Risoluzione di matrici utilizzando il metodo di Gauss online. Risoluzione di sistemi di equazioni lineari utilizzando il metodo di Gauss

1. Sistema di equazioni algebriche lineari

1.1 Il concetto di sistema di equazioni algebriche lineari

Un sistema di equazioni è una condizione consistente nell'esecuzione simultanea di più equazioni in più variabili. Un sistema di equazioni algebriche lineari (di seguito denominato SLAE) contenente m equazioni e n incognite è un sistema della forma:

dove i numeri a ij sono detti coefficienti del sistema, i numeri b i sono membri liberi, aij E b i(i=1,…, m; b=1,…, n) sono alcuni numeri noti, e x 1 ,…,xn- sconosciuto. Nella notazione dei coefficienti aij il primo indice i indica il numero dell'equazione e il secondo indice j è il numero dell'incognita a cui si trova questo coefficiente. Soggetto a trovare il numero x n . È conveniente scrivere tale sistema in forma matriciale compatta: ASSE=B. Dove A è la matrice dei coefficienti del sistema, detta matrice principale;

è un vettore colonna di incognita xj.
è un vettore colonna di membri liberi bi.

Il prodotto delle matrici A * X è definito, poiché ci sono tante colonne nella matrice A quante sono righe nella matrice X (n pezzi).

La matrice estesa del sistema è la matrice A del sistema, integrata da una colonna di membri liberi

1.2 Soluzione di un sistema di equazioni algebriche lineari

La soluzione di un sistema di equazioni è un insieme ordinato di numeri (valori di variabili), sostituendoli al posto delle variabili, ciascuna delle equazioni del sistema si trasforma in una vera uguaglianza.

La soluzione del sistema sono n valori delle incognite x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, sostituendo le quali tutte le equazioni del sistema si trasformano in uguaglianze vere. Qualsiasi soluzione del sistema può essere scritta come una matrice-colonna

Un sistema di equazioni si dice coerente se ha almeno una soluzione, incoerente se non ha soluzioni.

Un sistema articolato si dice definito se ha un’unica soluzione, indefinito se ha più soluzioni. In quest'ultimo caso ciascuna delle sue soluzioni è detta soluzione particolare del sistema. L’insieme di tutte le soluzioni particolari si chiama soluzione generale.

Risolvere un sistema significa scoprire se è compatibile oppure no. Se il sistema è compatibile, trova la sua soluzione generale.

Due sistemi si dicono equivalenti (equivalenti) se hanno la stessa soluzione generale. In altre parole, i sistemi sono equivalenti se ogni soluzione dell’uno è soluzione dell’altro, e viceversa.

Una trasformazione, la cui applicazione trasforma un sistema in un nuovo sistema equivalente a quello originale, è chiamata trasformazione equivalente o equivalente. Le seguenti trasformazioni possono servire come esempi di trasformazioni equivalenti: scambiare due equazioni del sistema, scambiare due incognite insieme ai coefficienti di tutte le equazioni, moltiplicare entrambe le parti di qualsiasi equazione del sistema per un numero diverso da zero.

Un sistema di equazioni lineari si dice omogeneo se tutti i termini liberi sono uguali a zero:

Un sistema omogeneo è sempre coerente, poiché x1=x2=x3=…=xn=0 è una soluzione del sistema. Questa soluzione è detta nulla o banale.

2. Metodo di eliminazione gaussiana

2.1 L'essenza del metodo di eliminazione gaussiana

Il metodo classico per risolvere sistemi di equazioni algebriche lineari è il metodo di eliminazione successiva delle incognite - Metodo di Gauss(È anche chiamato metodo di eliminazione gaussiana). Questo è un metodo di eliminazione successiva di variabili, quando, con l'aiuto di trasformazioni elementari, un sistema di equazioni viene ridotto a un sistema equivalente di forma a gradini (o triangolare), da cui si trovano successivamente tutte le altre variabili, a partire dalla ultime (per numero) variabili.

Il processo di soluzione gaussiana consiste di due fasi: movimenti in avanti e indietro.

1. Movimento diretto.

Nella prima fase viene eseguito il cosiddetto movimento diretto, quando, mediante trasformazioni elementari su file, il sistema viene portato a una forma a gradini o triangolare, oppure si accerta che il sistema è incoerente. Cioè tra gli elementi della prima colonna della matrice se ne sceglie uno diverso da zero, lo si sposta nella posizione più alta permutando le righe, e si sottrae dalle rimanenti righe la prima riga ottenuta dopo la permutazione, moltiplicandola per a valore pari al rapporto tra il primo elemento di ciascuna di queste righe e il primo elemento della prima riga, azzerando così la colonna sottostante.

Dopo aver effettuato le trasformazioni indicate, la prima riga e la prima colonna vengono cancellate mentalmente e continuano fino a quando rimane una matrice di dimensione zero. Se in alcune iterazioni tra gli elementi della prima colonna non ne viene trovato uno diverso da zero, passare alla colonna successiva ed eseguire un'operazione simile.

Nella prima fase (corsa in avanti), il sistema è ridotto a una forma a gradini (in particolare triangolare).

Il sistema seguente è graduale:

,

I coefficienti aii sono chiamati gli elementi principali (principali) del sistema.

(se a11=0, riordina le righe della matrice in modo che UN 11 non era uguale a 0. Questo è sempre possibile, perché altrimenti la matrice contiene una colonna zero, il suo determinante è uguale a zero e il sistema è incoerente).

Trasformiamo il sistema eliminando l'incognita x1 in tutte le equazioni tranne la prima (usando trasformazioni elementari del sistema). Per fare ciò, moltiplica entrambi i lati della prima equazione per

e sommamo termine per termine con la seconda equazione del sistema (oppure dalla seconda equazione sottraiamo termine per termine il primo moltiplicato per ). Quindi moltiplichiamo entrambe le parti della prima equazione per e le aggiungiamo alla terza equazione del sistema (o sottraiamo la prima moltiplicata per il terzo termine per termine). Pertanto, moltiplichiamo successivamente la prima riga per un numero e aggiungiamo a io-esima riga, per io= 2, 3, …,N.

Continuando questo processo, otteniamo il sistema equivalente:

– nuovi valori dei coefficienti per incognite e termini liberi nelle ultime equazioni m-1 del sistema, che sono determinati dalle formule:

Pertanto, nella prima fase, tutti i coefficienti sotto il primo elemento iniziale a 11 vengono distrutti

0, il secondo passaggio distrugge gli elementi sotto il secondo elemento principale a 22 (1) (se a 22 (1) 0) e così via. Continuando ulteriormente questo processo, ridurremo finalmente il sistema originale a un sistema triangolare al passo (m-1).

Se, nel processo di riduzione del sistema a una forma graduale, compaiono equazioni zero, ad es. uguaglianze della forma 0=0, vengono scartate. Se esiste un'equazione della forma

Ciò indica l'incompatibilità del sistema.

Questo completa il corso diretto del metodo di Gauss.

2. Movimento inverso.

Nella seconda fase viene eseguita la cosiddetta mossa inversa, la cui essenza è esprimere tutte le variabili di base risultanti in termini di variabili non di base e costruire un sistema fondamentale di soluzioni o, se tutte le variabili sono di base, quindi esprimere numericamente l'unica soluzione del sistema di equazioni lineari.

Questa procedura inizia con l'ultima equazione, dalla quale viene espressa la corrispondente variabile di base (è una sola in essa) e sostituita nelle equazioni precedenti, e così via, salendo i "gradini" fino all'inizio.

Ogni riga corrisponde esattamente a una variabile di base, quindi ad ogni passaggio, ad eccezione dell'ultimo (quello più in alto), la situazione ripete esattamente il caso dell'ultima riga.

Nota: in pratica è più conveniente lavorare non con il sistema, ma con la sua matrice estesa, eseguendo tutte le trasformazioni elementari sulle sue righe. È conveniente che il coefficiente a11 sia uguale a 1 (riordinare le equazioni o dividere entrambi i membri dell'equazione per a11).

2.2 Esempi di risoluzione dello SLAE con il metodo di Gauss

In questa sezione, utilizzando tre diversi esempi, mostreremo come utilizzare il metodo gaussiano per risolvere SLAE.

Esempio 1. Risolvi SLAE del 3° ordine.

