Lezione e presentazione sul tema: "Laurea con indicatore negativo. Definizione ed esempi di problem solving"

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Determinazione del grado con esponente negativo

Ragazzi, siamo bravi a elevare i numeri a potenza.
Ad esempio: $2^4=2*2*2*2=16$  $((-3))^3=(-3)*(-3)*(-3)=27$.

Sappiamo bene che qualsiasi numero elevato a zero è uguale a uno. $a^0=1$, $a≠0$.
Sorge la domanda: cosa succede se elevi un numero a una potenza negativa? Ad esempio, a quanto sarebbe uguale il numero $2^(-2)$?
I primi matematici che si posero questa domanda decisero che non valeva la pena reinventare la ruota, ed era positivo che tutte le proprietà dei gradi rimanessero le stesse. Cioè, quando si moltiplicano potenze con la stessa base, gli esponenti si sommano.
Consideriamo questo caso: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.
Abbiamo capito che il prodotto di tali numeri dovrebbe dare l'unità. L'unità del prodotto si ottiene moltiplicando i reciproci, ovvero $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$.

Tale ragionamento ha portato alla seguente definizione.
Definizione. Se $n$ è un numero naturale e $а≠0$, allora vale la seguente uguaglianza: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.

Un'identità importante che viene spesso utilizzata: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.
In particolare, $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

Esempi di soluzioni

Esempio 1
Calcola: $2^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$.

Soluzione.
Consideriamo ogni termine separatamente.
1. $2^(-3)=\frac(1)(2^3)=\frac(1)(2*2*2)=\frac(1)(8)$.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4)$.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
Resta da eseguire le operazioni di addizione e sottrazione: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4)$.
Risposta: $6\frac(1)(4)$.

Esempio 2
Esprimi il numero dato come potenza di un numero primo $\frac(1)(729)$.

Soluzione.
Ovviamente $\frac(1)(729)=729^(-1)$.
Ma 729 non è un numero primo che termina con 9. Possiamo supporre che questo numero sia una potenza di tre. Dividiamo in sequenza 729 per 3.
1) $\frac(729)(3)=243$;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$.
Sono state completate sei operazioni, il che significa: $729=3^6$.
Per il nostro compito:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Risposta: $3^(-6)$.

Esempio 3. Esprimere l'espressione come potenza: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))$.
Soluzione. La prima operazione si fa sempre tra parentesi, poi la moltiplicazione $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1) )=\frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^((-5)) )=a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
Risposta: $a$.

Esempio 4. Dimostrare l'identità:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2 )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1 )+1)=\frac(x-y)(x+y)$.

Soluzione.
Sul lato sinistro, considera separatamente ciascun fattore tra parentesi.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x) ) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2 )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. Passiamo alla frazione per cui dividiamo.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$.
5. Facciamo la divisione.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
Abbiamo ottenuto l'identità corretta, che doveva essere dimostrata.

Alla fine della lezione scriveremo nuovamente le regole per le azioni con gradi, qui l'esponente è un numero intero.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.

Compiti per una soluzione indipendente

1. Calcola: $3^(-2)+(\frac(3)(4))^(-3)+9^(-1)$.
2. Rappresenta il numero dato come potenza di un numero primo $\frac(1)(16384)$.
3. Esprimi l'espressione come grado:
$\frac(b^(-8)*(b^3)^(-4))((b^2*b^(-7))^3)$.
4. Dimostrare l'identità:
$(\frac(b^(-m)-c^(-m))(b^(-m)+c^(-m))+\frac(b^(-m)+c^(-m ))(c^(-m)-b^(-m)))=\frac(4)(b^m c^(-m)-b^(-m)c^m) $.

Primo livello

Grado e sue proprietà. Guida completa (2019)

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Andiamo... (Andiamo!)

Nota importante! Se invece delle formule vedi parole senza senso, svuota la cache. Per fare ciò, premi CTRL+F5 (su Windows) o Cmd+R (su Mac).

PRIMO LIVELLO

L'esponenziazione è la stessa operazione matematica dell'addizione, della sottrazione, della moltiplicazione o della divisione.

Ora spiegherò tutto in linguaggio umano utilizzando esempi molto semplici. Stai attento. Gli esempi sono elementari, ma spiegano cose importanti.

Cominciamo con l'addizione.

Non c'è niente da spiegare qui. Sai già tutto: siamo in otto. Ognuno ha due bottiglie di cola. Quanta cola? Esatto: 16 bottiglie.

Ora la moltiplicazione.

Lo stesso esempio con la cola può essere scritto in modo diverso: . I matematici sono persone astute e pigre. Prima notano alcuni schemi e poi trovano un modo per “contarli” più velocemente. Nel nostro caso, hanno notato che ciascuna delle otto persone aveva lo stesso numero di bottiglie di cola e hanno escogitato una tecnica chiamata moltiplicazione. D'accordo, è considerato più facile e veloce di.

Quindi, per contare più velocemente, più facilmente e senza errori, devi solo ricordare tabellina. Certo, puoi fare tutto più lentamente, più duramente e con errori! Ma…

Ecco la tavola pitagorica. Ripetere.

E un altro, più carino:

E quali altri trucchi di conteggio hanno escogitato i matematici pigri? Giusto - elevando un numero a una potenza.

