali, otteniamo N significati diversi:
X 1, X 2, X 3… X n
Il valore medio viene solitamente preso come risultato della misurazione
Differenza tra media e risultato io - dell'esima misurazione chiameremo errore assoluto di questa misurazione
Come misura dell'errore del valore medio, possiamo prendere il valore medio dell'errore assoluto di una singola misurazione
(2)
Grandezza 
chiamato errore della media aritmetica (o media assoluta).
Quindi il risultato della misurazione dovrebbe essere scritto nel modulo
(3)
Per caratterizzare l'accuratezza delle misurazioni viene utilizzato l'errore relativo, che solitamente è espresso in percentuale
(4)
ERRORE QUADRATICO MEDIO.
Per le misurazioni critiche, quando è necessario conoscere l'affidabilità dei risultati ottenuti, viene utilizzato l'errore quadratico medio (o deviazione standard), che è determinato dalla formula
(5)
Il valore caratterizza la deviazione di una singola unità di misura dal valore reale.
Se calcolassimo da N valore medio delle misurazioni 
secondo la formula (2), allora questo valore sarà più accurato, cioè differirà meno da quello reale di ogni singola misurazione. Errore quadratico medio della media 
uguale a
(6)
dove è l'errore quadratico medio di ogni singola misurazione, N– numero di misurazioni.
Pertanto, aumentando il numero di esperimenti, è possibile ridurre l’errore casuale nel valore medio.
Attualmente, i risultati delle misurazioni scientifiche e tecniche sono solitamente presentati sotto forma di modulo
(7)
Come mostra la teoria, con tale registrazione conosciamo l'attendibilità del risultato ottenuto, vale a dire il valore reale X con una probabilità del 68% diversa da 
non più di 
.
Quando si utilizza l'errore medio aritmetico (assoluto) (formula 2), non si può dire nulla sull'affidabilità del risultato. L'errore relativo (formula 4) dà un'idea dell'accuratezza delle misurazioni effettuate in questo caso.
Quando eseguono attività di laboratorio, gli studenti possono utilizzare sia l'errore medio assoluto che il quadrato medio. Quale utilizzare è indicato direttamente in ogni specifico lavoro (o indicato dal docente).
In genere, se il numero di misurazioni non supera 3–5, è possibile utilizzare l'errore medio assoluto. Se il numero di misurazioni è circa 10 o più, è necessario utilizzare una stima più corretta utilizzando l'errore quadratico medio della media (formule 5 e 6).
CONTABILIZZAZIONE DEGLI ERRORI SISTEMATICI.
Aumentando il numero di misurazioni è possibile ridurre solo gli errori sperimentali casuali, ma non quelli sistematici.
Il valore massimo dell'errore sistematico è solitamente indicato sul dispositivo o nella sua scheda tecnica. Per le misurazioni effettuate utilizzando un normale righello metallico, l'errore sistematico è di almeno 0,5 mm; per misurazioni con calibri –
0,1 – 0,05 millimetri; micrometro – 0,01 mm.
Spesso la metà del valore della divisione dello strumento viene considerata un errore sistematico.
La classe di precisione è indicata sulle scale degli strumenti di misura elettrici. Conoscendo la classe di precisione K, è possibile calcolare l'errore sistematico del dispositivo ∆X utilizzando la formula
dove K è la classe di precisione del dispositivo, X pr è il valore limite della grandezza misurabile sulla scala del dispositivo.
Pertanto, un amperometro di classe 0,5 con una scala fino a 5 A misura la corrente con un errore non superiore a
L'errore di un dispositivo digitale è pari ad un'unità della più piccola cifra visualizzata.
Il valore medio dell'errore totale è la somma di casuale E sistematico errori.
La risposta, tenendo conto degli errori sistematici e casuali, è scritta nel modulo
ERRORI DI MISURAZIONI INDIRETTE
Negli esperimenti fisici accade spesso che la grandezza fisica desiderata non possa essere misurata sperimentalmente, ma sia una funzione di altre grandezze misurate direttamente. Ad esempio, per determinare il volume di un cilindro, è necessario misurare il diametro D e l'altezza H, quindi calcolare il volume utilizzando la formula
Le quantità D E H verrà misurato con qualche errore. Pertanto, il valore calcolato V Risulterà anche con qualche errore. Bisogna poter esprimere l'errore del valore calcolato attraverso l'errore del valore misurato.
Come per le misurazioni dirette, è possibile calcolare l'errore medio assoluto (media aritmetica) o l'errore quadratico medio.
Le regole generali per il calcolo degli errori per entrambi i casi vengono derivate utilizzando il calcolo differenziale.
Sia il valore desiderato φ una funzione di più variabili X, U,Z…
φ( X, U,Z…).
Mediante misurazioni dirette possiamo trovare le quantità 
, e stimare anche i loro errori medi assoluti 
... o errori quadratici medi X, Y, Z ...
Quindi l'errore aritmetico medio viene calcolato dalla formula
Dove 
- derivate parziali di φ rispetto a X, U,Z.
Sono calcolati per valori medi 
…
L'errore quadratico medio viene calcolato utilizzando la formula
Esempio. Deriviamo le formule di errore per calcolare il volume di un cilindro.
a) Errore della media aritmetica.
Le quantità D E H vengono misurati di conseguenza con un errore D e H.
b) Errore quadratico medio.
Le quantità D E H vengono misurati rispettivamente con un errore D , h .
L'errore nel valore del volume sarà uguale a
Se la formula rappresenta un'espressione conveniente per la logaritmizzazione (ovvero un prodotto, una frazione, una potenza), è più conveniente calcolare prima l'errore relativo. Per fare ciò (nel caso di un errore aritmetico medio), devi fare quanto segue.
1. Prendi il logaritmo dell'espressione.
2. Differenziarlo.
3. Combina tutti i termini con lo stesso differenziale e mettilo tra parentesi.
4. Prendi l'espressione davanti a vari differenziali del modulo.
5. Sostituire i badge differenziali D ai simboli di errore assoluto .
Il risultato è una formula per l'errore relativo
Quindi, conoscendo , puoi calcolare l'errore assoluto
=
Esempio.