Impostare i coefficienti su zero a

nella seconda e terza riga. Per fare ciò, moltiplicali rispettivamente per 2/3 e 1 e aggiungili alla prima riga:

Il metodo di Gauss, detto anche metodo dell'eliminazione successiva delle incognite, consiste in quanto segue. Usando trasformazioni elementari, il sistema di equazioni lineari viene portato a una forma tale che risulta essere la sua matrice di coefficienti trapezoidale (come triangolare o a gradini) o quasi trapezoidale (il percorso diretto del metodo Gauss, quindi - solo una mossa diretta). Un esempio di tale sistema e della sua soluzione è mostrato nella figura sopra.

In un tale sistema, l'ultima equazione contiene solo una variabile e il suo valore può essere trovato in modo univoco. Quindi il valore di questa variabile viene sostituito nell'equazione precedente ( Inversione gaussiana , quindi - solo una mossa inversa), da cui si trova la variabile precedente e così via.

In un sistema trapezoidale (triangolare), come vediamo, la terza equazione non contiene più variabili sì E X e la seconda equazione - variabile X .

Dopo che la matrice del sistema ha assunto una forma trapezoidale, non è più difficile risolvere la questione della compatibilità del sistema, determinare il numero di soluzioni e trovare le soluzioni stesse.

Vantaggi del metodo:

1. quando si risolvono sistemi di equazioni lineari con più di tre equazioni e incognite, il metodo di Gauss non è così complicato come il metodo Cramer, poiché sono necessari meno calcoli per risolvere il metodo di Gauss;
2. con il metodo di Gauss si possono risolvere sistemi indefiniti di equazioni lineari, cioè avendo una soluzione comune (e le analizzeremo in questa lezione), e con il metodo di Cramer si può solo affermare che il sistema è incerto;
3. puoi risolvere sistemi di equazioni lineari in cui il numero di incognite non è uguale al numero di equazioni (li analizzeremo anche in questa lezione);
4. il metodo si basa su metodi elementari (scolastici): il metodo di sostituzione delle incognite e il metodo di aggiunta di equazioni, di cui abbiamo parlato nell'articolo corrispondente.

Affinché tutti siano intrisi della semplicità con cui vengono risolti i sistemi trapezoidali (triangolari, a gradini) di equazioni lineari, presentiamo la soluzione di tale sistema utilizzando il tratto inverso. Una rapida soluzione a questo sistema è stata mostrata nell'immagine all'inizio della lezione.

Esempio 1 Risolvi un sistema di equazioni lineari usando il movimento inverso:

Soluzione. In questo sistema trapezoidale, la variabile z si trova unicamente dalla terza equazione. Sostituiamo il suo valore nella seconda equazione e otteniamo il valore della variabile sì:

Ora conosciamo i valori di due variabili: z E sì. Li sostituiamo nella prima equazione e otteniamo il valore della variabile X:

Dai passaggi precedenti, scriviamo la soluzione del sistema di equazioni:

Per ottenere un sistema così trapezoidale di equazioni lineari, che abbiamo risolto in modo molto semplice, è necessario applicare un movimento diretto associato alle trasformazioni elementari del sistema di equazioni lineari. Inoltre non è molto difficile.

Trasformazioni elementari di un sistema di equazioni lineari

Ripetendo il metodo scolastico dell'addizione algebrica delle equazioni del sistema, abbiamo scoperto che un'altra equazione del sistema può essere aggiunta a una delle equazioni del sistema e ciascuna delle equazioni può essere moltiplicata per alcuni numeri. Di conseguenza, otteniamo un sistema di equazioni lineari equivalenti a quello dato. In essa, un'equazione conteneva già solo una variabile, sostituendo il cui valore in altre equazioni si arriva alla soluzione. Tale aggiunta è uno dei tipi di trasformazione elementare del sistema. Quando si utilizza il metodo di Gauss, possiamo utilizzare diversi tipi di trasformazioni.

L'animazione sopra mostra come il sistema di equazioni si trasforma gradualmente in un sistema trapezoidale. Cioè, quello che hai visto nella primissima animazione e ti sei assicurato che fosse facile trovare da esso i valori di tutte le incognite. Come eseguire tale trasformazione e, ovviamente, esempi, verranno discussi ulteriormente.

Quando si risolvono sistemi di equazioni lineari con un numero qualsiasi di equazioni e incognite nel sistema di equazioni e nella matrice espansa del sistema Potere:

1. scambia linee (questo è stato menzionato all'inizio di questo articolo);
2. se a seguito di altre trasformazioni apparissero linee uguali o proporzionali, queste possono essere cancellate, tranne una;
3. eliminare le righe "nulle", dove tutti i coefficienti sono uguali a zero;
4. moltiplicare o dividere qualsiasi stringa per un numero;
5. a qualsiasi riga aggiungi un'altra riga, moltiplicata per un numero.

Come risultato delle trasformazioni, otteniamo un sistema di equazioni lineari equivalenti a quello dato.

Algoritmo ed esempi di risoluzione con il metodo Gauss di un sistema di equazioni lineari con una matrice quadrata del sistema

Consideriamo innanzitutto la soluzione di sistemi di equazioni lineari in cui il numero di incognite è pari al numero di equazioni. La matrice di tale sistema è quadrata, ovvero il numero di righe in essa contenute è uguale al numero di colonne.

Esempio 2 Risolvere un sistema di equazioni lineari utilizzando il metodo di Gauss

Risolvendo sistemi di equazioni lineari usando metodi scolastici, abbiamo moltiplicato termine per termine una delle equazioni per un certo numero, in modo che i coefficienti della prima variabile nelle due equazioni fossero numeri opposti. Quando si aggiungono equazioni, questa variabile viene eliminata. Il metodo di Gauss funziona in modo simile.

Per semplificare l'aspetto della soluzione comporre la matrice aumentata del sistema:

In questa matrice, i coefficienti delle incognite si trovano a sinistra prima della barra verticale, e i membri liberi sono a destra dopo la barra verticale.

Per comodità di dividere i coefficienti delle variabili (per ottenere una divisione per uno) scambiare la prima e la seconda riga della matrice di sistema. Otteniamo un sistema equivalente a quello dato, poiché nel sistema di equazioni lineari si possono riordinare le equazioni:

Con la nuova prima equazione eliminare la variabile X dalla seconda e da tutte le successive equazioni. Per fare ciò, aggiungi la prima riga moltiplicata per (nel nostro caso per ) alla seconda riga della matrice e la prima riga moltiplicata per (nel nostro caso per ) alla terza riga.

Questo è possibile perché

Se nel nostro sistema ci fossero più di tre equazioni, la prima riga dovrebbe essere aggiunta a tutte le equazioni successive, moltiplicata per il rapporto dei coefficienti corrispondenti, presi con un segno meno.

Di conseguenza, otteniamo una matrice equivalente al sistema dato di un nuovo sistema di equazioni, in cui tutte le equazioni, a partire dalla seconda non contengono una variabile X :

Per semplificare la seconda riga del sistema risultante, moltiplichiamola per e otteniamo nuovamente la matrice del sistema di equazioni equivalente a questo sistema:

Ora, mantenendo invariata la prima equazione del sistema risultante, utilizzando la seconda equazione, eliminiamo la variabile sì da tutte le equazioni successive. Per fare ciò, aggiungi la seconda riga moltiplicata per (nel nostro caso, per ) alla terza riga della matrice del sistema.

Se nel nostro sistema ci fossero più di tre equazioni, la seconda riga dovrebbe essere aggiunta a tutte le equazioni successive, moltiplicata per il rapporto dei coefficienti corrispondenti, presi con un segno meno.

Di conseguenza, otteniamo nuovamente la matrice del sistema equivalente al dato sistema di equazioni lineari:

Abbiamo ottenuto un sistema trapezoidale di equazioni lineari equivalenti a quello dato:

Se il numero di equazioni e variabili è maggiore rispetto al nostro esempio, il processo di eliminazione sequenziale delle variabili continua finché la matrice del sistema diventa trapezoidale, come nel nostro esempio demo.

Troveremo la soluzione "dalla fine" - inversa. Per questo dall'ultima equazione che determiniamo z:
.
Sostituendo questo valore nell'equazione precedente, Trovare sì:

Dalla prima equazione Trovare X:

Risposta: la soluzione di questo sistema di equazioni - .

: in questo caso verrà data la stessa risposta se il sistema ha un'unica soluzione. Se il sistema ha un numero infinito di soluzioni, allora lo sarà anche la risposta, e questo è l'argomento della quinta parte di questa lezione.

