Problemi di torsione staticamente indeterminati

Nella torsione, così come nella tensione, ci sono problemi la cui soluzione non può essere ottenuta con l'aiuto delle sole equazioni di equilibrio. Il numero di incognite in tali problemi supera il numero di equazioni di equilibrio. La procedura per risolvere tali problemi è la stessa che per risolvere problemi di tensione-compressione staticamente indeterminati.

torsione della deformazione dell'asta della trave

Da qui determiniamo TA e sostituiamo per determinare TB

Torsione di una trave a pareti sottili di profilo chiuso.

Significativamente più rigide e quindi più adatte alla torsione sono le aste a parete sottile con profilo chiuso.

Considera un'asta cilindrica la cui sezione trasversale ha una forma abbastanza generale.

t - cambia piuttosto lentamente

Il luogo dei punti equidistanti dai contorni esterno ed interno della sezione trasversale è chiamato linea mediana della sezione.

Le sollecitazioni tangenziali derivanti dalla torsione sono di spessore costante e dirette tangenzialmente alla linea mediana.

Il prodotto tra sollecitazione di taglio e spessore è un valore costante per tutti i punti della linea mediana della sezione.

Proiettiamo tutte le forze nella direzione dell'asse dell'asta.

Non ci sono carichi sulla superficie esterna e quindi, secondo la legge di accoppiamento delle sollecitazioni di taglio.

2. Le tensioni di taglio agli angoli esterni svaniscono.

Le tensioni di taglio della coppia agenti sulla superficie esterna devono essere pari a zero. Pertanto, e

La soluzione ottenuta con i metodi della teoria dell'elasticità per una trave rettangolare ha il seguente diagramma

Barre che lavorano in torsione oltre i limiti dell'elasticità

La struttura perderà la sua capacità portante torsionale nel caso in cui le sezioni della prima e della seconda sezione siano completamente ricoperte da deformazioni plastiche.

Quelli. T1 = T1u T2 = T2u

Dalle condizioni di equilibrio Tu = T1u + T2u

Per determinare T1u e T2u considerare forme di sezione trasversale specifiche

sezione rotonda

Sezione anulare

Sezione a parete sottile ()

area delimitata dalla linea mediana del contorno

sezione quadrata

Vedi l'analogia con la sabbia

dove V è il volume della superficie di un pendio permanente con un angolo di 450

Nota: In caso di più momenti esterni è necessario considerare diversi stati cinematicamente possibili.

Associamo T alle sollecitazioni di taglio.

Momento elementare rispetto al punto O.

dove l'integrazione si estende su tutta la lunghezza del contorno s.

Determinare la sollecitazione massima nell'asta tubolare se T=1500 N.m

Analogia della membrana nella torsione

Il problema della torsione della barra si riduce alla stessa equazione differenziale del problema dell'equilibrio di una pellicola tesa su un contorno della stessa forma e caricata con una pressione uniformemente distribuita.

Un analogo dello stress è l'angolo che la tangente alla superficie della pellicola forma rispetto al contorno della superficie.

T - Un analogo della coppia è il volume racchiuso tra il piano del contorno e la superficie del film.

Il carattere della deformazione del film sotto pressione può essere rappresentato almeno provvisoriamente. Pertanto è sempre possibile rappresentare la legge di distribuzione delle tensioni durante la torsione di una barra con una data forma di sezione.

Usando l'analogia della membrana, si possono ottenere non solo relazioni qualitative, ma anche quantitative. A tale scopo viene utilizzato un semplice dispositivo che misura le deflessioni con un micrometro. Utilizzando la pressione idrostatica del fluido per caricare la membrana è possibile determinare la coppia dal volume del fluido tra la membrana e il piano. Per calibrare strumenti di questo tipo si possono utilizzare le sezioni trasversali più semplici; per alcuni sono note soluzioni analitiche.

Quando si calcola la torsione di barre diritte, fissate rigidamente ad un'estremità, così come quando si calcolano gli alberi (che rappresentano barre rotanti caricate con momenti torsionali reciprocamente bilanciati), i valori delle coppie nelle sezioni trasversali possono essere determinati utilizzando solo le equazioni di equilibrio ( metodo della sezione). Pertanto, tali problemi sono staticamente determinati.

