La differenza tra le basi di un trapezio. Trapezio

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Argomento della lezione

Trapezio

Obiettivi della lezione

Continuare a introdurre nuove definizioni in geometria;
Consolidare la conoscenza delle forme geometriche già studiate;
Introdurre la formulazione e la dimostrazione delle proprietà di un trapezio;
Insegnare l'uso delle proprietà di varie figure nella risoluzione di problemi e nell'esecuzione di compiti;
Continuare a sviluppare l'attenzione, il pensiero logico e il discorso matematico degli studenti;
Coltivare l'interesse per l'argomento.

Obiettivi della lezione

Suscitare interesse per la conoscenza della geometria;
Continuare ad esercitare gli studenti nella risoluzione dei problemi;
Suscitare interesse cognitivo per le lezioni di matematica.

Piano di lezione

1. Ripeti il ​​materiale studiato in precedenza.
2. Conoscenza del trapezio, delle sue proprietà e caratteristiche.
3. Risolvere problemi e completare compiti.

Ripetizione di materiale precedentemente studiato

Nella lezione precedente hai conosciuto una figura come un quadrilatero. Consolidiamo il materiale trattato e rispondiamo alle domande poste:

1. Quanti angoli e lati ha un quadrilatero?
2. Formulare la definizione di 4-gon?
3. Qual è il nome dei lati opposti del 4-gon?
4. Quali tipi di quadrangoli conosci? Elencarli e definirli ciascuno.
5. Disegna un esempio di quadrilatero convesso e non convesso.

Trapezio. Proprietà generali e definizione

Un trapezio è una figura quadrangolare in cui solo una coppia di lati opposti è parallela.

Nella definizione geometrica, un trapezio è un quadrilatero che ha due lati paralleli, mentre gli altri due no.

Il nome di una figura così insolita come "trapezio" deriva dalla parola "trapezion", che, tradotta dal greco, significa la parola "tavolo", da cui hanno avuto origine anche la parola "pasto" e altre parole correlate.

In alcuni casi in un trapezio, una coppia di lati opposti è parallela, mentre l'altra coppia non è parallela. In questo caso il trapezio è detto curvilineo.

Elementi a trapezio

Il trapezio è costituito da elementi come la base, le linee laterali, la linea mediana e la sua altezza.

La base di un trapezio si chiama lati paralleli;
I lati laterali si chiamano gli altri due lati del trapezio, che non sono paralleli;
La linea mediana di un trapezio è un segmento che collega i punti medi dei suoi lati;
L'altezza di un trapezio è la distanza tra le sue basi.

Tipi di trapezio

Esercizio:

1. Formulare la definizione di trapezio isoscele.
2. Quale trapezio è chiamato rettangolare?
3. Cosa significa un trapezio ad angolo acuto?
4. Quale trapezio è ottuso?

Proprietà generali di un trapezio

Innanzitutto la linea mediana del trapezio è parallela alla base della figura ed è uguale alla sua semisomma;

In secondo luogo, il segmento che collega i punti medi delle diagonali di una figura a 4 angoli è uguale alla semidifferenza delle sue basi;

In terzo luogo, in un trapezio, le linee parallele che intersecano i lati dell'angolo di una data figura tagliano segmenti proporzionali dai lati dell'angolo.

In quarto luogo, in qualsiasi tipo di trapezio, la somma degli angoli adiacenti al suo lato è 180°.

Dove altro c'è un trapezio?

La parola "trapezio" è presente non solo in geometria, ma ha un'applicazione più ampia nella vita di tutti i giorni.

Possiamo imbatterci in questa parola insolita guardando gare sportive di ginnasti che eseguono esercizi acrobatici sul trapezio. Nella ginnastica, un trapezio è chiamato attrezzatura sportiva, che consiste in una traversa sospesa su due corde.

Puoi anche sentire questa parola mentre ti alleni in palestra o tra le persone impegnate nel bodybuilding, poiché il trapezio non è solo una figura geometrica o un apparato acrobatico sportivo, ma anche potenti muscoli della schiena che si trovano dietro il collo.

La figura mostra un trapezio aereo, inventato per gli acrobati circensi dall'artista Julius Leotard nel diciannovesimo secolo in Francia. Inizialmente, il creatore di questo numero ha posizionato il suo proiettile a un'altezza bassa, ma alla fine è stato spostato proprio sotto la cupola del circo.