Elevare un numero a una potenza

Se devi moltiplicare un numero per se stesso cinque volte, i matematici dicono che devi elevare questo numero alla quinta potenza. Per esempio, . I matematici ricordano che due alla quinta potenza è. E risolvi questi enigmi nella mente: più velocemente, più facilmente e senza errori.

Per fare questo, hai solo bisogno ricorda cosa è evidenziato a colori nella tabella delle potenze dei numeri. Credimi, ti renderà la vita molto più semplice.

A proposito, perché si chiama il secondo grado piazza numeri e il terzo cubo? Cosa significa? Un'ottima domanda Ora avrai sia quadrati che cubi.

Esempio di vita reale n. 1

Cominciamo con un quadrato o la seconda potenza di un numero.

Immagina una piscina quadrata che misura metri per metri. La piscina è nel tuo cortile. Fa caldo e ho tanta voglia di nuotare. Ma... una piscina senza fondo! È necessario rivestire il fondo della piscina con piastrelle. Quante piastrelle ti servono? Per determinarlo è necessario conoscere l'area del fondo della piscina.

Puoi semplicemente contare toccando il dito che il fondo della piscina è composto da cubi metro per metro. Se le tue piastrelle sono metro per metro, avrai bisogno di pezzi. E' facile... Ma dove hai visto una piastrella così? La tessera sarà piuttosto cm per cm e poi ti tormenterai “contando con il dito”. Allora devi moltiplicare. Quindi, da un lato del fondo della piscina metteremo le piastrelle (pezzi) e dall'altro anche le piastrelle. Moltiplicando per, ottieni tessere ().

Hai notato che abbiamo moltiplicato lo stesso numero per se stesso per determinare l'area del fondo della piscina? Cosa significa? Poiché lo stesso numero viene moltiplicato, possiamo utilizzare la tecnica dell'elevamento a potenza. (Naturalmente, quando hai solo due numeri, devi comunque moltiplicarli o elevarli a potenza. Ma se ne hai molti, allora elevarli a potenza è molto più semplice e ci sono anche meno errori nei calcoli Per l'esame questo è molto importante).
Quindi, trenta al secondo grado saranno (). Oppure puoi dire che lo saranno trenta quadrati. In altre parole, la seconda potenza di un numero può sempre essere rappresentata come un quadrato. E viceversa, se vedi un quadrato, è SEMPRE la seconda potenza di qualche numero. Un quadrato è l'immagine della seconda potenza di un numero.

Esempio di vita reale n. 2

Ecco un compito per te, conta quanti quadrati ci sono sulla scacchiera usando il quadrato del numero ... Da un lato delle celle e anche dall'altro. Per contare il loro numero, devi moltiplicare otto per otto, oppure... se noti che una scacchiera è un quadrato con un lato, allora puoi elevare otto. Ottieni celle. () COSÌ?

Esempio di vita reale n. 3

Ora il cubo o la terza potenza di un numero. La stessa piscina. Ma ora devi scoprire quanta acqua dovrà essere versata in questa piscina. Devi calcolare il volume. (I volumi e i liquidi, tra l'altro, si misurano in metri cubi. Inaspettato, vero?) Disegna una piscina: un fondo largo un metro e profondo un metro e prova a calcolare quanti cubi di un metro per metro entreranno nella tua piscina.

Basta puntare il dito e contare! Uno, due, tre, quattro... ventidue, ventitré... Quanto è venuto fuori? Non ti sei perso? È difficile contare con il dito? Affinché! Prendiamo un esempio dai matematici. Sono pigri, quindi hanno notato che per calcolare il volume della piscina, è necessario moltiplicarne la lunghezza, la larghezza e l'altezza. Nel nostro caso il volume della piscina sarà pari a cubi... Più facile, vero?

Ora immagina quanto siano pigri e astuti i matematici se lo rendono troppo facile. Ridotto tutto a un'unica azione. Hanno notato che la lunghezza, la larghezza e l'altezza sono uguali e che lo stesso numero si moltiplica per se stesso... E questo cosa significa? Ciò significa che puoi utilizzare la laurea. Quindi, quello che una volta contavi con un dito, lo fanno in un'unica azione: tre in un cubo è uguale. E' scritto così:

Resta solo memorizzare la tabella dei gradi. A meno che, ovviamente, tu non sia pigro e astuto come i matematici. Se ti piace lavorare duro e commettere errori, puoi continuare a contare con il dito.

Bene, per convincerti finalmente che i diplomi sono stati inventati da fannulloni e persone astute per risolvere i loro problemi di vita e non per crearti problemi, ecco un altro paio di esempi dalla vita.

Esempio di vita reale n. 4

Hai un milione di rubli. All'inizio di ogni anno guadagni un altro milione per ogni milione. Cioè, ciascuno dei tuoi milioni all'inizio di ogni anno raddoppia. Quanti soldi avrai tra anni? Se ora sei seduto e "conta con il dito", allora sei una persona molto laboriosa e ... stupida. Ma molto probabilmente darai una risposta in un paio di secondi, perché sei intelligente! Quindi, nel primo anno - due volte due ... nel secondo anno - cosa è successo, in altri due, nel terzo anno ... Stop! Hai notato che il numero viene moltiplicato per se stesso una volta. Quindi due alla quinta potenza fanno un milione! Ora immagina di avere una competizione e chi calcola più velocemente otterrà questi milioni ... Vale la pena ricordare i gradi dei numeri, cosa ne pensi?