I problemi di torsione sono staticamente indeterminati se le coppie che si verificano nelle sezioni trasversali delle aste ritorte non possono essere determinate utilizzando solo le equazioni di equilibrio. Per risolvere questi problemi, oltre alle equazioni di equilibrio compilate per il sistema nel suo insieme o per la sua parte isolata, è anche necessario comporre equazioni di spostamento basate sulla considerazione della natura della deformazione del sistema.

Consideriamo, ad esempio, una trave rotonda, fissata rigidamente ad entrambe le estremità e caricata con un momento ZL ad una distanza a dall'estremità sinistra (Fig. 23.6, a).

Per risolvere questo problema, è possibile comporre una sola equazione di equilibrio - sotto forma di uguaglianza a zero della somma dei momenti relativi all'asse della trave:

dove e sono i momenti torcenti reattivi che si verificano nelle terminazioni.

Un'ulteriore equazione per risolvere il problema in esame può essere ottenuta come segue. Scartiamo il fissaggio del supporto sinistro della trave, ma lasciamo quello destro (Fig. 23.6, b).

La rotazione dell'estremità sinistra della trave così ottenuta dovrebbe essere pari a zero, poiché in realtà tale estremità è rigidamente fissata e non può essere ruotata.

Basandosi sul principio di indipendenza dell'azione delle forze, l'equazione dello spostamento ha la forma

Qui - l'angolo di rotazione dell'estremità sinistra della trave dall'azione di un momento torcente esterno (Fig. 23.6, c); - l'angolo di rotazione dell'estremità sinistra dall'azione di un momento esterno (Fig. 23.6, d).

Secondo la seconda delle formule (14.6), dato che l'estremità destra della trave non ruota (cioè), e secondo la formula (13.6) troviamo

Sostituisci questi valori nell'equazione dello spostamento:

Dall'equazione di equilibrio

Dopo aver determinato i momenti, il diagramma delle coppie può anche essere costruito nel modo consueto, cioè come per una trave determinata staticamente (Fig. 23.6, e). Per il problema considerato, questo diagramma è mostrato in Fig. 23.6, f.

Una rappresentazione visiva della variazione degli angoli di rotazione delle sezioni trasversali della trave lungo la sua lunghezza è data dal diagramma degli angoli di rotazione (a volte è chiamato diagramma degli angoli di torsione). Ciascuna ordinata di questo diagramma fornisce, nella scala accettata, il valore dell'angolo di rotazione della corrispondente sezione trasversale della trave.

Costruiamo un diagramma del genere per una barra secondo la Fig. 23.6, d, tenendo conto che il valore è già stato trovato ed è stato costruito il diagramma della coppia (vedi Fig. 23.6, f). La sezione A più a destra della trave è immobile, cioè una sezione trasversale arbitraria appartenente alla sezione AC e distanziata dall'estremità destra ruoterà di un angolo [vedi. la seconda delle formule (14.6)]

Ecco l'angolo di torsione nella sezione di lunghezza determinata dalla formula (13.6).

Pertanto gli angoli di rotazione cambiano linearmente a seconda della distanza, sostituendo nell'espressione risultante troviamo l'angolo di rotazione della sezione C:

Si noti che sempre caricando una barra a sezione costante con momenti torcenti concentrati, il diagramma degli angoli di rotazione delle sezioni trasversali in ciascuna delle sezioni della barra è lineare.

Per costruire uno schema sulla sezione CB, calcoliamo l'angolo di rotazione della sezione B. In base alla seconda delle formule (14.6) e alla formula (13.6)

Questo risultato conferma la correttezza della soluzione del problema, poiché, a seconda della condizione, la sezione B è rigidamente incorporata. Pertanto, oltre ad un valore puramente illustrativo, la costruzione di un diagramma degli angoli di rotazione delle sezioni trasversali può essere considerata come un metodo per controllare la soluzione di alcuni problemi staticamente indeterminati.

Il diagramma degli angoli di rotazione costruito sulla base dei valori ottenuti è mostrato in fig. 23.6, w.

Quando sulla trave agiscono più momenti torcenti esterni, così come per travi che hanno sezioni trasversali diverse in sezioni separate, viene compilata un'equazione aggiuntiva in modo simile a quello mostrato (vedere esempio 5.6).

Nel calcolo delle molle cilindriche, oltre ai problemi staticamente determinabili, ci sono anche problemi staticamente indeterminati.