Allo stesso modo, possiamo scrivere l'errore quadratico medio relativo
Le regole per presentare i risultati delle misurazioni sono le seguenti:
L'errore deve essere arrotondato ad una cifra significativa:
corretto = 0,04,
errato - = 0,0382;
L'ultima cifra significativa del risultato deve essere dello stesso ordine di grandezza dell'errore:
corretto = 9,830,03,
errato - = 9,8260,03;
se il risultato ha un valore molto grande o molto piccolo, è necessario utilizzare una forma di notazione esponenziale - lo stesso per il risultato e il suo errore, e il punto decimale deve seguire la prima cifra significativa del risultato:
corretto - = (5,270,03)10 -5,
errato - = 0,00005270,0000003,
= 5,2710 -5 0,0000003,
= = 0,0000527310 -7 ,
= (5273)10 -7 ,
= (0,5270,003) 10 -4.
Se il risultato ha una dimensione, deve essere specificata:
corretto – g=(9,820,02) m/s2,
errato – g=(9,820,02).
Regole per la costruzione dei grafici
1. I grafici sono disegnati su carta millimetrata.
2. Prima di costruire un grafico, è necessario determinare chiaramente quale variabile è un argomento e quale è una funzione. I valori degli argomenti sono tracciati sull'asse delle ascisse (axis X), valori della funzione - sull'asse delle ordinate (axis A).
3. Dai dati sperimentali, determinare i limiti del cambiamento nell'argomentazione e nella funzione.
4. Indicare le quantità fisiche tracciate sugli assi delle coordinate e designare le unità di quantità.
5. Traccia i punti sperimentali sul grafico, contrassegnandoli (con una croce, un cerchio, un punto in grassetto).
6. Disegna una curva morbida (diritta) attraverso i punti sperimentali in modo che questi punti siano posizionati in numero approssimativamente uguale su entrambi i lati della curva.
Nessuna misurazione è esente da errori o, più precisamente, la probabilità di una misurazione senza errori si avvicina allo zero. Il tipo e le cause degli errori sono molto diversi e sono influenzati da molti fattori (fig. 1.2).
Le caratteristiche generali dei fattori d'influenza possono essere sistematizzate da vari punti di vista, ad esempio, in base all'influenza dei fattori elencati (Fig. 1.2).
In base ai risultati della misurazione, gli errori possono essere suddivisi in tre tipologie: sistematici, casuali ed errori.
Errori sistematici a loro volta vengono divisi in gruppi in base alla loro occorrenza e alla natura della loro manifestazione. Possono essere eliminati in vari modi, ad esempio introducendo emendamenti.
riso. 1.2
Errori casuali sono causati da un insieme complesso di fattori di cambiamento, solitamente sconosciuti e difficili da analizzare. La loro influenza sul risultato della misurazione può essere ridotta, ad esempio, mediante misurazioni ripetute con ulteriore elaborazione statistica dei risultati ottenuti utilizzando il metodo della teoria della probabilità.
A manca Questi includono errori grossolani che derivano da improvvisi cambiamenti nelle condizioni sperimentali. Anche questi errori sono di natura casuale e, una volta identificati, devono essere eliminati.
L'accuratezza delle misurazioni è valutata dagli errori di misurazione, che sono suddivisi in base alla natura della loro occorrenza in strumentale e metodologico e in base al metodo di calcolo in assoluto, relativo e ridotto.
Strumentale L'errore è caratterizzato dalla classe di precisione del dispositivo di misurazione, che è riportata nel suo passaporto sotto forma di errori principali e aggiuntivi normalizzati.
Metodico l'errore è dovuto all'imperfezione dei metodi e degli strumenti di misurazione.
Assoluto l'errore è la differenza tra i valori G u misurati e i valori G reali di una quantità, determinati dalla formula:
Δ=ΔG=G u -G
Si noti che la quantità ha la dimensione della quantità misurata.
Parente l'errore si trova dall'uguaglianza
δ=±ΔG/G u ·100%
Dato l'errore viene calcolato utilizzando la formula (classe di precisione del dispositivo di misurazione)
δ=±ΔG/G norma ·100%
dove G norme è il valore di normalizzazione della quantità misurata. È considerato uguale a:
a) il valore finale della scala dello strumento, se la tacca di zero è sul bordo o all'esterno della scala;
b) la somma dei valori finali della scala senza tener conto dei segni, se la tacca di zero si trova all'interno della scala;
c) la lunghezza della scala, se la scala non è uniforme.
La classe di precisione di un dispositivo viene stabilita durante i test ed è un errore standardizzato calcolato utilizzando le formule
γ=±ΔG/G norme ·100%, seΔG m =cost
dove ΔG m è il massimo errore assoluto possibile del dispositivo;
G k – valore finale del limite di misurazione del dispositivo; c e d sono coefficienti che tengono conto dei parametri di progettazione e delle proprietà del meccanismo di misurazione del dispositivo.
Ad esempio, per un voltmetro con errore relativo costante, l'uguaglianza vale
δm =±c
Gli errori relativi e ridotti sono legati dalle seguenti dipendenze:
a) per qualsiasi valore dell'errore ridotto
δ=±γ·G norme/G u
b) per l'errore ridotto maggiore
δ=±γ m ·G norme/G u
Da queste relazioni ne consegue che quando si effettuano misurazioni, ad esempio con un voltmetro, in un circuito allo stesso valore di tensione, minore è la tensione misurata, maggiore è l'errore relativo. E se questo voltmetro viene scelto in modo errato, l'errore relativo può essere commisurato al valore Sol n , il che è inaccettabile. Si noti che in conformità con la terminologia dei problemi da risolvere, ad esempio, quando si misura la tensione G = U, quando si misura la corrente C = I, le designazioni delle lettere nelle formule per il calcolo degli errori devono essere sostituite con i simboli corrispondenti.
Esempio 1.1. Un voltmetro con valori γ m = 1,0%, U n = norme G, G k = 450 V, misurare la tensione U u pari a 10 V. Stimiamo gli errori di misura.
Soluzione.