Risolvi tu stesso un sistema di equazioni lineari utilizzando il metodo di Gauss, quindi osserva la soluzione

Davanti a noi c'è ancora un esempio di un sistema coerente e definito di equazioni lineari, in cui il numero di equazioni è uguale al numero di incognite. La differenza rispetto al nostro esempio demo dell'algoritmo è che ci sono già quattro equazioni e quattro incognite.

Esempio 4 Risolvi un sistema di equazioni lineari utilizzando il metodo di Gauss:

Ora devi utilizzare la seconda equazione per escludere la variabile dalle equazioni successive. Facciamo un po' di lavoro preparatorio. Per renderlo più conveniente con il rapporto dei coefficienti, è necessario ottenere un'unità nella seconda colonna della seconda riga. Per fare ciò, sottrai la terza riga dalla seconda riga e moltiplica la seconda riga risultante per -1.

Effettuiamo ora l'effettiva eliminazione della variabile dalla terza e dalla quarta equazione. Per fare ciò, aggiungi il secondo, moltiplicato per , alla terza riga e il secondo, moltiplicato per , alla quarta.

Ora, utilizzando la terza equazione, eliminiamo la variabile dalla quarta equazione. Per fare ciò, alla quarta riga, aggiungi la terza, moltiplicata per . Otteniamo una matrice espansa di forma trapezoidale.

Abbiamo ottenuto un sistema di equazioni, che è equivalente al sistema dato:

Pertanto, i sistemi risultanti e dati sono coerenti e definiti. Troviamo la soluzione finale "dalla fine". Dalla quarta equazione possiamo esprimere direttamente il valore della variabile "x quarto":

Sostituiamo questo valore nella terza equazione del sistema e otteniamo

,

,

Infine, sostituzione di valore

Nella prima equazione dà

,

dove troviamo "x prima":

Risposta: questo sistema di equazioni ha un'unica soluzione. .

Puoi anche verificare la soluzione del sistema su una calcolatrice che risolve con il metodo di Cramer: in questo caso verrà data la stessa risposta se il sistema ha un'unica soluzione.

Soluzione con il metodo di Gauss di problemi applicati sull'esempio di un problema per le leghe

I sistemi di equazioni lineari vengono utilizzati per modellare oggetti reali del mondo fisico. Risolviamo uno di questi problemi: per le leghe. Compiti simili: compiti per miscele, costo o gravità specifica dei singoli beni in un gruppo di beni e simili.

Esempio 5 Tre pezzi di lega hanno una massa totale di 150 kg. La prima lega contiene il 60% di rame, la seconda il 30%, la terza il 10%. Allo stesso tempo, nella seconda e nella terza lega, messe insieme, il rame è di 28,4 kg in meno rispetto alla prima lega, e nella terza lega il rame è di 6,2 kg in meno rispetto alla seconda. Trova la massa di ciascun pezzo di lega.

Soluzione. Componiamo un sistema di equazioni lineari:

Moltiplicando la seconda e la terza equazione per 10, otteniamo un sistema equivalente di equazioni lineari:

Componiamo la matrice estesa del sistema:

Attenzione, mossa diretta. Aggiungendo (nel nostro caso sottraendo) una riga, moltiplicata per un numero (lo applichiamo due volte), si verificano le seguenti trasformazioni con la matrice espansa del sistema:

Il rettilineo è finito. Abbiamo ottenuto una matrice espansa di forma trapezoidale.

Usiamo il contrario. Troviamo una soluzione dalla fine. Lo vediamo .

Dalla seconda equazione troviamo

Dalla terza equazione -

Puoi anche verificare la soluzione del sistema su una calcolatrice che risolve con il metodo di Cramer: in questo caso verrà data la stessa risposta se il sistema ha un'unica soluzione.

La semplicità del metodo di Gauss è testimoniata dal fatto che il matematico tedesco Carl Friedrich Gauss impiegò solo 15 minuti per inventarlo. Oltre al metodo che porta il suo nome, dalle opere di Gauss, il detto "Non dobbiamo confondere ciò che ci sembra incredibile e innaturale con l'assolutamente impossibile" è una sorta di breve istruzione per fare scoperte.

In molti problemi applicati, potrebbe non esserci una terza restrizione, cioè una terza equazione, quindi è necessario risolvere un sistema di due equazioni con tre incognite utilizzando il metodo di Gauss o, al contrario, ci sono meno incognite delle equazioni. Iniziamo ora a risolvere tali sistemi di equazioni.

Usando il metodo di Gauss, puoi determinare se un sistema è coerente o incoerente N equazioni lineari con N variabili.

Metodo di Gauss e sistemi di equazioni lineari con un numero infinito di soluzioni

Il prossimo esempio è un sistema coerente ma indefinito di equazioni lineari, cioè ha un numero infinito di soluzioni.

Dopo aver eseguito trasformazioni nella matrice espansa del sistema (permutando righe, moltiplicando e dividendo righe per un certo numero, aggiungendo una riga a un'altra), righe della forma

Se in tutte le equazioni aventi la forma

I membri liberi sono uguali a zero, questo significa che il sistema è indefinito, cioè ha un numero infinito di soluzioni, e le equazioni di questo tipo sono “superflue” e vengono escluse dal sistema.

Esempio 6

Soluzione. Componiamo la matrice estesa del sistema. Quindi, utilizzando la prima equazione, eliminiamo la variabile dalle equazioni successive. Per fare ciò, alla seconda, terza e quarta riga, aggiungi la prima, moltiplicata rispettivamente per:

Ora aggiungiamo la seconda riga alla terza e alla quarta.

Di conseguenza, arriviamo al sistema

Le ultime due equazioni sono diventate equazioni della forma . Queste equazioni sono soddisfatte per qualsiasi valore delle incognite e possono essere scartate.

Per soddisfare la seconda equazione, possiamo scegliere valori arbitrari per e , quindi il valore per sarà determinato in modo inequivocabile: . Dalla prima equazione si trova anche il valore univoco di: .

Sia il sistema dato che l'ultimo sono compatibili ma indefiniti, e le formule

per arbitrario e fornirci tutte le soluzioni del sistema dato.

Metodo di Gauss e sistemi di equazioni lineari che non hanno soluzioni

L'esempio seguente è un sistema incoerente di equazioni lineari, ovvero non ha soluzioni. La risposta a tali problemi è formulata come segue: il sistema non ha soluzioni.

Come già accennato in relazione al primo esempio, dopo aver eseguito le trasformazioni nella matrice espansa del sistema, le linee del modulo

corrispondente ad un'equazione della forma

Se tra queste esiste almeno un'equazione con un termine libero diverso da zero (cioè ), allora questo sistema di equazioni è incoerente, cioè non ha soluzioni, e questo completa la sua soluzione.

Esempio 7 Risolvi il sistema di equazioni lineari utilizzando il metodo di Gauss:

Soluzione. Componiamo la matrice estesa del sistema. Utilizzando la prima equazione, escludiamo la variabile dalle equazioni successive. Per fare ciò, aggiungi il primo moltiplicato per alla seconda riga, il primo moltiplicato per la terza riga e il primo moltiplicato per la quarta riga.

Ora devi utilizzare la seconda equazione per escludere la variabile dalle equazioni successive. Per ottenere rapporti interi dei coefficienti, scambiamo la seconda e la terza riga della matrice estesa del sistema.

Per escludere dalla terza e dalla quarta equazione, aggiungere la seconda, moltiplicata per , alla terza riga e la seconda, moltiplicata per , alla quarta.

Ora, utilizzando la terza equazione, eliminiamo la variabile dalla quarta equazione. Per fare ciò, alla quarta riga, aggiungi la terza, moltiplicata per .

Il sistema dato è quindi equivalente al seguente:

Il sistema risultante è incoerente, poiché la sua ultima equazione non può essere soddisfatta da nessun valore delle incognite. Pertanto, questo sistema non ha soluzioni.

Dall'inizio dei secoli XVI-XVIII, i matematici iniziarono a studiare intensamente le funzioni, grazie alle quali molte cose sono cambiate nella nostra vita. La tecnologia informatica senza questa conoscenza semplicemente non esisterebbe. Per risolvere problemi complessi sono stati creati equazioni e funzioni lineari, vari concetti, teoremi e tecniche di soluzione. Uno di questi metodi e tecniche universali e razionali per risolvere le equazioni lineari e i loro sistemi era il metodo di Gauss. Matrici, loro rango, determinante: tutto può essere calcolato senza utilizzare operazioni complesse.