Se le estremità della molla non sono fisse e possono muoversi liberamente lungo l'asse della molla, o se solo una delle sue estremità è fissa, allora il problema del calcolo di tale molla è staticamente determinato. Se entrambe le estremità della molla sono fisse, il problema del suo calcolo è staticamente indeterminato. Per risolverlo è necessario comporre un'equazione di spostamento aggiuntiva. La formulazione di questa equazione è simile alla formulazione dell'equazione utilizzata per risolvere i problemi di calcolo di un'asta diritta, fissata ad entrambe le estremità, ai carichi esterni agenti lungo il suo asse. La formulazione di equazioni aggiuntive per questo tipo di problemi è discussa sopra nel § 9.2 (vedi anche Esempio 3.6).

4.4. Problemi di torsione staticamente indeterminati

Tali problemi di solito sorgono se il movimento dell'albero è limitato in alcune sezioni, ad esempio (Fig. 4.9), quando le sue estremità vengono pizzicate. IN

un'equazione di equilibrio:

ci sono due momenti incogniti negli appoggi, quindi il problema è staticamente indeterminato. Per risolverlo, componiamo un'equazione di spostamento aggiuntiva. Considerare gli spostamenti (angoli di rotazione) delle sezioni che costituiscono i confini delle sezioni dell'albero..gif" width="99" Height="27 src=">.

https://pandia.ru/text/78/579/images/image007_54.gif" larghezza="99 altezza=26" altezza="26">.

Poiché la sezione dell'albero è pizzicata, allora dove: https://pandia.ru/text/78/579/images/image011_42.gif" align="left" width="258" Height="186">

La deformazione potenziale della deformazione della sezione dell’albero di lunghezza dz sarà:
Poiché con torsione τ = (MK/IP) r, allora

Riducendo tramite IP, otteniamo un'espressione per l'energia potenziale di deformazione durante la torsione

4.6 . Torsione di barre di sezione trasversale non circolare

https://pandia.ru/text/78/579/images/image018_20.gif" align="left" width="324" Height="237 src="> Quando le aste di torsione (alberi) non sono rotonde e non - sezioni trasversali degli anelli, le ipotesi fatte durante la torsione di alberi tondi e anulari non sono soddisfatte: le sezioni trasversali piatte dell'asta non rimangono piatte durante la torsione, ma si deformano (piegate); i raggi rettilinei tracciati nelle sezioni piatte vengono piegati; la distanza tra le sezioni cambia (Fig. 4Se un'asta di sezione costante lungo l'intera lunghezza non viene pizzicata in nessun punto e i momenti torcenti si trovano alle sue estremità, tutte le sezioni vengono deplanate allo stesso modo e non si verificano sollecitazioni normali. Tale torsione è chiamato libero Tuttavia, con sufficiente precisione per scopi pratici, per le aste non rotonde, è possibile utilizzare le formule derivate per un'asta rotonda, sostituendo entrambe https://pandia.ru/text/78/579/images/image021_17.gif " larghezza="23" altezza="27 src=">- momento di inerzia durante la torsione e - momento di resistenza torsionale.

https://pandia.ru/text/78/579/images/image024_18.gif" larghezza="90" altezza="49">, ,

Per una sezione trasversale rettangolare (Fig. 4.12)

https://pandia.ru/text/78/579/images/image027_17.gif" larghezza="87" altezza="29 src=">.

Qui e - dipende dal rapporto.

Coefficienti.	Il rapporto tra il lato più grande della sezione e quello più piccolo.

Differenziale" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark"> all'equazione differenziale, che è la stessa del problema dell'equilibrio di una pellicola sottile tesa su un contorno della stessa forma del contorno di la sezione trasversale dell'asta e caricata con una pressione uniformemente distribuita. Lo stress analogico è l'angolo che forma la tangente alla superficie della pellicola con il piano del contorno e l'analogo della coppia è il volume racchiuso tra il piano del contorno e la superficie della pellicola La Fig. 4.13a mostra il comportamento del film sotto pressione, la Fig. 4.13b mostra la distribuzione qualitativa delle sollecitazioni torsionali di un'asta di profilo complesso. Con l'aiuto di un dispositivo speciale e di un film calibrato si possono ottenere anche risultati quantitativi. Fatto ciò, per tenere conto della rigidità della pellicola, si effettua lo stesso esperimento con un foro tondo, dal quale si ottiene la necessaria rigidità della pellicola, poiché la soluzione in questo caso si può ottenere esattamente.