Risposta. L'errore di misurazione è del 45%. Con un tale errore, la tensione misurata non può essere considerata affidabile.
Se le possibilità di scelta di un dispositivo (voltmetro) sono limitate, l'errore metodologico può essere preso in considerazione mediante una modifica calcolata utilizzando la formula
Esempio 1.2. Calcolare l'errore assoluto del voltmetro V7-26 quando si misura la tensione in un circuito CC. La classe di precisione del voltmetro è specificata dall'errore massimo ridotto γ m =±2,5%. Il limite della scala del voltmetro utilizzato nel lavoro è U norma = 30 V.
Soluzione. L'errore assoluto si calcola utilizzando le formule note:
(poiché l'errore ridotto, per definizione, è espresso dalla formula 
, quindi da qui puoi trovare l'errore assoluto: 
Risposta.∆U = ±0,75 V.
Passi importanti nel processo di misurazione sono l'elaborazione dei risultati e le regole di arrotondamento. La teoria dei calcoli approssimativi consente, conoscendo il grado di accuratezza dei dati, di valutare il grado di accuratezza dei risultati anche prima di eseguire azioni: selezionare i dati con il grado di accuratezza appropriato, sufficiente a garantire l'accuratezza richiesta del risultato, ma non troppo grande per salvare la calcolatrice da calcoli inutili; razionalizzare il processo di calcolo stesso, liberandolo da quei calcoli che non influenzeranno i numeri e i risultati esatti.
Durante l'elaborazione dei risultati vengono applicate le regole di arrotondamento.
- Regola 1. Se la prima cifra scartata è maggiore di cinque, l'ultima cifra mantenuta viene aumentata di uno.
- Regola 2. Se la prima cifra scartata è inferiore a cinque non viene effettuato alcun incremento.
- Regola 3. Se la cifra scartata è cinque e dietro non ci sono cifre significative, l'arrotondamento viene effettuato al numero pari più vicino, ad es. l'ultima cifra memorizzata rimane la stessa se è pari e aumenta se non è pari.
Se dietro il numero cinque sono presenti cifre significative, l'arrotondamento viene effettuato secondo la regola 2.
Applicando la regola 3 all'arrotondamento di un singolo numero, non aumentiamo la precisione dell'arrotondamento. Ma con numerosi arrotondamenti, i numeri in eccesso si verificheranno con la stessa frequenza dei numeri insufficienti. La compensazione reciproca degli errori garantirà la massima precisione del risultato.
Viene chiamato un numero che ovviamente supera l'errore assoluto (o nel peggiore dei casi è uguale ad esso). massimo errore assoluto.
L’entità dell’errore massimo non è del tutto certa. Per ogni numero approssimato è necessario conoscere il suo errore massimo (assoluto o relativo).
Quando non è indicato direttamente, si intende che l'errore massimo assoluto è mezza unità dell'ultima cifra scritta. Pertanto, se viene fornito un numero approssimativo di 4,78 senza indicare l'errore massimo, si presuppone che l'errore assoluto massimo sia 0,005. Come risultato di questo accordo, puoi sempre fare a meno di indicare l'errore massimo di un numero arrotondato secondo le regole 1-3, cioè se il numero approssimativo è indicato con la lettera α, allora
Dove Δn è l'errore massimo assoluto; e δ n è l'errore relativo massimo.
Inoltre, durante l'elaborazione dei risultati, utilizziamo regole per trovare un errore somma, differenza, prodotto e quoziente.
- Regola 1. L'errore massimo assoluto della somma è pari alla somma dei massimi errori assoluti dei singoli termini, ma con un numero significativo di errori dei termini si verifica solitamente una reciproca compensazione degli errori, quindi il vero errore della somma solo in casi eccezionali casi coincide con l’errore massimo o si avvicina ad esso.
- Regola 2. L'errore assoluto massimo della differenza è pari alla somma degli errori assoluti massimi di quello che viene ridotto o sottratto.
L'errore relativo massimo può essere facilmente trovato calcolando l'errore massimo assoluto.
- Regola 3. L'errore relativo massimo della somma (ma non della differenza) si trova tra il più piccolo e il più grande degli errori relativi dei termini.
Se tutti i termini hanno lo stesso errore relativo massimo, allora la somma ha lo stesso errore relativo massimo. In altre parole, in questo caso l'accuratezza della somma (in termini percentuali) non è inferiore all'accuratezza dei termini.
A differenza della somma, la differenza dei numeri approssimati può essere meno precisa del minuendo e del sottraendo. La perdita di precisione è particolarmente grande quando minuendo e sottraendo differiscono poco tra loro.
- Regola 4. L'errore relativo massimo del prodotto è approssimativamente pari alla somma degli errori relativi massimi dei fattori: δ=δ 1 +δ 2, o più precisamente δ=δ 1 +δ 2 +δ 1 δ 2 dove δ è l'errore relativo del prodotto, δ 1 δ 2 - fattori di errori relativi.
Appunti:
1. Se si moltiplicano numeri approssimativi con lo stesso numero di cifre significative, è necessario conservare lo stesso numero di cifre significative nel prodotto. L'ultima cifra memorizzata non sarà completamente affidabile.
2. Se alcuni fattori hanno cifre più significative di altri, allora prima di moltiplicare, i primi dovrebbero essere arrotondati, mantenendo in essi tante cifre quanto il fattore meno accurato o uno in più (come riserva), salvare ulteriori cifre è inutile.
3. Se è richiesto che il prodotto di due numeri abbia un numero predeterminato che sia completamente affidabile, allora in ciascuno dei fattori il numero di cifre esatte (ottenute mediante misurazione o calcolo) deve essere uno in più. Se il numero di fattori è superiore a due e inferiore a dieci, in ciascuno dei fattori il numero di cifre esatte per una garanzia completa deve essere due unità in più rispetto al numero di cifre esatte richiesto. In pratica è sufficiente prendere solo una cifra in più.
- Regola 5. L'errore relativo massimo del quoziente è approssimativamente uguale alla somma degli errori relativi massimi del dividendo e del divisore. Il valore esatto dell'errore relativo massimo supera sempre quello approssimativo. La percentuale di eccesso è approssimativamente uguale all'errore relativo massimo del divisore.