Cos'è SLAU

In matematica esiste il concetto di SLAE, un sistema di equazioni algebriche lineari. Cosa rappresenta? Questo è un insieme di m equazioni con le n incognite richieste, solitamente indicate come x, y, z o x 1 , x 2 ... x n o altri simboli. Risolvere questo sistema con il metodo gaussiano significa trovare tutte le incognite sconosciute. Se un sistema ha lo stesso numero di incognite ed equazioni, viene chiamato sistema di ordine n.

I metodi più popolari per risolvere SLAE

Negli istituti scolastici dell'istruzione secondaria vengono studiati vari metodi per risolvere tali sistemi. Molto spesso si tratta di semplici equazioni costituite da due incognite, quindi qualsiasi metodo esistente per trovare la risposta non richiederà molto tempo. Può essere come un metodo di sostituzione, quando un'altra equazione viene derivata da un'equazione e sostituita in quella originale. Oppure sottrazione e addizione termine per termine. Ma il metodo Gauss è considerato il più semplice e universale. Permette di risolvere equazioni con qualsiasi numero di incognite. Perché questa tecnica è considerata razionale? Tutto è semplice. Il metodo della matrice è buono perché non richiede la riscrittura più volte di caratteri non necessari sotto forma di incognite, è sufficiente eseguire operazioni aritmetiche sui coefficienti e otterrai un risultato affidabile.

Dove vengono utilizzati nella pratica gli SLAE?

La soluzione di SLAE sono i punti di intersezione delle linee sui grafici delle funzioni. Nella nostra era dei computer ad alta tecnologia, le persone che sono strettamente coinvolte nello sviluppo di giochi e altri programmi devono sapere come risolvere tali sistemi, cosa rappresentano e come verificare la correttezza del risultato risultante. Molto spesso, i programmatori sviluppano speciali calcolatori di algebra lineare, che includono un sistema di equazioni lineari. Il metodo Gauss consente di calcolare tutte le soluzioni esistenti. Vengono utilizzate anche altre formule e tecniche semplificate.

Criterio di compatibilità SLAE

Un sistema del genere può essere risolto solo se è compatibile. Per chiarezza, presentiamo lo SLAE nella forma Ax=b. Ha una soluzione se rang(A) è uguale a rang(A,b). In questo caso (A,b) è una matrice in forma estesa che può essere ottenuta dalla matrice A riscrivendola con termini liberi. Risulta che risolvere equazioni lineari usando il metodo gaussiano è abbastanza semplice.

Forse qualche notazione non è del tutto chiara, quindi è necessario considerare il tutto con un esempio. Diciamo che esiste un sistema: x+y=1; 2x-3a=6. Consiste di sole due equazioni in cui ci sono 2 incognite. Il sistema avrà una soluzione solo se il rango della sua matrice è uguale al rango della matrice aumentata. Cos'è un rango? Questo è il numero di linee indipendenti del sistema. Nel nostro caso, il rango della matrice è 2. La matrice A sarà composta dai coefficienti situati vicino alle incognite e anche i coefficienti dietro il segno "=" si adatteranno alla matrice espansa.

Perché SLAE può essere rappresentato in forma matriciale

In base al criterio di compatibilità secondo il provato teorema di Kronecker-Capelli, il sistema di equazioni algebriche lineari può essere rappresentato in forma matriciale. Utilizzando il metodo della cascata gaussiana, puoi risolvere la matrice e ottenere l'unica risposta affidabile per l'intero sistema. Se il rango di una matrice ordinaria è uguale al rango della sua matrice estesa, ma inferiore al numero di incognite, allora il sistema ha un numero infinito di risposte.

Trasformazioni di matrici

Prima di passare alla risoluzione delle matrici è necessario sapere quali azioni si possono compiere sui loro elementi. Esistono diverse trasformazioni elementari:

• Riscrivendo il sistema in forma matriciale ed effettuandone la soluzione, è possibile moltiplicare tutti gli elementi della serie per lo stesso coefficiente.
• Per convertire una matrice in forma canonica, è possibile scambiare due righe parallele. La forma canonica implica che tutti gli elementi della matrice che si trovano lungo la diagonale principale diventino uno e i rimanenti diventino zero.
• Gli elementi corrispondenti delle righe parallele della matrice possono essere sommati tra loro.

Metodo di Jordan-Gauss

L'essenza della risoluzione di sistemi di equazioni lineari omogenee e disomogenee mediante il metodo di Gauss è quella di eliminare gradualmente le incognite. Diciamo che abbiamo un sistema di due equazioni in cui ci sono due incognite. Per trovarli, è necessario verificare la compatibilità del sistema. L'equazione gaussiana si risolve in modo molto semplice. È necessario scrivere i coefficienti situati vicino a ciascuna incognita in forma matriciale. Per risolvere il sistema è necessario scrivere la matrice aumentata. Se una delle equazioni contiene un numero inferiore di incognite, è necessario inserire "0" al posto dell'elemento mancante. Alla matrice vengono applicati tutti i metodi di trasformazione noti: moltiplicazione, divisione per un numero, aggiunta tra loro degli elementi corrispondenti delle righe e altri. Si scopre che in ogni riga è necessario lasciare una variabile con il valore "1", il resto dovrebbe essere ridotto a zero. Per una comprensione più accurata, è necessario considerare il metodo di Gauss con esempi.

Un semplice esempio di risoluzione di un sistema 2x2

Per cominciare, prendiamo un semplice sistema di equazioni algebriche, in cui ci saranno 2 incognite.

Riscriviamolo in una matrice aumentata.

Per risolvere questo sistema di equazioni lineari sono necessarie solo due operazioni. Dobbiamo portare la matrice alla forma canonica in modo che ci siano unità lungo la diagonale principale. Quindi, traducendo dalla forma matriciale al sistema, otteniamo le equazioni: 1x+0y=b1 e 0x+1y=b2, dove b1 e b2 sono le risposte ottenute nel processo di risoluzione.

1. Il primo passo per risolvere la matrice aumentata sarà il seguente: la prima riga deve essere moltiplicata per -7 e gli elementi corrispondenti aggiunti alla seconda riga, rispettivamente, per eliminare un'incognita nella seconda equazione.
2. Poiché la soluzione delle equazioni con il metodo di Gauss implica riportare la matrice nella forma canonica, è necessario eseguire le stesse operazioni con la prima equazione e rimuovere la seconda variabile. Per fare ciò, sottraiamo la seconda riga dalla prima e otteniamo la risposta necessaria: la soluzione SLAE. Oppure, come mostrato in figura, moltiplichiamo la seconda riga per un fattore pari a -1 e aggiungiamo gli elementi della seconda riga alla prima riga. È lo stesso.

Come puoi vedere, il nostro sistema è risolto con il metodo Jordan-Gauss. Lo riscriviamo nella forma richiesta: x=-5, y=7.

Un esempio di risoluzione di SLAE 3x3

Supponiamo di avere un sistema più complesso di equazioni lineari. Il metodo Gauss rende possibile calcolare la risposta anche per il sistema apparentemente più confuso. Pertanto, per approfondire la metodologia di calcolo, possiamo passare ad un esempio più complesso a tre incognite.

Come nell'esempio precedente, riscriviamo il sistema sotto forma di matrice espansa e iniziamo a portarlo nella forma canonica.

Per risolvere questo sistema, dovrai eseguire molte più azioni rispetto all'esempio precedente.

