Risoluzione di equazioni intere e frazionarie. Come risolvere le equazioni con le frazioni

Equazioni frazionarie. ODZ.

Attenzione!
Ce ne sono altri
materiale nella Parte Speciale 555.
Per coloro che fortemente "non molto..."
E per chi "moltissimo...")

Continuiamo a padroneggiare le equazioni. Sappiamo già come lavorare con equazioni lineari e quadratiche. Rimane l'ultima vista equazioni frazionarie. Oppure sono anche chiamati molto più solidi - equazioni razionali frazionarie. È lo stesso.

Equazioni frazionarie.

Come suggerisce il nome, queste equazioni contengono necessariamente frazioni. Ma non solo frazioni, ma frazioni che hanno sconosciuto al denominatore. Almeno in uno. Per esempio:

Lascia che te lo ricordi, anche se solo ai denominatori numeri, queste sono equazioni lineari.

Come decidere equazioni frazionarie? Prima di tutto, sbarazzati delle frazioni! Successivamente, l'equazione, molto spesso, si trasforma in lineare o quadratica. E poi sappiamo cosa fare... In alcuni casi può trasformarsi in un'identità, come 5=5 o in un'espressione errata, come 7=2. Ma questo accade raramente. Di seguito lo citerò.

Ma come eliminare le frazioni!? Molto semplice. Applicando tutte le stesse identiche trasformazioni.

Dobbiamo moltiplicare l'intera equazione per la stessa espressione. In modo che tutti i denominatori diminuiscano! Tutto diventerà subito più semplice. Mi spiego con un esempio. Diciamo che dobbiamo risolvere l'equazione:

Come venivano insegnati alle elementari? Trasferiamo tutto in una direzione, lo riduciamo a un denominatore comune, ecc. Dimentica quanto è brutto il sogno! Questo è ciò che devi fare quando aggiungi o sottrai espressioni frazionarie. Oppure lavorare con le disuguaglianze. E nelle equazioni moltiplichiamo immediatamente entrambe le parti per un'espressione che ci darà l'opportunità di ridurre tutti i denominatori (cioè, in sostanza, per un denominatore comune). E qual è questa espressione?

Sul lato sinistro, per ridurre il denominatore, devi moltiplicare per x+2. E a destra è richiesta la moltiplicazione per 2. Quindi, l'equazione deve essere moltiplicata per 2(x+2). Moltiplichiamo:

Questa è la solita moltiplicazione delle frazioni, ma scriverò in dettaglio:

Tieni presente che non apro ancora la parentesi. (x+2)! Quindi, per intero, lo scrivo:

Sul lato sinistro è completamente ridotto (x+2) e a destra 2. Come richiesto! Dopo la riduzione otteniamo lineare l'equazione:

Chiunque può risolvere questa equazione! x = 2.

Risolviamo un altro esempio, un po' più complicato:

Se ricordiamo che 3 = 3/1, e 2x = 2x/ 1 può essere scritto:

E ancora una volta ci liberiamo di ciò che non ci piace davvero: dalle frazioni.

Vediamo che per ridurre il denominatore con x è necessario moltiplicare la frazione per (x-2). E le unità non sono un ostacolo per noi. Bene, moltiplichiamo. Tutto lato sinistro e Tutto lato destro:

Ancora parentesi (x-2) Non lo rivelo. Lavoro con la parentesi nel suo insieme, come se fosse un numero! Questo va fatto sempre, altrimenti non si riduce nulla.

Con un sentimento di profonda soddisfazione, tagliamo (x-2) e otteniamo l'equazione senza frazioni, in un righello!

E ora apriamo le parentesi:

Diamo quelli simili, trasferiamo tutto sul lato sinistro e otteniamo:

Ma prima impareremo a risolvere altri problemi. Per interesse. Quei rastrelli, comunque!

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Smirnova Anastasia Yurievna

Tipo di lezione: lezione imparando nuovo materiale.

Forma di organizzazione delle attività educative: frontale, individuale.

Lo scopo della lezione: introdurre un nuovo tipo di equazioni: equazioni razionali frazionarie, per dare un'idea dell'algoritmo per risolvere equazioni razionali frazionarie.

Obiettivi della lezione.

