Una progressione geometrica è un nuovo tipo di sequenza numerica con cui dobbiamo familiarizzare. Per una conoscenza di successo, non fa male almeno conoscere e capire. Quindi non ci saranno problemi con la progressione geometrica.)
Cos'è una progressione geometrica? Il concetto di progressione geometrica.
Iniziamo il tour, come al solito, con le elementari. Scrivo una sequenza di numeri incompiuta:
1, 10, 100, 1000, 10000, …
Riesci a cogliere uno schema e dire quali numeri andranno dopo? Il pepe è chiaro, i numeri 100000, 1000000 e così via andranno oltre. Anche senza molto stress mentale, tutto è chiaro, giusto?)
OK. Un altro esempio. Scrivo la seguente sequenza:
1, 2, 4, 8, 16, …
Puoi dire quali numeri andranno dopo, dopo il numero 16 e il nome ottavo membro della sequenza? Se hai capito che sarebbe il numero 128, allora molto bene. Quindi, metà della battaglia sta nella comprensione Senso E punti chiave progressione geometrica già eseguita. Puoi crescere ulteriormente.)
E ora torniamo dalle sensazioni alla matematica rigorosa.
Momenti chiave di una progressione geometrica.
Momento chiave n.1
La progressione geometrica è sequenza di numeri. Così come la progressione. Niente di complicato. Ho appena organizzato questa sequenza diversamente. Quindi, ovviamente, ha un altro nome, sì...
Momento chiave n.2
Con il secondo punto chiave, la questione sarà più complicata. Torniamo un po' indietro e ricordiamo la proprietà chiave di una progressione aritmetica. Ecco qui: ogni membro è diverso dal precedente dello stesso importo.
È possibile formulare una proprietà chiave simile per una progressione geometrica? Pensaci un po'... Dai un'occhiata agli esempi forniti. Indovinato? SÌ! In una progressione geometrica (qualsiasi!) ciascuno dei suoi membri differisce dal precedente nello stesso numero di volte. Sempre!
Nel primo esempio, questo numero è dieci. Qualunque termine della sequenza prendi, è maggiore del precedente dieci volte.
Nel secondo esempio, questo è un due: ogni membro è maggiore del precedente. due volte.
È in questo punto chiave che la progressione geometrica differisce da quella aritmetica. In una progressione aritmetica si ottiene ogni termine successivo aggiungendo dello stesso valore al termine precedente. E qui - moltiplicazione il mandato precedente per lo stesso importo. Questa è la differenza.)
Momento chiave n.3
Questo punto chiave è completamente identico a quello di una progressione aritmetica. Vale a dire: ogni membro della progressione geometrica è al suo posto. Tutto è esattamente come nella progressione aritmetica e i commenti, credo, non sono necessari. C'è il primo termine, c'è il centouno e così via. Riorganizziamo almeno due membri: lo schema (e con esso la progressione geometrica) scomparirà. Ciò che rimane è solo una sequenza di numeri senza alcuna logica.
È tutto. Questo è il punto centrale della progressione geometrica.
Termini e designazioni.
E ora, dopo aver affrontato il significato e i punti chiave della progressione geometrica, possiamo passare alla teoria. Altrimenti cos'è una teoria senza comprenderne il significato, giusto?
Cos'è una progressione geometrica?
Come si scrive una progressione geometrica in termini generali? Nessun problema! Ogni membro della progressione è anche scritto come una lettera. Solo per la progressione aritmetica, di solito viene utilizzata la lettera "UN", per lettera geometrica "B". Numero membro, come al solito, è indicato indice in basso a destra. I membri della progressione stessa vengono semplicemente elencati separati da virgole o punti e virgola.
Come questo:
b1,B 2 , B 3 , B 4 , B 5 , B 6 , …
In breve, tale progressione è scritta come segue: (b n) .
O così, per progressioni finite:
b1, b2, b3, b4, b5, b6.
b1, b2, ..., b29, b30.
Oppure, in breve:
(b n), N=30 .
Queste, in effetti, sono tutte le designazioni. È tutto uguale, solo la lettera è diversa, sì.) E ora passiamo direttamente alla definizione.
Definizione di progressione geometrica.
Una progressione geometrica è una sequenza numerica, il cui primo termine è diverso da zero, e ciascun termine successivo è uguale al termine precedente moltiplicato per lo stesso numero diverso da zero.
Questa è l'intera definizione. La maggior parte delle parole e delle frasi ti sono chiare e familiari. A meno che, ovviamente, non si capisca il significato della progressione geometrica "sulle dita" e in generale. Ma ci sono anche alcune nuove frasi sulle quali vorrei attirare particolare attenzione.
Innanzitutto le parole: "il cui primo termine diverso da zero".
Questa restrizione sul primo mandato non è stata introdotta per caso. Cosa pensi che accadrà se il primo mandato B 1 risulta essere zero? Quale sarà il secondo termine se ciascun termine è maggiore del precedente lo stesso numero di volte? Diciamo tre volte? Vediamo... Moltiplica il primo termine (cioè 0) per 3 e ottieni... zero! E il terzo membro? Anche Zero! E anche il quarto termine è zero! E così via…
Otteniamo solo un sacchetto di bagel con una sequenza di zeri:
0, 0, 0, 0, …
Naturalmente, una tale sequenza ha diritto alla vita, ma non ha alcun interesse pratico. Tutto è così chiaro. Qualunque dei suoi membri è zero. Anche la somma di un numero qualsiasi di membri è zero... Quali cose interessanti puoi farci? Niente…
Le seguenti parole chiave: "moltiplicato per lo stesso numero diverso da zero".
Questo stesso numero ha anche il suo nome speciale: denominatore di una progressione geometrica. Iniziamo a frequentarci.)
Il denominatore di una progressione geometrica.
Tutto è semplice.
Il denominatore di una progressione geometrica è un numero (o valore) diverso da zero quante volteciascun membro della progressione più del precedente.
Anche in questo caso, per analogia con la progressione aritmetica, la parola chiave a cui prestare attenzione in questa definizione è parola "Di più". Significa che si ottiene ogni termine di una progressione geometrica moltiplicazione proprio a questo denominatore membro precedente.
Io spiego.
Per calcolare, diciamo secondo membro da prendere Primo membro e moltiplicare al denominatore. Per il calcolo decimo membro da prendere nono membro e moltiplicare al denominatore.
Il denominatore della progressione geometrica stessa può essere qualsiasi cosa. Assolutamente chiunque! Intero, frazionario, positivo, negativo, irrazionale: tutti. Tranne zero. Questo è ciò che ci dice la parola "diverso da zero" nella definizione. Perché questa parola è necessaria qui - ne parleremo più avanti.
Denominatore di una progressione geometrica solitamente indicato con una lettera Q.
Come trovare questo Q? Nessun problema! Dobbiamo prendere qualsiasi termine della progressione e dividere per il termine precedente. La divisione è frazione. Da qui il nome: "il denominatore della progressione". Il denominatore, di solito, si trova in una frazione, sì ...) Anche se, logicamente, il valore Q dovrebbe essere chiamato privato progressione geometrica, simile a differenza per una progressione aritmetica. Ma ho accettato di chiamare denominatore. E non reinventeremo nemmeno la ruota.)