Gli acrobati nel circo eseguono acrobazie di voli da trapezio a trapezio, eseguono voli incrociati, fanno capriole in aria.

Negli sport equestri, il trapezio è un esercizio di stretching o allungamento del corpo del cavallo, che è molto benefico e piacevole per l'animale. Durante la posizione del cavallo nella posizione trapezoidale, funziona l'allungamento delle gambe dell'animale o dei muscoli della schiena. Possiamo osservare questo bellissimo esercizio durante l'arco o il cosiddetto "front crunch", quando il cavallo si piega profondamente.

Compito: fornisci i tuoi esempi di dove altro nella vita di tutti i giorni puoi sentire le parole "trapezio"?

Sapevi che per la prima volta nel 1947, il famoso stilista francese Christian Dior realizzò una sfilata di moda in cui c'era la silhouette di una gonna a trapezio. E sebbene siano passati più di sessant'anni, questa silhouette è ancora di moda e non perde la sua rilevanza fino ad oggi.

Nel guardaroba della regina inglese, la gonna a trapezio è diventata un capo indispensabile e il suo segno distintivo.

Ricorda la forma geometrica di un trapezio, la gonna con lo stesso nome si abbina bene a qualsiasi camicetta, camicetta, top e giacca. Lo stile classico e democratico di questo stile popolare ti permette di indossarlo con giacche rigorose e top leggermente frivoli. Con una gonna del genere sarebbe opportuno apparire sia in ufficio che in discoteca.

Problemi con un trapezio

Per facilitare la risoluzione dei problemi con i trapezi, è importante ricordare alcune regole fondamentali:

Innanzitutto, disegna due altezze: BF e CK.

In uno dei casi, come risultato otterrai un rettangolo - ВСФК da cui è chiaro che FC=BC.

AD=AF+FK+KD, quindi AD=AF+BC+KD.

Inoltre è subito evidente che ABF e DCK sono triangoli rettangoli.

Un'altra opzione è possibile quando il trapezio non è del tutto standard, dove

AD=AF+FD=AF+FK–DK=AF+BC–DK.

Ma l'opzione più semplice è se il nostro trapezio è isoscele. Allora diventa ancora più semplice risolvere il problema, perché ABF e DCK sono triangoli rettangoli e sono uguali. AB = CD, poiché il trapezio è isoscele, e BF = CK, poiché l'altezza del trapezio. Dall'uguaglianza dei triangoli segue l'uguaglianza dei lati corrispondenti.

FGKOU "MKK" Collegio del Ministero della Difesa della Federazione Russa "

"APPROVARE"

Responsabile di una disciplina separata

(matematica, informatica e ICT)

Yu.V.Krylova _____________

"___" _____________ 2015

« Trapezio e sue proprietà»

Sviluppo metodico

insegnante di matematica

Shatalina Elena Dmitrievna

Considerato e

alla riunione del PMO del _______________

Protocollo n.______

Mosca

2015

Sommario

Introduzione 2

Definizioni 3

Proprietà di un trapezio isoscele 4

Cerchi inscritti e circoscritti 7

Proprietà dei trapezi inscritti e circoscritti 8

Valori medi in un trapezio 12

Proprietà di un trapezio arbitrario 15

Segni di un trapezio 18

Costruzioni aggiuntive in un trapezio 20

Area del trapezio 25

10. Conclusione

Bibliografia

Applicazione

Dimostrazioni di alcune proprietà di un trapezio 27

Compiti per lavoro indipendente

Compiti sull'argomento "Trapezio" di maggiore complessità

Test di verifica sul tema "Trapezio"

introduzione

Quest'opera è dedicata a una figura geometrica chiamata trapezio. "Una cifra ordinaria", dici, ma non lo è. Contiene molti segreti e misteri, se guardi da vicino e approfondisci il suo studio, scoprirai molte cose nuove nel mondo della geometria, i compiti che non sono stati risolti prima ti sembreranno facili.