Esempio 1.3. Trova l'errore assoluto massimo del quoziente 2,81: 0,571.
Soluzione. L'errore relativo massimo del dividendo è 0,005:2,81=0,2%; divisore – 0,005:0,571=0,1%; privato – 0,2% + 0,1% = 0,3%. L'errore assoluto massimo del quoziente sarà circa 2,81:0,571·0,0030=0,015
Ciò significa che nel quoziente 2,81:0,571=4,92 la terza cifra significativa non è attendibile.
Risposta. 0,015.
Esempio 1.4. Calcola l'errore relativo delle letture di un voltmetro collegato secondo il circuito (Fig. 1.3), che si ottiene se assumiamo che il voltmetro abbia una resistenza infinitamente grande e non introduca distorsioni nel circuito misurato. Classificare l'errore di misurazione per questo problema.
riso. 1.3
Soluzione. Indichiamo le letture di un voltmetro reale con AND e un voltmetro con resistenza infinitamente alta con AND ∞. Errore relativo richiesto 
notare che
allora otteniamo
Poiché R AND >>R e R > r, la frazione al denominatore dell'ultima uguaglianza è molto inferiore a uno. Pertanto, è possibile utilizzare la formula approssimativa 
, valido per λ≤1 per qualsiasi α. Supponendo che in questa formula α = -1 e λ= rR (r+R) -1 R And -1, otteniamo δ ≈ rR/(r+R) R And.
Maggiore è la resistenza del voltmetro rispetto alla resistenza esterna del circuito, minore è l'errore. Ma la condizione R< Risposta. Errore metodologico sistematico. Esempio 1.5.
Il circuito DC (Fig. 1.4) comprende i seguenti dispositivi: A – amperometro tipo M 330, classe di precisione K A = 1,5 con limite di misurazione I k = 20 A; A 1 - amperometro tipo M 366, classe di precisione K A1 = 1,0 con un limite di misurazione I k1 = 7,5 A. Trova il massimo errore relativo possibile nella misurazione della corrente I 2 e i possibili limiti del suo valore effettivo, se gli strumenti lo hanno mostrato I = 8,0A. e I1 = 6,0A. Classificare la misurazione. riso. 1.4 Soluzione. Determiniamo la corrente I 2 dalle letture del dispositivo (senza tener conto dei loro errori): I 2 =I-I 1 =8,0-6,0=2,0 A. Troviamo i moduli di errore assoluto degli amperometri A e A 1 Per A abbiamo l'uguaglianza Troviamo la somma dei moduli di errore assoluto: Di conseguenza, il valore più grande possibile dello stesso valore, espresso in frazioni di questo valore, è uguale a 1. 10 3 – per un dispositivo; 2·10 3 – per un altro dispositivo. Quale di questi dispositivi sarà il più preciso? Soluzione. La precisione del dispositivo è caratterizzata dal reciproco dell'errore (più preciso è il dispositivo, minore è l'errore), cioè per il primo dispositivo questo sarà 1/(1 . 10 3) = 1000, per il secondo – 1/(2 . 10 3) = 500. Si noti che 1000 > 500. Pertanto, il primo dispositivo è due volte più accurato del il secondo. Una conclusione simile può essere raggiunta verificando la coerenza degli errori: 2. 10 3/1. 103 = 2. Risposta. Il primo dispositivo è due volte più preciso del secondo. Esempio 1.6.
Trova la somma delle misure approssimative del dispositivo. Trova il numero di caratteri corretti: 0,0909 + 0,0833 + 0,0769 + 0,0714 + 0,0667 + 0,0625 + 0,0588+ 0,0556 + 0,0526. Soluzione. Sommando tutti i risultati delle misurazioni, otteniamo 0,6187. L'errore massimo massimo della somma è 0,00005·9=0,00045. Ciò significa che nell'ultima quarta cifra della somma è possibile un errore fino a 5 unità. Pertanto, arrotondiamo l'importo alla terza cifra, ad es. millesimi, otteniamo 0,619, un risultato in cui tutti i segni sono corretti. Risposta. 0,619. Il numero di cifre corrette è di tre cifre decimali. Il problema è formulato come segue: lasciamo la quantità desiderata z determinato attraverso altre quantità a, b, c, ... ottenuti da misurazioni dirette z = f (a, b, c,...) (1.11) È necessario trovare il valore medio della funzione e l'errore delle sue misurazioni, ad es. trovare l'intervallo di confidenza con affidabilità a e relativo errore. Per quanto riguarda, si trova sostituendo nella parte destra di (11) invece di a, b, c,...i loro valori medi 3. Stimare la semiampiezza dell'intervallo di confidenza per il risultato delle misurazioni indirette dove i derivati... vengono calcolati 4. Determinare l'errore relativo del risultato 5. Se la dipendenza di z da a, b, c,... ha la forma poi assoluto . 6. Scrivi il risultato finale nel modulo z = ± Dz , ε = …% in a =
… . Nota: Quando si elaborano i risultati delle misurazioni dirette, è necessario seguire la seguente regola: i valori numerici di tutte le quantità calcolate devono contenere una cifra in più rispetto alle quantità originali (determinate sperimentalmente). Per le misurazioni indirette, i calcoli vengono effettuati secondo regole di calcolo approssimativo: Regola 1.
Quando aggiungi e sottrai numeri approssimativi, devi: a) selezionare il termine in cui la cifra dubbia ha la cifra più alta; b) arrotondare tutti gli altri termini alla cifra successiva (viene mantenuta una cifra di riserva); c) eseguire addizioni (sottrazioni); d) scartare di conseguenza l'ultima cifra mediante arrotondamento (la cifra della cifra dubbia del risultato coincide con la più alta delle cifre delle cifre dubbie dei termini). Esempio: 5,4382·10 5 – 2,918·10 3 + 35,8 + 0,064. In questi numeri le ultime cifre significative sono dubbie (quelle errate sono già state scartate). Scriviamoli nella forma 543820 – 2918 + 35,8 + 0,064. Si può vedere che nel primo termine il numero dubbio 2 ha la cifra più alta (le decine). Arrotondando tutti gli altri numeri alla cifra successiva e sommando, otteniamo 543820 – 2918 + 36 + 0 = 540940 = 5,4094 10 5. Regola 2.