4.7. Torsione libera di aste a pareti sottili

Le aste a pareti sottili sono chiamate aste che hanno una dimensione della sezione trasversale - spessore del profilo, inferiore all'altra - la lunghezza del contorno della sezione trasversale s. Le aste sono profili aperti (Fig. 4.14) e chiusi (Fig. 4.15). Usiamo l'analogia della membrana. La natura del comportamento del film e, di conseguenza, le sollecitazioni di taglio nelle aste a pareti sottili di profili aperti e chiusi sono fondamentalmente diverse (Fig. 4.16 e Fig. 4. Se l'asta di un profilo aperto viene raddrizzata in un lungo rettangolo, quindi la forma del film non cambierà.

Quindi per una sezione rettangolare con , abbiamo: ,..gif" larghezza="22" altezza="25"> rettangoli, quindi

..gif" larghezza="42" altezza="26"> .

Considera il calcolo di un sistema di torsione staticamente indeterminato utilizzando un esempio specifico.

Esempio. Determinare dal calcolo della resistenza al valore ammissibile del momento torcente per un albero rigidamente bloccato su entrambe le estremità e caricato, come mostrato in fig. 10.8, a.

Riso. 10.8. Schema di un albero staticamente indeterminato

I momenti reattivi si verificano nelle terminazioni mA E mB(Fig. 10.8, a). Componiamo l'equazione di equilibrio relativa all'asse longitudinale dell'albero:

Pertanto, il problema è una volta staticamente indeterminato: un'equazione di statica e due momenti reattivi sconosciuti. Per compilare l'equazione dello spostamento, scartiamo la terminazione destra, sostituendo la sua azione sull'albero con un momento reattivo sconosciuto. Il sistema staticamente determinato così ottenuto (Fig. 10.8, b) è equivalente a quello dato, e, quindi, l'angolo di rotazione della sezione Bè uguale a zero:

Applicando il principio di indipendenza dell'azione delle forze, scriviamo l'equazione dello spostamento per la sezione B COME

Con solo un momento M Angolo di rotazione di 1 sezione IN uguale all'angolo di torsione della sezione AC, cioè.

Allo stesso modo, sotto l'azione del solo momento M 2:

Con solo un momento M B= X abbiamo:

Per semplificare i calcoli esprimiamo

Sostituendo i valori degli angoli di rotazione nell'equazione di compatibilità deformativa e tenendo conto dell'ultima uguaglianza, otteniamo:

Valore sostitutivo X nell’equazione di equilibrio troviamo:

Dopo la divulgazione dell'incertezza statica, i diagrammi delle coppie, delle sollecitazioni di taglio e degli angoli di torsione vengono costruiti nel modo consueto. Questo grafico è mostrato in Fig. 10.8, c, d, e.

Le sezioni del sito sono pericolose ESSERE. Da notare che i tratti in cui si riscontrano le coppie più elevate (cap AC), sono in questo caso meno pericolosi.

Scriviamo la condizione di forza:

Calcolo delle molle elicoidali cilindriche

Con un piccolo passo di virate

In molti meccanismi e macchine, ad esempio, nelle molle di automobili e automobili, vengono utilizzate molle elicoidali. Queste molle sono avvolte da filo tondo realizzato con acciai speciali. Quando si progettano tali molle, è necessario essere in grado di calcolare le sollecitazioni maggiori (per prove di resistenza) e determinare la deformazione della molla (il suo allungamento o deflessione). Il calcolo esatto delle molle elicoidali è piuttosto complicato, poiché il materiale della molla subisce contemporaneamente torsione, taglio, flessione e tensione.

Una molla a passo fine è quella in cui l'angolo tra il piano perpendicolare all'asse della molla e il piano della bobina non supera i 14º.

Lascia che la molla elicoidale venga allungata (o compressa) dalle forze F, ha un diametro medio D= 2R e fatto di filo con un diametro D(Fig. 10.9, a). Per determinare le forze interne nella molla, utilizziamo il metodo della sezione.

Riso. 10.9. Schema di una molla elicoidale con piccolo passo delle spire

La parte superiore della molla (Fig. 10.9, b) sarà in equilibrio sotto l'azione di una forza esterna F e forze interne nella sezione disegnata della barra, che possono essere rappresentate dalla somma della forza F e coppia M cr.

Assumendo l'angolo di inclinazione della bobina, possiamo trascurare gli altri fattori di forza (forza longitudinale e momento flettente). Il materiale della molla è soggetto a taglio e torsione.