Trapezio - la parola greca trapezion - "tavolo". Prestiti. nel XVIII secolo dal lat. lang., dove trapezio è greco. È un quadrilatero con due lati opposti paralleli. Il trapezio viene trovato per la prima volta dall'antico scienziato greco Posidonio (II secolo a.C.). Ci sono molte figure diverse nella nostra vita. In seconda media abbiamo conosciuto da vicino il triangolo, in terza media, secondo il curriculum scolastico, abbiamo iniziato a studiare il trapezio. Questa cifra ci interessava, e nel libro di testo si scrive incredibilmente poco al riguardo. Pertanto, abbiamo deciso di prendere in mano la questione e trovare informazioni sul trapezio. le sue proprietà.

L'articolo discute le proprietà familiari agli alunni del materiale trattato nel libro di testo, ma in misura maggiore le proprietà sconosciute necessarie per risolvere problemi complessi. Maggiore è il numero di compiti da risolvere, maggiori saranno le domande che sorgono durante la loro risoluzione. La risposta a queste domande a volte sembra un mistero, apprendendo nuove proprietà del trapezio, metodi insoliti per risolvere i problemi, nonché la tecnica delle costruzioni aggiuntive, scopriamo gradualmente i segreti del trapezio. Su Internet, se ottieni un punteggio in un motore di ricerca, c'è pochissima letteratura sui metodi per risolvere i problemi sull'argomento "trapezio". Nel processo di lavoro sul progetto, è stata trovata una grande quantità di informazioni che aiuteranno gli alunni nello studio approfondito della geometria.

Trapezio.

Definizioni

Trapezio Un quadrilatero con una sola coppia di lati paralleli (e l'altra coppia di lati non paralleli).

I lati paralleli di un trapezio si chiamano motivi. Gli altri due sono i lati .
Se i lati sono uguali si chiama trapezio isoscele.

Si chiama trapezio il cui lato ha gli angoli retti rettangolare.

Si chiama il segmento che collega i punti medi dei latilinea mediana del trapezio.

La distanza tra le basi si chiama altezza del trapezio.

2 . Proprietà del trapezio isoscele

3. Le diagonali di un trapezio isoscele sono uguali.

4

1
0. La proiezione del lato laterale di un trapezio isoscele sulla base maggiore è uguale alla semidifferenza delle basi, e la proiezione della diagonale è uguale alla somma delle basi.

3. Cerchio inscritto e circoscritto

Se la somma delle basi di un trapezio è uguale alla somma dei lati allora in esso è inscritto un cerchio.

E
Se il trapezio è isoscele gli si può circoscrivere un cerchio.

4 . Proprietà dei trapezi inscritti e circoscritti

2. Se un cerchio può essere inscritto in un trapezio isoscele, allora

la somma delle lunghezze delle basi è uguale alla somma delle lunghezze dei lati. Pertanto la lunghezza del lato laterale è uguale alla lunghezza della linea mediana del trapezio.

4 . Se un cerchio è inscritto in un trapezio, i lati dal suo centro sono visibili con un angolo di 90 °.

E se in un trapezio è inscritta una circonferenza, che tocca uno dei lati, lo divide in segmenti M e n , allora il raggio del cerchio inscritto è uguale alla media geometrica di questi segmenti.

1

0 . Se il cerchio è costruito sulla base minore del trapezio come diametro, passa per i punti medi delle diagonali e tocca la base inferiore, allora gli angoli del trapezio sono 30°, 30°, 150°, 150°.

5. Valori medi in un trapezio

media geometrica

In qualsiasi trapezio con basi UN E B Per UN > Bla disuguaglianza :

b˂h˂g˂m˂s˂a

6. Proprietà di un trapezio arbitrario

1
. I punti medi delle diagonali del trapezio e i punti medi dei lati giacciono sulla stessa retta.

2. Le bisettrici degli angoli adiacenti a uno dei lati del trapezio sono perpendicolari e si intersecano in un punto che giace sulla linea mediana del trapezio, cioè, quando si intersecano, si forma un triangolo rettangolo con l'ipotenusa uguale al lato.

3. I segmenti di una retta parallela alle basi di un trapezio, che interseca i lati e le diagonali del trapezio, racchiusi tra il lato della diagonale, sono uguali.

Il punto di intersezione del prolungamento dei lati di un trapezio arbitrario, il punto di intersezione delle sue diagonali e i punti medi delle basi giacciono su una linea retta.

5. Quando le diagonali di un trapezio arbitrario si intersecano, si formano quattro triangoli con un vertice comune, e i triangoli adiacenti alle basi sono simili, e i triangoli adiacenti ai lati sono uguali (cioè hanno aree uguali).