Definiamo, ad esempio, il valore Q per questa progressione geometrica:
2, 6, 18, 54, …
Tutto è elementare. Prendiamo Qualunque sequenza di numeri. Ciò che vogliamo è ciò che prendiamo. Tranne il primissimo. Ad esempio, 18. E dividi per numero precedente. Cioè alle 6.
Noi abbiamo:
Q = 18/6 = 3
È tutto. Questa è la risposta corretta. Per una data progressione geometrica, il denominatore è tre.
Troviamo il denominatore Q per un'altra progressione geometrica. Ad esempio, in questo modo:
1, -2, 4, -8, 16, …
Tutto uguale. Qualunque siano i segni che hanno i membri stessi, li prendiamo comunque Qualunque numero di sequenza (ad esempio, 16) e dividere per numero precedente(cioè -8).
Noi abbiamo:
D = 16/(-8) = -2
E questo è tutto.) Questa volta il denominatore della progressione si è rivelato negativo. Meno due. Accade.)
Prendiamo questa progressione:
1, 1/3, 1/9, 1/27, …
E ancora, indipendentemente dal tipo di numeri nella sequenza (anche interi, anche frazionari, anche negativi, anche irrazionali), prendiamo qualsiasi numero (ad esempio 1/9) e dividiamo per il numero precedente (1/3). Secondo le regole delle operazioni con le frazioni, ovviamente.
Noi abbiamo:
Questo è tutto.) Qui il denominatore si è rivelato frazionario: Q = 1/3.
Ma una tale "progressione" come te?
3, 3, 3, 3, 3, …
Ovviamente qui Q = 1 . Formalmente, anche questa è una progressione geometrica, solo con stessi membri.) Ma tali progressioni non sono interessanti per lo studio e l'applicazione pratica. Proprio come le progressioni con zeri solidi. Pertanto non li prenderemo in considerazione.
Come puoi vedere, il denominatore della progressione può essere qualsiasi cosa: intero, frazionario, positivo, negativo... qualsiasi cosa! Non può essere semplicemente zero. Non hai indovinato il motivo?
Bene, diamo un'occhiata ad un esempio specifico, cosa accadrà se lo prendiamo come denominatore Q zero.) Prendiamo, ad esempio, B 1 = 2 , UN Q = 0 . Quale sarà allora il secondo termine?
Noi crediamo:
B 2 = B 1 · Q= 2 0 = 0
E il terzo membro?
B 3 = B 2 · Q= 00 = 0
Tipi e comportamento delle progressioni geometriche.
Con tutto era più o meno chiaro: se la differenza nella progressione Dè positivo, la progressione è in aumento. Se la differenza è negativa la progressione diminuisce. Ci sono solo due opzioni. Non esiste un terzo.)
Ma con il comportamento di una progressione geometrica, tutto sarà molto più interessante e vario!)
Non appena i membri si comportano qui: aumentano e diminuiscono, si avvicinano allo zero indefinitamente, e cambiano persino segno, correndo alternativamente verso "più" o "meno"! E in tutta questa diversità bisogna saper capire bene, sì...
Abbiamo capito?) Cominciamo dal caso più semplice.
Il denominatore è positivo ( Q >0)
Con un denominatore positivo possono entrare in primo luogo i membri di una progressione geometrica più infinito(cioè aumentare indefinitamente) e può entrare meno infinito(cioè diminuire indefinitamente). Ci siamo già abituati a tale comportamento di progressioni.
Per esempio:
(b n): 1, 2, 4, 8, 16, …
Tutto è semplice qui. Ogni membro della progressione lo è più del precedente. E ogni membro ottiene moltiplicazione membro precedente su positivo numero +2 (cioè Q = 2 ). Il comportamento di tale progressione è ovvio: tutti i membri della progressione crescono indefinitamente, andando nello spazio. Inoltre l'infinito...
Ora ecco la progressione:
(b n): -1, -2, -4, -8, -16, …
Anche qui si ottiene ogni termine della progressione moltiplicazione membro precedente su positivo numero +2. Ma il comportamento di tale progressione è già direttamente opposto: si ottiene ogni membro della progressione meno del precedente, e tutti i suoi termini diminuiscono indefinitamente, andando a meno infinito.
Ora pensiamo: cosa hanno in comune queste due progressioni? Esatto, denominatore! Qui e li Q = +2 . Numero positivo. Diavolo. E qui comportamento Queste due progressioni sono fondamentalmente diverse! Non hai indovinato il motivo? SÌ! È tutta una questione di primo membro!È lui, come si suol dire, che ordina la musica.) Guarda tu stesso.
Nel primo caso, il primo termine della progressione positivo(+1) e, quindi, tutti i termini successivi ottenuti moltiplicando per positivo denominatore Q = +2 , sarà anche positivo.
Ma nel secondo caso, il primo termine negativo(-1). Pertanto, tutti i membri successivi della progressione si ottengono moltiplicando per positivo Q = +2 , si otterrà anche negativo. Poiché da "meno" a "più" si ottiene sempre "meno", sì.)
Come puoi vedere, a differenza di una progressione aritmetica, una progressione geometrica può comportarsi in modi completamente diversi, non solo dipendenti dal denominatoreQ, ma anche dipendente dal primo membro, SÌ.)
Ricorda: il comportamento di una progressione geometrica è determinato univocamente dal suo primo membro B 1 e denominatoreQ .
E ora iniziamo l'analisi dei casi meno familiari, ma molto più interessanti!
Prendiamo ad esempio la seguente sequenza:
(b n): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …
Anche questa sequenza è una progressione geometrica! Viene ottenuto anche ogni membro di questa progressione moltiplicazione il termine precedente, con lo stesso numero. Solo il numero lo è frazionario: Q = +1/2 . O +0,5 . E (importante!) numero, quello più piccolo:Q = 1/2<1.
Cosa c’è di interessante in questa progressione geometrica? Dove stanno andando i suoi membri? Diamo un'occhiata:
1/2 = 0,5;
1/4 = 0,25;
1/8 = 0,125;
1/16 = 0,0625;
…….
Cosa c'è di interessante qui? In primo luogo colpisce immediatamente la diminuzione dei membri della progressione: ciascuno dei suoi membri meno esattamente il precedente 2 volte. Oppure, secondo la definizione di una progressione geometrica, ogni termine Di più precedente 1/2 volte, Perché denominatore di progressione Q = 1/2 . E moltiplicando per un numero positivo inferiore a uno, il risultato di solito diminuisce, sì ...
Che cosa Di più si può vedere nel comportamento di questa progressione? I suoi membri scompaiono? illimitato, andando a meno infinito? NO! Scompaiono in un modo speciale. All'inizio diminuiscono abbastanza rapidamente, poi sempre più lentamente. E per tutto il tempo restando positivo. Anche se molto, molto piccolo. E per cosa stanno lottando? Non hai indovinato? SÌ! Tendono a zero!) E, attenzione, i membri della nostra progressione non raggiungere mai! Soltanto infinitamente vicino a lui. È molto importante.)