Esercitazione:

• formazione del concetto di equazione frazionaria razionale;
• considerare un algoritmo per risolvere equazioni razionali frazionarie, inclusa la condizione che la frazione sia uguale a zero;
• insegnare la soluzione delle equazioni razionali frazionarie secondo l'algoritmo.

Sviluppando:

• creare le condizioni per la formazione di competenze per applicare le conoscenze acquisite;
• promuovere lo sviluppo dell'interesse cognitivo degli studenti per la materia;
• sviluppare la capacità degli studenti di analizzare, confrontare e trarre conclusioni;
• sviluppo di capacità di controllo reciproco e autocontrollo, attenzione, memoria, discorso orale e scritto, indipendenza.

Coltivare:

• educazione all'interesse cognitivo nella materia;
• educazione all'indipendenza nella risoluzione dei problemi educativi;
• educazione della volontà e perseveranza per raggiungere i risultati finali.

Attrezzatura: libro di testo, lavagna, pastelli.

Libro di testo "Algebra 8". Yu.N.Makarychev, N.G.Mindyuk, K.I.Neshkov, S.B.Suvorov, a cura di S.A.Telyakovsky. Mosca "Illuminismo". 2010

Per questo argomento sono previste cinque ore. Questa lezione è la prima. La cosa principale è studiare l'algoritmo per risolvere equazioni razionali frazionarie ed elaborare questo algoritmo negli esercizi.

Durante le lezioni

1. Momento organizzativo.

Ciao ragazzi! Oggi vorrei iniziare la nostra lezione con una quartina:
Per rendere la vita più facile a tutti
Cosa si deciderebbe, cosa potrebbe,
Sorridi, buona fortuna a tutti
Non importa quali problemi
Ci siamo sorrisi, abbiamo creato il buon umore e abbiamo iniziato a lavorare.

Le equazioni sono scritte sulla lavagna, guardale attentamente. Riesci a risolvere tutte queste equazioni? Quali non lo sono e perché?

Le equazioni in cui i lati sinistro e destro sono espressioni razionali frazionarie sono chiamate equazioni razionali frazionarie. Cosa pensi che studieremo oggi nella lezione? Formulare l'argomento della lezione. Quindi, apriamo i quaderni e scriviamo l'argomento della lezione "Soluzione di equazioni razionali frazionarie".

2. Attualizzazione della conoscenza. Indagine frontale, lavoro orale con la classe.

E ora ripeteremo il materiale teorico principale di cui abbiamo bisogno per studiare un nuovo argomento. Per favore, rispondi alle seguenti domande:

1. Cos'è un'equazione? ( Uguaglianza con una o più variabili.)
2. Come si chiama l'equazione n. 1? ( Lineare.) Metodo per risolvere equazioni lineari. ( Sposta tutto con l'incognita sul lato sinistro dell'equazione, tutti i numeri a destra. Porta termini simili. Trova il moltiplicatore sconosciuto).
3. Come si chiama l'equazione 3? ( Piazza.) Metodi per risolvere equazioni quadratiche. (P sulle formule)
4. Cos'è una proporzione? ( Uguaglianza di due relazioni.) La proprietà principale della proporzione. ( Se la proporzione è vera, allora il prodotto dei suoi termini estremi è uguale al prodotto dei termini medi.)
5. Quali proprietà vengono utilizzate per risolvere le equazioni? ( 1. Se nell'equazione trasferiamo il termine da una parte all'altra, cambiandone il segno, otteniamo un'equazione equivalente a quella data. 2. Se entrambe le parti dell'equazione vengono moltiplicate o divise per lo stesso numero diverso da zero, si otterrà un'equazione equivalente al dato.)
6. Quando una frazione è uguale a zero? ( Una frazione è zero quando il numeratore è zero e il denominatore è diverso da zero.)

3. Spiegazione del nuovo materiale.

Risolvi l'equazione n. 2 sui quaderni e sulla lavagna.

Risposta: 10.

Quale equazione razionale frazionaria puoi provare a risolvere utilizzando la proprietà fondamentale della proporzione? (N. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Risolvi l'equazione n. 4 sui quaderni e sulla lavagna.

Risposta: 1,5.

Quale equazione razionale frazionaria puoi provare a risolvere moltiplicando entrambi i lati dell'equazione per il denominatore? (N. 6).

x2-7x+12 = 0

D=1>0, x1 =3, x2 =4.