6. La somma dei quadrati delle diagonali di un trapezio arbitrario è uguale alla somma dei quadrati dei lati, sommata al doppio del prodotto delle basi.

D 1 2 + D 2 2 = C 2 + D 2 + 2 ab

7
. In un trapezio rettangolo la differenza dei quadrati delle diagonali è uguale alla differenza dei quadrati delle basi D 1 2 - D 2 2 = UN 2 – B 2

8 . Le linee rette che intersecano i lati dell'angolo tagliano segmenti proporzionali dai lati dell'angolo.

9. Un segmento parallelo alle basi e passante per il punto di intersezione delle diagonali viene diviso da quest'ultimo a metà.

7. Segni di un trapezio

8 . Costruzioni aggiuntive in un trapezio

1. Il segmento che collega i punti medi dei lati è la linea mediana del trapezio.

2
. Segmento parallelo ad uno dei lati di un trapezio, una delle cui estremità coincide con il punto medio dell'altro lato, l'altra appartiene alla retta contenente la base.

3
. Dati tutti i lati di un trapezio, per il vertice della base minore si traccia una retta parallela al lato laterale. Risulta un triangolo con i lati uguali ai lati del trapezio e alla differenza delle basi. Secondo la formula di Erone, si trova l'area del triangolo, quindi l'altezza del triangolo, che è uguale all'altezza del trapezio.

4

. L'altezza di un trapezio isoscele, tracciato dal vertice della base minore, divide la base maggiore in segmenti, uno dei quali è uguale alla semidifferenza delle basi, e l'altro alla semisomma delle basi dei trapezio, cioè la linea mediana del trapezio.

5. Le altezze del trapezio, abbassate dai vertici di una base, si tagliano su una retta contenente l'altra base, segmento uguale alla prima base.

6
. Un segmento parallelo a una delle diagonali di un trapezio passa attraverso un vertice, un punto che è l'estremità di un'altra diagonale. Il risultato è un triangolo con due lati uguali alle diagonali del trapezio e il terzo uguale alla somma delle basi

7
.Il segmento che collega i punti medi delle diagonali è uguale alla semidifferenza delle basi del trapezio.

8. Le bisettrici degli angoli adiacenti ad uno dei lati del trapezio, sono perpendicolari e si intersecano in un punto che giace sulla linea mediana del trapezio, cioè, quando si intersecano, si forma un triangolo rettangolo con l'ipotenusa uguale a lato.

9. La bisettrice dell'angolo di un trapezio taglia un triangolo isoscele.

1
0. Le diagonali di un trapezio arbitrario all'intersezione formano due triangoli simili con un coefficiente di somiglianza pari al rapporto tra le basi e due triangoli uguali adiacenti ai lati.

1
1. Le diagonali di un trapezio arbitrario all'intersezione formano due triangoli simili con un coefficiente di somiglianza pari al rapporto tra le basi e due triangoli uguali adiacenti ai lati.

1
2. La continuazione dei lati del trapezio fino all'intersezione consente di considerare triangoli simili.

13. Se un cerchio è inscritto in un trapezio isoscele, viene disegnata l'altezza del trapezio: il prodotto medio geometrico delle basi del trapezio o il doppio del prodotto medio geometrico dei segmenti laterali in cui è diviso dal punto di contatto.

9. Area di un trapezio

1 . L'area di un trapezio è uguale al prodotto della metà della somma delle basi per l'altezza S = ½( UN + B) H O

P

L'area di un trapezio è uguale al prodotto della linea mediana del trapezio per l'altezza S = M H .

2. L'area di un trapezio è uguale al prodotto di un lato per una perpendicolare tracciata dal centro dell'altro lato alla linea contenente il primo lato.

L'area di un trapezio isoscele con il raggio del cerchio inscritto pari a Re angolo alla baseα :

10. Conclusione

DOVE, COME E A COSA SERVE UN TRAPEZIO?

Trapezio nello sport: il trapezio è sicuramente un'invenzione progressiva dell'umanità. È progettato per alleviare le nostre mani, rendere la camminata su un windsurf comoda e facile. Camminare su una tavola corta non ha alcun senso senza un trapezio, poiché senza di esso è impossibile distribuire correttamente la trazione tra i gradini e le gambe e accelerare efficacemente.