Esempio di vita reale n. 5

Ne hai un milione. All'inizio di ogni anno ne guadagni due in più per ogni milione. È fantastico, vero? Ogni milione viene triplicato. Quanti soldi avrai tra un anno? Contiamo. Il primo anno: moltiplica per, poi il risultato per un altro ... È già noioso, perché hai già capito tutto: tre si moltiplica per se stesso volte. Quindi la quarta potenza è un milione. Devi solo ricordare che tre alla quarta potenza è o.

Ora sai che elevando un numero a una potenza ti semplificherai la vita. Diamo un'ulteriore occhiata a cosa puoi fare con i titoli di studio e cosa devi sapere al riguardo.

Termini e concetti... per non confondersi

Quindi, per prima cosa, definiamo i concetti. Cosa ne pensi, cos'è l'esponente? È molto semplice: questo è il numero che è "al vertice" della potenza del numero. Non scientifico, ma chiaro e facile da ricordare...

Ebbene, allo stesso tempo, cosa una tale base di laurea? Ancora più semplice è il numero che sta in basso, alla base.

Ecco una foto per essere sicuro.

Ebbene, in termini generali, per generalizzare e ricordare meglio ... Una laurea con una base "" e un indicatore "" si legge come "nella laurea" e si scrive così:

Potenza di un numero con esponente naturale

Probabilmente hai già indovinato: perché l'esponente è un numero naturale. Sì, ma cos'è numero naturale? Elementare! I numeri naturali sono quelli utilizzati nel conteggio quando si elencano gli oggetti: uno, due, tre... Quando contiamo gli oggetti, non diciamo: "meno cinque", "meno sei", "meno sette". Non diciamo nemmeno "un terzo" o "zero virgola cinque decimi". Questi non sono numeri naturali. Cosa pensi che siano questi numeri?

Numeri come "meno cinque", "meno sei", "meno sette" si riferiscono a numeri interi. In generale, gli interi includono tutti i numeri naturali, i numeri opposti ai numeri naturali (cioè presi con il segno meno) e un numero. Lo zero è facile da capire: è quando non c'è nulla. E cosa significano i numeri negativi ("meno")? Ma sono stati inventati principalmente per indicare i debiti: se hai un saldo in rubli sul tuo telefono, significa che devi rubli all'operatore.

Tutte le frazioni sono numeri razionali. Come sono nati, secondo te? Molto semplice. Diverse migliaia di anni fa, i nostri antenati scoprirono di non avere abbastanza numeri naturali per misurare la lunghezza, il peso, l’area, ecc. E hanno inventato numeri razionali…Interessante, vero?

Esistono anche numeri irrazionali. Quali sono questi numeri? Insomma, una frazione decimale infinita. Ad esempio, se dividi la circonferenza di un cerchio per il suo diametro, otterrai un numero irrazionale.

Riepilogo:

Definiamo il concetto di grado, il cui esponente è un numero naturale (cioè intero e positivo).

1. Qualsiasi numero elevato alla prima potenza è uguale a se stesso:
2. Quadrare un numero significa moltiplicarlo per se stesso:
3. Fare il cubo di un numero significa moltiplicarlo per se stesso tre volte:

Definizione. Elevare un numero a potenza naturale significa moltiplicare il numero per se stesso volte:
.

Proprietà dei gradi

Da dove provengono queste proprietà? Te lo mostrerò adesso.

Vediamo di cosa si tratta E ?

A priori:

Quanti moltiplicatori ci sono in totale?

È molto semplice: abbiamo aggiunto fattori ai fattori e il risultato sono fattori.

Ma per definizione, questo è il grado di un numero con esponente, cioè: , che doveva essere dimostrato.

Esempio: Semplifica l'espressione.

Soluzione:

Esempio: Semplifica l'espressione.

Soluzione:È importante notare che nella nostra regola Necessariamente deve essere lo stesso motivo!
Combiniamo quindi i gradi con la base, ma restiamo un fattore separato:

solo per i prodotti dei poteri!

In nessun caso dovresti scriverlo.

2. cioè -esima potenza di un numero

Esattamente come per la proprietà precedente, passiamo alla definizione di laurea:

Si scopre che l'espressione viene moltiplicata per se stessa una volta, cioè, secondo la definizione, questa è l'esima potenza del numero:

In realtà, questo può essere chiamato "raggruppamento dell'indicatore". Ma non puoi mai farlo in totale:

Ricordiamo le formule per la moltiplicazione abbreviata: quante volte volevamo scrivere?

Ma non è vero, davvero.

Grado con base negativa

Finora abbiamo discusso solo di quale dovrebbe essere l’esponente.

Ma quale dovrebbe essere la base?

In gradi da indicatore naturale la base potrebbe essere qualsiasi numero. In effetti, possiamo moltiplicare qualsiasi numero tra loro, siano essi positivi, negativi o pari.

Pensiamo a quali segni ("" o "") avranno gradi di numeri positivi e negativi?

Ad esempio, il numero sarà positivo o negativo? UN? ? Con il primo tutto è chiaro: non importa quanti numeri positivi moltiplichiamo tra loro, il risultato sarà positivo.

Ma quelli negativi sono un po’ più interessanti. Dopotutto, ricordiamo una semplice regola della prima media: "un meno per un meno dà un più". Cioè, o. Ma se moltiplichiamo per, risulta.