Risposta: 3;4.

Considereremo la soluzione delle equazioni del tipo di equazione n. 7 nelle lezioni seguenti.

Spiegare perché è successo? Perché ci sono tre radici in un caso e due nell'altro? Quali numeri sono le radici di questa equazione razionale frazionaria?

Fino ad ora, gli studenti non hanno incontrato il concetto di radice estranea, è davvero molto difficile per loro capire perché ciò sia accaduto. Se nessuno in classe è in grado di fornire una spiegazione chiara di questa situazione, l'insegnante pone domande guida.

• In che modo le equazioni n. 2 e 4 differiscono dalle equazioni n. 5.6? ( Nelle equazioni n. 2 e 4 al denominatore del numero, n. 5-6 - espressioni con una variabile.)
• Qual è la radice dell'equazione? ( Il valore della variabile in corrispondenza del quale l'equazione diventa un'uguaglianza vera.)
• Come scoprire se un numero è la radice di un'equazione? ( Fai un controllo.)

Quando fanno un test, alcuni studenti notano che devono dividere per zero. Concludono che i numeri 0 e 5 non sono le radici di questa equazione. La domanda sorge spontanea: esiste un modo per risolvere equazioni razionali frazionarie che elimini questo errore? Sì, questo metodo si basa sulla condizione che la frazione sia uguale a zero.

Proviamo a formulare un algoritmo per risolvere equazioni razionali frazionarie in questo modo. I bambini stessi formulano l'algoritmo.

Algoritmo per la risoluzione di equazioni razionali frazionarie:

1. Sposta tutto a sinistra.
2. Porta le frazioni a un denominatore comune.
3. Componi un sistema: una frazione è zero quando il numeratore è zero e il denominatore non è zero.
4. Risolvi l'equazione.
5. Controllare la disuguaglianza per escludere radici estranee.
6. Scrivi la risposta.

4. Comprensione primaria di nuovo materiale.

Lavoro in coppia. Gli studenti scelgono autonomamente come risolvere l'equazione, a seconda del tipo di equazione. Compiti dal libro di testo "Algebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007: n. 600(b, c); N. 601(a, e). L'insegnante controlla l'esecuzione del compito, risponde alle domande che sono sorte e fornisce assistenza agli studenti con scarso rendimento. Autotest: le risposte vengono scritte alla lavagna.

b) 2 - radice estranea. Risposta:3.

c) 2 - radice estranea. Risposta: 1.5.

a) Risposta: -12.5.

5. Dichiarazione dei compiti.

1. Leggi l'elemento 25 dal libro di testo, analizza gli esempi 1-3.
2. Impara l'algoritmo per risolvere le equazioni razionali frazionarie.
3. Risolvi nei quaderni n. 600 (d, e); N. 601 (g, h).

6. Riassumendo la lezione.

Quindi, oggi nella lezione abbiamo conosciuto le equazioni razionali frazionarie, abbiamo imparato come risolverle in vari modi. Indipendentemente da come vengono risolte le equazioni razionali frazionarie, cosa dovrebbe essere tenuto a mente? Qual è l'"astuzia" delle equazioni razionali frazionarie?

Grazie a tutti, la lezione è finita.

§ 1 Equazioni razionali intere e frazionarie

In questa lezione analizzeremo concetti come un'equazione razionale, un'espressione razionale, un'espressione intera, un'espressione frazionaria. Considera la soluzione di equazioni razionali.

Un'equazione razionale è un'equazione in cui i lati sinistro e destro sono espressioni razionali.

Le espressioni razionali sono:

Frazionario.

Un'espressione intera è composta da numeri, variabili, potenze intere utilizzando le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione per un numero diverso da zero.

Per esempio:

Nelle espressioni frazionarie c'è una divisione per una variabile o un'espressione con una variabile. Per esempio:

Un'espressione frazionaria non ha senso per tutti i valori delle variabili in essa incluse. Ad esempio, l'espressione

per x = -9 non ha senso, perché per x = -9 il denominatore va a zero.

Ciò significa che un'equazione razionale può essere intera e frazionaria.

Un'equazione razionale intera è un'equazione razionale in cui i lati sinistro e destro sono espressioni intere.