La forza provoca sollecitazioni di taglio nella sezione trasversale, determinate dalla formula

Consideriamo che le sollecitazioni di taglio siano distribuite uniformemente sulla sezione (Fig. 10.9, d).

Le massime sollecitazioni di taglio da torsione sono:

La distribuzione delle sollecitazioni di taglio da torsione è mostrata in fig. 10.9, c.

Il punto pericoloso sul contorno della sezione è il punto UN, in cui le direzioni degli sforzi di taglio coincidono. Pertanto le massime sollecitazioni di taglio sono:

Poiché in pratica l'azione viene spesso trascurata.

Condizione di resistenza per molle di piccola curvatura (calcolo approssimativo):

Condizione di resistenza per molle di piccola curvatura:

Dalle formule per determinare ne consegue l'aumento del diametro della molla D riduce la sua resistenza e un aumento del diametro del filo D- aumenta.

Nel determinare la deformazione della molla prenderemo in considerazione solo la torsione delle spire.

Viene chiamata la variazione della lunghezza della molla lungo l'asse sotto l'azione di un carico esterno insediamento primaverile λ

Dove N- numero di giri;

Gè il modulo di taglio.

Dipendenza dall'insediamento λ dal carico assiale F chiamato caratteristiche primaverili. Le molle convenzionali hanno una caratteristica lineare.

Uno sforzo F, in corrispondenza del quale lo spostamento λ uguale a uno (1 m), si chiama tasso di primavera con, che è determinato dalla formula

la dimensione della rigidezza è kN/m.

Quindi, aumentando il numero di turni N e diametro della molla D riduce la rigidità della molla, aumentando il diametro del filo D aumenta la rigidità della molla.

Esempio di calcolo

Compito 1. Per un dato circuito (Fig. 10.10, a) determinare il valore M e costruire un diagramma di coppia.

Soluzione.

1. Utilizzando il metodo delle sezioni su ciascuna sezione dell'albero, determiniamo il valore della coppia.

Riso. 10.10. Diagramma dell'albero per il tracciamento

coppia

1a sezione. Considera l'equilibrio della parte tagliata sinistra dell'albero. Facciamo un'equazione di equilibrio:

Nella prima sezione ha un valore negativo, poiché ruota in senso orario dal lato della normale esterna alla parte tagliata.

2a sezione:

3a sezione:

Dall'altro lato:

2. La trama, tenendo conto dei segni, è costruita in fig. 10.10, b.

Compito 2. Diametro dell'albero tondo D= 40 mm di torsione in pochi istanti M 1 = 0,6 kNm, M 2 = 1,2 kNm e M 3 \u003d 0,8 kNm (Fig. 10.11, a). Controllare la resistenza dell'albero e determinare l'angolo di torsione assoluto della sezione terminale se [ τ ] = 80MPa, G= = 8×10 4 MPa.

Riso. 10.11. Schema di un albero a sezione circolare

Soluzione.

1. Utilizzando il metodo delle sezioni, costruiamo un diagramma delle coppie (Fig. 10.11, b).

2. Determinare le caratteristiche geometriche della sezione trasversale dell'albero:

3. Controllare la resistenza dell'albero:

4. Determinare l'angolo di torsione assoluto della sezione finale:

Compito 3. Tracciare gli angoli di torsione per un albero a gradini in acciaio caricato come mostrato in fig. 10.12, a. G= = 8×10 4 MPa.

Soluzione.

1. Determinare le caratteristiche geometriche delle sezioni di ciascuna fase del pozzo:

Riso. 10.12. Diagramma dell'albero a gradini

2. Costruiamo un diagramma delle coppie (Fig. 10.12, b).

3. Determiniamo gli angoli di torsione nelle sezioni caratteristiche dell'albero con la formula

Mostrato in fig. 10.12, c.

Compito 4. Determinare i diametri interno ed esterno di un albero cavo in acciaio che trasmette potenza N= 100 kW e rotante con velocità angolare ω = 80 rad/s se [ τ ] = 60MPa; α = D/D = 0,6, [ θ ] = 45×10 –4 rad/m, G= 8×10 4MPa.

Soluzione.

1. Determinare la coppia sull'albero:

2. Dalla condizione di resistenza, determiniamo il momento di resistenza della sezione dell'albero:

3. Determinare il diametro esterno dell'albero dalla condizione di rigidezza:

4. Accetta D= 80 millimetri, D= 48 mm.

Compito 5. Il diametro dell'albero 90 mm trasmette potenza N= 80kW. Determinare il numero massimo di giri dell'albero, se [ τ ] = 60MPa.