Determina tu stesso quale segno avranno le seguenti espressioni:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Sei riuscito?

Ecco le risposte: Nei primi quattro esempi spero che sia tutto chiaro? Guardiamo semplicemente la base e l'esponente e applichiamo la regola appropriata.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Nell'esempio 5), anche tutto non è così spaventoso come sembra: non importa a cosa sia uguale la base: il grado è pari, il che significa che il risultato sarà sempre positivo.

Bene, tranne quando la base è zero. La base non è la stessa, vero? Ovviamente no, poiché (perché).

Esempio 6) non è più così semplice!

6 esempi pratici

Analisi della soluzione 6 esempi

Se non prestiamo attenzione all'ottavo grado, cosa vediamo qui? Diamo un'occhiata al programma di 7a elementare. Allora, ricordi? Questa è la formula di moltiplicazione abbreviata, cioè la differenza dei quadrati! Noi abbiamo:

Osserviamo attentamente il denominatore. Assomiglia molto a uno dei fattori del numeratore, ma cosa c'è che non va? Ordine sbagliato dei termini. Se venissero scambiati, la regola potrebbe applicarsi.

ma come farlo? Si scopre che è molto semplice: il grado pari del denominatore ci aiuta qui.

I termini hanno magicamente cambiato posto. Questo "fenomeno" si applica in misura uniforme a qualsiasi espressione: possiamo cambiare liberamente i segni tra parentesi.

Ma è importante ricordare: tutti i segni cambiano contemporaneamente!

Torniamo all'esempio:

E ancora la formula:

Totale chiamiamo i numeri naturali, i loro opposti (cioè presi con il segno "") e il numero.

intero positivo, e non è diverso da quello naturale, quindi tutto appare esattamente come nella sezione precedente.

Ora diamo un'occhiata ai nuovi casi. Cominciamo con un indicatore pari a.

Qualsiasi numero elevato a zero è uguale a uno:

Come sempre ci chiediamo: perché è così?

Considera un po 'di potere con una base. Prendiamo ad esempio e moltiplichiamo per:

Quindi abbiamo moltiplicato il numero per e abbiamo ottenuto lo stesso -. Per quale numero bisogna moltiplicare affinché non cambi nulla? Esatto, avanti. Significa.

Possiamo fare lo stesso con un numero arbitrario:

Ripetiamo la regola:

Qualsiasi numero elevato a zero è uguale a uno.

Ma ci sono eccezioni a molte regole. Ed eccolo anche lì: questo è un numero (come base).

Da un lato, deve essere uguale in qualsiasi grado: non importa quanto moltiplichi lo zero per se stesso, otterrai comunque zero, questo è chiaro. Ma d'altra parte, come ogni numero fino al grado zero, deve essere uguale. Allora qual è la verità in tutto ciò? I matematici decisero di non farsi coinvolgere e rifiutarono di elevare lo zero alla potenza zero. Cioè, ora non solo possiamo dividere per zero, ma anche elevarlo a zero.

Andiamo oltre. Oltre ai numeri naturali e ai numeri, gli interi includono numeri negativi. Per capire cos'è un grado negativo, facciamo lo stesso dell'ultima volta: moltiplichiamo un numero normale per lo stesso in grado negativo:

Da qui è già facile esprimere il desiderato:

Ora estendiamo la regola risultante in misura arbitraria:

Quindi, formuliamo la regola:

Un numero elevato a potenza negativa è l'inverso dello stesso numero elevato a potenza positiva. Ma allo stesso tempo la base non può essere nulla:(perché è impossibile dividere).

Riassumiamo:

I. L'espressione non è definita nel caso in cui. Se poi.

II. Qualsiasi numero elevato a zero è uguale a uno: .

III. Un numero che non è uguale a zero elevato a una potenza negativa è l'inverso dello stesso numero elevato a una potenza positiva: .

Compiti per una soluzione indipendente:

Bene, come al solito, esempi per una soluzione indipendente:

Analisi dei compiti per una soluzione indipendente:

Lo so, lo so, i numeri fanno paura, ma all'esame devi essere pronto a tutto! Risolvi questi esempi o analizza la loro soluzione se non riesci a risolverli e imparerai come affrontarli facilmente durante l'esame!

Continuiamo ad espandere la cerchia dei numeri "adatti" come esponente.

Ora considera numeri razionali. Quali numeri sono detti razionali?

Risposta: tutto ciò che può essere rappresentato come una frazione, dove e sono interi, inoltre.

Per capire cosa è "grado frazionario" Consideriamo una frazione:

Eleviamo a potenza entrambi i membri dell'equazione:

Ora ricorda la regola "grado per grado":

Quale numero deve essere elevato a una potenza per ottenere?

Questa formulazione è la definizione della radice del esimo grado.

Lascia che te lo ricordi: la radice dell'esima potenza di un numero () è un numero che, elevato a potenza, è uguale.

Cioè la radice del -esimo grado è l'operazione inversa dell'elevamento a potenza: .

Si scopre che. Ovviamente questo caso particolare può essere esteso: .

Ora aggiungi il numeratore: che cos'è? La risposta è facile da ottenere con la regola potere-potere:

Ma la base può essere un numero qualsiasi? Dopotutto, la radice non può essere estratta da tutti i numeri.

Nessuno!