1. Per prima cosa devi creare nella prima colonna un singolo elemento e il resto zero. Per fare ciò, moltiplica la prima equazione per -1 e aggiungivi la seconda equazione. È importante ricordare che riscriviamo la prima riga nella sua forma originale e la seconda già in una forma modificata.
2. Successivamente, rimuoviamo la stessa prima incognita dalla terza equazione. Per fare ciò moltiplichiamo gli elementi della prima riga per -2 e li aggiungiamo alla terza riga. Ora la prima e la seconda riga vengono riscritte nella loro forma originale e la terza già con modifiche. Come puoi vedere dal risultato, abbiamo ottenuto il primo all'inizio della diagonale principale della matrice e il resto sono zeri. Ancora qualche azione e il sistema di equazioni secondo il metodo di Gauss sarà risolto in modo affidabile.
3. Ora devi eseguire operazioni su altri elementi delle righe. Il terzo e il quarto passaggio possono essere combinati in uno solo. Dobbiamo dividere la seconda e la terza linea per -1 per eliminare quelle negative sulla diagonale. Abbiamo già portato la terza riga nel modulo richiesto.
4. Successivamente, canonicalizziamo la seconda riga. Per fare ciò, moltiplichiamo gli elementi della terza riga per -3 e li aggiungiamo alla seconda riga della matrice. Dal risultato si può vedere che anche la seconda riga è ridotta alla forma di cui abbiamo bisogno. Resta da fare ancora qualche operazione e rimuovere i coefficienti delle incognite dalla prima riga.
5. Per ottenere 0 dal secondo elemento della riga, devi moltiplicare la terza riga per -3 e aggiungerla alla prima riga.
6. Il prossimo passo decisivo è aggiungere gli elementi necessari della seconda riga alla prima riga. Quindi otteniamo la forma canonica della matrice e, di conseguenza, la risposta.

Come puoi vedere, la soluzione delle equazioni con il metodo di Gauss è abbastanza semplice.

Un esempio di risoluzione di un sistema di equazioni 4x4

Alcuni sistemi di equazioni più complessi possono essere risolti con il metodo gaussiano utilizzando programmi per computer. È necessario inserire i coefficienti per le incognite nelle celle vuote esistenti e il programma calcolerà il risultato richiesto passo dopo passo, descrivendo ogni azione in dettaglio.

Le istruzioni passo passo per risolvere un esempio di questo tipo sono descritte di seguito.

Nella prima fase, i coefficienti liberi e i numeri per le incognite vengono inseriti nelle celle vuote. Pertanto, otteniamo la stessa matrice aumentata che scriviamo a mano.

E vengono eseguite tutte le operazioni aritmetiche necessarie per portare la matrice estesa alla forma canonica. Deve essere chiaro che la risposta a un sistema di equazioni non è sempre numeri interi. A volte la soluzione può provenire da numeri frazionari.

Verifica della correttezza della soluzione

Il metodo Jordan-Gauss prevede la verifica della correttezza del risultato. Per scoprire se i coefficienti sono calcolati correttamente, è sufficiente sostituire il risultato nel sistema di equazioni originale. Il lato sinistro dell'equazione deve corrispondere al lato destro, che si trova dietro il segno di uguale. Se le risposte non corrispondono, è necessario ricalcolare il sistema o provare ad applicare un altro metodo a te noto per risolvere lo SLAE, come la sostituzione o la sottrazione e addizione termine per termine. Dopotutto, la matematica è una scienza che ha un numero enorme di diversi metodi di risoluzione. Ma ricorda: il risultato dovrebbe essere sempre lo stesso, indipendentemente dal metodo di soluzione utilizzato.

Metodo di Gauss: gli errori più comuni nella risoluzione degli SLAE

Durante la soluzione di sistemi lineari di equazioni, si verificano molto spesso errori, come il trasferimento errato dei coefficienti in una forma matriciale. Ci sono sistemi in cui in una delle equazioni mancano alcune incognite che poi, trasferendo i dati nella matrice espansa, possono andare perdute. Di conseguenza, quando si risolve questo sistema, il risultato potrebbe non corrispondere a quello reale.

Un altro degli errori principali può essere la scrittura errata del risultato finale. Deve essere chiaro che il primo coefficiente corrisponderà alla prima incognita del sistema, il secondo alla seconda e così via.

Il metodo di Gauss descrive in dettaglio la soluzione delle equazioni lineari. Grazie a lui è facile eseguire le operazioni necessarie e trovare il risultato giusto. Inoltre, questo è uno strumento universale per trovare una risposta affidabile a equazioni di qualsiasi complessità. Forse è per questo che viene utilizzato così spesso per risolvere SLAE.

In questo articolo, il metodo è considerato come un modo per risolvere sistemi di equazioni lineari (SLAE). Il metodo è analitico, ovvero consente di scrivere un algoritmo risolutivo in una forma generale e quindi di sostituire lì valori da esempi specifici. A differenza del metodo della matrice o delle formule di Cramer, quando si risolve un sistema di equazioni lineari utilizzando il metodo di Gauss, è possibile lavorare anche con quelli che hanno infinite soluzioni. Oppure non ce l'hanno affatto.

Cosa significa Gauss?

Per prima cosa devi scrivere il nostro sistema di equazioni in Assomiglia a questo. Il sistema è preso:

I coefficienti sono scritti sotto forma di tabella e a destra in una colonna separata - membri liberi. La colonna con i membri liberi viene separata per comodità e la matrice che comprende questa colonna viene detta estesa.

Inoltre, la matrice principale con coefficienti deve essere ridotta alla forma triangolare superiore. Questo è il punto principale della risoluzione del sistema con il metodo di Gauss. In poche parole, dopo alcune manipolazioni, la matrice dovrebbe apparire così, in modo che ci siano solo zeri nella sua parte in basso a sinistra:

Quindi, se riscrivi la nuova matrice come sistema di equazioni, noterai che l'ultima riga contiene già il valore di una delle radici, che viene poi sostituita nell'equazione precedente, viene trovata un'altra radice e così via.

Questa è una descrizione della soluzione con il metodo di Gauss nei termini più generali. E cosa succede se improvvisamente il sistema non ha una soluzione? Oppure ne esistono un numero infinito? Per rispondere a queste e molte altre domande è necessario considerare separatamente tutti gli elementi utilizzati nella soluzione del metodo Gauss.

Matrici, loro proprietà

Non c'è alcun significato nascosto nella matrice. È solo un modo conveniente per registrare i dati per operazioni successive. Anche gli scolari non dovrebbero averne paura.

La matrice è sempre rettangolare, perché è più conveniente. Anche nel metodo Gauss, dove tutto si riduce alla costruzione di una matrice triangolare, nella voce appare un rettangolo, solo con zeri nel punto in cui non ci sono numeri. Gli zeri possono essere omessi, ma sono impliciti.

La matrice ha una dimensione. La sua "larghezza" è il numero di righe (m), la sua "lunghezza" è il numero di colonne (n). Quindi la dimensione della matrice A (le lettere latine maiuscole sono solitamente utilizzate per la loro designazione) sarà indicata come A m×n . Se m=n, allora questa matrice è quadrata e m=n è il suo ordine. Di conseguenza, qualsiasi elemento della matrice A può essere denotato dal numero della sua riga e colonna: a xy ; x - numero di riga, modifiche , y - numero di colonna, modifiche .

B non è il punto principale della soluzione. In linea di principio, tutte le operazioni possono essere eseguite direttamente con le equazioni stesse, ma la notazione risulterà molto più macchinosa e sarà molto più facile confondersi al suo interno.

Determinante

La matrice ha anche un determinante. Questa è una caratteristica molto importante. Scoprirne il significato ora non ne vale la pena, puoi semplicemente mostrare come viene calcolato e quindi indicare quali proprietà della matrice determina. Il modo più semplice per trovare il determinante è attraverso le diagonali. Nella matrice vengono disegnate diagonali immaginarie; gli elementi situati su ciascuno di essi vengono moltiplicati, quindi vengono aggiunti i prodotti risultanti: diagonali con pendenza a destra - con un segno "più", con pendenza a sinistra - con un segno "meno".

È estremamente importante notare che il determinante può essere calcolato solo per una matrice quadrata. Per una matrice rettangolare, puoi fare quanto segue: scegli il più piccolo tra il numero di righe e il numero di colonne (lascia che sia k), quindi contrassegna in modo casuale k colonne e k righe nella matrice. Gli elementi situati all'intersezione delle colonne e delle righe selezionate formeranno una nuova matrice quadrata. Se il determinante di tale matrice è un numero diverso da zero, allora viene chiamata base minore della matrice rettangolare originale.

Prima di procedere con la soluzione del sistema di equazioni secondo il metodo di Gauss, non fa male calcolare il determinante. Se risulta essere zero, allora possiamo immediatamente dire che la matrice ha un numero infinito di soluzioni, oppure non ce ne sono affatto. In un caso così triste, devi andare oltre e scoprire il rango della matrice.

Classificazione del sistema

Esiste qualcosa come il rango di una matrice. Questo è l'ordine massimo del suo determinante diverso da zero (ricordando la base minore, possiamo dire che il rango di una matrice è l'ordine della base minore).