Quando moltiplichi (dividi) numeri approssimati devi: a) selezionare il/i numero/i con il minor numero di cifre significative ( SIGNIFICATIVO – numeri diversi dallo zero e zeri tra di loro); b) arrotondare i numeri rimanenti in modo che abbiano una cifra significativa in più (viene mantenuta una cifra di riserva) rispetto a quelle assegnate al passaggio a; c) moltiplicare (dividere) i numeri risultanti; d) lasciare di conseguenza tante cifre significative quante erano nel/i numero/i con meno cifre significative. Esempio: . Regola 3.
Quando elevato a una potenza, quando si estrae una radice, il risultato conserva tante cifre significative quante sono nel numero originale. Esempio: Regola 4.
Quando si trova il logaritmo di un numero, la mantissa del logaritmo deve avere tante cifre significative quante sono il numero originale: Esempio: Nella registrazione finale assoluto gli errori dovrebbero essere lasciati solo una cifra significativa. (Se questa cifra risulta essere 1, dopo di essa viene memorizzata un'altra cifra). Il valore medio viene arrotondato alla stessa cifra dell'errore assoluto. Per esempio: V= (375,21 0,03) cm 3 = (3,7521 0,0003) cm 3. IO= (5,530 0,013) A, UN = Ordine di lavoro
Determinazione del diametro del cilindro.
1. Utilizzando un calibro, misurare il diametro del cilindro 7 volte (in diversi punti e direzioni). Registra i risultati in una tabella. Informazioni correlate: Errori nelle quantità misurate e tabulate determinano gli errori di DH avg del valore determinato indirettamente e il contributo maggiore a DH avg è dato dai valori meno accurati, che hanno l'errore relativo massimo D. Pertanto, per aumentare la precisione delle misurazioni indirette, è necessario raggiungere la stessa precisione delle misurazioni dirette (d A, d B, d C, ...). Regole per trovare errori nelle misurazioni indirette: 1. Trova il logaritmo naturale della funzione data ln(X = f(A,B,C,…)); 2. Trova il differenziale totale (su tutte le variabili) dal logaritmo naturale trovato della funzione data; 3. Sostituire il segno del differenziale d con il segno dell'errore assoluto D; 4. Sostituisci tutti gli "svantaggi" che comportano errori assoluti DA, DB, DC, ... ai "professionisti". Il risultato è la formula per l'errore relativo più grande dx valore misurato indirettamente X: dx = = j (A medio, B medio, C medio, ..., DA medio, DB medio, DC medio, ...).(18) Secondo l'errore relativo trovato dx determinare l'errore assoluto della misurazione indiretta: DX av = dx. X media . (19) Il risultato delle misurazioni indirette è scritto in forma standard e rappresentato sull'asse numerico: X = (X medio ± DХ medio), unità. (20) Esempio:
Trova i valori degli errori relativi e medi di una quantità fisica l, determinato indirettamente dalla formula: Dove π, g, t, k, α, β– grandezze i cui valori sono misurati o presi da tabelle di riferimento e inseriti in una tabella di risultati di misurazione e dati tabulati (simile alla Tabella 1). 1. Calcolare il valore medio Media, sostituendo i valori medi della tabella nella (21) – π medio, g medio, t medio, k medio, α medio, β medio. 2. Determinare l'errore relativo più grande δL: UN). Formula del logaritmo (21): B). L'espressione risultante (22) è differenziata: c) Sostituisci il segno del differenziale d con Δ e i "meno" davanti agli errori assoluti con "più" e ottieni un'espressione per l'errore relativo più grande δL: D). Sostituendo i valori medi delle quantità di input e i loro errori dalla tabella dei risultati di misurazione nell'espressione risultante, calcola δL. 3. Quindi calcolare l'errore assoluto ΔL medio: Il risultato viene registrato in forma standard e rappresentato graficamente sull'asse l: STIME ELEMENTARI DELL'ERRORE DI MISURA La misurazione consiste nel trovare sperimentalmente il valore di una quantità fisica con l'aiuto di mezzi tecnici speciali: misure, strumenti di misurazione. Una misura è un mezzo di misura che riproduce una quantità fisica di una determinata dimensione: un'unità di misura, il suo valore multiplo o frazionario. Ad esempio, pesa 1 kg, 5 kg, 10 kg. Un dispositivo di misurazione è uno strumento di misurazione progettato per generare un segnale di misurazione delle informazioni in una forma accessibile alla percezione diretta da parte di un osservatore. Un dispositivo di misurazione consente di confrontare direttamente o indirettamente il valore misurato con le misure. Anche le misurazioni si dividono in dirette e indirette. Nelle misurazioni dirette, il valore desiderato della quantità si trova direttamente dai dati di base (sperimentali). Nelle misurazioni indirette, il valore desiderato di una grandezza si trova in base alla relazione nota tra tale grandezza e le grandezze sottoposte a misurazioni dirette. Il principio di misurazione è un insieme di fenomeni fisici su cui si basano le misurazioni. Un metodo di misurazione è un insieme di tecniche per utilizzare principi e strumenti di misura. Il valore di una grandezza fisica, che idealmente rifletterebbe in termini qualitativi e quantitativi la corrispondente proprietà di un dato oggetto, è il vero valore della grandezza fisica. Il valore di una grandezza fisica trovato misurandola è il risultato della misurazione. La deviazione del risultato della misurazione dal valore reale del valore misurato è l'errore di misurazione. L'errore di misurazione assoluto è l'errore di misurazione, espresso in unità del valore misurato e pari alla differenza tra il risultato e il valore reale del valore misurato. Il rapporto tra l'errore assoluto e il valore reale della quantità misurata è l'errore di misurazione relativo. I contributi all'errore di misurazione includono errori negli strumenti di misurazione (errore strumentale o strumentale), imperfezione del metodo di misurazione, errore nella lettura sulla scala dello strumento, influenze esterne sui mezzi e sugli oggetti di misurazione e ritardo nella reazione umana ai segnali luminosi e sonori . In base alla natura