Trapezio nella moda: il trapezio negli abiti era popolare nel Medioevo, nell'epoca romanica dei secoli IX-XI. A quel tempo, la base dell'abbigliamento femminile erano le tuniche lunghe fino al pavimento, la tunica si espandeva notevolmente verso il basso, creando l'effetto di un trapezio. Il revival della silhouette ebbe luogo nel 1961 e divenne l'inno della giovinezza, dell'indipendenza e della raffinatezza. Un ruolo enorme nella divulgazione del trapezio è stato svolto dalla fragile modella Leslie Hornby, conosciuta come Twiggy. Una ragazza bassa, dal fisico anoressico e dagli occhi enormi, divenne il simbolo dell'epoca, e i suoi abiti preferiti erano abiti corti a trapezio.

Trapezio in natura: Il trapezio si trova anche in natura. Una persona ha un muscolo trapezio, in alcune persone il viso ha la forma di un trapezio. Anche i petali dei fiori, le costellazioni e ovviamente il Kilimangiaro hanno la forma di un trapezio.

Trapezio nella vita di tutti i giorni: Il trapezio viene utilizzato anche nella vita di tutti i giorni, perché la sua forma è pratica. Si trova in articoli come: benna dell'escavatore, tavolo, vite, macchina.

Il trapezio è un simbolo dell'architettura Inca. La forma stilistica dominante nell'architettura Inca è semplice ma aggraziata, il trapezio. Non ha solo un valore funzionale, ma anche un design artistico strettamente limitato. Porte, finestre e nicchie trapezoidali si trovano in edifici di tutti i tipi, sia nei templi che in edifici meno significativi, più rozzi, per così dire, edifici. Il trapezio si trova anche nell'architettura moderna. Questa forma di edificio è insolita, quindi tali edifici attirano sempre gli occhi dei passanti.

Trapezio in ingegneria: il trapezio viene utilizzato nella progettazione di parti nella tecnologia spaziale e nell'aviazione. Ad esempio, alcuni pannelli solari delle stazioni spaziali sono a forma trapezoidale perché hanno una vasta area, il che significa che accumulano più energia solare.

Nel 21° secolo, le persone quasi non pensano al significato delle forme geometriche nella loro vita. A loro non importa affatto che forma abbia il loro tavolo, i loro occhiali o il loro telefono. Scelgono semplicemente la forma pratica. Ma l'uso dell'oggetto, il suo scopo, il risultato dell'opera possono dipendere dalla forma di questa o quella cosa. Oggi vi abbiamo presentato una delle più grandi conquiste dell'umanità: il trapezio. Abbiamo aperto la porta al meraviglioso mondo delle figure, vi abbiamo raccontato i segreti del trapezio e abbiamo dimostrato che la geometria è ovunque intorno a noi.

Bibliografia

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Applicazione

1. Dimostrazione di alcune proprietà di un trapezio.

1. Una retta passante per il punto di intersezione delle diagonali di un trapezio parallela alle sue basi interseca i lati del trapezio nei puntiK E l . Dimostrarlo se le basi di un trapezio sono uguali UN E B , Quello lunghezza del segmento KL uguale alla media geometrica delle basi del trapezio. Prova

PermettereDI - punto di intersezione delle diagonali,ANNO DOMINI = un sole = B . Diretto KL parallelo alla baseANNO DOMINI , quindi,K DI║ ANNO DOMINI , triangoliIN K DI ECattivo simili, quindi

(1)

(2)

Sostituiamo (2) in (1), otteniamo KO=

Allo stesso modo LO= Allora K l = KO + LO =

IN rispetto a qualsiasi trapezio, i punti medi delle basi, il punto di intersezione delle diagonali e il punto di intersezione del prolungamento dei lati giacciono sulla stessa retta.

Dimostrazione: Lasciamo che i prolungamenti dei lati si intersechino in un puntoA. Attraverso il puntoA e puntoDI intersezioni diagonalitracciare una linea retta KO.

K

Mostriamo che questa linea divide le basi a metà.