A seconda di come stanno le cose con il grado, lo SLAE può essere suddiviso in:

• Giunto. A Nei sistemi congiunti, il rango della matrice principale (costituita solo da coefficienti) coincide con il rango di quella estesa (con una colonna di termini liberi). Tali sistemi hanno una soluzione, ma non necessariamente una, pertanto i sistemi congiunti sono inoltre suddivisi in:
• - certo- avere una soluzione unica. In certi sistemi il rango della matrice e il numero di incognite (o il numero di colonne, che è la stessa cosa) sono uguali;
• - indefinito - con un numero infinito di soluzioni. Il rango delle matrici per tali sistemi è inferiore al numero di incognite.
• Incompatibile. A In tali sistemi i ranghi della matrice principale e di quella estesa non coincidono. I sistemi incompatibili non hanno soluzione.

Il metodo di Gauss è buono in quanto consente di ottenere una prova inequivocabile dell'incoerenza del sistema (senza calcolare i determinanti di matrici di grandi dimensioni) o una soluzione generale per un sistema con un numero infinito di soluzioni durante la soluzione.

Trasformazioni elementari

Prima di procedere direttamente alla soluzione del sistema, è possibile renderlo meno ingombrante e più comodo per i calcoli. Ciò si ottiene attraverso trasformazioni elementari, in modo tale che la loro implementazione non modifichi in alcun modo la risposta finale. È da notare che alcune delle trasformazioni elementari sopra indicate valgono solo per matrici la cui fonte è stata proprio la SLAE. Ecco un elenco di queste trasformazioni:

1. Permutazione di stringhe. È ovvio che se modifichiamo l'ordine delle equazioni nella registrazione del sistema, ciò non influenzerà in alcun modo la soluzione. Di conseguenza, è anche possibile scambiare righe nella matrice di questo sistema, senza dimenticare, ovviamente, la colonna dei membri liberi.
2. Moltiplicare tutti gli elementi di una stringa per un fattore. Molto utile! Con esso, puoi ridurre grandi numeri nella matrice o rimuovere zeri. L'insieme delle soluzioni, come al solito, non cambierà e diventerà più conveniente eseguire ulteriori operazioni. La cosa principale è che il coefficiente non è uguale a zero.
3. Elimina le righe con coefficienti proporzionali. Ciò deriva in parte dal paragrafo precedente. Se due o più righe nella matrice hanno coefficienti proporzionali, quindi moltiplicando / dividendo una delle righe per il coefficiente di proporzionalità, si ottengono due (o, ancora, più) righe assolutamente identiche e è possibile rimuovere quelle extra, lasciando solo uno.
4. Rimozione della riga nulla. Se nel corso delle trasformazioni si ottiene da qualche parte una stringa in cui tutti gli elementi, incluso il membro libero, sono zero, allora tale stringa può essere chiamata zero ed espulsa dalla matrice.
5. Aggiungendo agli elementi di una riga gli elementi di un'altra (nelle colonne corrispondenti), moltiplicati per un determinato coefficiente. La trasformazione più oscura e importante di tutte. Vale la pena soffermarsi su di esso in modo più dettagliato.

Aggiunta di una stringa moltiplicata per un fattore

Per facilità di comprensione, vale la pena smontare questo processo passo dopo passo. Dalla matrice si prendono due righe:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b2

Supponiamo di dover sommare il primo al secondo, moltiplicato per il coefficiente "-2".

a" 21 \u003d a 21 + -2 × a 11

a" 22 \u003d a 22 + -2 × a 12

a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n

Quindi nella matrice la seconda riga viene sostituita con una nuova e la prima rimane invariata.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

È da notare che il fattore di moltiplicazione può essere scelto in modo tale che, a seguito della somma di due stringhe, uno degli elementi della nuova stringa sia uguale a zero. Pertanto, è possibile ottenere un'equazione nel sistema, dove ce ne sarà una in meno sconosciuta. E se ottieni due di queste equazioni, l'operazione può essere ripetuta e ottieni un'equazione che conterrà già due incognite in meno. E se ogni volta che passiamo a zero, un coefficiente per tutte le righe inferiori a quella originale, allora possiamo, come i passaggi, scendere fino in fondo alla matrice e ottenere un'equazione con un'incognita. Questo si chiama risolvere il sistema utilizzando il metodo gaussiano.

Generalmente

Lasciamo che ci sia un sistema. Ha m equazioni e n radici sconosciute. Puoi scriverlo così:

La matrice principale è compilata dai coefficienti del sistema. Una colonna di membri liberi viene aggiunta alla matrice estesa e separata da una barra per comodità.

• la prima riga della matrice viene moltiplicata per il coefficiente k = (-a 21/a 11);
• vengono aggiunte la prima riga modificata e la seconda riga della matrice;
• al posto della seconda riga, nella matrice viene inserito il risultato dell'addizione del paragrafo precedente;
• ora il primo coefficiente nella nuova seconda riga è a 11 × (-a 21 / a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Ora viene eseguita la stessa serie di trasformazioni, sono coinvolte solo la prima e la terza riga. Di conseguenza, in ogni passo dell'algoritmo, l'elemento a 21 viene sostituito da a 31 . Poi tutto si ripete per un 41,...un m1. Il risultato è una matrice in cui il primo elemento delle righe è uguale a zero. Ora dobbiamo dimenticare la riga numero uno ed eseguire lo stesso algoritmo partendo dalla seconda riga:

• coefficiente k \u003d (-a 32 / a 22);
• la seconda riga modificata viene aggiunta alla riga "corrente";
• il risultato dell'addizione viene sostituito nella terza, quarta e così via, mentre la prima e la seconda rimangono invariate;
• nelle righe della matrice i primi due elementi sono già uguali a zero.

L'algoritmo deve essere ripetuto finché non appare il coefficiente k = (-a m,m-1 /a mm). Ciò significa che l'ultima volta che l'algoritmo è stato eseguito è stato solo per l'equazione inferiore. Ora la matrice sembra un triangolo o ha una forma a gradini. La riga inferiore contiene l'uguaglianza a mn × x n = b m . Il coefficiente e il termine libero sono noti e tramite essi si esprime la radice: x n = b m /a mn. La radice risultante viene sostituita nella riga superiore per trovare x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 . E così via per analogia: in ogni riga successiva c'è una nuova radice e, raggiunta la "cima" del sistema, puoi trovare molte soluzioni. Sarà l'unico.

Quando non ci sono soluzioni

Se in una delle righe della matrice tutti gli elementi, ad eccezione del termine libero, sono uguali a zero, l'equazione corrispondente a questa riga appare come 0 = b. Non ha soluzione. E poiché tale equazione è inclusa nel sistema, l'insieme delle soluzioni dell'intero sistema è vuoto, cioè degenere.

Quando le soluzioni sono infinite

Potrebbe risultare che nella matrice triangolare ridotta non ci siano righe con un elemento - il coefficiente dell'equazione, e uno - un membro libero. Esistono solo stringhe che, una volta riscritte, sembrerebbero un'equazione con due o più variabili. Ciò significa che il sistema ha un numero infinito di soluzioni. In questo caso la risposta può essere data sotto forma di una soluzione generale. Come farlo?

Tutte le variabili nella matrice sono divise in base e libere. Di base: questi sono quelli che si trovano "sul bordo" delle righe nella matrice a gradini. Il resto è gratuito. Nella soluzione generale le variabili base vengono scritte in termini di quelle libere.

Per comodità, la matrice viene prima riscritta in un sistema di equazioni. Quindi nell'ultimo di essi, dove è rimasta esattamente solo una variabile fondamentale, questa rimane da una parte e tutto il resto viene trasferito dall'altra. Questo viene fatto per ogni equazione con una variabile base. Poi, nel resto delle equazioni, ove possibile, al posto della variabile base si sostituisce l'espressione ottenuta per essa. Se di conseguenza appare nuovamente un'espressione contenente solo una variabile di base, da lì viene nuovamente espressa e così via finché ciascuna variabile di base non viene scritta come espressione con variabili libere. Questa è la soluzione generale di SLAE.

Puoi anche trovare la soluzione di base del sistema: assegnare eventuali valori alle variabili libere e quindi, per questo caso particolare, calcolare i valori delle variabili di base. Esistono infinite soluzioni particolari.

Soluzione con esempi specifici

Ecco il sistema di equazioni.