Una situazione simile si verificherà in tale progressione:
(b n): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …
Qui B 1 = -1 , UN Q = 1/2 . Tutto è uguale, solo che ora i membri si avvicineranno allo zero dall'altra parte, dal basso. Restando tutto il tempo negativo.)
Una tale progressione geometrica, i cui membri avvicinarsi allo zero indefinitamente.(non importa, in positivo o in negativo), in matematica ha un nome speciale - Progressione geometrica infinitamente decrescente. Questa progressione è così interessante e insolita che lo sarà addirittura lezione separata .)
Quindi, abbiamo considerato tutto il possibile positivo i denominatori sono sia grandi che piccoli. Non consideriamo l'uno stesso come denominatore per i motivi sopra indicati (ricordate l'esempio con la sequenza delle triple...)
Riassumere:
positivoE più di una (Q>1), quindi i membri della progressione:
UN) aumentano indefinitamente (seB 1 >0);
b) diminuire indefinitamente (seB 1 <0).
Se il denominatore di una progressione geometrica positivo E meno di uno (0< Q<1), то члены прогрессии:
a) infinitamente vicino allo zero Sopra(SeB 1 >0);
b) infinitamente vicino allo zero da sotto(SeB 1 <0).
Resta ora da considerare il caso denominatore negativo.
Il denominatore è negativo ( Q <0)
Non andremo lontano per fare un esempio. Perché, in effetti, nonna irsuta?!) Lasciamo, ad esempio, il primo membro della progressione B 1 = 1 e prendi il denominatore q = -2.
Otteniamo la seguente sequenza:
(b n): 1, -2, 4, -8, 16, …
E così via.) Si ottiene ogni termine della progressione moltiplicazione membro precedente su un numero negativo-2. In questo caso lo saranno tutti i membri nei posti dispari (primo, terzo, quinto, ecc.). positivo, e in posti pari (secondo, quarto, ecc.) - negativo. I segni sono rigorosamente interfogliati. Più-meno-più-meno ... Tale progressione geometrica si chiama - segno crescente alternato.
Dove stanno andando i suoi membri? E da nessuna parte.) Sì, in valore assoluto (cioè modulo) i termini della nostra progressione aumentano indefinitamente (da qui il nome “crescente”). Ma allo stesso tempo, ogni membro della progressione lo getta alternativamente nel caldo, poi nel freddo. O più o meno. La nostra progressione fluttua... Inoltre, la gamma delle fluttuazioni cresce rapidamente ad ogni passo, sì.) Pertanto, le aspirazioni dei membri della progressione di andare da qualche parte specificamente Qui NO. Né più infinito, né meno infinito, né zero: da nessuna parte.
Consideriamo ora un denominatore frazionario compreso tra zero e meno uno.
Ad esempio, lascia che sia B 1 = 1 , UN q = -1/2.
Quindi otteniamo la progressione:
(b n): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …
E ancora abbiamo un'alternanza di segni! Ma, a differenza dell'esempio precedente, qui c'è già una chiara tendenza dei termini ad avvicinarsi allo zero.) Solo che questa volta i nostri termini si avvicinano allo zero non strettamente dall'alto o dal basso, ma ancora una volta esitante. Prendendo alternativamente valori positivi o negativi. Ma allo stesso tempo loro moduli si stanno avvicinando sempre più al caro zero.)
Questa progressione geometrica si chiama Segno alternato infinitamente decrescente.
Perché questi due esempi sono interessanti? E il fatto che in entrambi i casi abbia luogo personaggi alternati! Un tale chip è tipico solo per le progressioni con un denominatore negativo, sì.) Pertanto, se in qualche compito vedi una progressione geometrica con membri alternati, allora saprai già con certezza che il suo denominatore è negativo al 100% e non ti sbaglierai nel segno.)
Tuttavia, nel caso di denominatore negativo, il segno del primo termine non influenza affatto il comportamento della progressione stessa. Qualunque sia il segno del primo membro della progressione si osserverà in ogni caso il segno dell'alternanza dei membri. L'intera questione è giusta in quali posti(pari o dispari) ci saranno membri con segni specifici.
Ricordare:
Se il denominatore di una progressione geometrica negativo , allora i segni dei termini della progressione sono sempre alternato.
Allo stesso tempo, i membri stessi:
a) aumentare indefinitamentemodulo, SeQ<-1;
b) avvicinarsi infinitamente a zero se -1< Q<0 (прогрессия бесконечно убывающая).
È tutto. Vengono analizzati tutti i casi tipici.)
Nel processo di analisi di una serie di esempi di progressioni geometriche, ho usato periodicamente le parole: "tende a zero", "tende a più infinito", tende a meno infinito... Va bene.) Questi giri di parole (ed esempi specifici) sono solo una conoscenza iniziale comportamento varie sequenze numeriche. Un esempio di progressione geometrica.
Perché abbiamo bisogno di conoscere il comportamento di progressione? Che differenza fa dove va? A zero, a più infinito, a meno infinito... Cosa ci importa di questo?
Il fatto è che già all'università, nel corso di matematica superiore, avrai bisogno della capacità di lavorare con una varietà di sequenze numeriche (con qualsiasi, non solo progressioni!) E della capacità di immaginare esattamente come si comporta questa o quella sequenza - se aumenta in modo illimitato, se diminuisce, se tende a un numero specifico (e non necessariamente a zero), o addirittura non tende a nulla ... A questo argomento è dedicata un'intera sezione nel corso di matematica analisi - teoria del limite. Un po’ più nello specifico, il concetto limite della sequenza numerica. Argomento molto interessante! Ha senso andare al college e capirlo.)
Alcuni esempi da questa sezione (sequenze che hanno un limite) e in particolare, Progressione geometrica infinitamente decrescente iniziare a imparare a scuola. Abituarsi.)
Inoltre, la capacità di studiare bene il comportamento delle sequenze in futuro giocherà molto e sarà molto utile ricerca funzionale. Il più vario. Ma la capacità di lavorare con competenza con le funzioni (calcolare le derivate, esplorarle completamente, costruire i loro grafici) aumenta già notevolmente il tuo livello matematico! Dubbio? Non c'è bisogno. Ricorda anche le mie parole.)
Diamo un'occhiata a una progressione geometrica nella vita?
Nella vita intorno a noi incontriamo una progressione esponenziale molto, molto spesso. Senza nemmeno saperlo.)
Ad esempio, vari microrganismi che ci circondano ovunque in enormi quantità e che non vediamo nemmeno senza un microscopio si moltiplicano proprio in progressione geometrica.
Diciamo che un batterio si riproduce dividendosi a metà, dando origine a 2 batteri. A loro volta ognuno di essi, moltiplicandosi, si divide anche a metà, dando una progenie comune di 4 batteri. La generazione successiva darà 8 batteri, poi 16 batteri, 32, 64 e così via. Ad ogni generazione successiva, il numero di batteri raddoppia. Un tipico esempio di progressione geometrica.)