Soluzione.

1. Determinare il momento resistente della sezione trasversale dell'albero:

2. Dalla condizione di resistenza, determiniamo la coppia sull'albero:

3. Determinare il numero massimo di giri dell'albero:

Compito 6. Quale potenza può essere trasmessa da un albero rotante con potenza angolare ω = 20 rad/s, diametro D= 100 mm alla tensione ammissibile [ τ ] = 60 MPa e angolo di torsione consentito
[θ ] = 45 × 10 –4 rad/m. Modulo di taglio G= 8 × 10 4 MPa.

Soluzione.

1. Determinare le caratteristiche geometriche della sezione trasversale dell'albero:

2. La potenza trasmessa dall'albero è determinata dalla formula

3. Dalla condizione di forza abbiamo:

Dalla condizione di rigidità:

Accettare

Compito 7. D= 6 mm, ha N= 10 giri. Diametro della molla D= 66 mm. La molla è allungata da forze assiali F= 300 N. Controllare la resistenza della molla se [ τ ] = 240MPa. Determinare l'allungamento e la rigidezza della molla e l'energia potenziale accumulata.
G= 8 × 10 4 MPa.

Soluzione.

1. Determinare il fattore di correzione:

2. Determiniamo le tensioni tangenziali derivanti nelle sezioni trasversali della barra a molla:

3. Determinare l'allungamento della molla sotto l'azione di un carico esterno:

4. Determinare la rigidezza della molla:

5. Determinare l'energia potenziale di deformazione:

Compito 8. Una molla elicoidale in acciaio viene compressa da forze assiali F(Fig. 10.13). La molla è avvolta da un filo di diametro D= 5 mm, in incrementi T= 10 mm e ha un diametro D= 30 mm. Determinare il significato delle forze F, al quale verrà raggiunto il suo pescaggio massimo. G= 8 × 10 4 MPa.

Riso. 10.13. Schema di una molla compressa da forze assiali

Soluzione.

1. Annotiamo lo stato della rigidezza della molla sotto compressione:

2. Determinare il valore limite delle forze F:

10.7. Compiti per una soluzione indipendente

Compito 9. Per un dato schema di carico dell'albero (Fig. 10.14), costruire un diagramma delle coppie.

Riso. 10.14. Diagramma dell'albero per tracciare le coppie

Compito 10. Per un dato albero a gradini (Fig. 10.15), tracciare le coppie.

Riso. 10.15. Schema di un albero a gradini per la trama

coppia

Compito 11. Ad un albero di sezione trasversale costante con diametro D= 50 mm (Fig. 10.16) vengono applicati momenti M 1 = 1 kNm, M 2 = 0,2 kNm, M 3 = 0,4 kNm e M 4 = 0,4 kNm. Controllare la resistenza dell'albero se [ τ ] = 60MPa. Determinare l'angolo totale di torsione se G= 8 × 10 4 MPa.

Riso. 10.16. Schema di un albero a sezione trasversale costante

Compito 12. Molla cilindrica in filo di acciaio di diametro D= 5 mm, allungato dalle forze F= 400 N. Diametro molla D= 30 mm. Controllare la forza della molla se [ τ ] = 500MPa. Determina il numero di giri della molla in corrispondenza del quale si allunga di 40 mm. G= 8 × 10 4 MPa.

Compito 13. Determinare il diametro del filo richiesto della molla elicoidale per il carico assiale F= 1,2 kN se D/D= 6 e [ τ ] = 500MPa.

Compito 14. Per un dato schema di carico (Fig. 10.17), determinare i diametri del filo per entrambe le molle se D 1 /D 1 = D 2 /D 2 = 8 e [ τ ] = = 600MPa.

Riso. 10.17. Schema di una trave sospesa su due molle

10.8. Domande di controllo

1. Che tipo di carico si chiama torsione?

2. Cos'è chiamato albero? Cos'è la coppia?

3. Quali deformazioni si verificano durante la torsione?

4. Quali fattori di forza interni si verificano durante la torsione?

5. Derivare una formula per determinare le sollecitazioni nella sezione trasversale di un albero tondo ritorto.

6. Derivare formule per determinare gli angoli di torsione relativi e totali di un albero tondo.

7. Cos'è un diagramma di coppia e come è costruito?

8. Come viene distribuito lo sforzo di taglio durante la torsione? Qual è la tensione al centro della sezione trasversale circolare?