DI designareVM = x, MS = sì, UN = E, ND = v . Abbiamo:

∆ VKM ~ ∆AKN →

M

X

B

C

Y

∆ MK C ~ ∆NKD → →

- (Trapezio greco). 1) nella geometria di un quadrilatero, in cui due lati sono paralleli, ma due no. 2) una figura adattata per esercizi ginnici. Dizionario delle parole straniere incluse nella lingua russa. Chudinov A.N., 1910. TRAPEZIA ... ... Dizionario delle parole straniere della lingua russa

Trapezio- Trapezio. TRAPEZIA (dal greco trapezio, letteralmente tavola), quadrilatero convesso in cui due lati sono paralleli (le basi di un trapezio). L'area di un trapezio è uguale al prodotto della metà della somma delle basi (linea mediana) e dell'altezza. … Dizionario enciclopedico illustrato

Quadrilatero, proiettile, traversa Dizionario dei sinonimi russi. trapezio n., numero di sinonimi: 3 traversa (21) ... Dizionario dei sinonimi

- (dal greco trapezio, letteralmente tavola), quadrilatero convesso in cui due lati sono paralleli (le basi di un trapezio). L'area di un trapezio è uguale al prodotto della metà della somma delle basi (linea mediana) e dell'altezza... Enciclopedia moderna

- (dalle lettere greche trapezio. tavola), un quadrilatero in cui due lati opposti, detti basi del trapezio, sono paralleli (AD e BC nella figura), e gli altri due non sono paralleli. La distanza tra le basi è chiamata altezza del trapezio (a ... ... Grande dizionario enciclopedico

TRAPEZIA Figura piana quadrangolare in cui due lati opposti sono paralleli. L'area di un trapezio è la metà della somma dei lati paralleli moltiplicata per la lunghezza della perpendicolare tra loro... Dizionario enciclopedico scientifico e tecnico

TRAPEZIA, trapezio, femmina. (dalla tavola greca trapeza). 1. Quadrilatero con due lati paralleli e due non paralleli (mat.). 2. Un attrezzo ginnico costituito da una traversa sospesa su due corde (sport.). Acrobatico… … Dizionario esplicativo di Ushakov

TRAPEZIA, e, mogli. 1. Un quadrilatero con due lati paralleli e due non paralleli. Basi di un trapezio (i suoi lati paralleli). 2. Un proiettile da circo o da ginnastica, una traversa sospesa su due cavi. Dizionario esplicativo di Ozhegov. CON … Dizionario esplicativo di Ozhegov

Femmina, geom. un quadrilatero con lati disuguali, di cui due postenici (paralleli). Un trapezio è un quadrilatero simile in cui tutti i lati sono separati. Trapezoedro, corpo tagliato da trapezi. Dizionario esplicativo di Dahl. IN E. Dal. 1863 1866 ... Dizionario esplicativo di Dahl

- (Trapezio), USA, 1956, 105 min. Melodramma. L'aspirante acrobata Tino Orsini entra nella compagnia circense, dove lavora Mike Ribble, un famoso trapezista del passato. Una volta Mike si esibì con il padre di Tino. Il giovane Orsini vuole Mike... ... Enciclopedia del cinema

Un quadrilatero con due lati paralleli e altri due lati non paralleli. Distanza tra lati paralleli. altezza T. Se i lati paralleli e l'altezza contengono a, b e h metri, allora l'area T. contiene metri quadrati ... Enciclopedia di Brockhaus ed Efron

Per sentirsi sicuri e risolvere con successo i problemi nelle lezioni di geometria, non è sufficiente imparare le formule. Prima devono essere compresi. Avere paura, e ancor più odiare le formule, è improduttivo. In questo articolo verranno analizzati vari modi per trovare l'area di un trapezio in un linguaggio accessibile. Per una migliore assimilazione delle regole e dei teoremi corrispondenti, presteremo una certa attenzione alle sue proprietà. Questo ti aiuterà a capire come funzionano le regole e in quali casi dovrebbero essere applicate determinate formule.

Definire un trapezio

Qual è questa cifra in generale? Un trapezio è un poligono con quattro angoli e due lati paralleli. Gli altri due lati del trapezio possono essere inclinati con angoli diversi. I suoi lati paralleli sono chiamati basi e per i lati non paralleli viene utilizzato il nome "lati" o "fianchi". Tali cifre sono abbastanza comuni nella vita di tutti i giorni. I contorni del trapezio possono essere visti nelle sagome di vestiti, oggetti interni, mobili, stoviglie e molti altri. Il trapezio può essere di diversi tipi: versatile, isoscele e rettangolare. Analizzeremo i loro tipi e proprietà in modo più dettagliato più avanti nell'articolo.