Ricorda la regola: qualsiasi numero elevato a una potenza pari è un numero positivo. Cioè, è impossibile estrarre radici di grado pari da numeri negativi!

E questo significa che tali numeri non possono essere elevati a una potenza frazionaria con un denominatore pari, cioè l'espressione non ha senso.

E l'espressione?

Ma qui sorge un problema.

Il numero può essere rappresentato come altre frazioni ridotte, ad esempio, o.

E si scopre che esiste, ma non esiste, e questi sono solo due record diversi con lo stesso numero.

Oppure un altro esempio: una volta e poi puoi scriverlo. Ma non appena scriviamo l'indicatore in modo diverso, ci troviamo di nuovo nei guai: (cioè, abbiamo ottenuto un risultato completamente diverso!).

Per evitare tali paradossi, considera solo esponente di base positivo con esponente frazionario.

Quindi se:

• - numero naturale;
• è un numero intero;

Esempi:

Le potenze con esponente razionale sono molto utili per trasformare espressioni con radici, ad esempio:

5 esempi pratici

Analisi di 5 esempi per la formazione

Bene, ora - il più difficile. Ora analizzeremo grado con esponente irrazionale.

Tutte le regole e le proprietà dei gradi qui sono esattamente le stesse dei gradi con esponente razionale, ad eccezione di

Infatti, per definizione, i numeri irrazionali sono numeri che non possono essere rappresentati come una frazione, dove e sono numeri interi (ovvero, i numeri irrazionali sono tutti numeri reali tranne quelli razionali).

Quando studiavamo i titoli con un indicatore naturale, intero e razionale, ogni volta inventavamo una certa “immagine”, “analogia” o descrizione in termini più familiari.

Ad esempio, un esponente naturale è un numero moltiplicato per se stesso più volte;

...potenza nulla- questo è, per così dire, un numero moltiplicato per se stesso una volta, cioè non ha ancora iniziato a moltiplicarsi, il che significa che il numero stesso non è ancora apparso - quindi il risultato è solo un certo "numero vuoto" , ovvero il numero;

...esponente intero negativo- è come se fosse avvenuto un certo “processo inverso”, cioè il numero non è stato moltiplicato per se stesso, ma diviso.

A proposito, la scienza usa spesso un grado con un esponente complesso, cioè un esponente non è nemmeno un numero reale.

Ma a scuola non pensiamo a queste difficoltà, avrai l’opportunità di comprendere questi nuovi concetti all’istituto.

DOVE SIAMO SICURI CHE ANDRAI! (se impari a risolvere questi esempi :))

Per esempio:

Decidi tu stesso:

Analisi delle soluzioni:

1. Cominciamo con la già consueta regola per elevare una laurea in laurea:

Ora guarda il punteggio. Ti ricorda qualcosa? Ricordiamo la formula per la moltiplicazione abbreviata della differenza dei quadrati:

In questo caso,

Si scopre che:

Risposta: .

2. Portiamo le frazioni in esponenti nella stessa forma: entrambe decimali o entrambe ordinarie. Otteniamo, ad esempio:

Risposta: 16

3. Niente di speciale, applichiamo le solite proprietà dei gradi:

LIVELLO AVANZATO

Definizione di laurea

Il grado è espressione della forma: , dove:

• — base di laurea;
• - esponente.

Grado con esponente naturale (n = 1, 2, 3,...)

Elevare un numero alla potenza naturale n significa moltiplicare il numero per se stesso volte:

Potenza con esponente intero (0, ±1, ±2,...)

Se l'esponente è intero positivo numero:

erezione a potenza zero:

L'espressione è indefinita, perché da un lato qualsiasi grado è questo e dall'altro qualsiasi numero fino al decimo grado è questo.

Se l'esponente è intero negativo numero:

(perché è impossibile dividere).

Ancora una volta sui nulli: l'espressione non è definita nel caso. Se poi.

Esempi:

Laurea con esponente razionale

• - numero naturale;
• è un numero intero;

Esempi:

Proprietà dei gradi

Per facilitare la risoluzione dei problemi, proviamo a capire: da dove vengono queste proprietà? Dimostriamoli.

Vediamo: cos'è e?

A priori:

Quindi, a destra di questa espressione, si ottiene il seguente prodotto:

Ma per definizione, questa è una potenza di un numero con un esponente, cioè:

Q.E.D.

Esempio : Semplifica l'espressione.

Soluzione : .

Esempio : Semplifica l'espressione.

Soluzione : È importante notare che nella nostra regola Necessariamente deve essere sulla stessa base. Combiniamo quindi i gradi con la base, ma restiamo un fattore separato:

Un'altra nota importante: questa regola - solo per i prodotti dei poteri!

In nessun caso dovrei scriverlo.

Esattamente come per la proprietà precedente, passiamo alla definizione di laurea:

Riorganizziamolo in questo modo:

Si scopre che l'espressione viene moltiplicata per se stessa una volta, cioè, secondo la definizione, questa è la -esima potenza del numero:

In realtà, questo può essere chiamato "raggruppamento dell'indicatore". Ma non puoi mai farlo in totale:!

Ricordiamo le formule per la moltiplicazione abbreviata: quante volte volevamo scrivere? Ma non è vero, davvero.

Potenza con base negativa.

Finora abbiamo discusso solo di ciò che dovrebbe essere indice grado. Ma quale dovrebbe essere la base? In gradi da naturale indicatore la base potrebbe essere qualsiasi numero .