9. Scrivere una formula per calcolare la sollecitazione sulla superficie dell'albero durante la torsione. Come cambierà la tensione se il diametro dell'albero raddoppia?

10. Qual è il calcolo della resistenza alla torsione?

11. Qual è il calcolo della rigidezza torsionale?

12. Perché, a parità di resistenza e rigidità, un albero anulare è più leggero di un albero tondo pieno?

13. Come calcolare l'energia potenziale di deformazione accumulata da un albero durante la torsione?

14. Calcolo degli alberi staticamente indeterminati.

15. Calcolo delle molle cilindriche con un piccolo passo di spire. Cos'è l'assestamento e la rigidezza della molla, come vengono determinati?

Resistenza complessa

A differenza delle aste rotonde precedentemente considerate, la torsione delle aste di forma trasversale non circolare presenta alcune peculiarità. Il principale è deplanazione. Questo è il fenomeno per cui le sezioni cessano di essere piatte, deplanate. Le formule basate sull'ipotesi delle sezioni piane perdono la loro forza. Ci sono stress normali.

Distinguere tra torsione libera e vincolata. Gratuito chiamata tale torsione, in cui la deformazione è costante lungo la lunghezza dell'asta e può essere caratterizzata dall'entità dello spostamento nella direzione assiale. Si chiama torsione di una barra, nella quale cambia la deformazione della sezione lungo la lunghezza della barra torsione vincolata. In questo caso si verifica un tipo speciale di forza interna: un bimomento che influenza la distribuzione delle sollecitazioni normali e di taglio sulla sezione.

Le aste con sezione trasversale non circolare possono essere diverse (Fig. 11.1).

Riso. 11.1. Aste con sezione trasversale non circolare: a) a pareti spesse; b) profilo chiuso e aperto a pareti sottili

pareti spesse dette aste aventi dimensioni dei vari elementi della sezione commisurate alle dimensioni della sezione stessa. La deformazione delle aste a pareti spesse ha un carattere complesso, i problemi di torsione di tali aste sono risolti analiticamente o numericamente mediante metodi della teoria dell'elasticità.

a pareti sottili chiamate aste, in cui la lunghezza del contorno della sezione trasversale è molto maggiore dello spessore della sezione.

Il calcolo delle barre a pareti sottili di profilo aperto e chiuso per torsione vincolata è studiato nella teoria delle barre a pareti sottili, sviluppata dal prof. V.Z. Vlasov.

La soluzione al problema della torsione libera delle aste di sezione trasversale non circolare è stata ottenuta da Saint-Venant.

Torsione sezione trasversale rettangolare la sollecitazione maggiore si verifica nella parte centrale del lato lungo del circuito (Fig. 11.2). Per calcolarlo si utilizza la formula (11.1).

Qui W t =αhb 2- momento resistenza alla torsione, α è il coefficiente di Saint-Venant, H E B dimensioni di una sezione rettangolare (Fig. 11.2).

Angolo di torsione della lunghezza della sezione di carico l con una forza interna costante si trova dalla formula (11.2)

Qui I t \u003d βhb 3- momento di inerzia durante la torsione, β è il coefficiente di Saint-Venant.

Ep. τ[MPa]

Riso. 11.2. Diagramma delle tensioni di taglio

I coefficienti di Saint-Venant α, β, γ sono determinati utilizzando la Tabella 11.1 in funzione del rapporto h/b.

Tabella 11.1

h/b
α	0,208	0,246	0,267	0,282	0,299	0,307	0,313	0,333
β	0,140	0,229	0,263	0,281	0,299	0,307	0,312	0,333
γ	1,000	0,795	0,753	0,745	0,743	0,742	0,742	0,742

Il calcolo di varie sezioni trasversali non circolari per resistenza e rigidezza viene effettuato in modo simile a quello descritto nella lezione precedente. Con l'aiuto delle condizioni di resistenza e rigidità, vengono risolti i problemi per selezionare le dimensioni della sezione trasversale, determinare il carico ammissibile e verificare l'adempimento delle condizioni. A seconda del profilo della sezione trasversale, le caratteristiche geometriche della sezione trasversale vengono determinate in modo diverso, comparendo nelle formule per il calcolo delle tensioni e degli spostamenti. (Vedi queste formule da solo nel libro di testo).