Inoltre, alcuni insetti - afidi, mosche - si moltiplicano in modo esponenziale. E a volte anche i conigli.)
Un altro esempio di progressione geometrica, più vicino alla vita di tutti i giorni, è il cosiddetto interesse composto. Un fenomeno così interessante si trova spesso nei depositi bancari e si chiama capitalizzazione degli interessi. Cos'è?
Tu stesso sei ancora, ovviamente, giovane. Studi a scuola, non fai domanda alle banche. Ma i tuoi genitori sono adulti e persone indipendenti. Vanno a lavorare, guadagnano il pane quotidiano e mettono una parte del denaro in banca, risparmiando.)
Supponiamo che tuo padre voglia mettere da parte una certa somma di denaro per una vacanza in famiglia in Turchia e mettere in banca 50.000 rubli al 10% annuo per un periodo di tre anni con capitalizzazione degli interessi annuali. Inoltre, durante tutto questo periodo non si potrà fare nulla con il deposito. Non è possibile né ricostituire il deposito né prelevare denaro dal conto. Che profitto realizzerà in questi tre anni?
Bene, in primo luogo, devi capire cos'è il 10% annuo. Significa che in un anno La banca aggiungerà il 10% all'importo del deposito iniziale. Da cosa? Naturalmente, da importo del deposito iniziale.
Calcolare l'importo del conto in un anno. Se l'importo iniziale del deposito era di 50.000 rubli (ovvero il 100%), tra un anno quanti interessi saranno presenti sul conto? Esatto, 110%! Da 50.000 rubli.
Quindi consideriamo il 110% di 50.000 rubli:
50.000 1,1 \u003d 55.000 rubli.
Spero tu capisca che trovare il 110% del valore significa moltiplicare questo valore per il numero 1,1? Se non capisci perché è così, ricorda la quinta e la sesta elementare. Vale a dire - il rapporto delle percentuali con le frazioni e le parti.)
Pertanto, l'aumento per il primo anno sarà di 5.000 rubli.
Quanti soldi ci saranno sul conto dopo due anni? 60.000 rubli? Purtroppo (o meglio, per fortuna), non è così semplice. Il trucco della capitalizzazione degli interessi è che con ogni nuovo interesse maturato, questi stessi interessi verranno già considerati dal nuovo importo! Da colui che Giàè in conto Al momento. E gli interessi maturati per il periodo precedente vengono aggiunti all'importo iniziale del deposito e, quindi, partecipano loro stessi al calcolo dei nuovi interessi! Cioè, diventano parte integrante del conto totale. o generale capitale. Da qui il nome - capitalizzazione degli interessi.
È nell'economia. E in matematica si chiamano tali percentuali interesse composto. O percentuale di percentuale.) Il loro trucco è che nel calcolo sequenziale le percentuali vengono calcolate ogni volta dal nuovo valore. Non dall'originale...
Pertanto, per calcolare la somma attraverso due anni, dobbiamo calcolare il 110% dell'importo che sarà sul conto in un anno. Cioè già da 55.000 rubli.
Consideriamo il 110% di 55.000 rubli:
55000 1.1 \u003d 60500 rubli.
Ciò significa che l'aumento percentuale per il secondo anno sarà già di 5.500 rubli e per due anni di 10.500 rubli.
Ora puoi già immaginare che tra tre anni l'importo sul conto sarà pari al 110% di 60.500 rubli. Anche questo è il 110% dal precedente (l'anno scorso) importi.
Qui consideriamo:
60500 1.1 \u003d 66550 rubli.
E ora costruiamo i nostri importi monetari per anni in sequenza:
50000;
55000 = 50000 1,1;
60500 = 55000 1,1 = (50000 1,1) 1,1;
66550 = 60500 1,1 = ((50000 1,1) 1,1) 1,1
Quindi com'è? Perché non una progressione geometrica? Primo membro B 1 = 50000 e il denominatore Q = 1,1 . Ogni termine è rigorosamente 1,1 volte maggiore del precedente. Tutto è in stretta conformità con la definizione.)
E quanti bonus percentuali aggiuntivi "cadrà" tuo padre mentre i suoi 50.000 rubli erano sul conto bancario per tre anni?
Noi crediamo:
66550 - 50000 = 16550 rubli
È brutto, ovviamente. Ma questo è se l'importo iniziale del contributo è piccolo. E se ci fosse altro? Diciamo, non 50, ma 200mila rubli? Quindi l'aumento per tre anni sarà già di 66.200 rubli (se conti). Il che è già molto buono.) E se il contributo fosse ancora maggiore? Questo è quello che è...
Conclusione: quanto più alto è il contributo iniziale, tanto più redditizia diventa la capitalizzazione degli interessi. Ecco perché le banche forniscono depositi con capitalizzazione di interessi per lunghi periodi. Diciamo cinque anni.
Inoltre, tutti i tipi di malattie gravi come l’influenza, il morbillo e malattie ancora più terribili (la stessa SARS all’inizio degli anni 2000 o la peste nel Medioevo) amano diffondersi in modo esponenziale. Da qui la portata delle epidemie, sì ...) E tutto a causa del fatto che c'è una progressione geometrica denominatore intero positivo (Q>1) - una cosa che cresce molto velocemente! Ricorda la riproduzione dei batteri: da un batterio se ne ottengono due, da due a quattro, da quattro a otto e così via ... Con la diffusione di qualsiasi infezione, tutto è uguale.)
I problemi più semplici in progressione geometrica.
Cominciamo, come sempre, con un problema semplice. Puramente per capirne il significato.
1. È noto che il secondo termine di una progressione geometrica è 6 e il denominatore è -0,5. Trova il primo, terzo e quarto termine.
Quindi ci viene dato infinito progressione geometrica, ben nota secondo membro questa progressione:
b2 = 6
Inoltre, lo sappiamo anche denominatore di progressione:
q = -0,5
E devi trovare primo, terzo E il quarto membri di questa progressione.
Qui stiamo agendo. Annotiamo la sequenza in base alle condizioni del problema. Direttamente in termini generali, dove il secondo membro è il sei:
b1,6,B 3 , B 4 , …
Ora iniziamo la ricerca. Iniziamo, come sempre, dal più semplice. Puoi calcolare, ad esempio, il terzo termine b3? Potere! Sappiamo già (direttamente nel senso di una progressione geometrica) che il terzo termine (b3) più di un secondo (B 2 ) V "Q" una volta!
Quindi scriviamo:
b3 =B 2 · Q
Sostituiamo invece il sei in questa espressione b2 e -0,5 invece Q e pensiamo. E anche il meno non viene ignorato, ovviamente ...
b 3 \u003d 6 (-0,5) \u003d -3
Come questo. Il terzo termine si è rivelato negativo. Non c'è da stupirsi: il nostro denominatore Q- negativo. E il più moltiplicato per il meno sarà, ovviamente, il meno.)