In effetti, possiamo moltiplicare qualsiasi numero tra loro, siano essi positivi, negativi o pari. Pensiamo a quali segni ("" o "") avranno gradi di numeri positivi e negativi?

Ad esempio, il numero sarà positivo o negativo? UN? ?

Con il primo tutto è chiaro: non importa quanti numeri positivi moltiplichiamo tra loro, il risultato sarà positivo.

Ma quelli negativi sono un po’ più interessanti. Dopotutto, ricordiamo una semplice regola della prima media: "un meno per un meno dà un più". Cioè, o. Ma se moltiplichiamo per (), otteniamo -.

E così all'infinito: ad ogni moltiplicazione successiva il segno cambierà. Puoi formulare queste semplici regole:

1. Anche grado, - numero positivo.
2. Numero negativo elevato a strano grado, - numero negativo.
3. Un numero positivo rispetto a qualsiasi potenza è un numero positivo.
4. Zero a qualsiasi potenza è uguale a zero.

Determina tu stesso quale segno avranno le seguenti espressioni:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Sei riuscito? Ecco le risposte:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Nei primi quattro esempi, spero che sia tutto chiaro? Guardiamo semplicemente la base e l'esponente e applichiamo la regola appropriata.

Nell'esempio 5), anche tutto non è così spaventoso come sembra: non importa a cosa sia uguale la base: il grado è pari, il che significa che il risultato sarà sempre positivo. Bene, tranne quando la base è zero. La base non è la stessa, vero? Ovviamente no, poiché (perché).

Esempio 6) non è più così semplice. Qui devi scoprire quale è meno: o? Se lo ricordi, diventa chiaro che ciò significa che la base è inferiore a zero. Applichiamo cioè la regola 2: il risultato sarà negativo.

E ancora usiamo la definizione di grado:

Tutto è come al solito: scriviamo la definizione dei gradi e li dividiamo l'uno nell'altro, li dividiamo in coppie e otteniamo:

Prima di analizzare l'ultima regola, risolviamo alcuni esempi.

Calcola i valori delle espressioni:

Soluzioni :

Se non prestiamo attenzione all'ottavo grado, cosa vediamo qui? Diamo un'occhiata al programma di 7a elementare. Allora, ricordi? Questa è la formula di moltiplicazione abbreviata, cioè la differenza dei quadrati!

Noi abbiamo:

Osserviamo attentamente il denominatore. Assomiglia molto a uno dei fattori del numeratore, ma cosa c'è che non va? Ordine sbagliato dei termini. Se fossero invertite si potrebbe applicare la regola 3. Ma come fare? Si scopre che è molto semplice: il grado pari del denominatore ci aiuta qui.

Se lo moltiplichi per non cambia nulla, giusto? Ma ora sembra così:

I termini hanno magicamente cambiato posto. Questo "fenomeno" si applica in misura uniforme a qualsiasi espressione: possiamo cambiare liberamente i segni tra parentesi. Ma è importante ricordare: tutti i segni cambiano allo stesso tempo! Non può essere sostituito modificando solo un aspetto negativo per noi discutibile!

Torniamo all'esempio:

E ancora la formula:

Quindi ora l'ultima regola:

Come lo dimostreremo? Naturalmente, come al solito: espandiamo il concetto di laurea e semplifichiamo:

Bene, ora apriamo le parentesi. Quante lettere ci saranno? volte per moltiplicatori: come appare? Questa non è altro che la definizione di un'operazione moltiplicazione: in totale si sono rivelati moltiplicatori. Cioè, è, per definizione, una potenza di un numero con un esponente:

Esempio:

Laurea con esponente irrazionale

Oltre alle informazioni sui gradi per il livello medio, analizzeremo il grado con un indicatore irrazionale. Tutte le regole e le proprietà dei gradi qui sono esattamente le stesse di un grado con esponente razionale, con l'eccezione che, dopo tutto, per definizione, i numeri irrazionali sono numeri che non possono essere rappresentati come una frazione, dove e sono numeri interi (cioè , i numeri irrazionali sono tutti numeri reali tranne quelli razionali).

Quando studiavamo i titoli con un indicatore naturale, intero e razionale, ogni volta inventavamo una certa “immagine”, “analogia” o descrizione in termini più familiari. Ad esempio, un esponente naturale è un numero moltiplicato per se stesso più volte; un numero al grado zero è, per così dire, un numero moltiplicato per se stesso una volta, cioè non ha ancora iniziato a moltiplicarsi, il che significa che il numero stesso non è ancora apparso - quindi il risultato è solo un certa “preparazione di un numero”, cioè un numero; un grado con un indicatore intero negativo - è come se si fosse verificato un certo "processo inverso", cioè il numero non è stato moltiplicato per se stesso, ma diviso.

È estremamente difficile immaginare un grado con un esponente irrazionale (così come è difficile immaginare uno spazio quadridimensionale). Si tratta piuttosto di un oggetto puramente matematico che i matematici hanno creato per estendere il concetto di grado all'intero spazio dei numeri.

A proposito, la scienza usa spesso un grado con un esponente complesso, cioè un esponente non è nemmeno un numero reale. Ma a scuola non pensiamo a queste difficoltà, avrai l’opportunità di comprendere questi nuovi concetti all’istituto.