della loro manifestazione, gli errori si dividono in sistematici e casuali. Un evento casuale è un evento che, dato un dato insieme di fattori, può verificarsi o meno. L'errore casuale è una componente dell'errore di misurazione che cambia in modo casuale con misurazioni ripetute della stessa quantità. Una caratteristica degli errori casuali è un cambiamento nell'entità e nel segno dell'errore in condizioni di misurazione costanti. L'errore sistematico è una componente dell'errore di misurazione che rimane costante o cambia naturalmente con misurazioni ripetute della stessa quantità. Gli errori sistematici, in linea di principio, possono essere eliminati attraverso correzioni e l’uso di strumenti e metodi più accurati (anche se nella pratica non è sempre facile individuare errori sistematici). È impossibile escludere errori casuali nelle singole misurazioni; la teoria matematica dei fenomeni casuali (teoria della probabilità) consente solo di stabilire una stima ragionevole della loro grandezza. Supponiamo che gli errori sistematici siano esclusi e che gli errori nei risultati della misurazione siano solo casuali. Indichiamo con lettere i risultati delle misurazioni di una quantità fisica, il cui vero valore è uguale a Sommando i lati sinistro e destro dell’uguaglianza (1), otteniamo: La teoria degli errori casuali si basa su ipotesi confermate dall’esperienza: gli errori possono assumere una serie continua di valori; con un gran numero di misurazioni, errori casuali della stessa entità, ma di segno diverso, si verificano altrettanto spesso; la probabilità di un errore diminuisce all’aumentare della sua entità. È inoltre necessario che gli errori siano piccoli rispetto al valore misurato e indipendenti. Secondo l'ipotesi (1), con il numero di misurazioni n otteniamo Tuttavia, il numero di dimensioni è sempre finito e Secondo la teoria della probabilità, la media aritmetica di una serie di misurazioni La probabilità che il valore desiderato (il suo vero valore) sia contenuto nell'intervallo (a - a, a + a) sarà chiamata probabilità di confidenza (affidabilità) , e il corrispondente intervallo (a - a, a + a) - intervallo di confidenza; Quanto più piccolo è l'errore a, tanto minore è la probabilità che il valore misurato sia contenuto nell'intervallo definito da questo errore. È vera anche l'affermazione opposta: meno affidabile è il risultato, più stretto è l'intervallo di confidenza del valore desiderato. Per n grande (praticamente per n 100), la semiampiezza dell'intervallo di confidenza per una data affidabilità è uguale a dove K() = 1 in = 0,68; K() = 2 in = 0,95; K() = 3 in = 0,997. Con un numero limitato di misurazioni, che si riscontra più spesso nella pratica di laboratorio degli studenti, il coefficiente K() in (3) dipende non solo da , ma anche dal numero di misurazioni n. Pertanto, in presenza del solo errore casuale, troveremo sempre la semiampiezza dell'intervallo di confidenza utilizzando la formula Nella (4), il coefficiente t n è chiamato coefficiente di Student. Per = 0,95 adottato nel lavoro pratico degli studenti, i valori di t n sono i seguenti: Il valore è chiamato errore quadratico medio della media aritmetica di una serie di misurazioni. L'errore di uno strumento o di una misura è solitamente indicato sul suo passaporto o da un simbolo sulla scala dello strumento. Solitamente per errore strumentale si intende la semiampiezza dell'intervallo entro il quale può essere contenuto il valore misurato con una probabilità di misura pari a 0,997, se l'errore di misura è dovuto solo all'errore strumentale. Come errore generale (totale) del risultato della misurazione, accetteremo con probabilità = 0,95 L'errore assoluto consente di determinare in quale segno del risultato ottenuto è contenuta l'imprecisione. L'errore relativo fornisce informazioni su quale proporzione (percentuale) del valore misurato è l'errore (metà ampiezza dell'intervallo di confidenza). Scriviamo il risultato finale di una serie di misurazioni dirette del valore a 0 nel modulo Per esempio Pertanto, qualsiasi grandezza fisica trovata sperimentalmente deve essere rappresentata: La principale caratteristica qualitativa di qualsiasi sensore di strumentazione è l'errore di misurazione del parametro controllato. L'errore di misurazione di un dispositivo è la quantità di discrepanza tra ciò che il sensore della strumentazione ha mostrato (misurato) e ciò che effettivamente esiste. L'errore di misurazione per ciascun tipo specifico di sensore è indicato nella documentazione di accompagnamento (passaporto, istruzioni operative, procedura di verifica), fornita con questo sensore. Secondo la forma di presentazione, gli errori sono suddivisi in assoluto, parente E dato errori. Errore assolutoè la differenza tra il valore di Xiz misurato dal sensore e il valore effettivo di Xd di questo valore. Il valore effettivo Xd della grandezza misurata è il valore trovato sperimentalmente della grandezza misurata che si avvicina il più possibile al suo valore reale. In termini semplici, il valore effettivo di Xd è il valore misurato da un dispositivo di riferimento, o generato da un calibratore o setter di una classe di alta precisione. L'errore assoluto è espresso nelle stesse unità del valore misurato (ad esempio, m3/h, mA, MPa, ecc.). Poiché il valore misurato può essere maggiore o minore del suo valore reale, l'errore di misurazione può essere con segno più (le letture dell'apparecchio sono sovrastimate) o con segno meno (l'apparecchio sottostima). Errore relativoè il rapporto tra l'errore di misurazione assoluto Δ e il valore effettivo Xd della quantità misurata. L'errore relativo è espresso in percentuale, oppure è una grandezza adimensionale, e può assumere anche valori sia positivi che negativi. Errore ridottoè il rapporto tra l'errore assoluto di misura Δ e il valore normalizzante Xn, costante su tutto il campo di misura o su parte di esso. Il valore normalizzante Xn dipende dal tipo di scala del sensore