Consideriamo ora il successivo, quarto termine della progressione:
b4 =B 3 · Q
b 4 \u003d -3 (-0,5) \u003d 1,5
Il quarto membro è di nuovo con un vantaggio. Il quinto termine avrà nuovamente un segno meno, il sesto un segno più e così via. Segni: alternati!
Quindi sono stati trovati il terzo e il quarto membro. Il risultato è la seguente sequenza:
b1; 6; -3; 1,5; …
Resta ora da trovare il primo termine b1 secondo il noto secondo. Per fare questo, facciamo un passo nella direzione opposta, a sinistra. Ciò significa che in questo caso non dobbiamo moltiplicare il secondo termine della progressione per il denominatore, ma condividere.
Dividiamo e otteniamo:
Questo è tutto.) La risposta al problema sarà la seguente:
-12; 6; -3; 1,5; …
Come puoi vedere, il principio di soluzione è lo stesso di . Sappiamo Qualunque membro e denominatore progressione geometrica: possiamo trovare qualsiasi altro termine. Qualunque cosa vogliamo, ne troveremo uno.) L'unica differenza è che l'addizione/sottrazione è sostituita dalla moltiplicazione/divisione.
Ricorda: se conosciamo almeno un membro e un denominatore di una progressione geometrica, allora possiamo sempre trovare qualsiasi altro membro di questa progressione.
Il seguente compito, secondo la tradizione, proviene dalla versione reale dell'OGE:
2.
…; 150; X; 6; 1.2; …
Quindi com'è? Questa volta non c'è nessun primo termine, nessun denominatore Q, viene data solo una sequenza di numeri... Qualcosa di già familiare, vero? SÌ! Un problema simile è già stato affrontato nella progressione aritmetica!
Qui non abbiamo paura. Tutto uguale. Gira la testa e ricorda il significato elementare di una progressione geometrica. Osserviamo attentamente la nostra sequenza e scopriamo quali parametri della progressione geometrica dei tre principali (primo membro, denominatore, numero dei membri) sono nascosti in essa.
Numeri dei membri? Non ci sono i numeri dei membri, sì... Ma sono quattro successivi numeri. Che cosa significhi questa parola, non vedo il motivo di spiegarlo in questa fase.) Ce ne sono due numeri noti vicini? Mangiare! Questi sono 6 e 1.2. Quindi possiamo trovare denominatore di progressione. Quindi prendiamo il numero 1.2 e dividiamo al numero precedente. Per sei.
Noi abbiamo:
Noi abbiamo:
X= 150 0,2 = 30
Risposta: X = 30 .
Come puoi vedere, tutto è abbastanza semplice. La difficoltà principale sta solo nei calcoli. È particolarmente difficile nel caso di denominatori negativi e frazionari. Quindi chi ha problemi, ripeta il calcolo! Come lavorare con le frazioni, come lavorare con i numeri negativi e così via... Altrimenti rallenterai senza pietà qui.
Ora cambiamo un po' il problema. Ora diventerà interessante! Rimuoviamo l'ultimo numero 1.2 al suo interno. Risolviamo ora questo problema:
3. Vengono scritti diversi termini consecutivi di una progressione geometrica:
…; 150; X; 6; …
Trova il termine della progressione, indicato con la lettera x.
Tutto è uguale, solo due vicini famoso non abbiamo più membri della progressione. Questo è il problema principale. Perché la grandezza Q attraverso due termini vicini, possiamo già facilmente determinarlo non possiamo. Abbiamo la possibilità di affrontare la sfida? Certamente!
Scriviamo il termine sconosciuto " X"Direttamente nel senso di una progressione geometrica! In termini generali.
Si si! Direttamente con un denominatore sconosciuto!
Da un lato, per x possiamo scrivere il seguente rapporto:
X= 150Q
D'altra parte, abbiamo tutto il diritto di dipingere la stessa X Prossimo membro, attraverso i sei! Dividi sei per il denominatore.
Come questo:
X = 6/ Q
Ovviamente, ora possiamo equiparare entrambi questi rapporti. Dal momento che stiamo esprimendo lo stesso valore (x), ma due diversi modi.
Otteniamo l'equazione:
Moltiplicando tutto per Q, semplificando, riducendo, otteniamo l'equazione:
q2 \u003d 1/25
Risolviamo e otteniamo:
q = ±1/5 = ±0,2
Ops! Il denominatore è doppio! +0,2 e -0,2. E quale scegliere? Senza uscita?
Calma! Sì, il problema esiste davvero due soluzioni! Non c'è niente di sbagliato in questo. Succede.) Non sei sorpreso quando, ad esempio, ottieni due radici risolvendo il solito? Qui è la stessa storia.)
Per q = +0,2 otterremo:
X \u003d 150 0,2 \u003d 30
E per Q = -0,2 Volere:
X = 150 (-0,2) = -30
Otteniamo una doppia risposta: X = 30; X = -30.
Cosa significa questo fatto interessante? E cosa esiste due progressioni, soddisfacendo la condizione del problema!
Come questi:
…; 150; 30; 6; …
…; 150; -30; 6; …
Entrambi sono adatti.) Quale pensi sia il motivo della biforcazione delle risposte? Proprio a causa dell'eliminazione di un membro specifico della progressione (1,2), successivo al sei. E conoscendo solo il precedente (n-1)-esimo e il successivo (n+1)-esimo membro della progressione geometrica, non possiamo più dire nulla inequivocabilmente sull'n-esimo membro che si trova tra loro. Ci sono due opzioni: più e meno.
Ma non importa. Di norma, nei compiti per una progressione geometrica sono presenti informazioni aggiuntive che forniscono una risposta inequivocabile. Diciamo le parole: "progressione alternata di segni" O "progressione con denominatore positivo" e così via... Sono queste parole che dovrebbero servire da indizio, quale segno, più o meno, dovrebbe essere scelto quando si dà la risposta finale. Se non ci sono tali informazioni, allora sì, l'attività avrà due soluzioni.)
E ora decidiamo da soli.
4. Determina se il numero 20 sarà membro di una progressione geometrica:
4 ; 6; 9; …
5. Viene data una progressione geometrica alternata:
…; 5; X ; 45; …
Trovare il termine della progressione indicata dalla lettera X .
6. Trova il quarto termine positivo della progressione geometrica:
625; -250; 100; …
7. Il secondo termine della progressione geometrica è -360 e il quinto termine è 23,04. Trova il primo termine di questa progressione.
Risposte (disordinate): -15; 900; NO; 2.56.
Congratulazioni se tutto ha funzionato!
Qualcosa non quadra? C'è una doppia risposta da qualche parte? Leggiamo attentamente le condizioni dell'incarico!
L'ultimo puzzle non funziona? Niente di complicato lì.) Lavoriamo direttamente secondo il significato di una progressione geometrica. Bene, puoi fare un disegno. Aiuta.)