Risoluzione di problemi staticamente indeterminati nella torsione. I problemi di torsione dell'asta sono staticamente indeterminato, se le coppie derivanti dalle sezioni trasversali dell'asta non possono essere determinate utilizzando solo le equazioni di equilibrio. Per risolvere tali problemi è necessario considerare lo stato deformato dell'asta attorcigliata. L'algoritmo di soluzione è simile a quello descritto nell'argomento tensione-compressione assiale.

Nel caso di una rigidità costante dell'asta, è conveniente utilizzare il metodo dei parametri iniziali per risolvere problemi staticamente indeterminati (leggi tu stesso questo metodo).

Le attività possono essere staticamente indeterminate più volte. Consideriamo i problemi una volta staticamente indeterminati.

Riso. 11.3. Barre staticamente indeterminate in torsione

a) Dimostrazione di indeterminatezza statica

∑ mX = 0; MA - M + MV nst

Lo spostamento (angolo di torsione) del punto B (terminazione rigida) è impossibile, quindi questo movimento può essere rappresentato come la somma degli angoli di torsione delle sezioni di carico φ B =φ Io+φ II = 0 (2).

M t = cost può essere rappresentato come: (3). Sostituire (3) in (2): . (4)

Scriviamo le equazioni dei momenti torcenti sulle sezioni del carico, considerando l'equilibrio del lato destro contenente la reazione di supporto MV: Mt,io = MV- cost, Mt, II = MV - M– cost. Se le rigidezze sulle sezioni del carico sono uguali, l'equazione (4) assumerà la forma:

M IN

b) Divulgazione dell'indeterminatezza statica

1. Considera il lato statico del problema

Facciamo un'equazione di equilibrio:

∑ mX = 0; MA + ml – MV = 0 (1), troviamo il grado di incertezza statica come differenza tra le reazioni di vincolo incognite e il numero di equazioni statiche nst = 2 – 1 = 1 – il problema una volta è staticamente indeterminato ed è necessaria un’altra equazione per rivelare l’indeterminatezza statica.

2. Considera il lato geometrico del problema

Spostamento (angolo di torsione) di un punto IN(terminazione rigida) è impossibile, allora questo movimento può essere rappresentato come la somma degli angoli di torsione delle sezioni di carico φ B =φ io= 0 (2).

3. Considera il lato fisico del problema

L'angolo di torsione sulla lunghezza della sezione di carico, dove Mt descritto da un'equazione lineare può essere rappresentato come:

(3). Sostituire (3) in (2): . (4)

Scriviamo l'equazione dei momenti torcenti sulla sezione del carico, considerando l'equilibrio del lato destro contenente la reazione di supporto MV: Mt, I = - Ì В + mx, sostituiamo l’equazione della forza interna nella (4):

Risolviamo l'equazione risultante per un'incognita M IN . Inoltre il problema è risolto come staticamente determinato.

Calcolo delle aste in torsione secondo lo stato limite. Consideriamo la distribuzione delle sollecitazioni di taglio nella sezione trasversale di un'asta rotonda realizzata in materiale elasto-plastico, obbedendo al diagramma di Prandtl idealizzato (Fig. 11.4).

Riso. 11.4. Diagramma Prandtl

τ massimo < τS τ massimo = τ S. τ Sτ S

M t = τ s Wρ Nucleo elastico Cerniera in plastica

(M t lim)

Riso. 11.5. Distribuzione degli sforzi di taglio nella sezione trasversale

Ad angoli di taglio γ ≤ γ S il materiale obbedisce alla legge di Hooke, cioè τ = Gγ, per γ = γ S lo sforzo di taglio raggiunge il limite di snervamento τ S, per γ > γ S il materiale "scorre" ad una tensione costante τ = τ S. Ciò pone fine alla fase di lavoro puramente elastica (Fig. 11.5 b) e il momento raggiunge un valore pericoloso. Con un ulteriore aumento della coppia il diagramma delle sollecitazioni assume la forma mostrata in Fig. 11,5 c. All'aumentare della coppia, il nucleo elastico diminuisce, e la fluidità del materiale si manifesta su tutta la sezione, si verifica uno stato di equilibrio limite, corrispondente alla massima portanza dello stelo. Per una sezione circolare solida nel caso mostrato in fig. 11. 5 g, la capacità di carico dell'asta risulta aumentata del 33% rispetto alla capacità di carico calcolata per la situazione mostrata in fig. 11.5