Per comodità, è meglio creare immediatamente la sua matrice

È noto che risolvendo con il metodo di Gauss, l'equazione corrispondente alla prima riga rimarrà invariata al termine delle trasformazioni. Pertanto, sarà più redditizio se l'elemento in alto a sinistra della matrice è il più piccolo, quindi i primi elementi delle righe rimanenti dopo le operazioni diventeranno zero. Ciò significa che nella matrice compilata sarà vantaggioso mettere la seconda al posto della prima riga.

seconda riga: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 \u003d a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0

a" 22 \u003d a 22 + k × a 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b "2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24

terza riga: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b "3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57

Ora, per non confondersi, è necessario scrivere la matrice con i risultati intermedi delle trasformazioni.

È ovvio che una tale matrice può essere resa più conveniente per la percezione con l'aiuto di alcune operazioni. Ad esempio, puoi rimuovere tutti i "meno" dalla seconda riga moltiplicando ciascun elemento per "-1".

Vale anche la pena notare che nella terza riga tutti gli elementi sono multipli di tre. Quindi puoi ridurre la stringa di questo numero, moltiplicando ciascun elemento per "-1/3" (meno - allo stesso tempo per rimuovere i valori negativi).

Sembra molto più bello. Ora dobbiamo lasciare da parte la prima riga e lavorare con la seconda e la terza. Il compito è aggiungere la seconda riga alla terza riga, moltiplicata per un fattore tale che l'elemento a 32 diventi uguale a zero.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 frazioni, e solo allora, quando si ricevono le risposte, decidere se arrotondare per eccesso e tradurre in un'altra forma di notazione)

a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

b "3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

La matrice viene riscritta con nuovi valori.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Come puoi vedere, la matrice risultante ha già una forma a gradini. Pertanto non sono necessarie ulteriori trasformazioni del sistema mediante il metodo di Gauss. Ciò che si può fare qui è rimuovere il coefficiente complessivo "-1/7" dalla terza riga.

Adesso è tutto bellissimo. Il punto è piccolo: scrivi di nuovo la matrice sotto forma di un sistema di equazioni e calcola le radici

x + 2y + 4z = 12(1)

7y + 11z = 24 (2)

L'algoritmo con il quale verranno ora trovate le radici è chiamato mossa inversa nel metodo di Gauss. L'equazione (3) contiene il valore di z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

E la prima equazione ti permette di trovare x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3

Abbiamo il diritto di definire un tale sistema congiunto e addirittura definito, cioè dotato di una soluzione unica. La risposta è scritta nella seguente forma:

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9.

Un esempio di sistema indefinito

È stata analizzata l'opzione di risolvere un determinato sistema con il metodo di Gauss, ora è necessario considerare il caso se il sistema è indefinito, cioè si possono trovare infinite soluzioni.

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x2 + 2x3 + 2x4 + 6x5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

La forma stessa del sistema è già allarmante, perché il numero di incognite è n = 5, e il rango della matrice del sistema è già esattamente inferiore a questo numero, perché il numero di righe è m = 4, cioè l'ordine più grande del determinante quadrato è 4. Ciò significa che esistono infinite soluzioni ed è necessario cercarne la forma generale. Il metodo di Gauss per le equazioni lineari consente di farlo.

Per prima cosa, come al solito, viene compilata la matrice aumentata.

Seconda riga: coefficiente k = (-a 21 / a 11) = -3. Nella terza riga, il primo elemento è prima delle trasformazioni, quindi non è necessario toccare nulla, è necessario lasciarlo così com'è. Quarta riga: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Moltiplicando a turno gli elementi della prima riga per ciascuno dei loro coefficienti e sommandoli alle righe desiderate, otteniamo una matrice della seguente forma:

Come puoi vedere, la seconda, terza e quarta riga sono costituite da elementi proporzionali tra loro. Il secondo e il quarto sono generalmente uguali, quindi uno di essi può essere rimosso immediatamente e il resto moltiplicato per il coefficiente "-1" e ottenere la riga numero 3. E ancora, lascia una delle due righe identiche.

Si è rivelata una tale matrice. Il sistema non è stato ancora scritto, qui è necessario determinare le variabili di base - che si trovano nei coefficienti a 11 \u003d 1 e a 22 \u003d 1, e libere - tutto il resto.

La seconda equazione ha solo una variabile base - x 2 . Quindi si può esprimere da lì, scrivendo attraverso le variabili x 3 , x 4 , x 5 , che sono libere.

Sostituiamo l'espressione risultante nella prima equazione.

Si è rivelata un'equazione in cui l'unica variabile di base è x 1. Facciamo lo stesso che abbiamo fatto con x 2 .

Tutte le variabili di base, di cui ce ne sono due, sono espresse in termini di tre libere, ora puoi scrivere la risposta in forma generale.

È inoltre possibile specificare una delle soluzioni particolari del sistema. In questi casi, di regola, vengono scelti gli zeri come valori per le variabili libere. Allora la risposta sarà:

16, 23, 0, 0, 0.

Un esempio di sistema incompatibile

La soluzione di sistemi di equazioni incoerenti mediante il metodo Gauss è la più veloce. Termina non appena in una delle fasi si ottiene un'equazione che non ha soluzione. Cioè, scompare la fase con il calcolo delle radici, che è piuttosto lunga e noiosa. Si considera il seguente sistema:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Come di consueto, la matrice è compilata:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Ed è ridotto ad una forma a gradini:

k1 \u003d -2k 2 \u003d -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Dopo la prima trasformazione, la terza riga contiene un'equazione della forma

non avendo soluzione. Pertanto il sistema è incoerente e la risposta è l’insieme vuoto.

Vantaggi e svantaggi del metodo

Se scegli quale metodo risolvere SLAE su carta con una penna, il metodo considerato in questo articolo sembra il più attraente. Nelle trasformazioni elementari è molto più difficile confondersi di quanto non accada se si deve cercare manualmente il determinante o qualche complicata matrice inversa. Tuttavia, se si utilizzano programmi per lavorare con dati di questo tipo, ad esempio fogli di calcolo, si scopre che tali programmi contengono già algoritmi per il calcolo dei parametri principali delle matrici: determinante, minori, inverso e così via. E se sei sicuro che la macchina calcolerà questi valori da sola e non commetterà errori, è più opportuno utilizzare il metodo della matrice o le formule di Cramer, perché la loro applicazione inizia e termina con il calcolo dei determinanti e delle matrici inverse.

Applicazione

Poiché la soluzione gaussiana è un algoritmo e la matrice è, di fatto, un array bidimensionale, può essere utilizzata nella programmazione. Ma poiché l'articolo si propone come una guida "per manichini", va detto che il posto più semplice in cui inserire il metodo sono i fogli di calcolo, ad esempio Excel. Anche in questo caso, qualsiasi SLAE immesso in una tabella sotto forma di matrice verrà considerato da Excel come un array bidimensionale. E per operare con loro, ci sono molti comandi carini: addizione (puoi aggiungere solo matrici della stessa dimensione!), Moltiplicazione per un numero, moltiplicazione di matrici (anche con alcune restrizioni), ricerca delle matrici inverse e trasposte e, soprattutto , calcolando il determinante. Se questa attività dispendiosa in termini di tempo viene sostituita da un singolo comando, è molto più veloce determinare il rango di una matrice e, quindi, stabilirne la compatibilità o incoerenza.

Definizione e descrizione del metodo di Gauss

Il metodo della trasformata gaussiana (noto anche come metodo di eliminazione sequenziale di variabili sconosciute da un'equazione o da una matrice) per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari è un metodo classico per la risoluzione di un sistema di equazioni algebriche (SLAE). Inoltre, questo metodo classico viene utilizzato per risolvere problemi come ottenere matrici inverse e determinare il rango di una matrice.

La trasformazione secondo il metodo di Gauss consiste nell'apportare piccole modifiche successive (elementari) al sistema di equazioni algebriche lineari, portando all'eliminazione delle variabili da esso dall'alto verso il basso con la formazione di un nuovo sistema triangolare di equazioni, che è equivalente a quello originale.

Definizione 1

Questa parte della soluzione è chiamata soluzione gaussiana in avanti, poiché l'intero processo viene eseguito dall'alto verso il basso.

Dopo aver portato il sistema di equazioni originale a uno triangolare, tutte le variabili del sistema vengono trovate dal basso verso l'alto (cioè le prime variabili trovate si trovano esattamente sulle ultime righe del sistema o matrice). Questa parte della soluzione è nota anche come soluzione di Gauss inversa. Il suo algoritmo consiste nel seguente: prima vengono calcolate le variabili che sono più vicine alla fine del sistema di equazioni o di una matrice, quindi i valori ottenuti vengono sostituiti sopra e così si trova un'altra variabile, e così via.