della strumentazione: L'errore dato è espresso in percentuale, oppure è una quantità adimensionale, e può assumere anche valori sia positivi che negativi. Molto spesso nella descrizione di un particolare sensore viene indicato non solo il range di misurazione, ad esempio da 0 a 50 mg/m3, ma anche il range di lettura, ad esempio da 0 a 100 mg/m3. L'errore indicato in questo caso è normalizzato alla fine dell'intervallo di misurazione, cioè a 50 mg/m3, e nell'intervallo di lettura da 50 a 100 mg/m3 l'errore di misurazione del sensore non è affatto determinato - in Infatti, il sensore può mostrare qualsiasi cosa e presentare qualsiasi errore di misurazione. Il campo di misura del sensore può essere suddiviso in diversi sottocampi di misura, per ognuno dei quali è possibile determinare il proprio errore, sia in grandezza che in forma di rappresentazione. In questo caso, durante il controllo di tali sensori, ogni sottointervallo può utilizzare i propri strumenti di misura standard, il cui elenco è indicato nella procedura di verifica di questo dispositivo. Per alcuni dispositivi i passaporti indicano la classe di precisione anziché l'errore di misurazione. Tali strumenti includono manometri meccanici, termometri bimetallici indicatori, termostati, indicatori di flusso, amperometri a puntatore e voltmetri per montaggio a pannello, ecc. Una classe di precisione è una caratteristica generalizzata degli strumenti di misura, determinata dai limiti degli errori di base e aggiuntivi consentiti, nonché da una serie di altre proprietà che influenzano la precisione delle misurazioni effettuate con il loro aiuto. Inoltre la classe di precisione non è una caratteristica diretta dell'accuratezza delle misurazioni eseguite da questo dispositivo; indica solo l'eventuale componente strumentale dell'errore di misurazione. La classe di precisione del dispositivo viene applicata alla sua scala o al corpo in conformità con GOST 8.401-80. Quando si assegna una classe di precisione ad un dispositivo, questa viene selezionata dalla serie 1·10 n; 1,5 10 n; (1,6·10 n); 2·10n; 2,5 10 n; (3·10n); 4·10n; 5·10n; 6·10n; (dove n =1, 0, -1, -2, ecc.). I valori delle classi di precisione indicati tra parentesi non sono stabiliti per gli strumenti di misura di nuova concezione. L'errore di misurazione dei sensori viene determinato, ad esempio, durante la loro verifica e calibrazione periodica. Con l'aiuto di vari setter e calibratori, determinati valori dell'una o dell'altra grandezza fisica vengono generati con elevata precisione e le letture del sensore da verificare vengono confrontate con le letture di uno strumento di misura standard a cui lo stesso valore della grandezza fisica la quantità viene fornita. Inoltre, l'errore di misura del sensore viene controllato sia durante la corsa di andata (aumento della grandezza fisica misurata dal minimo al massimo della scala) che durante la corsa inversa (diminuzione del valore misurato dal massimo al minimo della scala). scala). Ciò è dovuto al fatto che a causa delle proprietà elastiche dell’elemento sensibile del sensore (membrana del sensore di pressione), diverse velocità di reazioni chimiche (sensore elettrochimico), inerzia termica, ecc. Le letture del sensore saranno diverse a seconda di come cambia la grandezza fisica che influenza il sensore: diminuisce o aumenta. Molto spesso, in conformità con la procedura di verifica, le letture del sensore durante la verifica dovrebbero essere eseguite non in base al display o alla scala, ma in base al valore del segnale di uscita, ad esempio in base al valore della corrente di uscita di l'uscita in corrente 4...20 mA. La verifica e la calibrazione dei dispositivi di strumentazione devono essere eseguite in condizioni ambientali normali di pressione atmosferica, umidità e temperatura e alla tensione di alimentazione nominale del sensore, poiché temperature e tensione di alimentazione più alte o più basse possono portare a ulteriori errori di misurazione. Le condizioni di verifica sono specificate nella procedura di verifica. I dispositivi il cui errore di misurazione non rientra nei limiti stabiliti dal metodo di verifica vengono nuovamente regolati e regolati, dopodiché vengono nuovamente verificati, oppure, se la regolazione non porta risultati, ad esempio, a causa dell'invecchiamento o dell'eccessiva deformazione del sensore, vengono riparati. Se la riparazione è impossibile, i dispositivi vengono rifiutati e messi fuori servizio. Se tuttavia i dispositivi hanno potuto essere riparati, allora non sono più soggetti a verifica periodica, ma primaria con l'attuazione di tutti i punti previsti dalla procedura di verifica per questo tipo di verifica. In alcuni casi, il dispositivo è appositamente sottoposto a piccole riparazioni () poiché, secondo il metodo di verifica, l'esecuzione della verifica primaria risulta essere molto più semplice ed economica della verifica periodica, a causa delle differenze nel set di strumenti di misura standard utilizzati per verifica periodica e primaria. Per consolidare e testare le conoscenze acquisite, consiglio di farlo. Le dimensioni sono chiamate Dritto, se i valori delle quantità sono determinati direttamente da strumenti (ad esempio, misurare la lunghezza con un righello, determinare il tempo con un cronometro, ecc.). Le dimensioni sono chiamate indiretto, se il valore della grandezza misurata è determinato attraverso misurazioni dirette di altre grandezze associate alla specifica relazione da misurare. Errore assoluto e relativo. Lasciamo che venga eseguito N misurazioni della stessa quantità X in assenza di errore sistematico. I risultati delle misurazioni individuali sono i seguenti: X 1
,X 2
,