Come puoi vedere, tutto è elementare. Se la progressione è breve. E se fosse lungo? Oppure il numero del membro desiderato è molto grande? Vorrei, per analogia con una progressione aritmetica, ottenere in qualche modo una formula conveniente che ne renda facile la ricerca Qualunque membro di qualsiasi progressione geometrica dal suo numero. Senza moltiplicare tante, tante volte per Q. E esiste una formula del genere!) Dettagli - nella prossima lezione.
Questo numero è chiamato denominatore di una progressione geometrica, ovvero ogni termine differisce dal precedente di q volte. (Assumeremo che q ≠ 1, altrimenti è tutto troppo banale). È facile vedere che la formula generale dell'n-esimo membro della progressione geometrica è b n = b 1 q n – 1 ; i termini con numeri b n e b m differiscono di q n – m volte.Già nell'antico Egitto conoscevano non solo la progressione aritmetica, ma anche quella geometrica. Ecco, ad esempio, un compito tratto dal papiro Rhind: “Sette facce hanno sette gatti; ogni gatto mangia sette topi, ogni topo mangia sette spighe di grano, da ogni spiga possono crescere sette misure di orzo. Quanto sono grandi i numeri di questa serie e la loro somma?
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Riso. 1. Problema della progressione geometrica dell'Antico Egitto |
Questo compito è stato ripetuto più volte con diverse varianti tra altri popoli in altri momenti. Ad esempio, in scritto nel XIII secolo. Il "Libro dell'abaco" di Leonardo da Pisa (Fibonacci) presenta un problema in cui appaiono 7 vecchie donne in cammino verso Roma (ovviamente pellegrine), ognuna delle quali ha 7 muli, ognuna delle quali ha 7 sacchi, ciascuna delle quali ha 7 pani, ognuno dei quali ha 7 coltelli, ognuno dei quali è in 7 foderi. Il problema chiede quanti elementi ci sono.
La somma dei primi n membri della progressione geometrica S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) . Questa formula può essere dimostrata, ad esempio, come segue: S n \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.
Aggiungiamo il numero b 1 q n a S n e otteniamo:
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Quindi S n (q - 1) = b 1 (q n - 1) e otteniamo la formula necessaria.
Già su una delle tavolette d'argilla dell'antica Babilonia, risalente al VI secolo. AVANTI CRISTO e., contiene la somma 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. È vero, come in molti altri casi, non sappiamo dove questo fatto fosse noto ai Babilonesi .
La rapida crescita della progressione geometrica in numerose culture, in particolare in India, viene ripetutamente utilizzata come chiaro simbolo dell'immensità dell'universo. Nella famosa leggenda sulla comparsa degli scacchi, il sovrano dà al suo inventore la possibilità di scegliere lui stesso una ricompensa e chiede un numero di chicchi di grano pari a quello che otterrà se ne verrà piazzato uno sulla prima casella degli scacchi. scacchiera, due al secondo, quattro al terzo, otto al quarto, ecc., ogni volta che il numero viene raddoppiato. Vladyka pensava che si trattasse al massimo di qualche sacco, ma ha sbagliato i calcoli. È facile vedere che per tutte le 64 caselle della scacchiera l'inventore avrebbe dovuto ricevere (2 64 - 1) grano, che è espresso come un numero di 20 cifre; anche se venisse seminata l’intera superficie della Terra, occorrerebbero almeno 8 anni per raccogliere il numero richiesto di semi. Questa leggenda viene talvolta interpretata come un riferimento alle possibilità quasi illimitate nascoste nel gioco degli scacchi.
Il fatto che questo numero sia in realtà di 20 cifre è facile da vedere:
2 64 \u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 \u003d 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 \u003d 1,6 10 19 (un calcolo più accurato dà 1,84 10 19). Ma mi chiedo se riesci a scoprire con quale cifra termina questo numero?
Una progressione geometrica è crescente se il denominatore è maggiore di 1 in valore assoluto, o decrescente se è minore di uno. In quest'ultimo caso, il numero q n può diventare arbitrariamente piccolo per n sufficientemente grande. Mentre un esponenziale crescente aumenta inaspettatamente velocemente, un esponenziale decrescente diminuisce altrettanto rapidamente.
Maggiore n, più debole è il numero q n differisce da zero e più vicina è la somma di n membri della progressione geometrica S n \u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) al numero S \u003d b 1 / (1 - q) . (Così ragionava, ad esempio, F. Viet). Il numero S si chiama somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente. Tuttavia, per molti secoli, la questione su quale sia il significato della somma della progressione geometrica TUTTA, con il suo numero infinito di termini, non è stata sufficientemente chiara ai matematici.
Una progressione geometrica decrescente può essere vista, ad esempio, nelle aporie di Zenone "Il morso" e "Achille e la tartaruga". Nel primo caso si dimostra chiaramente che l'intera strada (assumendo lunghezza 1) è la somma di un numero infinito di segmenti 1/2, 1/4, 1/8, ecc. Questo, ovviamente, è il caso di il punto di vista delle idee sulla progressione geometrica infinita a somma finita. Eppure, come può essere?
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Riso. 2. Progressione con un fattore 1/2 |
Nell'aporia su Achille la situazione è un po' più complicata, perché qui il denominatore della progressione non è uguale a 1/2, ma a qualche altro numero. Supponiamo, ad esempio, che Achille corra alla velocità v, la tartaruga si muova alla velocità u e la distanza iniziale tra loro sia l. Achille percorrerà questa distanza nel tempo l / v , la tartaruga si sposterà per una distanza lu / v durante questo tempo. Quando Achille percorre questo segmento, la distanza tra lui e la tartaruga diventerà uguale a l (u / v) 2, ecc. Si scopre che raggiungere la tartaruga significa trovare la somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente con il primo termine l e denominatore u / v. Questa somma - il segmento che Achille percorrerà eventualmente fino al punto d'incontro con la tartaruga - è uguale a l / (1 - u / v) \u003d lv / (v - u) . Ma, ancora una volta, per molto tempo non è stato molto chiaro come dovesse essere interpretato questo risultato e perché abbia un senso.
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Riso. 3. Progressione geometrica con coefficiente 2/3 |
La somma di una progressione geometrica fu utilizzata da Archimede per determinare l'area di un segmento di parabola. Sia il segmento dato della parabola delimitato dalla corda AB e la tangente nel punto D della parabola sia parallela ad AB . Sia C il punto medio di AB , E il punto medio di AC , F il punto medio di CB . Disegna linee parallele a DC attraverso i punti A , E , F , B ; lasciata tracciare la tangente nel punto D , queste linee si intersecano nei punti K , L , M , N . Disegniamo anche i segmenti AD e DB. La linea EL interseca la linea AD nel punto G, e la parabola nel punto H; la linea FM interseca la linea DB nel punto Q e la parabola nel punto R. Secondo la teoria generale delle sezioni coniche, DC è il diametro di una parabola (cioè un segmento parallelo al suo asse); esso e la tangente nel punto D possono fungere da assi coordinati xey, in cui l'equazione della parabola è scritta come y 2 \u003d 2px (x è la distanza da D a qualsiasi punto di un dato diametro, y è la lunghezza di a segmento parallelo ad una data tangente da questo punto del diametro a qualche punto della parabola stessa).