Proprietà del trapezio

Soffermiamoci brevemente sulle proprietà di questa figura. La somma degli angoli adiacenti a qualsiasi lato è sempre 180°. Va notato che la somma degli angoli di un trapezio è pari a 360°. Il trapezio ha il concetto di linea mediana. Se colleghi i punti medi dei lati con un segmento, questa sarà la linea mediana. È designato m. La linea di mezzo ha proprietà importanti: è sempre parallela alle basi (ricordiamo che le basi sono parallele anche tra loro) e uguale alla loro semisomma:

Questa definizione va appresa e compresa, perché è la chiave per risolvere tanti problemi!

Al trapezio, puoi sempre abbassare l'altezza alla base. Un'altitudine è una perpendicolare, spesso indicata con il simbolo h, che viene tracciata da qualsiasi punto su una base a un'altra base o alla sua estensione. La linea mediana e l'altezza ti aiuteranno a trovare l'area del trapezio. Tali compiti sono i più comuni nel corso di geometria scolastica e compaiono regolarmente tra le prove di controllo e di esame.

Le formule più semplici per l'area di un trapezio

Analizziamo le due formule più diffuse e semplici con cui trovare l'area di un trapezio. Basta moltiplicare l'altezza per la metà della somma delle basi per trovare facilmente quello che cerchi:

S = h*(a + b)/2.

In questa formula, a, b indicano le basi del trapezio, h - l'altezza. Per ragioni di leggibilità in questo articolo, i segni di moltiplicazione sono contrassegnati con il simbolo (*) nelle formule, sebbene nei libri di consultazione ufficiali il segno di moltiplicazione venga solitamente omesso.

Considera un esempio.

Dato: un trapezio con due basi pari a 10 e 14 cm, l'altezza è 7 cm Qual è l'area del trapezio?

Analizziamo la soluzione a questo problema. Usando questa formula, devi prima trovare la mezza somma delle basi: (10 + 14) / 2 \u003d 12. Quindi, la mezza somma è 12 cm Ora moltiplichiamo la mezza somma per l'altezza: 12 * 7 \u003d 84. Viene trovato il desiderato. Risposta: L'area di un trapezio è di 84 metri quadrati. cm.

La seconda formula ben nota dice: l'area di un trapezio è uguale al prodotto della linea mediana e dell'altezza del trapezio. Cioè, in realtà segue dal concetto precedente della linea di mezzo: S=m*h.

Utilizzo delle diagonali per i calcoli

Un altro modo per trovare l'area di un trapezio non è poi così difficile. È collegato con le sue diagonali. Secondo questa formula, per trovare l'area, è necessario moltiplicare il semiprodotto delle sue diagonali (d 1 d 2) per il seno dell'angolo compreso tra loro:

S = ½ d 1 d 2 peccato UN.

Consideriamo un problema che mostri l'applicazione di questo metodo. Dato: un trapezio con le diagonali lunghe rispettivamente 8 e 13 cm e l'angolo a tra le diagonali è 30°. Trova l'area del trapezio.

Soluzione. Utilizzando la formula sopra, è facile calcolare ciò che è richiesto. Come sai, il peccato 30° è 0,5. Pertanto, S = 8*13*0,5=52. Risposta: La superficie è di 52 mq. cm.

Cerchiamo l'area di un trapezio isoscele

Un trapezio può essere isoscele (isoscele). I suoi lati sono uguali e gli angoli alle basi sono uguali, il che è ben illustrato nella figura. Un trapezio isoscele ha le stesse proprietà di un trapezio normale, più alcune proprietà speciali. Ad un trapezio isoscele si può circoscrivere una circonferenza e in esso può essere inscritto un cerchio.

Quali sono i metodi per calcolare l'area di tale figura? Il metodo seguente richiederà molti calcoli. Per utilizzarlo è necessario conoscere i valori del seno (sin) e del coseno (cos) dell'angolo alla base del trapezio. I loro calcoli richiedono le tabelle Bradis o un calcolatore tecnico. Ecco la formula:

S= C*peccato UN*(UN - C* cos UN),

Dove Con- coscia laterale UN- angolo alla base inferiore.