…,X N. Il valore medio del valore misurato viene selezionato come il migliore: Errore assoluto di una singola misura è chiamata differenza della forma: Errore assoluto medio N misure unitarie: chiamato errore medio assoluto. Errore relativo Il rapporto tra l'errore medio assoluto e il valore medio della grandezza misurata è chiamato: Se non ci sono istruzioni speciali, l'errore dello strumento è pari alla metà del suo valore di divisione (righello, bicchiere). L'errore degli strumenti dotati di nonio è uguale al valore della divisione del nonio (micrometro - 0,01 mm, calibro - 0,1 mm). L'errore dei valori della tabella è pari a mezza unità dell'ultima cifra (cinque unità dell'ordine successivo all'ultima cifra significativa). L'errore degli strumenti di misura elettrici viene calcolato in base alla classe di precisione CON indicato sulla scala dello strumento: Per esempio: Dove U massimo E IO massimo– limite di misura del dispositivo. L'errore dei dispositivi con display digitale è pari ad una delle ultime cifre del display. Dopo aver valutato gli errori casuali e strumentali, si tiene conto di quello il cui valore è maggiore. La maggior parte delle misurazioni sono indirette. In questo caso il valore desiderato X è funzione di più variabili UN,B,
C…
, i cui valori possono essere trovati mediante misurazioni dirette: X = f( UN,
B,
C…). La media aritmetica del risultato delle misurazioni indirette sarà pari a: X = f( UN, B, C…). Un modo per calcolare l'errore è differenziare il logaritmo naturale della funzione X = f( UN,
B,
C...). Se, ad esempio, il valore desiderato X è determinato dalla relazione X = Il differenziale di questa espressione ha la forma: In relazione al calcolo dei valori approssimativi, si può scrivere per il relativo errore nella forma: =
L'errore assoluto si calcola utilizzando la formula: Х = Х(5) Pertanto, il calcolo degli errori e il calcolo del risultato per le misurazioni indirette vengono eseguiti nel seguente ordine: 1) Misurare tutte le quantità incluse nella formula iniziale per calcolare il risultato finale. 2) Calcolare i valori medi aritmetici di ciascun valore misurato e i relativi errori assoluti. 3) Sostituire i valori medi di tutti i valori misurati nella formula originale e calcolare il valore medio del valore desiderato: X = f( UN, B, C…). 4) Logaritmo della formula originale X = f( UN,
B,
C...) e trascrivere l'espressione del relativo errore sotto forma di formula (4). 5) Calcolare l'errore relativo = 6) Calcolare l'errore assoluto del risultato utilizzando la formula (5). 7) Il risultato finale si scrive come: X = X media X Gli errori assoluti e relativi delle funzioni più semplici sono riportati nella tabella: Assoluto errore Parente errore a+
B a+
B
per amperometro 
,
, Dove k, l, m‒ qualsiasi numero reale, devi prima trovarlo parente errore
.
.
J.NO. d io, mm
d io-
(d io-
) 2
ciao io, mm E
, (21)
, unità modificaErrori di misurazioni dirette
. Sono indicati gli errori assoluti dei risultati delle singole misurazioni:
(2)
,rimane sconosciuto. Ma ai fini pratici è sufficiente trovare sperimentalmente il valore di una grandezza fisica così vicina a quella vera che 
può essere utilizzato invece di true. La domanda è: come valutare il grado di questa approssimazione?più affidabile dei risultati delle singole misurazioni, perché sono ugualmente probabili deviazioni casuali dal valore reale in direzioni diverse. La probabilità della comparsa di un valore ai in un intervallo di larghezza 2a i è intesa come la frequenza relativa di occorrenza dei valori di a i che rientrano nell'intervallo 2a i rispetto al numero di tutti i valori che compaiono di a i con il numero di esperimenti (misure) tendente all'infinito. Ovviamente la probabilità di un evento affidabile è pari a uno, la probabilità di un evento impossibile è pari a zero, cioè 0 100%.
,
(3)
(4)
.
(6)
Per il sensore di pressione verificato con una scala di misurazione da 0 a 250 mbar, l'errore di misurazione relativo principale sull'intero campo di misurazione è del 5%. Il sensore ha un'uscita di corrente di 4...20 mA. Il calibratore ha applicato al sensore una pressione di 125 mbar, mentre il suo segnale in uscita è di 12,62 mA. È necessario determinare se le letture del sensore rientrano nei limiti accettabili.
Innanzitutto è necessario calcolare quale dovrebbe essere la corrente di uscita del sensore Iout.t ad una pressione Рт = 125 mbar.
Iout.t = Ish.out.min + ((Ish.out.max – Ish.out.min)/(Rsh.max – Rsh.min))*Рт
dove Iout.t è la corrente di uscita del sensore ad una determinata pressione di 125 mbar, mA.
Ish.out.min – corrente di uscita minima del sensore, mA. Per un sensore con un'uscita di 4…20 mA, Ish.out.min = 4 mA, per un sensore con un'uscita di 0…5 o 0…20 mA, Ish.out.min = 0.
Ish.out.max - corrente di uscita massima del sensore, mA. Per un sensore con un'uscita di 0...20 o 4...20 mA, Ish.out.max = 20 mA, per un sensore con un'uscita di 0...5 mA, Ish.out.max = 5 mA.
Рш.max – valore massimo della scala del sensore di pressione, mbar. Psh.max = 250 mbar.
Rsh.min – scala minima del sensore di pressione, mbar. Rsh.min = 0 mbar.
Рт – pressione fornita dal calibratore al sensore, mbar. TA = 125 mbar.
Sostituendo i valori noti otteniamo:
Iout.t = 4 + ((20-4)/(250-0))*125 = 12 mA
Cioè, con una pressione di 125 mbar applicata al sensore, la sua corrente in uscita dovrebbe essere 12 mA. Consideriamo i limiti entro i quali può variare il valore calcolato della corrente di uscita, tenendo conto che l'errore di misura relativo principale è ± 5%.
ΔIout.t =12 ± (12*5%)/100% = (12 ± 0,6) mA
Cioè, con una pressione di 125 mbar applicata al sensore all'uscita di corrente, il segnale di uscita dovrebbe essere compreso tra 11,40 e 12,60 mA. In base alle condizioni del problema, abbiamo un segnale di uscita di 12,62 mA, il che significa che il nostro sensore non ha soddisfatto l'errore di misurazione specificato dal produttore e richiede una regolazione.
Il principale errore di misura relativo del nostro sensore è:
δ = ((12,62 – 12,00)/12,00)*100% = 5,17%
Errori casuali nelle misurazioni dirette
.
(2)
.
(3)Errori strumentali nelle misure dirette
E 
,Calcolo degli errori nelle misure indirette
, quindi dopo il logaritmo otteniamo: lnX = ln UN+ln B+ln( C+
D).
.
.
(4)
.