In virtù dell'equazione della parabola, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA , e poiché DK = 2DL , allora KA = 4LH . Poiché KA = 2LG , LH = HG . L'area del segmento ADB della parabola è uguale all'area del triangolo ΔADB e alle aree dei segmenti AHD e DRB messe insieme. A sua volta, l'area del segmento AHD è analogamente uguale all'area del triangolo AHD e dei restanti segmenti AH e HD, con ciascuno dei quali è possibile eseguire la stessa operazione: divisa in un triangolo (Δ) e i due segmenti rimanenti (), ecc.:
L'area del triangolo ΔAHD è uguale alla metà dell'area del triangolo ΔALD (hanno una base comune AD e le altezze differiscono di 2 volte), che, a sua volta, è uguale alla metà dell'area di il triangolo ΔAKD, e quindi metà dell'area del triangolo ΔACD. Pertanto, l'area del triangolo ΔAHD è pari a un quarto dell'area del triangolo ΔACD. Allo stesso modo, l'area del triangolo ΔDRB è pari a un quarto dell'area del triangolo ΔDFB. Quindi, le aree dei triangoli ∆AHD e ∆DRB, prese insieme, sono pari a un quarto dell'area del triangolo ∆ADB. Ripetendo questa operazione applicata ai segmenti AH , HD , DR e RB si selezioneranno anche da essi dei triangoli la cui area, nel loro insieme, sarà 4 volte inferiore all'area dei triangoli ΔAHD e ΔDRB , presi insieme, e quindi 16 volte inferiore, dell'area del triangolo ΔADB . E così via:
Archimede dimostrò così che "ogni segmento compreso tra una retta e una parabola è quattro terzi di un triangolo avente la stessa base e uguale altezza con essa".
La matematica è cosale persone controllano la natura e se stesse.
Matematico, accademico sovietico A.N. Kolmogorov
Progressione geometrica.
Oltre ai compiti relativi alle progressioni aritmetiche, nei test d'ingresso in matematica sono comuni anche compiti legati al concetto di progressione geometrica. Per risolvere con successo tali problemi è necessario conoscere le proprietà di una progressione geometrica e avere buone capacità nell'utilizzarle.
Questo articolo è dedicato alla presentazione delle principali proprietà di una progressione geometrica. Fornisce inoltre esempi di risoluzione di problemi tipici, presi in prestito dai compiti dei test d'ingresso in matematica.
Notiamo preliminarmente le principali proprietà di una progressione geometrica e ricordiamo le formule e le affermazioni più importanti, associato a questo concetto.
Definizione. Una sequenza numerica si dice progressione geometrica se ciascuno dei suoi numeri, a partire dal secondo, è uguale al precedente moltiplicato per lo stesso numero. Il numero è chiamato denominatore di una progressione geometrica.
Per una progressione geometricale formule sono valide
, (1)
Dove . La formula (1) è chiamata la formula del termine generale di una progressione geometrica, e la formula (2) è la proprietà principale di una progressione geometrica: ciascun membro della progressione coincide con la media geometrica dei suoi membri vicini e .
Nota, che proprio per questa proprietà la progressione in questione viene detta “geometrica”.
Le formule (1) e (2) di cui sopra sono riassunte come segue:
, (3)
Per calcolare la somma Primo membri di una progressione geometricasi applica la formula
Se designiamo
Dove . Poiché , la formula (6) è una generalizzazione della formula (5).
Nel caso in cui e progressione geometricaè infinitamente decrescente. Per calcolare la sommadi tutti i membri di una progressione geometrica infinitamente decrescente, viene utilizzata la formula
. (7)
Per esempio , usando la formula (7), si può mostrare, Che cosa
Dove . Queste uguaglianze si ottengono dalla formula (7) a condizione che , (la prima uguaglianza) e , (la seconda uguaglianza).
Teorema. Se poi
Prova. Se poi ,
Il teorema è stato dimostrato.
Passiamo a considerare esempi di risoluzione di problemi sull'argomento "Progressione geometrica".
Esempio 1 Dati: , e . Trovare .
Soluzione. Se viene applicata la formula (5), allora
Risposta: .
Esempio 2 Lascia e . Trovare .
Soluzione. Poiché e , utilizziamo le formule (5), (6) e otteniamo il sistema di equazioni
Se la seconda equazione del sistema (9) viene divisa per la prima, quindi o . Da ciò segue . Consideriamo due casi.
1. Se, allora dalla prima equazione del sistema (9) abbiamo.
2. Se , allora .
Esempio 3 Lasciamo , e . Trovare .
Soluzione. Dalla formula (2) segue che o . Dal , allora o .
Per condizione. Tuttavia, quindi. Perché e, allora qui abbiamo un sistema di equazioni
Se la seconda equazione del sistema è divisa per la prima, allora o .
Poiché , l'equazione ha un'unica radice adatta . In questo caso, la prima equazione del sistema implica .
Tenendo conto della formula (7), otteniamo.
Risposta: .
Esempio 4 Dato: e . Trovare .
Soluzione. Da allora .
Perché , allora o
Secondo la formula (2), abbiamo . A questo proposito, dall'uguaglianza (10) si ottiene o .
Tuttavia, a condizione, quindi.
Esempio 5È risaputo che . Trovare .
Soluzione. Secondo il teorema abbiamo due uguaglianze
Dal , allora o . Perché allora .
Risposta: .
Esempio 6 Dato: e . Trovare .
Soluzione. Tenendo conto della formula (5), otteniamo
Da allora . Dal , e , allora .
Esempio 7 Lascia e . Trovare .
Soluzione. Secondo la formula (1), possiamo scrivere
Pertanto, abbiamo o . È noto che e , quindi e .
Risposta: .
Esempio 8 Trova il denominatore di una progressione geometrica decrescente infinita se
E .
Soluzione. Dalla formula (7) segue E . Da qui e dalle condizioni del problema si ottiene il sistema di equazioni
Se la prima equazione del sistema è quadrata, e poi dividi l'equazione risultante per la seconda equazione, allora otteniamo
O .
Risposta: .
Esempio 9 Trova tutti i valori per i quali la sequenza , , è una progressione geometrica.
Soluzione. Lasciamo , e . Secondo la formula (2), che definisce la proprietà principale di una progressione geometrica, possiamo scrivere o .
Da qui otteniamo l'equazione quadratica, le cui radici sono E .
Controlliamo: se, quindi , e ; se , allora , e .
Nel primo caso abbiamo e , e nel secondo - e .
Risposta: , .
Esempio 10risolvere l'equazione
, (11)
dove e.
Soluzione. Il membro sinistro dell'equazione (11) è la somma di una progressione geometrica decrescente infinita, in cui e , purché: e .
Dalla formula (7) segue, Che cosa . A questo proposito, l'equazione (11) assume la forma O . radice adatta l'equazione quadratica è
Risposta: .
Esempio 11. P sequenza di numeri positiviforma una progressione aritmetica, UN - progressione geometrica, cosa c'entra . Trovare .