Descrizione dell'algoritmo del metodo di Gauss

La sequenza di azioni per la soluzione generale del sistema di equazioni mediante il metodo di Gauss consiste nell'applicare alternativamente i tratti avanti e indietro alla matrice basata sullo SLAE. Supponiamo che il sistema di equazioni originale abbia la seguente forma:

$\begin(cases) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(casi)$

Per risolvere SLAE con il metodo Gauss, è necessario scrivere il sistema iniziale di equazioni sotto forma di matrice:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

La matrice $A$ è detta matrice principale e rappresenta i coefficienti delle variabili scritte in ordine, e $b$ è detta colonna dei suoi termini liberi. La matrice $A$ scritta lungo la riga con una colonna di membri liberi è detta matrice aumentata:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(array)$

Ora, utilizzando trasformazioni elementari sul sistema di equazioni (o sulla matrice, come è più conveniente), è necessario portarlo alla forma seguente:

$\begin(cases) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(casi)$ (1)

La matrice ottenuta dai coefficienti del sistema trasformato dell'equazione (1) è detta matrice a gradini, ecco come appaiono solitamente le matrici a gradini:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(array)$

Queste matrici sono caratterizzate dal seguente insieme di proprietà:

1. Tutte le sue righe zero vengono dopo quelle diverse da zero
2. Se una riga della matrice con indice $k$ è diversa da zero, allora ci sono meno zeri nella riga precedente della stessa matrice che in questa riga con indice $k$.

Dopo aver ottenuto la matrice a passi, è necessario sostituire le variabili ottenute nelle restanti equazioni (partendo dalla fine) e ottenere i restanti valori delle variabili.

Regole fondamentali e trasformazioni consentite nell'utilizzo del metodo di Gauss

Quando si semplifica una matrice o un sistema di equazioni con questo metodo, dovrebbero essere utilizzate solo trasformazioni elementari.

Tali trasformazioni sono operazioni che possono essere applicate ad una matrice o ad un sistema di equazioni senza cambiarne il significato:

• permutazione di più linee in luoghi,
• aggiungendo o sottraendo da una riga della matrice un'altra riga da essa,
• moltiplicando o dividendo una stringa per una costante diversa da zero,
• una riga composta da soli zeri, ottenuta nel processo di calcolo e semplificazione del sistema, deve essere cancellata,
• È inoltre necessario rimuovere le linee proporzionali non necessarie, scegliendo per il sistema l'unica con coefficienti più adatti e convenienti per ulteriori calcoli.

Tutte le trasformazioni elementari sono reversibili.

Analisi dei tre casi principali che si presentano quando si risolvono equazioni lineari utilizzando il metodo delle trasformazioni gaussiane semplici

Ci sono tre casi che si presentano quando si utilizza il metodo di Gauss per risolvere i sistemi:

1. Quando il sistema è incoerente, cioè non ha soluzioni
2. Il sistema di equazioni ha una soluzione, e l'unica, e il numero di righe e colonne diverse da zero nella matrice è uguale tra loro.
3. Il sistema ha un certo numero o insieme di possibili soluzioni e il numero di righe al suo interno è inferiore al numero di colonne.

Risultato della soluzione con sistema incoerente

Per questa variante, quando si risolve un'equazione di matrice con il metodo di Gauss, è tipico ottenere una linea con l'impossibilità di soddisfare l'uguaglianza. Pertanto, se si verifica almeno un'uguaglianza errata, i sistemi risultanti e originali non hanno soluzioni, indipendentemente dalle altre equazioni che contengono. Un esempio di matrice incoerente:

$\begin(array)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)$

Nell'ultima riga è apparsa un'uguaglianza non soddisfatta: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

Un sistema di equazioni che ha una sola soluzione

I dati del sistema dopo la riduzione a una matrice a gradini e la cancellazione delle righe con zeri hanno lo stesso numero di righe e colonne nella matrice principale. Ecco un semplice esempio di tale sistema:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(cases)$

Scriviamolo sotto forma di matrice:

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(array)$

Per portare a zero la prima cella della seconda riga, moltiplica la riga superiore per $-2$ e sottraila dalla riga inferiore della matrice e lascia la riga superiore nella sua forma originale, di conseguenza abbiamo quanto segue:

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(array)$

Questo esempio può essere scritto come un sistema:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(cases)$

Il seguente valore di $x$ risulta dall'equazione inferiore: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. Sostituendo questo valore nell'equazione superiore: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, otteniamo $x_1 = 1 \frac(2)(3)$.

Un sistema con tante soluzioni possibili

Questo sistema è caratterizzato da un numero di righe significative inferiore al numero di colonne in esso contenute (vengono prese in considerazione le righe della matrice principale).

Le variabili in tale sistema sono divise in due tipi: base e gratuite. Quando si trasforma un tale sistema, le variabili principali in esso contenute devono essere lasciate nell'area sinistra prima del segno "=" e le restanti variabili devono essere trasferite sul lato destro dell'uguaglianza.

Un tale sistema ha solo una certa soluzione generale.

Analizziamo il seguente sistema di equazioni:

$\begin(cases) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(cases)$

Scriviamolo sotto forma di matrice:

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(array)$

Il nostro compito è trovare una soluzione generale al sistema. Per questa matrice, le variabili di base saranno $y_1$ e $y_3$ (per $y_1$ - poiché è al primo posto, e nel caso di $y_3$ - si trova dopo gli zeri).

Come variabili di base scegliamo esattamente quelle che non sono uguali a zero per prime nella riga.

Le restanti variabili sono dette libere, attraverso di esse dobbiamo esprimere quelle di base.

Usando la cosiddetta mossa inversa, smontiamo il sistema dal basso verso l'alto, per questo esprimiamo prima $y_3$ dalla linea di fondo del sistema:

$5a_3 – 4a_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

Ora sostituiamo $y_3$ espresso nell'equazione superiore del sistema $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1$

Esprimiamo $y_1$ in termini di variabili libere $y_2$ e $y_4$:

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 - 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) - y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1,5x_2 – 0,1y_4 + 0,6$

La decisione è pronta.

Esempio 1

Risolvi lo slough utilizzando il metodo gaussiano. Esempi. Un esempio di risoluzione di un sistema di equazioni lineari dato da una matrice 3 per 3 utilizzando il metodo di Gauss

$\begin(cases) 4x_1 + 2x_2 - x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 0 \end(cases)$

Scriviamo il nostro sistema sotto forma di matrice aumentata:

$\begin(array)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

Ora, per comodità e praticità, dobbiamo trasformare la matrice in modo che $1$ si trovi nell'angolo superiore dell'ultima colonna.

Per fare ciò, dobbiamo aggiungere la linea centrale moltiplicata per $-1$ alla prima riga e scrivere la linea centrale stessa così com'è, risulta:

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(array) $

Moltiplica la riga superiore e l'ultima per $-1$ e scambia l'ultima riga con quella centrale:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(array)$

E dividi l'ultima riga per $ 3 $:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(array)$

Otteniamo il seguente sistema di equazioni, equivalente a quello originale:

$\begin(cases) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(cases)$

Dall'equazione superiore, esprimiamo $x_1$:

$x1 = 1 + x_3 - x_2 = 1 + 1 - 3 = -1$.

Esempio 2

Un esempio di risoluzione di un sistema definito utilizzando una matrice 4 per 4 utilizzando il metodo gaussiano

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(array)$.

All'inizio, scambiamo le righe superiori che la seguono per ottenere $1$ nell'angolo in alto a sinistra:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(array)$.

Ora moltiplichiamo la riga superiore per $-2$ e aggiungiamo alla 2a e alla 3a. Alla 4a aggiungiamo la 1a riga, moltiplicata per $-3$:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \end(array)$

Ora alla riga numero 3 aggiungiamo la riga 2 moltiplicata per $4$, e alla riga 4 aggiungiamo la riga 2 moltiplicata per $-1$.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(array)$

Moltiplica la riga 2 per $-1$, dividi la riga 4 per $3$ e sostituisci la riga 3.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ \end(array)$

Ora aggiungiamo all'ultima riga la penultima, moltiplicata per $-5$.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end(array)$

Risolviamo il sistema di equazioni risultante:

$\begin(casi) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end(casi)$