Per esempio:

Un'equazione razionale frazionaria è un'equazione razionale in cui il lato sinistro o quello destro sono espressioni frazionarie.

Per esempio:

§ 2 Soluzione di un'intera equazione razionale

Consideriamo la soluzione di un'intera equazione razionale.

Per esempio:

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per il minimo comune denominatore dei denominatori delle frazioni in essa incluse.

Per questo:

1. trova un denominatore comune per i denominatori 2, 3, 6. È uguale a 6;

2. trova un fattore aggiuntivo per ogni frazione. Per fare ciò, dividi il denominatore comune 6 per ciascun denominatore

moltiplicatore aggiuntivo per la frazione

moltiplicatore aggiuntivo per la frazione

3. moltiplicare i numeratori delle frazioni per i fattori aggiuntivi ad essi corrispondenti. Quindi, otteniamo l'equazione

che è equivalente a questa equazione

Aprire le parentesi a sinistra, spostare il lato destro a sinistra, cambiando il segno del termine durante il trasferimento al contrario.

Diamo termini simili del polinomio e otteniamo

Vediamo che l'equazione è lineare.

Risolvendolo, troviamo che x = 0,5.

§ 3 Soluzione di un'equazione razionale frazionaria

Considera la soluzione di un'equazione razionale frazionaria.

Per esempio:

1. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per il minimo comune denominatore dei denominatori delle frazioni razionali in essa incluse.

Trova il denominatore comune per i denominatori x + 7 e x - 1.

È uguale al loro prodotto (x + 7) (x - 1).

2. Troviamo un fattore aggiuntivo per ciascuna frazione razionale.

Per fare ciò, dividiamo il denominatore comune (x + 7) (x - 1) per ciascun denominatore. Moltiplicatore aggiuntivo per le frazioni

è uguale a x - 1,

moltiplicatore aggiuntivo per la frazione

è uguale ax+7.

3. Moltiplica i numeratori delle frazioni per i corrispondenti fattori aggiuntivi.

Otteniamo l'equazione (2x - 1) (x - 1) \u003d (3x + 4) (x + 7), che è equivalente a questa equazione

4.Sinistra e destra moltiplicano il binomio per il binomio e ottengono la seguente equazione

5. Trasferiamo la parte destra a sinistra, cambiando il segno di ciascun termine quando si trasferisce al contrario:

6. Presentiamo membri simili del polinomio:

7. Puoi dividere entrambe le parti per -1. Otteniamo un'equazione quadratica:

8. Dopo averlo risolto, troveremo le radici

Poiché nell'equazione

le parti sinistra e destra sono espressioni frazionarie, e nelle espressioni frazionarie, per alcuni valori delle variabili, il denominatore può svanire, allora è necessario verificare se il denominatore comune non svanisce quando si trovano x1 e x2.

Per x = -27 il denominatore comune (x + 7)(x - 1) non svanisce, per x = -1 anche il denominatore comune è diverso da zero.

Pertanto, entrambe le radici -27 e -1 sono radici dell'equazione.

Quando si risolve un'equazione razionale frazionaria, è meglio indicare immediatamente l'area dei valori consentiti. Eliminare quei valori ai quali il denominatore comune va a zero.

Considera un altro esempio di risoluzione di un'equazione razionale frazionaria.

Ad esempio, risolviamo l'equazione

Scomponiamo in fattori il denominatore della frazione a destra dell'equazione

Otteniamo l'equazione

Trova un denominatore comune per i denominatori (x - 5), x, x (x - 5).

Sarà l'espressione x (x - 5).

ora troviamo l'intervallo di valori ammissibili dell'equazione

Per fare ciò, equiparamo il denominatore comune a zero x (x - 5) \u003d 0.

Otteniamo un'equazione, risolvendola, troviamo che in x \u003d 0 o in x \u003d 5 il denominatore comune svanisce.

Quindi x = 0 o x = 5 non possono essere le radici della nostra equazione.

Ora puoi trovare moltiplicatori aggiuntivi.

Moltiplicatore aggiuntivo per frazioni razionali

moltiplicatore aggiuntivo per le frazioni

sarà (x - 5),

e il fattore aggiuntivo della frazione

Moltiplichiamo i numeratori per i corrispondenti fattori aggiuntivi.