Allora cosa facciamo se vediamo un esponente irrazionale? Stiamo facendo del nostro meglio per sbarazzarcene! :)

Per esempio:

Decidi tu stesso:

1)

2)

3)

Risposte:

1. Ricorda la formula della differenza dei quadrati. Risposta: .
2. Portiamo le frazioni nella stessa forma: entrambi i decimali o entrambi quelli ordinari. Otteniamo, ad esempio: .
3. Niente di speciale, applichiamo le solite proprietà dei gradi:

SOMMARIO DELLA SEZIONE E FORMULA BASE

Gradoè chiamata espressione della forma: , dove:

Grado con esponente intero

grado, il cui esponente è un numero naturale (cioè intero e positivo).

Laurea con esponente razionale

grado, il cui indicatore è costituito da numeri negativi e frazionari.

Laurea con esponente irrazionale

esponente il cui esponente è una frazione decimale o radice infinita.

Proprietà dei gradi

Caratteristiche dei gradi.

• Numero negativo elevato a Anche grado, - numero positivo.
• Numero negativo elevato a strano grado, - numero negativo.
• Un numero positivo rispetto a qualsiasi potenza è un numero positivo.
• Zero è uguale a qualsiasi potenza.
• Qualsiasi numero elevato a zero è uguale.

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Conosciamo tutti a scuola la regola sull'elevazione a potenza: qualsiasi numero con esponente N è uguale al risultato della moltiplicazione di questo numero per se stesso N volte. In altre parole, 7 elevato a 3 è 7 moltiplicato per se stesso tre volte, ovvero 343. Un'altra regola: elevare qualsiasi valore alla potenza di 0 dà uno e aumentare un valore negativo è il risultato dell'esponenziazione ordinaria, se è pari e lo stesso risultato con un segno meno se è dispari.

Le regole danno anche una risposta su come elevare un numero a una potenza negativa. Per fare ciò, è necessario aumentare il valore richiesto del modulo dell'indicatore nel solito modo, quindi dividere l'unità per il risultato.

Da queste regole risulta chiaro che l'attuazione di compiti reali con grandi quantità richiederà la disponibilità di mezzi tecnici. Manualmente sarà possibile moltiplicare per se stesso un intervallo massimo di numeri fino a venti o trenta, e poi non più di tre o quattro volte. Questo per non parlare del fatto che poi dividiamo anche l'unità per il risultato. Pertanto, per coloro che non hanno a portata di mano uno speciale calcolatore di ingegneria, ti diremo come elevare un numero a una potenza negativa in Excel.

Risoluzione dei problemi in Excel

Per risolvere i problemi con l'elevamento a potenza, Excel consente di utilizzare una delle due opzioni.

Il primo è l'uso della formula con il simbolo del cappuccio standard. Inserisci i seguenti dati nelle celle del foglio di lavoro:

Allo stesso modo, puoi aumentare il valore desiderato a qualsiasi potenza: negativa, frazionaria. Facciamo quanto segue e rispondiamo alla domanda su come elevare un numero a una potenza negativa. Esempio:

È possibile correggere direttamente nella formula =B2^-C2.

La seconda opzione è utilizzare la funzione "Laurea" già pronta, che accetta due argomenti obbligatori: un numero e un indicatore. Per iniziare a usarlo, è sufficiente inserire un segno uguale (=) in qualsiasi cella libera, indicando l'inizio della formula, e inserire le parole sopra. Resta da selezionare due celle che parteciperanno all'operazione (o specificare numeri specifici manualmente) e premere il tasto Invio. Diamo un'occhiata ad alcuni semplici esempi.

			Formula	Risultato
			POTENZA(B2;C2)
			POTENZA(B3;C3)	0,002915

Come puoi vedere, non c'è nulla di complicato su come elevare un numero a una potenza negativa e normale utilizzando Excel. Dopotutto, per risolvere questo problema, puoi utilizzare sia il familiare simbolo del "coperchio" sia la funzione integrata facile da ricordare del programma. Questo è sicuramente un vantaggio!

Passiamo ad esempi più complessi. Ricordiamo la regola su come elevare un numero a una potenza negativa di un carattere frazionario e vedremo che questo compito è risolto in modo molto semplice in Excel.

Indicatori frazionari

In breve, l'algoritmo per calcolare un numero con esponente frazionario è il seguente.

1. Convertire un esponente frazionario in una frazione propria o impropria.
2. Eleva il nostro numero al numeratore della frazione convertita risultante.
3. Dal numero ottenuto nel paragrafo precedente, calcolare la radice, a condizione che l'indicatore della radice sia il denominatore della frazione ottenuta nella prima fase.

Concordo sul fatto che anche quando si opera con numeri piccoli e frazioni proprie, tali calcoli possono richiedere molto tempo. È positivo che al processore di fogli di calcolo Excel non importi quale numero e in che misura aumentare. Prova a risolvere il seguente esempio in un foglio di lavoro Excel:

Utilizzando le regole di cui sopra, puoi verificare e assicurarti che il calcolo sia corretto.

Alla fine del nostro articolo, forniremo sotto forma di tabella con formule e risultati diversi esempi su come elevare un numero a potenza negativa, oltre a diversi esempi con numeri e potenze frazionarie.