Soluzione. Perché sequenza aritmetica, Quello (la proprietà principale di una progressione aritmetica). Perché il, quindi o . Ciò implica , che è la progressione geometrica. Secondo la formula (2), quindi lo scriviamo .
Da e , quindi . In tal caso, l'espressione assume la forma o . Per condizione, quindi dall'equazioneotteniamo l’unica soluzione del problema in esame, cioè. .
Risposta: .
Esempio 12. Calcola la somma
. (12)
Soluzione. Moltiplica entrambi i lati dell'uguaglianza (12) per 5 e ottieni
Se sottraiamo (12) dall'espressione risultante, Quello
O .
Per calcolare, sostituiamo i valori nella formula (7) e otteniamo . Da allora .
Risposta: .
Gli esempi di risoluzione dei problemi forniti qui saranno utili ai candidati in preparazione agli esami di ammissione. Per uno studio più approfondito dei metodi di problem solving, associato ad una progressione geometrica, è possibile utilizzare i tutorial dall'elenco della letteratura consigliata.
1. Raccolta di compiti in matematica per i candidati alle università tecniche / Ed. MI. Scanavi. – M.: Mir i Obrazovanie, 2013. – 608 p.
2. Superare il V.P. Matematica per gli studenti delle scuole superiori: sezioni aggiuntive del curriculum scolastico. – M.: Lenand/URSS, 2014. - 216 pag.
3. Medynsky M.M. Un corso completo di matematica elementare in compiti ed esercizi. Libro 2: Sequenze e progressioni numeriche. – M.: Editus, 2015. - 208 pag.
Avete domande?
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sito, con la copia totale o parziale del materiale, è richiesto un collegamento alla fonte.
Progressione geometrica non meno importante in matematica che in aritmetica. Una progressione geometrica è una sequenza di numeri b1, b2,..., b[n] di cui ciascun membro successivo è ottenuto moltiplicando il precedente per un numero costante. Questo numero, che caratterizza anche il tasso di crescita o decremento della progressione, viene chiamato denominatore di una progressione geometrica e denotare
Per l'assegnazione completa di una progressione geometrica, oltre al denominatore, è necessario conoscere o determinare il suo primo termine. Per un valore positivo del denominatore, la progressione è una sequenza monotona, e se questa sequenza di numeri è monotonicamente decrescente e monotonicamente crescente quando. Il caso in cui il denominatore è uguale a uno non viene considerato in pratica, poiché abbiamo una sequenza di numeri identici e la loro somma non è di interesse pratico
Termine generale di una progressione geometrica calcolato secondo la formula
La somma dei primi n termini di una progressione geometrica determinato dalla formula
Consideriamo le soluzioni dei classici problemi di progressione geometrica. Cominciamo con il più semplice da capire.
Esempio 1. Il primo termine di una progressione geometrica è 27 e il suo denominatore è 1/3. Trova i primi sei termini di una progressione geometrica.
Soluzione: scriviamo la condizione del problema nel modulo
Per i calcoli utilizziamo la formula per l'ennesimo membro di una progressione geometrica
Sulla base di ciò, troviamo membri sconosciuti della progressione
Come puoi vedere, calcolare i termini di una progressione geometrica non è difficile. La progressione stessa sarà simile a questa
Esempio 2. Sono dati i primi tre membri di una progressione geometrica: 6; -12; 24. Trova il denominatore e il settimo termine.
Soluzione: Calcoliamo il denominatore della progressione geometrica in base alla sua definizione
Abbiamo ottenuto una progressione geometrica alternata il cui denominatore è -2. Il settimo termine è calcolato dalla formula
Su questo compito è risolto.
Esempio 3. Una progressione geometrica è data da due dei suoi membri 
. Trova il decimo termine della progressione.
Soluzione:
Scriviamo i valori datitramite le formule
Secondo le regole bisognerebbe trovare il denominatore, e poi cercare il valore desiderato, ma per il decimo termine abbiamo
La stessa formula può essere ottenuta sulla base di semplici manipolazioni con i dati di input. Dividiamo il sesto termine della serie per un altro, di conseguenza otteniamo
Se il valore risultante viene moltiplicato per il sesto termine, otteniamo il decimo
Pertanto, per tali problemi, con l'aiuto di semplici trasformazioni in modo rapido, puoi trovare la soluzione giusta.
Esempio 4. La progressione geometrica è data da formule ricorrenti
Trova il denominatore della progressione geometrica e la somma dei primi sei termini.
Soluzione:
Scriviamo i dati forniti sotto forma di un sistema di equazioni
Esprimi il denominatore dividendo la seconda equazione per la prima
Trova il primo termine della progressione dalla prima equazione
Calcola i seguenti cinque termini per trovare la somma della progressione geometrica
Istruzioni
10, 30, 90, 270...
È necessario trovare il denominatore di una progressione geometrica.
Soluzione:
1 opzione. Prendiamo un membro arbitrario della progressione (ad esempio, 90) e dividiamolo per quello precedente (30): 90/30=3.
Se è nota la somma di più membri di una progressione geometrica o la somma di tutti i membri di una progressione geometrica decrescente, per trovare il denominatore della progressione utilizzare le formule appropriate:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), dove Sn è la somma dei primi n termini della progressione geometrica e
S = b1/(1-q), dove S è la somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente (la somma di tutti i membri della progressione con denominatore inferiore a uno).
Esempio.
Il primo termine di una progressione geometrica decrescente è uguale a uno, e la somma di tutti i suoi termini è uguale a due.
È necessario determinare il denominatore di questa progressione.
Soluzione:
Sostituisci i dati dell'attività nella formula. Ottenere:
2=1/(1-q), da cui – q=1/2.
Una progressione è una sequenza di numeri. In una progressione geometrica ogni termine successivo si ottiene moltiplicando il precedente per un certo numero q, detto denominatore della progressione.
Istruzioni
Se si conoscono due membri vicini della geometrica b(n+1) e b(n), per ottenere il denominatore è necessario dividere il numero grande per quello che lo precede: q=b(n +1)/b(n). Ciò deriva dalla definizione della progressione e del suo denominatore. Una condizione importante è che il primo termine e il denominatore della progressione non siano uguali a zero, altrimenti è considerata indefinita.
Si stabiliscono quindi le seguenti relazioni tra i membri della progressione: b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q. Con la formula b(n)=b1 q^(n-1) si può calcolare qualsiasi membro di una progressione geometrica, di cui siano noti il denominatore q e il membro b1. Inoltre, ciascuno dei moduli della progressione è uguale alla media dei suoi membri vicini: |b(n)|=√, quindi la progressione ha il suo .
Un analogo della progressione geometrica è la funzione esponenziale più semplice y=a^x, dove x è nell'esponente, a è un numero. In questo caso il denominatore della progressione coincide con il primo termine ed è uguale al numero a. Il valore della funzione y può essere inteso come l'n-esimo membro della progressione, se l'argomento x viene preso come numero naturale n (contatore).
Un'altra proprietà importante della progressione geometrica, che ha dato la progressione geometrica
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