Otteniamo l'equazione x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5).

Apriamo le parentesi a sinistra e a destra, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.

Spostiamo i termini da destra a sinistra cambiando il segno dei termini da spostare:

X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

E dopo aver introdotto termini simili, otteniamo l'equazione quadratica x2 - 3x - 10 = 0. Dopo averla risolta, troviamo le radici x1 = -2; x2 = 5.

Ma abbiamo già scoperto che per x = 5 il denominatore comune x(x - 5) svanisce. Pertanto, la radice della nostra equazione

sarà x = -2.

§ 4 Riassunto della lezione

Importante da ricordare:

Quando risolvi equazioni razionali frazionarie, devi fare quanto segue:

1. Trova il denominatore comune delle frazioni incluse nell'equazione. Inoltre, se i denominatori delle frazioni possono essere scomposti in fattori, allora scomponili in fattori e poi trova il denominatore comune.

2. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per un denominatore comune: trova fattori aggiuntivi, moltiplica i numeratori per fattori aggiuntivi.

3. Risolvi l'intera equazione risultante.

4. Escludere dalle sue radici quelle che portano a zero il denominatore comune.

Elenco della letteratura utilizzata:

1. Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Sotto la direzione di Telyakovsky S.A. Algebra: libro di testo. per 8 celle. educazione generale istituzioni. - M.: Educazione, 2013.
2. Mordkovich A.G. Algebra. Grado 8: In due parti. Parte 1: Proc. per l'istruzione generale istituzioni. - M.: Mnemosine.
3. Rurukin A.N. Sviluppi delle lezioni in algebra: Grado 8. - M.: VAKO, 2010.
4. Algebra grado 8: programmi di lezione secondo il libro di testo di Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkova, S.B. Suvorova / Aut.-comp. T.L. Afanasiev, L.A. Tapilina. - Volgograd: insegnante, 2005.

Finora abbiamo risolto solo equazioni intere rispetto all'incognita, cioè equazioni in cui i denominatori (se presenti) non contenevano l'incognita.

Spesso bisogna risolvere equazioni che contengono l'incognita ai denominatori: tali equazioni sono chiamate frazionarie.

Per risolvere questa equazione moltiplichiamo entrambi i suoi membri per un polinomio contenente l'incognita. La nuova equazione sarà equivalente a quella data? Per rispondere alla domanda, risolviamo questa equazione.

Moltiplicando entrambi i membri per , otteniamo:

Risolvendo questa equazione di primo grado, troviamo:

Quindi, l'equazione (2) ha una radice singola

Sostituendolo nell'equazione (1), otteniamo:

Quindi, è anche la radice dell'equazione (1).

L'equazione (1) non ha altre radici. Nel nostro esempio ciò si può vedere ad esempio dal fatto che nell'equazione (1)

Come il divisore sconosciuto deve essere uguale al dividendo 1 diviso per il quoziente 2, cioè

Quindi le equazioni (1) e (2) hanno un'unica radice e sono quindi equivalenti.

2. Risolviamo ora la seguente equazione:

Il denominatore comune più semplice: ; moltiplica tutti i termini dell'equazione per esso:

Dopo la riduzione otteniamo:

Espandiamo le parentesi:

Portando termini simili, abbiamo:

Risolvendo questa equazione, troviamo:

Sostituendo nell'equazione (1), otteniamo:

Sul lato sinistro abbiamo ricevuto espressioni senza senso.

Quindi, la radice dell'equazione (1) non lo è. Ciò implica che le equazioni (1) e non sono equivalenti.

In questo caso si dice che l'equazione (1) ha acquisito una radice estranea.

Confrontiamo la soluzione dell'equazione (1) con la soluzione delle equazioni che abbiamo considerato in precedenza (vedi § 51). Per risolvere questa equazione, abbiamo dovuto eseguire due operazioni mai incontrate prima: in primo luogo, abbiamo moltiplicato entrambi i lati dell'equazione per un'espressione contenente un'incognita (denominatore comune) e, in secondo luogo, abbiamo ridotto le frazioni algebriche per fattori contenenti uno sconosciuto.

Confrontando l'equazione (1) con l'equazione (2), vediamo che non tutti i valori x validi per l'equazione (2) sono validi per l'equazione (1).