Un trapezio isoscele ha le diagonali della stessa lunghezza. È vero anche il contrario: se le diagonali di un trapezio sono uguali, allora è isoscele. Da qui la seguente formula per trovare l'area di un trapezio: il semiprodotto del quadrato delle diagonali e il seno dell'angolo compreso tra loro: S = ½ d 2 sin UN.

Trovare l'area di un trapezio rettangolare

È noto un caso speciale di trapezio rettangolare. Questo è un trapezio, in cui un lato (la coscia) confina con le basi ad angolo retto. Ha le proprietà di un normale trapezio. Inoltre, ha una caratteristica molto interessante. La differenza dei quadrati delle diagonali di un tale trapezio è uguale alla differenza dei quadrati delle sue basi. Per questo vengono utilizzati tutti i metodi precedentemente indicati per il calcolo dell'area.

Applicare l'ingegno

C'è un trucco che può aiutare in caso di dimenticanza di formule specifiche. Diamo uno sguardo più da vicino a cos'è un trapezio. Se lo dividiamo mentalmente in parti, otterremo forme geometriche familiari e comprensibili: un quadrato o un rettangolo e un triangolo (uno o due). Se conosci l'altezza e i lati del trapezio, puoi utilizzare le formule per l'area di un triangolo e di un rettangolo, quindi sommare tutti i valori ottenuti.

Illustriamolo con il seguente esempio. Dato un trapezio rettangolo. Angolo C = 45°, angoli A, D sono 90°. La base superiore del trapezio è di 20 cm, l'altezza è di 16 cm È necessario calcolare l'area della figura.

Questa figura è ovviamente composta da un rettangolo (se due angoli sono 90°) e da un triangolo. Poiché il trapezio è rettangolare, quindi, la sua altezza è uguale al suo lato, cioè 16 cm: abbiamo un rettangolo con i lati rispettivamente di 20 e 16 cm. Consideriamo ora un triangolo il cui angolo è 45°. Sappiamo che uno dei suoi lati misura 16 cm, poiché questo lato è anche l'altezza del trapezio (e sappiamo che l'altezza cade sulla base ad angolo retto), quindi il secondo angolo del triangolo è di 90°. Quindi l'angolo rimanente del triangolo è 45°. Di conseguenza, otteniamo un triangolo isoscele rettangolo, in cui due lati sono uguali. Ciò significa che l'altro lato del triangolo è uguale all'altezza, cioè 16 cm. Resta da calcolare l'area del triangolo e del rettangolo e aggiungere i valori risultanti.

L'area di un triangolo rettangolo è uguale alla metà del prodotto delle sue gambe: S = (16*16)/2 = 128. L'area di un rettangolo è uguale al prodotto della sua larghezza e lunghezza: S = 20*16 = 320. Abbiamo trovato quello richiesto: l'area del trapezio S = 128 + 320 = 448 mq. vedi Puoi facilmente ricontrollare te stesso utilizzando le formule sopra, la risposta sarà identica.

Usiamo la formula Pick

Infine, presentiamo un'altra formula originale che aiuta a trovare l'area di un trapezio. Si chiama formula di prelievo. È conveniente usarlo quando il trapezio viene disegnato su carta a quadretti. Compiti simili si trovano spesso nei materiali del GIA. Sembra questo:

S \u003d M / 2 + N - 1,

in questa formula, M è il numero di nodi, cioè intersezioni delle linee della figura con le linee della cella ai bordi del trapezio (punti arancioni nella figura), N è il numero di nodi all'interno della figura (punti blu). È più comodo usarlo quando si trova l'area di un poligono irregolare. Tuttavia, maggiore è l’arsenale di tecniche utilizzate, minori saranno gli errori e migliori saranno i risultati.

Naturalmente, le informazioni fornite sono lungi dall'esaurire i tipi e le proprietà di un trapezio, nonché i metodi per trovarne l'area. Questo articolo fornisce una panoramica delle sue caratteristiche più importanti. Nella risoluzione dei problemi geometrici, è importante agire gradualmente, iniziare con formule e problemi semplici, consolidare costantemente la comprensione e passare a un altro livello di complessità.

Le formule più comuni messe insieme aiuteranno gli studenti a orientarsi tra i vari modi per calcolare l'area di un trapezio e prepararsi meglio per test e prove su questo argomento.