Tabella di esempio

Controllare il foglio di lavoro Excel per i seguenti esempi. Affinché tutto funzioni correttamente, è necessario utilizzare un riferimento misto quando si copia la formula. Correggi il numero della colonna contenente il numero da sollevare e il numero della riga contenente l'indicatore. La tua formula dovrebbe assomigliare a questa: "=$B4^C$3".

Numero/Grado

Tieni presente che i numeri positivi (anche quelli non interi) vengono calcolati senza problemi per qualsiasi esponente. Non ci sono problemi con l'elevazione di numeri a numeri interi. Ma aumentare un numero negativo a una potenza frazionaria si rivelerà un errore per te, poiché è impossibile seguire la regola indicata all'inizio del nostro articolo sull'aumento dei numeri negativi, perché l'uguaglianza è una caratteristica di un numero esclusivamente INTERO.

In continuazione della conversazione sul grado di un numero, è logico occuparsi della ricerca del valore del grado. Questo processo è stato nominato esponenziazione. In questo articolo studieremo solo come viene eseguita l'esponenziazione, mentre toccheremo tutti i possibili esponenti: naturale, intero, razionale e irrazionale. E per tradizione, considereremo in dettaglio le soluzioni agli esempi di aumento dei numeri a vari livelli.

Navigazione della pagina.

Cosa significa "esponenziazione"?

Cominciamo spiegando ciò che viene chiamato esponenziazione. Ecco la relativa definizione.

Definizione.

Esponenziazioneè trovare il valore della potenza di un numero.

Quindi, trovare il valore della potenza di a con l'esponente r ed elevare il numero a alla potenza di r è la stessa cosa. Ad esempio, se il compito è “calcolare il valore della potenza (0,5) 5”, allora può essere riformulato come segue: “Elevare il numero 0,5 alla potenza di 5”.

Ora puoi andare direttamente alle regole in base alle quali viene eseguita l'esponenziazione.

Elevare un numero a potenza naturale

In pratica, l'uguaglianza basata su viene solitamente applicata nella forma . Cioè, quando si eleva il numero a a una potenza frazionaria m / n, viene prima estratta la radice dell'ennesimo grado dal numero a, dopodiché il risultato viene elevato a una potenza intera m.

Considera soluzioni ad esempi di elevazione a potenza frazionaria.

Esempio.

Calcola il valore della laurea.

Soluzione.

Mostriamo due soluzioni.

Primo modo. Per definizione di grado con esponente frazionario. Calcoliamo il valore del grado sotto il segno della radice, dopodiché estraiamo la radice cubica: .

Il secondo modo. Per definizione di grado con esponente frazionario e in base alle proprietà delle radici, le uguaglianze sono vere . Ora estrai la radice Infine eleviamo a potenza intera .

Ovviamente i risultati ottenuti dall'elevazione a potenza frazionaria coincidono.

Risposta:

Si noti che un esponente frazionario può essere scritto come una frazione decimale o un numero misto, in questi casi dovrebbe essere sostituito dalla corrispondente frazione ordinaria, quindi si dovrebbe eseguire l'elevamento a potenza.

Esempio.

Calcola (44.89) 2.5 .

Soluzione.

Scriviamo l'esponente sotto forma di frazione ordinaria (se necessario, vedi l'articolo): . Ora eseguiamo l'elevazione a una potenza frazionaria:

Risposta:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Va anche detto che elevare i numeri a potenze razionali è un processo piuttosto laborioso (specialmente quando il numeratore e il denominatore dell'esponente frazionario sono numeri piuttosto grandi), che di solito viene eseguito utilizzando la tecnologia informatica.

In conclusione di questo paragrafo ci soffermeremo sulla costruzione del numero zero a potenza frazionaria. Abbiamo dato al grado frazionario zero della forma il seguente significato: poiché abbiamo , mentre lo zero elevato alla potenza m/n non è definito. Quindi, da zero a una potenza frazionaria positiva è zero, ad esempio, . E zero in una potenza negativa frazionaria non ha senso, ad esempio, le espressioni e 0 -4,3 non hanno senso.

Elevare a un potere irrazionale

A volte diventa necessario scoprire il valore del grado di un numero con esponente irrazionale. In questo caso, ai fini pratici, solitamente è sufficiente ricavare il valore del grado fino ad un certo segno. Notiamo subito che in pratica questo valore viene calcolato utilizzando la tecnologia informatica elettronica, poiché l'aumento manuale a una potenza irrazionale richiede un gran numero di calcoli complicati. Tuttavia descriveremo in termini generali l'essenza delle azioni.

Per ottenere un valore approssimativo della potenza di a con un esponente irrazionale, viene presa un'approssimazione decimale dell'esponente e viene calcolato il valore dell'esponente. Questo valore è il valore approssimativo del grado del numero a con esponente irrazionale. Quanto più precisa è inizialmente l'approssimazione decimale del numero, tanto più preciso sarà il valore del grado alla fine.

Ad esempio, calcoliamo il valore approssimativo della potenza di 2 1.174367... . Prendiamo la seguente approssimazione decimale di un indicatore irrazionale: . Ora eleviamo 2 alla potenza razionale di 1,17 (abbiamo descritto l'essenza di questo processo nel paragrafo precedente), otteniamo 2 1,17 ≈ 2,250116. Così, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Se prendiamo un'approssimazione decimale più accurata di un esponente irrazionale, ad esempio, , otteniamo un valore più accurato del grado originale: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografia.

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