Sono i numeri 1 e 3 che non sono valori ammissibili dell'incognita per l'equazione (1), e come risultato della trasformazione sono diventati ammissibili per l'equazione (2). Uno di questi numeri si è rivelato una soluzione dell'equazione (2), ma, ovviamente, non può essere una soluzione dell'equazione (1). L'equazione (1) non ha soluzioni.

Questo esempio mostra che moltiplicando entrambe le parti dell'equazione per un fattore contenente l'incognita e riducendo le frazioni algebriche, si può ottenere un'equazione che non è equivalente a quella data, vale a dire: possono apparire radici estranee.

Traiamo quindi la seguente conclusione. Quando si risolve un'equazione contenente un'incognita al denominatore, le radici risultanti devono essere controllate mediante sostituzione nell'equazione originale. Le radici estranee devono essere scartate.

Il minimo comune denominatore viene utilizzato per semplificare questa equazione. Questo metodo viene utilizzato quando non è possibile scrivere l'equazione data con un'espressione razionale su ciascun lato dell'equazione (e utilizzare il metodo della moltiplicazione incrociata). Questo metodo viene utilizzato quando ti viene data un'equazione razionale con 3 o più frazioni (nel caso di due frazioni, la moltiplicazione incrociata è migliore).

Trova il minimo comune denominatore delle frazioni (o minimo comune multiplo). NOZ è il numero più piccolo uniformemente divisibile per ciascun denominatore.

• A volte NOZ è un numero ovvio. Ad esempio, se l'equazione è: x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, allora è ovvio che il minimo comune multiplo dei numeri 3, 2 e 6 sarà 6.
• Se il NOD non è evidente, annota i multipli del denominatore più grande e trova tra questi uno che sia multiplo anche degli altri denominatori. Spesso puoi trovare il NOD semplicemente moltiplicando due denominatori insieme. Ad esempio, se viene data l'equazione x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, allora NOZ = 8*9 = 72.
• Se uno o più denominatori contengono una variabile, il processo è un po' più complicato (ma non impossibile). In questo caso, NOZ è un'espressione (contenente una variabile) divisibile per ciascun denominatore. Ad esempio, nell'equazione 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), poiché questa espressione è divisibile per ciascun denominatore: 3x(x-1)/(x -1) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

Moltiplica sia il numeratore che il denominatore di ciascuna frazione per un numero uguale al risultato della divisione NOZ per il denominatore corrispondente di ciascuna frazione. Poiché stai moltiplicando sia il numeratore che il denominatore per lo stesso numero, stai effettivamente moltiplicando una frazione per 1 (ad esempio, 2/2 = 1 o 3/3 = 1).

• Quindi, nel nostro esempio, moltiplica x/3 per 2/2 per ottenere 2x/6 e moltiplica 1/2 per 3/3 per ottenere 3/6 (non è necessario moltiplicare 3x + 1/6 perché il denominatore è 6).
• Procedi allo stesso modo quando la variabile è al denominatore. Nel nostro secondo esempio NOZ = 3x(x-1), quindi 5/(x-1) per (3x)/(3x) è 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x per 3(x-1)/3(x-1) per ottenere 3(x-1)/3x(x-1); Moltiplica 2/(3x) per (x-1)/(x-1) e ottieni 2(x-1)/3x(x-1).

Trova x. Ora che hai ridotto le frazioni a un denominatore comune, puoi sbarazzarti del denominatore. Per fare ciò, moltiplica ciascun lato dell'equazione per un denominatore comune. Quindi risolvi l'equazione risultante, ovvero trova "x". Per fare ciò, isola la variabile su un lato dell'equazione.

• Nel nostro esempio: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Puoi sommare 2 frazioni con lo stesso denominatore, quindi scrivi l'equazione come: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 6 ed elimina i denominatori: 2x+3 = 3x +1. Risolvi e ottieni x = 2.
• Nel nostro secondo esempio (con una variabile al denominatore), l'equazione appare così (dopo la riduzione a un denominatore comune): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2(x-1)/3x(x-1). Moltiplicando entrambi i lati dell'equazione per NOZ, elimini il denominatore e ottieni: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), o 15x = 3x - 3 + 2x -2, o 15x = x - 5 Risolvi e ottieni: x = -5/14.